descripción lagrangiana y euleriana

8/19/2019 Descripción Lagrangiana y Euleriana

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GRUPO 4 “DESCRIPCION

LAGRANGIANA Y

EULERIANA”


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“DESCRIPCION LAGRANGIANA”

DESCRIPCION LAGRANGIANA (Joseph Louis Lagrange 1736-1813)

Estudia una sola partícula masa fija (masa de control) según su

movimiento, y posición a través del tiempo

Sigue el rastro del vector posición de cada objeto

Sigue el rastro del vector de velocidad de cada objeto

, …

, …

En función del tiempo “t”


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• Fijando t : r(Xo, t) proporciona la posición de la partícula en ese instante.

• Fijando Xo : r(Xo, t) proporciona la evolución temporal de la posición de la

partícula.


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Proporciona buenos resultadosen el análisis del movimiento desólidos rígidos. Y no en elanálisis de movimiento de fluido


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Las partículas del fluido al desplazarse en todas direcciones no pueden

definirse e identificarse con facilidad.

C R CTERISTIC S P R EL N LISIS EN UN FLUJO DE FLUIDOS

El fluido es continuum; las interacciones de los fluidos no son tan fáciles

de describir, estas se deforman de manera continua a medida que se

mueven


Pero existen aplicaciones practicas como seguir el rastro de escalares pasivos en un flujo


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Se definen variables de campo, funciones del espacio y el tiempo, dentro

del volumen del control

“DESCRIPCION EULERIANA”

DESCRIPCION EULERIANA (Leonhard Euler 1707 - 1783)

Se define como un volumen finito, llamado dominio de flujo o volumen de

control que atraviesa una porción del espacio

Campo de presión: = , , ,

Campo de velocidad:

Campo de aceleración:

= , , ,

= ,, ,

Definen

campo de

flujo


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Todas esas variables de campo se definen en cualquier ubicación ,,Dentro del volumen de control y en cualquier instante t

CARACTERISTICAS PARA EL ANALISIS EN UN FLUJO DE FLUIDOS

No es necesario seguir el rastro de la posición y la velocidad de una

masa fija de partículas de fluido

No importa lo que sucede a las partículas de fluido por separado se

centra la atención en la presión, la velocidad, la aceleración, etcétera, de

cualquiera que sea la partícula de fluido que llegue a estar en el lugar deinterés en el momento de interés.


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Fijando t: v(x,t) proporciona la velocidad de

todas las partículas que en el instante t están

ocupando el V.C.

Fijando x : v(x,t) proporciona la velocidad de la

partícula que en cada instante está ocupando la

posición x en el V.C.

El campo de velocidad se puede desarrollar como:

= , , = , , , + , , , + , , ,


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“DESCRIPCION LAGRANGIANA Y EULERIANA”

Al estudiar una masa de

control, estudiamos un

fragmento del material y

seguimos su movimiento vale

decir sigue la huella de la

posición y de la velocidad de

cada partícula..

Al estudiar un volumen de control,

estudiamos lo que atraviesa una

porción del espacio y en ella se

definen las variables de un

campo, como el campo de presión

y el campo de velocidad, en

cualquier lugar y cualquierinstante.

El enfoque de las

masas de control es

el enfoque

Lagrangiano

El enfoque de los

volúmenes de control

es el Euleriano.

DESCRIPCION LAGRANGIANA DESCRIPCION EULERIANA

Finalmente el enfoque Euleriano es mas conveniente para las aplicaciones de Mecánica de Fluidos entanto que las mediciones se ajustan mas a esta descripción


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EJEMPLO

Campo bidimensional de velocidad (flujo

bidimensional)Determinar un punto de estancamiento

en este campo de flujo

1 tenemos que ubicar el punto de estancamiento, trazando varios vectores de velocidad

Punto de estancamiento eta en:

= , = 0.5 + 0.8 + 1.5 + 0.8

= 0.5 + 0.8 = 0 → = −0.625 = 1.5 − 0.8 = 0 → = 1.875


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“ EJEMPLOS ”


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EJEMPLO• Dado el vector velocidad = 6 + 5 − 3 + (7 − 5) . Halle la

velocidad en el punto P(2,1,4) en un tiempo de 3seg.

