Aplicación de la Mecánica Lagrangiana en el Proceso de Obtención del Modelo Dinámico de un Manipulador Robótico.

Alejandro Hossian1, Lilian Cejas

1, Roberto Carabajal

1, César Echeverría

1, Maximiliano Alveal

1,

Verónica Olivera1

1Grupo de Investigación de Robótica - Universidad Tecnológica Nacional – Facultad Regional del Neuquén

Padre Rotter s/N° - Plaza Huincul (8316) – Neuquén – Argentina alejandrohossian@yahoo.com.ar

RESUMEN

Un robot manipulador es un sistema mecánico complejo cuya descripción analítica requiere de la formulación de ecuaciones diferenciales. Su Modelo Dinámico permite explicar ciertos fenómenos físicos intrínsecos de su naturaleza dinámica tales como las fuerzas centrípetas y de Coriolis, los efectos inerciales, el par gravitacional y los efectos de fricción. La construcción del modelo dinámico permite vincular matemáticamente la localización del robot definida por sus variables articulares o coordenadas de su extremo, y sus derivadas, los pares y fuerzas aplicados en las articulaciones o extremo del robot y los parámetros dimensionales del robot. El presente artículo se focaliza sobre el proceso de obtención del modelo dinámico del robot manipulador de dos grados de libertad. A tal efecto se hace uso de la Formulación de Lagrange que describe la dinámica de un robot a partir de un balance de energía, la cual se expresa en términos de energía cinética y potencial. El proceso metodológico empleado consta de una primera fase donde se obtiene la cinemática directa y diferencial (posiciones y velocidades articulares), una segunda fase en la cual se aborda la formulación lagrangiana y una tercera fase de construcción del modelo dinámico en base al desarrollo matricial que permite obtener el vector de fuerzas o pares aplicados a cada articulación en función de las coordenadas articulares, sus velocidades y aceleraciones. Las Ecuaciones de Lagrange tienen la ventaja de que hacen uso del balance de energía. Así se obtiene el Modelo Dinámico del robot en función de sus variables articulares y derivando la función de energía que depende de estas variables. También se observa la respuesta del modelo de robot propuesto en términos de la evolución temporal de las variables articulares, ante un determinado perfil de pares aplicados a las articulaciones y su impacto en diversos aspectos.

Palabras claves: modelo dinámico, ecuaciones de Lagrange, trayectorias articulares.

1. INTRODUCCIÓN

En el contexto de la mecánica analítica, la dinámica estudia la relación entre las causas (fuerzas o pares)

que actúan sobre un cuerpo y el movimiento que en él se origina. En robótica, la dinámica estudia la

vinculación existente entre el movimiento que se produce en el sistema – robot y los pares o fuerzas que

ejercen los actuadores de las articulaciones. Por lo general, los manipuladores robóticos están formados por

articulaciones de un grado de libertad; rotacionales o prismáticas. En el caso de las primeras, los actuadores

producen pares de fuerzas entre los eslabones que son conectados por la articulación; y en las segundas,

los actuadores producen fuerzas entre dichos eslabones [1]. Por consiguiente, las relaciones dinámicas

permiten controlar los actuadores de las articulaciones y el movimiento de todos los eslabones del

manipulador; de manera tal, que el órgano terminal del mismo realice una determinada trayectoria. En este

sentido, si por ejemplo se desea acelerar un manipulador desde una posición inicial, deslizarlo a una

velocidad constante del extremo para finalmente desacelerarlo hasta detenerlo por completo; los actuadores

de las articulaciones deben aplicar un profuso conjunto de funciones de momento de torsión [2]. En la figura

1se ilustra la relación entre los momentos de torsión τ, las variables articulares ϴ y la trayectoria (T) que

desarrolla el órgano terminal del robot desde un punto A hasta el B.

Figura 1: Relación entre los momentos de torsión τ, las variables articulares ϴ y la trayectoria (T) que desarrolla el

órgano terminal del robot desde un punto A hasta el B

El modelo dinámico del robot manipulador explica fenómenos físicos presentes en la estructura mecánica

del sistema – robot; tales como, fuerzas centrífugas y de Coriolis, efectos inerciales, par gravitacional y

fenómenos de fricción (viscosa, Coulomb y estática) [3,4].

