UNIVERSIDAD PRIVADA DEL NORTE

Facultad de Ingeniería y Arquitectura

Departamento de Ciencias

Tema: La Elipse

Docente:

MURGA TIRADO, Christian Edinson

Código Clase:

10018946

Integrantes:

BARBOZA NAVARRO, Alexis Jhosep

Cajamarca – Perú

2014

DEDICATORIA

El presente trabajo está dedicado a los padres de cada uno de los integrantes del presente informe, por el apoyo decidido para poder llevarlo a cabo y al profesor que con su apoyo se hizo

posible la siguiente investigación y así poder concluir exitosamente.

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AGRADECIMIENTO

Agradezco el interés y la responsabilidad de mis compañeros en lograr obtener los conocimientos sobre los temas de investigación “La Elipse” y al docente que nos imparte sus

conocimientos.

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RESUMEN

En el presente informe se estará dando a conocer los siguientes temas como lo son la historia de las secciones cónicas, las bases que se sientan en la Geometría Analítica, las cónicas como lugares Geométricos las diferentes expresiones analíticas de las cónicas, y diferentes aplicaciones de las cónicas en la vida cotidiana. Y el desarrollo específico de La Elipse, su definición y propiedades, los elementos, su excentricidad, sus diferentes ecuaciones como son: reducida, ecuación de la elipse con los focos en el eje “Y”, ecuación de la elipse con el centro desplazado de origen de coordenadas.

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Índice

DEDICATORIA________________________________________________________________2

AGRADECIMIENTO____________________________________________________________3

RESUMEN___________________________________________________________________4

Índice________________________________________________________________________5

I. Introducción_____________________________________________________________7

II. Historia de las Secciones Cónicas____________________________________________82.1. Se sientan las bases de la Geometría Analítica_____________________________102.2. Las cónicas como lugares geométricos___________________________________112.3. Expresión analítica de las cónicas_______________________________________112.4. Ejemplos de Aplicación en la vida real.____________________________________11

III. Tema________________________________________________________________123.1. Elipse______________________________________________________________12

3.1.1. Ejemplos de aplicación en la vida real_________________________________123.1.2. Definiciones y Propiedades._________________________________________123.1.3. Elementos de la elipse_____________________________________________153.1.4. Excentricidad de la elipse__________________________________________163.1.5. Ecuación de la elipse______________________________________________18

3.1.5.1. Ecuación reducida de la Elipse____________________________________183.1.5.2. Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y________________________193.1.5.3. Ecuación de la elipse con el centro desplazado de origen de coordenadas._20

3.1.6. Ejercicios resueltos_______________________________________________223.1.7. Ejercicios Propuestos (sin solución)__________________________________233.1.8. Construcciones de una elipse_______________________________________24

3.1.8.1. TRAZADO DE LA ELIPSE MEDIANTE RADIOS VECTORES____________243.1.8.2. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS_______________253.1.8.3. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS DADOS DOS EJES CONJUGADOS._______________________________________________________253.1.8.4. TRAZADO DE LA ELIPSE POR ENVOLVENTES______________________263.1.8.5. TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE CIRCUNFERENCIA A FINES____27

VI Conclusión_____________________________________________________________28

V Bibliografía_____________________________________________________________29

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I. IntroducciónEl presente trabajo da a conocer el tema de “la elipse”, el cual busca dar a conocer los elementos que este contiene, las formas de graficarlo, las diferentes ecuaciones que

desprenden de un elipse, la historia, propiedades, definición, bases de la geometría analítica, secciones cónicas; para así poder dar un aporte a los conocimientos teóricos de los diferentes

estudiantes para asi poder sobresalir en su educación.

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II. Historia de las Secciones Cónicas

Menecmo (350 A.C.) descubrió estas curvas y fue el matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas y encontrar la propiedad plana que las definía.

Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos a los que dio el nombre de: elipses, hipérbolas y parábolas. Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión.

Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos.

En la actualidad esta propiedad se utiliza para los radares, las antenas de televisión y espejos solares. La propiedad análoga, que nos dice que un rayo que parte del foco se refleja paralelamente al eje sirve para que los faros de los automóviles concentren el haz en la dirección de la carretera o para estufas. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveniente de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco, esta propiedad se utiliza en los grandes estadios para conseguir una superficie mayor iluminada.

