goniometria e trigonometria file2 circonferenza goniometrica in un triangolo rettangolo con...
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Dispensa di Matematica per la classe 4. C
Anno scolastico 2017-2018
GONIOMETRIA E
TRIGONOMETRIA
Nome e Cognome:
2
CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
In un triangolo rettangolo con ipotenusa 1 e angolo ๐ผ
i due cateti sono ๐ฌ๐ข๐ง ๐ถ e ๐๐จ๐ฌ ๐ถ.
In una circonferenza di raggio 1 disegniamo un angolo ๐ผ.
La lunghezza della circonferenza รจ 2๐.
La lunghezza dellโarco di circonferenza รจ lโangolo ๐ถ in radianti.
La circonferenza goniometrica รจ una circonferenza di raggio 1
e centro nellโorigine del piano ๐ฅ๐๐ฆ.
1) la distanza tra P e O รจ sempre 1 |๐๐| = 1
2) il punto P ha coordinate ๐ท(๐๐จ๐ฌ ๐ถ ; ๐ฌ๐ข๐ง ๐ถ)
3) la parte verde รจ il coseno di alfa
4) la parte blu รจ il seno di alfa
5) la parte rossa รจ la tangente di alfa
GUARDA SU INTERNET IL FILE SIN COS TAN
La tangente di un angolo รจ ๐ญ๐๐ง ๐ถ =๐ฌ๐ข๐ง ๐ถ
๐๐จ๐ฌ ๐ถ.
Il significato grafico รจ il segmento ET: ๐ญ๐๐ง ๐ถ = |๐ฌ๐ป|
1) |๐๐| = |๐๐ธ| = 1 |๐๐ท| = cos ๐ผ |๐ท๐| = sin ๐ผ
2) Nel triangolo ODP: ๐ญ๐๐ง ๐ถ =๐๐๐ก๐ ๐๐๐๐๐ ๐ก๐
๐๐๐ก๐ ๐ฃ๐๐๐๐๐=
๐ฌ๐ข๐ง ๐ถ
๐๐จ๐ฌ ๐ถ
3) Nel triangolo OET: ๐ญ๐๐ง ๐ถ =๐๐๐ก๐ ๐๐๐๐๐ ๐ก๐
๐๐๐ก๐ ๐ฃ๐๐๐๐๐=
|๐ธ๐|
1= |๐ฌ๐ป|
4) I risultati sono uguali: |๐ฌ๐ป| =๐ฌ๐ข๐ง ๐ถ
๐๐จ๐ฌ ๐ถ
3
CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Angolo 0ยฐ, 0 radianti
oppure 360ยฐ, 2๐
๐(1,0) ๐๐จ๐ฌ ๐ = ๐
๐ฌ๐ข๐ง ๐ = ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ = ๐
30ยฐ, ๐
6 radianti
APO รจ equilatero
๐ (โ3
2,
1
2) ๐๐จ๐ฌ
๐
๐=
โ๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐
๐=
๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐
๐=
โ๐
๐
45ยฐ, ๐
4 radianti
APCO รจ un quadrato
๐ (โ2
2,
โ2
2) ๐๐จ๐ฌ
๐
๐=
โ๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐
๐=
โ๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐
๐= ๐
60ยฐ, ๐
3 radianti
come 30ยฐ ma โin piediโ
๐ (1
2,
โ3
2) ๐๐จ๐ฌ
๐
๐=
๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐
๐=
โ๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐
๐= โ๐
90ยฐ, ๐
2 radianti
๐(0,1) ๐๐จ๐ฌ๐
๐= ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐
๐= ๐ ๐ญ๐๐ง
๐
๐= โ
120ยฐ, 2๐
3 radianti
๐ (โ1
2,
โ3
2) ๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐= โ
๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐=
โ๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐๐
๐= โโ๐
135ยฐ, 3๐
4 radianti
๐ (โโ2
2,
โ2
2) ๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐= โ
โ๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐=
โ๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐๐
๐= โ๐
150ยฐ, 5๐
6 radianti
๐ (โโ3
2,
1
2) ๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐= โ
โ๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐=
๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐๐
๐= โ
โ๐
๐
180ยฐ, ๐ radianti
๐(โ1,0) ๐๐จ๐ฌ ๐ = โ๐
๐ฌ๐ข๐ง ๐ = ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ = ๐
210ยฐ, 7๐
6 radianti
๐ (โโ3
2, โ
1
2) ๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐= โ
โ๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐= โ
๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐๐
๐=
โ๐
๐
225ยฐ, 5๐
4 radianti
๐ (โโ2
2, โ
โ2
2) ๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐= โ
โ๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐= โ
โ๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐๐
๐= ๐
240ยฐ, 4๐
3 radianti
๐ (โ1
2, โ
โ3
2) ๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐= โ
๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐= โ
โ๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐๐
๐= โ๐
270ยฐ, 3๐
2 radianti
๐(0, โ1) ๐๐จ๐ฌ๐๐
๐= ๐
๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐= โ๐ ๐ญ๐๐ง
๐๐
๐= โ
300ยฐ, 5๐
3 radianti
๐ (1
2, โ
โ3
2) ๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐=
๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐= โ
โ๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐๐
๐= โโ๐
315ยฐ, 7๐
4 radianti
๐ (โ2
2, โ
โ2
2) ๐๐จ๐ฌ
๐๐
๐=
โ๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐๐
๐= โ
โ๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐๐
๐= โ๐
330ยฐ, 11๐
6 radianti
๐ (โ3
2, โ
1
2) ๐๐จ๐ฌ
๐๐๐
๐=
โ๐
๐
๐ฌ๐ข๐ง๐๐๐
๐= โ
๐
๐ ๐ญ๐๐ง
๐๐๐
๐= โ
โ๐
๐
4
FUNZIONE ๐ = ๐ฌ๐ข๐ง ๐
Il disegno della funzione si chiama sinusoide. Caratteristiche:
1) periodica di periodo ๐๐ , cioรจ sin ๐ฅ = sin(๐ฅ + 2๐๐)
2) il campo di esistenza della ๐ฅ รจ (โโ ; +โ)
3) il codominio della ๐ฆ รจ [โ1 ; +1]
4) non ci sono asintoti
5) incontra gli assi in infiniti punti: ๐ถ(๐ ; ๐), (๐; 0), (2๐; 0), (3๐; 0) โฆ (๐๐; 0)
6) รจ dispari, cioรจ simmetrica rispetto al centro, cioรจ ๐ฌ๐ข๐ง(โ๐) = โ ๐ฌ๐ข๐ง ๐
7) sin ๐ฅ > 0 per ๐ฅ โ (0; ๐)
8) sin ๐ฅ < 0 per ๐ฅ โ (๐; 2๐)
La funzione del seno descrive le onde sonore, le onde luminose, le onde... marine. Molte cose assomigliano alla sinusoide: la
variazione del tempo durante lโanno, il nostro umore, i risultati a scuola...
