annette eickerapmg 1 1 19.01.2014 annette eicker 01.12.2011 energieerhaltung

Annette Eicker APMG 1

1

11.04.23

Annette Eicker01.12.2011

Energieerhaltung


2

11.04.23

GRACE

Aufgabe:Die beiden Satelliten sollen die Plätze tauschen


Welche Düse muss zum Überholen gezündet werden?

imaginäre Steuerdüsen (Rückstoß)

3

4

12

5


3

Wiederholung: Umrechnungen

11.04.23

KeplerelementeKeplerelemente

a e

i

Orts- und Geschwindigkeitsvektor


r r


4

11.04.23

Wiederholung: Position und Geschwindigkeit

Exzentrische AnomalieExzentrische AnomalieMEeE sin

Wahre AnomalieWahre Anomalie

Ee

Ee

Ee

eE

cos1

sin1sin

cos1

coscos

2

Position und GeschwindigkeitPosition und Geschwindigkeit

QPr sincos rr

QPr )(cossin ep

GM

p

GM

AbstandAbstand

cos1 e

pr

KeplerelementeKeplerelemente a e i

Mittlere AnomalieMittlere Anomalie

ta

GMM 3

)1( 2eap

BahnsystemBahnsystem

i

i

i

sinsin

cossincoscossin

cossinsincoscos

P

i

i

i

sincos

coscoscossinsin

coscossinsincos

Q


5

Wiederholung: Umrechnungen

11.04.23

KeplerelementeKeplerelemente

a e

i



r r


6

11.04.23

Wiederholung: Keplerelemente

Gegeben: zum Zeitpunkt tGegeben: zum Zeitpunkt t

GM

Cp

2

rr ,

Große HalbachseGroße Halbachse122

GMr

ar

ExzentrizitätExzentrizität

a

pae

i

i

i

cos

sincos

sinsin

0CCrr

,i

Wahre AnomalieWahre Anomalie

er

rp cos

GMre

C rr sin

Exzentrische AnomalieExzentrische Anomalie

ea

rE cos

cos

21

sinsin

ea

rE

PerigäumsdurchgangszeitPerigäumsdurchgangszeit

GM

aMt

3

Mittlere AnomalieMittlere Anomalie

EeEM sin

BahnsystemBahnsystem

r

r

Q

P

C

r

p

C

r

p

e

cossin

sincos

Arg. des PerigäumsArg. des Perigäums

QK

PK

sin

cos

KnotenlinieKnotenlinieyx eeK sincos


7

11.04.23

EnergieerhaltungEnergieerhaltung


8

11.04.23

1. Es existiert eine Potentialfunktion1. Es existiert eine Potentialfunktion

Wiederholung: Konservatives Kraftfeld

Ein Kraftfeld

ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten:

Ein Kraftfeld

ist konservativ, wenn folgende Bedingungen gelten:

rrK Vm

rK

3. Das Feld ist wirbelfrei3. Das Feld ist wirbelfrei

0rK

2. Das Schleifenintegral verschwindet

Die Arbeit ist wegunabhängig:

2. Das Schleifenintegral verschwindet

Die Arbeit ist wegunabhängig:

0 rrK d

)()( AE mVmVdE

A

rrrrKr

r

Die Bedingungen sind gleichwertig:

=> Aus einer Bed. folgen die anderen

Die Bedingungen sind gleichwertig:

=> Aus einer Bed. folgen die anderen


9

Wiederholung: Potential

11.04.23

Potential Höhe

Feldstärke Steigung

rrK Vm

große Höhe, kaum Steigung

große Höhe, kaum Steigung

schnelle Höhenänderung, starke Steigung

schnelle Höhenänderung, starke Steigung

kleine Höhe, kaum Steigung

kleine Höhe, kaum Steigung


10

11.04.23

Wiederholung: Energieerhaltung

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

Kr m m r r K r 2

2

d m

dt r K r

T (Kinetische Energie)

2 2

1 1

t t

t t

dTdt dt

dt K r

2

1

2 1( ) ( ) ( )T t T t d r

r

K r r

d dtr r

(nur vom Ort abh.)

