zapiski za ustni izpit - stromar.sizapiski za ustni izpit Šolsko leto 2007 / 20 08 izvajalec gregor...

MATEMATIKA II 1 UNI Zapiski za ustni izpit Šolsko leto 2007 / 2008

Izvajalec Gregor Dolinar Avtor dokumenta Skeniranje Blaž Potočnik UREJANJE DOKUMENTA

VERZIJA 01.00 DATUM 21.02.2009

OPOMBE

Matematika 2 – ustna vprašanja

Determinanta, poddeterminanta

Lastnosti determinante

Cramerjevo pravilo

Računanje z vektorji, kot med vektorji

Skalarni produkt vektorjev

Vektorski produkt vektorjev

Mešani produkt vektorjev

Cauchy-Schwarzova neenakost

Paralelogramska enačba

Enačba ravnine, enačba premice

Razdalja med točkama, razdalja med točko in premico

Razdalja med točko in ravnino, razdalja med premicama, razdalja med premico in ravnino

Računanje z matrikami

Rang matrike

Inverzna matrika (definicija, lastnosti, izračun)

Posebne vrste matrik (simetrična …)

Sistemi linearnih enačb - osnovni izrek

Gaussova metoda za reševanje sistema linearnih enačb

Vektorski prostor

Baza vektorskega prostora

Linearna neodvisnost vektorjev

Linearna preslikava

Lastne vrednosti, lastni vektorji matrike

Lastne vrednosti hermitskih, poševno hermitskih, unitarnih matrik

Funkcijska vrsta (definicija, definicijsko območje, konvergenca)

Potenčna vrsta (definicija, konvergenca)

Odvajanje in integriranje potenčnih vrst

Taylorjeva vrsta funkcije f

Taylorjeva vrsta funkcij: )1log(,cos,sin, xxxex +

Binomska vrsta, binomski koeficienti

Fouriejeva vrsta (definicija, konvergenca)

www.stromar.si 1

Fourierova vrsta s poljubno periodo

Sinusna Fouriejeva vrsta, kosinusna Fouriejeva vrsta

Funkcija dveh spremenljivk (definicija, zveznost, limita, graf)

Odvod funkcije več spremenljivk

Posredno odvajanje:

yx zz

yxvv

yxuu

vuzz

,

),(

),(

),(

=

=

=

Višji parcialni odvodi

Taylorjeva vrsta funkcije dveh spremenljivk

Izrek o implicitni funkciji

Ekstrem funkcije dveh spremenljivk

Hessejeva matrika

Vezani ekstrem funkcije dveh spremenljivk

Diferencialna enačba (definicija, začetni problem, robni problem)

Diferencialna enačba z ločljivimi spremenljivkami

Linearna diferencialna enačba 1. reda (homogena, nehomogena)

Bernoullijeva diferencialna enačba

Eksaktna diferencialna enačba

Vpeljava parametra v diferencialno enačbo:

)'(

0)',(

yx

yxF

ϕ=

=

Ortogonalne trajektorije

Eksistenca in enoličnost rešitve diferencialne enačbe 00 )(),,(' yxyyxfy ==

Splošna rešitev linearne diferencialne enačbe drugega reda

Linearna diferencialna enačba drugega reda homogena s konstantnimi koeficienti

Determinanta Wronskega (linearna odvisnost funkcij)

Linearna diferencialna enačba s konstantnimi koeficienti, 2. reda, nehomogena

Nehomogena linearna diferencialna enačba 2. reda

Eulerjeva diferencialna enačba 2. reda

Reševanje nehomogene linearne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti višjega reda s

pomočjo nastavka

Sistemi diferencialnih enačb

www.stromar.si 2

@

U4{,eI|A!NAL 2-:--- -usTn4 vereasArta

--

b.ff -\Nc\F j-uskryonqntuL1e-esdpe-luEug-c\'rs$nt-Attet \ i-, nl n--Slsyft-eyfx dj-3*e! {',lE ) --Pts\31=----- ip,r{qy11o _!n4s!if!q_o_-:

-n1L-)

\- \redncst o@\b?A- \ll9

2 .'+Z zgrlgncln0" -v-cle\e1m11qrr\L pali\)-bni- v r-$tc-i,sgslsl--etmilrc^r'\i -e'pq1qrpni .5>4dzncik tEnqFO\r-=\cr. - Zcr s\c\p,ee )

ff-ffE::-=oz^bqElntrlh' se\errn\n.+ll*1\-o*Er € -dpbrnc Jdto, -dc V-

l \ . i t

A -\]t!qnt_-"t=et@-u\c U,$Sc- i-V ,

-Ln+:tr-brcrpel,-imenrtismc prqE\s-lqrnrngnto- - i\L-Ertpqcls\ 4

Scrrne\nic\mc

3-. -Dderrq$qn*p FlrlqaArne-_gskedorXVn tSl\co, ,-r---- -0""-p-.nn arrp__==+ecogevlbt liog '\enrer'l - i(abrqnq vr-dsg f-en.*k. vg\g-s dc\pce-L - tVe[cr [di c-brc^huz:]elnLclrZ5\c1Ut-ruc - _- r-

@- -Ld-v.rsJL€, - -+-

f4L#www.stromar.si 3

pdguenc\ko veho eldc,\p(sL--:_

r-^s- t E-l -_ _v x dncSl_ c\e+gr-p1rnqflk_ qO c^E+ _\--

kc+"rikc\f

_ l I - |cleTerrn\eorrts_ ER n Fplslllgnr, Cer\-r ' rlr l\_,\r Iti< >R__l-\, SDfglngn\ Jg-ff:f}-vi$rlen$qielnoue-gi.rtuK*"c;A"ri

.tdi*,rl.rr\illqqlllrMctt\e

tLot crbH crur :-s--zfr \-ede^l o..n i sis*gu.rc-,r. \tneo.t nlerrre b.