Alle nostre orecchie e ai nostri occhi arriva un suono o una luce che ha questa forma, e il nostro cervello รจ capace di trasformare
questa forma in una sensazione, in un suono, in un colore. ร incredibile! Siamo meglio di un computer...
5
FUNZIONE ๐ = ๐๐จ๐ฌ ๐
Caratteristiche:
1) periodica di periodo ๐๐ , cioรจ cos ๐ฅ = cos(๐ฅ + 2๐๐)
2) il campo di esistenza della ๐ฅ รจ (โโ ; +โ)
3) il codominio della ๐ฆ รจ [โ1 ; +1]
4) non ci sono asintoti
5) incontra gli assi in infiniti punti: ๐ถ(๐ ; ๐), (๐
2; 0) , (
3
2๐; 0) , (
5
2๐; 0) โฆ (
2๐+1
2 ๐; 0)
6) รจ pari, cioรจ simmetrica rispetto allโasse ๐ฆ, cioรจ ๐๐จ๐ฌ(โ๐) = ๐๐จ๐ฌ ๐
7) cos ๐ฅ > 0 per ๐ฅ โ (โ๐
2;
๐
2)
8) sin ๐ฅ < 0 per ๐ฅ โ (๐
2;
3๐
2)
La funzione del coseno รจ uguale a quella del seno, ma spostata a sinistra (o a destra?)
6
FUNZIONE ๐ = ๐ญ๐๐ง ๐
Caratteristiche:
1) periodica di periodo ๐, cioรจ ๐ญ๐๐ง ๐ = ๐ญ๐๐ง(๐ + ๐ )
2) campo di esistenza ๐ โ ๐
๐+ ๐๐ ,
3) ha infiniti asintoti, le rette ๐ฅ =๐
2+ ๐๐
4) codominio ๐ โ (โโ ; +โ)
5) รจ dispari, cioรจ simmetrica rispetto al centro, cioรจ ๐ญ๐๐ง(โ๐) = โ ๐ญ๐๐ง ๐
6) incontra gli assi nei punti: ๐ถ(๐ ; ๐), (๐; 0), (2๐; 0), (3๐; 0) โฆ (๐๐; 0)
7) tan ๐ฅ < 0 quando ๐ฅ โ (0; ๐
2)
8) tan ๐ฅ > 0 quando ๐ฅ โ (๐
2; ๐)
Ci sono dei punti in cui la funzione non esiste, gli asintoti sono disegnati in giallo.
7
EQUAZIONI GONIOMETRICHE
1. ๐ฅ รจ un ANGOLO, invece seno, coseno, tangente sono NUMERI. Le soluzioni sono ANGOLI!
2. Le equazioni ๐ฌ๐ข๐ง ๐ = ๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐ hanno di solito 2 soluzioni in [0; 2๐):
๐๐ = ๐ถ ๐๐ = ๐ โ ๐ถ Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione
3. Le equazioni ๐๐จ๐ฌ ๐ = ๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐ hanno di solito 2 soluzioni in [0; 2๐):
๐๐ = ๐ถ ๐๐ = ๐๐ โ ๐ถ Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione
4. sin ๐ฅ e cos ๐ฅ hanno periodo 2๐๐, cioรจ le soluzioni sono ๐ฅ1 + 2๐๐ ๐ฅ2 + 2๐๐
5. Le equazioni sin ๐ฅ = 1, , sin ๐ฅ = โ1, , cos ๐ฅ = 1, cos ๐ฅ = โ1 hanno UNA soluzione in [0; 2๐).
6. Fuori da [โ1; 1] lโequazione con seno e coseno รจ SENZA soluzioni: sin ๐ฅ = โ2, cos ๐ฅ = โ2โฆ
7. Le equazioni ๐ญ๐๐ง ๐ = ๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐ hanno SEMPRE 2 soluzioni in [0; 2๐):
๐๐ = ๐ถ ๐๐ = ๐ + ๐ถ Con la calcolatrice trovo solo la prima soluzione
8. tan ๐ฅ ha periodo ๐๐, cioรจ le soluzioni sono ๐ฅ1 + ๐๐
sin 2๐ฅ ha periodo ๐๐, sin 3๐ฅ periodo 2๐๐
3, sin 4๐ฅ periodo
๐๐
2, sin 5๐ฅ periodo
2๐๐
5โฆ
sin๐ฅ
2 ha periodo 4๐๐, sin
๐ฅ
3 ha periodo 6๐๐โฆ La stessa cosa vale per il coseno.
La tangente ha sempre periodo metร di seno e coseno.
