clase 10 descripcion euleriana y lagrangiana (1).pdf

8/11/2019 Clase 10 Descripcion Euleriana y Lagrangiana (1).pdf

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Facilitador:Ing. Juan Medina

Ctedra de Mecnica de Fluidos

Noviembre 2013

Departamento de Trmica y Energtica

Universidad de Carabobo

Semestre nico 2013


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Descripcin Lagrangiana y Euleriana Visualizacin de Flujos de Fluidos Facultad de Ingeniera - UC2

Descripciones Lagrangiana y Euleriana

Fundamentos de Visualizacin del Flujo

Derivada Material

Teorema de Transporte de Reynolds

Estudio de la Cinemtica de Fluidos

Descripcin del Movimiento de los Fluidos

Semestre nico 2013

La materia llamada Cinemticase interesa en el estudio del movimiento, esdecir, cmo fluyen los fluidos y cmo puede describirse su movimiento.

Existen dos (2) maneras fundamentales para describir el movimiento: elmovimiento de partculasdiscretas puede ser descrito siguiendo la trayectoriade cada una de dichas partculas desde una posicin inicial (modelodeterminstico)

Vparticula = Vi(x0,y0,z0,t)

En contraposicin, el movimiento de medios continuos (volmenes fijos)debe ser descrito a travs de campos vectoriales de las propiedades de dichomedio debido a que es imposible conocer las interacciones de las partculasdentro del medio continuo (modelo estadstico)

Vcontinuo = V(x,y,z,t)

Cinemtica de Fluidos


Descripcin Lagrangiana y Masa de Control

Descripcin Euleriana y Volumen de Control

Campos Vectoriales


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Facultad de Ingeniera - UC3




Campos Vectoriales

Descripcin Lagrangiana del Movimiento de Partculas

Semestre nico 2013

Al seguir cada partcula de manera individual (anlisis discreto), se identificanpuntos en el espacio y se observan las propiedades de cada partcula en cadauno de dichos puntos desde el inicio de su seguimiento (posicin inicial) eninstantes de tiempo determinados (Se cuenta con Posicin Inicial y

Trayectoria)

Justam

ente como se sigue a una partcula individual, esta descripcin delmovimiento (Descripcin Lagrangiana)permite el estudio de sistemas masas fijas (masas de control), a travs del seguimiento del sistema

),,,( 0001 tzyxfr

),,,( 0002 tzyxfV

),,,( 0003 tzyxfa

Descripcin Lagrangiana y Euleriana Visualizacin de Flujos de Fluidos



Derivada Material




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Descripcin Euleriana del Anlisis de Continuos

Semestre nico 2013

Cuando es imposible seguir a cada partcula de manera discreta, se opta pordescribir el movimiento del continuo, indagando las propiedades del flujo enuna posicin determinada del espacio y en un instante determinado (Se cuenta

con el campo de propiedades)

Al contar con un campo de propiedades, puede asignarse un valor para dichaspropiedades segn una distribucin espacio-temporal. El valor de una

propiedad en un punto e instante determinado equivale al de la partcula queocupa ese espacio en ese momento (Descripcin Euleriana), esto permite elestudio de continuos (volmenes de control) sin necesidad de conocer lahistoria de cada partcula del continuo




Campos Vectoriales




Derivada Material




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Descripcin Euleriana del Anlisis de Continuos

Semestre nico 2013

),,,( tzyxrr

),,,( tzyxVV

),,,( tzyxaa




Campos Vectoriales




Derivada Material




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Campos Vectoriales: Fuerza y Aceleracin

Semestre nico 2013




Campo Vectoriales

Desde el punto de vista de la mecnica newtoniana (discreta), la fuerzaproducida por la aceleracin de una partcula es determinada a partir de la 2Ley de Newton

particulaparticulaparticula amF

*

Obsrvese que esta expresin es un claro ejemplo de un enfoque Lagrangiano(de partculas). Si deseramos calcular la aceleracin en un punto (espacial)dentro de un medio continuo, es imposible aplicar esta 2 ley de Newton laexpresin anterior de manera directa, debido a que es imposible conocer latrayectoria de todas las partculas para saber cul estar en el punto problemaen el momento deseado

