anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 23 ante

Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 23

ante el movimiento de la cuña, se debe encontrar la dirección del movimiento del bloque. La dirección del movimiento se obtiene a través de operaciones vectoriales que representan la cinemática del bloque, considerando los planos y las intersecciones respecto al eje gravitacional (vertical). La explicación del vector del movimiento se encuentra más adelante en el capítulo de Diseño de Anclajes.

Respecto a la dirección del movimiento los tipos de falla de la barra o cable de anclaje pueden ser [5]: Desprendimiento o “Pullout”, falla por tracción, falla de cabezal o “Stripping” y falla por corte. La Figura 1-8, presenta los tipos de fallas de la barra o cable de anclaje respecto a la dirección del movimiento.

Figura 1-8. Mecanismo de falla de la barra o cable de anclaje según la cuña de roca

En la Figura 1-8 se observa la incidencia del bloque inestable en la falla del elemento de anclaje. Según la ubicación del anclaje respecto al movimiento de la cuña, se puede presentar uno o más mecanismos de falla en la barra o cable de anclaje. La Figura 1-9, identifica dos planos que delimitan el bloque inestable, uno sobre el cual se realiza el movimiento (plano deslizante) y otro en el cual se genera la separación (plano de tracción).

R

Sección de Excavación

Falla por Corte

Falla por Tracción

Desprendimiento

Falla de Cabezal

Bloque Movilizado

Bloque Inicial

24 Anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles

Figura 1-9. Mecanismo de falla de la barra o cable de anclaje según su ubicación.

Fuente: Adaptado de Windsor, 1996 [6].

En la Figura 1-9 se observan seis mecanismos de falla posibles para una posible dirección de movimiento del bloque inestable. En los casos (a), (b) y (c) el anclaje se ubica sobre el plano de tracción, y se presenta un anclaje sometido principalmente a esfuerzos de tracción, donde adicionalmente para los casos (a) y (c) se esperaría un componente de corte. En los casos (d), (e) y (f) el anclaje atraviesa el plano de corte, lo que representa un anclaje sometido principalmente a esfuerzos de corte, donde adicionalmente en el plano (d) se espera un componente de tracción y en el plano (f) un componente de compresión.

La forma en que se evalúa la resistencia del anclaje ante uno u otro mecanismo de falla, se hace mediante la utilización de factores de eficiencia. En el caso de cables la resistencia al corte y a la compresión es muy baja, lo cual le atribuye un coeficiente de eficiencia cercano a cero cuando el anclaje se ubica en los sectores señalados para los casos (d), (e) y (f), y cercano a uno en los casos restantes donde actúa principalmente la resistencia a la tracción. Para el caso donde se considera una barra compuesta por fibra de vidrio, es similar a lo comentado para los cables, a diferencia que la fibra de vidrio presentaría una resistencia mayor ante la compresión en el caso (f).

La barra metálica de acero presenta mayor eficiencia al corte respecto a los cables y barra de fibra de vidrio, lo cual le representa un mayor coeficiente de eficiencia en los casos (d), (e) y (f). El coeficiente de eficiencia se debe adoptar en función de la

Discontinuidad de tracción

Discontinuidad de corte

Dirección del vector de

movimiento

a: Tracción + Corte b: Tracción pura c: Tracción + Corte d: Corte + Tracción e: Corte puro f: Corte + Compresión


inclinación del anclaje respecto a la dirección del movimiento, donde se destaca que la mayor resistencia al corte respecto a un plano de falla se logra con pernos inclinados entre 15 y 30 grados [1], o a un ángulo igual a la resistencia friccional de la discontinuidad “Ø” en la dirección del movimiento [5].

Otro factor que se debe revisar para determinar la eficiencia del perno además de su inclinación respecto al movimiento, es la ubicación del anclaje respecto al centroide de la cuña inestable, donde es usual que se desprecie la incidencia de momentos.

La resistencia a la tracción ha sido ampliamente investigada por diversos autores, entre los que se encuentran algunos ensayos desarrollados por Stillborg (1994) en Luleå University en Suecia [3]. La Figura 1-10, presenta los resultados obtenidos por Stillborg en distintos tipos de anclajes ante esfuerzos de tracción. En la Figura 1-10 la fuerza de tracción en toneladas se ubica en la ordenada y la deformación en milímetros medida en el cabezal de la barra de anclaje se encuentra en la abscisa.

Figura 1-10. Resultados obtenidos por Stillborg para diversos anclajes.

Fuente: Adaptado de Hoek [1].

En la Figura 1-10, se observa una mayor resistencia en el anclaje conformado por la fibra de vidrio, pero con una mayor deformación. Esto sucede porque los elementos de fibra de vidrio presentan una mayor resistencia a la tracción, pero con menor módulo de

Anclaje mediante resina y fibra de vidrio Ø 22 mm

Anclaje mediante lechada y barra de acero Ø 20 mm

Anclaje mediante resina y barra de acero Ø 20 mm

Anclaje tipo Swellex

Anclaje mecánico Ø 17,3 mm

a 150 mm

a 150 mm

Anclaje tipo Split Set SS39

Deformación (mm)

Car

ga

(to

nel

adas

)


deformación respecto al elemento de acero. Se observa una resistencia similar en el sistema de anclaje mediante lechada respecto al sistema mediante resina, logrando una mayor deformación “creep” el sistema compuesto por lechada. En la figura también se identifica el anclaje de expansión mecánica como el de menor resistencia a bajas deformaciones. El anclaje tipo “Swellex” se observa con mayor resistencia respecto al anclaje de tipo “Split Set”.

En el diseño de sostenimiento mediante anclajes no sólo importa la resistencia de rotura o fluencia, también importa la deformación requerida para conseguir la carga de diseño. Al comparar los resultados obtenidos con fibra de vidrio y el elemento metálico, se observa que para una carga de 10 t el elemento metálico se deformó un poco menos que un milímetro mientras la fibra de vidrio se deformó un poco más de cinco milímetros, lo que corresponde a una deformación aproximadamente cinco veces mayor de la fibra de vidrio respecto a la barra metálica. Bajas deformaciones en rocas rígidas pueden generar la plastificación de la roca, donde la consideración de un sistema de anclajes altamente deformable puede que no evite un mecanismo de falla diferente a las cuñas de roca. La fibra de vidrio presenta gran utilidad en el sostenimiento del frente de excavación, donde se requiere de un material temporal de baja resistencia al corte para poder continuar con el avance de la excavación. Por lo anterior, para evitar una deformación inadecuada del macizo rocoso un sistema de anclaje como lo es cuando se considera fibra de vidrio, debe ser activo para lograr la carga especificada en el diseño.

Las deformaciones de los sistemas también pueden surgir como consecuencia de la deformación de la placa, arandela y tuerca, que conforman el cabezal del sistema de anclaje. La Figura 1-11, presenta de forma general la curva esfuerzo deformación que toman los sistemas de anclaje ante la aplicación de cargas de tracción realizados por Stillborg.

De acuerdo a la Figura 1-11 y según lo establecido por Stillborg, el pre-tensionamiento del sistema de anclaje requerido para evitar deformaciones excesivas se debe realizar hasta el punto “P”. El pre-tensionamiento se ve casi que obligatorio para los sistemas de anclaje mecánico, según se observa en la figura Figura 1-10.

En la práctica, para la verificación de la capacidad de carga de los sistemas de anclaje se deben realizar ensayos in-situ de “pull-Out” o desprendimiento. Usualmente durante construcción se ensayan 5 anclajes por cada 50 instalados, 8 horas después de la instalación para los anclajes pasivos, y una hora luego de su instalación para anclajes activos. La carga lograda durante el ensayo corresponde al 90% de la carga especificada en el diseño.


Figura 1-11. Curva general de fuerza deformación, obtenida por Stillborg para anclajes mecánicos.

Fuente: Adaptado de Stillborg (1994) [4].

Se debe mencionar que los sistemas de anclaje mediante cables logran mayores longitudes, aunque en la actualidad son varios los fabricantes que presentan grandes longitudes mediante traslapos de barras metálicas eficientes. La longitud mínima de los anclajes en túneles según el Cuerpo de Ingenieros de los Estados Unidos es de 2 m.

Respecto al análisis de cuñas, al considerar una distribución de anclajes se deben obtener las longitudes que atraviesan la cuña inestable y las longitudes que atraviesan las cuñas, para poder definir de forma acertada el sostenimiento inducido por un patrón o sistema de sostenimiento. Por otra parte, cuando el anclaje no atraviesa el centroide de la cuña inestable, se debe considerar la incidencia de los momentos, los cuales podrían reducir el factor de seguridad. El diseño del perno además de su longitud y resistencia, debe considerar su localización y dirección, analizando el escenario del movimiento posible de la cuña dadas unas cargas externas.

1.3.3 Falla del contacto roca – lechada

La falla en el contacto roca – lechada sucede cuando se vence la resistencia friccional en la pared de la perforación, donde se presenta el contacto entre el material de relleno y la roca. La Figura 1-12, identifica la zona donde actúa la resistencia friccional en el contacto roca-lechada durante un proceso de pre-tensionamiento.

Deformación (mm)

Car

ga

(kN

) P


Figura 1-12. Esquema de resistencia friccional en el contacto roca – lechada durante el proceso de pre-tensionamiento.

El pre-tensionamiento del anclaje se realiza mediante la aplicación de la carga “F”, generando la resistencia cortante “T”. La carga “F” actúa como una acción y la carga “T” como una reacción.

La resistencia “T” en el contacto de la lechada con la pared de la perforación se debe al confinamiento que ejerce el relleno y a la adherencia del material de relleno con la roca. Debido a que la resistencia friccional se desarrolla en el perímetro de la perforación, la magnitud de la fuerza de fricción resistente depende del diámetro de la perforación y de la longitud de empotramiento.

El esfuerzo de fricción en el contacto lechada – roca se encuentra en función de la capacidad de la roca perforada para resistir la transferencia de esfuerzos, lo que corresponde a una propiedad intrínseca del macizo. El esfuerzo de fricción en el contacto roca – lechada en macizos rocosos más fracturados o de baja calidad geotécnica presentan un menor valor respecto a macizos menos fracturados y de mejores propiedades mecánicas. En macizos rocosos fracturados la re-inyección de lechada es una técnica usada para incrementar el confinamiento del material de relleno.

En el caso particular de cuñas de roca, la longitud del empotramiento se encuentra en función de la superficie de falla o discontinuidad que atraviesa el sistema de anclaje. La Figura 1-13, presenta la resistencia friccional en el contacto roca – lechada cuando se presenta un mecanismo de falla en cuña.

La Figura 1-13, presenta claramente la incidencia de la geometría de la cuña de roca en la resistencia del sistema de anclaje, donde se aprecia la importancia de la longitud del anclaje.

Por lo general, en taludes los anclajes se diseñan para que la resistencia friccional en el contacto roca – lechada sea mayor a la resistencia a la tracción de la barra, lo que en túneles representa sistemas ineficientes de gran longitud. Esto se analiza en mayor profundidad más adelante en el capítulo de Diseño de Anclajes.

Lechada

T

Barra

F

Longitud de empotramiento


Figura 1-13. Esquema de resistencia friccional en el contacto roca – lechada durante el mecanismo de falla en cuña.

1.3.4 Falla del contacto barra – lechada

Al igual que en el contacto roca – lechada, en el contacto barra – lechada se presenta una resistencia friccional que impide que el anclaje se desprenda del relleno. La Figura 1-14, presenta el esquema de la resistencia friccional en el contacto barra – lechada durante el proceso de pre-tensionamiento.

Figura 1-14. Esquema de resistencia friccional en el contacto barra – lechada durante el proceso de pre-tensionamiento.

El esfuerzo de resistencia en el contacto barra – lechada es denominado por varios autores como el esfuerzo de adherencia “A”. Para aumentar el esfuerzo de adherencia del sistema de anclaje se deben usar barras corrugadas que aumenten la fricción en el contacto con la lechada.

Investigaciones realizadas sobre esfuerzos de adherencia de los sistemas de anclaje han demostrado que el valor obtenido supera la resistencia friccional en el contacto lechada – roca [2]. Considerando que el sistema de anclaje se diseña para que falle la barra o cable antes que el contacto roca – lechada, se asume que la falla en el contacto barra – lechada no sucede cuando se realiza un correcto diseño del sistema.

Lechada

T

Barra

F


Cuña de roca

Lechada

A

Barra

F

Longitud de adherencia


2 Bloques de Roca Inestables

En el capítulo anterior se presenta la importancia del bloque inestable en la definición de la resistencia del sistema de anclaje. En este capítulo se presenta la metodología utilizada para definir la ubicación, la forma, el volumen, las áreas, los perímetros y los vectores unitarios internos y externos del bloque de roca inestable, siendo lo fundamental debido a la incidencia que tienen en el diseño de un sistema de anclajes ante el mecanismo de falla en cuña. La ubicación y la forma del bloque inestable permiten calcular la longitud y la dirección del sistema de anclaje que lo atraviesa. El tamaño del bloque representado por su volumen, los perímetros y las áreas, permiten estimar las acciones y reacciones del posible movimiento. La ubicación y los vectores unitarios internos o externos a las áreas del bloque, definen la dirección del posible movimiento.

Los bloques de roca se componen de material rocoso delimitados por discontinuidades, y son inestables cuando presentan una posibilidad cinemática de ingresar a la sección de excavación de la obra subterránea. Las discontinuidades definen el contacto entre el bloque de roca y la roca circundante, siendo la superficie de falla del mecanismo en cuña.

Para determinar el bloque de roca potencialmente inestable se utilizan las expresiones matemáticas que definen las orientaciones de las discontinuidades y de las intersecciones entre discontinuidades. La teoría considerada para obtener la geometría del bloque de roca se basa en las expresiones matemáticas que definen la orientación de las líneas de intersección entre las discontinuidades, y para obtener las expresiones matemáticas de la línea de intersección se utilizan los vectores normales a los planos de discontinuidad. La Figura 2-1, presenta el vector de intersección conformado entre dos planos de discontinuidad.

Figura 2-1. Vector de intersección entre dos planos de discontinuidad.

Plano de discontinuidad 1

Plano de discontinuidad 2 Vector de Intersección


Como se observa en la Figura 2-1, la línea de intersección se puede entender como un vector unitario, donde se requiere conocer su sentido y dirección. Matemáticamente los planos de discontinuidad y las líneas de intersección se definen mediante vectores unitarios, siendo en el caso de un plano de discontinuidad el vector normal. El sentido de los vectores se considera hacia el hemisferio inferior y la orientación se define mediante los cosenos directores unitarios.

La

Figura 2-2, presenta como se define una línea recta al proyectar el vector de intersección e un plano, y al establecer un punto de origen o de referencia, por donde pasa la recta.

Figura 2-2. Proyección de un vector en un plano, al definir un punto de origen o de referencia.

En este capítulo se demostrará como el análisis de las intersecciones proyectadas permitirán identificar los bloques de roca inestables, de volumen máximo, al proyectar los vectores de intersección en un plano perpendicular al eje de un túnel.

Inicialmente se definen las expresiones matemáticas de los vectores que definen los planos de discontinuidad y líneas de intersección, seguido de la descripción de la metodología propuesta para la obtención de las características fundamentales de los bloques de roca inestables. Finalmente se realiza una comparación con los resultados obtenidos en un programa de cómputo desarrollado por Rocscience ®.

2.1 Vectores unitarios de las discontinuidades y líneas de intersección

Los elementos que permiten orientar los planos de discontinuidad para su fácil interpretación y posterior análisis, son: Rumbo y Buzamiento. Los elementos considerados para orientar las intersecciones entre planos de discontinuidad son: Buzamiento y Azimut de Buzamiento. Para unificar la forma de presentar la orientación del vector unitario de las discontinuidades y líneas de intersección, se utiliza el azimut de buzamiento.

Vector de intersección en el espacio

y

x

Recta de intersección proyectada

Plano de Proyección x y

Punto de origen o de referencia


Para orientar los planos de discontinuidad y líneas de intersección se adopta el sistema coordenado “x” (�)̂ positivo al Norte, “y” (�̂) positivo al Este y “z” (��) positivo hacia el hemisferio inferior, garantizando que se cumple la regla de “la mano derecha”.

La interpretación visual que ofrece la representación estereográfica “equiángulo”, facilita el análisis trigonométrico requerido para obtener los cosenos directores de los vectores rumbo y buzamiento de las discontinuidades e intersecciones. El análisis trigonométrico de la representación estereográfica permite obtener los cosenos directores.

Los vectores de rumbo y la proyección del buzamiento en un plano definido por el azimut de buzamiento, son requeridos para la demostración matemática del vector de buzamiento. La Figura 2-3, presenta la orientación de los vectores Rumbo, Buzamiento y Azimut de Buzamiento en el hemisferio inferior de la representación estereográfica.

Figura 2-3. Vector de rumbo, buzamiento y azimut de buzamiento, en hemisferio inferior de la representación estereográfica.

En la Figura 2-3 se observa el sistema coordenado N-S y E-W en el plano de proyección de la red estereográfica, sobre el cual se encuentra el vector del Rumbo de la discontinuidad. En esta figura se observa el ángulo del azimut de buzamiento " ∝ " entre el Norte y el vector del azimut de buzamiento.

A continuación se presenta el procedimiento matemático que demuestra las expresiones de los cosenos directores para los vectores unitarios de rumbo y buzamiento.

2.1.1 Vector Unitario del Rumbo

Como se observa en la Figura 2-3, si el vector unitario Rumbo se adopta a 90° del azimut de buzamiento y no registra componente en el coseno director del eje z, positivo


hacia el hemisferio inferior, significa que el vector unitario Rumbo se encuentra en función sólo del ángulo " ∝ ". El azimut de buzamiento (∝) se encuentra entre 0°y 360°.

La Figura 2-4, presenta la ubicación del vector rumbo en cada uno de los cuadrantes, en función del azimut de buzamiento, sobre el plano de proyección estereográfica.

Figura 2-4. Representación del vector rumbo, en los cuadrantes de la red estereográfica.

En la Figura 2-4, se identifica el ángulo que se forma entre la línea Este – Oeste (E – W) y el vector unitario del Rumbo. Este ángulo es de 360��∝ en el primer cuadrante, es ∝ en el segundo cuadrante, es 180��∝ para el tercer cuadrante y de ∝ �180� para el cuarto cuadrante. Estos ángulos cumplen las siguientes identidades trigonométricas en la función seno y coseno respectivamente:

sen�360��∝� � �sen�∝� � �sen�180��∝�⋯ � sen�∝ �180�� cos�360��∝� � cos�∝� � �cos�180��∝�⋯ � cos�∝ �180��

Las anteriores relaciones trigonométricas permiten que para cualquier valor de " ∝ " la función �sen�α� representa el coseno director en x del vector unitario del rumbo, y la función cos�α� representa el coseno director en y. De esta forma, el vector unitario del Rumbo en la discontinudiad “�”, en función del azimut de buzamiento (∝), que cumple para todos los cuadrantes es:


�� !�"�#̂ $ %&��"�'̂ $ ()* (2-1)

El vector de la expresión anterior se define como unitario por presentar una magnitud igual a 1, lo cual se comprueba con la siguiente expresión:

|r-��| � ./�sen�α�01 $ /cos�α�012 � 1

2.1.2 Vector Unitario del Buzamiento

La Figura 2-5, presenta el ángulo de Buzamiento "β" en el corte generado por el vector del Azimut de Buzamiento. En esta figura, el vector de Buzamiento se encuentra en verdadera magnitud, dirigiéndose hacia el Este.

Figura 2-5. Vector de Buzamiento en verdadera magnitud, sobre el plano del Azimut de Buzamiento.

Para considerar que se trata de un vector unitario, se asume que la magnitud del vector es igual a uno. Según la Figura 2-5, el vector que representa la inclinación presenta las siguientes componentes:

ı̂ � 0; ȷ̂ � cos�β�; k� � sen�β� La expresión anterior indica que el vector unitario del buzamiento proyectado sobre el plano N-S y E-W presenta una magnitud igual a 89:�;�. La Figura 2-6, presenta la ubicación del vector unitario del Azimut de Buzamiento en cada uno de los cuadrantes del plano de proyección de la red estereográfica. En esta figura se observa la magnitud proyectada del vector unitario de buzamiento, y el ángulo que forma el vector de azimut de buzamiento con la línea E-W.


Figura 2-6. Representación del vector unitario del Azimut de Buzamiento, en los cuadrantes de la red estereográfica.

Ejecutando el mismo procedimiento realizado con el vector unitario del Rumbo, se obtiene que las componentes del vector unitario del Buzamiento son las siguientes:

ı̂ � sen�90º�∝� = cos�β� � >sen�90º� = cos�∝� � cos�90º� = sen�∝�? = cos�β� ı̂ � cos�∝� = cos�β� ȷ̂ � cos�90º�∝� = cos�β� � >cos�90º� = cos�∝� $ sen�90º� = sen�∝�? = cos�β� ȷ̂ � sen�∝� = cos�β� k� � sen�β�

De acuerdo a las expresiones anteriores, el vector unitario del Buzamiento es:

@A�� %&��∝� = %&��B�C* $ � !�∝� = %&��B�D* $ � !�B�)� (2-2)

Las siguientes ecuaciones comprueban que se trata de un vector unitario:


Eb��E � G>cos�∝� = cos�β�?1 $ >sen�∝� = cos�β�?1 $ >sen�β�?12

Eb��E � Gcos1�β� = >cos1�∝� $ sen1�∝�? $ sen1�β�2

Eb��E � 1

2.1.3 Vector Unitario de Intersección

El vector Unitario de la Intersección entre dos planos de discontinuidad es igual al producto cruz entre los vectores normales a los planos de discontinuidad dividido entre su magnitud, de acuerdo a la siguiente expresión:

�HI@�� !H��×!@��|!H��×!@��| (2-3)

Donde, !H��: es el vector unitario normal al plano “H”, y !@��: es el vector unitario normal al plano “b”. El vector unitario normal al plano “a”, es igual al producto cruz entre los vectores unitarios de Buzamiento y Rumbo, dividido en su magnitud de acuerdo a la siguiente expresión:

!H�� @H��×�H��K@H��×�H��K (2-4)

El orden del producto cruz @H�� × �H�� de la ecuación anterior, garantiza un vector normal hacia el hemisferio inferior, es decir, en dirección “z” positiva hacia abajo. Utilizando la ecuación (3-4), se resuelve la determinante la siguiente matriz de 3x3, para obtener el vector normal a la discontinuidad “H”:

nL�� Det. P ı̂ ȷ̂ k�cos�α� = cos�β� sen�α� = cos�β� sen�β��sen�α� cos�α� 0 P nL�� ı̂ = >�cos�α� = sen�β�?…

�ȷ̂ = >sen�α� = sen�β�? …

$k� = >sen�α� = sen�α� = cos�β� $ cos�α� = cos�β� = cos�α�? nL�� cos�α� = sen�β�ı̂ � sen�α� = sen�β�ȷ̂ $ cos�β� = >sen�α�1 $ cos�α�1?k�

Finalmente se obtiene el vector normal unitario al plano “H” con la siguiente expresión:

!H�� %&��"� = � !�B�C*� � !�"� = � !�B�D*$ %&��B�)R (2-5)


Al igual que los anteriores vectores unitarios, se comprueba que la expresión (3-5) corresponde a un vector unitario.

