1

LA CIRCONFERENZA

0 c by ax y x 22

2

ARGOMENTI TRATTATI

1. Le equazioni della circonferenza

2. Questioni basilari

3. Questioni relative alle rette tangenti

4. Curve deducibili dalla circonferenza

5. Disposizione di due circonferenze nel piano

6. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro

3

LE EQUAZIONI DELLA CIRCONFERENZA

Definizione Si dice circonferenza C di centro C e raggio r, il luogo geometrico dei punti P del piano aventi da C distanza uguale ad r.

Da questa definizione, ponendoci in un riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione della circonferenza, o rappresentazione analitica.Iinfatti, se il centro C ha le coordinate C(;) e un generico punto P della C , le coordinate P(x;y), si ha:

. normale equazione 0cbyaxy x : ottiene si

(2),

cr

2b-

2a-

anche o , (1)

cr

-2b

-2a

pone si se e

, ry2yx2 x:ottiene si oSviluppand

. cartesiana equazione rβyαx

r βyαx r CP

22

22222

22222

222

22

• Moltiplicando i due membri dell’equazione normale per una costante arbitraria k 0 si ha:

kx2 + ky2 + kax + kby + kc = 0 equazione generale .

4

• Se il centro C(;) coincide con l’origine O(0;0) del riferimento cartesiano, cioè = 0 e =0 , l’equazione normale diventa:

. ry x:anche scrivere può si canonica equazionel' quindi

, ) r c ( r c che inoltre Osserviamo

. canonica equazione 0cy x

0b ; 2βb

0a ; 2αa

0cbyaxyx

222

2222

22

22

Osservazioni sulle equazioni normale e generale:

1. manca in esse il termine rettangolare in xy;

2. i coefficienti dei due quadrati x2 e y2 sono uguali (uguali a 1 nella normale);

3. premesso che dall’equazione generale si passa immediatamente a quella normale dividendo entrambii membri per k 0, se è nota l’equazione normale x2 + y2 + ax + by + c = 0 , allora, dal sistema (2), si determinano prontamente le coordinate del centro C e il raggio r della circonferenza:

c4

b

4

a cβαr ;

2

bβ

2

aα

con βα;C22

22

5

4. non è detto che per ogni scelta dei coefficienti a, b, c, l’equazione normale rappresenti unacirconferenza. Dall’espressione del raggio, scritta nel sistema (2), si hanno infatti i seguenti casi:

l’equazione normale non rappresenta alcuna circonferenza reale ( r immaginario );

2 + 2 – c = a2/4 + b2/4 – c l’equazione normale rappresenta una circonferenza (degenere) di raggio nullo, ridotta cioè al solo centro C;

l’equazione normale rappresenta una circonferenza reale.

5. circonferenze particolari:

0

0

0

6

Considerazioni sul caso ‘c = 0’.

Se c = 0 , il grafico della curva passa per l’origine perché l’equazione diventa

x2 + y2 + ax + by = 0 ,

quindi una delle infinite soluzioni è sempre la coppia di numeri x = 0 e y = 0 , cioè il punto O(0 ; 0) .

7

QUESTIONI BASILARI

1. Verifica se le equazioni date rappresentano circonferenze reali; in caso affermativo determinane centro e raggio.

a. x2 + y2 = 4 ; a = 0; b = 0; c = - 4 ; a2/4 + b2/4 – c = 4 si, l’equazione data rappresenta una circonferenza reale di centro C( ; ) = C(-a/2 ; -b/2) = C(0;0) e di raggio r = 2.

b. x2 + y2 + 9 = 0 ; a = 0; b = 0; c = 9; a2/4 + b2/4 – c = - 9 no, l’equazione data non rappresenta una circonferenza reale, bensì immaginaria.

c. x2 + 2y2 + x + 3y - 5 = 0 ; non è l’equazione di una circonferenza perché i coefficienti dei termini di secondo grado, x2 e y2, sono diversi (si tratta di un’ellisse).