René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. El resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas se lo debemos a Jan de Witt (1629-1672). Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física.

Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica.

Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos en el caso de la tierra la excentricidad es 0.017 y los demás planetas varían desde 0.004 de Neptuno a 0.250 de Plutón. Más tarde el célebre matemático y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica.

El descubrimiento de las secciones cónicas estuvo íntimamente ligado a uno de los tres problemas clásicos de la geometría griega, la duplicación del cubo o problema de Delos.

"...la peste se llevó una cuarta parte de la población ateniense y la profunda impresión que produjo esta catástrofe fue probablemente el origen del segundo problema..."

"...Se envió una delegación al oráculo de Apolo en Delos, para preguntar cómo podría conjurarse la peste, a lo que el oráculo contesto que era necesario duplicar el altar cúbico dedicado a Apolo. Al parecer los atenienses duplicaron las dimensiones del altar, pero esto no sirvió para detener la peste, obviamente habían aumentado ocho veces su volumen en lugar de dos...”

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Fue Hipocrátes de Chios quien demostró que se podría conseguir la duplicación del cubo siempre que se pudiera encontrar curvas que cumplieran a/x=x/y=y/2a; y Menecmo halló dichas curvas como secciones de conos circulares rectos (ortotoma), agudos (oxitoma) y obtusos (amblitoma). Pero es Apolonio de Pérgamo quien hace un tratamiento tan exhaustivo que desplaza a todos los anteriores, y quien da una formulación definitiva.

Todo este estudio de estas formulaciones se encuentra en "Las Cónicas", que son ocho libros dedicados al estudio de las cónicas. Dicho tratado fue considerado como el corpus más completo que recogía los conocimientos sobre tales curvas de todo la Antigüedad. Con posterioridad el rastro de los ocho libros de Las Cónicas de Apolonio se perdió, de tal modo que su legado ha llegado hasta nosotros de diversas formas. Sólo los cuatro libros primeros se conservan en griego. El octavo desapareció en su totalidad, pero, gracias a la traducción al árabe de los libros V al VII que realizara Thabit ibn Qurra, se conservaron los siete primeros. Todos ellos traducidos al latín en los siglos XVI y XVII por Johanms B Aptista Memus en 1537 y Abraham Echellencis y Giacomo Alfonso Borelli en 1661.

Estos libros contienen 387 teoremas bien demostrados, algunos conocidos por matemáticos anteriores a Apolonio, pero la mayoría de ellos inéditos.

En cuanto a la elaboración de Las Cónicas sabemos que, residiendo en Alejandría, Apolonio fue visitado por un geómetra llamado Naucrates, y, a petición de este último, escribió un apresurado borrador de Las Cónicas en ocho libros. Más tarde, ya en Pérgamo, perfeccionó y pulió el contenido de su primera obra.

El propio Apolonio nos describe en la introducción de su primer libro el contenido del resto. Resumiremos los ocho libros a continuación:

El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas. El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas. El libro III: (el preferido de Apolonio). El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos. El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica. El libro VI: trata sobre cónicas semejante. El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados. El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice.

Apolonio les da su nombre definitivo Ellipsis (deficiencia), se utilizaba cuando un rectángulo dado debía de aplicarse a un segmento dado y resultaba escaso en un cuadrado. Mientras que la palabra Hyperbola (avanzar más allá) se adoptó para el caso en que el área excedía del segmento dado, y por último la palabra Parábola (colocar al lado o comparar) indicaba que no había deficiencia ni exceso.

Apolonio fue el primero en obtener todas las curvas a partir de las secciones del cono recto, variando el ángulo de inclinación del plano con respecto al eje del cono y "a partir del cono dedujo una propiedad plana fundamental, una condición necesaria y suficiente para que un punto esté situado en la curva, y en ese momento abandonó el cono y procedió a estudiar las cónicas por métodos planimétricos exclusivamente..." y "consigue una de las mejores obras de la matemática antigua".

