aplicacion de ecuaciones diferrenciales en ingenieria
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UNIVERSIDAD ANDINA DEL CUSCO
DOCENTE : Ignacio Hacha Velázquez
Carrera : Ingeniería Civil
Curso : Calculo III
Alumnos : Melissa Almendra Luna Marquina.
Luis Mario Quispe Chacón.
Alejandro Sánchez Muñiz
Jestyn Quispe Cahua
Cusco – Perú
2015
ÍNDICE
Aplicaciones DE Ecuaciones diferenciales
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Calculo III
1. Presentación
2. Introducción
3. Objetivos
4. Planteamiento del problema
5. Interpretación
6. Hipótesis
7. Bibliografía
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PRESENTACION
El presente trabajo fue realizado por estudiantes de la carrera profesional de
ingeniería civil de la Facultad de Ingenieras de la Universidad Andina del
Cusco, Dicho trabajo lleva el nombre de “ECUACIONES
DIFERENCIALES ”, el cual le presento a usted docente del curso de
CALCULO III
Esperando que el informe del presente trabajo sea de su completo agrado
me despido de usted expresándole mi más sincera gratitud por tener en
grato revisar este informe.
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INTRODUCCION
Una ecuación diferencial es una ecuación en la que intervienen derivadas
de una o más funciones desconocidas. Dependiendo del número de
variables independientes respecto de las que se deriva, las ecuaciones
diferenciales se dividen en:
Ecuaciones diferenciales ordinarias: aquellas que contienen derivadas
respecto a una sola variable independiente.
Ecuaciones en derivadas parciales: aquellas que contienen derivadas
respecto a dos o más variables.
Como toda parte del cálculo, esta también es aplicada al campo de la
ingeniería, lo cual se verá en este informe.
PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:
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Para este trabajo de investigación el principal problema a solucionar será
conocer que áreas de la Ingeniería Civil aplican las ecuaciones diferenciales
como principal herramienta para solucionar sus respectivas actividades, puesto
que en la actualidad los estudiantes dejan de lado su aplicación por la aparición
de software y programas que omiten realizar manualmente este cálculo. Así
también aprender como son aplicadas en algunas de estas áreas, con ejemplos
e imágenes.
Tendremos entonces que ver como son las ecuaciones diferenciales aplicadas
en flexiones de vigas y de otras estructuras, volúmenes y capacidades de
algunas áreas o superficies, etc.
INTERPRETACION:
Conoceremos cuales son las aplicaciones de las ecuaciones diferenciales en
diversos campos de la ingeniería. Tomaremos en cuenta lo aprendido durante
el curso de Calculo III, para resolución de casos que requieran ecuaciones
diferenciales
OBJETIVOS:
2.1. ESPECÍFICO
- Analizar todo tipos de métodos de ecuaciones diferenciales aplicados a
problemas de Ingeniería Civil.
- Desarrollar habilidades para la selección y aplicación de modos analíticos,
cualitativos y numéricos en la resolución de ecuaciones de primer orden
- Introducir al estudiante en el análisis de la solución de ecuaciones
diferenciales de primer orden.
- Potenciar el desarrollo de competencias, la resolución de problemas propios
de la ingeniería civil.
- Interpretar los métodos y procedimientos utilizados en la solución de
problemas prácticos de Ingeniería Civil mediante la Teoría aplicaciones de
ecuaciones diferenciales en la ingeniería civil.
2.2. GENERALES
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- Analizar los modelos matemáticos, para encontrar soluciones con la
aplicación de las ecuaciones diferenciales.
Reconocer los datos que se utilizaran en el modelo matemático.
HIPOTESIS:
Se partió de la hipótesis de que “las ecuaciones diferenciales son muy poco
utilizado en la carrera”, siguiendo con una investigación documental sobre las
aplicaciones a diversas áreas de Ingeniería civil como el análisis estructural lo
que llevó a un cambio de la hipótesis inicial por la siguiente: “las ecuaciones
diferenciales son una herramienta muy útil en la carrera de ingeniería civil” ya
que la ingeniería es la profesión que aplica conocimientos y experiencias para
que mediante diseños, modelos y técnicas se resuelvan problemas que afectan
a la humanidad; todo esto puede ser formulado con ecuaciones diferenciales.