8

2. Determina per quali valori del parametro reale k l’equazione 3x2 + 3y2 – 6(k-1)x + 27 = 0 rappresenta una circonferenza.

0y

3xper solo ata verific, 0y3x 09x6yx 4kper

0y

3xper solo ata verific, 0y3x 09x6yx -2kper

: ha si Infatti

4.kper , (3;0)C e , -2kper , (-3;0)C

punti ai riduce si e 0),(r degenere è nzacirconfere la 4 kper e -2kper eparticolarIn

. 4 k -2kper icata verif, 0 8-2k -k ; 091-k cioè , 0c4b4a

che re verificadeve si nzacirconfere una irappresent data equazionel' Affinchè

. 09x1k2yx 027x1k6y3x3 : normale equazionel' Ricaviamo

2222

2222

21

2222

2222

9

3.a Scrivi l’equazione della circonferenza di centro C(-2; 1/2) e raggio r = 1.

. generale equazione 0134y16x4y4x

normale equazione 04

13y4xy x

cartesiana equazione 121y2x

13/41 1/44c ; rβαc

1 (1/2)2b ; 2b

42)(2 a ; 2a

22

22

22

222

3.b Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(0 ; -2), B(0 ; 6), C(8 ; 0).

.cartesiana equaz. 164252y413-x

generale; equaz. 0 24y 8x 13y22x

normale; equaz. 0 12y 4x 2

13y x

12c

4 b

213a

Cper passaggio 0ca864

Bper passaggio 0cb636

Aper passaggio 0cb24

: ha si 0 cby axy xnormale equazione Dall'

22

22

22

22

3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di una circonferenza.

Facendo riferimento all’equazione normale, determinare l’equaz. di una circ. significa determinare i tre coefficienti a, b, c. Pertanto il problema deve fornire tre condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare tre equazioni indipendenti.

10

3.d Scrivi l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1 ; 2) e B(3 ; 4) e avente il centro sulla retta t di equazione x – 3y – 1 = 0 .

normale. equaz. 0 7y 2x 8y x

7c

2 b

8a

2b3a

25 cb4a3

5cb2a

2b;2a-Cper t retta passaggio 012b32a

Bper circonf. della passaggio 0cb4a3169

Aper circonf. della passaggio 0cb2a41

metodo 1

22

3.c Scrivi l’equazione della circonf. avente per diametro il segmento di estremi A(-3 ; 1) e B(2 ; 5).

.01y6xy x

-141/4-91/4 r-c

-62b

12a

quindi

;2

415123

2

1 r :raggio 3), C(-1/2, :centro del Coordinate

22

222

22

11

3.e Determina per quali valori del parametro reale k la circonferenza di equazione

x2 + y2 – 2(k – 1)x + 2ky + k – 4 = 0

. 21k ;-k 1-k -kβ ; 2b-β

1-kα ; 2a-α :y xretta alla appartiene centro il c.

23k

0k ; 03k2k ; 4kk1-k5 ; c4b4ar : 5r raggio ha b.

;53k ; 04k4k1-k2-41 : P(1;-2)per passa a.

2

1222222

.07y2x8y x 710-116c quindi

, 102114ACr raggio il Trovo

; -2b ; 1

; -8a ; 4

1y

4x

05-yx

01-3y-x : );C( Trovo

. 05-y x 2)--(x3-y : quindi

, M(2;3) AB, di medio punto ilper passa assel'

-1;m ; 131

42

xx

yym'con ,

m'

1-m

: qmxy AB, di sseadell' .equazl' ominDeter

. rc cui da raggio, il trovasi quindi

AB, corda della assel'con t retta della neinterseziodall'

;C centro del coordinate le odeterminan Si

metodo 2

22

22

BA

BA

222

12

QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI

Analizziamo questi due problemi:

1. determinare le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza, condotte da un punto di note coordinate;2. determinare l’equazione della circonferenza tangente ad una retta di nota equazione.

1. Rette tangenti ad una conica condotte da un punto P

Questi problemi si possono sempre trattare in generale con il metodo del discriminante nullo, ma esistono anche con altri accorgimenti che, relativamente alla questione in esame, possono semplificare i calcoli.