(entlang der Bahn)2 1( ) ( )mV mV r r

ArbeitArbeit 2

1

1 2( , , ) ( )A C dr

r

r r K r r

(längs der Kurve C) 2 1( ) ( )mV mV r r

Ab jetzt: Sonderfall konservatives Kraftfeld( )K r


11

11.04.23

Energieerhaltung

BewegungsgleichungBewegungsgleichung

Kr m m r r K r 2

2

d m

dt r K r

T (Kinetische Energie)

2 2

1 1

t t

t t

dTdt dt

dt K r

2

1

2 1( ) ( ) ( )T t T t d r

r

K r r

d dtr r

(nur vom Ort abh.)

(entlang der Bahn)2 1( ) ( )mV mV r r

ArbeitArbeit 2

1

1 2( , , ) ( )A C dr

r

r r K r r

(längs der Kurve C) 2 1( ) ( )mV mV r r

2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )T t T t mV mV r r

2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )T t mV T t mV r r


12

11.04.23

2 2 1 1( ) ( ) ( ) ( )T t mV T t mV r rˆ( ) ( )V mVr r

Potentielle Energie Potential

potentielle Energie

ˆE T V

Gesamtenergie2 2 1 1ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( )T t V T t V r r

1 2( ) ( ) .E t E t const

Die Gesamtenergie der Teilchen ist bei Einwirkung konservativer Kräfte zeitlich konstant


13

11.04.23

Energie bei der Keplerbahn

BewegungsgleichungBewegungsgleichung mit der Gravitationskraftmit der Gravitationskraft

rK 3r

GMmKr m

Aus einer Potentialfunktion

mit


mit

r

GMV

VmK

Gravitations-potential

nächste Folie


14

11.04.23

GMrxGM

GM rVr y

GMrz

2 2 2

GM GM

x r x x y z

32 2 2 2 2 22

2

GM GMx

x x y z x y z

32 2 2

32 2 2

32 2 2

GMx

x y z

GMV y

x y z

GMz

x y z

3

GMV

r r


15

11.04.23

Energie bei der Keplerbahn

Die Bahnenergie bleibt erhaltenDie Bahnenergie bleibt erhalten

21

2mr

BewegungsgleichungBewegungsgleichung mit der Gravitationskraftmit der Gravitationskraft

rK 3r

GMm


mit


mit

r

GMV

VmKKr m

arGM

122r

Die Gesamtenergie hängt nur von der großen Halbachse ab

Die Gesamtenergie hängt nur von der großen Halbachse ab

a

GMmE2

EnergieerhaltungEnergieerhaltung

constEVT ~Potentielle EnergiePotentielle Energie

r

GMmmVV ~

GMm

r E const


16

11.04.23

Anwendung:Fluchtgeschwindigkeit

Anwendung:Fluchtgeschwindigkeit


17

11.04.23

Fluchtgeschwindigkeit

BahnenergieBahnenergie

a

GMm

r

GMmm

22

1 2 r

Einflussbereich der Erde verlassenEinflussbereich der Erde verlassena

Daraus folgt für die BahnenergieDaraus folgt für die Bahnenergie

02

1 2 r

GMr

FluchtgeschwindigkeitFluchtgeschwindigkeit

r

GM2r

Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche (R=6378km)

Fluchtgeschwindigkeit von der Erdoberfläche (R=6378km)

11.200 / 40.320 / 11.2 /m s km h km s r

(2. kosmische Geschwindigkgeit)

Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnensystem von der Erdoberfläche aus

Fluchtgeschwindigkeit aus dem Sonnensystem von der Erdoberfläche aus

42.1 /km sr

(3. kosmische Geschwindigkgeit)

1. kosmische Geschwindigkgeit

2. kosmische Geschwindigkgeit


18

11.04.23

Anwendung:Veränderung der Bahn von Satelliten

Anwendung:Veränderung der Bahn von Satelliten


19

11.04.23

GRACE



Welche Düse muss zum Überholen gezündet werden?

imaginäre Steuerdüsen (Rückstoß)

3

4

12

5


20

11.04.23


Satellitenparadoxon

Änderung der GeschwindigkeitÄnderung der Geschwindigkeit

a

GMm

r

GMmmE

22

1 2 r

Satellitenparadoxon:

Eine Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu einer größeren Umlaufzeit.

