analiza matematyczna i - cmf.p.lodz.plcmf.p.lodz.pl/~witek/materialy/analizai/ami.pdf · m. gewert,...

Analiza matematyczna I

De�nicje, twierdzenia

21 pazdziernika 2012

Literatura

� K. Dobrowolska, W. Dyczka, H. Jakuszenkow, Matematyka dla studentów studiówtechnicznych, cz. 1, HELPMATH, ×ódz 2007

� M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna I, O�cyna Wydawnicza GiS, Wroc÷aw2000

� A. Just, Matematyka dla studentów politechnik, Wydawnictwo P×, ×ódz 2012

� K. Kuratowski, Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy, PWN, Warszawa 1964

� F. Leja, Rachunek ró·zniczkowy i ca÷kowy, PWN, Warszawa 1963

� W. Rudin, Podstawy analizy matematycznej, PWN, Warszawa 1976

1 Zbiory ograniczone, kresy zbiorówDe�nicja 1.1 Mówimy, ·ze zbiór A � R jest ograniczony z góry, je·zeli istnieje taka liczbaM , ·ze ^

x2Ax �M ;

M nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A.

De�nicja 1.2 Mówimy, ·ze zbiór A � R jest ograniczony z do÷u, je·zeli istnieje taka liczbam, ·ze ^

x2Am � x;

m nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A.

De�nicja 1.3 Mówimy, ·ze zbiór A � R jest ograniczony, gdy A jest ograniczony z góry iz do÷u, czyli istniej ¾a takie liczby m i M , ·ze^

x2Am � x �M

1

1. ZBIORY OGRANICZONE, KRESY ZBIORÓW

Uwaga 1.4 1. Zbiór A jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewnej liczby Mzachodzi ^

x2Ajxj �M:

2. W powy·zszych de�nicjach nierównosc s÷ab ¾a mo·zna zast ¾apic nierównosci ¾a ostr ¾a.

De�nicja 1.5 Niech A � R. Element a 2 A nazywamy elementem najmniejszym w A,gdy ^

x2Aa � x:

Element najmniejszy w A oznaczamy przez minA;

a = minA:

De�nicja 1.6 Niech A � R. Element a 2 A nazywamy elementem najwi ¾ekszym w A,gdy ^

x2Ax � a:

Element najwi ¾ekszy w A oznaczamy przez maxA;

a = maxA:

De�nicja 1.7 Mówimy, ·ze liczba d jest kresem dolnym zbioru A, je·zeli

1.Vx2A

d � x (tzn. d jest ograniczeniem dolnym zbioru A)

2.V">0

Wx2A

x < d+ " (tzn. d jest najwi ¾ekszym z ograniczen dolnych zbioru A).

Kres dolny zbioru A oznaczamy symbolem inf A:

De�nicja 1.8 Mówimy, ·ze liczba g jest kresem górnym zbioru A, je·zeli

1.Vx2A

x � g

2.V">0

Wx2A

g � " < x

Kres górny zbioru A oznaczamy symbolem supA.

Uwaga 1.9 1. Je·zeli a = minA, to a = inf A; je·zeli a = maxA, to a = supA.

2. Je·zeli A nie jest zbiorem ograniczonym z góry, to piszemy

supA = +1;

jesli A nie jest ograniczony z do÷u, to piszemy

inf A = �1:

Twierdzenie 1.10 (Aksjomat ci ¾ag÷osci) Ka·zdy niepusty zbiór ograniczony z góry (z do÷u)ma kres górny (dolny).

2

2. CI ¾AGI LICZBOWE

2 Ci ¾agi liczboweDe�nicja 2.1 Ci ¾agiem (nieskonczonym) o wyrazach w zbiorze A nazywamy ka·zd ¾a funkcj ¾ea : N! A. Wartosc funkcji a dla liczby naturalnej n oznaczamy przez

an = a (n) 2 A:

Element an 2 A nazywamy n-tym wyrazem ci ¾agu a. Ci ¾ag o wyrazach an oznaczamy sym-bolem (an)n2N. Zbiór jego wyrazów oznaczamy przez fangn2N, tzn.

fangn2N = fan 2 A : n 2 Ng.

De�nicja 2.2 Niech a : N!A. Je·zeli A � R, to ci ¾ag a nazywamy ci ¾agiem liczbowym.Je·zeli A jest zbiorem funkcji, to ci ¾ag a nazywamy ci ¾agiem funkcyjnym.