: Ltnccrn\e <nncie V:-q'As^ Xt + -t- O^^ X^ :

qzn Xn-- b

Ona X,r -+Qnt Yn:bn

\Seutr c @nqr*rC\ C}

b: CI 0zn

,Ft11-'

0-Rn

f;t-*eu tCTC\NCr Z

: - l - ' l rr -$i+ b+ -cle*er'rnsutq-g F-j*b dLerLW

s\ct!q!qn0a

@www.stromar.si 4

MEb

ecrfrf-c\

b=\Ziflcr ve\<\c roq

,t cr.*t&tl- x : c35 % -- ffi --- gs-\g- -z-l

Sz-

Lccrdtno*€ o"L^.

Ftr.tql- eto-#

4F ?DblflraYl\E

.l

' 4.-s:?-Ql-qfr\u\'\2sl - \d-*B-):tE_:-fi + t6-t d )" - -K?-tt1ufa-f\v ncgr - ffi s!

i- -trIF:I$tgvrlyr':lsr-- 1.{-t e.L

f(b;www.stromar.si 5

tdt-[6t-- -=rnGt--

, DE.\nIC_!&t ' Skelqf ni r:rcclr rk * r r^r^-r!

*.--L-a. taeC STA vl-rav-\rF _F \ r - -

I c(-E) : p(. td..g

NCSTi . rj c \ A( G.ei \o . , Tp d,i o^ - . r =o - \ k x - /1

Pcarliu\_r\ \

l r

LCI\CtrCY

i la i-e l \ r

tG.B lgl dl l

__ ld_Blz._lA-:t _

---_---

.

www.stromar.si 6

tI

III-:----I

r - '

2_.

I---1--I- -t-:III

f4#^;

II

www.stromar.si 7

osftEeer.

ZtBP:KA=-=' b-dcr-r' V=c ekc'ii

Zc\ar

F-i-I

c\cb\rn,c- l c -

r r l : d l L -l -

+ l < -

pl :d B)z Z IBI

ar.-

@I

\ l \Fl

\a

t

II

'.

-@\=,

www.stromar.si 8

3 EnA i-ffi un \nE-, - E nA f, BA FK ern \ cE-

g--nox + lzg-loae= ",\- ) dT& . L-//-*,.J-; -

- cL: o - rqunrrro

R'r skpLr--K,O. r"hdrigu 'Vy --C:O-)I( l \n1no\3pl \ {C\r \oZaq"Z, -o- I -

PKes{\c.A v r>rcs\cru6- dckcCerno s tc-Stse-AJq4'qziftl--rn s srne.rnrrn veK*cyl*n € . ToEk+ Jtl+5tz)- g-K:--, -

sJs@ F \eai ncr-J%-Prqn!c\,-e9$ -+-veitci \:-t* \z.f:cuecllrrr ve\ctc\nv - €-' -- - i

- Encre\rcr \fu-mtc! u rJc\rtlrn€lnCm aHlB\- - } - > r - \

F : r-e- -t t'€I\<crrrcnrcitrcr lo\iKc.rt _--,. - --- --;-

,I

I

!+-._--!

!

.g X C\a \ -CIz : } -Ct :qiP:€4 Qz €a

* _ L1ED: T_gC[AtlA ,_K&ZDALk\TCCKC \N PKETN\CO

o_ r<^_ap_1t!Y\ no\=Dl_ EQ \Yr _ PgJl-\!.-

Rcrz.dqa\i c tct-ke tr_g\_ p rgYtl q9, bL-e\S--<f

sKce|- teg!= A v -QIleY\ !-e!*qAqE, A)4 _IIOSIFC \\Eiq _tr()Iq\e\carg\uLu ----:

, -

. \-- . ,-- --h@ft\ lqsEt"Jp-E tn fpj-qo,

s- -qr- -

@-": r:--c-- \a\

fita;

!e* fi*

www.stromar.si 9

i l___+_erc{s-b -S

--i!I

3o---r'

In\

^rGun\rn.

CZ

pKErnrc4'

-_ Z. peErrntcr ou

I- - T -I =-€

!0--92_ *-kj_r\ET

www.stromar.si 10

3- PfceL1\ cA:F^VnlnA

t-. - Rlt y- i"r \n c\-\n -PtsF-n \g- - V=Pzre.r:!1!-- epLe\ ^ -V-lf--

\zr-qrQrn-qu4^ ?--

n\c

II

iI:

. - - i - - - - 'I

I

i

i

bqE\\ \e1rs-.--t1'glnLq ue\tbeq'-+j --I.n1Y-t-- ts PfqVtkd-q j-- " . - = . \ - - . , - _ l .D I

6l -o.Ueruer-Slerd---be$f!!-ro-:g n ig rtn ttevrL - --i --

-M!s5td9- ve\ikcs*t-4X:f-frnenY$-<ff?- vKST\-qDq' _=i-

- fOs\I(<\E -urcr*vikc-ue\ikcsti iloz.! Bq-qcr.-e_iffS-- - i--fncrtrikcr.