De acuerdo a la ecuación (3-3), se debe resolver el producto cruz entre los dos vectores unitarios normales a los planos "a" y "b". El producto cruz entre estos dos vectores unitarios se obtiene de resolver el siguiente determinante:

nL�� ×nT�� Det. P ı̂ ȷ̂ k��cos�αL� = sen�βL� �sen�αL� = sen�βL� cos�βL��cos�αT� = sen�βT� �sen�αT� = sen�βT� cos�βT�P Resolviendo el determinante de la expresión anterior, se tiene el siguiente resultado:

nL�� × nT�� ı>̂�sen�αL� = sen�βL� = cos�βT� $ sen�αT� = sen�βT� = cos�βL�? � ⋯

ȷ̂>�cos�αL� = sen�βL� = cos�βT� $ cos�αT� = sen�βT� = cos�βL�? $ ⋯

k�>cos�αL� = sen�βL� = sen�αT� = sen�βT� � cos�αT� = sen�βT� = sen�αL� = sen�βL�? La anterior expresión se puede reducir de la siguiente forma:

nL�� × nT�� ı̂ = Dx $ ȷ̂ = Dy $ k� = Dz Dónde:

Dx � �sen�αL� = sen�βL� = cos�βT� $ sen�αL� = sen�βT� = cos�βL� XY � � !�"@� = � !�B@� = %&��BH� � � !�"H� = � !�BH� = %&��B@� (2-6)

Dy � �>�cos�αL� = sen�βL� = cos�βT� $ cos�αT� = sen�βT� = cos�βL�? XZ � %&��"H� = � !�BH� = %&��B@� � %&��"@� = � !�B@� = %&��BH� (2-7)

Dz � cos�αL� = sen�βL� = sen�αT� = sen�βT� � cos�αT� = sen�βT� = sen�αL� = sen�βL� Dz � sen�βT� = sen�βL� = >cos�αL� = sen�αT� � cos�αT� = sen�αL�? X[ � � !�B@� = � !�BH� = >� !�"@ � "H�? (2-8)

La magnitud del producto cruz entre vectores unitarios es la siguiente:

|!H�� × !@��| � G�XY�\ $ �XZ�\ $ �X[�\\ (2-9)


Finalmente, la expresión que representa el vector unitario de Intersección es el siguiente:

�HI@�� XYC]̂XZD]̂X[)̂G�XY�\]�XZ�\]�X[�\\ (2-10)

Para obtener el buzamiento de esta línea de intersección, se igualan las ecuaciones (3-2) y (3-10), en su componente vertical "��":

:en/β_�LIT�0 � DzG�Dx�2 $ �Dy�2 $ �Dz�22

Ba�HI@� � � !Ib c X[G�XY�\]�XZ�\]�X[�\\ d (2-11)

Para obtener el azimut de buzamiento, se Igualan las ecuaciones (3-2) y (3-10), en sus componentes Norte y Este "�"̂,"�̂".

cos/α_�LIT�0 = cos/β_�LIT�0 � DxG�Dx�1 $ �Dy�1 $ �Dz�12

"a�HI@� � %&�Ib e b%&�/Ba�Hf@�0 = XY.�XY�\]�XZ�\]�X[�\\ g (2-12)

sen/α_�LIT�0 = cos/β_�LIT�0 � DyG�Dx�1 $ �Dy�1 $ �Dz�12

"a�HI@� � � !Ib c b%&�/Ba�Hf@�0 = XZG�XY�\]�XZ�\]�X[�\\ d (2-13)

Es importante el orden en que se realiza el producto cruz entre los vectores unitarios normales a los planos de discontinuidad, según la ecuación (3-3), entre los planos denominados como “h" y “i". La forma de identificar que no se trata del orden correcto es porque un mal ordenamiento resulta en un valor del Buzamiento “β_�LIT�" negativo, al

utilizar la expresión (3-11). Un Buzamiento negativo de la línea de intersección representa que el vector no se dirige hacia el hemisferio inferior de proyección.

Luego de identificar el orden correcto de los planos “h" y “i", se obtiene el azimut de buzamiento de la intersección ""a�HI@�" mediante la expresión (3-12) y se realizan las

siguientes revisiones: si el componente “jk” de la expresión (3-7) es positivo se utiliza el ángulo encontrado directamente de la expresión (3-12), de lo contrario el azimut es 360° menos el dato obtenido de la expresión (3-12).


2.2 Geometría del Máximo Tamaño del Bloque Inestable

2.2.1 Definición de Bloque Inestable y Bloque Crítico

El Bloque Inestable en una excavación subterránea consiste en una pirámide de roca delimitada por los planos de discontinuidad con posibilidad cinemática de ingresar a la sección de excavación, y es un Bloque Crítico cuando presenta el máximo tamaño que puede tomar. El Bloque Crítico considera el máximo volumen de material rocoso delimitado por discontinuidades capaz de ingresar al túnel, y por cada sección de excavación existen varios Bloques Críticos. La Pirámide de Roca se refiere a la forma que toma el bloque inestable, delimitado por la interacción de las discontinuidades presentes en un macizo rocoso.

El tamaño del Bloque Crítico depende; del tamaño y la forma de la sección de excavación del túnel, de la orientación y pendiente del alineamiento del túnel, y del vector unitario de la Intersección entre planos de discontinuidad o del vector unitario del Azimut de Buzamiento de las discontinuidades consideradas.

Una Pirámide de roca se forma si en el macizo rocoso se presentan al menos tres familias de discontinuidades, para que se generen tres líneas de intersección. Para que el Bloque Inestable sea un Bloque Crítico al menos dos de las tres intersecciones entre planos de discontinuidad deben ser tangentes a la sección de excavación. El Bloque Crítico se obtiene al considerar tres sistemas de discontinuidades, debido a que si se incluye un cuarto sistema éste sólo podría reducir su volumen.

La Figura 2-7, presenta dos vistas en perspectiva de un Bloque Crítico ubicado en la bóveda de un túnel con sección de excavación circular, junto con los elementos que definen la forma del Bloque Crítico, es decir, la Pirámide de Roca.

En la Figura 2-7 se observa la ubicación del Ápice, que se define como la punta del Bloque Inestable. Cuando el Ápice hace parte de uh Bloque Crítico, se denomina Ápice Crítico.

Son Vértices los puntos de corte o contacto entre las intersecciones de los planos de discontinuidad que forman el Bloque Crítico y la sección de excavación. La Figura 2-7 presenta tres vértices, uno por cada intersección entre planos de discontinuidad.


(a) (b)

Figura 2-7. Vista en perspectiva (a) y (b) de un Bloque Crítico ubicado en la bóveda de un túnel con sección de excavación circular.

Un Vértice es Tangente cuando es producto del contacto entre la sección de excavación y una intersección entre planos de discontinuidad que es tangente a la sección. La Figura 2-7 presenta dos vértices tangentes, uno en el contacto de la sección con la intersección entre los planos 1 y 3, y otro en el contacto de la sección con la intersección entre los planos 2 y 3. Se denomina Vértice Secante cuando es producto del corte entre la sección de excavación y una intersección que no es tangente a la sección. La Figura 2-7 presenta un vértice secante, en el contacto de la sección con la intersección entre los planos 1 y 2.

La Figura 2-8, presenta la vista frontal del mismo Bloque Crítico de la Figura 2-7, al considerar una sección de excavación circular. Esta figura adicionalmente señala las intersecciones entre los planos de discontinuidad que delimitan la Pirámide de Roca.

El plano yz que corresponde a una vista frontal de la sección de excavación presentada en la Figura 2-8, permite identificar claramente cuáles son las dos intersecciones tangentes y cuál es la intersección secante a la sección de excavación circular. El plano yz, corresponde a un corte perpendicular al eje del túnel, donde se aprecia en verdadera magnitud la sección de excavación.

Plano de Discontinuidad 1




Vértice Tangente entre planos 1 y 3 (VT[1-3])


Vértice Secante entre planos 1 y 2 (VS[1-2])

Ápice Ápice


Figura 2-8. Vista frontal de un Bloque Crítico ubicado en la bóveda de un túnel con sección de excavación circular.

En la Figura 2-8 se observa que el Ápice Crítico, correspondiente al Bloque Crítico, se obtiene directamente del cruce entre las dos intersecciones tangentes a la sección de excavación, la intersección entre los planos 2 y 3, y la intersección entre los planos 1 y 3. La otra intersección puede ser o tangente o secante a la sección de excavación, para que se conforme la Pirámide de Roca. En el caso de la Figura 2-8, la intersección entre los planos 1 y 2 es secante a la sección de excavación.

En la Figura 2-7 y Figura 2-8, se observa que existen otras intersecciones adicionales a las ocasionadas en el contacto entre planos de discontinuidad, y son las que se forman en el contacto entre los planos de discontinuidad y la sección de excavación o cara libre. A cada plano de discontinuidad le corresponde una intersección con la sección de excavación.

La proyección de las líneas de intersección en un plano perpendicular al eje del túnel, es la base de la metodología adoptada para la identificación de Bloques Críticos. A continuación se presenta una descripción del método.

2.2.2 Técnica alternativa para la obtención de Bloques Críticos: Líneas principales y secundarias

El método denominado como “Líneas Principales y Secundarias”, consiste en una técnica alternativa a las teorías existentes para ubicar las coordenadas del ápice y de los vértices que le dan la forma el Bloque Crítico.

Intersección entre planos 1 y 3





Ápice



Vértice Secante entre planos 1 y 2 (VS[1-2])


Esta técnica consiste en proyectar las intersecciones entre planos de discontinuidad, tres para el volumen máximo, en un plano que corta perpendicular al eje del túnel. La Figura 2-8, muestra un ejemplo de corte perpendicular al eje del túnel, donde se ve en verdadera magnitud la geometría de la sección de excavación convencional en túneles prismáticos, junto con los elementos que componen esta sección: solera, hastiales y bóveda. La bóveda es la parte más alta o “clave” de la sección de excavación, los hastiales son las paredes y la solera es el piso.

Figura 2-9. Rectas de una Intersección proyectada, con dos puntos de referencia tangentes a la sección de excavación.

Sobre el plano de proyección propuesto, se observan las proyecciones de las aristas de la Pirámide de Roca conformadas por las intersecciones entre los planos de discontinuidad. Al considerar planos de discontinuidad que no son oblicuos, las proyecciones de las intersecciones se presentan en forma de rectas y sin verdadera magnitud.

Existen al menos dos posibilidades para que las proyecciones de las líneas de intersección entre planos de discontinuidad sean tangentes a la sección de excavación, por la parte superior (recta principal) o inferior (recta secundaria) a la sección de excavación. La Figura 2-9, presenta las dos posibilidades de que la proyección de la intersección sea tangente a la sección de excavación.

En la Figura 2-9, se observan dos rectas de igual pendiente, originadas luego de proyectar el vector de intersección entre dos planos de discontinuidad en un plano perpendicular al eje del túnel. La recta proyectada es una Recta Principal cuando es tangente a la parte superior de la sección de excavación, y es una Recta Secundaria, cuando es tangente a la parte inferior de la sección de excavación. El calificativo de Principal y Secundario, sólo se hace para distinguir las rectas proyectadas de igual pendiente e identificar de forma rápida y sencilla el sector donde se realiza la tangencia. En el caso de una proyección vertical, donde no se puede diferenciar entre la tangencia superior e inferior a la sección de excavación, es indiferente la asignación del nombre.

Vector de intersección en el espacio

y

Plano de Proyección y z

Vértice tangente de la recta principal (VTP)

z

Recta Principal de intersección proyectada

Rectas Secundaria de intersección proyectada

Vértice tangente de la recta secundaria (VTS)


Un Vértice Tangente es Principal “VTP” cuando es producto de la tangencia de una Recta Principal, y es un Vértice Tangente Secundario “VTS” cuando es producto de la tangencia de una Recta Secundaria.

A cada una de las rectas tangentes a la sección de excavación les corresponde una ecuación, compuesta de una pendiente y de un dato de corte con el eje de la ordenada. La pendiente sale directamente de la proyección del vector unitario de Intersección, mientras el corte con el eje ordenado depende de la ubicación y la forma de la sección de excavación.

La técnica alternativa para la obtención de Bloques Críticos: Líneas Principales y Secundarias, plantea que:

� Todo vértice tangente principal (VTP) o secundario (VTS), hace parte de al menos

dos Bloques Críticos.

� Los Ápices Críticos que conforman un Bloque Crítico se encuentran en el cruce

entre dos Rectas Principales o Secundarias. Lo que significa que todo cruce entre

Rectas Principales o Secundarias hace parte de un Posible Ápice.

El procedimiento que se debe seguir para la obtención de las Pirámides de Roca que conforman los Bloques Críticos es el siguiente:

I. Vector Unitario de las Intersecciones: Establecer un sistema de discontinuidades

y obtener el vector unitario de la Intersección entre los planos de discontinuidad.

II. Proyección del Vector Unitario de las Intersecciones en un plano perpendicular al

eje del túnel: Debido a que el eje del túnel puede no presentar el mismo sistema

coordenado con el que se obtienen los cosenos directores del vector unitario de la

intersección, se requiere de una matriz de transformación.

III. Ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias, y coordenadas de los

Vértices Tangentes: Obtener la pendiente de la recta de intersección proyectada.

Analizar la sección de excavación y obtener el dato de corte con el eje ordenado

de la recta proyectada para que sea tangente en la parte superior e inferior de la

sección de excavación. En este paso se encuentran las ecuaciones de las Rectas

Principales y Secundarias de cada una de las intersecciones proyectadas, y las

coordenadas de todos los Vértices Tangentes.


IV. Identificación de Posibles ápices: Al igualar las ecuaciones de las Rectas

Principales y Secundarias, se obtienen los posibles ápices proyectados en un

plano que corta perpendicularmente el eje del túnel.

V. Establecer los Ápices Críticos: Luego de identificar las coordenadas de los

Posibles Ápices se completa una matriz de diferencias entre las coordenadas de

los posibles ápices y los vértices tangentes. La matriz permite identificar dos

Ápices Críticos por cada Vértice Tangente.

VI. Completar la Pirámide de Roca: Asociados dos Vértices Tangentes a un Ápice

Crítico, se obtiene el Vértice Secante que completa los elementos requeridos por

la Pirámide de Roca.

Luego de completar los seis pasos anteriores, se calculan los perímetros, áreas y volúmenes de los Bloques Críticos: Una vez se han establecido los tres vértices y el ápice para cada uno de los Bloques Críticos se calculan los perímetros de las intersecciones entre planos de discontinuidad y entre planos de discontinuidad y sección de excavación, las áreas de los planos de discontinuidad y pared de excavación, y el volumen del Bloque Crítico.

A continuación se presentan cada uno de los pasos establecidos para la obtención del Bloque Crítico en una sección de excavación circular.

I. Vector Unitario de las Intersecciones

Para la obtención del vector unitario de las intersecciones se deben utilizar las ecuaciones presentadas en el numeral 2.1 - Vectores unitarios de las discontinuidades y líneas de intersección.

II. Proyección del Vector Unitario de las Intersecciones en un plano perpendicular al

eje del túnel

La Figura 2-10, presenta las rectas principales y secundarias que se obtienen de la combinación de intersecciones entre tres sistemas de discontinuidades, y su contacto tangencial con la sección de excavación circular.

En la Figura 2-10, se observan las proyecciones de las líneas de intersección Principales y Secundarias, por ejemplo, la intersección entre los planos 1 y 2 forman la recta Secundaria S(1-2) y Primaria P(1-2) con pendiente m(1-2). Al ser tres los sistemas de discontinuidades considerados, son tres las intersecciones que se deben proyectar.


Figura 2-10. Representación gráfica de las líneas principales y secundarias.

Se observa que las coordenadas en el plano de proyección, perpendicular al eje del túnel, pueden no ser las mismas definidas como “x” al Norte, “y” al Este y “z” hacia abajo, establecidas para encontrar el vector unitario de intersección. Para proyectar en un sistema coordenado diferente es necesario realizar una transformación vectorial, desde el sistema coordenado N, E y Z al plano de proyección x’, y’ y z’. El nuevo sistema coordenado propuesto es: x’ en dirección del túnel, y’ en dirección ortogonal hacia el costado derecho del túnel, y z’ en dirección ortogonal hacia abajo del eje del túnel.

En el plano de proyección perpendicular al eje del túnel se proyectan las intersecciones en sus coordenadas y’ y z’, lo que plantea la necesidad de transformar los vectores de intersección obtenidos en el paso anterior.

Para la transformación del sistema coordenado se encuentra una matriz denominada como Matriz de Transformación, que al ser multiplicada por el vector unitario de intersección obtenido del paso anterior lo transforma a sus nuevas coordenadas x’ y’ z’. La Figura 2-11, presenta el sistema coordenado transformado.


Figura 2-11. Sistema coordenado transformado x’ y’ z’.

En la Figura 2-11 se observa la dirección del nuevo sistema coordenado, donde el eje x’ se encuentra en la dirección del túnel, el eje y’ en dirección perpendicular al eje x’ y sobre el plano xy, y el eje z’ cumpliendo la regla de la “mano derecha” respecto a los ejes x’ y’. De la figura se observa que el plano perpendicular al eje del túnel corresponde al plano y’ z’, El plano trasformado x’y’z’ puede ser igual al plano sin trasformar xyz, si el eje del túnel coincide con la línea Norte-Sur.

La Matriz de Transformación está compuesta por los cosenos directores de la rotación de cada uno de los ejes. Para obtener los cosenos directores entre los ejes anteriores y los ejes transformados se utiliza el producto vectorial “punto”. A continuación se presentan las expresiones desarrolladas.

2.2.2.1 Matriz de Transformación

De acuerdo a la Figura 2-11, “lm” es el azimut de buzamiento del túnel, el cual orienta el eje del túnel sobre el plano N-E o x-y, y “nm” el buzamiento o pendiente en grados del túnel. El vector que define la dirección del túnel en sus coordenadas es:

Y′�� %&��"p� = %&��Bp�#̂ $ � !�"p� = %&��Bp�'̂ $ � !�Bp�)* (2-14)

El vector sobre plano xy, y perpendicular al eje del túnel es:

Z′�� !�"p� #̂ $ %&��"p�'̂ $ ()* (2-15)

El vector perpendicular a los vectores q′��k′��, se obtiene del producto cruz entre los

vectores q′�� × k′��, y se define como sigue:

N(X)

S(-X)E(Y)

W(-Y)

RUMBO DEL TÚNELαT

ESTEREOGRÁFICA

PLANO PERPENDICULAR ALEJE DEL TÚNEL

βT

PLANO VERTICAL QUECONTIENE EL EJE DEL TÚNEL

Z

βT

Z'

Y'

X'

EJE DEL TÚNEL

βTαT

PLANO VERTICAL QUECONTIENE EL EJE DEL TÚNELEN HEMISFERIOR SUPERIOR


[′�� %&��"p� = � !�Bp�#̂ � � !�"p� = � !�Bp�'̂ $ %&��Bp�)* (2-16)

La transformación es la siguiente: la dirección del túnel se define como el eje x’ en reemplazo del eje x; la dirección del vector y’, perpendicular al eje x’, reemplaza el vector y; mientras el vector z’ reemplaza el vector z. Los vectores unitarios que representan los ejes cartesianos originales, sin transformar, son:

Y�� b#̂ $ ('̂ $ ()* (2-17)

Z� � (#̂ $ b'̂ $ ()* (2-18)

[� � (#̂ $ ('̂ $ b)* (2-19)

Para encontrar los cosenos directores entre los ejes, se utiliza el producto punto de la siguiente forma:

Entre la dirección del túnel x’ (3-14) y el eje Norte “x” (3-17),

cos θst,s � vcos�αw� = cos�βw�ı̂ $ sen�αw� = cos�βw�ȷ̂ $ sen�βw�k�x ∙ v1ı̂ $ 0ȷ̂ $ 0k�x %&� zYt,Y � %&��"p� = %&��Bp� (2-20)

Entre la dirección del túnel x’ (3-14) y el eje Este “y” (3-18),

cos θst,{ � vcos�αw� = cos�βw�ı̂ $ sen�αw� = cos�βw�ȷ̂ $ sen�βw�k�x ∙ v0ı̂ $ 1ȷ̂ $ 0k�x %&� zYt,Z � � !�"p� = %&��Bp� (2-21)

Entre la dirección del túnel x’ (3-14) y el eje vertical “z” (3-19),

cos θst,| � vcos�αw� = cos�βw�ı̂ $ sen�αw� = cos�βw�ȷ̂ $ sen�βw�k�x ∙ v0ı̂ $ 0ȷ̂ $ 1k�x %&� zYt,[ � � !�Bp� (2-22)

Entre el vector y’ (3-15) y el eje Norte “x” (3-17),

cos θ{t,s � v�sen�αw� ı̂ $ cos�αw�ȷ̂ $ 0k�x ∙ v1ı̂ $ 0ȷ̂ $ 0k�x %&� zZt,Y � �� !�"p� (2-23)

