zapiski za ustni izpit - stromar.sizapiski za ustni izpit Šolsko leto 2007 / 20 08 izvajalec gregor...
TRANSCRIPT
MATEMATIKA II 1 UNI Zapiski za ustni izpit Šolsko leto 2007 / 2008
Izvajalec Gregor Dolinar Avtor dokumenta Skeniranje Blaž Potočnik UREJANJE DOKUMENTA
VERZIJA 01.00 DATUM 21.02.2009
OPOMBE
Matematika 2 – ustna vprašanja
Determinanta, poddeterminanta
Lastnosti determinante
Cramerjevo pravilo
Računanje z vektorji, kot med vektorji
Skalarni produkt vektorjev
Vektorski produkt vektorjev
Mešani produkt vektorjev
Cauchy-Schwarzova neenakost
Paralelogramska enačba
Enačba ravnine, enačba premice
Razdalja med točkama, razdalja med točko in premico
Razdalja med točko in ravnino, razdalja med premicama, razdalja med premico in ravnino
Računanje z matrikami
Rang matrike
Inverzna matrika (definicija, lastnosti, izračun)
Posebne vrste matrik (simetrična …)
Sistemi linearnih enačb - osnovni izrek
Gaussova metoda za reševanje sistema linearnih enačb
Vektorski prostor
Baza vektorskega prostora
Linearna neodvisnost vektorjev
Linearna preslikava
Lastne vrednosti, lastni vektorji matrike
Lastne vrednosti hermitskih, poševno hermitskih, unitarnih matrik
Funkcijska vrsta (definicija, definicijsko območje, konvergenca)
Potenčna vrsta (definicija, konvergenca)
Odvajanje in integriranje potenčnih vrst
Taylorjeva vrsta funkcije f
Taylorjeva vrsta funkcij: )1log(,cos,sin, xxxex +
Binomska vrsta, binomski koeficienti
Fouriejeva vrsta (definicija, konvergenca)
www.stromar.si 1
Fourierova vrsta s poljubno periodo
Sinusna Fouriejeva vrsta, kosinusna Fouriejeva vrsta
Funkcija dveh spremenljivk (definicija, zveznost, limita, graf)
Odvod funkcije več spremenljivk
Posredno odvajanje:
yx zz
yxvv
yxuu
vuzz
,
),(
),(
),(
=
=
=
Višji parcialni odvodi
Taylorjeva vrsta funkcije dveh spremenljivk
Izrek o implicitni funkciji
Ekstrem funkcije dveh spremenljivk
Hessejeva matrika
Vezani ekstrem funkcije dveh spremenljivk
Diferencialna enačba (definicija, začetni problem, robni problem)
Diferencialna enačba z ločljivimi spremenljivkami
Linearna diferencialna enačba 1. reda (homogena, nehomogena)
Bernoullijeva diferencialna enačba
Eksaktna diferencialna enačba
Vpeljava parametra v diferencialno enačbo:
)'(
0)',(
yx
yxF
ϕ=
=
Ortogonalne trajektorije
Eksistenca in enoličnost rešitve diferencialne enačbe 00 )(),,(' yxyyxfy ==
Splošna rešitev linearne diferencialne enačbe drugega reda
Linearna diferencialna enačba drugega reda homogena s konstantnimi koeficienti
Determinanta Wronskega (linearna odvisnost funkcij)
Linearna diferencialna enačba s konstantnimi koeficienti, 2. reda, nehomogena
Nehomogena linearna diferencialna enačba 2. reda
Eulerjeva diferencialna enačba 2. reda
Reševanje nehomogene linearne diferencialne enačbe s konstantnimi koeficienti višjega reda s
pomočjo nastavka
Sistemi diferencialnih enačb
www.stromar.si 2
@
U4{,eI|A!NAL 2-:--- -usTn4 vereasArta
--
b.ff -\Nc\F j-uskryonqntuL1e-esdpe-luEug-c\'rs$nt-Attet \ i-, nl n--Slsyft-eyfx dj-3*e! {',lE ) --Pts\31=----- ip,r{qy11o _!n4s!if!q_o_-:
-n1L-)
\- \redncst o@\b?A- \ll9
2 .'+Z zgrlgncln0" -v-cle\e1m11qrr\L pali\)-bni- v r-$tc-i,sgslsl--etmilrc^r'\i -e'pq1qrpni .5>4dzncik tEnqFO\r-=\cr. - Zcr s\c\p,ee )
ff-ffE::-=oz^bqElntrlh' se\errn\n.+ll*1\-o*Er € -dpbrnc Jdto, -dc V-
l \ . i t
A -\]t!qnt_-"t=et@-u\c U,$Sc- i-V ,
-Ln+:tr-brcrpel,-imenrtismc prqE\s-lqrnrngnto- - i\L-Ertpqcls\ 4
Scrrne\nic\mc
3-. -Dderrq$qn*p FlrlqaArne-_gskedorXVn tSl\co, ,-r---- -0""-p-.nn arrp__==+ecogevlbt liog '\enrer'l - i(abrqnq vr-dsg f-en.*k. vg\g-s dc\pce-L - tVe[cr [di c-brc^huz:]elnLclrZ5\c1Ut-ruc - _- r-
@- -Ld-v.rsJL€, - -+-
f4L#www.stromar.si 3
pdguenc\ko veho eldc,\p(sL--:_
r-^s- t E-l -_ _v x dncSl_ c\e+gr-p1rnqflk_ qO c^E+ _\--
kc+"rikc\f
_ l I - |cleTerrn\eorrts_ ER n Fplslllgnr, Cer\-r ' rlr l\_,\r Iti< >R__l-\, SDfglngn\ Jg-ff:f}-vi$rlen$qielnoue-gi.rtuK*"c;A"ri
.tdi*,rl.rr\illqqlllrMctt\e
tLot crbH crur :-s--zfr \-ede^l o..n i sis*gu.rc-,r. \tneo.t nlerrre b.