L

SE.S- [EV

b.\-c4! \tP-elg| -A-tnZ.C\ Y}\ITO USC\C U

L l - - CT

\Tf<\\<_ t

Se,ot e,t .r-to \crbtkc-Fg$^) ------+-

r t l

ve\\Kosr\ r1-r\xf\ ?c\qylal

(c* d.-)i-a : C,A + CT A4 A:AVe\t cr

\5- - 5€

Ar9-A_

/Lt^--www.stromar.si 11

_ -FK/ftnsPsnltce{1e_.meirsts

__- J..,,,\.1). Kr d3 cznc\s1rn3__aZir:_fqrf" e;;=.l___

NlncZev^$,e M,q_TRn\

CU : CI,n bnA_t giebp

Lo=ryrrsr\ .

s

_1_m,ffiwww.stromar.si 12

It_I

I

i -r<orrqvz'

cJeJer\"nt nctrrt\".

-= rcLMr A

_g pn trclut"r(rou,irryq{u_!\q trplg

s[:r nLi t\]c\

cd. A "nclk

eMil

c\>rn A: rlt

TRbT-[E,V..N

O..irrikt !c ru *pLQnf.yrqra"\t (€--

v rrru.cxl\dtri Z.a' w<- ur>bi-si

r/fstiq-c Z

c\<n\ Ce-\nir S

?* ko*e,riLc\i Vr =#ic-t

<ebto'-kt.i

Eno\<: ue

t _

- i rr<swe Vt (etuiuo\er,.Yuo. do-ktrti*\'{)]l ^ . \ 1 - \

!Ro.rl.c srrro'lnke ft 6 Mm,rn Jh e"ncrk-)-St-erfpr-urtuecrruc- iRo-r,t? Sxxcx\t'\q A= e Mm^A )t e^nc-u&,

- K - r - = ' . r t - u ' -

i xlq rd\iq"v'''[ u\ s\ q.\{\QCtI\r.

t \r':ca-- i Nre:+

bno.xro c\d';crr'

rncxhdkc\ "eQ3,T$clcr F fcru-R #h.tk-www.stromar.si 13

+ rnvEr<ZnA MATRn\A ta.iz.rcae^nJ- ' v \ I r \rrv \ \clsr\\Alc\t4r

lar<E-K: lnueyErs rncEtrikct fno*nhe A+ecrq1' , ko ar c\elerrn\rrcrrdcr rncx\nka

\Ic,[ Zcrclcr 5t A

A-_4:

AU kc{tcirnn*i rncx*nke A

Ad - Fa)i*a' c\eL-[ i --]L I J(n-a)x(n-+)

'ffiJ9tr6.k ff?t#u

rnc,"\rrkcr tprcrU N$c.I

T

\Dri eernqr Sc

Ls^srn:sf !,

cbstcr4c^ Vrcxtcl.nkcA rqdrsnq ccle.

cbrn\t\,l ' rnc^tnKi,ABUtr1 uetio:

u(;?

- ttl

ec'\Atz

AzzAnz

t4z

\zzn2

CTI

I

r44

Q A

rh

r -Cncl

\,\ Ag

Aan

AznAtrtt

z.

4rL

2n

r Y'tn

gr,

:\l\

. t

,tUr

I S

i tr{

1=1

bt'tc

TY

Ack>

4cletA

TCL(

JCTr . /

ln,ln"LA'

. ( I t (qe)Aa,

Az,

(n'B)-{: 53-1,41

* PosEBnE vKSrE (vlATRrF.,+ Sl\.\ETK\e\nE & pcsevnc

Kuo.drc.hncr rncxrqrcr; ; ;};fft,::_ Ar=A,j"H ,.," j* 0[ : qg z.^ vso.k i;x'" ' '* \ Lq ff

Kuo.dr*-hncr ,-a+^ti A p- \r.seuN\c srcu.r_e\6fio*o.\t crn\sirne+rtirncr .- ,g nE:"'^**'.,cr.\ = \i *^..,-;ll.{

A' = - A. \'f e" g

't \lERF\\\sKe & pc6eun<> Fil=RN1sF€

\T* J t" he*nr\skcr.ee \jr- ,S-n. Mcxlrito./\ 8R_ p6<urro \rerrnitskcr o\i gn\iherrn\\skcr,e-a r fs .--A. Hernir\ekrr. n"""trito-G;;* cso.gc*rrisc\\\\c\ \ecr\ncl Eleu\o. . f.:oSgusl.c hlerrni\tkl-.'\:cr tr,t\roet*cl \nnqtno,.rncr,. S\e\jil:''

www.stromar.si 14

'{F Kc \AA-PLE-KS\1E : -e-\ gnen\- \ . l

Ste\r tor

fncx\nkl A S: kcrn.,p\<\.6nG ,--

Kvo'.uKAr\AE

=+ s\rTEr1\ L\NE,,\RN\H E.b{AE6 - OSNC\}N\\ZKeK

,Sis-\er.r,t yn r\tnecrrr,rih grra"\c a rvns"rnnkc\UDi_Lr_r_Xey_.- Xn_____

-- i -

- -'Lt * 0.n^ X- -r - - + Ornn Yn :brn Zqrcis_enrrvc-Urr'r-qdrtifOi - :