8
FORMULE:
Fondamentali:
๐๐จ๐ฌ๐ ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ = ๐ ๐ญ๐๐ง ๐ =๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐๐จ๐ฌ ๐ cot ๐ฅ =
cos ๐ฅ
sin ๐ฅ
cos2 ๐ฅ significa (cos ๐ฅ)2 mentre cos ๐ฅ2 significa cos(๐ฅ2)
Periodicitร :
cos ๐ฅ = cos(๐ฅ + 2๐) sin ๐ฅ = sin(๐ฅ + 2๐) tan ๐ฅ = tan(๐ฅ + ๐)
Simmetrie:
๐๐จ๐ฌ(โ๐) = ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง(โ๐) = โ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ tan(โ๐ฅ) = โ tan ๐ฅ
cos (๐
2โ ๐ฅ) = sin ๐ฅ sin (
๐
2โ ๐ฅ) = cos ๐ฅ tan (
๐
2โ ๐ฅ) = cot ๐ฅ
cos(๐ โ ๐ฅ) = โ cos ๐ฅ sin(๐ โ ๐ฅ) = sin ๐ฅ tan(๐ โ ๐ฅ) = โ tan ๐ฅ
Somma, differenza, duplicazione:
๐๐จ๐ฌ(๐ + ๐) = ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐๐จ๐ฌ(๐ โ ๐) = ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐ฌ๐ข๐ง(๐ + ๐) = ๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ ๐ฌ๐ข๐ง(๐ โ ๐) = ๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
๐๐จ๐ฌ ๐๐ = ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ (= 2 cos2 ๐ฅ โ 1 = 1 โ 2 sin2 ๐ฅ) ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ = ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐
Teorema dei seni: Teorema del coseno: Formule area triangolo:
sin ๐ผ
๐=
sin ๐ฝ
๐=
sin ๐พ
๐ ๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ cos ๐ผ ๐ด๐๐๐ =
๐๐๐ ๐โ๐๐๐ก๐๐ง๐ง๐
2
oppure ๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ cos ๐ฝ ๐ด = โ๐+๐+๐
2โ
โ๐+๐+๐
2โ
๐โ๐+๐
2โ
๐+๐โ๐
2
๐
sin ๐ผ=
๐
sin ๐ฝ=
๐
sin ๐พ ๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ cos ๐พ ๐ด =
๐โ๐โsin ๐พ
2=
๐โ๐โsin ๐ผ
2=
๐โ๐โsin ๐ฝ
2
9
ESERCIZI BASE DI TRIGONOMETRIA
Risolvere un triangolo significa trovare tutti gli angoli, tutti i lati, perimetro e area usando i teoremi dei seni e
del coseno. Di seguito alcuni esempi:
1. Conosco tre lati ๐ = 7 cm, ๐ = 3 cm, ๐ = 5 cm.
Uso uno dei teoremi del coseno, ad esempio il secondo:
32 = 72 + 52 โ 2 โ 7 โ 5 cos ๐ฝ cos ๐ฝ =65
70=
13
14 ๐ฝ = 21,79ยฐ
Uso di nuovo il teorema del coseno: 72 = 32 + 52 โ 2 โ 3 โ 5 cos ๐ผ ๐ผ = 120ยฐ
Il terzo angolo รจ ๐พ = 180ยฐ โ ๐ฝ โ ๐ผ ๐พ = 38,21ยฐ
2. Conosco due lati e lโangolo tra i lati ๐ = 8 cm, ๐ = 5 cm, ๐พ = 60ยฐ.
Uso il teorema del coseno ๐2 = 82 + 52 โ 2 โ 5 โ 8 โ cos 60ยฐ ๐ = 7 cm
Poi continuo come lโesempio 1 ๐ผ = 81,79ยฐ
๐ฝ = 38,21ยฐ
3. Conosco un lato e due angoli ๐ = 10 cm, ๐ผ = 40ยฐ, ๐ฝ = 75ยฐ.
Trovo subito ๐พ = 180ยฐ โ ๐ผ โ ๐ฝ ๐พ = 65ยฐ
Uso il teorema dei seni 10
sin 75ยฐ=
๐
sin 40ยฐ ๐ = 6,65 cm
Uso il teorema dei seni 10
sin 75ยฐ=
๐
sin 65ยฐ ๐ = 9,38 cm
4. Conosco 2 lati e lโangolo non compreso ๐ = 7 cm, ๐ = 5 cm, ๐พ = 40ยฐ
Uso il teorema dei seni 5
sin 40ยฐ=
7
sin ๐ฝ Due possibili soluzioni ๐ฝ = 64,15ยฐ ๐ฝ = 115,85ยฐ
Trovo il terzo angolo ๐ผ = 180ยฐ โ ๐ฝ โ ๐พ ๐ผ = 75,85ยฐ ๐ผ = 24,15ยฐ
Uso il teorema del coseno ๐2 = 72 + 52 โ 2 โ 7 โ 5 cos ๐ผ ๐ = 7,54 cm ๐ = 3,18 cm
โ Usa sempre la formula con una sola incognita
โ Dai precedenza al teorema del coseno
โ Se si usa il teorema del seno per trovare un angolo possono esserci 2 soluzioni!
10
ESERCIZI:
1) Il perimetro di una circonferenza di raggio 1 รจ 2๐. Trova la lunghezza della parte rossa:
2) Scrivi una regola per passare da gradi a radianti.
3) Scrivi una regola per passare da radianti a gradi.
