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Andrea Giacobbe Università degli studi di Padova Progetto Nazionale Lauree Scientifiche Liceo Scientifico Corradini, A.A. 2009–2010

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Andrea Giacobbe

Universit degli studi di Padova

Progetto Nazionale Lauree Scientifiche

Liceo Scientifico Corradini, A.A. 20092010

Le tassellazioni periodiche,

il gruppo dei mosaici

e le tassellazioni

semiregolari

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0. Introduzione

La "regolarit", in un oggetto, quantomeno bella, forse pure funzionale.

Sicuramente, la nostra mente analizza il mondo che la circonda, e cerca regole per poi dedurre conseguenze.

Forse per questo motivo, da sempre ci circondiamo di oggetti artistici regolari...

Inoltre, le strutture regolari soddisfano tipicamente a problemi di "minimizzazione/massimizzazione" (quadrati tra i rettangoli, molecole in un cristallo, arance in una cassetta,strade in una citt)

Ad uno scienziato il compito di definire il concetto di regolarit e di dimostrare che alcune varianti di regolarit minimizzano o massimizzano alcune propriet interessanti

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I pi semplici ornamenti, sono quelli con poligoni regolari. Il pi semplice il pavimento di casa

4 100128tass.per.stampa.nb

Ma ci sono altre organizzazioni semplici e funzionali (almeno per le api)

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Anche solo con i poligoni regolari, si possono fare delle belle opere d'arte (pavimenti nei palazzi o mosaici e vetrate nelle chiese)

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Ci sono anche tassellazioni del "piano" pittoriche molto belle

8 100128tass.per.stampa.nb

E ce ne sono alcune che richiedono molto studio

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10 100128tass.per.stampa.nb

Intendiamo occuparci del lato scientifico delle decorazioni pi regolari. Per far questo dovremo

1. definire gli oggetti che intendiamo trattare: le tassellazioni periodiche, e (quasi) per negazione, quelle aperiodiche

2. imparare a conoscere le strutture che rendono le tassellazioni periodiche cos interessanti: le isometrie

3. classificare i vari casi possibili di simmetria: i gruppi di Leonardo, quelli dei fregi e quelli dei mosaici

4. applicare quanto imparato alla classe pi semplice non banale di tassellazioni periodiche: le tassellazioni semiregolari

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1. Tassellazioni periodiche

Definizione: una tassellazione del piano un insieme di figure (le piastrelle), tipicamente finito 8A1, A2, ..., An< ed un modo di posarle sul piano R2 cos da ricoprirlo.

Definizione: una tassellazione del piano si dice periodica, se esistono due traslazioni indipendenti v, w ed una porzione finita U della tassellazione, tale che tutto il disegno siottiene copiando U ed i suoi traslati con tutte le traslazioni generate da u, v, ovvero tutti i disegni del tipo U + m v + n w con m, n Z

Il fatto che basti una porzione di una tassellazione per determinare la figura utile. Ma gli oggetti ottenuti in questo modo, tipicamente generano figure geometriche che hanno

molte pi simmetrie, non solo le traslazioni... proprio queste simmetrie extra le rendono pi belle.

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Prendiamo in considerazione l'esempio pi semplice: quello del pavimento di casa

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Vediamo che, oltre alle ovvie traslazioni

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ci sono delle invarianze per rotazioni di periodo 4

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Ma ci sono anche delle invarianze per rotazioni di periodo 2

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Quasi infine, ci sono delle invarianze per riflessioni

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E delle altre isometrie interessanti

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2. Le isometrie del piano

Insomma, bisogna quindi prendere confidenza con le isometrie

Definizione: una isometria una trasformazione del piano R2 in s che mantiene le distanze

Una isometria una mappa del piano j : R2 R2 che manda un punto p nel punto jHpL = A p + v dove A un elemento del gruppo ortogonale OH2L v un vettore, ovvero un elemento di R2

Per questo motivo le isometrie vengono anche chiamate roto-traslazioni

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Il gruppo ortogonale contiene due tipi di trasformazioni ben distinte: le rotazioni e le riflessioni.

Le rotazioni sono rappresentate da matrici del tipo [email protected] [email protected]@D [email protected] , che

hanno determinante 1, e che consistono in rotazioni di angolo attorno all'origine.

Le riflessioni sono rappresentate da matrici del tipo [email protected] [email protected]@D [email protected] , che

hanno determinante -1, e che

rappresentano una riflessione con asse che forma un angolo di 2

con l'asse delle x

Fin qui, ci siamo limitati alle trasformazioni ortogonali, che in particolare lasciano sempre un punto speciale fermo.