2. OBJETIVOS

El grupo de investigación en “Robótica aplicada a la Ingeniería" que desarrolla sus actividades en esta casa

de estudios tiene como objetivo central la implementación de un modelo de proceso de investigación en

base a tres fases, las cuales procuran optimizar el diseño de un manipulador robótico industrial. La primera

fase corresponde a la Cinemática del Robot para la obtención de los Modelos Cinemático Directo e Inverso

y del Modelo Diferencial de los manipuladores robóticos industriales; una segunda fase se corresponde con

la Dinámica del Robot, que se aplica a la obtención del Modelo Dinámico de estos brazos; y una tercera

fase vinculada a los aspectos que hacen al Control del robot, cuyos algoritmos permiten mejorar las

características de velocidad y precisión. El problema que se analiza en este artículo se encuadra dentro de

Ө1 Ө2

A

B

Ө2

T

τ 1

τ 2

τ 2

la segunda fase del modelo de proceso de investigación, correspondiente al campo de estudio de la

Dinámica del Robot; cuyo objetivo central consiste en la obtención de su Modelo Dinámico, el cual vincula

los siguientes elementos: 1) la localización del robot definida por sus variables articulares y sus derivadas

(velocidad y aceleración); 2) los parámetros dimensionales del robot (longitudes, masas e inercia de sus

elementos) y 3) los pares y fuerzas aplicados en las articulaciones del robot para que su extremo realice una

determinada trayectoria [5]. El análisis de la dinámica del robot puede abordarse en base a dos enfoques:

A) Modelo Dinámico Directo: se basa en obtener la evolución temporal de las variables articulares (ϴ(t),

ϴʼ(t) y ϴ’ʼ(t), bajo la aplicación de un vector de fuerzas y momentos de torsión aplicados en los actuadores

de las articulaciones. Es decir, obtener ϴ(t) = f (τ(t)) y sus derivadas. Este modelo dinámico tiene especial

valor en el análisis de la simulación del robot [6]. B) Modelo Dinámico Inverso: se basa en obtener la

evolución temporal de las fuerzas y momentos de torsión que se aplican en los actuadores de las

articulaciones, para obtener una cierta evolución temporal de las variables articulares (ϴ(t), ϴʼ(t) y ϴ’ʼ(t). Es

decir, obtener τ (t) = f (ϴ(t), ϴʼ(t), ϴ’ʼ(t)). Este modelo dinámico tiene especial valor en el análisis del control

del manipulador. En este trabajo se propone un método de obtención del modelo dinámico inverso de un

robot manipulador de dos grados de libertad en base a la formulación de las “Ecuaciones de Lagrange”; que

permite describir la dinámica de un robot manipulador a través del balance de la energía cinética y potencial

presentes en sus eslabones. A partir del modelo dinámico obtenido, se proponen trayectorias articulares

(ϴ(t)), y por consiguiente ϴʼ(t) y ϴ’ʼ(t), con idea de obtener los pares de torsión a aplicar en los actuadores

para alcanzar estas trayectorias. El modelo de proceso con sus tres fases (Cinemática del Robot, Dinámica

del Robot y Control del Robot) que ilustra este segundo objetivo central, se detalla en la figura 2.

Figura 2: Modelo de Proceso de Investigación y Desarrollo

En esta figura se observa resaltado el módulo correspondiente al Modelo Dinámico Directo e Inverso y su

vinculación con la fase de Dinámica del Robot. La fase de cinemática suministra a la de dinámica las

ecuaciones cinemáticas necesarias para desarrollar los balances de energía que exige la formulación

Lagrangiana; luego, para la obtención del modelo dinámico inverso es preciso contar con la forma adaptada

de las ecuaciones de Lagrange; las cuales son suministradas desde la fase de dinámica del robot al módulo

de construcción de los modelos dinámicos directo e inverso. Continuando con la explicación del modelo de

proceso de investigación y desarrollo, la fase de cinemática del robot genera referencias a las fases de

dinámica y control del robot [7]; y la fase de dinámica suministra insumos a la fase de control, para la

realización del control dinámico [8].