Scrivi in radianti lโangolo che formano le lancette dellโorologio alle ore:
4) 6:00
5) 9:00
6) 3:00
7) 1:00
8) 2:00
9) 11:00
10) 12:00
11) 4:00
12) 8:00
13) 7:00
14) 5:00
15) 10:00
16) 4:30
17) 7:30
18) 10:30
19) 1:30
Trasforma da gradi in radianti:
20) 30ยฐ
21) 45ยฐ
22) 90ยฐ
23) 60ยฐ
24) 120ยฐ
25) 150ยฐ
26) 210ยฐ
27) 270ยฐ
28) 225ยฐ
29) 0ยฐ
30) 240ยฐ
31) 330ยฐ
32) โ45ยฐ
33) 315ยฐ
34) 360ยฐ
35) 180ยฐ
36) 300ยฐ
37) 100ยฐ
38) 10ยฐ
39) 1ยฐ
40) 18ยฐ
41) โ1ยฐ
42) 15ยฐ
43) 36ยฐ
44) 720ยฐ
45) 1080ยฐ
46) 450ยฐ
47) 2ยฐ
Trasforma da radianti a gradi:
48) ๐
4
49) 2
3๐
50) ๐
51) 3
4๐
52) 3
2๐
53) ๐
3
54) 7
4๐
55) 2๐
56) 5
3๐
57) ๐
6
58) 5
6๐
59) 11
6๐
60) 3๐
61) 7
6๐
62) ๐
2
63) 5
4๐
64) 2
5๐
65) 4๐
66) 5
3๐
67) 9
4๐
11
Trasforma questi angoli in angolo compresi tra [0; 360) oppure tra [0; 2๐):
68) 400ยฐ =
69) 720ยฐ =
70) 1000ยฐ =
71) 600ยฐ =
72) 5
2๐ =
73) 7๐ =
74) 10
3๐ =
75) 450ยฐ =
76) โ90ยฐ =
77) โ180ยฐ =
78) 500ยฐ =
79) 7
2๐ =
80) 25๐ =
81) 17
6๐ =
82) 1200ยฐ =
83) 1440ยฐ =
84) 700ยฐ =
85) 405ยฐ =
86) โ๐
4=
87) โ4๐ =
88) 11
2๐ =
89) โ45ยฐ =
90) โ60ยฐ =
91) โ30ยฐ =
92) โ360ยฐ =
93) โ๐ =
94) โ๐
2=
95) โ๐
3=
Trova SENZA CALCOLATRICE il risultato:
96) cos 30ยฐ =
97) sin 60ยฐ =
98) tan 45ยฐ =
99) sin 30ยฐ =
100) cos 45ยฐ =
101) tan 90ยฐ =
102) sin 0ยฐ =
103) cos 90ยฐ =
104) tan 0ยฐ =
105) tan 60ยฐ =
106) cos 135ยฐ =
107) sin 270ยฐ =
108) cos 300ยฐ =
109) tan 270ยฐ =
110) cos 315ยฐ =
111) sin 330ยฐ =
112) tan 180ยฐ =
113) cos 360ยฐ =
114) sin 225ยฐ =
115) tan 315ยฐ =
116) cos ๐ =
117) tan๐
3=
118) sin3
4๐ =
119) tan7
6๐ =
120) cos11
6๐ =
121) sin5
3๐ =
122) tan5
4๐ =
123) cos3
2๐ =
124) sin 2๐ =
125) tan7
4๐ =
126) cos7
4๐ =
127) sin5
6๐ =
128) cos5
3๐ =
129) tan5
3๐ =
130) sin7
4๐ =
131) tan๐
4=
132) cos9
2๐ =
133) cos๐
2=
134) sin7
3๐ =
135) tan25
4๐ =
136) sin 600ยฐ =
137) Disegna le funzioni ๐ฆ = sin ๐ฅ e ๐ฆ = cos ๐ฅ.
๐ฅ ๐ฆ
0
๐ 6โ
๐ 4โ
๐ 3โ
๐ 2โ
2 ๐ 3โ
5๐ 6โ
๐
7๐ 6โ
โฆ
โ ๐ 6โ
12
138) I dati si riferiscono al triangolo rettangolo in figura. Completa CON LA CALCOLATRICE
la tabella (le misure sono in centimetri):
Triangolo |๐ด๐ถ| |๐ต๐ถ| |๐ด๐ต| ๐ฝ cos ๐ฝ sin ๐ฝ tan ๐ฝ |๐ด๐ถ|
|๐ต๐ถ| cos2 ๐ฝ + sin2 ๐ฝ
1ยฐ 1 10ยฐ
2ยฐ 1 20ยฐ
3ยฐ 1 30ยฐ
4ยฐ 1 40ยฐ
5ยฐ 1 50ยฐ
6ยฐ 1 60ยฐ
7ยฐ 1 70ยฐ
8ยฐ 1 80ยฐ
139) Usa goniometro e righello. In tutti questi triangoli usiamo le lettere come nella figura a destra. Tutte le
misure sono in centimetri. Completa la tabella e disegna tutti i triangoli SENZA CALCOLATRICE:
|๐ต๐ถ| |๐ด๐ถ| |๐ด๐ต| ๐ผ ๐ฝ ๐พ sin ๐ผ cos ๐ผ sin ๐ฝ cos ๐ฝ |๐ด๐ถ|
|๐ด๐ต|
|๐ต๐ถ|
|๐ด๐ต|
1ยฐ 3 70ยฐ 90ยฐ
2ยฐ 5 50ยฐ 90ยฐ
3ยฐ 4 50ยฐ 90ยฐ
4ยฐ 6 45ยฐ 90ยฐ
5ยฐ 5 30ยฐ 90ยฐ
6ยฐ 8 70ยฐ 90ยฐ
7ยฐ 4 4 90ยฐ
8ยฐ 3 6 90ยฐ
9ยฐ 4 2 90ยฐ
10ยฐ 8 45ยฐ 90ยฐ
11ยฐ 7 20ยฐ 90ยฐ
12ยฐ 7 70ยฐ 90ยฐ
13ยฐ 3 5 90ยฐ
13
140) Completa la tabella SENZA calcolatrice:
141) Per quali angoli il coseno รจ positivo?
142) Per quali angoli il coseno รจ negativo?
143) Per quali angoli il seno รจ positivo?
144) Per quali angoli il seno รจ negativo?
145) Per quali angoli la tangente รจ positiva?
146) Per quali angoli la tangente รจ negativa?
147) Disegna 30ยฐ e 135ยฐ in alto. Trova seno e coseno.
148) Quali angoli hanno seno e coseno uguali?
