annette eickerapmg 1 1 19.01.2014 annette eicker kugelfunktionen

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  • Folie 1
  • Annette EickerAPMG 1 1 19.01.2014 Annette Eicker Kugelfunktionen
  • Folie 2
  • Annette EickerAPMG 1 2 19.01.2014 Wiederholung: Gravitationspotential Potential Aufpunkt:Quellpunkt: Feldstrke Wir haben diese Integrale gelst KugelHohlkugel Kugeloberflche (fr einfache Krper)
  • Folie 3
  • Annette EickerAPMG 1 3 19.01.2014 Kugel mit homogener Dichteverteilung z z z
  • Folie 4
  • Annette EickerAPMG 1 4 19.01.2014 Hohlkugel mit homogener Dichteverteilung z z z
  • Folie 5
  • Annette EickerAPMG 1 5 19.01.2014 Potential im Auenraum Gesamtmasse Direktes Problem: Das Gravitationspotential ist durch eine gegebene Massenverteilung eindeutig bestimmt Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lsst sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schlieen.
  • Folie 6
  • Annette EickerAPMG 1 6 19.01.2014 Massenverteilung und Potential Inverses Problem: Aus einem Gravitationspotential lsst sich nicht eindeutig auf die Massenverteilung schlieen. Annahme: Massenvernderungen erfolgen nur auf der Erdoberflche, Annahme einer dnnen Schicht In diesem Fall ist das inverse Problem eindeutig. Feldstrke Potential mit der Flchendichte
  • Folie 7
  • Annette EickerAPMG 1 7 19.01.2014 Kugeloberflche mit konstanter Flchendichte z z z
  • Folie 8
  • Annette EickerAPMG 1 8 19.01.2014 Divergenz der Gravitationsfeldstrke Divergenz und Laplaceoperator Die Gravitationsfeldstrke lsst sich durch Gradientenbildung aus dem Potential bestimmen Laplaceoperator Mit Hilfe des Laplaceoperators lassen sich die Quellen des Gravitationsfeldes bestimmen
  • Folie 9
  • Annette EickerAPMG 1 9 19.01.2014 Laplace- und Poissongleichung Fr beliebige Massenanordnungen gilt: Auerhalb der Massen: Laplacegleichung Auerhalb der Massen: Laplacegleichung Innerhalb der Massen: Poissongleichung Innerhalb der Massen: Poissongleichung Funktionen, die die Laplacegleichung erfllen, nennt man harmonische Funktionen.
  • Folie 10
  • Annette EickerAPMG 1 10 19.01.2014 Gauscher Integralsatz Integration aller Quellen eines Volumens = Integraler Fluss durch die Oberflche Anwendung auf das Gravitationsfeld Gausche Formel
  • Folie 11
  • Annette EickerAPMG 1 11 19.01.2014 Reprsentation des Gravitationspotentials (Kugelfunktionen) Reprsentation des Gravitationspotentials (Kugelfunktionen)
  • Folie 12
  • Annette EickerAPMG 1 12 19.01.2014 Bisher: Fr einfache Krper lassen sich auch einfache Formeln angeben. KugelHohlkugel Kugeloberflche Jetzt: Fr die reale Erde lsst sich das Schwerefeld nicht so leicht beschreiben
  • Folie 13
  • Annette EickerAPMG 1 13 19.01.2014 Gravitationspotential product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13... product_type gravity_field modelname ITG-Grace03 comment static field from 2002-08 to 2007-04 of GRACE data earth_gravity_constant 3.986004415e+14 radius 6378136.6 max_degree 180 key L M C S sigma C sigma S end_of_head ========================================================================= gfc 0 0 1.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 0 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 1 1 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 0.000000000000e+00 gfc 2 0 -4.841692718699e-04 0.000000000000e+00 6.469883774458e-13 0.000000000000e+00 gfc 2 1 -2.654790999243e-10 1.475393314283e-09 6.108979511966e-13 6.355307212507e-13 gfc 2 2 2.439383367978e-06 -1.400273635220e-06 6.254221806143e-13 6.423410956098e-13 gfc 3 0 9.571610348416e-07 0.000000000000e+00 4.908157850872e-13 0.000000000000e+00 gfc 3 1 2.030461736678e-06 2.482003394707e-07 4.904543816334e-13 5.118675157415e-13 gfc 3 2 9.047877724984e-07 -6.190053685183e-07 5.459595906001e-13 