Cinemática

del Robot

Proceso de Investigación

Modelo

Cinemático

Directo e Inverso

Dinámica

del Robot Control del Robot

Suministra

Insumos

Suministra

Insumos

Suministra Insumos

Control

Dinámico

MODELO DINÁMICO

DIRECTO E INVERSO

Ecuaciones

de Lagrange

Control

Cinemático

3. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA PROPUESTO

Este trabajo parte de la premisa de que en un nivel de diseño preliminar, se han obtenido los modelos

cinemáticos directo y el inverso. Es decir, se dispone de los parámetros dinámicos (masas, longitudes y

momentos de inercia de eslabones), la matriz de transformación homogénea con la información de las

coordenadas cartesianas del efector final en función de las variables articulares (0pn(t) en función de q(t)),

respecto al sistema de referencia asociado a la base del robot. El producto de salida que se obtiene de este

proceso, es un vector (τ) de fuerzas y momentos de torsión aplicados en los actuadores de las

articulaciones para obtener determinadas trayectorias articulares (posición, velocidad y aceleración). En la

figura 3 se observa la entrada y la salida al módulo de construcción del modelo dinámico directo e inverso

para la implementación de este proceso de obtención del modelo dinámico.

Figura 3: Insumo de entrada y Producto de salida al Módulo Dinámico Directo e Inverso

3.1 Aspectos fundamentales y propiedades del Modelo Dinámico de un Robot Manipulador

El modelo dinámico de un robot manipulador se expresa por medio de la ecuación diferencial no lineal 1, la

cual es una ecuación diferencial compleja, multivariable con dinámica fuertemente acoplada y “no lineal” en

el vector de estados TTT qq ],[

, y válida cuando el robot tiene una estructura en cadena cinemática abierta.

),()(),()()( ef fqFqGqqqCqqMt

1)

Donde )(t es el vector de fuerzas o pares que se aplica a cada articulación, q ϵ Rn es el vector de

posiciones articulares o coordenadas generalizadas, nRq

( vector de velocidades articulares), nRq

(

aceleraciones articulares). La matriz de inercia nxnRqM )( representa el cambio de estado de movimiento

del robot (efecto inercial), es simétrica (TqMqM )()( ), definida positiva M (q) > 0 y , por lo tanto,

1)( qM , sus elementos dependen de las variables articulares y sus coeficientes incluyen las masas

concentradas y las longitudes entre ellas; y es importante para el estudio de la estabilidad del sistema de

control). La matriz de fuerzas centrípetas nxnRqqC

),( depende de

qyq . Las fuerzas centrípetas son

radiales y se originan debido al movimiento de rotación; las fuerzas de Coriolis son por el movimiento

relativo existente entre los distintos elementos que dependen de la configuración instantánea del

MODELO

DINÁMICO

DIRECTO E

INVERSO

Producto de

Salida

Matriz de

Transformación

Homogénea y

Parámetros Dinámicos

Vector de Fuerzas

y Momentos de

Torsión

Insumo de

Entrada

manipulador, y siempre contienen el producto de dos velocidades de articulación distintas. G(q) ϵ Rn es el

vector de pares gravitacionales (vector gradiente de la energía potencial) y depende de las variables

articulares qi y contiene todos los términos donde aparece la constante gravitacional “g”. Cabe señalar, que

este vector se presenta en aquellos robots que, desde el punto de vista mecánico, no se diseñaron con

compensación de pares de gravedad. El fenómeno de fricción se opone al movimiento del robot,

combinando la fricción viscosa y la de Coulomb, el cual depende de la velocidad de la variable articular y

está dado por el vector )()( 21

qsignfqfqF mmf . Donde fm1 y fm2 son matrices diagonales definidas

positivas. Los elementos de la diagonal de fm1 son los parámetros de la fricción viscosa, y los de fm2 son los

de la fricción de Coulomb. La característica disipativa de la fricción que convierte parte de la energía

mecánica en energía térmica, se traduce en desgaste y envejecimiento de las partes mecánicas del

sistema. Por tal razón, resulta complejo modelar con exactitud los términos de la fricción.

3.2 Aspectos fundamentales de la Formulación Lagrangiana

Las ecuaciones de Lagrange permiten describir la dinámica de un manipulador a partir el balance de

energía expresado en términos de la energía cinética y potencial de sus eslabones. Para realizar la

formulación Lagrangiana, se cuenta con las expresiones de la cinemática directa del manipulador,

implementándose cuatro procedimientos de cálculo: A) cálculo de la energía cinética ( ))(),(( tqtq

), B)

cálculo de la energía potencial ( ))(( tqU ), C) cálculo del Lagrangiano ( ))(())(),(( tqUtqtqL

