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Andrea Giacobbe

Università degli studi di Padova

Progetto Nazionale Lauree Scientifiche

Liceo Scientifico Corradini, A.A. 2009–2010

Le tassellazioni periodiche,

il gruppo dei mosaici

e le tassellazioni

semi–regolari

2 100128tass.per.stampa.nb

0. Introduzione

La "regolarità", in un oggetto, è quantomeno bella, forse è pure funzionale.

Sicuramente, la nostra mente analizza il mondo che la circonda, e cerca regole per poi dedurre conseguenze.

Forse per questo motivo, da sempre ci circondiamo di oggetti artistici regolari...

Inoltre, le strutture regolari soddisfano tipicamente a problemi di "minimizzazione/massimizzazione" (quadrati tra i rettangoli, molecole in un cristallo, arance in una cassetta,strade in una città)

Ad uno scienziato il compito di definire il concetto di regolarità e di dimostrare che alcune varianti di regolarità minimizzano o massimizzano alcune proprietà interessanti

100128tass.per.stampa.nb 3

I più semplici ornamenti, sono quelli con poligoni regolari. Il più semplice è il pavimento di casa


Ma ci sono altre organizzazioni semplici e funzionali (almeno per le api)


Anche solo con i poligoni regolari, si possono fare delle belle opere d'arte (pavimenti nei palazzi o mosaici e vetrate nelle chiese)


Ci sono anche tassellazioni del "piano" pittoriche molto belle


E ce ne sono alcune che richiedono molto studio


Intendiamo occuparci del lato scientifico delle decorazioni più regolari. Per far questo dovremo

1. definire gli oggetti che intendiamo trattare: le tassellazioni periodiche, e (quasi) per negazione, quelle a–periodiche

2. imparare a conoscere le strutture che rendono le tassellazioni periodiche così interessanti: le isometrie

3. classificare i vari casi possibili di simmetria: i gruppi di Leonardo, quelli dei fregi e quelli dei mosaici

4. applicare quanto imparato alla classe più semplice —non banale— di tassellazioni periodiche: le tassellazioni semi–regolari


1. Tassellazioni periodiche

Definizione: una tassellazione del piano è un insieme di figure (le piastrelle), tipicamente finito 8A1, A2, ..., An< ed un modo di posarle sul piano R2 così da ricoprirlo.

Definizione: una tassellazione del piano si dice periodica, se esistono due traslazioni indipendenti v, w ed una porzione finita U della tassellazione, tale che tutto il disegno siottiene copiando U ed i suoi traslati con tutte le traslazioni generate da u, v, ovvero tutti i disegni del tipo U + m v + n w con m, n Î Z

Il fatto che basti una porzione di una tassellazione per determinare la figura è utile. Ma gli oggetti ottenuti in questo modo, tipicamente generano figure geometriche che hanno

molte più simmetrie, non solo le traslazioni... proprio queste simmetrie extra le rendono più belle.


Prendiamo in considerazione l'esempio più semplice: quello del pavimento di casa


Vediamo che, oltre alle ovvie traslazioni


ci sono delle invarianze per rotazioni di periodo 4


Ma ci sono anche delle invarianze per rotazioni di periodo 2


Quasi infine, ci sono delle invarianze per riflessioni


E delle altre isometrie interessanti


2. Le isometrie del piano

Insomma, bisogna quindi prendere confidenza con le isometrie

Definizione: una isometria è una trasformazione del piano R2 in sè che mantiene le distanze

Una isometria è una mappa del piano j : R2 ® R

2 che manda un punto p nel punto jHpL = A p + v dove

A è un elemento del gruppo ortogonale OH2L v è un vettore, ovvero un elemento di R2

Per questo motivo le isometrie vengono anche chiamate roto-traslazioni


Il gruppo ortogonale contiene due tipi di trasformazioni ben distinte: le rotazioni e le riflessioni.

Le rotazioni sono rappresentate da matrici del tipo Cos@ΘD -Sin@ΘDSin@ΘD Cos@ΘD , che

hanno determinante 1, e che consistono in rotazioni di angolo Θ attorno all'origine.

Le riflessioni sono rappresentate da matrici del tipo Cos@ΘD Sin@ΘDSin@ΘD -Cos@ΘD , che

hanno determinante -1, e che

rappresentano una riflessione con asse che forma un angolo di Θ

2 con l'asse delle x

Fin qui, ci siamo limitati alle trasformazioni ortogonali, che in particolare lasciano sempre un punto speciale fermo.