Donde:dt

tzyxdVaparticula

),,,( 000 Y se conoce la trayectoria ymasa de cada partcula




Derivada Material




7/32Facultad de Ingeniera - UC7


Semestre nico 2013




Campo Vectoriales

En esos casos, debemos recurrir al enfoque Euleriano (para medioscontinuos). Este enfoque parte de la definicin alternativa de la aceleracin:

dttzyxVdtzyxa ),,,(),,,(

Donde la derivada debe calcularse a travs de la regla de la cadena, por ser V(campo de velocidad) un campo vectorial en x,y,z y t (conocido, V=(u,v,w))

dtdz

zV

dtdy

yV

dtdx

xV

dtdt

tVtzyxa

),,,(

wz

Vv

y

Vu

x

V

t

Vtzyxa

),,,(




Derivada Material






Semestre nico 2013




Campo Vectoriales

A travs de este sencillo ejemplo se logra percibir la diferencia entre ambosenfoques y la descripcin del movimiento de fluidos.

Es importante destacar el hecho de que la ltima expresin:

Puede ser expresada de manera resumida como:

Dt

VDVV

t

Vtzyxa

)(),,,(

wz

Vv

y

Vu

x

V

t

Vtzyxa

),,,(

Vwz

vy

uxt

Vtzyxa

),,,(

*Derivada Material de la Velocidad




Derivada Material





Lneas de Corriente y Tubos de Corriente

Lneas de Trayectoria

Lneas de Traza


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En muchas oportunidades (incluidos los anlisis a travs de CFD), se emplean tcnicas y/ometodologas para visualizar los flujos de fluidos, con el objetivo de ver de manera msconcreta la distribucin de las propiedades del flujo, en vez de remitirnos a las ecuaciones

y valores numricos. A continuacin se describen tres (3) lneas/herramientas para lavisualizacin de flujos de fluidos

Visualizacin de Flujos de Fluidos

Lneas de Corriente

Una lnea de corriente es una curva que, en todas partes, es tangente al vector velocidadlocal instantneo del campo de velocidad




Derivada Material







Lneas de Traza


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Lneas de Corriente

Considerando una longitud infinitesimal de arco, dr = dx i + dy j + dz k a lo largo deuna lnea de corriente, para el caso de dos dimensiones; dr debe ser paralelo alvector velocidad local V = u i + v j + w k por definicin de una lnea de corriente. Conel uso de tringulos semejantes y sabiendo que las componentes de dr deben serproporcionales a las de V se define que:

u

v

dx

dy

w

dz

v

dy

u

dx

V

dr




Derivada Material



En algunos casos sencillos, la ecuacin sepuede resolver de manera analtica y lasolucin general (familia de curvas)corresponder a las lneas de corriente delcampo de flujo





Lneas de Traza


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Un tubo de corriente consta de un haz de lneas de corriente. Dado que las lneas decorriente son en todo punto paralelas a la velocidad local, por definicin el fluido no puedecruzar una lnea de corriente. Adems, el fluido que se encuentre dentro de un tubo de

corriente debe permanecer all y no puede cruzar la frontera de ste. El tubo de corrientesigue siendo una visualizacin instantnea. Las lneas en un tubo de corriente puedendefinir un perfil de velocidades

Tubos de Corriente




Derivada Material




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Lneas de Traza


Semestre nico 2013

Una lnea de trayectoria es la trayectoria real recorrida por una partcula de fluido durantealgn perodo de tiempo

La lnea de trayectoria es un concepto lagrangiano debido a que, por definicin, es elseguimiento a una partcula de fluido en el tiempo