In particolare per la circonferenza conviene applicare

a) il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene alla circonferenza b) il metodo della distanza retta-centro uguale al raggio, se il punto P non appartiene alla circonf.

13

Le formule di sdoppiamento

Data l’equazione di una conica C , espressa in forma normale

e un punto P(xP ; yP) appartenente alla C, sostituendo alle variabili x e y dell’equazione della C le seguenti espressioni, si ottiene l’equazione della retta tangente alla C nel punto P:

0f y e x d yc xyb xa 22

. tangente retta della equazionel' ottiene si nesostituzio la fatta

; 2

xyyx xy

; yy y ;2

yy y

; xx x ;2

xx x

PP

P2P

P2P

14

ESEMPI

1. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x2 + y2 - 2x - 6y - 10 = 0 ,condotte dal punto P(5 ; 5).

Verifico se P appartiene alla circonf.:

25 + 25 – 10 – 30 – 10 = 0 P appartiene alla circ.

Metodo del Discriminante nullo

. 15x2y : Pin tangenteRetta

. 2m ; 02m ; 04m4m ; 016m16m44

Δ

; 015m20m25 x1m25m 2 xm1 ... 55mmxy ; )5m(x5y

0106y2xyx

222

222222

Metodo ‘a’

. 512xy : tangenteretta ; 0302y4x

; 0105y35x-5y5x tosdoppiamen di formule le applico 010y6x2yx

5 ; 5P 22

15

2. Determina le equazioni delle rette tangenti alla circonferenza di equazione x 2 + y2 - 2x = 0 , condotte dal punto P(9/4 ; 0).

Verifico se P appartiene alla circonf.: 81/16 – 9/2 0 P non appartiene alla circonf., quindi posso avere due soluzioni, se P è esterno, nessuna soluzione, se P è interno alla circonferenza.

Metodo del Discriminante nullo

. 3x3

4y ; 3x

3

4y : Pin tangentiRette

. 3

4m ; 0256144m

4

Δ ; 081mx3272mxm116 ...

9/4)m(xy

02xyx1,2

2222222

16

. 3x3

4y ; 3x

3

4y : Pin tangentiRette

. 3

4m ;

9

16m ; 16m1625m

; 16m165m- ; 116m16

m5 ; 1

16m16

m9041m4

1,2222

2

22

Metodo ‘ b’

• Determino le coordinate del centro C e il raggio r : C(1;0) ; r = 1.

• Scrivo l’equazione del fascio di rette di centro P in forma implicita: 4mx – 4y – 9m = 0.

• Impongo che la distanza fra le rette del fascio e il centro C sia uguale al raggio r :

17

2. Circonferenza tangente ad una retta di nota equazione

Esempi

1. Determina l’equazione della circonferenza passante per i punti A(1;4) e B(5;0) e tangente alla retta di equazione y = – x + 1 .

.05y4x6yx

5c

4b

6a

;

25a5c

2 ab

6a

6a ; 011a214

; 011a2x2 x...

025a51x2aax1x x 1xy

0cbyaxyx

: tangenzadi condizione la Ricavo

2ab ; 2ba 8 4b 4a

25 c a5

17cb4a : ha si equaz. due prime delle lineare necombinazio allad

0

25a5c 25 ca5

17cb4a

tangenzadi condizione 0 1xy

0cbyaxyx

0 5;Bper circonf. della passaggio 0ca525

4 ; 1Aper circonf. della passaggio 0cb4a161

nzacirconfere della equazione

222

2222

22

18

Traccio il grafico.

Dall’equazione x2 + y2 - 6x - 4y + 5 = 0

si ricavano le coordinate del centro C(3; 2).