) y

D) formulación de las ecuaciones dinámicas de movimiento de Lagrange para un manipulador de n grados

de libertad (gdl); que se desarrollan para cada uno de ellos (expresión 2), y donde el miembro

),( ef fqF

se refiere a fuerzas o pares no conservativos en cada articulación.

nifqFq

qqL

q

qqL

dt

def

ii

,2,1),(),(),(

2)

4. PROCESO DE OBTENCIÓN DEL MODELO DINÁMICO DE UN ROBOT MANIPULADOR EN BASE A LA FORMULACIÓN DE LAS ECUACIONES DE LAGRANGE Por el módulo del “Modelo Dinámico Directo e Inverso” de figura 2, se implementa un proceso que permite

obtener los pares de torsión a aplicar en cada articulación del manipulador, en función de la información

proporcionada por la cinemática directa. Este proceso tiene como “insumos de entrada” los parámetros

dinámicos (masas, longitudes y momentos de inercia de eslabones) la matriz de transformación homogénea

suministrada por modelo cinemático directo (contiene posición y orientación cartesiana del extremo final del

manipulador con respecto a un sistema de referencia asociado a la base del robot; en términos de las

variables articulares del mismo). El proceso provee como “producto de salida” las fuerzas y pares de torsión

que se deben aplicar en cada articulación acorde a las trayectorias articulares que se proponen. Con base

en el escenario global de figura 3, en la figura 4 se exhibe el núcleo de aplicación del proceso el cual se

conforma de tres etapas que se desarrollan en forma interconectada. En la primera etapa se realiza la

“Formulación Lagrangiana” mediante los cuatro procedimientos citados en el epígrafe 3.3. En la segunda

etapa se obtienen los pares de torsión ))(),(),(( tqtqtq

en forma matricial (mediante la aplicación del

modelo dinámico inverso). En la tercera etapa se cuenta con las trayectorias articulares ))(),(),(( tqtqtq

que permiten calcular los pares de torsión a aplicar en las articulaciones, y que así el órgano terminal del

robot respete etas trayectorias. Los resultados obtenidos constituyen importantes referencias hacia el

módulo de control dinámico, siendo sustanciales en el diseño del sistema de control del robot.

Figura 4: Obtención de los pares de torsión en las articulaciones por el módulo Modelo Dinámico Directo e Inverso

4. CASO DE ESTUDIO En esta sección se aborda un caso de estudio (figura 5) para un robot planar de dos grados de libertad que

implementa las tres etapas del proceso; con dos articulaciones rotacionales y dos eslabones rígidos. Por

figura 4, los insumos de entrada son los parámetros dinámicos del robot y su matriz de transformación

homogénea respecto al sistema de referencia asociado a la base del robot. Sus parámetros dinámicos son:

longitudes de eslabones (l1 y l2), masas de eslabones (m1 y m2), las distancias entre los centros de masas

(CM) y los ejes de giro (lc1 y lc2) y los momentos de inercia de cada eslabón con respecto al eje que pasa por

su centro de masa (J1 e J2). La matriz de transformación homogénea es la 0T2, donde la última columna

indica las componentes (x, y) del vector posición del extremo del robot, respecto al sistema de referencia

asociado a la base S0(X0, Y0). Con los parámetros dinámicos y la matriz de transformación homogénea, se

implementa el proceso de obtención de los pares de torsión en las articulaciones.

Formulación

Lagrangiana

Matriz de Transformación

Homogénea

Cálculo de la

Energía Cinética

Cálculo de la

Energía Potencial

Cálculo del Lagrangiano

Formulación de las ecuaciones

escalares dinámicas de

movimiento de Lagrange

Parámetros

Dinámicos

Obtención de los Pares de

Torsión en forma matricial

Cálculo de los Pares de

Torsión a aplicar en las

articulaciones de acuerdo a

las Trayectorias Articulares

Trayectorias

Articulares

Propuestas

Referencias

al módulo de

Control

Dinámico

Diseño de

Sistema de

Control del

Robot

Figura 5: Robot planar de dos grados de libertad

Primera Etapa: Formulación Lagrangiana.