149) Trova tutte le soluzioni di sin ๐ผ =โ3
2
150) Trova tutte le soluzioni di cos ๐ผ = 0,5
angolo gradi coseno seno
0 0ยฐ 1 0
๐
6
โ3
2
1
2
๐
4
โ2
2
๐
3
โ3
2
๐
2 0
2
3๐ โ
1
2
3
4๐
โ2
2
5
6๐
๐ โ1
7
6๐ โ
1
2
5
4๐ โ
โ2
2
4
3๐
3
2๐
5
3๐
7
4๐
11
6๐
2๐
9
4๐ 405ยฐ
โ2
2
7
3๐
5
2๐
3๐
9
2๐
โ๐
4
14
151) Completa la tabella senza calcolatrice, ma con
lโaiuto del disegno:
๐ผ cos ๐ผ sin ๐ผ tan ๐ผ
0,6
0,6
โ0,4
โ0,4
โ1
Risolvi queste equazioni e disequazioni SENZA CALCOLATRICE nellโintervallo [0; 2๐):
152) sin ๐ฅ = 1
153) cos ๐ฅ =โ2
2
154) tan ๐ฅ =โ3
3
155) cos ๐ฅ = 0
156) sin ๐ฅ =โ3
2
157) cos ๐ฅ = โ1
2
158) tan ๐ฅ = โ3
159) cos ๐ฅ = โโ3
2
160) sin ๐ฅ = โโ3
2
161) tan ๐ฅ = โ1
162) cos ๐ฅ = โโ2
2
163) sin ๐ฅ >โ2
2
164) cos ๐ฅ = 2
165) sin ๐ฅ = โ1
2
166) sin ๐ฅ โค โ1
2
167) ๐ฌ๐ข๐ง ๐ โฅ โ๐
๐
168) tan ๐ฅ > 1
169) ๐๐จ๐ฌ ๐ < ๐
170) ๐ฌ๐ข๐ง ๐ โค ๐
171) tan ๐ฅ = โโ3
3
172) sin ๐ฅ = 0
173) โ2 cos ๐ฅ = 2
174) 2 sin ๐ฅ โ 1 = 0
175) cos ๐ฅ โ โ2 = 0
176) 2 sin ๐ฅ + โ2 = 0
177) tan ๐ฅ โ โ3 โค 0
178) tan ๐ฅ + โ3 โฅ 0
179) 2 cos ๐ฅ + โ3 = 0
180) 2 sin ๐ฅ โ โ3 โค 0
181) cos ๐ฅ > โ3
182) ๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐๐จ๐ฌ ๐= ๐
183) ๐ฌ๐ข๐ง ๐ = ๐ฌ๐ข๐ง๐
๐๐
184) ๐ฌ๐ข๐ง ๐
๐๐จ๐ฌ ๐โค ๐
185) โ๐ ๐๐จ๐ฌ ๐ = ๐ฌ๐ข๐ง ๐
186) cos ๐ฅ = cos๐
3
187) sin ๐ฅ + cos ๐ฅ = 0
188) cos ๐ฅ < โโ3
2
189) sin ๐ฅ > โ2
190) ๐๐จ๐ฌ ๐ โค โ๐
191) sin ๐ฅ = sin5๐
4
192) sin ๐ฅ + 2 โค 0
193) sin(๐ + ๐ฅ) =1
2
194) cos (๐
2+ ๐ฅ) =
โ2
2
195) tan(๐ + ๐ฅ) = โ1
196) sin (๐ฅ +2๐
3) =
โ3
2
197) Risolvi gli esercizi 160-170 nellโintervallo (โโ; +โ).
167) ๐ฅ โ [0;5
4๐] โช [
7
4๐; 2๐) 169) ๐ฅ โ 0 170) ๐ฅ โ [0; 2๐) 182) ๐ฅ =
๐
4 ๐
5
4๐
183) ๐ฅ =7
4๐ e
5
4๐ 184) ๐ฅ โ (
๐
2; ๐] โช (
3
2๐; 2๐] 185) ๐ฅ =
๐
3 ๐
4
3๐ 190) ๐ฅ = ๐
15
Esercizi vari:
198) cos ๐ฅ sin ๐ฅ = 0
199) sin2 ๐ฅ = 0
200) (cos ๐ฅ โ 1)(sin ๐ฅ + 1) = 0
201) (cos ๐ฅ + tan๐
4) (cos ๐ฅ โ 1) = 0
202) (tan ๐ฅ + 1)(2 sin ๐ฅ โ 1) = 0
203) (tan ๐ฅ โ โ3) (cos ๐ฅ โโ2
2) = 0
204) (tan ๐ฅ + log 10)(cos ๐ฅ โ 2) = 0
205) (sin ๐ฅ โ log4 2)(2 cos ๐ฅ + โ3) = 0
Trova TUTTE le soluzioni di queste equazioni nellโintervallo [0; 2๐):
206) sin 2๐ฅ = 1
207) sin 3๐ฅ =1
2
208) sin 4๐ฅ = โ1
209) tan 2๐ฅ =โ3
3
210) cos 3๐ฅ =1
2
211) cos 5๐ฅ = โ1
2
212) tan 4๐ฅ = 1
213) sin 3๐ฅ = โโ2
2
214) tan 3๐ฅ = โ1
215) cos 4๐ฅ = โ1
2
216) tan 4๐ฅ = โโ3
217) sin 2๐ฅ = โ1
2
218) cos 4๐ฅ = โ1
219) cos 5๐ฅ =โ3
2
220) sin 3๐ฅ = โโ3
2
221) cos(โ๐ฅ) =โ2
2
222) sin(โ๐ฅ) = 0
223) tan(โ๐ฅ) = 1
Risolvi queste equazioni nellโintervallo (โโ; +โ) con la sostituzione ๐ = cos ๐ฅ:
224) cos2 ๐ฅ โ 1 = 0
225) cos2 ๐ฅ + 1 = 0
226) 2 cos2 ๐ฅ + 3 cos ๐ฅ + 1 = 0
227) 2 cos2 ๐ฅ + 1 = 3 cos ๐ฅ
228) 2 cos2 ๐ฅ = 1
229) 4 cos2 ๐ฅ = 1