19

2. Determina l’equazione della circonferenza di centro C(-2 ; -3) e tangente alla retta di equazione y = 3x -1 .

Trovo il raggio della circonferenza, sapendo che coincide con la distanza del centro C dalla retta tangente:

. 05

576y4xy x

57/5c ; 8/594c

6b

4a

: normale formain equazionel' Scrivo

. 5

83y2x

:è nzacirconfere della cartesiana equazionel' quindi

, 10

4r ;

10

13123r

:retta'-punto' distanza della formula la applico

; 01y3x

:implicita formain retta della equazionel' scrivo

22

22

20

CURVE DEDUCIBILI DALLA CIRCONFERENZA

Esplicitando l’equazione di secondo grado x2 + y2 + ax + by + c = 0 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono quattro equazioni, che sono rappresentate graficamente da altrettante semicirconf.

0x

y-1 x d)

0x

y-1 x c)

0y

x-1- y b)

0y

x-1 y a)

1yx 1.

2

2

2

2

22

21

Esempi.

Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate.

. 2 y ordionata di punti i compresi

, 2y retta la sopra"" trovasi che semipiano il è 2y

, 3r raggio e 2) ; C(0 centro di nzacirconfere

una di equazionel' è 054yy xdove

2y

054yyx

02y

x-92-y

sistema al equivale equazione questa ; x-92y .1

22

22222

2

. 2 xascissa di punti i compresi

, 2 xretta della destra" a" trovasi che semipiano il è 2 x

, 3r raggio e 4) ; C(-2 centro di nzacirconfere

una di equazionel' è 011y8x4y xdove

2x

011y8x4yx

02x

78yy2x

sistema al equivale equazione questa ; 78yy2 x.2

22

222

22

2

22

Determinazione degli eventuali punti comuni A, B o T.

Per determinare gli eventuali punti d’intersezione o il punto di tangenza, occorre risolvere il sistema di quarto grado formato dalle equazioni delle due circonferenze. Conviene procedere come segue:

DISPOSIZIONE DI DUE CIRCONFERENZE NEL PIANO

Due circonferenze di equazione x2 + y2 + ax + by + c = 0 e x2 + y2 + a’x + b’y + c’ = 0 possono presentare nel piano le seguenti disposizioni:

nze.circonfere due delle radicale asse chiamata viene retta Tale

retta. una arappresent perciò , y"" e x"" in lineare equazioneun' è a'-a

0'ccy'bbx

0'cy'bx'ayx

0cbyaxyx22

22

Osserva che se a = a’ e b = b’ non si ottiene l’equazione della retta ‘ asse radicale ’; in questo caso le due circonferenze sono concentriche.

23

. b'b o a'acon

0'ccy'bbxa'-a

0'cy'bx'ayx oppure

0'ccy'bbxa'-a

0cbyaxyx 2222

Tali sistemi ammettono• due soluzioni se le circonferenze sono secanti;• una soluzione se le circonferenze sono tangenti;• nessuna soluzione se le circonferenze non sono secanti, né tangenti.

Quindi si risolve uno dei due sistemi di secondo grado fra l’equazione della retta ‘ asse radicale ‘ e l’equazione di una delle due circonferenze:

Osservazioni:

• se le circonferenze sono tangenti, l’asse radicale coincide con la tangente alle circonferenze nel loro punto di tangenza T;• se si conosce l’equazione dell’asse radicale, si possono trovare i punti comuni delle due circonferenze.• l’asse radicale è perpendicolare alla retta passante per i centri delle due circonferenze.

24

Esempi

1. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione: x2 + y2 + 2x - 4y – 11 = 0 e x2 + y2 + 2x - 16y + 13 = 0 .

. 2 ;1C , 8 ;1C : grafico ilPer

. 3;2B e 5;2-A punti nei secanti sono

nzecirconfere due le quindi , 3x

5x 015x2x

; 0118x24x 2y

011y4x2yx

. 2 y 024-12y

013y16x2yx

011y4x2yx

: radicale assedell' equazionel' Trovo

21

2

12

222

22

22

2. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze di equazione:

x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 3x + 2 = 0 .

. 1 x 03-3x

02x3yx

01yx : radicale assedell' equazionel' Trovo

22

22

25

3. Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due

circonferenze di equazione:

x2 + y2 – 1 = 0 e x2 + y2 – 4x – 12 = 0 .

