matematicas en farmacocinética

Alejandro Lindarte Corredor

Residente de Farmacología Clínica

Universidad de la Sabana

Introducción

La farmacocinética es un proceso que requiere el conocimiento matemático.

Se deriva de de cinéticas químicas y enzimáticas.

Al administrar una dosis de un fármaco es sometido a numerosos procesos (ADME) que definen la Cp, la cual que puede ser descrita matemáticamente.

Nos ayuda a describir:

• Concentración en el sitio de acción

• Duración e intensidad de la respuesta farmacológica.

Exponentes y Logaritmos

Ley de los exponentesExponentes

Logaritmos:

El logaritmo de un número (N) en una base de logaritmodeterminada (b) es el exponente al cual hay que elevar la basepara obtener dicho número (x)

De la expresión

• N= bx

Asi…

• logb N= x

Exponentes y Logaritmos

• Ley de los logaritmos

Exponentes y Logaritmos

Ejemplos:• log (2 x 3) = log2 + log3 = 0.77

• log (2/3) = log2 –Log3) = -0.176

• log 23 = 3 x log2 = 0.903

• log3√2= log2/3 = 0.10

• -log (2/3) = log(3/2) =0.17-log (a/b) = log(b/a)

Logaritmo Natural

logaritmo cuya base es el número e ( número irracional cuyo valor aproximado es 2,7812..)

El logaritmo natural es 2.3025 veces mas grande que el logaritmo decimal.

• Ln ex= x o,

• Loge X = exponente al que debe elevar e (2.7812) para que sea igual a X

• Ej: ln9= Loge 9= 2.2 = e2.2= 9

Exponentes y Logaritmos

Cálculo

• La farmacocinética considera al fármaco en un estadodinámico.

• El calculo es una herramienta que permite analizar esteestado de manera cuantitativa.

• En farmacocinética se usa Calculo Diferencial y CalculoIntegral

Calculo Diferencial

• El cálculo diferencial es una parte del análisis matemático que consiste enel estudio de cómo cambian las funciones cuando sus variables cambian.

• la velocidad a la cual una variable cuantitativa cambia, se expresa enderivada.

m: sustancia disuelto (fármaco)t: tiempoA: superficie de interfase entre la sustancia y el solventeD: coeficiente de Difusiond: espesor de la capa de superficie de la sustanciaCs: concentración de la sustancia en la superficieCb: concentración de la sustancia en el solvente

Calculo Diferencial

Tiempo Concentración plasmática delfármaco ( mcg/dl)

0 12

1 10

2 8

3 6

4 4

5 2

La concentración de un fármaco varia en función del tiempo

2mcg/l/h

ej:C= 12-2tC= 12- 2(3)C=6

C= ƒ (t)

Calculo Integral

• Se considera como la sumatoria ( ) de la función

• o

• Rama del calculo se utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de regiones y sólidos de revolución.

Calculo Integral

• Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral definida es igual alárea limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectasverticales x = a y x = b

∫ es el signo de integración.

a límite inferior de la integración.

b límite superior de la integración.

f(x) es el integrando o función a integrar.

Dx: es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

La integral definida se representa por símbolo integral definida

Calculo Integral

Tiempo Concentración plasmática delfármaco ( mcg/dl)

0.5 38.9

1 30.3

2 18.4

3 11.1

4 6.77

5 4.10

La concentración de un fármaco varia en función del tiempo

Ej:AUC entre tiempo 1-2AUC1

2= 30.3 + 18.4 _ ( 2 – 1)2

AUC= 24.35mcg/L

AUC totalΣ AUC= AUC1-2+ AUC 2-3 + AUC3-4

Gráficos

la construcción de una grafica por el trazado de los datos observados o experimentales

es un método importante de visualizar la relación entre variables

• X: variable independiente

• Y: variable dependiente

Tienen dos ejes : (x) y (y).

En farmacocinética se usa (y)= concentración (x)= tiempo 2 tipos de gráficos (cartesiano y semilogaritmico)

Gráficos

Ajuste de curva

• Ajustar un curva a los puntos implica que hay ciertarelación entre las variables (y) y (x).

• Esta relación fisiológica es dinámica y no siempre eslineal.

• Los datos se pueden transformar para expresar larelación en línea recta

Ecuación general para la línea recta

Y= mx + b b: intercepto ym: pendiente

Ajuste de Curva

Intercepto Y: donde la recta corta el eje de

Pendiente: inclinación de la recta.

Y= mx + b

y

x

Tipos de Pendiente

Pendiente = 0

Pendiente = positiva Pendiente negativa

Pendiente indefinida

Determinación de la Pendiente

• Pendiente de una línea recta y

m= 2-3/ 3-1

m= -1/2

Y= mx + b

y= -1/2x + 3.5y= -1/2 (4) + 3.5y= 1.5

Determinación de la Pendiente

• Pendiente de una línea curva

m= __lnY2 – lnY1__X2 - X1

Logaritmo natural

m= ln2 – ln3 / 3 – 1

m= -0.2

Determinación de la Pendiente

• Pendiente de una línea curva

m= 2.3 __(logY2 – logY1 )_X2 - X1

Logaritmo Decimal

m= 2.3 x ( log2 – log3 / 3 – 1)m= 2.3 x (-0.08804)

m= -0.2

Métodos de los mínimos cuadrados• El procedimiento mas objetivo para ajustar una recta a un conjunto de

datos presentados en un diagrama de dispersión.

Determinación de la Pendiente

m= ___Σ(x) Σ(y) – n Σ(xy)__ [Σ(x)]2 - n Σ(x2)

b= _Σ(x) Σ(y) – n Σ(x2) Σ(y)_ [Σ(x)]2 - n Σ(x2)

Tiempo Concentración

1 3.1

2 6.0

3 8.7

4 12.9

5 15.3

6 17.9

7 22.0

8 23.0 0

5

10

15

20

25

30

0 2 4 6 8 10

Series1

Linear (Series1)

m=2.97b=0.257

Y= mx + by= 2,97x + 0.257

Determinación de la Pendiente

TiempoConcentración

0 10

2 5

4 2,5

6 1,25

8 0,625

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

Series1

Eje y se calcula bajo logaritmo natural

Determinación de la Pendiente

m= -0.3465

Logaritmo decimal

mlog= K/ 2.3 mlog= -0.151

APLICACIÓNEN FARMACOCINÉTICA

Unidades en Farmacocinética

Velocidades y Ordenes de Reacción

• Evalúa la dinámica de una constante respecto a otra.

• Si un fármaco disminuye su concentración (A) en el tiempo podríamos expresar que

• -dA/dt

• Si un fármaco aumenta (A) en el tiempo podemos decir

• +dA/dt

Velocidad (rate)

Un rate farmacocinético es determinado experimentalmente midiendo las variaciones de la concentración (A) en intervalos de tiempo

Cinética de Orden Cero

• La concentración (C) disminuye a un intervalo de tiempo constante (t), se expresa:

dC/dt = -k0

-k0 es la constante de orden 0 se expresa en masa/tiempo (mg/min)

Cp= -K0t + Cp0

Y= mx + b

Cp= Cp0 -K0t

Cinética de Orden Uno

La concentración (C) disminuye PROPORCIONALMENTE a la concentración del fármaco restante. La disminución se expresa como:

dC/dt= -kCK es la constante de 1er orden se expresa en unidad de tiempo -1

(h-1), la integración de la ecuación se expresa:

lnCp= -kt + lnCp0 o

Cp= Cp0 e -kt