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Passiamo a descrivere una isometria generica

Teorema: ogni elemento j del gruppo delle isometrie del piano

una traslazione,

una rotazione di angolo e centro un punto del piano,

una riflessione,

una glissoriflessione, ovvero una riflessione seguita da una traslazione parallela all'asse

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La cosa migliore per capire, sperimentare con questi oggetti. Le traslazioni sono le pi semplici da comprendere

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

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-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

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Le rotazioni, all'apparenza, sembrano pi complicate

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

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Ma presi dei riferimenti

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

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Per i nostri scopi, alcune traslazioni sono pi interessanti di altre: quelle di angolo non commensurabile con

n

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

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Contro quelle di angolo commensurabile con , del tipo p

q

n

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

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Le rotazioni del tipo q

con un q piccolo, verranno rappresentate da un simbolo posto nel centro di rotazione:

cerchio nel caso di rotazioni di 2 2

triangolo nel caso di rotazioni di 2 3

quadrato nel caso di rotazioni di 2 4

etc, etc, etc ....

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Anche le riflessioni...

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

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Hanno bisogno di un riferimento

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

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Le glissoriflessioni sono le pi complicate

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

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-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

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3. I gruppi di Leonardo, i gruppi dei Fregi ed i gruppi dei Mosaici

Ora che abbiamo fatto conoscenza con le isometrie, torniamo alle tassellazioni periodiche

Abbiamo detto che le tassellazioni periodiche, si ottengono da una cella iniziale per mezzo di due traslazioni indipendenti.

Abbiamo anche detto ed osservato che alcune tassellazioni periodiche hanno altre simmetrie oltre alle traslazioni

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Definizione: una simmetria per una tassellazione una isometria j che manda la tassellazione in s

Propriet importante: la famiglia delle simmetrie che lasciano una tassellazione invariante si chiama gruppo (perch se due isometrie j, hanno quella propriet, allora anche le

inverse j-1, -1 e la composizione di j con ha tale propriet)

Questa propriet, impone vincoli fortissimi alle possibili famiglie di isometrie

Ovviamente, una rotazione di angolo non commensurabile a 2 , non potr mai fare parte di un gruppo di simmetrie di una tassellazione

Perch le "ruotate" riempiono in modo fitto i cerchi concentrici, e nessun disegno pu subire questo trattamento senza "sovrapporsi"

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Quali sono i gruppi di isometrie che non causano questa "sovrapposizione". Si chiamano gruppi ornamentali

Definizione: un gruppo di isometrie si dice agire in modo discontinuo se ..... Tali gruppi di isometrie si chiamano gruppi ornamentali

Teorema: ci sono tre grandi classi di gruppi ornamentali:

quelli che non contengono nessuna traslazione, e si chiamano gruppi di Leonardo

quelli per cui tutte le traslazioni sono multipli interi di una traslazione data v, e si chiamano gruppi dei fregi

quelli per cui tutte le traslazioni sono combinazioni intere di due traslazioni v, w, e si chiamano gruppi dei mosaici

Non ci sono altre possibilit, perch due vettori allineati ma di lunghezze incommensurabili, e tre vettori non dipendenti su Z possono portare ovunque si voglia almeno in una retta.

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Gruppi di Leonardo

I gruppi di Leonardo non possono contenere glissoriflessioni, perch se j glissoriflessione allora j j una traslazione

Non possono contenere traslazioni

Se non contengono riflessioni, allora contengono una rotazione, che deve necessariamente essere di angolo p

q2

E si dimostra che non possono contenere altro che rotazioni di angolo nq

2 con n 80, 1 ..., q - 1< (oppure, che lo stesso, 81, ..., q

In questo caso, abbiamo un gruppo detto ciclico

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Se invece contengono almeno una riflessione allora possono contenere anche una rotazione, che deve necessariamente essere di angolo p

q2 e deve avere centro nell'asse della

riflessione

E si dimostra che contenengono le rotazioni con quel centro ed angoli nq

2 e q riflessioni i cui assi sono distanziati tra di loro di angolo 1q

. Abbiamo un gruppo detto diedrale

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E questo?

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Ci sono molti esempi di gruppi ciclici e diedrali legati all'arte (Palacio de Velazquez, Madrid - Duomo Pisa - Basilica di San Marco)

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All'urbanistica (Palmanova - Grosseto)

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... Alla chimica ed alla cristallografia ...

Passiamo ora ai Fregi, che sono rappresentazioni periodiche in una direzione.

Sono ornamenti "lineari", che trovate osservando cornicini, marcipiedi, pareti dei bagni

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Gruppi dei fregi

Teorema: esistono 7 possibili gruppi dei fregi F1, il gruppo che contiene solo una traslazione v (ed i suoi multipli)

F11, che contiene F1 ed inoltre contiene

una riflessione di asse parallelo a v

F12, che contiene F1 ed inoltre contiene

le riflessioni ortogonali a v, spaziate di v2

F13, che contiene F1 ma che inoltre contiene

una glissoriflessione di traslazione v2

F2, che contiene F1 ed inoltre contiene

mezzi giri, spaziati di v2

F21, che contiene F1 ed inoltre contiene

mezzi giri, spaziati di v2

e

la riflessione parallela a v e passante per i mezzi giri)

F22, che contiene F1 ed inoltre contiene

mezzi giri, spaziati di v2

e

riflessioni ortogonali a v spaziate di v2

(mezzi giri e riflessioni sono intervallati)