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II.1. Se sientan las bases de la Geometría Analítica

Uno de ellos fue el matemático y astrónomo persa Omar Jayam (1048 – 1131). Este llevó a cabo una serie de trabajos que se convertirían en fundamentales en dicha área científica y que ejercerían como pilares para el desarrollo de teorías posteriores. Entre aquellos se encuentran, por ejemplo, Disertación sobre una posible demostración del postulado paralelo o Tesis sobre demostraciones de álgebra.

De estos textos realizados por dicho autor persa parece ser que podría haber “bebido” el científico francés René Descartes (1596 – 1650) que es otra de las figuras clave en el origen de la geometría analítica y es que muchos autores dictaminan que él es el padre de la misma. Así, entre sus principales aportaciones se encontrarían los llamados ejes cartesianos y entre sus trabajos más influyentes está, por ejemplo, La Geometría.

Junto a estas dos importantes figuras no hay que pasar por alto tampoco la del matemático francés Pierre de Fermat (1601-1665), también conocido como Eric Temple Bell. Este está considerado como el descubridor del principio fundamental de la geometría analítica y ha pasado a la historia no sólo por este sino también por su teoría de los números.

Contribuyentes en la teoría de la geometría analítica.

II.2. Las cónicas como lugares geométricos

Si “F” es un punto fijo del plano y  “D” una recta, el lugar geométrico de los puntos del plano cuyas distancias al punto “F” y a la recta “D” están en proporción constante es  una cónica no degenerada (elipse, hipérbola, parábola).

Al punto “F” se le denomina FOCO de la cónica y a la recta “D” DIRECTRIZ asociada al foco “F”.

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II.3. Expresión analítica de las cónicasEn coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en forma algebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables (x,y) de la forma:

En la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:

h2 > ab: hipérbola. h2 = ab: parábola. h2 < ab: elipse. a = b y h = 0: circunferencia (considerada un caso particular de la elipse).

II.4. Ejemplos de Aplicación en la vida real.

Los cables de los puentes colgantes forman la envolvente de una parábola. En diseños artísticos es común encuadrar retratos y fotografías en un marco con

forma elíptica. Las orbitas alrededor del sol son elípticas.

III. Tema

III.1. Elipse

III.1.1. Ejemplos de aplicación en la vida real Lentes Edificios

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Construcciones de estadios Mesas, etc.

III.1.2. Definiciones y Propiedades.

La elipse es una curva cerrada y plana, cuyos puntos tiene la propiedad que la suma de distancia de cada uno de ellos a otros dos fijos, llamados focos, es constante e igual al eje mayor de la elipse.

Los ejes se cortan perpendicularmente en el centro de la elipse, esta es simétrica respecto a los dos ejes.

El "eje mayor" se denomina eje real y el menor "eje imaginario".

La distancia focal, o la determinación de los focos, se realiza de la siguiente manera: Se traza un arco de radio igual al semieje mayor y de centro un extremo del eje menor; los puntos de corte del arco anterior con el eje de simetría mayor son los focos de la elipse (F1 y F2).

En la Ilustración nº 1 observamos como trazando dos rectas desde un punto (P) cualquiera de la Elipse, hasta los focos (F1 F2) se obtienen dos segmentos que al sumarlos nos darán una magnitud igual al eje de simetría mayor AB.

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PARÁMETROS DE LA ELIPSE: (Ilustración nº 1)

a= La distancia que hay desde el Centro de la elipse a un extremo del eje de simetría mayor (a). Eje de simetría Mayor (AB) se denomina 2a.

b= La distancia que hay desde el centro de la elipse a un extremo del eje de simetría menor (b). Eje de simetría Menor (CD) se denomina 2b.

c=La distancia que hay desde el centro de la elipse a uno de los focos (F1, por ejemplo) Distancia Focal se denomina 2c.

DIÁMETROS CONJUGADOS: (Ilustración nº 2)

Son las cuerdas que pasan por El Centro de la elipse de Tal modo que cualquier cuerda paralela a uno de dichos diámetros queda dividida en dos partes iguales.

Para construir una elipse a partir de sus diámetros conjugados se sigue el siguiente método:

1.- Se traza una circunferencia de

diámetro igual al conjugado mayor (AB) y

se levanta perpendiculares a él de manera

arbitraria.