Annx\1 ' : Bnr"r"

tZf<q< :__5*:c.! n:\inec-.1nh <qqEb A n - qrsz.nqnkgrrni\rno.. uot\q" nsSsnkc+g+\ ,kalt _rcv"nc mcxlnke_ ft qn*K-

rot^qN\ {q=FyS nlcr*nh*_-Rlf__. i.Xu fqn? A:y, s"nc^KS+e$.ev. n"=t'Lq\- n, -ryclern -oUrlg1t ncr\ucrnkc wrcl.- urh\te,us\s\evncr er2!1cm2., ArncrnFr *1t lldr^\+ I\ezncrnk \Af..t),\!!-e1g s\ \o.hkc riC_tezfqn!_@*_"bn"a_ \Z\oey&p ; a$..r\e ,-- -rc_s* \evn''r rr*crrr"kc cldcls^ne _'

www.stromar.si 15

' -a!S-IEM&-Ltt-\gns_r--rlH B-vttr=.,- lsrstern - \in. e^nc,ef,, )

gEb*ja-n =-rrg rruer--n "-^-

?ncr CV:a nJ ZCTYTIe/D\C\r1^n3 urs\tci rn..\nk e;, 2. ez erYrcrekrr___ _=_:__2._lg_Irnqeyr? 7 nen\Ee\n\rn

- \ . osTe vr\crn

--r-_-1ry'-e--\t\p\\W\-ncr \-qer+e V I \a z. f\e.nf-ce\nry^n ste-ulbr-n, _--pornry)z1rnc Vrr*ic3l rno*vrk e

,- : 3. ee cd erncrZbe o\6\eierrn=l !=eBlr\+rk_de+_b__-- ---X<fg\fg,t -ncl. r€,5i{ev "'cds\e'\l4|1a ue-eLr_eil.,iK

i c\ru?c vrahice. F

€

i Z C+crtr3scuc fnet-C[c_ f-qSirn,o Sis{<,r,tu tcr\c3 clo-i f"'.ttn<c a ater*^*.^+o*-'.rG

' t

Rcs-TcR

i veE-tcr[{, v k-a}enb st.t a{intrcrnr .IrrqlX-r.rcrcAi ,__ i seo\eucr.ndr vektc'Aeu w-r

:"""=-W ""e+.g*-- _g

- _,r -skc^loberrn,_sgiirVslCl# pnrqJti uek_+qg€/nq-_lQsoLc- i + 5 € V, r-oroear.F-

- -:< susr6+lt_ . i\e_rleklar$^_j__ u*+ar_aOl_ef

,Luas*nc_sh =\qt

:I

I

II:II

€

www.stromar.si 16

_5.2c_ LlneE\_\neL F=c!roalnc4r\{ cr(\ -+-r I

- . \ t l t :

_{ _: u\4 b4 + " -T t-;{y1 pyr. - - --;-.\ l

l{p-c---bcrz. -(S-lcvr\c-e!<rrnq^^to.r -bcrEe ) 1e dirntnE}\a . -\ l i

-- ,.i ,-_-p_!?sr3lq\ V.

e?*_uness&--\ttr-o-b-yFsas-\-VEEp$Ev---+-rg'----: -Ilw ve-kJe$-e-v-. -Xr...- , S- si-A_!!nsar-l^---- i

- \recclLirruL *Qe 6-Jincstfncr kcwr\.c-qgr$L . --=-qn X., + . . +ornXn <nnc*l<cr nie<.\nermtl-Vek*crtrr ;-

Scrrnc ee so vb\II

=> L\\AEARI-\AiiERE=L\KAVA I

Ncrt bc=*c,r V^-

F - Vt_> Vz preshkc,r.vcr 111q{_npr1.rO$--

!85!14\cllft_:

I

-/1I/^;www.stromar.si 17

?r-nsrs-re vffit LASTnI VE-F--T-:R1 _G-_\J- rs_-__f4,\Tr<\Ke,

n"3t .

sslern rrno. uee h.+--€

u/c.tte,u takrc*, kc

d.n. Rcx cdnkq

6,aPAF$=R\ST\CnA

+ LAsrb-\E \KEDnST\ MrTSK\It P3SEVNCM,{TI<\K

I. HERI-,\T\SK.E

- A herrnr\sko \n AX: >.X -lerg\_>_ +\em_qrcl:*nc-,. vredrrcst

rtsLe _eb&s # rsrdn2=\e"(. -

x\

6tF

h: t cSevytc I{TRtr1nSKA_ TX x :7->.x

www.stromar.si 18

II

II

i

\-)13Ii

I

i

II

I

I

I

iI

:th.g,t-

f6Lt;www.stromar.si 19

b run<cusKA vRSrA (-u-err-ntctlt, bef\n\q\sFc eeul-dde.,',- - ' - ' - ' - - - - ( . } - \ r

II--

1---

\ v lK.crv_9trgtqN(Al_ -- T--_

I

-€-crcelq & L>11(4-)=- >(x-L[<?-

@"Es-Ure\K= Ld Is.b]-. -!r"t-g-e-po-r1\crqnen0- E:w-

\L=rK X \:a {eael -UOleruA\o. :clabQf f*t n")q

Furnkq\skcx -rrs O=ep-;zc' {isie vredq^cstt sgernen\\uke X , Zq Ktlg--,

_-- L-

K:nueg6ro efeUllg\S.\ \1g\q 3i^c dob\rn() . tc Onge+Sn--1--- i1rwfu* "

-{ Cr'l

-- - i

I

Funkc!t*qnKeg*olr*L-scl#9=t€*_ff III--T---II--i----iI---r__-II

.k Cq- \e Ftrtlkc-t(skcr Vr=fro.*-_ - * J \ _ _ . _ . .