230) 4 cos2 ๐ฅ = 3
231) (cos ๐ฅ โ 1)(2 cos ๐ฅ โ 1) = 0
232) cos2 ๐ฅ + cos ๐ฅ โ 2 = 0
233) 2 cos2 ๐ฅ + 3 cos ๐ฅ โ 2 = 0
Risolvi queste equazioni nellโintervallo [0; 2๐) con la sostituzione ๐ = sin ๐ฅ:
234) sin2 ๐ฅ โ 1 = 0
235) sin2 ๐ฅ + 1 = 0
236) 2 sin2 ๐ฅ + 3 sin ๐ฅ + 1 = 0
237) 2 sin2 ๐ฅ + 1 = 3 sin ๐ฅ
238) 2 sin2 ๐ฅ = 1
239) 4 sin2 ๐ฅ = 1
240) 4 sin2 ๐ฅ = 3
241) (sin ๐ฅ โ 1)(2 sin ๐ฅ โ 1) = 0
242) sin2 ๐ฅ + sin ๐ฅ โ 2 = 0
243) 2 sin2 ๐ฅ + 3 sin ๐ฅ โ 2 = 0
Risolvi queste equazioni nellโintervallo (โโ; +โ) con la sostituzione ๐ = tan ๐ฅ:
244) tan2 ๐ฅ โ 1 = 0
245) tan2 ๐ฅ = 3
246) tan2 ๐ฅ + 3 = 0
247) tan2 ๐ฅ +1
โ3tan ๐ฅ = 0
248) tan2 ๐ฅ + tan ๐ฅ = 0
249) tan2 ๐ฅ = tan ๐ฅ
250) 3 tan2 ๐ฅ = 1
251) tan ๐ฅ =1
tan ๐ฅ
16
Risolvi questi esercizi usando le formule di pagina 8:
252) sin ๐ฅ + cos ๐ฅ = 0
253) sin ๐ฅ โ cos ๐ฅ = 0
254) โ3 sin ๐ฅ = cos ๐ฅ
255) cos2 ๐ฅ โ sin2 ๐ฅ = 0
256) sin2 ๐ฅ โ cos2 ๐ฅ = 0
257) sin2 ๐ฅ โ 2 sin ๐ฅ cos ๐ฅ = 0
258) ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ + ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐ = ๐
259) cos2 ๐ฅ โ 2 sin ๐ฅ cos ๐ฅ + sin2 ๐ฅ = 0
260) cos2 ๐ฅ + 2 sin ๐ฅ cos ๐ฅ + sin2 ๐ฅ = 0
261) cos2 ๐ฅ + 2 sin2 ๐ฅ = 0
262) sin2 ๐ฅ + 5 cos2 ๐ฅ = 4
263) cos 2๐ฅ = cos ๐ฅ
264) cos 2๐ฅ = sin ๐ฅ
265) 2 cos2 ๐ฅ + sin ๐ฅ = 2
266) 3 + 3 sin ๐ฅ = 2 cos2 ๐ฅ
267) 2 cos2 ๐ฅ = 3 sin ๐ฅ
268) 2 sin2 ๐ฅ + 3 cos ๐ฅ = 0
269) sin 2๐ฅ โ cos ๐ฅ = 0
270) sin 2๐ฅ + sin ๐ฅ = 0
271) 2 sin ๐ฅ = โ3 tan ๐ฅ
272) 2 sin ๐ฅ cos ๐ฅ = 1
273) sin 2๐ฅ โ 2 sin2 ๐ฅ = 0
274) ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐ โ ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ = ๐
275) sin4 ๐ฅ โ cos4 ๐ฅ + cos2 ๐ฅ โ sin2 ๐ฅ = 0
276) ๐ฌ๐ข๐ง ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง(โ๐) = ๐
277) ๐๐จ๐ฌ (๐ +๐
๐) + ๐๐จ๐ฌ (๐ โ
๐
๐) + ๐ = ๐
278) sin (๐ฅ +๐
6) โ sin (๐ฅ โ
๐
6) = 0
279) sin (๐ฅ +๐
3) + sin (๐ฅ โ
๐
3) =
1
2
280) sin2 2๐ฅ = 2 โ cos2 2๐ฅ
281) ๐๐จ๐ฌ๐ ๐ โ ๐ฌ๐ข๐ง ๐๐ = ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
282) cos(๐ฅ + 2๐) + cos ๐ฅ = 1
283) sin(๐ฅ + 2๐) + sin ๐ฅ = โ3
284) cos ๐ฅ + cos(โ๐ฅ) = 1
285) sin ๐ฅ + sin(๐ฅ โ ๐) = 1
286) cos ๐ฅ + cos(๐ฅ โ ๐) = 1
287) cos 2๐ฅ + sin 2๐ฅ = 1
288) ๐๐จ๐ฌ ๐ + ๐ฌ๐ข๐ง ๐ = ๐
Calcola questi valori senza calcolatrice usando le formule di somma e differenza di angoli:
289) cos 15ยฐ =
290) sin7
12๐ =
291) sin5
12๐ =
292) cos 165ยฐ =
293) cos 75ยฐ =
294) sin13
12๐ =
Problemi SENZA calcolatrice:
295) Se cos ๐ฅ = 0,28, quanto vale sin ๐ฅ ?
296) Se sin ๐ฅ =8
17, quanto vale cos ๐ฅ ?
297) Se tan ๐ฅ =3
4, quanto valgono sin ๐ฅ e cos ๐ฅ?
298) Se tan ๐ฅ =12
5, quanto valgono sin ๐ฅ e cos ๐ฅ?