: Ltnccrn\e <nncie V:-q'As^ Xt + -t- O^^ X^ :
qzn Xn-- b
Ona X,r -+Qnt Yn:bn
\Seutr c @nqr*rC\ C}
b: CI 0zn
,Ft11-'
0-Rn
f;t-*eu tCTC\NCr Z
: - l - ' l rr -$i+ b+ -cle*er'rnsutq-g F-j*b dLerLW
s\ct!q!qn0a
@www.stromar.si 4
MEb
ecrfrf-c\
b=\Ziflcr ve\<\c roq
,t cr.*t&tl- x : c35 % -- ffi --- gs-\g- -z-l
Sz-
Lccrdtno*€ o"L^.
Ftr.tql- eto-#
4F ?DblflraYl\E
.l
' 4.-s:?-Ql-qfr\u\'\2sl - \d-*B-):tE_:-fi + t6-t d )" - -K?-tt1ufa-f\v ncgr - ffi s!
i- -trIF:I$tgvrlyr':lsr-- 1.{-t e.L
f(b;www.stromar.si 5
tdt-[6t-- -=rnGt--
, DE.\nIC_!&t ' Skelqf ni r:rcclr rk * r r^r^-r!
*.--L-a. taeC STA vl-rav-\rF _F \ r - -
I c(-E) : p(. td..g
NCSTi . rj c \ A( G.ei \o . , Tp d,i o^ - . r =o - \ k x - /1
Pcarliu\_r\ \
l r
LCI\CtrCY
i la i-e l \ r
tG.B lgl dl l
__ ld_Blz._lA-:t _
---_---
.
www.stromar.si 6
tI
III-:----I
r - '
2_.
I---1--I- -t-:III
f4#^;
II
www.stromar.si 7
osftEeer.
ZtBP:KA=-=' b-dcr-r' V=c ekc'ii
Zc\ar
F-i-I
c\cb\rn,c- l c -
r r l : d l L -l -
+ l < -
pl :d B)z Z IBI
ar.-
@I
\ l \Fl
\a
t
II
'.
-@\=,
www.stromar.si 8
3 EnA i-ffi un \nE-, - E nA f, BA FK ern \ cE-
g--nox + lzg-loae= ",\- ) dT& . L-//-*,.J-; -
- cL: o - rqunrrro
R'r skpLr--K,O. r"hdrigu 'Vy --C:O-)I( l \n1no\3pl \ {C\r \oZaq"Z, -o- I -
PKes{\c.A v r>rcs\cru6- dckcCerno s tc-Stse-AJq4'qziftl--rn s srne.rnrrn veK*cyl*n € . ToEk+ Jtl+5tz)- g-K:--, -
sJs@ F \eai ncr-J%-Prqn!c\,-e9$ -+-veitci \:-t* \z.f:cuecllrrr ve\ctc\nv - €-' -- - i
- Encre\rcr \fu-mtc! u rJc\rtlrn€lnCm aHlB\- - } - > r - \
F : r-e- -t t'€I\<crrrcnrcitrcr lo\iKc.rt _--,. - --- --;-
,I
I
!+-._--!
!
.g X C\a \ -CIz : } -Ct :qiP:€4 Qz €a
* _ L1ED: T_gC[AtlA ,_K&ZDALk\TCCKC \N PKETN\CO
o_ r<^_ap_1t!Y\ no\=Dl_ EQ \Yr _ PgJl-\!.-
Rcrz.dqa\i c tct-ke tr_g\_ p rgYtl q9, bL-e\S--<f
sKce|- teg!= A v -QIleY\ !-e!*qAqE, A)4 _IIOSIFC \\Eiq _tr()Iq\e\carg\uLu ----:
, -
. \-- . ,-- --h@ft\ lqsEt"Jp-E tn fpj-qo,
s- -qr- -
@-": r:--c-- \a\
fita;
!e* fi*
www.stromar.si 9
i l___+_erc{s-b -S
--i!I
3o---r'
In\
^rGun\rn.
CZ
pKErnrc4'
-_ Z. peErrntcr ou
I- - T -I =-€
!0--92_ *-kj_r\ET
www.stromar.si 10
3- PfceL1\ cA:F^VnlnA
t-. - Rlt y- i"r \n c\-\n -PtsF-n \g- - V=Pzre.r:!1!-- epLe\ ^ -V-lf--
\zr-qrQrn-qu4^ ?--
n\c
II
iI:
. - - i - - - - 'I
I
i
i
bqE\\ \e1rs-.--t1'glnLq ue\tbeq'-+j --I.n1Y-t-- ts PfqVtkd-q j-- " . - = . \ - - . , - _ l .D I
6l -o.Ueruer-Slerd---be$f!!-ro-:g n ig rtn ttevrL - --i --
-M!s5td9- ve\ikcs*t-4X:f-frnenY$-<ff?- vKST\-qDq' _=i-
- fOs\I(<\E -urcr*vikc-ue\ikcsti iloz.! Bq-qcr.-e_iffS-- - i--fncrtrikcr.