Los futuros ingenieros civiles deben tener dominio los conceptos mecánicos
que sustentan los sistemas de la ingeniería y usar adecuadamente modelos
matemáticos para analizar y predecir el comportamiento de dichos sistemas en
su carrera profesional.
La importancia de las ecuaciones diferenciales en el mundo actual es enorme,
ya que la ciencia y la tecnología moderna sencillamente serían imposibles sin
él. Las leyes de la naturaleza se expresan mediante ecuaciones que involucran
funciones y sus derivadas e integrales, y el análisis de estas ecuaciones se
realiza mediante las herramientas de ecuaciones diferenciales.
APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES EN
INGENIERIA CIVIL
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Las ecuaciones diferenciales son muy interesantes en cuanto a la posibilidad
que presentan para indagar sobre variedad de problemas de las ciencias
físicas, biológicas y sociales. A partir de la formulación matemática de distintas
situaciones se describen procesos reales aproximados.
Dentro de los diversos campos de acción de la ingeniería civil, una de las
múltiples aplicaciones de ecuaciones diferenciales está relacionada con el
estudio de las flexiones, un ejemplo es:
FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO PARA PEQUEÑAS FLEXIONES:
Una viga o una barra delgada son sólidos homogéneos e isótropos cuya
longitud es grande comparada con las dimensiones de su sección trasversal.
Cuando una viga flexiona debido a las fuerzas exteriores que se aplican,
existen algunas partes de la viga que se acortan y hay otras zonas que se
alargan. Pero hay una línea, denominada eje neutro, que no se acorta ni se
alarga. Este eje se encuentra en el centro de gravedad de la sección
trasversal.
Se usará una barra empotrada de un determinado material, de longitud L, de
anchura a y de espesor b. Se fijará uno de sus extremos y se aplicará una
fuerza en su extremo libre. Mediremos el desplazamiento del extremo libre y(L)
o flecha en función de la fuerza aplicada F, comprobando su relación de
proporcionalidad, mientras que la flexión de la barra sea pequeña.
A continuación, examinaremos la teoría de la flexión de una viga en voladizo en
detalle, calculando el desplazamiento de su extremo libre cuando se aplica una
fuerza en dicho extremo que produce una flexión considerable.
Este ejemplo, nos permite practicar con procedimientos numéricos aplicados al
•Cálculo de la raíz de una ecuación.
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•Integral definida.
Supongamos que
•La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección
trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.
•Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es
pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.
En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el
momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada
El radio de curvatura de una función y(x) es
Para pequeñas pendientes (dy/dx)2≈0
Si despreciamos el peso de la propia barra, el momento de la fuerza F aplicada en el
extremo libre, respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)≈F(L-x)
Que integramos dos veces con las siguientes condiciones iníciales x=0, y=0, dy/dx=0.
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El desplazamiento yf del extremo libre x=L es proporcional a la fuerza F aplicada
•Y es el módulo de Young del material
•I se denomina momento de inercia de la sección trasversal respecto de la fibra neutra
Se considera que la aproximación de pequeñas flexiones: el desplazamiento y del
extremo libre de la barra, es proporcional a la fuerza F aplicada, produce resultados
aceptables hasta un cierto valor del parámetro a dimensional α<0.375, (véase al final del
siguiente apartado) o bien, hasta un valor máximo de la fuerza aplicada Fm=2Y•I•α/L2
Ejemplo:
• Sea L=30 cm=0.3 m, la longitud de la barra.
• Sea b=0.78 mm=0.00078 m, el espesor de la barra.
• La anchura a=0.03 m está fijada por el programa interactivo y no se puede
cambiar.
• Elegimos como material, el Acero.
Después de realizar la experiencia. La pendiente de la recta que relaciona la desviación
del extremo libre y(L) con la fuerza aplicada F en dicho extremo es
m=3.683 cm/N=0.03683 m/N
• El momento de inercia I vale
• Dada la pendiente (coeficiente de proporcionalidad de F) calculamos el módulo
de Young Y
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ESTUDIO DE LA FLEXION DE UNA VIGA EN VOLADIZO:
Consideremos una barra delgada de longitud L en posición horizontal, empotrada por un extremo y sometida a una fuera vertical F en el extremo libre. Determinaremos la forma de la barra y las coordenadas (xf, yf) del extremo libre para grandes flexiones de la barra.