Entre el vector y’ (3-15) y el eje Este “y” (3-18),

cos θ{t,{ � v�sen�αw� ı̂ $ cos�αw�ȷ̂ $ 0k�x ∙ v0ı̂ $ 1ȷ̂ $ 0k�x %&� zZt,Z � %&��"p� (2-24)


Entre el vector y’ (3-15) y el eje vertical “z” (3-19),

cos θ{t,| � v�sen�αw� ı̂ $ cos�αw�ȷ̂ $ 0k�x ∙ v0ı̂ $ 0ȷ̂ $ 1k�x %&� zZt,[ � ( (2-25)

Entre el vector z’ (3-16) y el eje Norte “x” (3-17),

cos θ|t,s � v�cos�αw� = sen�βw�ı̂ � sen�αw� = sen�βw�ȷ̂ $ cos�βw�k�x ∙ v1ı̂ $ 0ȷ̂ $ 0k�x %&� z[t,Y � �%&��"p� = � !�Bp� (2-26)

Entre el vector z’ (3-17) y el eje Este “y” (3-18),

cos θ|t,{ � v�cos�αw� = sen�βw�ı̂ � sen�αw� = sen�βw�ȷ̂ $ cos�βw�k�x ∙ v0ı̂ $ 1ȷ̂ $ 0k�x %&� z[t,Z � �� !�"p� = � !�Bp� (2-27)

Entre el vector z’ (3-17) y el eje vertical “z” (3-19),

cos θ|t,| � v� cos�αw� = sen�βw�ı̂ � sen�αw� = sen�βw�ȷ̂ $ cos�βw�k�x ∙ v0ı̂ $ 0ȷ̂ $ 1k�x %&� z[t,[ � %&��Bp� (2-28)

Finalmente, se obtiene la matriz de transformación vectorial:

}~′�′�′� � e %&��"p� = %&��Bp� � !�"p� = %&��Bp� � !�Bp�� !�"p� %&��"p� (� %&��"p� = � !�Bp� � � !�"p� = � !�Bp� %&��Bp�g × }~�� (2-29)

La transformación vectorial, permitirá encontrar la pendiente de las intersecciones entre planos de discontinuidad proyectadas, mediante la siguiente ecuación:

�′ � [�Z� (2-30)

La transformación del vector unitario de Intersección, obtenido del paso anterior, al sistema coordenado x’y’z’ es:


��x′y′z′��

�� cos�αw� = cos�βw� sen�αw� = cos�βw� sen�βw�

� sen�αw� cos�αw� 0�cos�αw� = sen�βw� � sen�αw� = sen�βw� cos�βw��

��×�� DxKI�LIT��K

DyKI�LIT��KDzKI�LIT��K��

��

En consecuencia las componentes del vector unitario transformado son las siguientes:

XY� � %&��"p� = %&��Bp� XYK�aH@��K$ � !�"p� = %&��Bp� XZK�aH@��K$ � !�Bp� X[K�aH@��K (2-31)

XZ� � �� !�"p� XYK�aH@��K$ %&��"p� XZK�aH@��K (2-32)

X[� � �%&��"p� = � !�Bp� XYK�aH@��K� � !�"p� = � !�Bp� XZK�aH@��K$ %&��Bp� X[K�aH@��K (2-33)

III. Ecuaciones de las Rectas Principales y Secundarias, y coordenadas de los

Vértices Tangentes:

Según la ecuación (3-30), la pendiente de la intersección proyectada en el plano y’ z’ es:

�′HI@ � I%&�/"a�Hf@�0=� !�Ba�H�@�� XYK�aH@��KI� !/"a�Hf@�0=� !�Ba�H�@�� XZK�aH@��K]%&��Ba�H�@�� X[K�aH@��KI� !/"a�Hf@�0 XYK�aH@��K]%&�/"a�Hf@�0 XZK�aH@��K (2-34)

En la ecuación (3-34), la pendiente toma un valor positivo si la recta proyectada presenta el buzamiento hacia el costado derecho de la sección de excavación, y negativo si buza hacia el costado izquierdo.

Luego de encontrar las pendientes, se identifican los puntos denominados como “Vértices Tangentes”, dos por cada intersección.

2.2.2.2 Vértices Tangentes de Rectas Principales y Secundarias

Los vértices tangentes se obtienen al comparar la ecuación de las rectas proyectadas de las intersecciones con la ecuación correspondiente a la sección de excavación. La ecuación de la sección de excavación en el caso de análisis corresponde al de una circunferencia.

Considerando una sección de excavación circular de diámetro “DT”, a una profundidad “HT” desde la superficie del terreno, se establece la formulación.


La Figura 2-12, presenta los dos vértices tangentes al considerar una línea de intersección entre dos planos de discontinuidad (“i”, “j”) y una sección de excavación circular. En esta figura se observan dos vértices tangentes, uno en el sector superior de la sección de excavación, en el contacto con la recta principal denominado como Vértice Tangente Principal de la intersección “i-j” (VTP[i-j]), y el otro en la sector inferior denominado como Vértice Tangente Secundario de la intersección “i-j” (VTS[i-j]). De estas rectas se conoce el ángulo de buzamiento, denominado como “Buzamiento de intersección transformado”, por tratarse de un ángulo proyectado.

Figura 2-12. Vértices tangentes principales y secundarios dada una intersección proyectada “i-j”.

De la ecuación (3-34), se obtiene la pendiente proyectada, y de ésta se obtiene el buzamiento de intersección “i-j” transformado �;′��I�� mediante la siguiente expresión:

β′��I�� tanI��m′a�b� Luego de encontrar el buzamiento proyectado y dada una proyección de la intersección entre los planos “i” y “j”, las coordenadas y’,z’ de los vértices tangentes son:

� En el contacto con la recta principal, vértice tangente principal (��),

Z′�� CID� � �Xp/\� = � ! �B′�C�D�� (2-35)


[′�� CID� � ¢p � �Xp/\� = %&� �B′�C�D�� (2-36)

� En el contacto con la recta secundaria, vértice tangente secundario (��£),

Z′��CID� � ��Xp/\� = � ! �B′�C�D�� (2-37)

[′��CID� � ¢p $ �Xp/\� = %&� �B′�C�D�� (2-38)

En las expresiones anteriores se observa que un valor de “n��¤�” positivo, presenta valores positivos en la coordenada y’, y valores negativos en este parámetro presentan valores de igual signo en la coordenada y’.

Para encontrar la constante “Db” que determina el corte de las rectas Principales o Secundarias (�|£) con el eje de la ordenada y’, se utiliza la siguiente ecuación:

X@� |��CID� � [′�� |��CID� � Z′�� |��CID� = �H!�B′�C�D�� (2-39)

Reemplazando las expresiones (3-35) y (3-36) para obtener la constante “Db” de la recta principal, y las expresiones (3-37) y (3-38) para la recta secundaria, se completa la información de la ecuación las rectas de intersección proyectadas:

¥′ � Z′ = �H!/BC�>CID?0 $ X@� |��CID� (2-40)

Existen casos especiales: ;′��I�� (° y ;′��I�� §(°. Para ;′��I�� (° se cumplen todas

las ecuaciones anteriores, mientras para ;′��I�� §(° no se halla la constante “Db” de la

recta. En el caso de n�� §(°, no se utilizan las expresiones (2-39) y (2-40), las cuales son sustituidas por:

Z′ � Z′�� |��CID� (2-41)

Otro caso especial, surge cuando la inclinación del túnel es igual a la inclinación de la intersección, y la dirección del eje del túnel es similar al azimut de buzamiento de la intersección, es decir, cuando nm ≈ ;��I�� y lm ≈ ©ª��«�:. En este caso, la intersección

forma parte de un denominado Bloque Infinito, que se visualiza como un punto en el plano y’, z’. De cumplirse la condición mencionada, no se tiene en cuenta esta intersección en el análisis. La Figura 2-13, presenta un esquema de Bloque Infinito.


Figura 2-13. Esquema de Bloque Infinito.

En la Figura 2-13, se aprecia como en el plano perpendicular al eje del túnel y’z’ la intersección que induce el Bloque Infinito no proyecta una recta.

IV. Identificación de Posibles ápices

Una vez se han encontrado las ecuaciones de las rectas principales y secundarias proyectadas en un plano perpendicular al eje del túnel, de cada una de las líneas de intersección, se obtienen los puntos donde éstas se intersecan entre sí. Cada punto de corte entre rectas proyectadas se considera un posible ápice, debido a que se trata de un punto ubicado en el espacio donde coinciden dos rectas tangentes a la sección de excavación. La cantidad de posibles ápices se obtiene mediante la siguiente sumatoria:

® � 4° �±I��²�

La función anterior establece que al considerar dos sistemas de discontinuidades son 4 los posibles ápices, al considerar tres sistemas son doce, y al considerar cuatro sistemas de discontinuidad es 24 el número de Posibles Ápices.

Para encontrar los puntos de corte entre las rectas se igualan cada una de sus correspondientes ecuaciones. A continuación se presentan las expresiones para encontrar las coordenadas y’, z’, de los posibles ápices entre dos intersecciones conformadas por los planos “i”, “j”, “k” con buzamientos proyectados distintos a§(°:

Ápice

Sección deExcavación

Z'

Y'

X'

Z'

Y'

Bloque Infinito


yL � Db�³|´��I�� Db�³|´��Iµ�m�³|´��Iµ� �m�³|´��I��

zL � yL ∙ m�³|´��I�� $ Db�³|´��I�� Cuando alguna de las intersecciones cuenta con un buzamiento transformado n′��I¤� �§(°, y asumiendo que esa discontinuidad es la conformada por los planos “i-j”, y que se iguala con la recta producto de la intersección de los planos “j-k” con buzamiento transformado n′��I¤� < 90°, las coordenadas del posible ápice son las siguientes:

y′L � y′·¸�³|´��I�� z′L � y′L ∙ m�³|´��Iµ� $Db�³|´��Iµ�

De acuerdo a las expresiones anteriores, si se adoptan tres intersecciones, por ejemplo: �� «�, �� , �« � ��, son 12 los puntos de corte posibles entre estas rectas. Los 12 posibles ápices, se encuentran al igualar las rectas presentadas en la Tabla 2-1.

Tabla 2-1. Posibles ápices entre las rectas proyectadas �� ¤�, �� ¹� y �¤� ¹�. ID Posible Ápice Cruce entre Rectas

A1 Principal �� «� Principal �� A2 Principal �� «� Secundaria �� A3 Secundaria �� «� Principal �� A4 Secundaria �� «� Secundaria �� A5 Principal �� «� Principal �« � �� A6 Principal �� «� Secundaria �« � �� A7 Secundaria �� «� Principal �« � �� A8 Secundaria �� «� Secundaria �« � �� A9 Principal �� Principal �« � �� A10 Principal �� Secundaria �« � �� A11 Secundaria �� Principal �« � �� A12 Secundaria �� Secundaria �« � ��

Según la Tabla 2-1, los posibles ápices surgen del cruce entre rectas Principales o Secundarias. De esta tabla se considera que el ápice A1 corresponde a la Recta Principal �� «� y a la Recta Principal �� , de igual forma que el ápice A2 corresponde a la Recta Principal �� «� y a la Recta Secundaria �� , y así sucesivamente. Al considerar tres sistemas de discontinuidades se concluye que a cada Recta Principal o Secundaria le corresponden 4 Posibles Ápices.

La Figura 2-14, presenta la ubicación de los 12 posibles ápices al considerar una sección de excavación circular, numerados con el ID definido en la Tabla 2-1. En esta figura se


observa como a la Recta Principal �� le corresponden los Posibles Ápices A1, A5, A2 y A6.

V. Establecer los Ápices Críticos:

Dado que el método propone que dos Ápices Críticos se obtienen por cada Vértice Tangente y que cada Vértice Tangente se encuentra asociado a una Recta Principal o Secundaria, se concluye que dos de los cuatro Posibles Ápices que corresponden a las Rectas Principal o Secundaria son Ápices Críticos. Es decir, de los cuatro Posibles Ápices A1, A5, A2 y A6 que le corresponden a la Recta Principal �� , dos son Ápices Críticos.

Figura 2-14. Ubicación de los posibles ápices al considerar tres intersecciones entre planos de discontinuidad.

Para encontrar cuáles de los 12 ápices se consideran Ápices Críticos, según las opciones presentadas en la Tabla 2-1 y Figura 2-14, se encuentran las diferencias en las coordenadas x’, y’ o z’, entre los posibles ápices y los puntos de tangencia correspondientes. Por cada línea de intersección principal o secundaria, se encuentran cuatro diferencias de coordenadas entre vértices tangentes y posibles ápices “Δ”, dos con signo positivo y dos con signo negativo. La metodología adoptada define como ápices


críticos los dos puntos más cercanos, el de menor magnitud negativa y menor magnitud positiva.

Las diferencias entre coordenadas “Δ”, pueden ser en el sistema coordenado “x”, “y” o “z”, siempre y cuando los valores obtenidos sean no nulos.

Para facilitar las diferencias entre coordenadas “Δ” que se deben calcular, se construye una matriz como lo muestra la Tabla 2-2. La matriz de la Tabla 2-2 ordena en las filas los 12 posibles ápices encontrados, y en las columnas indica los puntos tangentes correspondientes a cada recta principal o secundaria. Esta matriz permite identificar que distancias se deben hallar.

Tabla 2-2. Matriz de identificación de los ápices que conforman el Bloque Crítico

ID Posible Ápice

Diferencias entre coordenadas “Δ”, entre posibles ápices y vértice tangente de la recta

Principal i � j (vtp>C � D?)

Secundaria i � j (vts>C � D?)

Principal i � k(vtp>� � �?)

Secundaria i � k (vts>� � �?)

Principal j � k (vtp>« � �?)

Secundaria j � k (vts>« � �?)

A1 Δ(A1-VTP)

Δ(A1-VTP)

A2 Δ(A2-VTP)

Δ(A2-VTS)

A3

Δ(A3-VTS) Δ(A3-VTP)

A4

Δ(A3-VTS)

Δ(A4-VTS)

A5 Δ(A5-VTP)

Δ(A5-VTP)

A6 Δ(A6-VTP)

Δ(A6-VTS)

A7

Δ(A3-VTS)

Δ(A7-VTP)

A8

Δ(A3-VTS)

Δ(A8-VTS)

A9

Δ(A9-VTP)

Δ(A9-VTP)

A10

Δ(A10-VTP)

Δ(A10-VTS)

A11

Δ(A11-VTS) Δ(A11-VTP)

A12

Δ(A12-VTS)

Δ(A12-VTS)

(VTP): vértice tangente principal; (VTS): vértice tangente secundario.

En la Tabla 2-2 se aprecia como a cada Recta Principal o Secundaria le corresponden cuatro Posibles Ápices.

Encontradas las diferencias entre coordenadas “∆” para cada columna, se debe identificar el valor de menor magnitud positiva y menor magnitud negativa, lo que corresponde a los dos ápices que más se acercan a los puntos tangentes de cada recta, uno por cada costado.

A manera de ejemplo se presenta la Figura 2-15, donde se analiza el vértice tangente de la recta principal en la intersección� � ¤. Las diferencias entre coordenadas que se deben encontrar son: ∆(A1-VTP>C � D?), ∆(A2-VTP>C � D?), ∆(A5-VTP>C � D?) y∆(A6-VTP>C � D?). En


este caso al tratarse de una recta que no es vertical, se encuentran las diferencias de coordenadas verticales ∆¥′. Las diferencias se toman entre los posibles ápices ubicados sobre la recta principal>C � D? y el vértice tangente encontrado mediante esta misma recta.

De acuerdo a la Figura 2-15, los valores de “∆” son positivas en los ápices A2 y A6, y negativas en los ápice A1 y A5. Los dos valores de “∆” de menor magnitud, una por cada sentido sea negativo o positivo, determinan cual ápice hace parte de un Bloque Crítico. En la Figura 2-15, se observa que los valores de “∆” en el eje “z” (verticales) son menores en los ápices A2 y A5, consistentes con los menores valores positivo y negativo respectivamente en las distancias acotadas como: ∆(A2-VTP>� � ¤?) y ∆(A5-VTP>� � ¤?). El cálculo de diferencias de coordenadas permite encontrar los ápices más cercanos al Vértice Tangente, uno por cada costado sobre la Recta Principal: al considerar la recta P(i-j) y el cálculo de diferencias en el sistema coordenado z’ se obtuvo que el ápice A2 es el más cercano en el costado inferior y el ápice A5 es el más cercano en el costado superior, lo que los identifica como Ápices Críticos de Bloques Críticos distintos. Se observa que la Figura 2-15 presenta el mismo ejemplo de la Figura 2-14.

Este procedimiento se continúa para cada una de las rectas tanto Principales como Secundarias, encontrando los ápices que conforman los Bloque Críticos.

Figura 2-15. Ápices de Bloque Crítico, al analizar el Vértice Tangente y la Recta Principal tangente de la intersección “i” – “j”.

Una vez se obtienen los Ápices Críticos, se encuentran los tres vértices que conforman la Pirámide de Roca. Los vértices del Bloque Crítico, son los puntos de contacto o tangencia entre las discontinuidades y la sección de excavación. Considerando tres intersecciones, son tres los vértices correspondientes a cada Bloque Crítico.

∆

∆


VI. Completar la Pirámide de Roca:

Por cada ápice identificado se conocen dos de los vértices en contacto tangencial con la sección de excavación, denominados como Vértices Tangentes. A manera de ejemplo, el Ápice Crítico A2 de la Figura 2-15, cuenta con los vértices VTP�� ¤� y VTS�� ¹�, debido a que corresponde a la Recta Principal �� ¤� y a la Recta Secundaria �� ¹�, mientras el ápice A5 cuenta con los vértices VTP�� ¤� y VTP�¤ � ¹� debido a que corresponde a la Recta Principal �� ¤� y a la Recta Principal �¤ � ¹�. De esta forma, dos de los vértices que conforman los Bloques Críticos se obtienen directamente de las Rectas Principales o Secundarias que ubican el ápice. Para hallar la coordenada q� de los vértices, se utilizan los cosenos directores de las ecuaciones (3-31), (3-32) y (3-33).

Después identificar las dos intersecciones tangentes que conforman el Bloque Crítico, la intersección restante necesaria para formar la Pirámide de Roca permite encontrar el vértice faltante, que puede ser Tangente o Secante. El tercer vértice se obtiene al hacer coincidir la recta de la intersección con el ápice identificado, e igualar con la función de la sección de excavación. Para hacer coincidir la intersección faltante con el ápice identificado, se obtiene la constante “Db′½·” del tercer vértice mediante la siguiente expresión:

X@′¾� � [H � ZH ∙ �′¾� (2-42)

Donde: ¿À′½Á es la constante “Db”: de la recta proyectada de la intersección faltante (tercera intersección de la Pirámide de Roca); Â′½Á: es la pendiente proyectada de la intersección faltante; khÃ¥h las coordenadas del ápice identificado como crítico.

La función de la sección de excavación circular de diámetro jm y profundidad Äm, es:

/[′ � ¢p0\ $ �Z′�\ � �Xp/\�\ (2-43)

Al igualar la ecuación (3-42) con la ecuación de la sección de excavación circular, queda la siguiente función de segundo orden:

��′¾�\ $ b�Z′¾�\ $ \�′¾��@′¾� � ¢p�Z′¾� $ �@′¾� � ¢p�\ � �Xp\ �\ � ( (2-44)

Resolviendo la cuadrática, se obtiene la coordenada en el eje y’ �k′½Á� del tercer vértice que conforma el Bloque Crítico. Para escoger una de las dos soluciones como la indicada, se elige la más cercana al ápice. Para encontrar las coordenadas q′¥′ del tercer vértice, se utilizan los cosenos directores de la siguiente forma:

La magnitud del vector de intersección entre los planos “�” y “«” se obtiene de:

ÅCID � ZtXZt (2-45)


Y dado que k′¾� se obtiene de (3-44) y jk′¾� de (3-32), se encuentra la magnitud del vector de la intersección que forma el tercer vértice mediante (3-45). Asumiendo que el tercer vértice se obtiene de la intersección de los planos de discontinuidad “«” y “�”, las coordenadas q′ y ¥′ del tercer vértice son:

Y′¾� � ÅD�) ∙ XY′ (2-46)

[′¾� � ÅD�) ∙ X[′ (2-47)

Se observa que la magnitud “M” encontrada por la ecuación (3-45), puede ser negativa o positiva, y depende de los parámetros k� y jk�. 2.2.3 Volumen del Bloque Crítico

Una vez se obtienen las coordenadas q′k�¥′, de los tres vértices y del ápice en cada uno de los Bloques Críticos, se utiliza un algoritmo numérico para dividir la base del bloque en triángulos pequeños. La Figura 2-16, presenta la forma en que se consideran los elementos triangulares en la base del Bloque para el cálculo de volumen considerando una pared de excavación curva.

La base de la Pirámide se conforma por los tres vértices: puntos P1, P2 y P3 en Figura 2-16 (a). Los tres vértices en la base presentan un plano que no coincide con la sección de excavación cuando se considera una geometría curva en la sección de excavación. Para encontrar los puntos inferiores del Bloque Crítico en contacto con la sección de excavación se proyecta un vector desde el ápice hacia cada uno de los puntos identificados en la base, donde se encuentra una ecuación de una recta por cada punto, y posteriormente se iguala con la función de la sección de excavación. Las coordenadas de los tres puntos proyectados de la base por cada elemento triangular se denominan como: q′bk′b¥′b, q′\k′\¥′\, q′¾k′¾¥′¾.


(a) (b)

Figura 2-16. (a) Puntos y (b) elementos triangulares en la base del Bloque Crítico, para determinar el volumen.

El volumen de un bloque conformado por el ápice y como base cada elemento triangular, con sus lados rectos, se encuentra mediante la siguiente expresión:

Æ � bÇjÈ� PPb q′h k′h ¥′hb q′b k′b ¥′bb q′\ k′\ ¥′\b q′¾ k′¾ ¥′¾P

P (2-48)

El volumen del Bloque se encuentra de la suma de los volúmenes individuales encontrados al unir el ápice y los tres puntos que conforman cada uno de los elementos triangulares de la Figura 2-16 (b).