L
SE.S- [EV
b.\-c4! \tP-elg| -A-tnZ.C\ Y}\ITO USC\C U
L l - - CT
\Tf<\\<_ t
Se,ot e,t .r-to \crbtkc-Fg$^) ------+-
r t l
ve\\Kosr\ r1-r\xf\ ?c\qylal
(c* d.-)i-a : C,A + CT A4 A:AVe\t cr
\5- - 5€
Ar9-A_
/Lt^--www.stromar.si 11
_ -FK/ftnsPsnltce{1e_.meirsts
__- J..,,,\.1). Kr d3 cznc\s1rn3__aZir:_fqrf" e;;=.l___
NlncZev^$,e M,q_TRn\
CU : CI,n bnA_t giebp
Lo=ryrrsr\ .
s
_1_m,ffiwww.stromar.si 12
It_I
I
i -r<orrqvz'
cJeJer\"nt nctrrt\".
-= rcLMr A
_g pn trclut"r(rou,irryq{u_!\q trplg
s[:r nLi t\]c\
cd. A "nclk
eMil
c\>rn A: rlt
TRbT-[E,V..N
O..irrikt !c ru *pLQnf.yrqra"\t (€--
v rrru.cxl\dtri Z.a' w<- ur>bi-si
r/fstiq-c Z
c\<n\ Ce-\nir S
?* ko*e,riLc\i Vr =#ic-t
<ebto'-kt.i
Eno\<: ue
t _
- i rr<swe Vt (etuiuo\er,.Yuo. do-ktrti*\'{)]l ^ . \ 1 - \
!Ro.rl.c srrro'lnke ft 6 Mm,rn Jh e"ncrk-)-St-erfpr-urtuecrruc- iRo-r,t? Sxxcx\t'\q A= e Mm^A )t e^nc-u&,
- K - r - = ' . r t - u ' -
i xlq rd\iq"v'''[ u\ s\ q.\{\QCtI\r.
t \r':ca-- i Nre:+
bno.xro c\d';crr'
rncxhdkc\ "eQ3,T$clcr F fcru-R #h.tk-www.stromar.si 13
+ rnvEr<ZnA MATRn\A ta.iz.rcae^nJ- ' v \ I r \rrv \ \clsr\\Alc\t4r
lar<E-K: lnueyErs rncEtrikct fno*nhe A+ecrq1' , ko ar c\elerrn\rrcrrdcr rncx\nka
\Ic,[ Zcrclcr 5t A
A-_4:
AU kc{tcirnn*i rncx*nke A
Ad - Fa)i*a' c\eL-[ i --]L I J(n-a)x(n-+)
'ffiJ9tr6.k ff?t#u
rnc,"\rrkcr tprcrU N$c.I
T
\Dri eernqr Sc
Ls^srn:sf !,
cbstcr4c^ Vrcxtcl.nkcA rqdrsnq ccle.
cbrn\t\,l ' rnc^tnKi,ABUtr1 uetio:
u(;?
- ttl
ec'\Atz
AzzAnz
t4z
\zzn2
CTI
I
r44
Q A
rh
r -Cncl
\,\ Ag
Aan
AznAtrtt
z.
4rL
2n
r Y'tn
gr,
:\l\
. t
,tUr
I S
i tr{
1=1
bt'tc
TY
Ack>
4cletA
TCL(
JCTr . /
ln,ln"LA'
. ( I t (qe)Aa,
Az,
(n'B)-{: 53-1,41
* PosEBnE vKSrE (vlATRrF.,+ Sl\.\ETK\e\nE & pcsevnc
Kuo.drc.hncr rncxrqrcr; ; ;};fft,::_ Ar=A,j"H ,.," j* 0[ : qg z.^ vso.k i;x'" ' '* \ Lq ff
Kuo.dr*-hncr ,-a+^ti A p- \r.seuN\c srcu.r_e\6fio*o.\t crn\sirne+rtirncr .- ,g nE:"'^**'.,cr.\ = \i *^..,-;ll.{
A' = - A. \'f e" g
't \lERF\\\sKe & pc6eun<> Fil=RN1sF€
\T* J t" he*nr\skcr.ee \jr- ,S-n. Mcxlrito./\ 8R_ p6<urro \rerrnitskcr o\i gn\iherrn\\skcr,e-a r fs .--A. Hernir\ekrr. n"""trito-G;;* cso.gc*rrisc\\\\c\ \ecr\ncl Eleu\o. . f.:oSgusl.c hlerrni\tkl-.'\:cr tr,t\roet*cl \nnqtno,.rncr,. S\e\jil:''
www.stromar.si 14
'{F Kc \AA-PLE-KS\1E : -e-\ gnen\- \ . l
Ste\r tor
fncx\nkl A S: kcrn.,p\<\.6nG ,--
Kvo'.uKAr\AE
=+ s\rTEr1\ L\NE,,\RN\H E.b{AE6 - OSNC\}N\\ZKeK
,Sis-\er.r,t yn r\tnecrrr,rih grra"\c a rvns"rnnkc\UDi_Lr_r_Xey_.- Xn_____
-- i -
- -'Lt * 0.n^ X- -r - - + Ornn Yn :brn Zqrcis_enrrvc-Urr'r-qdrtifOi - :
Annx\1 ' : Bnr"r"
tZf<q< :__5*:c.! n:\inec-.1nh <qqEb A n - qrsz.nqnkgrrni\rno.. uot\q" nsSsnkc+g+\ ,kalt _rcv"nc mcxlnke_ ft qn*K-