258) SEMPRE 274) Diventa (sin2 ๐ฅ + cos2 ๐ฅ)(sin2 ๐ฅ โ cos2 ๐ฅ) โฆ 276) โ
277) Diventa cos ๐ฅ cos๐
3โ sin ๐ฅ sin
๐
3+ cos ๐ฅ cos
๐
3+ sin ๐ฅ sin
๐
3+ 1 = 0 e quindi cos ๐ฅ + 1 = 0 โฆ
281) cos2 ๐ฅ โ 2 sin ๐ฅ cos ๐ฅ โ sin2 ๐ฅ e si divide tutto per cos2 ๐ฅ โฆ 288) Si fa come lโesercizio 287
17
299) Disegna su Geogebra le funzioni ๐ = ๐ฌ๐ข๐ง ๐ e ๐ = ๐ ๐ฌ๐ข๐ง ๐ e descrivi le differenze.
300) Disegna su Geogebra le funzioni ๐ = ๐๐จ๐ฌ ๐ e ๐ = ๐๐จ๐ฌ ๐๐ e descrivi le differenze.
301) Trova con la calcolatrice questi risultati:
arctan 5 = arcsin 0,4 = arccos(โ0,9) = arcsin(โ1,1) =
78,69ยฐ 23,58ยฐ 154,16ยฐ โ
302) Dimostra la formula sin ๐ผ
๐=
sin ๐ฝ
๐ usando la figura a destra.
Usa il lato CD e la definizione di seno
303) Dimostra che ๐2 = ๐2 + ๐2 โ 2๐๐ cos ๐ผ usando la figura a destra.
Usa |๐ท๐ต| = ๐ โ ๐ cos ๐ผ
Risolvi matematicamente i seguenti triangoli e disegnali (le misure sono in centimetri e in gradi):
304) ๐ = 5 ๐ = 6 ๐ = 7 ๐ผ = 44,42ยฐ; ๐ฝ = 57,12ยฐ; ๐พ = 78,46ยฐ; ๐ด = 14,7
305) ๐ = 5 ๐ = 3 ๐ = 4 ๐ผ = 90ยฐ; ๐ฝ = 36,87; ๐พ = 53,13ยฐ; ๐ด = 6
306) ๐ = 6 ๐ฝ = 45ยฐ ๐พ = 60ยฐ ๐ = 4,39; ๐ = 5,38; ๐ด = 11,41
307) ๐ = 7 ๐ผ = 35ยฐ ๐ฝ = 70ยฐ ๐ = 4,27; ๐ = 7,2; ๐ด = 14,44
308) ๐ = 5 ๐ = 5 ๐ผ = 50ยฐ ๐ = 4,23; ๐ฝ = 65ยฐ; ๐พ = 65ยฐ; ๐ด = 9,58
309) ๐ = 4 ๐ = 6 ๐ฝ = 60ยฐ ๐ = 5,29; ๐ผ = 40,9ยฐ; ๐พ = 79,1ยฐ; ๐ด = 10,39
310) ๐ = 5 ๐ = 2 ๐พ = 45ยฐ ๐ = 3,85; ๐ผ = 113,48ยฐ; ๐ฝ = 21,52ยฐ; ๐ด = 3,54
311) ๐ = 8 ๐ผ = 20ยฐ ๐พ = 100ยฐ ๐ = 2,78: ๐ = 7,04; ๐ด = 9,62
312) ๐ = 7 ๐ = 5 ๐ = 6 ๐ผ = 78,46ยฐ; ๐ฝ = 44,42ยฐ; ๐พ = 57,12ยฐ; ๐ด = 14,7
313) ๐ = 5 ๐ = 13 ๐พ = 67,38ยฐ ๐ = 12; ๐ผ = 22,62ยฐ; ๐ฝ = 90ยฐ; ๐ด = 30
314) ๐ = 7,5 ๐ = 8,5 ๐ผ = 28,07ยฐ ๐ = 4; ๐ฝ = 61,93ยฐ; ๐พ = 90ยฐ; ๐ด = 15
315) ๐ = 6 ๐ = 5 ๐ = 12
316) ๐ = 4 ๐ = 7 ๐ผ = 30ยฐ ๐ = 8; ๐ฝ = 61,04ยฐ; ๐พ = 88,96ยฐ; ๐ด = 14
๐ = 4,13; ๐ฝ = 118,96ยฐ; ๐พ = 31,04ยฐ; ๐ด = 7,22
317) ๐ = 7 ๐ = 4 ๐ผ = 80ยฐ ๐ = 6,48; ๐ฝ = 65,76ยฐ; ๐พ = 34,25ยฐ; ๐ด = 12,77
318) ๐ = 6 ๐ = 8 ๐ฝ = 36,87ยฐ ๐ = 10; ๐ผ = 90ยฐ; ๐พ = 53,13ยฐ; ๐ด = 24
๐ = 2,8; ๐ผ = 16,26ยฐ; ๐พ = 126,87ยฐ; ๐ด = 6,72
319) ๐ = 5 ๐ = 6 ๐ฝ = 40ยฐ ๐ = 8,9; ๐ผ = 32,39ยฐ; ๐พ = 107,61ยฐ; ๐ด = 14,3
320) ๐ = 8 ๐ = 4 ๐พ = 30ยฐ ๐ = 6,93; ๐ผ = 90ยฐ; ๐ฝ = 60ยฐ; ๐ด = 13,86
321) ๐ = 11 ๐ = 11 ๐พ = 60ยฐ ๐ = 11; ๐ผ = 60ยฐ; ๐ฝ = 60ยฐ; ๐ด = 52,39
322) ๐ = 24 ๐ = 21 ๐พ = 60ยฐ ๐ = 15; ๐ผ = 38,21ยฐ; ๐ฝ = 81,79ยฐ; ๐ด = 155,88
๐ = 9; ๐ผ = 21,79ยฐ; ๐ฝ = 98,21; ๐ด = 93,53
18
323) Risolvi i seguenti esercizi:
324) Nel lancio del disco uno strumento nel punto A misura
distanze e angoli. La distanza AB รจ 10 metri.
Il raggio della pedana รจ 2 metri.