Passiamo a descrivere una isometria generica

Teorema: ogni elemento j del gruppo delle isometrie del piano è

una traslazione,

una rotazione di angolo Θ e centro un punto del piano,

una riflessione,

una glissoriflessione, ovvero una riflessione seguita da una traslazione parallela all'asse


La cosa migliore per capire, è sperimentare con questi oggetti. Le traslazioni sono le più semplici da comprendere

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Le rotazioni, all'apparenza, sembrano più complicate

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Ma presi dei riferimenti

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Per i nostri scopi, alcune traslazioni sono più interessanti di altre: quelle di angolo non commensurabile con þ

n

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Contro quelle di angolo commensurabile con þ, del tipo p

qΠ

n

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Le rotazioni del tipo Π

q con un q piccolo, verranno rappresentate da un simbolo posto nel centro di rotazione:

cerchio nel caso di rotazioni di 2 Π

2

triangolo nel caso di rotazioni di 2 Π

3

quadrato nel caso di rotazioni di 2 Π

4

etc, etc, etc ....


Anche le riflessioni...

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Hanno bisogno di un riferimento

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


Le glissoriflessioni sono le più complicate

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


-2 -1 1 2

-2

-1

1

2


3. I gruppi di Leonardo, i gruppi dei Fregi ed i gruppi dei Mosaici

Ora che abbiamo fatto conoscenza con le isometrie, torniamo alle tassellazioni periodiche

Abbiamo detto che le tassellazioni periodiche, si ottengono da una cella iniziale per mezzo di due traslazioni indipendenti.

Abbiamo anche detto —ed osservato— che alcune tassellazioni periodiche hanno altre simmetrie oltre alle traslazioni


Definizione: una simmetria per una tassellazione è una isometria j che manda la tassellazione in sè

Proprietà importante: la famiglia delle simmetrie che lasciano una tassellazione invariante si chiama gruppo (perché se due isometrie j, Ψ hanno quella proprietà, allora anche le

inverse j-1, Ψ-1 e la composizione di j con Ψ ha tale proprietà)

Questa proprietà, impone vincoli fortissimi alle possibili famiglie di isometrie

Ovviamente, una rotazione di angolo non commensurabile a 2 Π, non potrà mai fare parte di un gruppo di simmetrie di una tassellazione

Perché le "ruotate" riempiono in modo fitto i cerchi concentrici, e nessun disegno può subire questo trattamento senza "sovrapporsi"


Quali sono i gruppi di isometrie che non causano questa "sovrapposizione". Si chiamano gruppi ornamentali

Definizione: un gruppo di isometrie si dice agire in modo discontinuo se ..... Tali gruppi di isometrie si chiamano gruppi ornamentali

Teorema: ci sono tre grandi classi di gruppi ornamentali:

quelli che non contengono nessuna traslazione, e si chiamano gruppi di Leonardo

quelli per cui tutte le traslazioni sono multipli interi di una traslazione data v, e si chiamano gruppi dei fregi

quelli per cui tutte le traslazioni sono combinazioni intere di due traslazioni v, w, e si chiamano gruppi dei mosaici

Non ci sono altre possibilità, perché due vettori allineati ma di lunghezze incommensurabili, e tre vettori non dipendenti su Z possono portare ovunque si voglia almeno in una retta.


� Gruppi di Leonardo

I gruppi di Leonardo non possono contenere glisso–riflessioni, perché se j è glisso–riflessione allora j ë j è una traslazione

Non possono contenere traslazioni

Se non contengono riflessioni, allora contengono una rotazione, che deve necessariamente essere di angolo p

q2 Π

E si dimostra che non possono contenere altro che rotazioni di angolo n

q2 Π con n Î 80, 1 ..., q - 1< (oppure, che è lo stesso, 81, ..., q<).


In questo caso, abbiamo un gruppo detto ciclico


Se invece contengono almeno una riflessione allora possono contenere anche una rotazione, che deve necessariamente essere di angolo p

q2 Π e deve avere centro nell'asse della

riflessione

E si dimostra che contenengono le rotazioni con quel centro ed angoli n

q2 Π e q riflessioni i cui assi sono distanziati tra di loro di angolo 1

qΠ. Abbiamo un gruppo detto diedrale


E questo?


Ci sono molti esempi di gruppi ciclici e diedrali legati all'arte (Palacio de Velazquez, Madrid - Duomo Pisa - Basilica di San Marco)


All'urbanistica (Palmanova - Grosseto)


... Alla chimica ed alla cristallografia ...