• SOLUCION: Reemplazamos los datos del punto P y el tiempo obteniéndose

que:• = ( 6 2 1 + 5 2 3 − 3 1 + 7 2 1 − 5 4 3

• = 42 − 3 − 46

• El módulo de la velocidad es:

• = 42 + 3 + 46

• = 62,36/


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EJEMPLO DE APLICACION

• Se tiene que estudiar la situación del tráfico en la ciudad deHuancavelica, donde no se permiten automóviles (circulanbicicletas). Comente sobre cómo se podría realizar dicho

estudio utilizando un procedimiento Lagrangiano y unprocedimiento Euleriano.

• SOLUCION:

• .Para el estudio por el método Lagrangiano se tendrá querecorrer la ciudad en bicicleta y anotar las observacionesapropiadas.

• .Por el método Euleriano el estudio se hará ubicándose en

puntos específicos (intersecciones) de la ciudad y anotar lasobservaciones requeridas.


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“ CAMPO DE

ACELERACIONES ”


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{

DESCRIPCIONES LAGRANGIANA Y EULERIANA

Volumen

de

control


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En lugar de ello, se definen variables de campo, funciones del espacio y eltiempo, dentro del volumen de control


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Campo de aceleraciones


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“EJEMPLOS DE

CAMPO DE

ACELERACIONES ”


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“DERIVADA MATERIAL”


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se le da un nombre especial, el de derivadamaterial.


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D / Dt, para hacer resaltar que seforma cuando sigue una partícula de

fluido a medida que se mueve por elcampo de flujo

Otros nombres para derivadamaterial

total, de partícula, lagrangiana,

euleriana y sustancial

LA DERIVADA MATERIAL SE DEFINE CUANDOSIGUE UNA PARTICULA DE FLUIDO CONFORME SEDESPLAZA POR TODO EL CAMPO DE FLUJO.


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DERIVADA MATERIAL

Cuando se aplica la derivada material de laecuación al campo de velocidad, el resultado esel campo de aceleración, según se expresa por

la ecuación, a la cual, en consecuencia, a vecesse le da el nombre de aceleración material.


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ACELERACIÓN MATERIAL


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La ecuación representa la razón de cambio respecto al tiempo de la presión,siguiendo una partícula de fluido a medida que se desplaza por el flujo y contienetanto componentes locales (no estacionarias) como convectivas (Fig.siguiente).


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derivada material D/Dt se compone• de una parte local o no-estacionaria y una parte convectiva.


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Sea el campo bidimensional estacionario de velocidad(Se da un campo estacionario, incompresible y bidimensional de velocidad por:)

Considere el campo bidimensional estacionario e incompresible de velocidad


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a) Calcule la aceleración material en el punto (x = 2 m, y= 3 m).b) Trace un esquema de los vectores de aceleración material en el mismo arreglo devalores x y y

SOLUCIÓNPara el campo de velocidad dado, debe calcularse el vector deaceleración material en un punto particular y trazar la gráfica en unarreglo de ubicaciones en campo de flujo.


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1 El flujo es estacionario e incompresible.

2 El flujo es bidimensional, lo que implica que no hay

componente z de la velocidad y no hay variación de u o vcon z.


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dondees el operador gradiente u operador nabla, un operador vectorial quese define en coordenadas cartesianas como:


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a) Se usa el campo de velocidad de la ecuación del ejemplo y la ecuación para las componentes de

la aceleración material en coordenadas cartesianas (Ec. 4-11), se escriben expresiones para las doscomponentes diferentes de cero del vector aceleración:


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En el punto (x = 2 m, y= 3 m)

ax = 1.68 m/s2 y ay= 0.720 m/s

2.


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El campo de aceleración es diferentede cero, aun cuando el flujo es

estacionario. Arriba del punto deestancamiento (arriba de y _ 1.875 m),los vectores de aceleración trazadosen la figura 4-14 apuntan hacia arriba,aumentan en magnitud cuando sealejan de ese punto. A la derecha del

punto de estancamiento (a la derechade x = - 0.625 m), los vectores deaceleración apuntan hacia la derecha,aumentan una vez más en magnitudcuando se alejan del punto.


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