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  • Folie 1
  • Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker 12. Januar 2012 Kreiselgleichungen
  • Folie 2
  • Annette EickerAPMG 1 2 19.01.2014 Die Bewegungsgleichung (und alle anderen Newtonschen Axiome) ist invariant gegenber der Galileo-Transformation: Wiederholung: Transformation Transformation zwischen Systemen, die sich gradlinig gleichfrmig bewegen und konstant gegeneinander verdreht sind (D = const). => Inertialsysteme. Transformation zwischen Systemen, die sich gradlinig gleichfrmig bewegen und konstant gegeneinander verdreht sind (D = const). => Inertialsysteme. 1. Fall: Bewegung gradlinig-gleichfrmig:
  • Folie 3
  • Annette EickerAPMG 1 3 19.01.2014 Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem x Bewegung im rotierenden System Rotation des Bezugssystems Ableitungsoperator Bewegung im Inertialsystem Rotationsvektor (enthlt die Winkelgeschwindigkeiten) Rotationsvektor (enthlt die Winkelgeschwindigkeiten) Bewegungsgleichung: r R 2x Anweden des Operators
  • Folie 4
  • Annette EickerAPMG 1 4 19.01.2014 Wiederholung: Rotierendes Koordinatensystem Bewegungsgleichung: 2x Anweden des Operators Beschleunigung im bewegten System Ableitungsoperator
  • Folie 5
  • Annette EickerAPMG 1 5 19.01.2014 Bewegungsgleichung im bewegtem System Bewegtes System Corioliskraft Kreiselkraft Zentrifugalkraft Inertialsystem x r R
  • Folie 6
  • Annette EickerAPMG 1 6 19.01.2014 Kreiselgleichungen
  • Folie 7
  • Annette EickerAPMG 1 7 19.01.2014 (Linearer) Impuls nderung des Drehimpulses bentigt ein Drehmoment Drehmoment: Impuls und Drehimpuls Bewegungsgleichung (Bahn)Drehimpuls: r K nderung des Impulses bentigt eine Kraft
  • Folie 8
  • Annette EickerAPMG 1 8 19.01.2014 Teilchensystem Drehimpulsbilanz Gesamtdrehmoment: Gesamtdrehimpuls: nderung des Drehimpulses bentigt ein Drehmoment Annahme: starres Teilchensystem: Abstnde zwischen Teilchen bleiben gleich keine inneren Drehmomente: System versetzt sich nicht von alleine in Rotation => Teilchen realisieren (rotierendes) Bezugssystem B Annahme: starres Teilchensystem: Abstnde zwischen Teilchen bleiben gleich keine inneren Drehmomente: System versetzt sich nicht von alleine in Rotation => Teilchen realisieren (rotierendes) Bezugssystem B
  • Folie 9
  • Annette EickerAPMG 1 9 Drehimpuls 19.01.2014 Gesamtdrehimpuls: nderung der Ortsvektoren der Teilchen im rotierenden Bezugssystem: (Ortsvektoren drehen sich mit) nderung der Ortsvektoren der Teilchen im rotierenden Bezugssystem: (Ortsvektoren drehen sich mit)
  • Folie 10
  • Annette EickerAPMG 1 10 Drehimpuls 19.01.2014 Graman-Identitt: Zerlegung der Vektoren bzgl. Dreibein von B Zerlegung der Vektoren bzgl. Dreibein von B Trgheitstensor nach ganz viel Umsortieren
  • Folie 11
  • Annette EickerAPMG 1 11 19.01.2014 Starres Teilchensystem Drehimpulsbilanz Gesamtdrehimpuls in Koordinaten: Gesamtdrehimpuls:
  • Folie 12
  • Annette EickerAPMG 1 12 19.01.2014 Starrer Krper Drehimpulsbilanz Gesamtdrehimpuls in Koordinaten: Gesamtdrehimpuls:
  • Folie 13
  • Annette EickerAPMG 1 13 19.01.2014 Rotation Lineare Bewegung Impuls: Trge Masse Impulsnderung bentigt Kraft: Drehimpulsnderung bentigt ein Drehmoment: Drehimpuls: Trgheitstensor Drehvektor (Winkelgeschw.) Geschwindigkeit Lineare Bewegung Rotation Trgheitstensor: definiert die Trgheit des Krpers gegenber Drehungen ordnet jeder Drehachse den entsprechenden Drehimpuls zu Trgheitstensor: definiert die Trgheit des Krpers gegenber Drehungen ordnet jeder Drehachse den entsprechenden Drehimpuls zu
  • Folie 14
  • Annette EickerAPMG 1 14 19.01.2014 Der Trgkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Der Trgkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Drehimpuls Trgheitstensor z x y
  • Folie 15
  • Annette EickerAPMG 1 15 19.01.2014 Der Trgkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Der Trgkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Drehimpuls Trgheitstensor z x y Drehung um die z-Achse: Das Trgheitsmoment C ist gro Drehung um die z-Achse: Das Trgheitsmoment C ist gro
  • Folie 16
  • Annette EickerAPMG 1 16 19.01.2014 Der Trgkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Der Trgkeitstensor ist eine 3x3 Matrix Beispiel: Drehimpuls Trgheitstensor z x y Drehung um die y-Achse: Das Trgheitsmoment B klein Drehung um die y-Achse: Das Trgheitsmoment B klein