De�nicja 2.3 Niech (an) b ¾edzie ci ¾agiem liczbowym. Ci ¾ag (an) nazywamy

� rosn ¾acym, gdyVn2N

an < an+1

� niemalej ¾acym, gdyVn2N

an � an+1

� malej ¾acym, gdyVn2N

an > an+1

� nierosn ¾acym, gdyVn2N

an � an+1

Ci ¾agi te nazywamy ci ¾agami monotonicznymi. Ci ¾agi malej ¾ace i rosn ¾ace nazywamyscisle monotonicznymi, zas niemalej ¾ace i nierosn ¾ace � monotonicznymi w szerszym sensie.

Twierdzenie 2.4 Jesli an > 0, to ci ¾ag (an) jest rosn ¾acy wtedy i tylko wtedy, gdy^n2N

an+1an

> 1:

De�nicja 2.5 � Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest ograniczony z do÷u, gdy zbiór jego wyrazówfang jest ograniczony z do÷u, tzn _

m2R

^n2N

m � an:

� Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest ograniczony z góry, gdy zbiór jego wyrazów fang jestograniczony z góry, tzn. _

M2R

^n2N

an �M

� Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest ograniczony, gdy jest ograniczony z góry i z do÷u, czyli_m;M2R

^n2N

m � an �M:

3

2. CI ¾AGI LICZBOWE

Stwierdzenie 2.6 Ci ¾ag (an) jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy_M>0

^n2N

janj �M:

De�nicja 2.7 Liczb ¾e a nazywamy granic ¾a (w÷asciw ¾a) ci ¾agu (an), gdy^">0

_k2N

^n>k

jan � aj < ";

czyli w dowolnym przedziale (a� "; a+ "), " > 0; le·z ¾a prawie wszystkie wyrazy ci ¾agu (an)(prawie wszystkie = wszystkie poza skonczon ¾a ilosci ¾a). Ci ¾ag (an) nazywamy zbie·znym, gdyma granic ¾e. Granic ¾e ci ¾agu (an) oznaczamy przez lim

n!1an;

limn!1

an = a:

Twierdzenie 2.8 Ka·zdy ci ¾ag zbie·zny ma dok÷adnie jedn ¾a granic ¾e.

De�nicja 2.9 Mówimy, ·ze ci ¾ag (an) jest

� rozbie·zny do +1 (ma granic ¾e niew÷asciw ¾a +1), gdy^M2R

_k2N

^n>k

an > M ;

piszemy wtedy limn!1

an = +1;

� rozbie·zny do �1 (ma granic ¾e niew÷asciw ¾a �1), gdy^m2R

_k2N

^n>k

an < m;

piszemy wtedy limn!1

an = �1;

� rozbie·zny, gdy nie posiada granicy (w÷asciwej lub niew÷asciwej)

Twierdzenie 2.10 Je·zeli limn!1

an = a i limn!1

bn = b, a; b 2 R, to

1. limn!1

(an + bn) = a+ b;

2. limn!1

(an � bn) = a� b;

3. limn!1

(anbn) = ab;

4. limn!1

anbn= a

b o ile b 6= 0 i bn 6= 0.

Uwaga 2.11 Skreslenie lub dodanie do ci ¾agu skonczonej ilosci wyrazów nie wp÷ywa na jegozbie·znosc.

Twierdzenie 2.12limn!1

an = 0, limn!1

janj = 0:

4

2. CI ¾AGI LICZBOWE

Twierdzenie 2.13 Je·zeli limn!1

an = +1 oraz limn!1

bn = b > �1 lub limn!1

bn = +1, tolimn!1

(an + bn) = +1 i st ¾ad przyjmujemy umow ¾e

1+ b =1; b 2 R;1+1 =1:

Twierdzenie 2.14 Je·zeli limn!1

an = +1 oraz limn!1

bn > 0, to limn!1

(anbn) = +1; je·zelilimn!1

bn < 0, to limn!1

(anbn) = �1 i st ¾ad przyjmujemy umow ¾e

1�1 =1; 1� b =1; b > 0;1� (�1) = �1; 1� b = �1; b < 0:

Twierdzenie 2.15 Je·zeli limn!1

an = +1 (�1), to limn!1

1an= 0. St ¾ad umowa

1�1 = 0:

Twierdzenie 2.16 Je·zeli limn!1

an = 0, to

limn!1

1

an=

�+1; gdy an > 0 dla prawie wszystkich n�1; gdy an < 0 dla prawie wszystkich n:

St ¾ad przyjmujemy umow ¾e

10+ =1;

10� = �1:

Twierdzenie 2.17

limn!1

qn =

8>><>>:+1 q > 11 q = 10 jqj < 1nie istnieje q � �1

Twierdzenie 2.18

limn!1

n� =

8<: 0 � < 01 � = 0+1 � > 0

Twierdzenie 2.19 Za÷ó·zmy, ·ze limn!1

an = +1.