A) Cálculo de la Energía Cinética ( ))(),(( tqtq

): la energía cinética total del robot es la suma de la

energía almacenada en cada eslabón (KTotal = K1 + K2); para cada uno, la contribución a la energía cinética

total está dada por la porción de energía que aporta la velocidad de traslación del centro de masa, más la

aportada por la velocidad de rotación en torno al CM. De la cinemática diferencial se obtiene las

coordenadas y velocidades del CM de cada eslabón. Para el eslabón 1: x1 = lc1C11, y1 = lc1S1; luego:

111

111

1

11

qSl

qCl

y

xv

c

c , siendo el cuadrado de la velocidad del CM1: v1Tv1 =

2

1

2

1

111

111111111 ql

qSl

qClxqSlqCl c

c

ccc . La energía cinética total del eslabón 1 (K1) se calcula

sumando las contribuciones de la energía cinética de traslación (K1T) y de rotación (K1R). Y es la siguiente:

2

11

2

1

2

11

2

111111112

1

2

1

2

1

2

1),(

qJqlmqJvvmKKqqK c

T

RT 3)

Para el eslabón 2 se tiene: x2 = l1C1 + lc2 C12, y2 = l1S1 + lc2S12. Derivando respecto al tiempo, efectuando

v2Tv2, y considerando que el efecto de la energía cinética rotacional está dado por la suma de las

velocidades )(21

qq , la energía cinética total del eslabón 2 (K2) se calcula sumando las contribuciones de

la energía cinética de traslación (K2T) y de rotación (K2R). Y es la siguiente:

2

212222222 )(2

1

2

1),(

qqJvvmKKqqK T

RT

2

212221

2

1212

2

221

2

1

2

2

2

2

1

2

1

2

2

)(2

1

222

),(

qqJCqqqllm

qqqqlm

qlm

qqK

c

c

4)

1 Se abrevia cos (q1) = C1, cos (q2) = C2, cos (q1 + q2) = C12, sen (q1) = S1 & sen (q1 + q2) = S12

Para obtener la energía cinética total del

robot se sustituye 3) y 4) en KTotal = K1 + K2;

obteniéndose la expresión 5)

Desarrollando esta expresión se

obtiene la expresión 4)

2

212221

2

1212

2

221

2

1

2

22

2

1

2

12

2

11

2

1

2

11

)(2

1

2222

1

2

1),(

qqJCqqqllm

qqqqlm

qlm

qJqlmqqK

c

ccTotal

5)

B) Cálculo de la Energía Potencial ( ))(( tqU ): la energía potencial total del robot es la suma de la

energía almacenada en cada eslabón, obteniéndose 6) (UTotal = U1 + U2 = m1glc1S1 + m2g (l1S1 + lc2S12) 6).

C) Cálculo del Lagrangiano ( ))(())(),(( tqUtqtqL TotalTotal

7): se hace la diferencia entre la energía

cinética total y la energía potencial gravitatoria total. Por consiguiente, sustituyendo 5) – 6) se tiene la 7):

)()(2

1

2222

1

2

1),(

122112111

2

212221

2

1212

2

221

2

1

2

22

2

1

2

12

2

11

2

1

2

11

SlSlgmSglmqqJCqqqllm

qqqqlm

qlm

qJqlmqqL

ccc

cc

7)

D) Formulación de las ecuaciones escalares dinámicas de movimiento de Lagrange, aplicando la ecuación

2) para cada (gdl) del robot, o cada coordenada generalizada q1 y q2)2, y se obtienen las cuatro expresiones

(8, 9, 10 y 11) derivando L respecto a la posición y velocidad articular de cada coordenada generalizada:

nifqFq

qqL

q

qqL

dt

def

ii

,2,1),(),(),(

2)

2

2221221221222221221221

2

2

2

1221

2

11

1

2)(2),(

qSllmqqSllmqJlCllmqCllllmJJlm

q

qqL

dt

dccccccc

8)

212212122212222

2

22

2

)(),(

qqSllmqJlCllmqJlm

q

qqL

dt

dcccc

9)

122211211

1

),(ClmClmlmg

q

qqLcc

10)

1222212212

2

12212

2

),(ClgmqqSllmqSllm

q

qqLccc

11)

2 Por razones de espacio se omite para este análisis los fenómenos de fricción (viscosa, Coulomb y estática) de cada articulación.

Segunda Etapa: Obtención de los pares de torsión en forma matricial. Se aplica la ecuación 2) para las

coordenadas articulares 1 y 2; se obtienen los pares 1 y 2 con las ecuaciones (8), (9), (10) y (11) así:

119&108 21 . Estos pares de torsión actúan en las articulaciones 1 y 2

que en forma matricial son la expresión 12. Luego se efectúa el producto matricial en 12; y se expresa cada

par de torsión por separado, obteniéndose las expresiones 13 y 14.