\D-r\ ern .\, \c.Yrkc e\errcrrclr - - - - u

gytslk?tt-s-I n? k-onveI--5it+nq - '

tt*s3-v1r oIIP / cdvs^J a\ryla- iI- - " ' -I

iI

+ - - - - 'III

- - - - - - t - - - _ -II

L - - - -III

iI--iIiI

;I:-r4lrf^;

www.stromar.si 20

-R

ZREK1 N

.+g'clrcre tx--K &-+R).

tnlerua\a ( x^- - tK

t f I r , F

rG ao. uso.ki ni e\enn€y\t

ctenchc\ vrsfa eltverelrG.:X--K In X-X-t VIFtq \o.hKc Kcnv€rqlrcr\i diver+ircr.

I

t \

l - - \ a \ l \ 1 ,

L Z U L / V

S(xl aueanl -fion<,,fa-:. no. _fx-_*R x-+s). - \e

t .

tN \nTEell- l fPAl-]rr= F-rremVrlrr r \ /gc-r-VSST

[1:4- t I

_aj{xj_:qzrj az( x_Clt

www.stromar.si 21

' "tr t l\ ')) J 2c {12 a,l( -

^1r . . )

C;_ . . _ . | ' ( : r ) r . i . - . ( _ ^; r . x J 7 . - ' - ; - \

lp1 li :

+ lol I v-4I' + il"^'fo] r_x:?n it^f) 'u ' - { i c ' l

. I \ J T

-& s$tgi qd\ -Qn- S\cnd V L'o+ e -sQ_ne-1c$81 dd?esn]-a

Oo-

,Zcr:rrx_x?!, J< r wlcnJevAles-utunrsg fld

\ . . - - . r '\ -J J \ \ .

- ' - _ :

a\ -;'.: : ._,,

l, ', --, L -:, \ _ - , . : \ . 1

It

. t \ ! ^ :

€)

+ TAYLCK\E.VA-

| ; L ' . ,

- -VK$TA FUnTrok et eL^x,I""5x, ?^" [4+ "I-

f-G) '-e-x

F\; l=: sr_ jfl|_(r)=e' t t"'(r) = '\

@ s\3q\i -. e.x -

r4#^;www.stromar.si 22

€

C l l r - l - r - r t - . -

r ,, Ll:__brnt_iltq): ci l \; %

: r - l \ t . l r i r -

(cJ_^tft,) = -Sln x ' (c) - o

: CCSX " (c) -- -1t ' ( ^

ttt (x ) = S INX t t t (cJ: o

' +xt-t F,b)-4

t l(rr - -4 (4tx I-z f , , [" I : - l

:X-

*x(x ) - %n ( 4+x

?r\^ ( x-r a

")-- tn

Ii_ - - - - - -

_-@www.stromar.si 23

II

I-_I

iI;

@V E%, -B\ [I Q \1OSEL-FO_Cf-K I9{\T- \B\NCMSKA

I

i

I- ! - _ - - -

l l

- 't

-D!C,2lf,:]- : -fL-'=.-! i-f--'--

I

(m' --m(rn-+)trn-z)-- (m-n+a)--- iczno,Sc\_ \nJ -

_nl-__ _ JebYnnsFt-s-trn\ccL:

Ker

--1? ): o zL usc^k n>rnrne Nl, _

S , \{+-" ffi 1.-, I \. ,, * r^" '' '-*;r1t3-\ i -I E t t*-rf - -ls*r) I tqr- !x *n))-\ . \ krl-l- r

f.O.Soo= {pr-rn-.,\.r eq -Elp-cr.:Fv A] ,(, ! b: -[T ):t"t

\ l *a)m - : 1* tT}o * 7m \ z ,\ z lc l

- t (Hld'VEL\z+ :- - - - ! ] - -

R:*Ax\ffi_[+$ffir:lffi'\-=4

4/^;

e--E^11)I

II

+.- --

www.stromar.si 24

GGsnaL€- -E=ruu$rnur+lf-C:n €-perr"drircsr. t=''*-p-"_l_- .R

T\<\cLrsq3N^erE]lSK vRsTA. ao\ use \={ L9._!gfa' kcnver1rro. )q r)e ri cc\r (ir\.:L s peri3ct- ?:-_-._'_--

Ne! b: { per-icc\r-cnc^ {urnEc-LF^ s .eerr=SLZ_Zn.

i f tx l | : ( l3+d€c6x+o x+ - - t

SInLX- t - - ='costnx) + brn.sln (nx )

: frcl 'n*ev'uo.\_u F"ir rnl

txldx

Cx )-ccs (nx) .dy-ir

k).s in

r)of - r \ -t(x): c\-tfi I"r[ Fusr=sVAru\<\E\E,V

yKTA.__BrnKc\=.-

_\lS bo f. casek-rrn]c Z.Uez_no. -g9ticS\q@s pertcct? zrr ao_ kcrter-^r velig slcr uoer:_12tqv_==*].Vr ,nc\esni cc\vcdr . p:rtern \cthrkc{--._rozl|imc_ o F.r, f rrro. q=t=_ _i -lL6-la!Nelx!-rt!cr-

i funktc^ {"ni zveao . 7o-{. vrrcv\ms\i sorpmorn\iirrFo i.eg_ei $esn3 s\rcln__qnc\bc\ orrhdienr _={a!^,@[ivn*e {unkor;< ac:i