Passiamo ora ai Fregi, che sono rappresentazioni periodiche in una direzione.

Sono ornamenti "lineari", che trovate osservando cornicini, marcipiedi, pareti dei bagni


� Gruppi dei fregi

Teorema: esistono 7 possibili gruppi dei fregi F1, il gruppo che contiene solo una traslazione v (ed i suoi multipli)

F11, che contiene F1 ed inoltre contiene

una riflessione di asse parallelo a v


le riflessioni ortogonali a v, spaziate di v

2

F13, che contiene F1 ma che inoltre contiene

una glissoriflessione di traslazione v

2


mezzi giri, spaziati di v

2



2 e

la riflessione parallela a v e passante per i mezzi giri)



2 e

riflessioni ortogonali a v spaziate di v

2 (mezzi giri e riflessioni sono intervallati)


F1


F11


F12


F13


F2


F21


F22


Eccole tutte assieme


� Gruppi dei mosaici

La teoria sui gruppi dei mosaici è molto laboriosa. Ce ne sono 17

Un gruppo dei mosaici può non contenere rotazioni, ma se ne contiene allora queste sono di angolo

Π, detti 2–centri

2

3Π, detti 3–centri

1

2Π, detti 4–centri (ovviamente questi gruppi contengono anche 2–centri)

1

3Π, detti 6–centri (ovviamente questi gruppi contengono anche 3 e 2–centri)


I gruppi dei mosaici che non ci interessano sono quelli che non contengono rotazioni. Ce ne sono 4: M1, M11, M1

2, M13

Quelli che contengono solo 2-centri, ovvero che contengono rotazioni di angolo Π ma non rotazioni di angolo 1

2Π. Ce ne sono 5: M2, M2

1, M22, M2

3, M24


Quelli che contengono solo 3 centri, ovvero contengono rotazioni di angolo 2

3Π ma non rotazioni di angolo 1


1, M32


Quelli che contengono 4-centri, ovvero contengono rotazioni di angolo 1


1, M42


Quelli che contengono 6-centri, ovvero contengono rotazioni di angolo 1


1


Vediamo che gruppo dei mosaici si applica ai nostri pavimenti ed agli alveari

Out[40]=

Esite una "leggenda", che nella reggia di Alambra (Granada–Spagna), ci sia, per ogni gruppo dei mosaici, un mosaico con quel gruppo come gruppo di simmetria massimale


4. Le tassellazioni semi–regolari

In questo capitolo, ci occupiamo delle tassellazioni dette semi–regolari. Definiamo il problema

REGOLE : le tassellazioni che vogliamo investigare sono tali che

regola del produttore: le tessere sono poligoni regolari di lato 1

regola del posatore: le tessere posate non si sovrappongono ed i loro spigoli, quando si toccano, sono coincidenti (edge–to–edge)


Ciò che vogliamo ottenere è

Definizione: una tassellazione è una famiglia T di poligoni regolari PΑ immersi nel piano tali da

rispettare le regole dettate sopra

ricoprire il piano, ovvero tali che R2 = ÜΑ PΑ


Un poligono regolare di lato fissato (diciamo unitario) è caratterizzato dal numero dei lati

Una volta deciso il numero dei lati, i poligoni regolari di lato 1 hanno

angoli ai vertici n-2

nΠ

Infatti Π -2 Π

n=

n-2

nΠ, e quindi gli angoli dei triangoli isosceli in figura sono n-2

2 nΠ, e sono la metà degli angoli al vertice del poligono

2 Π

n n - 2

n

Π


apotema che indichiamo con la lettera a. Vale la formula

a@nD =1

2CotA Π

nE

(infatti a@nD TanA Π

nE =

1

2)

(circum)raggio, che indichiamo con la lettera r. Vale la formula

r@nD =1

2CscA Π

nE

(infatti r@nD = I 1

2M2

+ I 1

2M2

CotA Π

nE2

=1

21 +

CosB Π

nF2

SinB Π

nF2

=1

2CscA Π

nE


a

Π�n

1

2

r


Per prima cosa, dobbiamo capire come mettere i poligoni localmente.

Infatti i vertici dei poligoni devono combaciare, e quindi la somma degli angoli al vertice dei poligoni che concorrono ad un vertice deve fare 2Π.