1222

122112111

2

1

12212

2221222212

2

1

2

2222122

22122221

2

2

2

12

2

11

2

1

0

22

Clgm

ClClmClmg

q

q

qSllm

qSllmqSllm

q

q

lmlCllm

lCllmCllllmlm

c

cc

c

cc

ccc

ccccc

12)

122112111

2

22212

2122122221221221

2

2

2

12

2

111 22

ClClmClmgqSllm

qqSllmqlCllmqCllllmlm

ccc

cccccc

13)

1222

2

122122

2

221221222 ClmgqSllmqlmqlCllm ccccc

14)

Tercera Etapa: Cálculo de los pares de torsión en las articulaciones para las Trayectorias Articulares. Con

las trayectorias articulares ))(),(),(( tqtqtq

, se calculan los pares de torsión a aplicar en las articulaciones

para que el órgano terminal del robot realice estas trayectorias. Se plantean dos casos experimentales para

el robot de figura 5 con: m1 = m2 = 10kg, l1 = l2 = 1m, lc1 = lc2 = 0,5m, g = 10m/seg2 (sin considerar J1 y J2).

Caso 1: se adopta un lapso de tiempo que va de 0 a 200 segundos, donde la variable articular q1 se mueve

a una velocidad constante de 0,0157rad/seg y q2 permanece nulo. El brazo completo permanece estirado

durante los 200 segundos que dura el movimiento, donde solo varía q1. En la figura 6 se ve la evolución

temporal de la variable articular q1; siendo q2 nula en todo el intervalo, igual que su velocidad y aceleración,

y sus expresiones son: tseg

radtq 0157,0)(1 , seg

radtq 0157,0)(1

, 002221

qqqyq .

Sustituyendo estos valores y los de los parámetros dinámicos en las expresiones 13 y 14 se obtienen 15) y

16) para los pares de torsión a aplicar en las articulaciones 1 y 2; y en figura 7) se grafican 15) y 16).

tseg

radNm 0157,0cos2001 15)

tseg

radNm 0157,0cos502 16)

Figura 6: Evolución temporal de la variable articular q1 Figura 7: Evolución temporal de los pares de torsión τ1 y τ2

t (seg) 200

3,14

q1 (rad)

1,57

100

t (seg)

200

200

50

τ (Nm)

100

- 50

- 200

0

τ 1

τ 2

En las ecuaciones 15 y 16 se ve que los pares de torsión provistos por las articulaciones solo contrarrestan

el efecto gravitatorio de los eslabones; sin los efectos inerciales (aceleraciones articulares nulas), sin

término de Coriolis (una velocidad articular nula) y sin fuerzas centrípetas (nula la velocidad articular 2). De

figura 7; en t = 0seg es q1 = q2 = 0º (brazos horizontales en figura 8), τ1 = 200Nm y τ2 = 50Nm (par de torsión

máximo en las articulaciones). En t = 100seg es q1 = q2 = 90º (π/2) (brazos verticales en figura 9), τ1 = τ2 =

0Nm (par nulo en ambas articulaciones. Al aumentar q1 y q2, y desde los 90º hasta los 180º en t = 200seg,

ambos pares crecen en valor pero con signo contrario, porque los brazos gradúan la “caída gravitatoria”

para que el robot “baje” conforme a la trayectoria propuesta. Es decir, en t = 200seg es q1 = q2 = 180º (π)

(brazos horizontales en figura 10), τ1 = -200Nm y τ2 = -50Nm (par máximo en ambas articulaciones).

De figura 7, el par τ2 (que requiere la articulación 2) es siempre menor que el par τ1 que requiere la

articulación 1; dado que esta, debe contener el doble de masa a mayor longitud. También existe un par de τ2

no nulo en la articulación 2, para que el eslabón 2 no caiga y no esté siempre en posición casi vertical.