www.stromar.si 25

r t \vrs,-t_c rY11gn\+s4^€ Q\nutne,,,

FourtenQ-uc.x ute*cx sqk r-L---=----=_d_-. . _ \xj s_ Fg_r riI\a_Zn g<

udq

cA

www.stromar.si 26

__ i--_, \r, , lletrnqF,= _ __€--. ZVe_anq'Ulr-rn*gWl€-runssuA-$ iu{ L^Ei'^.,i

; bEF\V\ \C l la ( ' -r _

' \ \)r)F(-\\C}. L\ugY\ sF)lC>nnorrrl i ir,t- ki t-rvn-\:ntr+ s-Npres\iko.\cr

iZV ce;tR-rvrkciic_r : b+K ^le aue v tctKt

>_p_pbs;hcrr* lqt J >c do$I x",\. I - {[x,q) I <t- . c\ry\

Llxrb )+ qqn ee cbs{c+ic,'.. ac\ Usct\r" z.-€

i -

GFAF<

€'o \'ML-uG-Gda -o ( (x-or )a+ !tpl: [2.

:- ic--- po\elu At n\enn c\cr-€

ureo\ -er.q.;v: li r prcrvo'.stno\ pro.ekn'a +e p\askue_ _nc\ rq\y\ZE!)

d _ @;ddtnrci\ skc cbrnc?,< tunk.iX D :,::r.r,,,-krlrr.^ r..,,_... .. v - ; t,-,1>.\ 2z q\enncr. Zcr\=Ao\ uredncsJi]www.stromar.si 27

P.qeb€eg porciq\Ucdvc4 funF.r$_{-pq_Es_e*nno\$uhi ?,RmcrK_ - . _ --f-:_--of-grs)=

foi*qd - I-l-

d*erenci cr\c\\ncr

-:r_ v tcekt (o,b)'ce ib:*q\c'\c^ pqrcio\ne dvcdcr-ql--

rJ-_":-$-[e--U-)-QgP+g-/

@-\eKqe- -d-f 1[xdxTQLT/tLN

e

74[/^;www.stromar.si 28

(- .:r

.l \J \Jt -- - __qL:veFl?nc prcrv,(c I.-----..---._._-

Nc\l lrc funkcl\cr a:f(x, g ) c\ifererrrciobilno.,_s-p4rlEqr\ilvKlX tn U- f lo ncr i h-=l- , zrArr-r t , r ' i C..^u-, . . . ,

- - -P --

f:rsredncr tunkciJc^ \rorcrmetrc\- t 1U_1.+9.1IE!"dil

' t

xLt\ rw1Ith^ \ ^ . ^ _P'ctern x

7a - ( x-r a'x

I \ \, 'r

c\ t ' h+c h

x )Z+h+c

er sto. xLt cc\vec$ivi erfe11

t^,^^ #=tt@ rh hrn seo)c

encr ctbi\nc,r \tr"n- )c

z

tu'*-^--lt-

+-e{ru1 lcsr]-:lr4nl .J-L- -i - --* rScr

Oc\ tcd s\ec\i c\c,t #__ _

K-:-&-,r+€d-:r-fig $ br)-

L+I}

L)

t >.J

)t*-t d x--_j_ t -..-

r\v c\ Y

: ++:+- + ::5., Qe * €5,. evwww.stromar.si 29

€t-:? _V_rgJr FnSc\i\_LN\;elyaDL__ _ __ ,_ i_

,J \l I- - , , . . - , -1

- U@ f -{unkcite' c\v@h sle'rernenli\uk'-*-_; -d - -Q

ce n\erncl r:orcto-\no. cclvcdcr ;[s!:l.i*t*-t1*$q-: -

i-*cr:e\ r:cxrc\<ilnc cdved\ttuo- .,(u'. \o.\nkc cdvc'"tqrnc ,-i--}.c\2e-*- Pcrrctcilnc cdved\it]lo-,d!I. \ghk" cdvc'"\qmc l- -\n dqb_tOfe- pcrrc-t+\re 1qg\tc{e -c\ru*aq-redcr' - - --rfu_slpeK \c'.hr\c_ ncrc\g1,\ g\-qu"_ _ rUdchlmC- pq\c\tdnq -lqgNcde u\Sie'-lcr, Yedc\.] I --t -

00 i

- tg.-gn*c-cnry5cloq pqNaiqhE p$uedq-Lf rr-fg- ;@ oVrs\o$r-\cr. qr -t\o aueznr funLcrvek+-encrks:-' - -j-

I rr+-rucRtev,+ v<Sr funSctte SVE-I\--_Sl-

SPREM t\-\\lw

ccNecl!\tvq no. cheq sprcrr^a"n\u\<i u ck<l\c\ \ctKe (c\.\-iP-\-.rF.,.-u'.r:

( j- i

f1L#www.stromar.si 30

I : c5c)'.ct

, tctKr (o.,r,:) rlr nq$ vrc fCq,U_l :o !g[___-.

_ | ,\\",u) tO.,_cbstcSo.hn o&ec}$irqfuirK.\qL q:_\(4 __---+S .*K,^=_ I 7<rclc5eo. T:cg:Aerncrr

dx

[o--th, b+tr) - fta,u-)

I

eK c irn ici*ni u\r\k ve\tcr- tuo\i Z.o,runKciG vd, ernqrY-\ r iuk , \<i ZqdcSCc-u1'2

\,r=\re.z.n\rnV tartrn€y\J dcr cc\arrcr llrrtr>\ici\no

Xr\ . Z.