rot^qN\ {q=FyS nlcr*nh*_-Rlf__. i.Xu fqn? A:y, s"nc^KS+e$.ev. n"=t'Lq\- n, -ryclern -oUrlg1t ncr\ucrnkc wrcl.- urh\te,us\s\evncr er2!1cm2., ArncrnFr *1t lldr^\+ I\ezncrnk \Af..t),\!!-e1g s\ \o.hkc riC_tezfqn!_@*_"bn"a_ \Z\oey&p ; a$..r\e ,-- -rc_s* \evn''r rr*crrr"kc cldcls^ne _'
www.stromar.si 15
' -a!S-IEM&-Ltt-\gns_r--rlH B-vttr=.,- lsrstern - \in. e^nc,ef,, )
gEb*ja-n =-rrg rruer--n "-^-
?ncr CV:a nJ ZCTYTIe/D\C\r1^n3 urs\tci rn..\nk e;, 2. ez erYrcrekrr___ _=_:__2._lg_Irnqeyr? 7 nen\Ee\n\rn
- \ . osTe vr\crn
--r-_-1ry'-e--\t\p\\W\-ncr \-qer+e V I \a z. f\e.nf-ce\nry^n ste-ulbr-n, _--pornry)z1rnc Vrr*ic3l rno*vrk e
,- : 3. ee cd erncrZbe o\6\eierrn=l !=eBlr\+rk_de+_b__-- ---X<fg\fg,t -ncl. r€,5i{ev "'cds\e'\l4|1a ue-eLr_eil.,iK
i c\ru?c vrahice. F
€
i Z C+crtr3scuc fnet-C[c_ f-qSirn,o Sis{<,r,tu tcr\c3 clo-i f"'.ttn<c a ater*^*.^+o*-'.rG
' t
Rcs-TcR
i veE-tcr[{, v k-a}enb st.t a{intrcrnr .IrrqlX-r.rcrcAi ,__ i seo\eucr.ndr vektc'Aeu w-r
:"""=-W ""e+.g*-- _g
- _,r -skc^loberrn,_sgiirVslCl# pnrqJti uek_+qg€/nq-_lQsoLc- i + 5 € V, r-oroear.F-
- -:< susr6+lt_ . i\e_rleklar$^_j__ u*+ar_aOl_ef
,Luas*nc_sh =\qt
:I
I
II:II
€
www.stromar.si 16
_5.2c_ LlneE\_\neL F=c!roalnc4r\{ cr(\ -+-r I
- . \ t l t :
_{ _: u\4 b4 + " -T t-;{y1 pyr. - - --;-.\ l
l{p-c---bcrz. -(S-lcvr\c-e!<rrnq^^to.r -bcrEe ) 1e dirntnE}\a . -\ l i
-- ,.i ,-_-p_!?sr3lq\ V.
e?*_uness&--\ttr-o-b-yFsas-\-VEEp$Ev---+-rg'----: -Ilw ve-kJe$-e-v-. -Xr...- , S- si-A_!!nsar-l^---- i
- \recclLirruL *Qe 6-Jincstfncr kcwr\.c-qgr$L . --=-qn X., + . . +ornXn <nnc*l<cr nie<.\nermtl-Vek*crtrr ;-
Scrrnc ee so vb\II
=> L\\AEARI-\AiiERE=L\KAVA I
Ncrt bc=*c,r V^-
F - Vt_> Vz preshkc,r.vcr 111q{_npr1.rO$--
!85!14\cllft_:
I
-/1I/^;www.stromar.si 17
?r-nsrs-re vffit LASTnI VE-F--T-:R1 _G-_\J- rs_-__f4,\Tr<\Ke,
n"3t .
sslern rrno. uee h.+--€
u/c.tte,u takrc*, kc
d.n. Rcx cdnkq
6,aPAF$=R\ST\CnA
+ LAsrb-\E \KEDnST\ MrTSK\It P3SEVNCM,{TI<\K
I. HERI-,\T\SK.E
- A herrnr\sko \n AX: >.X -lerg\_>_ +\em_qrcl:*nc-,. vredrrcst
rtsLe _eb&s # rsrdn2=\e"(. -
x\
6tF
h: t cSevytc I{TRtr1nSKA_ TX x :7->.x
www.stromar.si 18
II
II
i
\-)13Ii
I
i
II
I
I
I
iI
:th.g,t-
f6Lt;www.stromar.si 19
b run<cusKA vRSrA (-u-err-ntctlt, bef\n\q\sFc eeul-dde.,',- - ' - ' - ' - - - - ( . } - \ r
II--
1---
\ v lK.crv_9trgtqN(Al_ -- T--_
I
-€-crcelq & L>11(4-)=- >(x-L[<?-
@"Es-Ure\K= Ld Is.b]-. -!r"t-g-e-po-r1\crqnen0- E:w-
\L=rK X \:a {eael -UOleruA\o. :clabQf f*t n")q
Furnkq\skcx -rrs O=ep-;zc' {isie vredq^cstt sgernen\\uke X , Zq Ktlg--,
_-- L-
K:nueg6ro efeUllg\S.\ \1g\q 3i^c dob\rn() . tc Onge+Sn--1--- i1rwfu* "
-{ Cr'l
-- - i
I
Funkc!t*qnKeg*olr*L-scl#9=t€*_ff III--T---II--i----iI---r__-II
.k Cq- \e Ftrtlkc-t(skcr Vr=fro.*-_ - * J \ _ _ . _ . .
