poliedrospoliedros colÉgio decisivo matemática geometria espacial professor wilen 11/9/2014

POLIEDROS

COLÉGIO DECISIVOCOLÉGIO DECISIVO

MatemáticaMatemáticaGEOMETRIA ESPACIALGEOMETRIA ESPACIAL

Professor WilenProfessor Wilen11/04/23

Superfície PoliédricaSuperfície Poliédrica

Entendemos por superfície poliédrica a figura formada por polígonos planos consecutivos (possuem um lado comum) não-coplanares, de modo que cada lado seja comum a apenas dois polígonos.

PoliedrosPoliedros

Poliedros são sólidos limitados por polígonos planos tais que cada um dos lados desses polígonos pertença a dois e somente dois deles.

PoliedrosPoliedros

Elementos dos poliedrosElementos dos poliedros

Poliedros ConvexosPoliedros Convexos&&

Poliedros Não-ConvexosPoliedros Não-Convexos

Quando o segmento de reta que ligar dois pontos quaisquer do poliedro estiver contido no poliedro ele é chamado de Poliedro Convexo, caso contrário ele será classificado como Poliedro Não-Convexo

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Poliedro não-convexo >>

Classificação dos PoliedrosClassificação dos Poliedros

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Teorema Teorema de Eulerde Euler

Em qualquer poliedro convexo a soma do número de vértices com o número de faces é igual ao número de arestas aumentado de duas unidades.

V + F = A + 2

Teorema de EulerTeorema de EulerV = número de vérticesF = número de facesA = número de arestas

Teorema

A soma dos ângulos internos de todas as faces de um poliedro convexo vale tantas vezes quatro ângulos retos quantos são os vértices, menos duas unidades.

Si = 4r.(V – 2) Si = 360º(V – 2)ou

Teorema de EulerTeorema de EulerCuidado!!!!

n.F = 2 A

O número arestas é igual a metade da soma do número de lados de todas as faces. (uma aresta pertence a duas faces distintas, exatamente duas)

Si = 4r.(V – 2) Si = 360º(V – 2)ou

ExercíciosExercícios

PáginaPágina1818

01 – Um poliedro convexo de 20 arestas tem o 01 – Um poliedro convexo de 20 arestas tem o número de faces igual ao número de vértices. Calcular o número de faces igual ao número de vértices. Calcular o número de faces e vérticesnúmero de faces e vértices

Solução:A = 20F = V

V + F = A + 2V + V = 20 + 22V = 22

V = 11

Como F = V, então:

F = 11

02 – Calcular o número de faces de um poliedro 02 – Calcular o número de faces de um poliedro convexo de 21 arestas, sabendo que a soma das convexo de 21 arestas, sabendo que a soma das medidas dos ângulos das faces é 3600º.medidas dos ângulos das faces é 3600º.

Solução:

Si = 360º.(V – 2)3600 = 360 . (V – 2)10 = V – 2

V = 12

V + F = A + 212 + F = 21 + 2F = 23 – 12

F = 11

03 – A soma dos ângulos internos das faces de 03 – A soma dos ângulos internos das faces de um poliedro convexo é 720º. Calcular o número de um poliedro convexo é 720º. Calcular o número de faces, sabendo-se que é 2/3 do número de arestas.faces, sabendo-se que é 2/3 do número de arestas.

Solução:

Si = 360º.(V – 2)720 = 360 . (V – 2)2 = V – 2

V = 4

3

2

.3

2

AF

AF

V + F = A + 24 + 2A/3 = A + 212 + 2A = 3A + 6

A = 6

F = 12/3

F = 4

Testes - 05Testes - 05Um poliedro convexo tem Um poliedro convexo tem 15 faces triangulares15 faces triangulares, , 1 face 1 face quadrangularquadrangular, , 7 faces pentagonais7 faces pentagonais e e 2 faces 2 faces hexagonaishexagonais. O número de vértices desse poliedro é:. O número de vértices desse poliedro é:

Solução:- Encontrar o número de faces

F = 15 + 1 + 7 + 2F = 25

- Encontrar o número de arestas

45 + 4 + 35 + 12 = 96

Lembrete:

n.f = 2A96 = 2AA = 48

15 x 3 = 451 x 4 = 4

7 x 5 = 35

2 x 6 = 12

Aplicar a fórmula

V + F = A + 2V + 25 = 48 + 2

V = 25

Para casa Páginas 18 e 19

Exercícios:1 ao 12

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