Caso 2: se adopta un lapso de tiempo que va de 0 a 200 segundos, donde la variable articular q2 se mueve

a una velocidad constante de 0,0157rad/seg y q1 permanece nulo. El eslabón 1 permanece estirado en los

200 segundos que dura el movimiento, donde solo varía q2. En figura 11 se ve la evolución temporal de la

variable q2; siendo q1 nula en todo el intervalo, al igual que su velocidad y aceleración, y sus expresiones

son: tseg

radtq 0157,0)(2 , seg

radtq 0157,0)(2

, 001112

qqqyq . Sustituyendo en 13 y

14, se obtienen 17) y 18) para los pares de las articulaciones 1 y 2 (gráficas en figura 12). Se desprecia la

fuerza centrípeta de m2 (coeficiente 0,00123 en 17) como contribución al par τ1 sobre la articulación 1.

1 150 50 cos 0,0157 0,00123 0,0157N rad radNm t Nm sen tm seg seg

17)

tseg

radm

N 0157,0cos502 18)

Figura 11: Evolución temporal de la variable articular q2 Figura 12: Evolución temporal de pares de torsión τ1 y τ2

t (seg) 200 100

3,14

q2 (rad)

1,57

t (seg)

200

200

150

100

50

τ (Nm)

100

- 50

0

τ 1

τ 2

l2 l1 l2

l1

l2

Figura 8: Posición t = 0seg (q1 = q2 = 0º, τ1 = 200Nm y τ2 = 50Nm)

Figura 9: Posición t = 100seg (q1 = q2 = 90º, τ1 = 0Nm y τ2 = 0Nm)

Figura 10: Posición t = 100sg (q1 = q2 = 90º, τ1 = 0Nm y τ2 = 0Nm)

Como q1 = 0, el término independiente de 150Nm en 17 para τ1 hace que este no se anule; diferencia

importante con el caso 1. En t = 0seg es q1 = q2 = 0º (brazos horizontales en figura 13), τ1 = 200Nm y τ2 =

50Nm (par de torsión máximo en las articulaciones). En t = 100seg es q1 = 0º y q2 = 90º (π/2) (figura 14);

aquí τ1 = 150Nm y τ2 = 0Nm. La articulación 1 requiere un par de 100Nm ejercido por el peso del eslabón 2

en posición vertical (se redujo en 50Nm con respecto al caso 1 porque se acortó el brazo de palanca en

0,5m con respecto a cuándo éste está estirado), más el otro par de 50Nm proveniente del peso del eslabón

1. Si el eslabón 2 continúa girando y la variable articular supera los 90º hasta llegar a los 180º en t =

200seg, con el eslabón 1 en posición horizontal, es q1 = 0º, q2 = 180º (π) (el brazo 2 doblado sobre el 1 en

forma horizontal, figura 15), τ1 = 100Nm (valor mínimo que adopta el par τ1 sobre la articulación 1) y τ2 = -

50Nm. Desde un enfoque físico, el valor del par τ1 se compone de 50 Nm que aporta el peso del eslabón 1

(que siempre transmite par de torsión a la articulación 1 porque permanece en posición horizontal los 200

segundos), más los otros 50 Nm que aporta el eslabón 2 (también en posición horizontal para este instante

de 200 segundos). En la ecuación 17 se llega a este resultado porque el factor cos(0,0157 rad/seg ‧ t) es -1

para t = 200 segundos. Para el par de torsión d la articulación 2, se llega al valor de τ2 = -50Nm, dado que al

invertirse la posición del eslabón 2 (como se ve en figura 15), el par de torsión mantiene su valor pero ahora

la articulación 2 reacciona con un par en sentido contrario (antihorario) al caso 1 donde q2 = 0.

6. CONCLUSIONES Y DISCUSIÓN DE RESULTADOS Se implementa un proceso de obtención del modelo dinámico de un robot manipulador en base a la

formulación Lagrangiana y conformado de tres etapas que se desarrollan en forma interconectada; el cual

se nutre con la matriz de transformación homogénea y los parámetros dinámicos del robot, y da como salida

las fuerzas y pares de torsión a aplicar en cada articulación, de acuerdo a ciertas trayectorias articulares.