\D-r\ ern .\, \c.Yrkc e\errcrrclr - - - - u
gytslk?tt-s-I n? k-onveI--5it+nq - '
tt*s3-v1r oIIP / cdvs^J a\ryla- iI- - " ' -I
iI
+ - - - - 'III
- - - - - - t - - - _ -II
L - - - -III
iI--iIiI
;I:-r4lrf^;
www.stromar.si 20
-R
ZREK1 N
.+g'clrcre tx--K &-+R).
tnlerua\a ( x^- - tK
t f I r , F
rG ao. uso.ki ni e\enn€y\t
ctenchc\ vrsfa eltverelrG.:X--K In X-X-t VIFtq \o.hKc Kcnv€rqlrcr\i diver+ircr.
I
t \
l - - \ a \ l \ 1 ,
L Z U L / V
S(xl aueanl -fion<,,fa-:. no. _fx-_*R x-+s). - \e
t .
tN \nTEell- l fPAl-]rr= F-rremVrlrr r \ /gc-r-VSST
[1:4- t I
_aj{xj_:qzrj az( x_Clt
www.stromar.si 21
' "tr t l\ ')) J 2c {12 a,l( -
^1r . . )
C;_ . . _ . | ' ( : r ) r . i . - . ( _ ^; r . x J 7 . - ' - ; - \
lp1 li :
+ lol I v-4I' + il"^'fo] r_x:?n it^f) 'u ' - { i c ' l
. I \ J T
-& s$tgi qd\ -Qn- S\cnd V L'o+ e -sQ_ne-1c$81 dd?esn]-a
Oo-
,Zcr:rrx_x?!, J< r wlcnJevAles-utunrsg fld
\ . . - - . r '\ -J J \ \ .
- ' - _ :
a\ -;'.: : ._,,
l, ', --, L -:, \ _ - , . : \ . 1
It
. t \ ! ^ :
€)
+ TAYLCK\E.VA-
| ; L ' . ,
- -VK$TA FUnTrok et eL^x,I""5x, ?^" [4+ "I-
f-G) '-e-x
F\; l=: sr_ jfl|_(r)=e' t t"'(r) = '\
@ s\3q\i -. e.x -
r4#^;www.stromar.si 22
€
C l l r - l - r - r t - . -
r ,, Ll:__brnt_iltq): ci l \; %
: r - l \ t . l r i r -
(cJ_^tft,) = -Sln x ' (c) - o
: CCSX " (c) -- -1t ' ( ^
ttt (x ) = S INX t t t (cJ: o
' +xt-t F,b)-4
t l(rr - -4 (4tx I-z f , , [" I : - l
:X-
*x(x ) - %n ( 4+x
?r\^ ( x-r a
")-- tn
Ii_ - - - - - -
II
I-_I
iI;
@V E%, -B\ [I Q \1OSEL-FO_Cf-K I9{\T- \B\NCMSKA
I
i
I- ! - _ - - -
l l
- 't
-D!C,2lf,:]- : -fL-'=.-! i-f--'--
I
(m' --m(rn-+)trn-z)-- (m-n+a)--- iczno,Sc\_ \nJ -
_nl-__ _ JebYnnsFt-s-trn\ccL:
Ker
--1? ): o zL usc^k n>rnrne Nl, _
S , \{+-" ffi 1.-, I \. ,, * r^" '' '-*;r1t3-\ i -I E t t*-rf - -ls*r) I tqr- !x *n))-\ . \ krl-l- r
f.O.Soo= {pr-rn-.,\.r eq -Elp-cr.:Fv A] ,(, ! b: -[T ):t"t
\ l *a)m - : 1* tT}o * 7m \ z ,\ z lc l
- t (Hld'VEL\z+ :- - - - ! ] - -
R:*Ax\ffi_[+$ffir:lffi'\-=4
4/^;
e--E^11)I
II
+.- --
www.stromar.si 24
GGsnaL€- -E=ruu$rnur+lf-C:n €-perr"drircsr. t=''*-p-"_l_- .R
T\<\cLrsq3N^erE]lSK vRsTA. ao\ use \={ L9._!gfa' kcnver1rro. )q r)e ri cc\r (ir\.:L s peri3ct- ?:-_-._'_--
Ne! b: { per-icc\r-cnc^ {urnEc-LF^ s .eerr=SLZ_Zn.
i f tx l | : ( l3+d€c6x+o x+ - - t
SInLX- t - - ='costnx) + brn.sln (nx )
: frcl 'n*ev'uo.\_u F"ir rnl
txldx
Cx )-ccs (nx) .dy-ir
k).s in
r)of - r \ -t(x): c\-tfi I"r[ Fusr=sVAru\<\E\E,V
yKTA.__BrnKc\=.-
_\lS bo f. casek-rrn]c Z.Uez_no. -g9ticS\q@s pertcct? zrr ao_ kcrter-^r velig slcr uoer:_12tqv_==*].Vr ,nc\esni cc\vcdr . p:rtern \cthrkc{--._rozl|imc_ o F.r, f rrro. q=t=_ _i -lL6-la!Nelx!-rt!cr-
i funktc^ {"ni zveao . 7o-{. vrrcv\ms\i sorpmorn\iirrFo i.eg_ei $esn3 s\rcln__qnc\bc\ orrhdienr _={a!^,@[ivn*e {unkor;< ac:i
www.stromar.si 25
r t \vrs,-t_c rY11gn\+s4^€ Q\nutne,,,
FourtenQ-uc.x ute*cx sqk r-L---=----=_d_-. . _ \xj s_ Fg_r riI\a_Zn g<
udq
cA
www.stromar.si 26
__ i--_, \r, , lletrnqF,= _ __€--. ZVe_anq'Ulr-rn*gWl€-runssuA-$ iu{ L^Ei'^.,i
; bEF\V\ \C l la ( ' -r _
' \ \)r)F(-\\C}. L\ugY\ sF)lC>nnorrrl i ir,t- ki t-rvn-\:ntr+ s-Npres\iko.\cr
iZV ce;tR-rvrkciic_r : b+K ^le aue v tctKt
>_p_pbs;hcrr* lqt J >c do$I x",\. I - {[x,q) I <t- . c\ry\
Llxrb )+ qqn ee cbs{c+ic,'.. ac\ Usct\r" z.-€
i -
GFAF<
€'o \'ML-uG-Gda -o ( (x-or )a+ !tpl: [2.