2.- Por los puntos de intersección entre

las cuerdas anteriores con el diámetro

conjugado AB se trazan paralelas al otro

conjugado (CD).

3.- Unir mediante rectas los extremos del diámetro

de la circunferencia con los extremos del conjugado

menor (CD) y trazar por los extremos de las

cuerdas obtenidas anteriormente paralelas a los

segmentos anteriores (extremos del diámetro de la

circunferencia y CD) hasta que corten a cada

paralela a CD en dos puntos, éstos determinan la

elipse.

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ELIPSE FUNDAMENTOS

CIRCUNFERENCIA PRINCIPAL:(Ilustración n° 3)

Es el lugar geométrico de los pies de las perpendicularidades trazadas desde un foco a las tangentes de las cónicas correspondiente.

El centro de esta circunferencia es el de la elipse, siendo su radio el semieje mayor (a).

La intersección de una recta tangente a la cónica con la circunferencia principal determina dos puntos (P y R) que son los pies de las perpendiculares trazadas a dicha recta tangente, estas cortaran al eje de simetría mayor determinando los focos.

CIRCUNFERENCIAS FOCALES:(Ilustración n° 4)

Las circunferencias focales se definen como: el lugar geométrico de los puntos simétricos del otro foco respecto de las tangentes a la cónica.

Los centros de estas circunferencias son los focos de la cónica y su radio es igual al del eje de simetría mayor (2ª)

La elipse tiene dos circunferencias focales.

OTRA DEFINICION DE ELIPSE:(Ilustración n° 5)

Es el lugar geométrico de todos los centros de las circunferencias que son tangentes a una circunferencia focal y que pasan por el otro foco.

Los puntos de tangencia de la circunferencia con la focal estarán alineados con su foco correspondiente.

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En la ilustración n°4 F1 está en línea con P y F2 con R y F1

III.1.3. Elementos de la elipseFOCOS: son los puntos fijos F1 y F2. Punto asociado con una elipse.

EJE FOCAL: Es la recta que pasa por los focos.

VÉRTICES: Son los puntos V1 y V2 en donde e l e je focal cor ta a la e l ipse

CENTRO: Es e l punto M entre los focos.

EJE NORMAL: Es la recta L´ que pasa por M y es perpendicular a l e je focal Son

EJE MAYOR: Es e l segmento V1V2= 2a de la e l ipse, a es e l va lor del semie je mayor .

EJE MENOR: Es e l segmento B1B2=2b de la e l ipse, b es e l va lor del semie je menor .

CUERDA FOCAL: Es e l segmento EP.

LADO RECTO: Son los segmentos LR y L “ r ” que pasan por los focos.

DIÁMETRO: Es e l segmento TH que pasa por e l centro de la e l ipse.

DIRECTRICES: Son los segmentos D1´D2´ y D1D2 y son perpendiculares a l e je focal .

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RADIO FOCAL: Son los segmentos F1N, F2N.

EJES DE SIMETRÍA: Son las rectas que cont ienen a l e je mayor o a l e je menor.

CENTRO DE SIMETRÍA: Coinc ide con e l centro de la e l ipse, que es e l punto de in tersección de los e jes de s imetr ía .

III.1.4. Excentricidad de la elipseLa excentricidad de una elipse (e) es un valor que determina la forma de la elipse, en el sentido de si es más redondeada o si se aproxima a un segmento. Sea c la semidistancia focal y al semieje mayor:

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La excentricidad puede tomar valores entre 0 y 1 (0≤e≤1). Es 0 cuando la elipse es una circunferencia. En este caso los semiejes mayor y menor son iguales y los focos (F1 y F1) coinciden en el centro de la elipse. Cuando la excentricidad crece y tiende a 1, la elipse se aproxima a un segmento.

Existe otra fórmula que calcula la excentricidad a partir de los dos semiejes (a y b).