5.482674767117e-13 gfc 3 3 7.213217237276e-07 1.414349090196e-06 5.163836126113e-13 5.163483433061e-13 gfc 4 0 5.399657665980e-07 0.000000000000e+00 3.758481731782e-13 0.000000000000e+00 gfc 4 1 -5.361573220519e-07 -4.735672404588e-07 3.874699557956e-13 3.973550735355e-13 gfc 4 2 3.505015650151e-07 6.624798955603e-07 4.501829959710e-13 4.398486563277e-13 gfc 4 3 9.908565738322e-07 -2.009566568843e-07 4.776067657084e-13 4.766590461153e-13 gfc 4 4 -1.885196275153e-07 3.088038091544e-07 4.556511148108e-13 4.565287154679e-13 gfc 5 0 6.867029195170e-08 0.000000000000e+00 2.444626602968e-13 0.000000000000e+00 gfc 5 1 -6.292117216708e-08 -9.436975416042e-08 2.510438328896e-13 2.640391465060e-13... Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern? - Bentigt wird das gesamte Feld im Auenraum (Werte auf der Erdoberflche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond) Wie kann man das Gravitationsfeld der Erde abspeichern? - Bentigt wird das gesamte Feld im Auenraum (Werte auf der Erdoberflche, Bahnberechung von Satelliten o. Mond)
  • Folie 14
  • Annette EickerAPMG 1 14 19.01.2014 Approximation Beispiel: Bestimmung der Temperaturabhngigkeit eines EDMs x y Approximation durch ein Polynom Vorteile: - Es mssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden. - Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden. Approximation durch ein Polynom Vorteile: - Es mssen nur wenige Polynomkoeffizienten abgespeichert werden. - Es kann auch zwischen den Messwerten Funktionswerte berechnet werden.
  • Folie 15
  • Annette EickerAPMG 1 15 19.01.2014 Approximation Approximation des Potentials durch rumliche Polynome Gruppierung in Polynome mit homogenem Grad n Homogenes Polynom vom Grad n Beispiel: Homogenes Polynom vom Grad 5
  • Folie 16
  • Annette EickerAPMG 1 16 19.01.2014 Homogene Polynome Homogenes Polynom vom Grad n Es gilt: Beweis: Es gibt linear unabhngige homogene Polynome von Grad n Beispiel: n=2 Beispiel: n=2 Polynome:
  • Folie 17
  • Annette EickerAPMG 1 17 19.01.2014 Homogene harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Auenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Das Gravitationspotential ist im Auenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhngigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 Wie viele Basisfunktionen gibt es?
  • Folie 18
  • Annette EickerAPMG 1 18 19.01.2014 Homogene harmonische Polynome Satz: Der Laplace Operator angewendet auf ein homogenes Polynom h n liefert ein homogenes Polynom vom Grad n-2 Es gibt 2n+1 linear unabhngige harmonische homogene Polynome H nm von Grad n Beweis Es gibt linear unabhngige homogene Polynome von Grad n Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhngige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt. Es verbleiben linear unabhngige homogene harmonische Polynome. Es gibt linear unabhngige homogene Polynome von Grad n Das Ergebnis der Laplace Operation ist durch linear unabhngige homogene Polynome von Grad n-2 eindeutig bestimmt. Es verbleiben linear unabhngige homogene harmonische Polynome.
  • Folie 19
  • Annette EickerAPMG 1 19 19.01.2014 Homogene harmonische Polynome Das Gravitationspotential ist im Auenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Das Gravitationspotential ist im Auenraum harmonisch => Die Approximation sollte auch harmonisch sein => Alle Basisfunktionen sollten harmonisch sein Approximation des Potentials durch Summe von homogenen harmonischen Polynomen Homogenes harmonisches Polynom vom Grad n dargestellt als Linearkombination von linear unabhngigen Basispolynomen Beispiel: Grad n=2 oder wenn man negative Indizies einfhrt: Grad n Ordnung m
  • Folie 20
  • Annette EickerAPMG 1 20 19.01.2014 Kugelflchenfunktionen Sphrische Polarkoordinaten