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F1

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F11

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F12

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F13

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F2

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F21

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F22

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Eccole tutte assieme

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Gruppi dei mosaici

La teoria sui gruppi dei mosaici molto laboriosa. Ce ne sono 17

Un gruppo dei mosaici pu non contenere rotazioni, ma se ne contiene allora queste sono di angolo

, detti 2centri

23

, detti 3centri

12

, detti 4centri (ovviamente questi gruppi contengono anche 2centri)

13

, detti 6centri (ovviamente questi gruppi contengono anche 3 e 2centri)

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I gruppi dei mosaici che non ci interessano sono quelli che non contengono rotazioni. Ce ne sono 4: M1, M11, M1

2, M13

Quelli che contengono solo 2-centri, ovvero che contengono rotazioni di angolo ma non rotazioni di angolo 12

. Ce ne sono 5: M2, M21, M2

2, M23, M2

4

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Quelli che contengono solo 3 centri, ovvero contengono rotazioni di angolo 23

ma non rotazioni di angolo 13

. Ce ne sono 3: M3, M31, M3

2

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Quelli che contengono 4-centri, ovvero contengono rotazioni di angolo 12

. Ce ne sono 3: M4, M41, M4

2

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Quelli che contengono 6-centri, ovvero contengono rotazioni di angolo 13

. Ce ne sono 2: M6, M61

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Vediamo che gruppo dei mosaici si applica ai nostri pavimenti ed agli alveari

Out[40]=

Esite una "leggenda", che nella reggia di Alambra (GranadaSpagna), ci sia, per ogni gruppo dei mosaici, un mosaico con quel gruppo come gruppo di simmetria massimale

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4. Le tassellazioni semiregolari

In questo capitolo, ci occupiamo delle tassellazioni dette semiregolari. Definiamo il problema

REGOLE : le tassellazioni che vogliamo investigare sono tali che

regola del produttore: le tessere sono poligoni regolari di lato 1

regola del posatore: le tessere posate non si sovrappongono ed i loro spigoli, quando si toccano, sono coincidenti (edgetoedge)

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Ci che vogliamo ottenere

Definizione: una tassellazione una famiglia T di poligoni regolari P immersi nel piano tali da

rispettare le regole dettate sopra

ricoprire il piano, ovvero tali che R2 = P

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Un poligono regolare di lato fissato (diciamo unitario) caratterizzato dal numero dei lati

Una volta deciso il numero dei lati, i poligoni regolari di lato 1 hanno

angoli ai vertici n-2n

Infatti - 2 n

=n-2

n, e quindi gli angoli dei triangoli isosceli in figura sono n-2

2 n, e sono la met degli angoli al vertice del poligono

2

n n - 2

n

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apotema che indichiamo con la lettera a. Vale la formula

[email protected] = 12

CotA n

E (infatti [email protected] TanA

nE = 1

2)

(circum)raggio, che indichiamo con la lettera r. Vale la formula

[email protected] = 12

CscA n

E

(infatti [email protected] = I 12

M2 + I 12

M2 CotA n

E2 = 12

1 +CosB

nF2

SinB n

F2 =1

2CscA

nE

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a

n

1

2

r

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Per prima cosa, dobbiamo capire come mettere i poligoni localmente.

Infatti i vertici dei poligoni devono combaciare, e quindi la somma degli angoli al vertice dei poligoni che concorrono ad un vertice deve fare 2.

Quindi, bisogna e basta che poligoni abbiano lati 8n1, ..., nr< tali che valga la regola(TL)

n1-2

n1+ ... + nr-2

nr= 2

Una tassellazione locale viene indicata con una lista 8n1, ..., nr< dei vertici

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Esempio. Se abbiamo la sequenza di interi {3,4,5}

un pentagono (n = 5, angolo al vertice 35

),

un quadrato (n = 4, angolo al vertice 24

), ed

un triangolo (n = 3, angolo al vertice 13

)

Allora 35

+1

2 +

1

3 =

18+15+10

30 =

43

30 2 ... non c' modo di usarli per una tassellazione locale

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Esempio. Se abbiamo la sequenza di interi {3,12,12}

due dodecagoni (n = 12, angolo al vertice 1012

),

un triangolo (n = 3, angolo al vertice 13

)

Allora 1012

+10

12 +

1

3 =

10+10+4

12 =

24

12 = 2 .

Quindi questi poligoni si possono usare per una tassellazione locale

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Purtroppo le variabili n1, n2, n3, ... devono essere intere

Questo tipo di equazioni si dicono Diofantee, e sono difficili da risolvere

Definizione: Una tassellazione locale T = P1 ... Pn immersi in accordo con le regole, aventi tutti un vertice nell' origine O tali che la loro unione copre un intorno di O ed i loro interni siano disgiunti

Per avere una bijezione tra i disegni e le liste dei vertici, si usa la convenzione di scegliere la lista in cui n1 il pi piccolo tra gli ni, ed n2 la pi piccola scelta che segue n1 e cosvia.

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Teorema: ci sono 21 tassellazioni locali

83,3,3,3,3,3< 84,4,4,4< 86,6,6