EM\ FUNKC\E- bVF' bPRE,TNCNL\\VFunkct Inncr u tctKr \rnurn, eQ.v e\cr

- i FunKclyr e\o_: 6i F ( r - r - *u t - . r , - \ ( - t \ \ -

- rd - w

- i eq dq u *cts! to.,!-) e\qs\reu4 _i:d=^*g"--grn On .-_-*i cdvodcr F-Jt .., *eS_t!F\ _r^.oc&S\rCI!._

\-): o____l+q+_ \_q Fdrskxrn^= _egdercoO_

i eR +s! -lL lqsl& _| <rnc;.kc>. v-ritr. p>\ qlr_^- {c \cek : r*o*--

-

cr ekt)\re\J\r

www.stromar.si 31

I

i

Akrz -+ zBhK-r

3\ec\r- - - - \ " 'r -ca \ r n\- B->O f i - izrcrZ Fr:z* fverr , , r i_ T -

\.d V (o..,..\r) nn\n\rnuxlrn&-

bJ n <c d< cplcr\e,r-^- \z-roz r..-teecxhvern *^crru

\ Q v fc^.\, ) rnc\xrrnr*rr'n.

(-,+n-r e<) L+--fAc -Be-lk3'---f--

L-ee- Ae*i<o {c}z.\cnrh \NK c<Ictq,,.rr\-€--._soz fpcz-i\u eu ur. Nrqc.cxhu e,vr

r \J e J\ . (\^\ eKet\Wrnq

II

i eke*r.qmna\S=-E)\:3 --f--

3 ce )R AC-B=----ct---o pdaru nclrn drv?l cducdrs- -

@--wc\cuc\. TIIi---.=r-

=\ !\Eb_S€.J EvA }^^{trtEal r .\ , \Q3 Se\e_ucx

L-)-

\J(xsl-

Cbie tx'S-LdLFundI\eng

I

!

Il - -

4r,*;www.stromar.si 32

b-\a b:

na\ bcCcr

Pc* \]-\ V eLri

=-p--a=LLU*oU) )cS\Cer

t -@ rn\n\rnLrrn

det E hLl-.!-nqvsnrc

E:UNVEIS SPR ENL-\\V

UnKcito. c\eFtn\rcrno. rro. circbe err;e\cc-x n

rivu v b- \ezGn <-!s*{ennx e.bs,tre"rn uvrkc,r"Ix . Kr zcrcJcsCcrr-c

brr.-nu& do.nO, Uezoni ekse etrt*tqLLr unkcLU od nc lqnvu!

7 ZX --b L^

r ) '= x-+

www.stromar.si 33

F--; t\dz- Red d@{< ted n+$=N.?a rtunclcr

\ ' t ' | \ ' \ J t \ \

u A^ncL:,bi.------ng=:-Cuf . oncrbcx \- v<etc).: FqlJ*_FL) :o

sqin^e-nu)IR' pnr<rtsuun=<.sw e Snfur\rkr^\it ru- rzar\e,,.1 dcbirn. *c.k-c, dcr \:oo\o'r'-r-'r.o i

If--

4/-;www.stromar.si 34

stc^ p=5l-r\rni t\-V=i

e. \e - :, (x l:c Z.cr Uso. otencnc eb cr url -+h:m{ €r-rrcr c L:r

Y-\l C-,\

q :o:r.=-----.---.=-.-

\ r+UtA-

H1-- .''"- o.t rus-_*trpr.=uo ervrcreLc= f - r

!?gLi ivi!.no.

1-W ctc^.Cx) g_: ?Sx ) _,fe€\vrr-, ]]le*ccl-

www.stromar.si 35

@

---]E\\ATEA-Enq\6b)c clc\ik<-

ji +{sx) $=-trexl$ -H.r-s*-.+ t-k) rn 3tx) -zu?zn\ funkc=\K_ spsnn.aol\l\uke - X. \n Js -nto \n

--. - - - - - - $ -

n * I , _lf0lnutllooe_Esmrailt\xluq enerc\a+-' .- --Z ueqc,"uo-nav ucclvi6r'q apremrurvr,\iuk d" \oh\<cp-u-uedt-rrrr \^rcx-hfta.oy\=le <rncr-croe) , -i

- + -d--\Lnoa Z ..f 't - . - , \ . . -WtA \ :

@__ \1 '\$i_t_$xl:@

*Upe\ierrr'c \^r:uc cldr.I.Srrc apr9acnlll ti.t!LO__* , 1

-

- s-ro. -- :z \ -- t-n*n ).5n.tt , us\cr,.ror.-*.c- u \rruoVu-c

: -?rncr(bc \n d,c\c\rnc:

zt - \- -n -b4 )

=5 eK=tKf srR r.'.tfeeanCt Aufro+ e.rv+teA\eok-=@ --

v--pb\iK----M(xrg).dx -+ xt (Xg ) d\i, =O.

g fUnlE6iM rvi F.-\ v orrc-relot stl €unltltr- dve!1--tr<,edvisnrL cere

M tx' 9 )dll_N_Lx$og _:-+ #__ebsj!d!e . -eg $q M !t^ N - - -o!c_ ?ueeUc p_srt9lg_fuc_cdvedl\rut_]rq_"t _e At rr,t 4{UFf-

A M __ Db-\

4lt;www.stromar.si 36

II

Il --_]=_--| - r ^ - . - r ; - ' - - * T - - - '

I \o"Kc # nc\ leLi sfr.rnl _( Ugpr.lal_t__Nl(rrtr)du ) .