Esta fórmula se obtiene a partir de la anterior ya que se cumple que:

La excentricidad angular   es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con la excentricidad , esto es:

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III.1.5. Ecuación de la elipse

III.1.5.1. Ecuación reducida de la Elipse

Tomamos como centro de la elipse el centro de las coordenadas y los

ejes de la elipse como ejes de las coordenadas. Las coordenadas de los

focos son:

F'(-c,0) y F(c,0)

Cualquier punto de la elipse cumple.

Esta expresión da lugar a:

Realizando las operaciones:

III.1.5.2. Ecuación de la elipse con los focos en el eje Y

Si el eje principal se encuentra en las ordenadas se obtendrá la siguiente ecuación:

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Las coordenadas de los focos son:

F'(0, -c) y F(o, c)

III.1.5.3. Ecuación de la elipse con el centro desplazado de origen de coordenadas.

El eje principal que contiene las coordenadas de los focos y vértices del eje mayor es paralelo al eje de ordenadas.

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La suma de las distancias de un punto cualquiera de la elipse a los focos se mantiene constante e igual a

Las coordenadas de los focos son: F1 (0, c) y F2 (0,-c).

Hacemos uso del cálculo de la distancia entre dos puntos:

Pasamos la primera raíz a la izquierda del (=):

Elevamos ambos miembros al cuadrado y hacemos operaciones tal como tienes a continuación, paso a paso:

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Sabemos que sacamos factores y constituyendo  por  tenemos:

Dividiendo todos los términos por significando y ordenando llegamos a:

, o bien,  

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III.1.6. Ejercicios resueltos

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III.1.7. Ejercicios Propuestos (sin solución)

Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de las siguientes elipses:

Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de la siguiente elipse:

Calcular los ejes, focos, excentricidad y representar gráficamente cada una de la siguiente elipse:

Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:

a)   Sus focos son   F'(-3, 0) y F (3, 0)   y dos de sus vértices son   (-4, 0) y (4, 0)

b)   Pasa por los puntos   (3, 0) y (2, 1/5)

Halla las ecuaciones en forma reducida de las elipses determinadas de las siguientes maneras:

a)   F'(-4, 0) y F (4, 0)   y longitud del eje menor 6b)   F'(0, -2) y F (0, 2)   y cuya excentricidad es igual a 0,4c)   El eje mayor sobre el eje X es 12 y pasa por el punto (4, 4)d)   El eje mayor sobre el eje Y es 4 y su excentricidad es 1/6

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Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a  R (-4, 0) y S (4, 0)   es igual a 10.

Escribe la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos   R (0, -3) y S (0, 3)   es igual a 10.

Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto   P (10,-4)   y que su eje mayor es igual al doble del menor.

Hallar la ecuación de la tangente y de la normal de la elipse 2x2+y2=3 en el punto A (-1,1).

Dada la siguiente elipse   4x2 + 5y2 = 20     hallar las rectas tangente y normal en el punto de ordenada    y= - 1   y abscisa positiva.

Halla las tangentes a la siguiente elipse desde el punto P (5, 0):

III.1.8. Construcciones de una elipse

III.1.8.1. TRAZADO DE LA ELIPSE MEDIANTE RADIOS VECTORES

Teniendo en cuenta la definición de la elipse, como el lugar geométrico de los puntos del plano, cuya suma de distancias a los focos es igual a 2a, longitud del eje mayor de la elipse, solo necesitaremos coger pares de radios vectores, cuya suma sea 2a, para ello determinaremos una serie de puntos sobre el eje mayor, 1, 2, 3, etc., y cogeremos como parejas de radios vectores, los segmentos A1-B1, A2-B2, A3-B3, y así sucesivamente, determinando los puntos 1', 2', 3', etc. de la elipse.

Con cada pareja de radios vectores, se determinarán cuatro puntos de la elipse, uno en cada cuadrante de la misma.

Cuanto mayor sea el número de puntos, mayor será la precisión del trazado de la elipse, que deberá realizarse, o bien a mano alzada o mediante reglas flexibles, o plantillas de curvas especiales.

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III.1.8.2. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOSTrazaremos el rectángulo AOCE, y dividiremos los lados AO y AE en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C1-D1, C2-D2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

III.1.8.3. TRAZADO DE LA ELIPSE POR HACES PROYECTIVOS DADOS DOS EJES CONJUGADOS.