Derivada Material




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Lneas de Traza

Lneas de Traza

Semestre nico 2013

Una lnea de traza es el lugar geomtrico de las partculas de fluido que han pasado demanera secuencial por un punto prescrito en el flujo. La lnea de traza indica dnde estnlas partculas ahoramismo,es una fotografa de un conjunto de partculas

Lneas de Traza




Derivada Material




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Lneas de Traza

Lneas de Traza

Semestre nico 2013Descripcin Lagrangiana y Euleriana Visualizacin de Flujos de Fluidos

En flujos transitorios, las lneas de traza, de corriente y de trayectoria pueden serdiferentes. En flujos estacionarios continuos, las lneas son iguales.



Derivada Material




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Derivada Material para Propiedades de Partculas


Derivada Material para propiedades de partculas

De Enfoque Lagrangiano a Enfoque Euleriano

Continuando con la definicin de los enfoques Lagrangiano y Euleriano, esimportante notar la definicin que se haba obtenido para la Derivada Material(tambin llamada sustancial, lagrangiana, euleriana, o total)

VVt

V

Dt

VDtzyxa

)(),,,(Aceleracin Material

El operador de derivada material puede aplicarse para cualquier propiedad de

los flujos de fluidos

Derivada Material de una propiedad B(Siendo B una propiedad escalar o vectorial):

BVt

B

Dt

BD

)(

*Para B = , si D/Dt = 0 se dice que el flujo es incompresible



Derivada Material




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Existen dos (2) componentes dentro de la definicin de Derivada Material

VVt

V

Dt

VD

)(

Componente convectivo (variacin espacial)Componente local (variacin temporal)

Aceleracin condominio local

Aceleracin condominioconvectivo



Derivada Material



P.ej. Para la aceleracin material:




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En el componente convectivo y en el componente local pueden ocurrirsimplificaciones, de acuerdo al tipo de flujo de fluido que se presente:

Flujo Estacionario/Continuo

Flujo Unidimensional Bidimensional

Flujo Incompresible: En este caso, ntese que si D/Dt =0, necesariamente:



Derivada Material






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Cuando un flujo de fluido presenta un perfil de velocidades invariante en ladireccin del flujo, se dice que el flujo es desarrollado



Derivada Material



FlujoCompletamente

desarrollado

Cuando la velocidad y otras propiedades del flujo de fluido permanecenconstantes en toda el rea de la ST del flujo, se dice que el flujo es uniforme

Flujo Uniforme




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Derivada Material: del Enfoque Lagrangiano al Enfoque Euleriano


Es importante destacar el hecho de que esta derivada material, por definicin dederivada es aplicable a un punto o partcula, es decir, se sigue a una partcula detrayectoria conocida, para obtener un campo vectorial instantneo (enfoque lagrangiano)y posteriormente una propiedad puntual o particular de ese campo (enfoque euleriano)

EnfoqueLagrangiano

D/DtEnfoqueEuleriano

La aceleracin de una partcula es un concepto lagrangiano. Desde el punto de vistaeuleriano no se puede evaluar la velocidad de una partcula un instante t > t0 debido aque el campo de velocidad desplaza la partcula (concepto no lineal de aceleracin en elenfoque euleriano)

La evaluacin de los efectos viscosos en un flujo de fluidos se realiza con un enfoqueEuleriano debido a que permite percibir la interaccin entre partculas



Derivada Material






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TTR para Campos Vectoriales de Propiedades en un V.C.


Teorema de Transporte de Reynolds para

campos vectoriales en un V.C.