:- ic--- po\elu At n\enn c\cr-€
ureo\ -er.q.;v: li r prcrvo'.stno\ pro.ekn'a +e p\askue_ _nc\ rq\y\ZE!)
d _ @;ddtnrci\ skc cbrnc?,< tunk.iX D :,::r.r,,,-krlrr.^ r..,,_... .. v - ; t,-,1>.\ 2z q\enncr. Zcr\=Ao\ uredncsJi]www.stromar.si 27
P.qeb€eg porciq\Ucdvc4 funF.r$_{-pq_Es_e*nno\$uhi ?,RmcrK_ - . _ --f-:_--of-grs)=
foi*qd - I-l-
d*erenci cr\c\\ncr
-:r_ v tcekt (o,b)'ce ib:*q\c'\c^ pqrcio\ne dvcdcr-ql--
rJ-_":-$-[e--U-)-QgP+g-/
@-\eKqe- -d-f 1[xdxTQLT/tLN
e
74[/^;www.stromar.si 28
(- .:r
.l \J \Jt -- - __qL:veFl?nc prcrv,(c I.-----..---._._-
Nc\l lrc funkcl\cr a:f(x, g ) c\ifererrrciobilno.,_s-p4rlEqr\ilvKlX tn U- f lo ncr i h-=l- , zrArr-r t , r ' i C..^u-, . . . ,
- - -P --
f:rsredncr tunkciJc^ \rorcrmetrc\- t 1U_1.+9.1IE!"dil
' t
xLt\ rw1Ith^ \ ^ . ^ _P'ctern x
7a - ( x-r a'x
I \ \, 'r
c\ t ' h+c h
x )Z+h+c
er sto. xLt cc\vec$ivi erfe11
t^,^^ #=tt@ rh hrn seo)c
encr ctbi\nc,r \tr"n- )c
z
tu'*-^--lt-
+-e{ru1 lcsr]-:lr4nl .J-L- -i - --* rScr
Oc\ tcd s\ec\i c\c,t #__ _
K-:-&-,r+€d-:r-fig $ br)-
L+I}
L)
t >.J
)t*-t d x--_j_ t -..-
r\v c\ Y
: ++:+- + ::5., Qe * €5,. evwww.stromar.si 29
€t-:? _V_rgJr FnSc\i\_LN\;elyaDL__ _ __ ,_ i_
,J \l I- - , , . . - , -1
- U@ f -{unkcite' c\v@h sle'rernenli\uk'-*-_; -d - -Q
ce n\erncl r:orcto-\no. cclvcdcr ;[s!:l.i*t*-t1*$q-: -
i-*cr:e\ r:cxrc\<ilnc cdved\ttuo- .,(u'. \o.\nkc cdvc'"tqrnc ,-i--}.c\2e-*- Pcrrctcilnc cdved\it]lo-,d!I. \ghk" cdvc'"\qmc l- -\n dqb_tOfe- pcrrc-t+\re 1qg\tc{e -c\ru*aq-redcr' - - --rfu_slpeK \c'.hr\c_ ncrc\g1,\ g\-qu"_ _ rUdchlmC- pq\c\tdnq -lqgNcde u\Sie'-lcr, Yedc\.] I --t -
00 i
- tg.-gn*c-cnry5cloq pqNaiqhE p$uedq-Lf rr-fg- ;@ oVrs\o$r-\cr. qr -t\o aueznr funLcrvek+-encrks:-' - -j-
I rr+-rucRtev,+ v<Sr funSctte SVE-I\--_Sl-
SPREM t\-\\lw
ccNecl!\tvq no. cheq sprcrr^a"n\u\<i u ck<l\c\ \ctKe (c\.\-iP-\-.rF.,.-u'.r:
( j- i
f1L#www.stromar.si 30
I : c5c)'.ct
, tctKr (o.,r,:) rlr nq$ vrc fCq,U_l :o !g[___-.
_ | ,\\",u) tO.,_cbstcSo.hn o&ec}$irqfuirK.\qL q:_\(4 __---+S .*K,^=_ I 7<rclc5eo. T:cg:Aerncrr
dx
[o--th, b+tr) - fta,u-)
I
eK c irn ici*ni u\r\k ve\tcr- tuo\i Z.o,runKciG vd, ernqrY-\ r iuk , \<i ZqdcSCc-u1'2
\,r=\re.z.n\rnV tartrn€y\J dcr cc\arrcr llrrtr>\ici\no
Xr\ . Z.