� Je·zeli 0 < limn!1

bn � +1, to limn!1

(an)bn = +1.

� Je·zeli �1 � limn!1

bn < 0, to limn!1

(an)bn = 0:

St ¾ad przyjmujemy umow ¾e

11 =1 1b =1; b > 0;1�1 = 0 1b = 0; b < 0:

5

2. CI ¾AGI LICZBOWE

De�nicja 2.20 Poni·zsze wyra·zenia nazywamy symbolami nieoznaczonymi

1�1 11

00 0 �1

11 00 10

Twierdzenie 2.21 Je·zeli ci ¾agi (an) i (bn) s ¾a zbie·zne oraz an < bn lub an � bn dla prawiewszystkich n, to

limn!1

an � limn!1

bn:

Twierdzenie 2.22 Za÷ó·zmy, ·ze dla prawie wszystkich wryazów ci ¾agów (an) i (bn) zachodzinierównosc

an � bn:

� Jesli limn!1

an = +1, to limn!1

bn = +1:

� Jesli limn!1

bn = �1, to limn!1

an = �1:

Twierdzenie 2.23 (o trzech ci ¾agach) Je·zeli dla ci ¾agów (an), (bn) i (cn) zachodzi nierównosc

an � bn � cn

oraz limn!1

an = limn!1

cn = a, to wówczas limn!1

bn = a.

Wniosek 2.24 Je·zeli limn!1

an = 0 i ci ¾ag (bn) jest ograniczony, to limn!1

anbn = 0.

Twierdzenie 2.25 1. limn!1

npn = 1:

2. limn!1

npa = 1; a > 0:

3. Je·zeli an � 0 i limn!1

an = a > 0, to limn!1

npan = 1.

Twierdzenie 2.26 Ka·zdy ci ¾ag zbie·zny jest ograniczony.

Twierdzenie 2.27 Ka·zdy ci ¾ag monotoniczny i ograniczony jest zbie·zny. Dok÷adniej, jesli(an) jest ci ¾agiem rosn ¾acym (niemalej ¾acym) i ograniczonym z góry, to

limn!1

an = supfan : n 2 Ng;

jesli (an) jest ci ¾agiem malej ¾acym (nierosn ¾acym) i ograniczonym z do÷u, to

limn!1

an = inffan : n 2 Ng:

De�nicja 2.28 Mo·zna wykazac, ·ze ci ¾ag�1 + 1

n

�njest monotoniczny i ograniczony, a wi ¾ec

jest zbie·zny. Jego granic ¾e oznaczamy przez e

edef= lim

n!1

�1 +

1

n

�n:

Liczba e jest liczb ¾a niewymiern ¾a

e = 2; 7182818284:::

6

3. GRANICE FUNKCJI

De�nicja 2.29 Logarytm przy podstawie e nazywamy logarytmem naturalnym i oz-naczamy symbolem ln

lnxdef= loge x; x > 0:

Twierdzenie 2.30 Je·zeli limn!1

an = +1 (�1), to limn!1

�1 + 1

an

�an= e.

De�nicja 2.31 Niech b¾edzie dany ciag (an). Podci ¾agiem ci ¾agu (an) nazywamy ka·zdy ci ¾agpostaci

(ank) ;

gdzie (nk) jest rosn ¾acym ci ¾agiem liczb naturalnych.

Twierdzenie 2.32 Je·zeli ci ¾ag (an) jest zbie·zny do a, to wszystkie podci ¾agi ci ¾agu (an) s ¾azbie·zne do a.

Twierdzenie 2.33 (Bolzano-Weierstrassa) Z ka·zdego ci ¾agu ograniczonego mo·zna wybracpodci ¾ag zbie·zny. Z ka·zdego ci ¾agu nieograniczonego mo·zna wybrac podci ¾ag rozbie·zny do +1lub �1.