2.2.4 Áreas de las paredes que conforman el Bloque Crítico

El área de las paredes que conforman el bloque de análisis se obtiene de la misma discretización realizada para el cálculo del volumen, donde se utiliza el producto cruz entre los puntos. El área de la pared de excavación se obtiene de la suma de las áreas de los elementos triangulares en los que se divide el bloque para el cálculo del volumen (ver Figura 2-16 [b]), implementando la siguiente ecuación:

ÉÈ¤ � ∑ b\ KËbË\�� × ËbË¾��K (2-49)

Dónde: Ëb, Ë\ y Ë¾, son los tres vértices que conforman la subdivisión de la base en el Bloque “«”.

12

34

56

7

89

1011

1213

14

1516

1718

1920

22

21

23

24

25

26

27

28

P1

P2

P3

1-1

1-2

1-3

1-4

2-4

2-3

2-2

2-13-1

4-15-1

5-24-2

3-2

3-3

4-33-4

4-4

5-3

5-4

Rectas

Particiones

ElementosTriangulares


El área de los planos de discontinuidad que conforman el Bloque Crítico, se obtiene de considerar elementos triangulares entre los puntos perimetrales y el ápice.

2.2.5 Perímetro de las intersecciones conforman el Bloque Crítico

Las intersecciones que conforman el Bloque Crítico son: las que ocurren entre planos de discontinuidad y las que ocurren entre planos de discontinuidad y sección de excavación. Para determinar el perímetro de las intersecciones se utilizan los puntos encontrados para los vértices y sus respectivos ápices. Para el perímetro de la pared de excavación, se usan los puntos de la subdivisión realizada para determinar el volumen del Bloque Crítico (véase Figura 2-16), al obtener la distancia entre los puntos mediante la siguiente ecuación:

ËbI\ � G�Ì\ � Ìb�\ $ �Í\ � Íb�\ $ �Î\ � Îb�\\ (2-50)

Donde, ÏbI\: es el perímetro entre los puntos 1 y 2; ÌbÃÌ1: las coordenadas en “x” de los puntos 1 y 2, respectivamente; ÍbkÍ\: las coordenadas en “y” de los puntos 1 y 2, respectivamente; ÎbkÎ\: las coordenadas en “z” de los puntos 1 y 2, respectivamente.

2.2.6 Vectores unitarios normales internos y externos

Se requiere de los vectores normales a los planos de discontinuidad que conforman el Bloque Crítico para identificar finalmente la forma del elemento tridimensional. Un plano de discontinuidad presenta la posibilidad de obtener dos vectores normales; uno interno y el otro externo. Un vector normal a un plano de discontinuidad es interno cuando se dirige hacia el interior de la Pirámide de Roca, de lo contrario, cuando el vector se dirige hacia la parte externa se denomina externo. Un vector normal unitario interno presenta la misma dirección de un vector unitario normal externo, pero con sentidos diferentes, por lo tanto:

n��Ðs¸I� � �n��Ñ¸I� Donde, Ò��±ÓI�:es el vector unitario interno al plano "�";Ò��ÔÕÓI�:es el vector unitario externo al plano "�". Adoptando el vector normal contemplado en la ecuación (3-5), se obtienen las siguientes expresiones:

!�� Y�IC � ±>�%&��"C� = � !�BC�C � � !�"C� = � !�BC�D $ %&��BC�)? (2-51)

!��C!�IC � ∓>%&��"C� = � !�BC�C $ � !�"C� = � !�BC�D � %&��BC�)? (2-52)

Donde, Ø��Èq�I�: es el vector unitario normal al plano "�", dirigido hacia el exterior del Bloque; Ø��Ø�I�: es el vector unitario normal al plano "�", dirigido hacia el interior del Bloque.


Para encontrar el signo positivo o negativo que le corresponde a cada vector normal unitario, se analiza el Modo en que se presenta un Bloque. El Modo equivale a la Pirámide de Juntas que permite mediante decodificación binaria identificar si la normal interna a un plano de discontinuidad se dirige hacia el hemisferio superior o inferior. El Modo es una adaptación de lo considerado por la teoría del “Key Block”, a través de codificaciones mediante “0” y “1” para conocer la orientación de la normal a cada plano de discontinuidad en la Pirámide de Juntas. Esta teoría facilita la visualización de las codificaciones rápidamente al implementar la red estereográfica, donde se comparan los centros y los puntos de intersección con los círculos mayores. En este trabajo se adoptará un método alternativo que utiliza la misma codificación binaria propuesta por Goodman y Shi (1985).

La codificación mediante “0” y “1”, permite identificar si el plano de discontinuidad se encuentra en el semi-espacio superior o inferior a la Pirámide de Roca. Por ejemplo, un plano de discontinuidad que le es asignado el código “1” significa que la Pirámide de Roca se encuentra por debajo del plano, y le corresponde un vector unitario normal interno positivo Ø��Ø�I� � Ø��, y un vector unitario normal externo negativo Ø��Èq�I� � �ØA��. Para un plano de discontinuidad que le es asignado el código “0” significa que la pirámide de Roca se encuentra por arriba del plano, y le corresponde un vector unitario normal interno negativo Ø��Ø�I� � �Ø�� y un vector unitario normal externo positivo Ø��Èq�I� � ØA��. La Tabla 2-3, presenta el sentido que toma cada uno de los vectores normales unitarios internos y externos, en función de la codificación de los planos.

Tabla 2-3. Sentido de los vectores unitarios internos y externos, en función de la asignación de codificación de planos.

Asignación de código Vector Unitario Interno Ø��Ø�I� Vector Unitario Externo Ø��Èq�I�

1 positivo $ÒÙ�� negativo �Ò�� 0 negativo �ÒÙ�� positivo$Ò��

La asignación de los códigos a cada plano, depende de los Modos en cómo se presenta la Pirámide de Roca. Al analizar tres planos de discontinuidad, son ocho (8) los Modos posibles en que se pueda presentar una Pirámide de Roca: 1) Sólo el plano 1 se encuentra por debajo de la Pirámide de Roca (011), 2) Sólo el plano 2 se observa por debajo de la Pirámide de Roca (101), 3) Sólo el plano 3 se observa por debajo de la Pirámide de Roca (110), 4) Los planos 1 y 2 se observan por debajo de la Pirámide de Roca (001), 5) Los planos 1 y 3 se observan por debajo de la Pirámide de Roca (010), 6) Los planos 2 y 3 se observan por debajo de la Pirámide de Roca (100), 7) Todos los planos se observan por debajo de la Pirámide de Roca (000), 8) Ningún plano se observa por debajo de la Pirámide de Roca (111).


La codificación asigna el primer valor a la discontinuidad 1, el segundo valor a la discontinuidad 2, y el tercer valor a la discontinuidad 3. Por ejemplo, el código 101, asigna un valor de 1 a la discontinuidad 1, un valor de 0 a la discontinuidad 2, y de 1 a la discontinuidad 3.

Para determinar en qué Modo se presenta la Pirámide del Bloque, se analizan los triángulos que conforman los vértices y ápice. Para encontrar si el ápice “É” se encuentra dentro del triángulo que forman los vértices del triángulo base, se utiliza el algoritmo planteado por Kirkpatrick, donde se analizan las orientaciones de los triángulos.

En la Figura 2-17. Esquema del algoritmo de Kirkpatrick, se observa un triángulo conformado por los vértices A, B y C �∆ÚÛÜ�, y los puntos de comparación P y Q. En esta figura se observa que ∆ÚÛÜ tiene un sentido en dirección de las manecillas del reloj, siendo esta la definición de la dirección del triángulo.

Figura 2-17. Esquema del algoritmo de Kirkpatrick (1986)

Para comparar si el punto “P” se encuentra entre los vértices ABC, se analiza la dirección de los triángulos: ∆ÚÛÏ, ∆ÛÜÏ y ∆ÜÚÏ, donde se aprecia que la dirección de estos triángulos son iguales a las del triángulo base ∆ÚÛÜ; en dirección de las manecillas del reloj. Al comparar el triángulo base con el punto Q se analizan las direcciones de los triángulos: ∆ÚÛÝ, ∆ÛÜÝ y ∆ÜÚÝ, donde se aprecia que la dirección del triángulo ∆ÚÛÝ es diferente a la del triángulo base ∆ÚÛÜ.

Para determinar si el punto se encuentra dentro del triángulo base, se subdivide en triángulos y se comparan las direcciones obtenidas para cada uno de los elementos. Para que el punto de comparación se encuentre dentro del triángulo base, la dirección de la totalidad de los elementos triangulares del análisis debe ser igual a la dirección encontrada para el triángulo base. El algoritmo de Kirkpatrick presenta la siguiente formulación para cada bloque:

BA

C

P

Q

∆ABP

∆BCP∆CAP

∆ABQ


Si,

∆b\¾ � �Yb � Y¾� ∙ �Z\ � Z¾� � �Zb � Z¾� ∙ �Y\ � Y¾� (2-53)

∆b\Þ � �Yb � YH� ∙ �Z\ � ZH� � �Zb � ZH� ∙ �Y\ � YH� (2-54)

∆\¾Þ � �Y\ � YH� ∙ �Z¾ � ZH� � �Z\ � ZH� ∙ �Y¾ � YH� (2-55)

∆¾bÞ � �Y¾ � YH� ∙ �Zb � ZH� � �Z¾ � ZH� ∙ �Yb � YH� (2-56)

Donde, ß�, Ã� , à�: Ü99áâãÒ®â®:âãäåéáç�8ã"�"; ßè , Ãè , àè: Ü99áâãÒ®â®:âãäáê�8ã

Si, ∆123 > 0,para que el ápice se encuentre dentro del plano de excavación proyectado se debe cumplir lo siguiente:

∆12A > 0

∆23A > 0

∆31A > 0

Si ∆123 < 0,para que el ápice se encuentre dentro del plano de excavación proyectado se debe cumplir lo siguiente:

∆12A < 0

∆23A < 0

∆31A < 0

Cuando se cumple algunas de las condiciones anteriores, se dice que se cumple el algoritmo de Kirkpatrick.

Se debe entender que el triángulo ∆123 es producto de la proyección de los vértices definidos como 1, 2 y 3, en el sistema coordenado “x,y”, lo que representa el plano de excavación. El triángulo ∆12Ú, es la proyección conformada por los vértices 1 y 2, y el ápice, lo cual representa la proyección del plano 1. El triángulo ∆23Ú, es la proyección conformada por los vértices 2 y 3, y el ápice, lo cual representa la proyección del plano 3. El Triángulo ∆31Ú, es la proyección conformada por los vértices 3 y 1, y el ápice, lo cual representa la proyección del plano 2. La siguiente tabla resume la equivalencia de cada una de las proyecciones:

Tabla 2-4. Triángulos conformados por las proyecciones

Triángulo Puntos Plano ∆123 V1, V2, V3 Excavación ∆12Ú V1, V2, A Discontinuidad 1 ∆23Ú V2, V3, A Discontinuidad 3


∆31Ú V3, V1, A Discontinuidad 2

Al analizar la posición del ápice respecto al plano de excavación, y el signo que presenta cada uno de los triángulos, se obtiene el Modo en que se presenta cada uno de los Bloques. La Figura 2-18, presenta la tres formas posibles en que se pueden presentar las proyecciones en el plano “x,y”.

La Figura 2-18 (a), presenta la proyección de un ápice que se encuentra dentro del plano de excavación o base de la pirámide de roca. Es por esto que los triángulos de análisis (∆12Ú, ∆23Ú y ∆31Ú) se encuentran contenidos dentro del triángulo ∆123 y se confirma al evidenciar que el trazado de los triángulos presenta el mismo sentido. Para este caso existen dos posibilidades, 1) que los planos se vean desde arriba con codificación “111” o desde abajo con codificación “000”. La codificación definitiva depende de la ubicación del ápice respecto al plano de excavación conformado por los vértices 1, 2 y 3, si el ápice queda por arriba del plano la codificación es de “111”, y para el caso contrario, cuando el ápice se encuentra por abajo del plano, la codificación es de “000”.

La Figura 2-18 (b), presenta la proyección de un ápice que se encuentra fuera de la proyección del plano de excavación, generando que el sentido o trazado del triángulo ∆23Ú sea diferente al del triángulo ∆123. Dado que el la proyección del triángulo ∆23Ú corresponde al plano de la discontinuidad 3, se determina que este se observa desde arriba “001” o desde abajo “110”, dependiendo de la posición del ápice. Si el ápice se encuentra debajo del plano de excavación la codificación es “001”, y la codificación es de “110” para el caso contrario.

La Figura 2-18 (c), presenta la proyección de un ápice que se encuentra fuera de la proyección del plano de excavación, generando que el sentido o trazado de los triángulos ∆12A y ∆23A sea diferente al del triángulo ∆123. Debido a que los planos correspondientes a la proyección de los triángulos ∆12A y ∆23A, son los planos de las discontinuidades 1 y 3 respectivamente, estos se pueden observar desde arriba “101” o desde abajo “010”. La codificación cuando el ápice se encuentra abajo del plano de excavación es de 101, y de 101 para el caso contrario.

Para encontrar si el ápice se encuentra arriba o abajo del plano de excavación, en primera medida se obtiene la ecuación del plano de excavación mediante los tres vértices del Bloque con coordenadas conocidas.


(a)

(b)

(c)

Figura 2-18. Esquemas del algoritmo de Kirkpatrick cuando el ápice genera tres triángulos (∆b\Þ, ∆\¾Þ y ∆¾bÞ):(a) todos con el mismo sentido, (b) uno con sentido diferente al

triángulo (∆b\¾� y (c) dos con sentido diferente al triángulo (∆b\¾�.


La ecuación de un plano es la siguiente:

XY#̂ $ XZ'̂ $ X[)* � X (2-57)

Donde ¿ß,¿Ã y ¿à son los cosenos directores, definidos por las siguientes expresiones:

C* � ív/Z\ � Zb0 ∗ �[¾ � [b�x � v�[\ � [b� ∗ /Z¾ � Zb0xï (2-58)

'̂ � �ð>�Y\ � Yb� ∗ �[¾ � [b�? � >�[\ � [b� ∗ �Y¾ � Yb�?ñ (2-59)

)� � ív�Y\ � Yb� ∗ /Z¾ � Zb0x � v/Z\ � Zb0 ∗ �Y¾ � Yb�xï (2-60)

Y j una constante definida por la siguiente ecuación:

X � Yb ∗ XY $ Zb ∗ XZ $ [b ∗ X[ (2-61)

Luego, se procede a proyectar el ápice sobre el plano de excavación, para encontrar la coordenada en el eje “z” correspondiente. Para esto se utiliza la siguiente ecuación:

�H Y% � XIXY∗YHIXZ∗ZHX[ (2-62)

Donde, òèÔÕó: es la coordenada en “z” de la proyección vertical del ápice sobre el plano

de excavación; ßh:es la coordenada en “x” del ápice;Ãh: es la coordenada en “y” del ápice.

El algoritmo de Kirkpatrick se utiliza para la identificación de la codificación del Modo en que se presenta el bloque de roca, se analiza cada uno de los triángulos proyectados de la siguiente forma:

2.2.6.1 Plano de discontinuidad 1 (∆12A)

a) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-58), si el signo de ∆12Ú es igual a ∆123,

y el ápice se encuentra arriba del plano de excavación, la codificación es de “1”.

b) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-58), si el signo de ∆12Ú es igual a ∆123,

y el ápice se encuentra debajo del plano de excavación, la codificación es de “0”.

c) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-58), si el signo de ∆12Ú es diferente a ∆123, y el ápice se encuentra arriba del plano de excavación, la codificación es de

“0”.

d) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-58), si el signo de ∆12Ú es diferente a ∆123, y el ápice se encuentra debajo del plano de excavación, la codificación es

de “1”.



a) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-60), si el signo de ∆31A es igual a ∆123,

y el ápice se encuentra arriba del plano de excavación, la codificación es de “1”.

b) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-60), si el signo de ∆31Aes igual a ∆123, y

el ápice se encuentra debajo del plano de excavación, la codificación es de “0”.

c) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-60), si el signo de ∆31A es diferente a ∆123, y el ápice se encuentra arriba del plano de excavación, la codificación es de

“0”.

d) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-60), si el signo de ∆31Aes diferente a ∆123, y el ápice se encuentra debajo del plano de excavación, la codificación es

de “1”.


a) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-59), si el signo de ∆23Aes igual a ∆123, y

el ápice se encuentra arriba del plano de excavación, la codificación es de “1”.

b) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-59), si el signo de ∆23Aes igual a ∆123, y

el ápice se encuentra debajo del plano de excavación, la codificación es de “0”.

c) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-59), si el signo de ∆23Aes diferente a ∆123, y el ápice se encuentra arriba del plano de excavación, la codificación es de

“0”.

d) De acuerdo a las ecuaciones (2-57) y (2-59), si el signo de ∆23Aes diferente a ∆123, y el ápice se encuentra debajo del plano de excavación, la codificación es

de “1”.

La Tabla 2-5, presenta de forma resumida la relación que existe entre el algoritmo de Kirkpatrick, la posición del ápice y la codificación de los planos que identifican su participación en el Modo en que se presenta el Bloque Crítico.

Tabla 2-5. Relación entre logaritmo de Kirkpatrick, posición del ápice y codificación del plano en la participación del Bloque Crítico.

Plano de Excavación

Plano de Discontinuidad

Posición del Ápice

Comparación de signos Código

∆123 1 → ∆12A 2 → ∆31A 3 → ∆23A

↑ � 1 ≠ 0 ↓ � 0 ≠ 1


2.2.7 Ejemplo

Asumiendo un túnel en sección Circular, de diámetro Ø=5 m con una cobertura máxima de 100 m, pendiente igual a 5º y orientación de 10º respecto al norte, encontrar los bloques inestables con máximo volumen posible dados los siguientes sistemas de discontinuidades:

Discontinuidad Azimut de Buzamiento (º) Buzamiento (º) D1 200 70 D2 60 60 D3 280 35

Los cosenos directores de las intersecciones son los siguientes:

ª��I1 � �0.4678�̂ $ 0,6611�̂ $ 0.5865�� ∝�I1� 125.28° ;�I1 � 35.91° ª��I½ � 0.0755�̂ � 0.8166�̂ $ 0.5723�� ∝�I½� 275.29° ;�I½ � 34.91° ª�1I½ � 0.8972�̂ � 0.3050�̂ $ 0.3194�� ∝1I½� 341.22° ;1I½ � 18.63°


La matriz de Transformación vectorial es la siguiente:

>ú? � û 0,981 0,173 0,468�0,174 0,985 0,000�0,086 �0,015 0,996û La matriz de transformación se multiplica por cada uno de los vectores unitarios, para obtener los cosenos directores transformados:

ª�′�I1 � �0,293�̂ $ 0,732�̂ $ 0,614�� Â′�I1 � 0,84

;′�I1 � 40,00°

ª�′�I½ � �0,017�̂—0,817�̂ $ 0.576�� Â′�I½ � �0,70

;′�I½ � �35.17°

ª�′1I½ � 0,855�̂ � 0.456�̂ $ 0,246�� Â′1I½ � �0,54° ;′1I½ � �28,32°

Puntos tangentes, rectas principales y secundarias:

Tabla 2-6. Ecuaciones de las rectas principales y secundarias, y coordenadas de vértices tangentes.

Intersección Pendiente Principal Secundaria

Z Y B Z Y B 1 - 2 40,00º 98,085 1,607 96,737 101,915 -1,607 103,263 1 - 3 35,17º 97,956 -1,440 96,942 102,044 1,440 103,058 2 - 3 -28,32º 97,799 -1,186 97,160 102,201 1,186 102,840

La Figura 2-19, presenta las proyecciones de cada una de las intersecciones, en un plano que atraviesa perpendicularmente el eje del túnel.


Figura 2-19. Esquema de rectas principales y secundarias en primer ejemplo.

La Tabla 2-7, presenta las coordenadas y’,z’ de los posibles ápices, y la distancia ∆Z entre estos ápices y los puntos tangentes correspondientes a cada recta:

Tabla 2-7. Ubicación de los posibles ápices, y su distancia vertical hasta los puntos tangentes.

Rectas Posibles Ápices ∆Z entre posibles ápices y puntos tangentes

Za Ya VTP(1-2) VTS(1-2) VTP(1-3) VTS(1-3) VTP(2-3) VTS(2-3)

P(1-2) P(1-3) 96,848 0,1328 -1,237

-1,109

P(1-2) S(1-3) 100,173 4,0950 2,088

-1,871

S(1-2) P(1-3) 99,827 -4,0950

-2,088 1,871

S(1-2) S(1-3) 103,152 -0,1328

1,237

1,109

P(1-2) P(2-3) 96,994 0,3074 -1,090

-0,805

P(1-2) S(2-3) 100,453 4,4294 2,368

-1,748

S(1-2) P(2-3) 99,547 -4,4294

-2,368

1,748

S(1-2) S(2-3) 103,006 -0,3074

1,090

0,805

P(1-3) P(2-3) 97,870 -1,3177

-0,086

0,071

P(1-3) S(2-3) 122,002 -35,5599

24,045

19,801

S(1-3) P(2-3) 77,998 35,5599

-24,045 -19,801

S(1-3) S(2-3) 102,130 1,3177

0,086

-0,071

Y’

Z’


En la Tabla 2-7, se encuentran resaltados los desplazamientos más cercanos a cero, positivo y negativo, al analizar cada columna. La siguiente tabla, presenta las coordenadas de los ápices definitivos:

Tabla 2-8. Coordenadas de los ápices que conforman el Bloque Crítico.

ID Posición Xa Ya Za

1 Hastial Der. 0 4,0950 100,173

2 Hastial Izq. 0 -4,0950 99,827

3 Bóveda 0 0,3074 96,994

4 Piso 0 -0,3074 103,006

5 Bóveda 0 -1,3177 97,870

6 Piso 0 1,3177 102,130

La Tabla 2-9, presenta las coordenadas de los vértices que conforman el Bloque Crítico:

Tabla 2-9. Coordenadas de los vértices que conforman el Bloque Crítico.