EM\ FUNKC\E- bVF' bPRE,TNCNL\\VFunkct Inncr u tctKr \rnurn, eQ.v e\cr
- i FunKclyr e\o_: 6i F ( r - r - *u t - . r , - \ ( - t \ \ -
- rd - w
- i eq dq u *cts! to.,!-) e\qs\reu4 _i:d=^*g"--grn On .-_-*i cdvodcr F-Jt .., *eS_t!F\ _r^.oc&S\rCI!._
\-): o____l+q+_ \_q Fdrskxrn^= _egdercoO_
i eR +s! -lL lqsl& _| <rnc;.kc>. v-ritr. p>\ qlr_^- {c \cek : r*o*--
-
cr ekt)\re\J\r
www.stromar.si 31
I
i
Akrz -+ zBhK-r
3\ec\r- - - - \ " 'r -ca \ r n\- B->O f i - izrcrZ Fr:z* fverr , , r i_ T -
\.d V (o..,..\r) nn\n\rnuxlrn&-
bJ n <c d< cplcr\e,r-^- \z-roz r..-teecxhvern *^crru
\ Q v fc^.\, ) rnc\xrrnr*rr'n.
(-,+n-r e<) L+--fAc -Be-lk3'---f--
L-ee- Ae*i<o {c}z.\cnrh \NK c<Ictq,,.rr\-€--._soz fpcz-i\u eu ur. Nrqc.cxhu e,vr
r \J e J\ . (\^\ eKet\Wrnq
II
i eke*r.qmna\S=-E)\:3 --f--
3 ce )R AC-B=----ct---o pdaru nclrn drv?l cducdrs- -
@--wc\cuc\. TIIi---.=r-
=\ !\Eb_S€.J EvA }^^{trtEal r .\ , \Q3 Se\e_ucx
L-)-
\J(xsl-
Cbie tx'S-LdLFundI\eng
I
!
Il - -
4r,*;www.stromar.si 32
b-\a b:
na\ bcCcr
Pc* \]-\ V eLri
=-p--a=LLU*oU) )cS\Cer
t -@ rn\n\rnLrrn
det E hLl-.!-nqvsnrc
E:UNVEIS SPR ENL-\\V
UnKcito. c\eFtn\rcrno. rro. circbe err;e\cc-x n
rivu v b- \ezGn <-!s*{ennx e.bs,tre"rn uvrkc,r"Ix . Kr zcrcJcsCcrr-c
brr.-nu& do.nO, Uezoni ekse etrt*tqLLr unkcLU od nc lqnvu!
7 ZX --b L^
r ) '= x-+
www.stromar.si 33
F--; t\dz- Red d@{< ted n+$=N.?a rtunclcr
\ ' t ' | \ ' \ J t \ \
u A^ncL:,bi.------ng=:-Cuf . oncrbcx \- v<etc).: FqlJ*_FL) :o
sqin^e-nu)IR' pnr<rtsuun=<.sw e Snfur\rkr^\it ru- rzar\e,,.1 dcbirn. *c.k-c, dcr \:oo\o'r'-r-'r.o i
If--
4/-;www.stromar.si 34
stc^ p=5l-r\rni t\-V=i
e. \e - :, (x l:c Z.cr Uso. otencnc eb cr url -+h:m{ €r-rrcr c L:r
Y-\l C-,\
q :o:r.=-----.---.=-.-
\ r+UtA-
H1-- .''"- o.t rus-_*trpr.=uo ervrcreLc= f - r
!?gLi ivi!.no.
1-W ctc^.Cx) g_: ?Sx ) _,fe€\vrr-, ]]le*ccl-
www.stromar.si 35
@
---]E\\ATEA-Enq\6b)c clc\ik<-
ji +{sx) $=-trexl$ -H.r-s*-.+ t-k) rn 3tx) -zu?zn\ funkc=\K_ spsnn.aol\l\uke - X. \n Js -nto \n
--. - - - - - - $ -
n * I , _lf0lnutllooe_Esmrailt\xluq enerc\a+-' .- --Z ueqc,"uo-nav ucclvi6r'q apremrurvr,\iuk d" \oh\<cp-u-uedt-rrrr \^rcx-hfta.oy\=le <rncr-croe) , -i
- + -d--\Lnoa Z ..f 't - . - , \ . . -WtA \ :
@__ \1 '\$i_t_$xl:@
*Upe\ierrr'c \^r:uc cldr.I.Srrc apr9acnlll ti.t!LO__* , 1
-
- s-ro. -- :z \ -- t-n*n ).5n.tt , us\cr,.ror.-*.c- u \rruoVu-c
: -?rncr(bc \n d,c\c\rnc:
zt - \- -n -b4 )
=5 eK=tKf srR r.'.tfeeanCt Aufro+ e.rv+teA\eok-=@ --
v--pb\iK----M(xrg).dx -+ xt (Xg ) d\i, =O.
g fUnlE6iM rvi F.-\ v orrc-relot stl €unltltr- dve!1--tr<,edvisnrL cere
M tx' 9 )dll_N_Lx$og _:-+ #__ebsj!d!e . -eg $q M !t^ N - - -o!c_ ?ueeUc p_srt9lg_fuc_cdvedl\rut_]rq_"t _e At rr,t 4{UFf-
A M __ Db-\
4lt;www.stromar.si 36
II
Il --_]=_--| - r ^ - . - r ; - ' - - * T - - - '
I \o"Kc # nc\ leLi sfr.rnl _( Ugpr.lal_t__Nl(rrtr)du ) .