3 Granice funkcji

3.1 Podstawowe de�nicjeDe�nicja 3.1 Otoczeniem punktu x0 2 R nazywamy ka·zdy przedzia÷postaci

U (x0) = (x0 � �; x0 + �) ; gdzie � > 0:

S ¾asiedztwem punktu x0 nazywamy ka·zdy zbiór postaci

S (x0) = (x0 � �; x0) [ (x0; x0 + �) = (x0 � �; x0 + �)� fx0g; gdzie � > 0:

S ¾asiedztwem prawostronnym punktu x0 nazywamy ka·zdy przedzia÷

S+ (x0) = (x0; x0 + �) ;

zas lewostronnym � ka·zdy przedzia÷

S� (x0) = (x0 � �; x0) :

De�nicja 3.2 Niech X � R b ¾edzie zbiorem niepustym. Mówimy, ·ze x0 2 R jest punktemskupienia zbioru X, je·zeli istnieje ci ¾ag (xn) taki, ·ze

fxng � X � fx0g oraz limn!1

xn = x0:

Zbiór wszystkich punktów skupienia zbioru X oznaczamy symbolem Xd. Je·zeli dodatkowojest spe÷niony warunek

x0 < xn; (xn < x0)

dla wszystkich n, to x0 nazywamy prawostronnym (lewostronnym) punktem skupi-enia. Zbiór prawostronnych (lewostronnych) punktów skupienia zbioru X oznaczamy przezXd+ (X

d�). Punkty x 2 X, które nie s ¾a punktami skupienia zbioru X nazywamy punktami

izolowanymi.

7

3. GRANICE FUNKCJI

Uwaga 3.3 ×atwo widac, ·ze

� x0 2 S (x0)d ;

� x0 2 S+ (x0)d+ ;

� x0 2 S� (x0)d� :

De�nicja 3.4 (Cauchy�ego granicy funkcji w punkcie) Niech f : X ! R oraz niechx0 2 Xd. Mówimy, ·ze liczba g jest granic ¾a w÷asciw ¾a funkcji f w punkcie x0, cozapisujemy przez

limx!x0

f (x) = g;

je·zeli ^">0

_�>0

^x2Xnfx0g

(jx� x0j < � ) jf (x)� gj < ") :

Mówimy, ·ze funkcja f ma granic¾e niew÷asciw ¾a +1 w punkcie x0, co zapisujemyjako

limx!x0

f (x) = +1;

je·zeli ^M>0

_�>0

^x2Xnfx0g

(jx� x0j < � )M < f (x)) :

Analogicznie de�niujemy poj¾ecie granicy niew÷asciwej �1 w punkcie x0:

limx!x0

f (x) = �1

ozacza, ·ze ^m<0

_�>0

^x2Xnfx0g

(jx� x0j < � ) f (x) < m) :

De�nicja 3.5 (Heinego granicy funkcji w punkcie) Niech f : X ! R oraz niech x0 2Xd. Mówimy, ·ze liczba g jest granic ¾a w÷asciw ¾a funkcji f w punkcie x0, je·zeli

limn!1

f (xn) = g

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X n fx0g i limn!1

xn = x0. Mówimy, ·ze funkcja f

ma granic ¾e niew÷asciw ¾a +1 (�1) w punkcie x0, je·zeli

limn!1

f (xn) = +1 (�1)

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X n fx0g i limn!1

xn = x0.

De�nicja 3.6 (Cauchy�ego granicy funkcji w 1) Niech f : X ! R i za÷ó·zmy, ·ze Xnie jest zbiorem ograniczonym z góry. Mówimy, ·ze liczba g jest granic ¾a w÷asciw ¾a funkcji fw +1, co zapisujemy

limx!+1

f (x) = g;

8

3. GRANICE FUNKCJI

je·zeli jest spe÷niony warunek^">0

_R2R

^x2X

(R < x) jf (x)� gj < ") :

Mówimy, ·ze funkcja f ma granic ¾e niew÷asciw ¾a +1 w +1, co zapisujemy

limx!+1

f (x) = +1;

je·zeli jest spe÷niony warunek^M>0

_R2R

^x2X

(R < x)M < f (x)) :

Analogicznie de�niujemy poj¾ecie granicy niew÷asciwej �1 w +1:

limx!+1

f (x) = �1

oznacza, ·ze ^m<0

_R2R

^x2X

(R < x) f (x) < m) :

Zadanie 1 Zde�niowac poj¾ecia granicy w÷asciwej i niew÷asciwej funkcji f : X ! R w �1,przy za÷o·zeniu, ·ze X nie jest ograniczony z do÷u.