ID X1 Y1 Z1 X2 Y2 Z2 X3 Y3 Z3

1 0,997 1,607 98,085 -0,056 1,440 102,044 3,562 2,195 101,196

2 -0,997 -1,607 101,915 0,056 -1,440 97,956 -3,562 -2,195 98,804

3 -0,521 1,607 98,085 -0,017 -0,474 97,545 2,800 -1,186 97,799

4 0,521 -1,607 101,915 0,017 0,474 102,455 -2,800 1,186 102,201

5 -0,001 -1,314 97,873 -0,003 -1,440 97,956 -0,247 -1,186 97,799

6 0,001 1,314 102,127 0,003 1,440 102,044 0,247 1,186 102,201

La Tabla 2-10, presenta la comparación entre los volúmenes obtenidos mediante la ecuación (3-48).

Tabla 2-10. Comparación de los volúmenes calculados con los reportados por Unwedge ®.

ID Posición Volumen sin curva

Volumen (m3) calculado 4 particiones



Volumen (m3) Unwedge ®

1 Hastial Der. 5,976 2,702 2,479 2,468 2,48 2 Hastial Izq. 5,976 2,702 2,479 2,468 2,46 3 Bóveda 0,722 0,260 0,237 0,236 0,24 4 Piso 0,722 0,260 0,237 0,236 0,24 5 Bóveda 2,78x10-5 9,06x10-6 8,37x10-6 8,34x10-6 - 6 Piso 2,78x10-5 9,06x10-6 8,37x10-6 8,34x10-6 0,00

En la Tabla 2-10 se observa como a mayor número de particiones, se obtiene un volumen más pequeño. Además, se observa que tan solo con 20 particiones, el volumen tiende a ser similar al del programa Unwedge®.


La Tabla 2-11, presenta las áreas calculadas, para los planos de discontinuidad 1 (A1), 2 (A2) y 3 (A3), y el área de la pared de excavación (Ae), junto con los datos obtenidos del programa Unwedge ®.

Tabla 2-11. Comparación de las áreas calculadas con los reportados por Unwedge®.

Datos calculados Unwedge ®

ID Posición A1 (m2) A2 (m2) A3 (m2) Ae. (m2) A1 (m2) A2 (m2) A3 (m2) Ae. (m2)

1 Hastial Der. 2,535 3,986 5,168 5,646 2,530 3,990 5,250 5,730

2 Hastial Izq. 2,535 3,986 5,168 5,646 2,520 3,990 5,120 5,620

3 Bóveda 0,455 1,014 1,154 1,649 0,460 1,020 1,220 1,710

4 Piso 0,455 1,014 1,154 1,649 0,470 1,030 1,170 1,670

5 Bóveda 0,000 0,000 0,006 0,006 - - - -

6 Piso 0,000 0,000 0,006 0,006 0,000 0,000 0,040 0,040

En la Tabla 2-11, se observa gran similitud entre los valores calculados y los reportados por el software comercial.

La Tabla 2-12, presenta la comparación de los perímetros calculados con los reportados por el software de comparación.

Tabla 2-12. Comparación de los perímetros calculados con los reportados por Unwedge®.


ID PA-1 (m)

PA-2 (m)

PA-3 (m)

P1-2 (m)

P1-3 (m)

P2-3 (m)

Pe. (m)

PA-1 (m)

PA-2 (m)

PA-3 (m)

1 4,710 4,584 3,886 3,398 3,248 4,165 10,811 4,900 4,820 3,860

2 4,710 4,584 3,886 3,398 3,248 4,165 10,811 4,890 4,510 4,160

3 2,282 4,543 2,927 1,774 0,957 3,274 6,005 2,090 4,470 3,050

4 2,282 4,543 2,927 1,774 0,957 3,274 6,005 2,320 4,260 2,620

5 0,151 0,287 0,403 0,005 0,150 0,289 0,444 - - -

6 0,151 0,287 0,403 0,005 0,150 0,289 0,444 0,120 0,690 0,760

PA-1: Perímetro entre el ápice y el vértice 1. PA-2: Perímetro entre el ápice y el vértice 2. PA-3: Perímetro entre el ápice y el vértice 3. P1-2: Perímetro entre los vértices 1 y 2. P1-3: Perímetro entre los vértices 1 y 3. P2-3: Perímetro entre los vértices 2 y 3.

En la Tabla 2-12, se observa la similitud entre los datos calculados y los reportados por el programa de comparación.

La Tabla 2-13, presenta las codificaciones calculadas mediante el algoritmo de Kirkpatrick y la ubicación de los ápices respecto al plano de la pared de excavación, y las reportadas por el software de comparación.


Tabla 2-13. Codificación de planos para el entendimiento del Modo en que se presenta el Bloque Crítico.


ID Posición D1 D2 D3 D1 D2 D3

1 Hastial Der. 1 1 0 1 1 0

2 Hastial Izq. 0 0 1 0 0 1

3 Bóveda 1 1 1 1 1 1

4 Piso 0 0 0 0 0 0

5 Bóveda 0 1 1 - - -

6 Piso 1 0 0 1 0 0

En la Tabla 2-13, se observa la similitud entre los datos calculados y los reportados en el Software de comparación.

La Tabla 2-14, presenta los vectores normales unitarios internos, obtenidos al analizar la codificación de los planos presentada en la Tabla 2-13.

Tabla 2-14. Vectores normales unitarios internos de los planos de discontinuidad.

ID Posición ý��Ø�Ib,q ý��Ø�Ib,k ý��Ø�Ib,¥ ý��Ø�I\,q ý��Ø�I\,k ý��Ø�I\,¥ ý��Ø�I¾,q ý��Ø�I¾,k ý��Ø�I¾,¥ 1 Hastial

Der. 0,883 0,321 0,342 -0,433 -0,750 0,500 0,100 -0,565 -0,819

2 Hastial Izq.

-0,883 -0,321 -0,342 0,433 0,750 -0,500 -0,100 0,565 0,819

3 Bóveda 0,883 0,321 0,342 -0,433 -0,750 0,500 -0,100 0,565 0,819

4 Piso -0,883 -0,321 -0,342 0,433 0,750 -0,500 0,100 -0,565 -0,819

5 Bóveda -0,883 -0,321 -0,342 -0,433 -0,750 0,500 -0,100 0,565 0,819

6 Piso -0,883 -0,321 -0,342 0,433 0,750 -0,500 0,100 -0,565 -0,819 ý��Ø�I�,¤:vector normal unitario interno del plano “i” en su componente en “j”.

3 Diseño de Anclajes

Cuando al Bloque Crítico de roca se le consideran las acciones actuantes e inestabilizantes se denomina Cuña Crítica. La Cuña Crítica se refiere al Bloque Crítico (forma y tamaño) más las acciones que actúan sobre el Bloque y las fuerzas de cuerpo. Las acciones que se presentan en la Cuña Crítica, en el diseño de anclajes, representan las cargas de desprendimiento del Mecanismo de Falla en Cuña.

Se consideran en el diseño las Acciones externas, las Reacciones aportadas por el sistema de soporte y las reacciones aportadas por las resistencias de los planos de discontinuidad.

Para identificar las Acciones y Reacciones que actúan sobre una Cuña de Roca, se agrupan en Fuerzas Activas y Fuerzas Pasivas. Las Fuerzas Activas son el conjunto de acciones y reacciones que actúan todo el tiempo, constantes, y no dependen de la movilización de la Cuña Inestable. Las Fuerzas Pasivas son el conjunto de cargas que actúan una vez se presentan las solicitaciones, pero no actúan en todo momento y son variables, pueden aumentar con el aumento del movimiento de la Cuña Inestable.

A continuación se presentan las Acciones y Reacciones que se deben considerar en el Diseño de Anclajes, junto con una guía de los valores y consideraciones que se deben o pueden analizar. El diseño de Anclajes con la finalidad de mitigar el mecanismo de falla en Cuña, finaliza con la revisión y chequeo del patrón de anclajes adoptado. La programación de la técnica para determinar los Bloques Críticos junto con las consideraciones particulares de las acciones y reacciones, permiten un análisis de patrón de anclajes óptimo durante la etapa de revisión y chequeo del sistema de Anclajes.

3.1 Fuerzas Activas de la Cuña de Roca /þÉ��0 Las Fuerzas Activas consideradas para evaluar la estabilidad de una Cuña Crítica de roca, son: el peso propio (fuerza de cuerpo), el peso del concreto lanzado (fuerza de cuerpo), el empuje del agua, la presión interna activa considerada desde el interior del túnel, el empuje de la roca circundante y el empuje inducido por el sismo. La fuerza activa de un sistema de anclajes se describe en el apartado de la resistencia del anclaje. La suma de estas fuerzas se representa vectorialmente en el espacio, obteniendo la siguiente expresión:


�Þ'�� '�� $ �'�� $ �Þ'�� $ ∑ /�#,'��0¾C²b $ H'�� $ ∑ �#,'��¾C²b (3-1)

Donde: þÉ��: es el vector que representa la suma de las fuerzas activas de la cuña “¤”; ��: el peso propio de la cuña “¤”; ��: el peso propio del concreto lanzado instalado en el

área de excavación de la cuña “¤”; É��: es la incidencia de los empujes activos

consideradosen la cuña “¤”, desde el interior del túnel; ∑ �A,��¾�²b : es el empuje de la

presión del agua sobre los planos de discontinuidad “�” de la cuña “¤”; h��: es el vector de

aceleración sísmica considerado en la cuña “¤”; ∑ �ØIA,��¾�²b : es el empuje de la roca

circundante que representa el efecto del estado de esfuerzos sobre el plano de discontinuidad “�” de la cuña de roca “¤”. Todas las Fuerzas Activas mencionadas, son Acciones que actúan sobre la Cuña de Roca.

A continuación se presenta una breve descripción y las ecuaciones que se pueden considerar para la estimación de cada una de las Fuerzas Activas mencionadas.

3.1.1 Peso propio de la cuña /��0 El peso de la cuña crítica se define mediante la ecuación (4-2) en el sistema coordenado original xyz:

�� D � �� ∗ �D ∗ û((bû (3-2)

Donde: ��: es el peso de la cuña “«” ,��: peso unitario de la roca; Æ�: es el volumen de la

cuña “«”.

3.1.2 Peso propio del concreto lanzado /��0 El peso del concreto lanzado es activo porque actúa una vez se ha instalado. El concreto lanzado se instala sobre el área de excavación de la Cuña. La siguiente expresión representa el peso del concreto lanzado sobre la cuña:

�� D � �%� ∗ Þ D ∗ � ∗ û((bû (3-3)

Donde: �: es el peso del concreto lanzado instalado en la cuña “«” ,��: el peso unitario

del concreto lanzado (incluye fibra o malla);Úã�: es el área de excavación de la cuña “«”. È: es el espesor del concreto lanzado.


3.1.3 Empuje del agua/�A,��0 Luego de realizar la excavación subterránea, al inicio el agua fluye hacia la sección y se presenta una fuerza de infiltración. Con el tiempo la infiltración se dificulta o se impide con la instalación de concreto lanzado o por el efecto la colmatación de las discontinuidades, originando presiones hidrostáticas en la sección de excavación.

Debido a que la presión del agua puede ser 1) medida en campo a través de piezómetros, ó 2) puede ser estimada previo a la excavación del túnel. La presión de poros se adoptará mediante dos formas: constante en las paredes de la cuña; a presión constante en el ápice de la cuña, variando linealmente hasta la pared de excavación donde se convierte en cero u otro valor. Los datos de entrada requeridos para realizar estas aproximaciones son: la altura de la lámina de agua, el dato de presión directamente asumido y las pérdidas de energía a lo largo de la discontinuidad.

La ecuación general que presenta el vector de la fuerza ejercida por la presión de poros es la siguiente:

�C,D�� C,D ∗ ÞC,D ∗ ��C!��C,D (3-4)

Donde, �A,��: es el vector que representa la fuerza ejercida por el agua sobre la pared

“�”de la cuña “¤”; ��,¤: es la presión de poros asumida sobre la pared “�” de la cuña “¤”; É�,¤: Es el área de la discontinuidad “�” en la cuña “¤”, ý��Ø�I�,¤: el vector normal unitario

interno de la pared o plano de discontinuidad “�”, de la cuña “¤”.

El valor de la presión de poros asumida "��,¤" se encuentra en función del método a usar,

definidos a continuación:

3.1.3.1 Empuje de agua constante, dato de entrada directo

La Figura 3-1, presenta un esquema del empuje constante de la presión de agua sobre un plano de discontinuidad.

Figura 3-1. Esquema del empuje constante de la presión de poros sobre un plano de discontinuidad.


u� Distribución constante de presión de poros


Asumiendo constante la presión del agua en las paredes de la cuña, y según el esquema presentado en la Figura 3-1, la presión de poros es:

�C,D � �� (3-5)

Donde, ��: es el valor constante de la presión de poros asumida en los planos de discontinuidad “�”, de la cuña “¤”, y se trata de un dato de entrada.

3.1.3.2 Empuje de agua constante mediante dato de altura del agua

Si se asume constante la presión del agua en las paredes de excavación, y se cuenta con el dato de la profundidad de la lámina de agua “Î�”, la fuerza ejercida por el empuje del agua se asume de:

�C,D � �� ∗ /[H,D � ��0 (3-6)

Donde, ��: es la densidad del agua, Î�: es la profundidad de la lámina de agua, ¥h,¤: es

la coordenada “z” del ápice en la cuña “¤”.

Si se cumple que Î� > ¥h,¤: �C,D � ( (3-7)

Lo anterior para no considerar el efecto capilar en los bloques de roca.

3.1.3.3 Variación lineal del empuje de agua a lo largo de la discontinuidad, dato de entrada en sección de excavación

La Figura 3-2, presenta un esquema del empuje variable de la presión de agua sobre un plano de discontinuidad.

Figura 3-2. Esquema del empuje variable de la presión de poros sobre un plano de discontinuidad.

Si el dato de entrada es la presión constante en la sección de excavación��Èq��, para encontrar el aumento de la presión de poros en el ápice/�h,¤0 se utiliza el gradiente

hidráulico��. Debido a que las pérdidas se asumen lineales a lo largo de un plano de


�h,¤ Distribución variable de

presión de poros

�Èq�

P�I1 ∗ Δu�

P�I1


discontinuidad, para encontrar la presión de poros en el ápice se considera el valor más alto obtenido al analizar cada una de las intersecciones con las pérdidas hidráulicas correspondientes. La Figura 3-2 presenta un esquema con las pérdidas hidráulicas lineales adoptadas del análisis del perímetro de intersección entre las discontinuidades 1 y 2. Las siguientes expresiones son las utilizadas para determinar la presión de poros en el ápice, cuando se consideran tres planos de discontinuidad 1, 2 y 3:

�H,D��b�\� � �b�\ ∗ �� $ � Y% (3-8)

�H,D��b�¾� � �b�¾ ∗ �� $ � Y% (3-9)

�H,D��\�¾� � �\�¾ ∗ �� $ � Y% (3-10)

De las ecuaciones (4-8), (4-9) y (4-10), se escoge la que presenta el mayor valor para adoptar un criterio conservador del empuje de presión de poros.

�H,D � ÅáYC�&v�H,D��b�\�; �H,D��b�¾�; �H,D��\�¾�x (3-11)

Donde,�h,¤: es la presión de poros en el ápice de la cuña “¤”; Ë�I¤: es la longitud de la

intersección formada por los planos “�” y “¤”; ��: es el gradiente hidráulico que representa las pérdidas de energía, siendo un dato de entrada; �Èq�: es la presión de poros asumida constante en la sección de excavación, siendo un dato de entrada.

La presión de poros en la sección de excavación�Èq� puede ser un valor mínimo igual a cero, lo que corresponde a que en la sección de excavación no se encuentran chorros a presión del agua de infiltración.

Considerando la presión asumida en la sección de excavación y la presión obtenida para el ápice de la cuña, se integra en el área de excavación de cada plano de discontinuidad para obtener la presión de poros:

�C,D � /\∗� Y%]�H,D0¾ (3-12)

3.1.3.4 Variación lineal del empuje de agua a lo largo de la discontinuidad, dato de entrada en ápice

La Figura 3-2 presenta el esquema de la variación lineal de la presión de poros. Cuando el dato de entrada es la presión de poros en el ápice/�h,¤0 y el gradiente hidráulico ��, la formulación a diferencia de la opción anterior se orienta a encontrar la presión de poros en la sección de excavación:

� Y%��b�\� � �H,D � �b�\ ∗ �� (3-13)

� Y%��b�¾� � �H,D � �b�¾ ∗ �� (3-14)


� Y%��\�¾� � �H,D � �\�¾ ∗ �� (3-15)

De las ecuaciones (4-13), (4-14) y (4-15), se escoge la que presenta el mayor valor.

� Y% � ÅáYC�&v� Y%��b�\�; � Y%��b�¾�; � Y%��\�¾�x (3-16)

Dónde finalmente se reemplaza en la ecuación (4-12)

3.1.3.5 Variación lineal del empuje de agua a lo largo de la discontinuidad, dato de entrada en ápice y sección de excavación

Para este caso se reemplazan directamente los valores considerados en la ecuación (4-12). El valor de la presión de poros en el ápice puede ser directamente un dato de entrada o se podría obtener de la expresión (4-6) ó (4-7).

3.1.4 Empuje de la roca circundante /��,¤��0 Se considera que el reacomodo de la roca circundante, donde se redistribuyen los esfuerzos de confinamiento de la roca, ejerce presión sobre las paredes que conforman la cuña crítica. Para incluir esta fuerza en el diseño del anclaje, se obtienen los aportes del estado de esfuerzos en la roca circundante. Sólo se adopta el esfuerzo normal del estado de esfuerzos que se consideran sobre las paredes de las discontinuidades, debido a que los esfuerzos cortantes estimados mediante una transformación de esfuerzos no son los realmente actuantes (Barton).

El efecto de este empuje puede estabilizar o desestabilizar el bloque, debido a que su componente normal a las paredes de la cuña crítica aumenta la resistencia friccional de las discontinuidades pero a su vez puede estar orientada en la dirección del movimiento.

Como estado de esfuerzos se podrán adoptar cualquiera de las siguientes metodologías:

3.1.4.1 Empuje constante en los planos

Para esto se adopta un esfuerzo normal constante en todos los planos que conforman el bloque de roca.

�Ø��,¤ � ��È. (3-17)

Donde, ±I�,�: es el esfuerzo normal en el plano de la discontinuidad “�” en la cuña “¤”.


3.1.4.2 Tensor de esfuerzos

Se adoptará como dato de entrada el tensor de esfuerzos del macizo rocoso. Para esto se debe completar la siguiente matriz en las coordenadas x, y, z, en el sistema coordenado definido como original.

σs,{,| � "σss τs{ τs|τ{s σ{{ τ{|τ|s τ|{ σ||$ Esta matriz se define como el tensor de esfuerzos representativo del sistema coordenado “xyz", y para encontrar las componentes del esfuerzo que son normales al plano "�” se realiza la transformación del sistema coordenado x’, y’, z’.

�′#,'�� "�YY %YZ %Y[%ZY �ZZ %Z[%[Y %[Z �[[$ ∙ !��C!�IC,D (3-18)

Donde: �′��,¤: es la matriz de transformación que representa el plano “�” de la cuña “¤”; Para obtener la magnitud del esfuerzo normal al plano "�” se realiza el producto punto entre la expresión matricial anterior y el vector normal “interno” del plano:

�!�C,D � �′C,D�� ∙ !��C!��C,D (3-19)

Donde: �ØI�,¤:es el esfuerzo normal al plano “�” de la cuña “«”; Ø��Ø�I�,¤: es el vector unitario

interno normal al plano de discontinuidad “�” en la cuña “¤”. 3.1.5 Aceleración sísmica/h¤��0 El efecto del sismo en la cuña de roca, se obtiene de la multiplicación del coeficiente de aceleración sísmica con el peso del bloque inestable. El punto de aplicación de esta fuerza se encuentra en el centroide de la cuña, en la dirección en que sea considerada la acción del coeficiente sísmico, que puede ser: 1) en función de la orientación en el plano cartesiano x,y,z ó 2) en función de la dirección del movimiento.

HD�� K�� DK ∙ ûHYHZH[û (3-20)

Donde, K�� ¤K: es el peso del bloque “¤”.


3.1.6 Presión Interna Activa desde el interior del túnel /É��0 Se considera como el empuje que se realiza desde el interior del túnel, y para esto se adopta un esfuerzo uniforme desde el túnel, que al multiplicarse por el área de la sección de excavación, se obtiene la fuerza.

�Þ'�� C!�ID ∙ Þ D ∙ &�Y�Z�[& (3-21)

Donde,É��: es el vector que representa el empuje activo en la cuña “¤” desde el interior

del túnel; ��Ø�I¤: es el esfuerzo uniforme asumido desde el interior del túnel; ÉÈ¤: es el

área de excavación; q, k, ¥: son las componentes en el plano xyz del vector unitario

que representa la Presión Interna Activa desde el interior del túnel.

Esta acción tiene aplicabilidad en túneles hidroeléctricos, cuando la conducción del flujo se hace a presión, o cuando se quiere adoptar un empuje adicional de un sostenimiento alternativo.

3.2 Resistencia del concreto lanzado

Para incluir la resistencia del concreto lanzado, en el análisis de equilibrio límite, se adoptará una resistencia al corte del concreto que involucre la resistencia aportada por el elemento metálico que se componga; p. ej., malla electrosoldada, fibra metálica y fibra sintética. De esta forma, los datos de entrada para calcular la fuerza ejercida por el concreto lanzado serán el espesor "È�" y la resistencia al corte "'�", donde se utiliza la siguiente expresión:

�% � %% ∙ È� ∙ � (3-22)

Donde, þ�: es la fuerza ejercida por el concreto lanzado; '�: es el esfuerzo cortante resistente del concreto lanzado; ËÈ: es el perímetro del área de excavación de la cuña de análisis; È�: es el espesor del concreto lanzado. El vector que representa la resistencia del concreto lanzado es igual a la dirección contraria del movimiento, hacia la roca, en todo caso porque la resistencia aparece cuando el bloque trata de salir.