ffic
VtrrLJi+V Pi+reAMrrtrA__vDEE=trE\lc\a._Lh\u=
SE-BU\E M€.nL\ lv
E=-----E \e3
E(u-___\J-,
F (xr t r ' ) _o ; Vecrsl Iru,Wrn3 trcrttnOzrcre.i*i a x cbrah-tc Zrt^no X Z
: ) T l grrcrEb: c\i c\rorn-f lri?rnnc> g\S\rns\e r
ENr\EB,O :
d
t (
hrdrI tp) d
-hrt--Bqnrsrtr--S==, d{erer^tc\rcrrne,
www.stromar.si 37
Il__
gfttopnowcJr@u$ t +=..L---tc,rnn*rn\e v d.uo' -&Ei ltnc^K-f*-py1.qgyvtgtr- +-. .o-).q K"%lnerwr kcehc^e"rtt ylruc+y\e tsriuuuF
i-V dcrrni tceki
+ EKSTE ReS\rvE
!I
IIi
J _ _ -
\Yncr \S{t*s!,__nsek"Aqlr \!6n€lJ ---'-g.\ \x> uq6\Yue
!EKs\s-rEN-dnt !ZSF\<- ,r,_1S.H- b- cfc. r' z.gge*ni prc\:-\ap1 -*={a^'bl, rn-- l--
I
II
I
-rfuf;www.stromar.si 38
l+*I_-{tta*g.
cr\,ur
$Er_kI-g-! L-t*g*l-Lt)Idt
--L\Ectlf_z2u Ppq+
c EncLtZncs_rr KeSrrvSC\
I u,6i{e^r zcmet
\e\errri Vsi yfoqc__6
L J I .re.ko. - l I \ - , I r v
"X.. - x^+ L*arCIN 'Jcl i\a o, blvr
Er<=1 S-t- nini rzF:Ep$,rnK Lt\ c,. k'u1 ) '\rcr-,' : c\< (O nr tcUr.rc aUeZ.Uc,rE ttc) Sl4 v \,r *c.kc^ln f)rctr;ck,:*-nifr,r
l - ( tK J'rltrO.v^r+-, cr f-..\ , Clcr F(,v
alirb".r-''' l=ilci
a\,C
t ;
t r a t . . - l \
--_ | Ste Li I cl r,^ b/Aa
X c t A
JR-_--ev
www.stromar.si 39
i@.,---,---:---+ sf_Le_a$4! EES_\I_EU_ L\\'rtrAKn'_E-_ ____ _b_1tr_EEEn qta]=ne__enaie_e_- lKu_qE_qA_sipaF-(x-'g, Ul,\:!"L:_q_- sp !? sn c\--lt prl eu 8__ -r4vaeel elrn$ bg dmernq fu nkql _ ' _
--\_-" Lrn_EAKb..\A fueunggA iSKI
Kce.r t citsnrl I-T -
.- Z' \e clc.r h3ryt,>:'rrrn e :
I
i
ftt^;www.stromar.si 40
c€\TE-v
CYY\PLEFSNI ee.StTvl: p+13 G- - t
- ^Yax (_e _=A__15r2_r:e :e
q uq,6i\eu'
{n ' * Ko-e
I ) -+ i-srn ga,,. )) + K
t>Xer . cc_s fax ) +-
Klt!_w_utrcnsK@4.!+--.-
----
_rufu nfrlgJS.^--d"1d"L,u"i c\etetrntnunl= urrcnskea cr
_- -\'--.... ... -_ _-rl
, -
untrS$ sh .-r c\ e*< r rn rn 4nclrU_
)+K
www.stromar.si 41
$r $- -Sz- [necr!oa?- qEV\ rtnr-
+-L-\nEAR\\{-U\rEsEn!!4Lln&-Elw-BA=S--K2rfl Af tr[Iy\i__K_3_ff]!rEItr\*_z.gED&
- -lrE\!_cl1aqLrys$bno u6-tear E*tnqel:e ,,F --
g)'ri*-r$"Gl-.dsl + &er)-grl)-rt -@--: -rgeU$ntdl$e-txl-pn egr4sr-p-guua$<u-,-_-=-te horoae-€r\a2e\ ddelfAtr-eeLe.tt\kr"\qnae\
. .J \J _---_(}-\:-r--
?or\rkrr\owc"tr -u6*q,tr fsrSCeruc nc\ 2nooin00 inCl.' '
kC ee8 r(.,J potrnorn* zcr no$owL udcr-urgu,r.r ,
I
i
II
II
@
--4tt^;www.stromar.si 42
RESUFE ENC\ALN
?EFIC\trNT\
iSe eruo
-4) f - r \> :cI' Uve e,+=.rdrri( t- l : '€1o '* c 'J- $-gtx):
.DVEE
[x ) - Ca.Xa1 I G't",x - nle-
VEA
F ( cico- xl + G'Sn
, t
-3ldRrudrferenEi-cr\rrh--SroqBb-Quq1cl---te-dq-?q-cNens-an:qyr-r -&nE -." F- -S I tx l-rn--S d1] -\e ? Le-.1 qL jq* -- I e --
I
i
T1
,bK-sr+et- " eEviu.r\ennttnn <mi s* ', a S=?-rgaoqqlh[-----+--
@.=bi"^'1t=t.,etn^r- ..J. *. ^ttD-re*o- -',-OvrV:fvrtc a* ?nc^ebp I W9" :
I
I
II
- - - - - - L - - - -
I
III:l -III- 1II
Ir---I
Ii . - -
-r4L/;
i
www.stromar.si 44