Il primo atleta lancia il disco, lo strumento misura
๐ด๐ถ = 75๐, ๐ผ = 77ยฐ.
Il secondo atlet lancia il disco, lo strumento misura
๐ด๐ถ = 77๐, ๐ผ = 60,5ยฐ.
Chi ha vinto? Con quale misura?
325) Un triangolo iscritto in una semicirconferenza รจ sempre rettangolo.
In una circonferenza lโangolo al centro รจ sempre
il doppio dellโangolo sulla circonferenza.
Il punto D รจ il centro della semicirconferenza. |๐ด๐ท| = |๐ท๐ถ| = |๐ท๐ต| = 1
Dimostra che 2 sin ๐ผ cos ๐ผ = sin 2๐ผ.
Usa il teorema del coseno in BCD per trovare |๐ต๐ถ| Usa il triangolo ABC per trovare |๐ต๐ถ|
326) Lโombra รจ lunga 139,7 m. Calcola lโaltezza della piramide.
19
ASTRONOMIA (LE PRIME MISURE DEGLI ASTRI)
327) Eratostene nel 200 a.C. misurรฒ il raggio della Terra
conoscendo la distanza Siene โ Alessandria di 787 Km. A
mezzogiorno il sole รจ verticale a Siene e forma un angolo di
7ยฐ ad Alessandria. Trova il raggio della Terra.
328) Il tempo tra il sorgere della luna e il suo essere
verticale alla terra รจ 5h56m17s, cioรจ 89,07ยฐ. Se il
raggio della Terra รจ 6350 Km, quanto รจ la distanza
Terra โ Luna?
329) La distanza Terra โ Luna รจ circa 385.000 Km.
Quando cโรจ mezzaluna, forma un angolo di 90ยฐ
con il sole. Se lโangolo SโTโL รจ 89,852ยฐ, quanto
รจ la distanza Terra โ Sole?
330) Se si tiene una moneta da 1 centesimo (diametro 16,25 mm) a 1,8 m di distanza, la moneta copre
perfettamente la luna piena. Se la distanza Terra โ Luna รจ 385.000 Km, quanto รจ il diametro della luna?
331) La luna appare grande esattamente quanto il sole. Se la luna ha diametro 3500 Km, e sappiamo che la
distanza Terra โ Luna รจ 385.000 Km e la distanza Terra โ Sole 150.000.000 Km, quanto รจ il diametro
del sole?
20
Esercizi di goniometria, trigonometria della maturitร :
332) sin2 ๐ฅ โ cos ๐ฅ = 1 (anno 2017)
333) 2 sin(๐ฅ) + โ2 sin(2๐ฅ) = 0 (anno 2016)
334) cos(2๐ฅ) + sin(๐ฅ) = 1 (anno 2015)
335) Risolvere il triangolo in cui ๐ผ = ๐ฝ = 4๐พ e ๐ = 8 cm. Trova tutte le soluzioni. (anno 2014)
336) cos(4๐ฅ) + โ2 sin(2๐ฅ) = 1 (anno 2013)
337) Risolvere il triangolo in cui ๐ผ = 30ยฐ, ๐ = 4, ๐ = 4โ2 cm. Trova tutte le soluzioni. (anno 2012)
RIPASSO POTENZE E LOGARITMI
Esercizi su logaritmi e potenze alla maturitร :
338) Risolvi log0,5(๐ฅ โ 2) โฅ 0 (anno 2017)
339) Scrivi quando ๐ฆ = log(๐ฅ + 2) + log(6 โ ๐ฅ) รจ positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2016)
340) Risolvere lโequazione 32๐ฅ โ 3 โ 3๐ฅ = 4 nellโinsieme dei numeri reali. (anno 2016)
341) Scrivi quando ๐ฆ =10 log ๐ฅ
๐ฅ รจ positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2015)
342) Scrivi quando ๐ฆ =โ10 log ๐ฅ+10
๐ฅ2 รจ positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2015)
343) Scrivi quando ๐ฆ = (๐ฅ โ 1) โ 3๐ฅ รจ positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2014)
344) Risolvi log(3 โ ๐ฅ) + log(๐ฅ + 4) = log(2 โ ๐ฅ) (anno 2014)
345) Scrivi quando ๐ฆ = (3๐ฅ + 5) โ 2๐ฅ รจ positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2013)
346) Risolvi (1
2)
๐ฅ2
>1
16 (anno 2013)
347) Scrivi quando ๐ฆ = ๐ฅ2 ln ๐ฅ รจ positiva, negativa, uguale a 0 (anno 2012)
348) Risolvi 2012 โ (1
2)
๐ฅ2
> 503 (anno 2012)
Risolvi queste equazioni e disequazioni:
349) 3๐ฅ โ 1 โฅ 0
350) 2๐ฅ โ 1 < 0
351) 2โ๐ฅ โ 1 > 0
352) 4โ๐ฅ + 1 โค 0
353) (1
2)
๐ฅ
โ1
16> 0
354) (3
2)
๐ฅ
โ2
3โค 0
355) log ๐ฅ + 1 โค 0
356) log(๐ฅ + 1) โค 0
357) log ๐ฅ โ 2 > 0
358) log16 ๐ฅ = 2
359) โ2 ๐ฅ
=1
2
360) โ8 ๐ฅ
=1
โ23
361) logโ2 ๐ฅ = 4
362) log(๐ฅ2 โ 3) = 0
363) log ๐ฅ โ log(๐ฅ + 1) = 1
364) log1
4
๐ฅ =1
2
365) log ๐ฅ + log(2๐ฅ + 1) = 1
366) log(3๐ฅ2 + 5๐ฅ) = 2
Trova il risultato SENZA calcolatrice:
367) 43
2 =
368) (1
9)
โ3
2=
369) log21
โ32=
370) log1
2โ32 =
371) 1005
2 โ 0,13 โ 10000 =
372) log โ1000โโ0,001
0,01=
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