Por su parte, los casos de estudio permiten discutir los resultados obtenidos por medio de las ecuaciones de

Lagrange 13 y 14, y así analizar los fenómenos físicos presentes en la estructura mecánica del robot en

estudio: “Efectos Inerciales” – “Fuerzas Centrípetas y de Coriolis” y “Par Gravitacional”. La contribución del

efecto inercial al par τ1 vinculada a 1

q , está dada por los momentos de inercia de las masas m1 y m2

respecto a la articulación 1: (m1 lc12 y m2 (l1

2 + lc2

2 + 2 l1 lc2 C2)); donde (m1 lc1

2) es el momento de inercia de

m1 respecto a la articulación 1 (A1), y m2 (l12 + lc2

2 + 2 l1 lc2 C2) se refiere al momento de inercia de m2

respecto a A1, donde el paréntesis refleja el cuadrado de la distancia (D2) desde el CM2 a A1, aplicando el

teorema del coseno (figura 16). La contribución del efecto inercial vinculada a 2

q es: m2 lc2 (l1C2 + lc2) 2

q ,

donde m2 lc2 2

q es como una fuerza tangencial (Ft2) aplicada en el CM2 por el efecto de 2

q . El paréntesis

l1

l2

l1 l1

l2 l1 l2

Figura 13: Posición t = 0seg (q1 = q2 = 0º, τ1 = 200Nm y τ2 = 50Nm)

Figura 14: Posición t = 100seg (q1 = 0º, q2 = 90º, τ1 = 150Nm y τ2 = 0Nm)

Figura 15: Posición t = 200seg (q1 = 0º, q2 = 180º, τ1 = 100Nm y τ2 = -50Nm)

(l1C2 + lc2) es la distancia perpendicular desde el CM2 hasta A1. El producto de Ft por esta distancia es la

contribución al par de torsión τ1 sobre A1 por efecto de 2

q (figura 17). Los factores (m1 lc12 y m2(l1

2 + lc2

2 + 2

l1 lc2 C2)) y m2 lc2(l1C2 + lc2) varían en el tiempo a causa de la variable articular q2. Al crecer q2, decrecen

estos factores y baja la contribución del efecto inercial sobre τ1 (necesitando menos par de torsión).

También disminuye la distancia D2, y así, el momento de inercia de la masa m2 respecto a A1. El efecto de

Coriolis contribuye solo al par τ1 y se origina por el movimiento relativo existente entre los eslabones 1 y 2,

dado por: – (2m2 l1 lc2 S2) 1

q2

q . La fuerza Coriolis en mecánica analítica es (Fcor = m2acor), donde la

aceleración de Coriolis es: relCor vqa

12 . Es un producto vectorial entre estos dos vectores

perpendiculares, donde 1

q sale perpendicular al plano y relv es la velocidad relativa vista desde un sistema

de referencia asociado a la articulación 2 (A2) por efecto de 2

q , aplicada en el CM2, perpendicular al

eslabón 2 y en el plano del robot. Su valor es: 22 crel lqv

y la Fcor está sobre el eslabón 2 hacia A2 y es:

22122 cCor lqqmF

. Su contribución a τ1 es: 2122122 Sllqqm cCor

. El factor l1S2 es el brazo de

palanca respecto a A1, y el signo (–) indica que el par con que contribuye el efecto de Coriolis al par τ1 es

antihorario y tiende a equilibrar las contribuciones inerciales (figura 18).

Las futuras líneas de investigación son: I) probar el modelo analítico obtenido en banco experimental donde

los eslabones, actuadores y sistemas de trasmisión se construyen en el laboratorio de nuestra facultad. II)

diseño y evaluación del sistema de control dinámico del robot introduciendo pares de torsión; de manera tal

que el algoritmo de control lleve asintóticamente a cero el vector de error de posicionamiento (qerror = qdeseada

- qactual). III) probar otras trayectorias articulares más complejas y analizar los efectos de acoplamiento de los

ejes de las articulaciones. IV) determinación de los valores de parámetros dinámicos del robot (momentos

de inercia, centros de masa y coeficientes de fricción), mediante técnicas de identificación paramétrica, tales

como modelos de regresión. V) introducción de fricciones viscosas en las articulaciones, y medir la

respuesta del sistema en condiciones similares a los casos experimentales estudiados.

CM2

lc2

A1

l1

q2

l1 cos(q2)

q2

Ft

Figura 16: Posición de eslabones el momento de inercia de m2 respecto

a A1 (D2 = l1

2 + lc2

2 + 2 l1 lc2 C2)

Figura 17: Contribución de 2

q al par τ1

por el momento de la Ft respecto a A1

Figura 18: Contribución del efecto de Coriolis al par de torsión τ1 dado por el momento de la FCor respecto a A1

D2

lc2 A1

CM2

l1

q2

Referencias

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[10] Sciavicco, L. & Siciliano, B., “Modelling and control of robot manipulators”. Ed. Springer, 2005.