Satellitenparadoxon:

Eine Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu einer größeren Umlaufzeit.

21

2 2

GM GMm m m

r a r

Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu Vergrößerung der Halbachse.

Erhöhung der Geschwindigkeit führt zu Vergrößerung der Halbachse.

UmlaufzeitUmlaufzeit

GM

aT

3

2 (3. Keplersches Gesetz)


21

11.04.23

Anwendung:Gravitationsfeldbestimmung

Anwendung:Gravitationsfeldbestimmung


22

11.04.23

CHAMP

Launch:

• 15 Juli 2000 von Plesetsk, Russland

Orbit:

• Kreisbahn

• Inklination: 87°

• Höhe: 450 km

Aktueller Status:

• Zeit: >3000 Tage

• Umläufe: ca. 47.300

Launch:

• 15 Juli 2000 von Plesetsk, Russland

Orbit:

• Kreisbahn

• Inklination: 87°

• Höhe: 450 km

Aktueller Status:

• Zeit: >3000 Tage

• Umläufe: ca. 47.300


23

11.04.23

Bahnbestimmung

GPS-AntenneGPS-Antenne


24

11.04.23

Bahnenergie CHAMP

Stunden

m²/s²

r

GMmE 2

2

1/ rVerlauf der Bahnenergie


25

11.04.23

CHAMP

Energieverlust durch AtmossphärenreibungEnergieverlust durch Atmossphärenreibung


26


CHAMP

11.04.23


27


CHAMP

11.04.23

Beschleunigungsmesser (Akzelerometer)Beschleunigungsmesser (Akzelerometer)


28

11.04.23

Bahnenergie CHAMP

m²/s²

r

GMmE 2

2


Stunden

Die abgeplattete ErdeDie abgeplattete Erde


29

11.04.23

Bahnenergie CHAMP

m²/s²

r

GMmE 2

2


Stunden


30

11.04.23

Bahnenergie CHAMP

m²/s²

r

GMmE 2

2


reduziert um Trendund periodischen Anteil (2 Zyklen pro Umlauf)

Stunden


31

11.04.23

Energie


32

11.04.23

Gravitationspotential


33

11.04.23

Erinnerung: Feldstärke aus Dichteverteilung

3

P QP Q

P Q

Gm

r rg r

r r

Feldstärke (Punktmasse):

)()(3 QQ

QP

QPP dG rr

rr

rrrg

Feldstärke (aus Dichteverteilung):

)()(3 QQP dl

G rrl

rg

oder

mit

3 3

P Q

P Ql

r r l

r r


34

11.04.23

Potential aus Dichteverteilung

3

P QP Q

P Q

Gm

r rg r

r r

Feldstärke (Punktmasse):

)()(3 QQ

QP

QPP dG rr

rr

rrrg

Feldstärke (aus Dichteverteilung):

)()(3 QQP dl

G rrl

rg

oder

mit

3 3

P Q

P Ql

r r l

r r

3

GM

rg r

r

GMV

Feldstärke Potential(Erde als Punktmasse)

Feldstärke Potential

1( ) ( )P Q QV G d

l

r r r

Potential (aus Dichteverteilung):


35

11.04.23

Potential aus Dichteverteilung?


36

11.04.23



37

11.04.23



EmVT

Kraftfeld ist nur konservativ, wenn essich zeitlich nicht ändert

=> Transformation in ein (mitrotierendes) erdfestes System

Kraftfeld ist nur konservativ, wenn essich zeitlich nicht ändert

=> Transformation in ein (mitrotierendes) erdfestes System

annette eickerapmg 1 1 19.01.2014 annette eicker 01.12.2011 energieerhaltung

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