Quindi, bisogna e basta che poligoni abbiano lati 8n1, ..., nr< tali che valga la regola

(TL)n1-2

n1+ ... +

nr-2

nr= 2

Una tassellazione locale viene indicata con una lista 8n1, ..., nr< dei vertici


Esempio. Se abbiamo la sequenza di interi {3,4,5}

un pentagono (n = 5, angolo al vertice 3

5Π),

un quadrato (n = 4, angolo al vertice 2

4Π), ed

un triangolo (n = 3, angolo al vertice 1

3Π)

Allora 3

5Π +

1

2Π +

1

3Π =

18+15+10

30Π =

43

30Π ¹ 2 Π... non c'è modo di usarli per una tassellazione locale


Esempio. Se abbiamo la sequenza di interi {3,12,12}

due dodecagoni (n = 12, angolo al vertice 10

12Π),

un triangolo (n = 3, angolo al vertice 1

3Π)

Allora 10

12Π +

10

12Π +

1

3Π =

10+10+4

12Π =

24

12Π = 2 Π.

Quindi questi poligoni si possono usare per una tassellazione locale


Purtroppo le variabili n1, n2, n3, ... devono essere intere

Questo tipo di equazioni si dicono Diofantee, e sono difficili da risolvere

Definizione: Una tassellazione locale è T = P1 Ü ... Ü Pn

immersi in accordo con le regole, aventi tutti un vertice nell' origine O tali che la loro unione copre un intorno di O ed i loro interni siano disgiunti

Per avere una bijezione tra i disegni e le liste dei vertici, si usa la convenzione di scegliere la lista in cui n1 è il più piccolo tra gli ni, ed n2 è la più piccola scelta che segue n1 e cosìvia.


Teorema: ci sono 21 tassellazioni locali

83,3,3,3,3,3< 84,4,4,4< 86,6,6<

83,3,4,3,4< 84,8,8< 83,6,3,6< 83,4,6,4< 83,3,3,3,6< 83,3,3,4,4<

83,3,4,12< 83,4,3,12<83,3,6,6<

83,4,4,6<83,12,12< 84,6,12<

83,7,42< 83,8,24< 83,9,18< 83,10,15< 84,5,20< 85,5,10<


Osservazione. L'ordine è importante, infatti 83, 4, 4, 6< e 83, 4, 6, 4< sono tassellazioni locali diverse.

Aggiungiamo un'ultima regola

regola del posatore 2 (sui vertici): in ogni vertice si deve avere la stessa tassellazione locale

Definizione: una tassellazione T si dice semi—regolare se è ottenuta usando unicamente una data tassellazione locale T. Tra le tassellazioni semi—regolari vi sono ne sonoquelle che usano un solo tipo di poligono, che si dicono regolar


Si vede subito che alcune tassellazioni locali non possono generare una tassellazione semi–regolare. Le prime 4 si scartano immediatamente, perché nel solo lato libero del trian-golo ci dovrebbero essere entrambe i poligoni

Nel caso di {5,5,10}, provate a mettere un decagono in ciascuno dei vertici liberi in cui si incontrano 2 poligoni. Idem per {4,5,20}

-1 1 2

-1

1

2

3

-1 1 2 3 4 5

-1

1

2

3

4

5


Proposizione: le 11 tassellazioni locali sotto disegnate sono le uniche che possono comporre una tassellazione semi-regolare. Le altre tassellazioni locali vanno scartate

83,3,3,3,3,3< 84,4,4,4< 86,6,6<

83,3,3,4,4< 83,3,4,3,4< 83,6,3,6< 83,3,3,3,6<

83,12,12< 84,6,12< 84,8,8< 83,4,6,4<


Teorema: ciascuna delle 11 tassellazioni locali che non potevamo scartare generano tassellazioni regolari


Possiamo essere più espliciti sulla relazione tra tassellazioni locali e gruppi dei mosaici. Una lista di tassellazioni locali e del più grande gruppo di simmetria per la tassellazione adesse associata è:

il più grande gruppo di simmetria per {3, 12, 12}, {4, 6, 12}, {3,4,6,4}, {3,3,6,6} e {3,6,3,6} è M61

il più grande gruppo di simmetria per {4,8,4,8} è M41

il più grande gruppo di simmetria per {3,3,4,3,4} è M42

il più grande gruppo di simmetria per {3,3,3,4,4} è M22


Epilogo. Le tassellazioni demi–regolari

Senza la regola ad ogni vertice ci deve essere la stessa tassellazione locale, si ottengono le tassellazioni demi—regolari.

Si vede facilmente, da alcuni di questi disegni, come creare tassellazioni a–periodiche. Per questo una tassellazione si dice a–periodica se è fatta di tasselli che generano unatassellazione a–periodica ma che non ne generano una periodica


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