Trazaremos el romboide A'O'C'E', y dividiremos los lados A'O' y A'E' en un mismo número de partes iguales.

Seguidamente iremos trazando las rectas C'1-D'1, C'2-D'2, etc. y en sus intersecciones iremos obteniendo puntos de la elipse. Esto se repetirá para los cuatro cuadrantes de la elipse.

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III.1.8.4. TRAZADO DE LA ELIPSE POR ENVOLVENTES

Esta construcción se basa en el hecho de que la circunferencia principal de una elipse, es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares trazadas desde los focos a las tangentes a la elipse.

Para este trazado partiremos de puntos de la circunferencia principal, como el P, indicado en la figura. Uniremos dicho punto con el foco F, y trazaremos por P la perpendicular al segmento PF, obteniendo la recta t, tangente a la elipse. Repitiendo esta operación, obtendremos una serie de tangentes que irán envolviendo a la elipse.

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III.1.8.5. TRAZADO DE LA ELIPSE A PARTIR DE CIRCUNFERENCIA A FINES

Partiendo de los ejes conjugados A'B' y C'D', comenzaremos trazando la circunferencia de centro O y diámetro A'B'.

Sobre la circunferencia anterior, trazaremos cuerdas perpendiculares a A'B', como la 1-2. Uniendo 2 con C', y 1 con D', obtendremos los triángulosO2C' y O1D'. Solo restará construir en el resto de cuerdas triángulos semejantes a estos como el MPN, de lados paralelos al triángulo O2C', obteniendo así puntos de la elipse.

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VI Conclusión

Gracias a la investigación obtenida hemos concluido que:

Para poder hallar una ecuación elíptica solo hay que aplicar las formulas y el desarrollo será más sencillo.

Para la realización de un trabajo o desarrollo de problemas se tiene que poner mucha atención y mucho empeño.

El estudio de la elipse se torna un poco complicado al no tener la base necesaria para el desarrollo del tema.

La elipse es una figura a la cual hay formas de construirlo y si no tomas esos pasos no te podrá salir exacta.

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V Bibliografía http://www.dibujotecnico.com/saladeestudios/teoria/gplana/conicas/elipse01.php “Cálculo y geometría analítica /”. (Larson, Roland E) autores analíticos Hostetler,

Robert P., coaut. Edwars, Bruce H., coaut. Abellanas Rapún, Lorenzo, tr. México: McGraw-Hill. 1999. 2 v.: 25 cm. Edición; 6a ed. Título original: Calculus With Analytic Geometry. V. 1.-- Cap. P Preparación para cálculo.-- Cap. 1 Límites y sus propiedades.-- Cap. 2 La derivada.-- Cap. 3 Aplicaciones de la derivada.-- Cap. 4 Integración.-- Cap. 5 Funciones logarítmicas, exponenciales y otras funciones trascendentes.-- Cap. 6 Aplicaciones de la integral.-- Cap. 7 Métodos de intergración, regla de L'Hopital e integrales impropias.-- Cap. 8 Series.--V. 2.-- Cap. 9 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares.-- Cap. 10 Vectores y geometría del espacio.-- Cap. 11 Funciones vectorales.-- Cap. 12 Funciones de varias variables.-- Cap. 13 Integración múltiple.-- Cap. 14 Análisis vectorial.-- Cap. 15 Ecuaciones diferenciales.

“Calculo y geometria analitica.2”. ed. (Simmons, G.F.; Martinez Fernandez, J.J. (Trad.)Llovet, J. (Rev.Tec.). Mexico (Mexico). McGraw-Hill/Interamericana. 2002. 919 p. MATEMATICAS. CÁLCULO; GEOMETRIA ANALITICA; FUNCIONES; ANALISIS FUNCIONAL; FUNCIONES DIFERENCIALES; FUNCIONES EXPONENCIALES.

http://www.vitutor.com/geo/coni/elipse.html http://www.ditutor.com/geometria_analitica/elipses.html http://www.disfrutalasmatematicas.com/geometria/elipse.html http://www.roberprof.com/2009/09/08/elipse-elementos/ https://sites.google.com/site/geometriaanaliticageraferjenny/unidad-3/la-elipse

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