De Sistemas a Volmenes de Control

La contraparte integral de la DerivadaMaterial es el denominado TeoremadeTransporte de Reynolds. Estaherramienta permite la transformacindel enfoque Euleriano (de partcula) aLagrangiano (de Volumen de Control ocontinuo)

Considerando el ducto de figura con unflujo unidimensional V=V(x). El V.C.seleccionado (entre las secciones a y bde la figura) para el instante mostrado(t) esta plenamente ocupado por elsistema n.2. En un instante t + dt, elsistema 2 ha comenzado a moverse yal V.C. ha entrado una porcin delsistema 1: (Volumen) AaVadt y hasalido una porcin del sistema 2

AbVbdt



Derivada Material




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Derivada Material



El ducto Tubo de Corriente debeseleccionarse de tal manera que elvector de velocidad sea perpendicularal vector de rea transversal del tubo


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Derivada Material




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Derivada Material



Por otra parte, segn la definicin de la propiedad extensiva B en el V.C.:


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El TTR puede generalizarse a flujos tridimensionales como:



Derivada Material




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TTR: Del enfoque de Sistema a Volumen de Control





El TTR es la contraparteintegralde la derivada material y permite trasladar el enfoquede sistemas fijos (masas de control) a sistemas mviles, volmenes de control. Para elloes necesario conocer los campos vectoriales de las propiedades del flujo.

Tanto el TTR como la derivada material pueden aplicarse a las leyes fundamentales delmovimiento para lograr estudiar la Cinemtica y Dinmica de Fluidos de una maneraapropiada. El TTR tambin permite trasladar un enfoque lagrangiano de los camposvectoriales de sistemas (seguir al sistema) a un enfoque euleriano de volmenes decontrol (propiedades del V.C. en un punto del espacio)

Sistema /Masa deControl

TTRVolumen de

Control



Derivada Material




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Estudio de la Cinemtica de Fluidos: Ecuacin de Navier-Stokes


Ecuacin de Navier-Stokes

En la mecnica de fluidos, al igual que en la mecnica de slidos, un elemento puedepasar por tres (3) tipos fundamentales de movimiento



Derivada Material



1. Traslacin (a)2. Rotacin (b)3. Deformacin (c y d)

La ecuacin que gobierna la mecnica de fluidos esla Ecuacin de Navier-Stokes. Esta ecuacin esespecialmente explcita en el caso de flujos de fluidoincompresibles, homogneos (completamentedesarrollados) y continuos


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Derivada Material



*Recordar: Flujo Incompresible

Ecuacin de Navier-Stokes para Flujo Continuo, CompletamenteDesarrollado e Incompresible

Esta solucinparticularde la Ecuacin de Navier-Stokes parte de la Ecuacin Generalcon las condiciones de borde anteriormente descritas

Ecuacin general N-S

Condicin Flujo incompresible

Condicin de borde(Descripcin Lagrangiana)

EcuacinDiferencialVectorial de

Orden Superior


VP

Dt

VD

2


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Derivada Material




Al resolver la E.D.O. de la Derivada Material de la velocidad, se obtiene la expresin

para la velocidad en el flujo con rgimen Continuo, Incompresible y Completamentedesarrollado (Descripcin de la cinemtica de flujos de fluidos con estos regmenes)

Vector Velocidad inicialVector Vorticidad

Vector Desplazamiento

Matriz simtrica (Tensor) de deformacin


Vector Desplazamiento


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Derivada Material




Esta ecuacin es explcita al considerar los tres (3) tipos de movimiento fundamentales

Caso 1: Traslacin

Caso 2: Rotacin

Caso 3: Deformacin

Mecnica de Fluidos Mecnica de Partculas ySlidos (Clsica)

Traslacin

Rotacin

Deformacin



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Derivada Material





*Flujo disparado a travsde una manguera

idealizado

unidimensional (Flujo entraslacin pura)

D i i L i E l i


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Derivada Material





*Flujo idealizado bidimensional(curvas de nivel) de un tornado

(Flujo en rotacin pura)

D i i L i E l i


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F lt d d I i UC




Derivada Material





*El flujo en los lugaresprximos a la entrada y

salida de un motor a

reaccin puede seridealizado a un flujo conefectos de traslacin y

deformacin

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