  • Folie 17
  • Annette EickerAPMG 1 17 Einschub: Trgheitsmomente 19.01.2014 Trgheitsmoment: Gibt den Widerstand eines starren Krpers gegenber einer nderung seiner Rotationsbewegung an. (quivalent zur Masse bei der translatorischen Bewegung) hngt ab von: Form des Krpers Massenverteilung des Krper Drehachse vollstndigen Beschreibung des Trgheitsverhaltens eines starren Krpers reicht deshalb eine einzelne Zahl nicht aus Trgheitstensor (als Verallgemeinerung des Trgheitsmoments) Trgheitsmoment fr jede beliebige Achse kann aus Trgheitstensor berechnet werden Ist Drehachse = Koordinatenachse, dann ist das Trgheitsmoment das zugehrige Diagonalelement des Tensors
  • Folie 18
  • Annette EickerAPMG 1 18 19.01.2014 Starrer Krper Drehung des Koordinatensystems Gesamtdrehimpuls: Wahl des Koordinatensystem, so dass der Trgheitstensor Diagonalgestalt annimmt Hauptachsensystem Wahl des Koordinatensystem, so dass der Trgheitstensor Diagonalgestalt annimmt Hauptachsensystem Neues Koordinatensystem: mit den Transformationen Drehmatrix Eigenvektor Eigenwert => Eigenwertzerlegung
  • Folie 19
  • Annette EickerAPMG 1 19 19.01.2014 Rotation Lineare Bewegung Impuls: Trge Masse Impulsnderung bentigt Kraft: Dies fhrt auf die Bewegungsgleichung (DGL): Drehimpulsnderung bentigt ein Drehmoment: Drehimpuls: Trgheitstensor Drehvektor (Winkelgeschw.) Geschwindigkeit Lineare Bewegung Rotation Dies fhrt auf die Eulerschen Kreiselgleichungen (DGL): Dies wird auf den nchsten Folien gezeigt!
  • Folie 20
  • Annette EickerAPMG 1 20 19.01.2014 Bilanzgleichung Kreiselgleichungen Ableitungsoperator Drehimpuls Drehimpuls im Hauptachsensystem Im rotierenden System Eulersche Kreiselgleichungen Beschreiben die Rotation eines starren Krpers im Hauptachsensystem
  • Folie 21
  • Annette EickerAPMG 1 21 19.01.2014 Eulersche Kreiselgleichungen Trgheitsbewegung Einfacher Fall: - Drehmomentfrei (Trgheitsbewegung) - Rotationsellipsoid Einfacher Fall: - Drehmomentfrei (Trgheitsbewegung) - Rotationsellipsoid Kreiselgleichungen
  • Folie 22
  • Annette EickerAPMG 1 22 19.01.2014 Kreiselgleichungen Trgheitsbewegung Abgeplattete Erde Aus 3. Gleichung folgt Abkrzung Allgemeine Lsung Diese Differenzialgleichungen sollen jetzt gelst werden. k ist eine beliebige Konstante!
  • Folie 23
  • Annette EickerAPMG 1 23 19.01.2014 Trgheitsbewegung Drehvektor Drehimpuls Betrag Skalarprodukte Alles im krperfesten System B: Spatprodukt => Vektoren liegen in einer Ebene => Konstante Zwischenwinkel
  • Folie 24
  • Annette EickerAPMG 1 24 19.01.2014 Trgheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse
  • Folie 25
  • Annette EickerAPMG 1 25 19.01.2014 Trgheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse
  • Folie 26
  • Annette EickerAPMG 1 26 19.01.2014 Trgheitsbewegung Bilanzgleichung Drehimpulsvektor ist raumfest Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse
  • Folie 27
  • Annette EickerAPMG 1 27 19.01.2014 Trgheitsbewegung Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse krperfestes Koordinatensystem B
  • Folie 28
  • Annette EickerAPMG 1 28 19.01.2014 Rotation der Erde Drehvektor Eigenschaften der Erde Masse M5,9737 10 24 kg quatorradius a6378136,6 m Trgheitsmoment A0,3296108 Ma 2 Trgheitsmoment B0,3296181 Ma 2 Trgheitsmoment C0,3307007 Ma 2 tgliche Drehung7,292115 10 -5 rad/s Eigenschaften der Erde Masse M5,9737 10 24 kg quatorradius a6378136,6 m Trgheitsmoment A0,3296108 Ma 2 Trgheitsmoment B0,3296181 Ma 2 Trgheitsmoment C0,3307007 Ma 2 tgliche Drehung7,292115 10 -5 rad/s ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen Frequenz
  • Folie 29
  • Annette EickerAPMG 1 29 19.01.2014 Rotation der Erde Figurenachse Drehimpulsachse Drehachse ~305 Tage Bewegung der Drehachse im erdfesten System
  • Folie 30
  • Annette EickerAPMG 1 30 19.01.2014 Rotation der Erde Eigenschaften der Erde Masse M5,9737 10 24 kg quatorradius a6378136,6 m Trgheitsmoment A0,3296108 Ma 2 Trgheitsmoment B0,3296181 Ma 2 Trgheitsmoment C0,3307007 Ma 2 tgliche Drehung7,292115 10 -5 rad/s Eigenschaften der Erde Masse M5,9737 10 24 kg quatorradius a6378136,6 m Trgheitsmoment A0,3296108 Ma 2 Trgheitsmoment B0,3296181 Ma 2 Trgheitsmoment C0,3307007 Ma 2 tgliche Drehung7,292115 10 -5 rad/s Drehvektor Beobachtet ist die Chandlerperiode ~432 Sterntage ergibt die Eulerperiode von 305 Sterntagen Wie kommt dieser Unterschied zustande?