3.3 Resistencia de las discontinuidades

La resistencia de la discontinuidad se define como su resistencia al corte, definido por tres componentes: fricción (Ø), dilatancia (i) y cohesión (c). Para adoptar el criterio de resistencia de las discontinuidades se analizan tres condiciones: 1) resistencia básica, 2) resistencia residual y 3) resistencia pico.


3.3.1 Resistencia básica de la discontinuidad

Esta resistencia se obtiene directamente de los ensayos de laboratorio realizados sobre las discontinuidades, donde se simula la discontinuidad o se realiza el ensayo sobre la discontinuidad natural, es decir, con la discontinuidad original registrada por los núcleos durante las labores de exploración subterránea. La resistencia básica de la discontinuidad se obtiene mediante la siguiente ecuación, adoptando el criteriode falla Mohr-Coulomb:

'iI�,¤ � (þ�� Øf�,¤É�,¤ ) ∙ �H!∅iI� (3-23)

Donde, 'i � �, ¤:es la resistencia básica de la discontinuidad “�” en la cuña “¤”;þ�� ØI�,¤: fuerza normal al plano de discontinuidad “�”en la cuña “¤”; ý��Ø�I�,¤: vector interno de la

discontinuidad “�” en la cuña “¤”;∅iI�: Ángulo de resistencia friccional básica de la discontinuidad “�”. Debido al fenómeno de desconfinamiento y de simulación de la discontinuidad mediante un corte, la resistencia cohesiva que da el aporte a tracción del plano de discontinuidad se considera igual a cero o de muy baja magnitud.

3.3.2 Resistencia pico de la discontinuidad

La resistencia pico de la discontinuidad corresponde a la máxima resistencia posible, la cual se debe vencer para que se genere el movimiento. La resistencia pico de las discontinuidades puede expresar mediante las siguientes expresiones:

% IC,D � (�� !�C,DÞC,D ) ∙ �H!∅ IC (3-24)

Donde, '�I�,¤: resistencia pico de la discontinuidad “�” en la cuña “¤”;∅�I�: Ángulo de

resistencia friccional pico de la discontinuidad “�”. El ángulo de resistencia friccional pico, se puede entender mediante la siguiente expresión (Patton, 1912):

∅ IC � ∅@IC $ CC (3-25)

Donde, ��: ángulo de resistencia de la discontinuidad aportado por la rugosidad, dilatancia la discontinuidad “�”. Otra forma de obtener la resistencia pico de la discontinuidad, es la denominada como criterio de Barton & Choubey (1925):

% IC,D � (�� !�C,DÞC,D ) ∙ �H! c+,- ∙ �&.b( ( +-/vK�ÞD��K∗/�ÞD��∙��C!��C,D0��C,Dx)$∅@ICd (3-26)


Donde, 01�: es el coeficiente de rugosidad; 0�2: Representa la resistencia a la

compresión de la discontinuidad. El parámetro 01� se obtiene de una guía de perfiles de rugosidad, y se puede dibujar mediante la herramienta denominada como “Peine de Barton”. El parámetro 0�2 se obtiene mediante pruebas con esclerómetro o martillo Schmitd.

3.3.3 Resistencia residual de la discontinuidad

La resistencia residual de la discontinuidad corresponde a la resistencia de la discontinuidad luego de originarse el movimiento. Debido a que esta resistencia corresponde a la movilizada, se considera que la resistencia cohesiva que aporta la resistencia a la tracción de la discontinuidad se ha vencido y su valor residual es un valor igual a cero. La resistencia residual de la discontinuidad se obtiene mediante la siguiente ecuación:

%�IC,D � (�� !�C,DÞC,D ) ∙ �H!∅�IC (3-27)

Donde, 34I�,�: resistencia residual de la discontinuidad “�” en la cuña “¤”;∅4I�: Ángulo de

resistencia friccional residual de la discontinuidad “�”. El ángulo de resistencia friccional residual, se puede entender mediante la siguiente expresión:

∅� � �∅@ � \(� $ \( �, (3-28)

Donde, á: es el rebote del esclerómetro en la pared de la discontinuidad; 5: es el rebote del esclerómetro de la roca intacta.

3.4 Dirección del movimiento

Para entender el mecanismo cinemático posible de la cuña se plantean dos hipótesis:

a) Las fuerzas externas activas son las que inciden en el vencimiento de la

resistencia pico de la discontinuidad, generando el movimiento inicial de la cuña

de roca.

b) Una vez se ha presentado el movimiento inicial, la fuerza que incide en el

movimiento del bloque se ve influenciada por las reacciones del sistema de

anclaje y de las paredes de las discontinuidades.

La dirección del movimiento inicial se obtiene cuando la resistencia pico de la discontinuidad se ha vencido, siendo este un movimiento inmediato, dándole paso a la resistencia residual. Algunas fuerzas externas activas se ven reducidas en el análisis del


movimiento inicial; o. ej. el sismo, de ocurrir generaría un movimiento sobre la cuña y roca circundante.

La primera hipótesis de dirección del movimiento se denomina como 1) “Dirección Inicial e Inmediata”, y la segunda hipótesis de la dirección del movimiento, donde actúan las resistencias y fuerzas movilizadas, se denomina 2) “Dirección Secundaria o residual”.

A continuación se presentan las direcciones del movimiento:

3.4.1 Dirección del movimiento inicial e inmediato

3.4.1.1 Definición de la dirección

Es el movimiento inicial o inmediato que se genera cuando las fuerzas externas vencen la resistencia pico de las discontinuidades. La dirección de este movimiento se debe a la acción de las fuerzas activas, y a la posibilidad cinemática de que el bloque se salga.

3.4.1.2 Mecanismo de falla posible

Los mecanismos de falla posible se establecen en función del número de paredes de discontinuidad que ejercen resistencia al movimiento. Como el vector resultante de las fuerzas externas incide en la dirección del movimiento de la Cuña, se compara este vector con cada uno de los vectores unitarios normales a los planos de discontinuidad. Del análisis se encuentra si la acción del vector de Fuerzas Activas ejerce compresión o tracción a cada uno de los planos de discontinuidad.

En función del número de planos de discontinuidad que se traccionan o comprimen con la acción de las fuerzas activas, se generan las siguientes posibilidades de movimiento: 1) Caída o levantamiento libre, 2) el deslizamiento a través de un plano, 3) deslizamiento a través de una intersección o de dos planos. Los mecanismos de falla presentan los siguientes vectores de movimiento:

3.4.1.2.1 Caída o levantamiento libre

La caída o levantamiento del bloque es cuando el deslizamiento se genera en la

dirección del vector de fuerzas activas 6 ÔÕÓ, y es libre debido a que ninguna discontinuidad presenta resistencia. Esto sucede usualmente cuando el vector de fuerzas externas se encuentra a un bajo ángulo del eje coordenado “Z”. Por su denominación en inglés este mecanismo se conoce como “falling” cuando el desplazamiento es en el sentido de la gravedad (caída libre), y “lifting” cuando el desplazamiento es en el sentido contrario al de la gravedad (levantamiento libre). Para este mecanismo existen dos posibilidades: caído o levantamiento libre.


El vector que describe este mecanismo de falla, debido al movimiento inicial, es el siguiente:

Å��%Hí8&/� �H!�H�C !�& � �Þ'��K�Þ'��K (3-29)

Donde, ú��óèí9:/;ÔÁè±Óè<�Ô±Ó:: es el vector unitario que representa la dirección del caído o

levantamiento libre;þÉ��: es el vector resultante de las fuerzas activas.

3.4.1.2.2 Deslizamiento a través de un plano

Este movimiento se origina a lo largo de la proyección del vector de fuerzas activas 6 ÔÕÓ sobre un plano de discontinuidad. Si se consideran tres planos de discontinuidad, son tres las posibilidades de presentarse este mecanismo. La proyección de las fuerzas externas sobre el plano de discontinuidad “�” es el siguiente:

Å��C � /!��C!�fC×�Þ'��0×!��C!�fCK/!��C!�fC×�Þ'��0×!��C!�fCK (3-30)

Donde: ú��: es la dirección del vector unitario que representa el movimiento inicial sobre

el plano de discontinuidad �; Ò��±ÓI�: es el vector unitario interno de la discontinuidad �; 6Ú=��: es el vector resultante de las fuerzas activas.

3.4.1.2.3 Deslizamiento a través de una intersección

Este movimiento se origina a lo largo una intersección, cuando la resistencia al movimiento inicial se debe a dos planos de discontinuidad. Si se consideran tres planos de discontinuidad, son tres las posibilidades que tiene de presentarse este mecanismo de falla. El vector de intersección debe estar orientado desde el ápice hacia la sección de excavación, para que facilite cinemáticamente la salida de la cuña. Según la expresión (3-10) el vector intersección entre las discontinuidades "�" y "¤" es el siguiente:

a#I'�� #� = XY $ '� = XZ $ )� = X[G�XY�\ $ �XZ�\ $ �X[�\\

El vector del movimiento para la intersección "�" y "¤" , se obtiene mediante la siguiente formulación:

Å#I'�� C.!& ∗ #�=XY]'�=XZ])� =X[G�XY�\]�XZ�\]�X[�\\ (3-31)

Donde: >AI��: es el vector unitario que describe el mecanismo de falla a lo largo de

la intersección entre los planos"�" y "¤"; �C.!&: es (+1) o (-1) dependiendo de la dirección del vector resultante de las fuerzas activas.


El parámetro �C.!& de la de la intersección entre los planos"�" y "¤", se obtiene mediante la siguiente expresión:

�C.!& � a#f'��∙�Þ'��H@�Ka#f'��∙�Þ'��K (3-32)

La anterior expresión garantiza que el sentido de la intersección sea el mismo que el sentido del vector resultante de fuerzas activas.

3.4.1.3 Dirección del movimiento

Para seleccionar la dirección cinemáticamente factible, se analizan las condiciones de cada uno de los posibles mecanismos de falla: para caído o levantamiento, para deslizamiento a lo largo de un plano de discontinuidad y para el deslizamiento a lo largo de una intersección entre dos discontinuidades. La revisión de la posibilidad de los mecanismos de falla consiste en encontrar los efectos de compresión y tracción generados sobre los planos de discontinuidad.

Para que el movimiento de la cuña genere tracción sobre un plano de discontinuidad, el vector del movimiento debe estar orientado en el sentido del vector unitario normal interno del plano, lo cual se presenta si se obtiene un valor positivo del producto punto entre los dos vectores.

Para que el movimiento del bloque genere compresión sobre un plano de discontinuidad, el vector del movimiento debe estar orientado en el sentido contrario al vector unitario normal interno del plano, lo cual sucede si se obtiene un valor negativo del producto punto entre los dos vectores.

A continuación se presentan cada una de las condiciones que se deben cumplir por cada mecanismo de falla.

3.4.1.3.1 1 – Caído Libre

El movimiento del bloque debe generar tracción sobre las tres discontinuidades:

( > /Å��?H��C!./�C?�C!.0 ∙ !��C!�Ib

( > /Å��?H��C!./�C?�C!.0 ∙ !��C!�I\

( > /Å��?H��C!./�C?�C!.0 ∙ !��C!�I¾

El movimiento del bloque se presenta en el sentido de la gravedad, es decir, en el sentido del vector que representa el peso de la Cuña. Se le asigna la posibilidad de que sea cero, debido a que el considerar este mecanismo sobre el del levantamiento, lo hace más conservador.


( ≥ /Å��?H��C!./�C?�C!.0 ∙�� D Donde: ú��Aè;;�±B/;�AÓ�±B: es la dirección del caído libre; C�� : El vector que representa el

peso de la cuña «. 3.4.1.3.2 2 – Levantamiento Libre

Al igual que el Caído, el movimiento del bloque debe generar tracción sobre las tres discontinuidades:

( > /Å��?H��C!./�C?�C!.0 ∙ !��C!�Ib

( > /Å��?H��C!./�C?�C!.0 ∙ !��C!�I\

( > /Å��?H��C!./�C?�C!.0 ∙ !��C!�I¾

El movimiento del bloque se presenta contrario al sentido de la gravedad, es decir, en el sentido contrario al vector que representa el peso del bloque:

( < /Å��?H��C!./�C?�C!.0 ∙�� D Donde: >��Dh��ØE/��D��ØE: es la dirección del caído; �� ¤: El vector que representa el peso de

la cuña “¤”; Ø��Ø�I�: es el vector unitario interno de la discontinuidad “�”. 3.4.1.3.3 3 - Deslizamiento a lo largo de la discontinuidad 1

El vector del movimiento debe generar compresión sobre el plano de discontinuidad 1, y tracción en los dos restantes planos de discontinuidad. Se le asigna también la igualdad a cero, debido a que esto representa que el movimiento se dirige en el sentido del plano de discontinuidad.

( ≤ Å��b ∙ !��C!�Ib

( > Å��b ∙ !��C!�I\

( > Å��b ∙ !��C!�I¾

Donde,>��b: es el movimiento sobre la discontinuidad 1; Ø��Ø�I�: es el vector unitario interno de la discontinuidad “i”. 3.4.1.3.4 4 - Deslizamiento a lo largo de la discontinuidad 2

El vector del movimiento debe generar compresión sobre el plano de discontinuidad 2, y tracción en los dos restantes planos de discontinuidad. Se le asigna también la igualdad


a cero, debido a que esto representa que el movimiento se dirige en el sentido del plano de discontinuidad.

( > Å��\ ∙ !��C!�Ib

( ≤ Å��\ ∙ !��C!�I\

( > Å��\ ∙ !��C!�I¾

Donde: >��\: es el movimiento sobre la discontinuidad 2; Ø��Ø�I�: es el vector unitario interno de la discontinuidad “i”. 3.4.1.3.5 5 - Deslizamiento a lo largo de la discontinuidad 3

El vector del movimiento debe generar compresión sobre el plano de discontinuidad 3, y tracción en los dos restantes planos de discontinuidad. Se le asigna también la igualdad a cero, debido a que esto representa que el movimiento se original en el sentido del plano de discontinuidad.

( > Å��¾ ∙ !��C!�Ib

( > Å��¾ ∙ !��C!�I\

( ≤ Å��¾ ∙ !��C!�I¾

Donde: >��¾: es el movimiento sobre la discontinuidad 3; Ø��Ø�I�: es el vector unitario interno de la discontinuidad i. 3.4.1.3.6 6 - Deslizamiento a lo largo de la intersección entre los planos 1 y 2

El movimiento a lo largo de la intersección entre los planos 1 y 2, debe generar tracción sobre el plano de discontinuidad 3:

( > ÅbI\�� ∙ !��C!�I¾

Cuando se realiza la proyección sobre el plano 1 del vector total resultante de las fuerzas activas, éste debe generar compresión en el plano 2:

( ≤ Å��b ∙ !��C!�I\

Cuando se realiza la proyección sobre el plano 2 del vector total resultante de las fuerzas externas, éste debe generar compresión en el plano 1:

( ≤ Å��\ ∙ !��C!�I¾


Donde, >AI��: es el movimiento a lo largo de la intersección entre los planos� y ¤;>��: es

el movimiento sobre la discontinuidad i; Ø��Ø�I�: es el vector unitario interno de la

discontinuidad i. 3.4.1.3.7 7 - Deslizamiento a lo largo de la intersección entre los planos 1 y 3


( > ÅbI¾�� ∙ !��C!�I\


( ≤ Å��b ∙ !��C!�I¾


( ≤ Å��¾ ∙ !��C!�Ib

Donde: >AI��: es el movimiento a lo largo de la intersección entre los planos� y ¤; >��: es

el movimiento sobre la discontinuidad i; Ø��Ø�I�: es el vector unitario interno de la discontinuidad i. 3.4.1.3.8 8 - Deslizamiento a lo largo de la intersección entre los planos 2 y 3


( > Å\I¾�� ∙ !��C!�Ib


( ≤ Å��\ ∙ !��C!�I¾


( ≤ Å��¾ ∙ !��C!�I\

Donde, >AI��: es el movimiento a lo largo de la intersección entre los planos� y ¤;>��: es

el movimiento sobre la discontinuidad i; Ø��Ø�I�: es el vector unitario interno de la

discontinuidad i.


3.4.1.4 Resistencia de los planos de discontinuidad

La resistencia corresponde a la resistencia pico de la discontinuidad, obtenida mediante la expresión (4-16). Los planos de discontinuidad que ejercen la resistencia, se obtienen del mecanismo de falla adoptado luego de la identificación de la dirección del movimiento. La fuerza normal a los planos, corresponde a las componentes de la fuerza normal total, que difiere de la fuerza activa total, debido a que esta última considera positiva la acción del agua.

A continuación se presentan las posibilidades en función de la dirección el movimiento identificado:

3.4.1.4.1 Caído Libre

Ningún plano presenta resistencia al movimiento.

� !,C � ( (3-33)

Donde: þ�� Ø,�: fuerza normal al plano de discontinuidad �. 3.4.1.4.2 Levantamiento Libre

Los tres planos presentan resistencia al movimiento

� !IC,D � !��C!��C ∗ Kv�ÞD�� \ ∗ �C,D��xK (3-34)

Donde: þ�� ØI�,¤: fuerza normal al plano de discontinuidad� de la cuña ¤; Ò��±ÓI�: Vector

normal unitario externo de la discontinuidad “i”. Kv6Ú=�� 2 ∗ G-,=��xK: es la magnitud de la

resultante de las fuerzas externas menos la presión de poros.

3.4.1.4.3 Deslizamiento a través de una discontinuidad 1

� !Ib,D � !��C!��b ∗ Kv�ÞD�� \ ∗ �C,D��xK (3-35)


normal unitario externo de la discontinuidad 1.


� !I\,D � !��C!��\ ∗ Kv�ÞD�� \ ∗ �C,D��xK (3-36)

Donde: þ�� ØI�,¤: fuerza normal al plano de discontinuidad� de la cuña ¤; Ò��±ÓI1: Vector




� !I¾,D � !��C!��¾ ∗ K�� Y�K (3-37)

Donde: þ�� ØI�,¤: fuerza normal al plano de discontinuidad� de la cuña ¤; Ò��±ÓI½: Vector


3.4.1.4.6 Deslizamiento a través de la intersección entre los planos 1 y 2

� !Ib,D � /� Y�×!��C!�f\0∙�!��C!�fb×!��C!�f\�/��C!�fb×!��C!�f\0∙/��C!�fb×!��C!�f\0 (3-38)

� !I\,D � /� Y�×!��C!�fb0∙�!��C!�f\×!��C!�fb�/��C!�f\×!��C!�fb0∙�!��C!�f\×!��C!�fb� (3-39)

� !I¾,D � ( (3-40)

Donde: þ�� ØI�,¤: fuerza normal al plano de discontinuidad� de la cuña ¤; Ò��: Vector normal

unitario externo de la discontinuidad �. 3.4.1.4.7 Deslizamiento a través de la intersección entre los planos 1 y 3

� !Ib,D � /� Y�×!��C!�f¾0∙�!��C!�fb×!��C!�f¾��!��C!�fb×!��C!�f¾�∙�!��C!�fb×!��C!�f¾� (3-41)

� !I\,D � ( (3-42)

� !I¾,D � /� Y�×!��C!�fb0∙�!��C!�f¾×!��C!�fb�/��C!�f¾×!��C!�fb0∙�!��C!�f¾×!��C!�fb� (3-43)


normal unitario externo de la discontinuidad �. 3.4.1.4.8 Deslizamiento a través de la intersección entre los planos 2 y 3

� !Ib,D � ( (3-44)

� !I\,D � /� Y�×!��C!�f¾0∙�!��\×!��C!�f¾��!��\×!��C!�f¾�∙�!��\×!��C!�f¾� (3-45)

� !I¾,D � /� Y�×!��C!�f\0∙�!��C!�f¾×!��C!�f\��!��C!�f¾×!��C!�f\�∙�!��C!�f¾×!��C!�f\� (3-46)


normal unitario externo de la discontinuidad “�”.


De no presentarse alguno de los anteriores casos de deslizamiento, se dice que la cuña es estable, es decir, que las fuerzas activas externas generan una estabilidad en la cuña, lo que es común en cuñas ubicadas en el piso cuando se considera sólo el efecto de la gravedad.

3.4.2 Dirección de la Cuña

3.4.2.1 Definición de la dirección

La dirección de la cuña es la correspondiente al movimiento movilizado de la cuña de roca, y para esto se considera un vector de fuerzas activas diferente a la considerada en el movimiento inicial o inmediato.

3.4.2.2 Resistencia de los planos de discontinuidad

Para la definición de la dirección de la cuña se realiza el mismo procedimiento descrito para la dirección inicial e inmediata, con la consideración de un vector de fuerzas activas diferentes.

3.4.2.3 Planos que inciden en la resistencia de la discontinuidad

Aplica lo mismo que lo presentado para la dirección del movimiento inicial e inmediato, con un vector de fuerzas activas diferente.

3.5 Estado de Esfuerzos

Para obtener el tensor de esfuerzos utilizado en los empujes de la roca circundante, son dos las formas consideradas para el ingreso de la información: 1) indicando directamente el tensor, 2) considerando el esfuerzo vertical un esfuerzo principal.

Para la primera consideración, se debe ingresar la matriz de 3x3 que considera la totalidad del tensor de esfuerzos:

σs,{,| � "σss τs{ τs|τ{s σ{{ τ{|τ|s τ|{ σ||$ Para la segunda consideración, se obtiene el tensor de esfuerzos asumiendo que son los verticales y horizontales en las direcciones indicadas son esfuerzos principales. Para esto, los datos de entrada son: la profundidad del túnel �HI�, el peso unitario de la roca �J4�, la orientación del esfuerzo horizontal mayor �©KLI<èÕ�, el coeficiente horizontal de esfuerzo máximo ��KLI<èÕ� y el coeficiente horizontal de esfuerzo mínimo ��KLI<�±�,


El esfuerzo en el eje vertical “z”, se obtiene de la siguiente expresión:

�[ � �� ∗ ¢p (3-47)

�¢�HY � �� ∗ ¢p ∗ )�M��HY (3-48)

�¢�C! � �� ∗ ¢p ∗ )�M��C! (3-49)

��,�,[ � "�¢�HY ( (( �¢�C! (( ( �[$ (3-50)

3.6 Sistema de anclaje

La instalación de un sistema de anclaje como sistema de sostenimiento, en proyectos subterráneos de Ingeniería, se establece mediante un Patrón de Sostenimiento. El patrón de sostenimiento consiste en la definición de las separaciones entre anclajes individuales y la longitud del anclaje. A continuación se presenta cada uno de los elementos que compone el Patrón de Sostenimiento.