ffic

VtrrLJi+V Pi+reAMrrtrA__vDEE=trE\lc\a._Lh\u=

SE-BU\E M€.nL\ lv

E=-----E \e3

E(u-___\J-,

F (xr t r ' ) _o ; Vecrsl Iru,Wrn3 trcrttnOzrcre.i*i a x cbrah-tc Zrt^no X Z

: ) T l grrcrEb: c\i c\rorn-f lri?rnnc> g\S\rns\e r

ENr\EB,O :

d

t (

hrdrI tp) d

-hrt--Bqnrsrtr--S==, d{erer^tc\rcrrne,

www.stromar.si 37

Il__

gfttopnowcJr@u$ t +=..L---tc,rnn*rn\e v d.uo' -&Ei ltnc^K-f*-py1.qgyvtgtr- +-. .o-).q K"%lnerwr kcehc^e"rtt ylruc+y\e tsriuuuF

i-V dcrrni tceki

+ EKSTE ReS\rvE

!I

IIi

J _ _ -

\Yncr \S{t*s!,__nsek"Aqlr \!6n€lJ ---'-g.\ \x> uq6\Yue

!EKs\s-rEN-dnt !ZSF\<- ,r,_1S.H- b- cfc. r' z.gge*ni prc\:-\ap1 -*={a^'bl, rn-- l--

I

II

I

-rfuf;www.stromar.si 38

l+*I_-{tta*g.

cr\,ur

$Er_kI-g-! L-t*g*l-Lt)Idt

--L\Ectlf_z2u Ppq+

c EncLtZncs_rr KeSrrvSC\

I u,6i{e^r zcmet

\e\errri Vsi yfoqc__6

L J I .re.ko. - l I \ - , I r v

"X.. - x^+ L*arCIN 'Jcl i\a o, blvr

Er<=1 S-t- nini rzF:Ep$,rnK Lt\ c,. k'u1 ) '\rcr-,' : c\< (O nr tcUr.rc aUeZ.Uc,rE ttc) Sl4 v \,r *c.kc^ln f)rctr;ck,:*-nifr,r

l - ( tK J'rltrO.v^r+-, cr f-..\ , Clcr F(,v

alirb".r-''' l=ilci

a\,C

t ;

t r a t . . - l \

--_ | Ste Li I cl r,^ b/Aa

X c t A

JR-_--ev

www.stromar.si 39

i@.,---,---:---+ sf_Le_a$4! EES_\I_EU_ L\\'rtrAKn'_E-_ ____ _b_1tr_EEEn qta]=ne__enaie_e_- lKu_qE_qA_sipaF-(x-'g, Ul,\:!"L:_q_- sp !? sn c\--lt prl eu 8__ -r4vaeel elrn$ bg dmernq fu nkql _ ' _

--\_-" Lrn_EAKb..\A fueunggA iSKI

Kce.r t citsnrl I-T -

.- Z' \e clc.r h3ryt,>:'rrrn e :

I

i

ftt^;www.stromar.si 40

c€\TE-v

CYY\PLEFSNI ee.StTvl: p+13 G- - t

- ^Yax (_e _=A__15r2_r:e :e

q uq,6i\eu'

{n ' * Ko-e

I ) -+ i-srn ga,,. )) + K

t>Xer . cc_s fax ) +-

Klt!_w_utrcnsK@4.!+--.-

----

_rufu nfrlgJS.^--d"1d"L,u"i c\etetrntnunl= urrcnskea cr

_- -\'--.... ... -_ _-rl

, -

untrS$ sh .-r c\ e*< r rn rn 4nclrU_

)+K

www.stromar.si 41

$r $- -Sz- [necr!oa?- qEV\ rtnr-

+-L-\nEAR\\{-U\rEsEn!!4Lln&-Elw-BA=S--K2rfl Af tr[Iy\i__K_3_ff]!rEItr\*_z.gED&

- -lrE\!_cl1aqLrys$bno u6-tear E*tnqel:e ,,F --

g)'ri*-r$"Gl-.dsl + &er)-grl)-rt -@--: -rgeU$ntdl$e-txl-pn egr4sr-p-guua$<u-,-_-=-te horoae-€r\a2e\ ddelfAtr-eeLe.tt\kr"\qnae\

. .J \J _---_(}-\:-r--

?or\rkrr\owc"tr -u6*q,tr fsrSCeruc nc\ 2nooin00 inCl.' '

kC ee8 r(.,J potrnorn* zcr no$owL udcr-urgu,r.r ,

I

i

II

II

@

--4tt^;www.stromar.si 42

RESUFE ENC\ALN

?EFIC\trNT\

iSe eruo

-4) f - r \> :cI' Uve e,+=.rdrri( t- l : '€1o '* c 'J- $-gtx):

.DVEE

[x ) - Ca.Xa1 I G't",x - nle-

VEA

F ( cico- xl + G'Sn

-@www.stromar.si 43

, t

-3ldRrudrferenEi-cr\rrh--SroqBb-Quq1cl---te-dq-?q-cNens-an:qyr-r -&nE -." F- -S I tx l-rn--S d1] -\e ? Le-.1 qL jq* -- I e --

I

i

T1

,bK-sr+et- " eEviu.r\ennttnn <mi s* ', a S=?-rgaoqqlh[-----+--

@.=bi"^'1t=t.,etn^r- ..J. *. ^ttD-re*o- -',-OvrV:fvrtc a* ?nc^ebp I W9" :

I

I

II

- - - - - - L - - - -

I

III:l -III- 1II

Ir---I

Ii . - -

-r4L/;

i

www.stromar.si 44