Supongamos que:
La barra tiene una longitud L mucho mayor que las dimensiones de su sección trasversal, y que la deformación debida a su propio peso es despreciable.
Que la sección de la barra no cambia cuando se dobla. Cuando el espesor de la barra es pequeño comparado con el radio de curvatura, la sección trasversal cambia muy poco.
En estas condiciones es aplicable la ecuación de Euler-Bernoulli que relaciona el momento flector M de la fuerza aplicada y el radio de curvatura ρ de la barra deformada
Donde Y es el módulo de Young del material e I es el momento de inercia de la sección trasversal respecto del eje neutro. El radio de curvatura:
ρ=ds/dφ
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El momento flector M de la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra respecto del punto P (x, y) es M=F(xf-x)
Derivando con respecto a s, y teniendo en cuanta que cosφ=dx/ds
Para determinar φ(s) se resuelve la ecuación diferencial con las siguientes condiciones iníciales:
Para obtener una solución de la ecuación diferencial, multiplicamos por dφ/ds la ecuación diferencial
La constante de integración la determinamos a partir de las condiciones iníciales
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especificadas anteriormente:
La Longitud L de la barra y las coordenadas x e y de cada uno de los puntos de la misma se obtienen:
Dada la fuerza F aplicada en el extremo libre de la barra y conocida la longitud L de la barra, se resuelve la primera ecuación para calcular el ángulo φ0, que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X
Una vez que se conoce este ángulo φ0, se calcula la abscisa x dando valores al ángulo φ en el intervalo (0, φ0)
El cálculo de la ordenada y es más complicado, ya que para cada valor del ángulo φ hay que hallar una integral definida en el intervalo (0, φ) empleando procedimientos numéricos.
Cálculo numérico
Las ecuaciones anteriores las podemos expresar
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Donde α es un parámetro a dimensional que engloba las características geométricas de la barra, del material del que está hecha, y de la fuerza aplicada en su extremo libre
Cálculo de φ0.
Empezamos con la primera ecuación que nos determina el ángulo φ0 que forma la recta tangente a la barra en su extremo libre con la parte negativa del eje horizontal X, tal como se ve en la figura:
Requiere dos pasos:
1. Hallar la integral
2. Calcular la raíz de la ecuación
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f(φ0)=0
La integral se puede expresar en términos de la suma de dos integrales elípticas de primera especie, haciendo cambios de variable. El primer cambio es θ=φ+π/2
El segundo cambio de variable es
Finalmente, calculamos la raíz de la ecuación
Ejemplo:
Sea una regla de acero de longitud L=30 cm, sección rectangular a=3.04 cm, y b=0.078 cm. El módulo de Young es Y=2.06·1011 N/m2
El momento de inercia I vale
Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=0.25, es decir
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Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones
En la aproximación de pequeñas flexiones xf≈L, no hay desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical yf es proporcional a la fuerza F aplicada en el extremo libre.
Cuando aplicamos en el extremo libre de la barra una fuerza tal que α=1.25, es decir
Aplicando la aproximación de pequeñas flexiones
En la aproximación de pequeñas flexiones deja de ser válida ya que hay una desviación apreciable en sentido horizontal y la desviación en sentido vertical yf ya no es proporcional al a la fuerza F aplicada en el extremo libre.
Conclusiones
Podemos concluir lo siguiente:
Las ecuaciones diferenciales son de una muy amplia aplicación en todas las carreras profesionales,
En nuestra carrera profesional, una vez que hayamos egresado y estemos ejerciendo nuestra profesión, será de mucha importancia saber determinar las flexiones de las vigas que construiremos, para poder evitar un posible futuro fallo de nuestras estructuras.
Es importante determinar cuanto se deformara la viga al reaccionar con las cargas vivas de puesta de servicio.
Este tema se abordara con mas detenimiento en resistecia de materiales.
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BIBLIOGRAFIA:
Feynman, Leighton, Sands. The Feynman Lectures on Physics V-II. Edt. Fondo Educativo Interamericano, págs. 38.15-17.
Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Flexión de una barra delgada empotrada en un extremo: Aproximación para pequeñas pendientes. Revista Brasileira de Ensino de Física. 24 (4) Dezembro 2002, págs, 399- 407.
Beléndez T., Neipp C., Beléndez A., Large and small defections of a cantilever beam. Eur. J. Phys. 23 (2002) pp. 371-379
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