3.6.1 Longitud

Dado un anclaje con una longitud definida, la longitud puede o no atravesar la cuña, la puede atravesar de forma parcial o en su totalidad, lo que genera las siguientes tres posibilidades:

a) Longitud dentro de la cuña “«” al analizar la discontinuidad “�”: N�±I�,� b) Longitud fuera de la cuña “«” cuando el anclaje no ha atravesado el Bloque al

analizar la discontinuidad “�”: N:OÓI�,�. c) Longitud fuera de la cuña “«” luego de que el anclaje atraviesa el Bloque al

analizar la discontinuidad “�”: NÔ<PI�,�. Para identificar qué longitud del anclaje atraviesa o no el bloque de roca, se obtiene el punto de intersección entre la ecuación de una recta en el espacio que representa el anclaje y la ecuación que representa un plano de discontinuidad que conforma un bloque crítico.

Para encontrar el punto de intersección entre el sistema de anclaje y un plano de discontinuidad, se plantean las ecuaciones al considerar una sección de excavación circular y que los anclajes son radiales a la sección de excavación. Para encontrar la ecuación de una recta en el espacio que represente el anclaje, se obtienen los cosenos directores por cada anclaje individual y se adopta como punto de origen el centro de la sección de excavación. Por cada anclaje se analizan cada uno de los planos de las


discontinuidades que conforman el bloque crítico. La Figura 3-3, presenta la intersección entre la recta en el espacio que representa un anclaje con un plano de discontinuidad en el plano de proyección y’z’.

Figura 3-3. Esquema de las longitudes de un anclaje, fuera, dentro y empotrada en la cuña.

En la Figura 3-3 se observa el punto de referencia del anclaje en el centro de la sección de excavación circular y el vector que representa la orientación de los cosenos directores. La ecuación del plano de discontinuidad que conforma la cuña es la siguiente:

~ ∗ XYC,D $ � ∗ XZC,D $ � ∗ X[C,D � XC,D (3-51)

Donde, ¿ß�,�, ¿Ã�,�, ¿à�,�, son los cosenos directores del plano; ¿�,«, es la constante del

del plano, que representan la discontinuidad “�” en la cuña “«”; ,Q,ò, son las coordenada xyz del plano en el espacio.

Y las coordenadas del vector que representa la dirección del anclaje son las siguientes:

~′ � Y ID $ XY ∗ /��IC,D $Xp \⁄ 0 (3-52)

�′ � Z ID $ XZ ∗ /��IC,D $Xp \⁄ 0 (3-53)

�′ � [ ID $X[ ∗ /��IC,D $ Xp \⁄ 0 (3-54)

Bloque en posición Inicial

Dirección del Anclaje 1

R

ANCLAJE 1


Longitud total del anclaje

Longitud dentro de la cuña

Longitud fuera de la cuña


Longitud total del anclaje

Dirección del Anclaje 2

Líneas de Intersección entreplanos de discontinuidad

Ápice

ANCLAJE 2


Siendo: ýI�,¤ la longitud necesaria del anclaje para interceptar el plano de discontinuidad

“�” en la cuña “¤”; ¿ßP, ¿ÃP y ¿àP, representan el vector unitario de la dirección del

anclaje; ¿I, el diámetro del túnel; ßPI�, ÃPI�, àPI� son las coordenadas del punto de

referencia del anclaje; S,Q,ò, las coordenadas xyz de la recta en el espacio.

Al igualar las expresiones anteriores se obtiene la longitud requerida para que un anclaje con dirección previamente establecida interseque el plano de discontinuidad “�”/ýI�,¤0.

vx³I� $ Dx³ ∗ /LUI�,� $ Dw 2⁄ 0x ∗ Dx�,� $ vy³I� $ Dy³ ∗ /LUI�,� $Dw 2⁄ 0x ∗ Dy�,�$ vz³I� $ Dz³ ∗ /LUI�,� $ Dw 2⁄ 0x ∗ Dz�,� � D�,� LUI�,� � D�,� � x³I� ∗ Dx�,� � y³I� ∗ Dy�,� � z³I� ∗ Dz�,�Dx³ ∗ Dx�,� $ Dy³ ∗ Dy�,� $ Dz³ ∗ Dz�,� � Dw 2⁄

Al considerar que el punto de referencia del anclaje se ubica en el centro de la excavación, y que se usa el sistema coordenado transformado, perpendicular a la sección de excavación, se reemplaza y³I� � 0 y z³I� � Hw.

��IC,D � XC,DIY fD∗XYC,DI¢p∗X[C,DXY ∗XYC,D]XZ ∗XZC,D]X[ ∗X[C,D � Xp \⁄ (3-55)

En la expresión anterior sólo interviene la coordenada ßPI�, determinando la ubicación

del anclaje a los largo del túnel.

La longitud NWI�,� puede tomar valores negativos, y en tal caso se concluye que el

anclaje no atraviesa el bloque de roca crítico. Cuando la longitud NWI�,� toma valores

positivos, se procede a analizar si el punto de intersección se encuentra entre los tres puntos que definen el plano en el bloque crítico: dos vértices y el ápice. La Figura 3-4, presenta los puntos que definen el plano de análisis asumiendo que los vértices que conforman el plano de análisis en la discontinuidad se denominan V1 y V2, y que el ápice es A.

Figura 3-4. Esquema del análisis de una discontinuidad que es intersecada por un anclaje.

Anclaje Punto de intersección (P)

Plano de discontinuidad de análisis

V1

V2

A


Para determinar si el punto de intersección entre la recta que representa el anclaje y el plano de discontinuidad se encuentra entre los puntos que definen el plano en la cuña crítica, se utiliza el producto cruz entre los puntos. De acuerdo a la Figura 3-4, se deben hacer los siguientes productos cruz.

Ú � X�� × X� � Ï�� (3-56)

X� � X1�� × X1 � Ï�� (3-57)

X1 � Ú�� × Ú � Ï�� (3-58)

De los vectores anteriores se evalúa si presentan el mismo signo al comparar cada una de sus componentes, es decir, si todos tienen igual signo en el componente “�”, igual signo en su componente “�” e igual signo en su componente “�”, lo que representa que los vectores son normales al plano de discontinuidad en el mismo sentido. Si todos los vectores son normales al plano de análisis en el mismo sentido, se dice que el anclaje si interseca el plano de discontinuidad, y no interseca el plano de discontinuidad si al menos un vector es normal en una dirección diferente. La Figura 3-5 presenta dos esquemas, el primero donde el anclaje interseca el plano de análisis y el segundo donde e anclaje no interseca el plano.

(a) (b)

Figura 3-5. Análisis de un anclaje que (a) interseca y (b) no interseca una discontinuidad.

Del análisis de la Figura 3-5 se observan los siguientes sentidos del producto cruz para el esquema (a):

Ú � X�� × X� � Ï�� → �$� ↺ X� � X1�� × X1 � Ï�� → �$� ↺ X1 � Ú�� × Ú � Ï�� → �$� ↺

Anclaje

V1

V2

A

P (+)

(+)

(+)

Anclaje

V1

V2

A

(+)

(+)

P

(-)


De este mismo análisis se observan los siguientes sentidos del producto cruz para el esquema (b):

Ú � X�� × X� � Ï�� → �$� ↺ X� � X1�� × X1 � Ï�� → �$� ↺ X1 � Ú�� × Ú � Ï�� → �� ↻

Una vez se obtiene la longitud del anclaje que interseca el plano de discontinuidad ýI�,¤, se compara con la longitud real del anclaje �, para finalmente obtener la longitud del

anclaje que se encuentra dentro del bloque �ØI�,¤ o empotrada È[�I�,¤ en roca estable,

de acuerdo a los siguientes criterios:

a) Si ýI�,¤ ≥ �,�ØI�,¤ � �kÈ[�I�,¤ � 0

b) Si ýI�,¤ < �,�ØI�,¤ � ýI�,¤kÈ[�I�,¤ � � � ýI�,¤ Con los condicionales anteriores se concluye la longitud que queda empotrada o dentro del bloque crítico, mediante el análisis de cada discontinuidad, lo que significa que por cada discontinuidad se tendrán valores de �ØI�,¤ y È[�I�,¤. Un caso especial sucede si se obtienen más de dos longitudes �ØI�,¤ en el análisis de un

bloque crítico, es decir, cuando un anclaje interseca dos planos de discontinuidad. En este caso existe una longitud del anclaje que queda por fuera del bloque crítico \��I�,¤, y

cumple a las siguientes condiciones:

Asumiendo que las longitudes de empotramiento corresponden a los planos de discontinuidad 1 y 2:

a) \��I¤ � �í!/�ØIb,¤k�ØI\,¤0 b) �ØI¤ � �áY/�ØIb,¤k�ØI\,¤0 � \��I¤ c) Si �ØI¤ < �,È[�I�,¤ � � � �ØI¤ d) Si �ØI¤ � �,È[�I�,¤ � (

3.6.2 Espaciamiento

Son dos las direcciones del espaciamiento del sistema de anclaje, 1) espaciamiento longitudinal �2�, y 2) espaciamiento transversal �2m�. El espaciamiento longitudinal del sistema de anclajes se presenta en la dirección del túnel �2�, es decir, en la dirección del sistema coordenado transformado q′, mientras el espaciamiento transversal se presenta tangente a la sección de excavación �2m�, en el plano y’z’ transformado.


El espaciamiento longitudinal se da en unidades de longitud, y el espaciamiento transversal se puede definir como una longitud o como un ángulo, mediante la siguiente relación:

/p � Xp\ ∗ ,H8�]p� (3-59)

Donde, ^I: es el ángulo de repartición transversal de pernos, jm: es el diámetro del túnel.

La repartición transversal máxima �_[hqI¤�, es la máxima distancia angular entre dos

puntos que conforman la cuña. Este parámetro se obtiene al realizar el producto vectorial “punto”, entre los vectores que unen el centro del túnel con los vértices y ápices, usando el sistema coordenado transformado q′k′¥′. La separación transversal de los pernos se efectúa dentro del ángulo de repartición de la sección de excavación, definido como dato de entrada.

En cuanto a la separación longitudinal, el sistema de anclajes inicia en la menor coordenada q′de los vértices y ápice/q′�[�ØI¤0, y termina en la coordenada q′mayor de

los vértices o ápice de la cuña/q′�[hqI¤0. La coordenada en q′ que adoptan los pernos

en la cuña “¤”, se define comoq′�I¤. 3.6.3 Ángulo de repartición

El ángulo de repartición de anclajes es uno de los elementos que define el “Patrón de Anclajes”. El ángulo de repartición representa la sección angular de excavación donde se instalan los anclajes y se define mediante dos ángulos: �Ø��h��_b�ÃD�Øh��_\�. Los ángulos se definen en sentido horario desde el eje central de la sección de excavación, de tal forma que en la clave del túnel las coordenadas son:

k� � (

¥� � Äm �jm \⁄ .

El ángulo de repartición transversal incide en la cantidad de anclajes a instalar en la sección transversal al eje de excavación.

La repartición longitudinal de los pernos, la definen las coordenadas máxima /q′�[hqI¤0 y

mínima /q′�[�ØI¤0 de los vértices y ápice, por cada cuña.


3.6.4 Resistencia

Para evaluar la resistencia del anclaje ante la caída de bloques, se analiza el tipo de fuerza que efectúa y la eficiencia con que se consigue. Las fuerzas resistentes y la forma en cómo afectan el factor de seguridad dependen del tipo de anclaje, la orientación del anclaje, la resistencia de la roca y de la transmisión de esfuerzos a la roca donde se considera la resistencia entre los contactos: roca – relleno, roca – anclaje, anclaje – relleno.

3.6.4.1 Resistencia al corte entre los contactos de material

La resistencia al corte del contacto entre diferentes materiales, permite estimar la fuerza admisible transferida por el anclaje a la roca circundante sin que falle el sistema de anclaje. La longitud en donde se define esta resistencia, para el contacto entre el material de relleno o anclaje y la roca circundante, se denomina como “longitud de empotramiento”. Esta longitud puede ser adoptada como un valor máximo, cuando se dispone del cuidado necesario para que sea definida una longitud constante o como un porcentaje de la longitud total del sistema de anclaje.

Si bien se puede definir la longitud de empotramiento como un valor de entrada para el diseño, no toda esta longitud logra su resistencia de diseño debido a que sólo actuará en dirección contraria al movimiento del bloque el tramo de la longitud de empotramiento que se encuentra sobre la roca circundante “estable”, es decir, el tramo de contacto entre el sistema de anclaje y la roca que se encuentra luego de atravesar la cuña inestable. Esta longitud se denomina como “Longitud efectiva de empotramiento”.

La longitud de empotramiento se estima para que resista una fuerza de tracción mayor a la resistencia del anclaje, lo que significa que el sistema de anclaje presenta como el elemento más débil la barra o el cable. Para esto, se mayora la resistencia del perno y se afecta la resistencia al corte del contacto entre materiales. La resistencia al corte en el contacto, se obtiene al multiplicar la longitud efectiva del empotramiento por el perímetro del contacto y por el esfuerzo de su resistencia al corte adoptado, uniforme, mediante la siguiente ecuación:

�% � %�∙� ∙`∙∅�/b (3-60)

Donde: þ�,es la fuerza cortante admisible en las paredes del hueco de perforación;È, la longitud de empotramiento efectiva;3O, el esfuerzo cortante último del contacto; ∅, el diámetro del hueco de perforación; þ2b, el factor de seguridad que disminuye la resistencia al corte de falla en el contacto.

El esfuerzo cortante último en el contacto, en muchos textos se encuentra en función de la litología de la roca o la calidad de ésta, mientras en algunas normas se acepta como


un factor de la resistencia a la compresión del material de relleno; para el contacto entre el material de relleno y la roca [2].

La resistencia del componente principal del anclaje “mk”, se multiplica por un coeficiente

de mayoración “ak” y se iguala a la fuerza admisible del contacto, para obtener la

longitud mínima de empotramiento:

� � �/b∙pZ∙aZ%�∙`∙∅ (3-61)

Definiendo el factor de seguridad del empotramiento þ2È como el producto entre el factor de seguridad de la resistencia al corte del contacto y el coeficiente de mayoración de la resistencia del sistema de anclaje:

�/ � �/b ∙ aZ (3-62)

Reemplazando (4-62) en (4-61), se obtiene la longitud de empotramiento efectiva:

� � �/ ∙pZ%�∙`∙∅ (3-63)

De la expresión anterior se observa que los parámetros que aumentan la longitud del empotramiento son: el factor de seguridad del empotramiento y la resistencia del elemento principal del sistema de anclaje, y los parámetros que disminuyen esta longitud son: la resistencia al corte del contacto y el diámetro que define el contacto. Además, se observa que la longitud de empotramiento se estima como un valor mínimo, debido a que una longitud menor podrá incidir en que la resistencia del sistema del anclaje no dependa de su elemento principal, sino del contacto entre materiales.

El factor de seguridad de la longitud de empotramiento “þ2È”, para algunas normas se encuentra en función de los niveles de riesgo, lo cual es similar a los niveles de incertidumbre, o de acuerdo al tipo de anclaje: temporal o permanente. Los factores de seguridad según la norma española [9] para anclajes temporales se encuentran entre 1,9 y 2,1, y para anclajes permanentes entre 2,2 y 3,0. El instituto de postensionamiento, recomiendan un factor de seguridad entre 2 y 4, lo cual aprueba un factor de seguridad promedio de 3,0 [10].

La longitud de empotramiento típica se encuentra entre 3 m y 10 m, siendo este el intervalo recomendable para sistemas de tendones de anclaje.

A continuación se presenta los aspectos particulares de cada uno de los tipos de contacto:


3.6.4.1.1 Resistencia en el contacto roca – material de relleno

La resistencia en el contacto, se asume como una resistencia al corte en la interface roca – material de relleno. El material de relleno usual es el grouting, la resina o la lechada, siendo estos los materiales más ensayados. Generalmente el esfuerzo resistente en el contacto roca - relleno, se adopta uniforme a lo largo de toda la longitud, lo que corresponde a las expresiones (4-60) a (4-63), pero algunos autores como Phillips, Farmer, Hawkes y Evans, Yu, entre otros [2], consideran que esta resistencia varía a lo largo de la longitud de empotramiento efectivo.

La resistencia última al corte, se encuentra documentada en diferentes textos, en función de la resistencia a la compresión simple de la roca o material de relleno, en función de la calidad de la roca o de la litología. La Tabla 3-1, presenta la resistencia última al corte, según la litología, recomendada por el Instituto de Postensionamiento PTI [11].

Tabla 3-1. Recomendación de la resistencia última al corte del contacto (PTI)

Tipo de Roca Rango de esfuerzo cortante último (MPa)

Granito y basalto 1,7 – 3,1 Caliza dolomítica 1,4 – 2,1 Caliza blanda 1,0 – 1,4 Pizarras y arcillolitas duras 0,8 – 1,4

Arcillolitas blandas 0,2 – 0,8 Areniscas 0,8 – 1,7 Areniscas meteorizadas 0,7 – 0,8

Chalk (creta) 0,2 – 1,1 Marga meteorizada 0,15 – 0,25 Concreto 1,4 – 2,8

Se recomienda que en rocas con resistencia controlada por las discontinuidades se use un valor menor a lo reportado en la Tabla 3-1 [11].

Según la norma española, la resistencia en roca dura, p. ej, granito, gneis, se encuentra entre 1 MPa y 2,5 MPa, mientras para una roca blanda, como los esquistos, pizarras o margas, la resistencia se encuentra entre 0,3 MPa y 1 MPa (Xanthakos).

Adicionalmente, el PTI (1996) recomienda la utilización de una resistencia en el contacto roca – relleno igual al 10% de la resistencia a la compresión simple de la roca, adoptando un valor máximo de 3,1 MPa.

En roca competente, la longitud de anclaje trabaja entre los primeros 1,5 m a 3,0 m [11].


3.6.4.1.2 Resistencia en el contacto anclaje – material de relleno

Es también conocido como el esfuerzo de adherencia y se adopta que este contacto falla antes que la resistencia del anclaje.

3.6.4.2 Contacto anclaje – roca

Se define como un dato de entrada, donde se debe referir a las especificaciones técnicas del sistema de soporte. Esto sucede en los anclajes tipo Swellex ®, Split Set ® y sistemas mecánicamente anclados.

3.6.5 Eficiencia del anclaje

La eficiencia del sistema de anclaje se evalúa en función de la real resistencia del anclaje que logra oponerse al movimiento. Para esto se utiliza el componente de la fuerza del anclaje que actúa en dirección contraria al movimiento.

El factor de eficiencia es igual al coseno del ángulo entre el vector del movimiento unitario y el vector unitario que representa la dirección contraria a la dirección en que se realiza la perforación del anclaje. La Figura 3-6, presenta un esquema con el ángulo que se utiliza para obtener el coeficiente de eficiencia del anclaje.

Figura 3-6. Ángulo para identificar el coeficiente de eficiencia del anclaje.

Bloque en posición Inicial

Eje del Movim

ientoθ

Proyección de Bloquemovilizado

Eje del AnclajeR

ANCLAJE


Ángulo entre el vector unitario del movimiento yel vector que representa la dirección contraria a

la dirección de perforación del anclaje


En la Figura 3-6 se observa que el coeficiente de eficiencia, definido como "cos�b�", se obtiene del producto punto entre el vector unitario que representa el movimiento del bloque y el vector unitario que representa la dirección contraria a la dirección de perforación del anclaje. Se observa que el coeficiente de eficiencia puede dar negativo cuando el anclaje no trabaja en el sostenimiento de la cuña.

3.7 Factor de seguridad

El diseño del sistema de anclaje más conservador es el que considera las fuerzas y el Bloque de la Cuña Crítica. La Cuña Crítica representa el Bloque Crítico de Roca, siendo el tamaño máximo que podría ingresar dada una Pirámide de Excavación.

La diferencia entre un anclaje temporal y uno permanente se encuentra en la definición del factor de seguridad. Para un anclaje temporal se considera un valor de factor de seguridad menor, para asumir un criterio más conservador. La diferencia entre un anclaje activo y un anclaje pasivo, es que el anclaje activo disminuye la magnitud del vector de las acciones activas que inestabilizan la Cuña crítica, lo que por definición aumenta la resistencia al corte de las discontinuidades.

El factor de seguridad se define en la dirección prevista del movimiento, mediante la relación entre las reacciones y las acciones. La ecuación (4-64), presenta el factor de seguridad adoptado.

�. /. � �� [H�, �C�� !� �∕, H%%C&! �� [H�X � d�C�C@�H!� �∕Þ%%C&! � (3-64)

3.8 Chequeos y Optimización

El chequeo se realiza sobre un patrón de anclajes definido, en cuanto a la longitud y la separación de los anclajes. Debido a que se puede programar y obtener matemáticamente los vértices y contactos entre el Bloque Crítico y la sección de excavación, se pueden simular varios puntos de aplicación de los pernos radiales.

Para lograr la optimización del sistema de anclaje se modelan distintas separaciones tangencial y longitudinales u horizontales, y se varían los puntos de aplicación inicial de los pernos radiales. El diseño óptimo es aquel que consigue el mínimo factor de seguridad requerido al menor costo.

Las modelaciones se pueden hacer: variando el punto de aplicación inicial del Patrón de Anclajes, la separación tanto longitudinal como tangencial y la longitud del anclaje. Por cada simulación realizada por el programa se valida que el sistema propuesto cumple con el factor de seguridad mínimo requerido y se realiza un estimativo de cantidad de obra por metro lineal de túnel. El diseño óptimo será el que cumpla con los


requerimientos mínimos de seguridad a un menor costo. Otra variable que se puede adicionar son los rendimientos de instalación de anclajes, lo que daría un estimativo de tiempos de construcción por cada modelación.