. 0;2C , 0;0C : grafico ilPer

. comuni punti hannonon circ. le ; soluzione nessuna

quindi , 16

105y ; 01y

16

121

4/11x

01yx

. 4/11 x 0114x

012x4yx

01yx

: radicale assedell' equazionel' Trovo

21

2222

22

22

. 0 ; 2/3C , 0 ; 0C : grafico ilPer

. 1 xequazione di radicale assel' è

tangenteretta la e 1;0Tin tangentisono nzecirconfere le cioè

, 0y

1x : soluzione sola una èc' quindi

, 0y ; 01y1 1x

01yx

21

222

26

Esercizi

Determina gli eventuali punti d’intersezione delle due circonferenze assegnate.

neintersezio nessuna 07914x3y3x 0439y16x4y4x e)

25

3;

25

21B ; 1;0A 033y4xy x 035y2xy xd)

2;0A 01610xy x 02xy xc)

3;-1-B ; 2;2A 02014y8xy x 0124y2xy xb)

neintersezio nessuna 062y6xy x 02xy xa)

2222

2222

2222

2222

2222

27

DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO

CASO CIRCONFERENZA – RETTA

y e/oper x ilimitazion eventuali

retta una di equazione

nzecirconfere di fascioun di equazione

(2) oppure

y e/oper x ilimitazion eventuali

rette di fascioun di equazione

nzacirconfere una di equazione

(1)

: casi seguenti i presentare possono Si

Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze.

Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano la circonferenza nel caso (1), o la retta interseca le circonferenze nel caso (2).

Esempi

:grafico) (metodo grafico dal ediscussion la effettuare comodo molto E'

(1) tipodel sistema

0y ; 4x0

03yk1kx

0x4yx

:sistema seguente il Discuti 1.

22

28

. 3 3;F fascio del centro , 3y

xy sono igeneratric rette Le

. 03yy-xk forma nella scrivere può si che rette, di proprio fascio 03yk1kx

A(4;0). e O(0;0)per passante e 2 raggio 0), C(2; centro di nzacirconfere 0x4yx 22

Le limitazioni 0 < x 4 e y 0 individuano l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza.

Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per le rette tangenti e per le rette passanti per A(4;0) e per O(0;0).

• Retta per O: è la retta generatrice y = x , alla quale non corrisponde alcun valore di k.

• Retta per A: 4k - 3 = 0 ; k = 3/4 .

• Rette tangenti:

. 2

61-k ; 05-4k4k

... 2k1k

3-2k

2

22

29

. 0y

4x , limite soluzione una e

ordinaria soluzione una ha si 3/4 kper , icoincident sono soluzioni due le 2

61-kper eparticolarIn

. soluzioni due ammette sistema il 4

3;

2

61-

2

6-1-; -kper

soluzione; una ammette sistema il ; 3/4 kper

:che deduce si grafico Dal iConclusion

. 1/2- m angolare coeff.

con rette di improprio fascio 02ky2x

. 2 raggio e

O(0;0) centro di nzacirconfere 04y x

(1) tipodel sistema

0y

02ky2x

04yx

:sistema seguente il Discuti 2.

22

22

30

La limitazione y 0 individua l’arco di circ. utile per trovare i valori di k, per i quali si hanno intersezioni rette – circonferenza.

Dal grafico si evince che si devono individuare i valori di k per la retta tangente in T e per le rette passanti per A(-2;0) e per B(2;0).

• Retta per A: - 2 + k – 2 = 0 ; k = 4 .

• Retta per B: 2 + k – 2 = 0 ; k = 0 .

• Retta tangente in T:

. icoincident sol. due 522 kper

, 0y

2x , limite una e ordinaria sol. una 4 k per ,

0y

2x , limite soluzione una 0kper eparticolarIn

. soluzioni due ammette sistema il 522 ; 4 kper

soluzione; una ammette sistema il 4 ; 0kper

:che deduce si grafico Dal iConclusion

. 522k ; 522 k ; 016-4k- k ; 25

2-kT1,2

2