De acuerdo a la consideración del punto inicial de la repartición de anclajes, se podrán encontrar diferentes factores de seguridad, lo que finalmente podrá ser presentado como una probabilidad a la falla.

3.9 Ejemplo

De acuerdo al ejemplo de identificación de cuñas críticas presentado en el numeral 2.2.7, se requiere identificar el factor de seguridad sin y con sistema de sostenimiento para la cuña ubicada en el hastial derecho del túnel. El ángulo de resistencia friccional es de 35° y el peso unitario de la roca es de 2,7 t/m3. Cómo fuerzas activas actuantes se considera sólo el peso propio.

Los vectores unitarios normales y externos que representan cada uno de los planos de discontinuidad que conforman el bloque crítico son los siguientes:

Tabla 3-2. Vectores Normales Unitarios Externos

Al considerar sólo el peso propio del bloque, el vector activo es el siguiente:

FA�� W�� γh ∗ V� ∗ }001� FA�� 2,7 ç Â½j ∗ 2,47Â½ ∗ }001� FA�� } 006,66t�

El análisis de factores de seguridad sin y con soporte, requiere inicialmente que se identifica el vector de movimiento del bloque debido a la acción de las fuerzas activas,

Normal sin transformar

Plano Dx Dy Dz

1 0,88 0,32 0,34

2 -0,43 -0,75 0,50

3 0,10 -0,56 -0,82


para posteriormente identificar el factor de seguridad sin sostenimiento, seguido de la identificación del factor de seguridad con sistema de soporte.

3.9.1 Dirección del movimiento

Con el vector de fuerzas activas, se obtiene el mecanismo de falla de la cuña de roca, analizando cada una de las condiciones hipotéticas en que se presentaría el movimiento:

• Caído o levantamiento libre

Para que suceda el caído libre del bloque, el vector unitario de las fuerzas activas debe generar tracción en los tres planos de discontinuidad y dirigirse en el sentido de la gravedad. Para que suceda un levantamiento del bloque, el vector unitario de fuerzas activas debe generar tracción en todos los planos de discontinuidad y se debe encontrar en sentido contrario a la gravedad. El vector unitario que representa el movimiento de caído o levantamiento libre es el siguiente:

M��lLímn/oÐ·LÑ¸Lp�ÐÑ¸n � FA��KFA��K M��lLímn/oÐ·LÑ¸Lp�ÐÑ¸n � }001�

Siguiendo el análisis presentado en el numeral 3.4, al considerar un caído libre del bloque se obtiene lo siguiente:

Valor Producto

Punto

Requisito que se debe cumplir Observación

2,28 >0 ok El vector activo genera TRACCIÓN en la discontinuidad 1


-5,46 >0 mal El vector activo genera COMPRESIÓN en la discontinuidad 3

44,41 ≥0 ok La dirección del vector activo FACILITARÁ EL CAÍDO

Debido a que la dirección del caído genera compresión en la discontinuidad 3, el movimiento de la cuña no se trata de un caído libre.

Al considerar un levantamiento del bloque se obtiene lo siguiente:


Valor Producto

Punto





44,41 <0 mal La dirección del vector activo FACILITARÁ EL CAÍDO

Debido a que la dirección del caído genera compresión en la discontinuidad 3 y que el vector activo se encuentra en el sentido gravitacional, el movimiento de la cuña no se trata de un levantamiento.

• Deslizamiento a lo largo de un plano de discontinuidad:

Para que el bloque de roca se deslice sólo a través de un plano de discontinuidad, el vector que representa el movimiento a lo largo del plano debe generar tracción en los planos de discontinuidad restantes y compresión en el plano de discontinuidad de análisis. El vector que representa el movimiento a lo largo de un plano de discontinuidad es el siguiente:

Å��C � /!��C!�IC × �Þ'��0 × !��C!�ICK/!��C!�IC × �Þ'��0 × !��C!�ICK El vector que representa el movimiento a lo largo del plano de discontinuidad 1, es el siguiente:

Å��b � }�0,32�0,120,94 � Del análisis de la discontinuidad 1, se obtiene lo siguiente:

Valor Producto

Punto


2,28 ≤0 mal El vector activo genera TRACCIÓN en la discontinuidad 1

0,70 >0 ok El movimiento activo genera TRACCIÓN en la discontinuidad 2

-0,74 >0 mal El movimiento activo genera COMPRESIÓN en la discontinuidad 3

Lo anterior descarta que el movimiento suceda a lo largo del plano de discontinuidad 1.

El vector que representa el movimiento a lo largo del plano de discontinuidad 2, es el siguiente:


Å��\ � }0,250,430,87� Del análisis de la discontinuidad 2, se obtiene lo siguiente:

Valor Producto

Punto


3,33 ≤0 mal El vector activo genera TRACCIÓN en la discontinuidad 2


-0,93 >0 mal El movimiento activo genera COMPRESIÓN en la discontinuidad 3

Lo anterior descarta que el movimiento suceda a lo largo del plano de discontinuidad 2.

El vector que representa el movimiento a lo largo del plano de discontinuidad 3, es el siguiente:

Å��¾ � } 0,14�0,810,57 � Del análisis de la discontinuidad 3, se obtiene lo siguiente:

Valor Producto

Punto


-5,46 ≤0 ok El vector activo genera COMPRESIÓN en la discontinuidad 3



Lo anterior señala que el movimiento sucede a lo largo del plano de discontinuidad 3. Aunque se identifica la dirección del movimiento, se valida mediante el análisis de las intersecciones.

• Deslizamiento a lo largo de una Intersección:

Para que el movimiento se origine a lo largo de una línea de intersección entre dos planos de discontinuidad, la dirección del movimiento debe generar compresión entre los dos planos de discontinuidad de análisis y tracción en el plano de discontinuidad restante. El vector que representa el movimiento del bloque a lo largo de una intersección se define con las siguientes ecuaciones:

Å#I'�� C.!& ∗ #� = XY $ '� = XZ $ )� = X[G�XY�\ $ �XZ�\ $ �X[�\\


�C.!& � a#I'�� ∙ �Þ'��H@�Ka#I'�� ∙ �Þ'��K El vector de movimiento del análisis entre los planos de discontinuidad 1 y 2, es el siguiente:

ÅbI\�� }�0,470,660,59 � Del análisis del movimiento entre los planos de discontinuidad 1 y 2, se obtuvo lo siguiente:

Valor Producto

Punto



0,70 ≤0 mal El movimiento activo sobre la discontinuidad 1 genera TRACCIÓN sobre la discontinuidad 2


Lo anterior demuestra que el movimiento no se presenta a lo largo de la intersección entre los planos de discontinuidad 1 y 2.

El vector de movimiento del análisis entre los planos de discontinuidad 1 y 3, es el siguiente:

ÅbI¾�� } 0,08�0,820,57 � Del análisis del movimiento entre los planos de discontinuidad 1 y 3, se obtuvo lo siguiente:

Valor Producto

Punto



-0,74 ≤0 ok El movimiento activo sobre la discontinuidad 1 genera COMPRESIÓN sobre la discontinuidad 3



El vector de movimiento del análisis entre los planos de discontinuidad 2 y 3, es el siguiente:


Å\I¾�� } 0,90�0,310,32 � Del análisis del movimiento entre los planos de discontinuidad 2 y 3, se obtuvo lo siguiente:

Valor Producto

Punto


0,00 >0 mal El vector activo genera COMPRESIÓN en la discontinuidad 3

-0,93 ≤0 ok El movimiento activo sobre la discontinuidad 2 genera COMPRESIÓN sobre la discontinuidad 3



3.9.2 Factor de seguridad sin soporte

Luego de identificar la dirección del movimiento, se obtiene que la resistencia al deslizamiento de la cuña lo presenta el plano de discontinuidad 3. La resistencia del plano de discontinuidad 3 es la siguiente:

DATO VALOR UNIDAD

Área del Plano 5,17

Fuerza Normal 5,46 t

Esfuerzo Normal 1,06 t/m2

Esfuerzo Cortante Resistente 0,740 t/m2

Fuerza Cortante Resistente 3,82 t La fuerza desestabilizante se obtiene del producto punto entre el vector activo de fuerzas y el vector del movimiento:

DATO VALOR UNIDAD

Fuerza Desestabilizante 3,82 t

La Tabla 3-3, presenta la comparación entre los factores de seguridad calculados y los presentados por el programa computacional Unwedge ®.

Tabla 3-3. Comparación entre los factores de seguridad calculados y obtenidos en Unwedge ®.

Calculado Unwedge® F.S. sin Anclaje 1,00 1,00


En la Tabla 3-3, se observa la similitud entre el valor calculado y el factor de seguridad reportado por un software de uso común para el análisis de cuñas.

3.9.3 Factor de seguridad con soporte

Al considerar un anclaje como sistema de soporte, inicialmente se adopta un punto inicial de distribución de anclajes, un vector unitario y una longitud.

Para el análisis de la cuña en el hastial derecho se adopta un anclaje orientado hacia la derecha, horizontal, en el sistema coordenado transformado x’.y’.z’. El vector unitario que representa el anclaje es el siguiente:

ê� � }010� El punto de origen desde donde se proyectara el anclaje se adopta desplazado 0,5 m respecto a la posición del ápice, con coordenadas transformadas x’,y’.z’ ð0,50; 0,00; 100,04ñ. La longitud del anclaje es de 2 m, de tipo friccional pasivo.

La Tabla 3-4, presenta las coordenadas de los vértices tangentes, vértice secante y ápice de la cuña identificada sobre el hastial derecho.

Tabla 3-4. Coordenadas del ápice y vértice que conforma la cuña crítica.

Transformados Punto x' y' z'

A 0,00 4,10 100,17

1 1,00 1,61 98,08 2 -0,06 1,44 102,04 3 3,56 2,20 101,20

Luego de adoptar un punto de origen, una orientación y una longitud de anclaje, y de obtener los puntos que delimitan la geometría del bloque, se hallan los puntos de intersección entre el anclaje y planos de discontinuidad, y la longitud del anclaje entre la sección de excavación y los planos de discontinuidad.

La Tabla 3-5, presenta la longitud entre la sección de excavación y cada uno de los planos de discontinuidad en la dirección del vector unitario ê�, y las coordenadas correspondientes al punto de intersección.


Tabla 3-5. Longitud de intersección entre el perno y los planos de discontinuidad (LN) y coordenadas transformadas del punto de intersección

Plano LN (m) x' (m) y' (m) z' (m) 1 -1,116 0,500 1,384 100,044 2 1,104 0,500 3,604 100,044 3 1,716 0,500 4,216 100,044

En la Tabla 3-5 se observa una longitud negativa entre la sección de excavación y el plano de discontinuidad 1, lo cual indica que el anclaje no atraviesa este plano. Sin embargo, el procedimiento para saber si el punto de intersección se encuentra entre alguna de las respectivas paredes del bloque de roca se indica en el numeral 3.6.1.

A continuación se presenta el análisis realizado para cada uno de los planos de discontinuidad:

• Plano de discontinuidad 1:

Punto X’ Y’ Z’

Ápice 0,00 4,10 100,17 Vértice 1 1,00 1,61 98,08 Vértice 2 -0,06 1,44 102,04

Intersección P 0,50 1,38 100,04 Vector 1 Vector 2 Producto Cruz

Triángulo DX1 DY1 DZ1 DX2 DY2 DZ2 DX DY DZ

∆A2P 1,00 -2,49 -2,09 -0,50 -0,22 1,96 -5,34 -0,92 -1,46

∆23P -1,05 -0,17 3,96 0,56 -0,06 -2,00 0,56 0,10 0,15

∆3AP 0,06 2,65 -1,87 0,50 -2,71 -0,13 -5,41 -0,93 -1,48

Se observa que los signos de las componentes DX para los distintos triángulos no es el mismo, lo que también sucede con las componentes DY y DZ.



Ápice 0,00 4,10 100,17

Vértice 1 1,00 1,61 98,08

Vértice 3 3,56 2,20 101,20

Intersección P 0,50 3,60 100,04

Vector 1 Vector 2 Producto Cruz


∆A2P 1,00 -2,49 -2,09 -0,50 2,00 1,96 -0,71 -0,92 0,75

∆23P 2,56 0,59 3,11 -3,06 1,41 -1,15 -5,06 -6,57 5,41


∆3AP -3,56 1,90 -1,02 0,50 -0,49 -0,13 -0,75 -0,97 0,80

Se observa que los signos de las componentes DX para los distintos triángulos es el mismo, lo que también sucede con las componentes DY y DZ. Esto indica que el anclaje considerado si puede atravesar el plano de discontinuidad 2



Ápice 0,00 4,10 100,17

Vértice 2 -0,06 1,44 102,04

Vértice 3 3,56 2,20 101,20

Intersección P 0,50 4,22 100,04

Vector 1 Vector 2 Producto Cruz


ΔA2P -0,06 -2,65 1,87 0,56 2,78 -2,00 0,12 0,93 1,32

Δ23P 3,62 0,76 -0,85 -3,06 2,02 -1,15 0,84 6,76 9,62

Δ3AP -3,56 1,90 -1,02 0,50 0,12 -0,13 -0,12 -0,97 -1,38

Lo anterior indica que el anclaje no atraviesa el plano de discontinuidad 3, debido a que los componentes DX, DY y DZ no tienen igual signo.

El análisis anterior determinó que el anclaje proyectado de la forma adoptada, sólo atravesaría el plano de discontinuidad 2. Luego, se determina que longitud queda dentro de la cuña N�±I�,�, qué longitud queda fuera N:OÓI�,� y qué longitud queda empotrada NÔ<PI�,�. Adoptando un anclaje de 2 m de longitud, las longitudes identificadas fueron las

siguientes:

Tabla 3-6. Longitudes del anclaje dentro, fuera y empotradas.

Plano

1 2 3

L-in (m) 0,000 1,104 0,000

L-out (m) -1,116 0,000 1,716

L-emp. (m) 0,000 0,896 0,000

La Tabla 3-6, presenta los tramos internos y empotrados del anclaje de 2 m considerado, atravesando el plano de discontinuidad 2.


Debido a que se trata de un anclaje friccional pasivo, su resistencia depende en parte de la longitud de empotramiento del anclaje, por lo cual se desarrolla un diagrama de resistencia. Las consideraciones en el diseño del anclaje son las siguientes:

Resistencia del acero a la fluencia= 420 MPa N° de Barra= 8

Diámetro= 2,54 cm Área= 506,7 mm²

Cortante último (lechada-roca)= 2,00 MPa F.S. Cortante (lechada-Roca)= 3

De donde se obtiene la resistencia del anclaje, representado como la resistencia de la barra metálica y la resistencia en el contacto lechada-roca:

Fúltima anclaje = 213,0 kN

F. S. anclaje= 1,5 Ftrabajo anclaje = 142,0 kN

Fuerza Resistencia lechada = 53,2 kN/m 5,3 t/m

La Figura 3-7, presenta el diagrama de resistencia del anclaje de tipo friccional pasivo, al considerar 0,896 m de longitud de empotramiento, la resistencia de la barra metálica y la resistencia friccional en el contacto lechada-roca.

Figura 3-7. Diagrama de resistencia del anclaje de tipo friccional pasivo.

El diagrama de resistencias de la Figura 3-7 presenta que la resistencia del anclaje es de 4,8 toneladas.


Al tratarse de un anclaje pasivo, no se incrementa el esfuerzo normal sobre el plano de discontinuidad 2, por lo cual no se considera un aumento en la resistencia friccional aportado por los planos de discontinuidad. Para evaluar la efectividad del anclaje, se considera un factor de eficiencia. El factor de eficiencia es igual al coseno del ángulo entre el vector del movimiento unitario y el vector unitario que representa la dirección contraria a la dirección del anclaje. Para esto se utiliza el producto punto entre estos dos vectores, obteniendo un valor de eficiencia de 0,81.

El factor de seguridad con sistema de soporte se obtiene de la siguiente forma:

6. q. � 3,82ç $ 4,8ç ∗ 0,813,82ç � 2,01

La Tabla 3-7, presenta la comparación de resultados entre los factores de seguridad calculados y los factores de seguridad obtenidos en Unwedge®.

Tabla 3-7. Comparación de resultados de factores de seguridad.

Calculado Unwedge ® Eficiencia

F.S. sin Anclaje 1,00 1,00 - F.S. con Anclaje

Cosine Tension/Shear 2,01 2,25 0,81

Los resultados de los factores de seguridad son muy parecidos, lo que valida el factor de seguridad calculado.

CONCLUSIONES

Con la técnica alternativa propuesta para la identificación de los Bloques Críticos, denominada como “método de rectas principales y secundarias”, se presenta una metodología gráfica y sencilla que se ajusta rápidamente a cualquier sección de excavación.

La utilización del algoritmo de Kirk Patrick, de sencillez matemática, junto con el “método de rectas principales y secundarias”, se complementa y se constituye como un método alternativo a la teoría del “key block”. El método alternativo consigue una mayor precisión en la definición de los vértices y ápices que conforman la cuña crítica, y fue probado con un software de uso común en la actualidad.

Con la elaboración del documento investigativo, se desarrolló un programa que sigue el método de Rectas Principales y Secundarias para la identificación de los Bloques Críticos. Con el programa se pueden analizar tres sistemas de discontinuidades en secciones de excavación circular, que identifica la totalidad de los Bloques Críticos posibles y otorga la información requerida para un análisis más avanzado y personalizado del diseño de un sistema de anclaje. En la actualidad los programas de cómputo se limitan a entregar datos procesados a través de consideraciones predefinidas, sin permitir un análisis particular diferente al planteado por el desarrollador del programa.

Con la geometría establecida del Bloque Crítico, se puede encontrar la efectividad de un sistema de anclajes dado. La definición de la efectividad del sistema de anclaje no se encuentra programado, pero se considera una investigación futura.

El algoritmo definido para la obtención de las longitudes de los anclajes que no atraviesan la cuña, que la atraviesan o que quedan empotrados después de atravesar la cuña, permite identificar un mejor entendimiento del trabajo individual de los anclajes. Este dato no lo comparte el software de uso comercial. El trabajo individual de cada anclaje se pretende con la finalidad de obtener una mayor precisión sobre la eficiencia con que actúa el anclaje respecto a una cuña en particular. Un programa avanzado de sistema de anclajes debe considerar la falla del material rocoso debido a la fuerza resistente que aporta el anclaje, para lo que pueden ser útiles las teorías propuestas por Coats, Ucar y método variacional.


Las particularidades que se pueden interpretar con el método planteado incluye: la consideración del efecto de los estados de esfuerzo, el efecto del empuje del agua sobre las discontinuidades, el efecto del sismo sobre la cuña, el análisis de resistencias movilizadas, el análisis de magnitudes de fuerzas externas desequilibrantes, análisis del aporte de otros sistemas de sostenimiento (p. ej. Concreto lanzado y arcos metálicos), optimización de sistemas de anclaje, entre otras.

Los métodos establecidos como una guía para el sostenimiento de mecanismos de falla en cuña, son de gran aplicabilidad para el diseño del sostenimiento y para su optimización. La programación facilitará el análisis mediante trabajos en oficina y durante construcción, donde se podrá identificar el sistema de sostenimiento óptimo requerido para la estabilización de una cuña de roca mediante un patrón de anclajes o mediante la instalación de anclajes individuales y aislados.

Con la programación de lo presentado en este trabajo, se podrán realizar varios trabajos investigativos complementarios, como por ejemplo: el estudio de la resistencia movilizada de la cuña de roca; la complementación con la continuidad, abertura y espaciamiento de las discontinuidades; el análisis de cuñas parcialmente expuestas en la obra subterránea, entre otras.

BIBLIOGRAFÍA

[1] HOEK, E. (2007). Practice Rock Engineering. Notes were originally prepared during the period 1987 to 1993 for undergraduate and graduate courses in rock engineering at the University of Toronto

[2] UCAR NAVARRO (2004). Manual de anclajes en ingeniería civil. Madrid, Universidad Politécnica de Madrid.

[3] HOEK, E.; WOOD, D (1987). Support In Underground Hard Rock Mines.Edited by J. Udd.(Montreal; Canadian Institute of Mining and Metallurgy).SpecialVolume 35, 1987, pages 1-6.

[4] CARRANZA, C.; FAIRHUST, C.; Aplicación del Método de Confinamiento-Convergencia para el diseño de Túneles en los Macizos Rocosos que Satisfacen el Criterio de Rotura de Hoek-Brown. Libro: Ingeo Túneles, tomo 4, Madrid 2001.

[5] HOEK, E.; BROWN E. T. (1985). Excavaciones Subterráneas en Roca. Traducción: Raymundo Dely. Edición en español, MacGraw-Hill, México.

[6] HOEK, E.; KAISER, P.K. and BAWDEN, W.F. Support Of Underground Excavation in Hard Rock. Funding by Mining Research Directorate and Universities Research Incentive Fund.University of Toronto, 1995.

[7] XANTHAKOS, PETROS P.. Ground anchors and anchored structures. Jhon Wiley & sons, INC. Canada, 1991.

[8] KOLYMBAS, DIMITRIOS. Tunelling and tunnel mechanics.2nd corrected printing, Springer – Verlag Berlin Heidelberg. Austria , 2010.

[9] COLEGIO DE INGENIEROS DE CAMINOS, CANALES Y PUERTOS. Recomendaciones para el proyecto, construcción, control de anclajes al terreno. Madrid, 1996.

[10] POST-TENSIONING INSTITUTE (PTI). Recomendations for prestressed rock and soil anchors. USA, 1980.

[11] P.J. SABATINI, D. G. PASS, R. C. BACHUS. Geotechnical Engineering circular No. 4, ground anchors and anchored systems. Office of bridge technology, 1999.


[12] MINOVA. Swellex, pernos de Atlas Copco. Cooperación de Ingeniería de exploración y Atlas Copco, Marsta, Suecia y de Minova international, Melbourne, Australia. Septiembre, 2009.

NOMENCLATURA

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anclajes en la mecánica de rocas con aplicación a túneles 23 ante

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