De�nicja 3.7 (Heinego granicy funkcji w +1) Niech f : X ! R i za÷ó·zmy, ·ze zbiórX nie jest ograniczony z góry. Mówimy, ·ze liczba g jest granic ¾a w÷asciw ¾a funkcji f w +1,je·zeli

limn!1

f (xn) = g

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X oraz limxn = +1.Mówimy, ·ze funkcja f ma granic ¾e niew÷asciw ¾a +1 (�1) w +1, je·zeli

limn!1

f (xn) = +1 (�1)

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X i limxn = +1:

Twierdzenie 3.8 De�nicje granic Heinego i Cauchy�ego pokrywaj ¾a si ¾e.

De�nicja 3.9 (Heinego granicy prawostronnej) Niech f : X ! R i x0 2 Xd+. Mówimy,

·ze g (g 2 R, g = �1) jest granic ¾a prawostronn ¾a (w÷asciw ¾a lub nie) funkcji f w punkciex0, co zapisujemy przez

limx!x+0

f (x) = g;

jesli jest spe÷niony waruneklimn!1

f (xn) = g

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X, limn!1

xn = x0 oraz xn > x0.

9

3. GRANICE FUNKCJI

De�nicja 3.10 (Heinego granicy lewostronnej) Niech f : X ! R i x0 2 Xd_ . Mówimy,

·ze g (g 2 R, g = �1) jest granic ¾a lewostronn ¾a (w÷asciw ¾a lub nie) funkcji f w punkciex0, co zapisujemy przez

limx!x�0

f (x) = g;

jesli jest spe÷niony waruneklimn!1

f (xn) = g

dla ka·zdego ci ¾agu (xn) takiego, ·ze fxng � X, limn!1

xn = x0 oraz xn < x0.

Zadanie 2 Sformu÷owac de�nicje granic jednostronnych w sensie Cauchy�ego.

Twierdzenie 3.11 Niech f : X ! R oraz x0 2 Xd+ \ Xd

�. Wówczas granica funkcji f wpunkcie x0 jest równa g wtedy i tylko wtedy, gdy istniej ¾a granice jednostronne w x0 i s ¾arówne g, tzn.

limx!x0

f (x) = g , limx!x+0

f (x) = g = limx!x�0

f (x)

Twierdzenie 3.12 (o arytmetyce granic w÷asciwych) Je·zeli f; g : X ! R, x0 2 Xd

oraz limx!x0

f (x) = a, limx!x0

g (x) = b, przy czym a; b 2 R, to

1. limx!x0

(f (x)� g (x)) = a� b;

2. limx!x0

(f (x) � g (x)) = a � b;

3. limx!x0

f(x)g(x) =

ab ; o ile b 6= 0;

4. limx!x0

(f (x))g(x)

= ab, o ile a � 0; jesli a = 0, to zak÷adamy, ·ze b 6= 0.

Twierdzenie 3.13 (o arytmetyce granic niew÷asciwych)

1+1 =1; 1+ a =1; a 2 R;

1 �1 =1; a � 1 =1; a > 01 � (�1) = �1; a � 1 = �1; a < 0

a1 = 0; a 2 R;

a0+ =1; a > 0;

a0� = �1; a > 0;

b1 =

�0; 0 � b < 1;1; 1 < b � 1

1a =

�0; �1 � a < 0;1; 0 < a � 1:

10

3. GRANICE FUNKCJI

Twierdzenie 3.14 (o granicy funkcji z÷o·zonej) Niech f : X ! Y � R i g : Y ! R.Jesli spe÷nione s ¾a warunki:

1. limx!x0

f (x) = y0 2 Y d;

2. limy!y0

g (y) = a;

to limx!x0

g (f (x)) = a.

Twierdzenie 3.15 (o trzech funkcjach) Je·zeli funkcje f; g; h : X ! R spe÷niaj ¾a warunki:

1.V

x2S(x0)f (x) � g (x) � h (x) dla pewnego s ¾asiedztwa S (x0) ;

2. istniej ¾a granice limx!x0

f (x) = a = limx!x0

h (x) ;

to limx!x0

g (x) = a.

Twierdzenie 3.16 (o dwóch funkcjach) Niech funkcje f; g : X ! R spe÷niaj ¾a warunek^x2S(x0)

f (x) � g (x) :

Wówczas

� je·zeli limx!x0

f (x) = +1, to limx!x0

g (x) = +1;

� je·zeli limx!x0

g (x) = �1, to limx!x0

f (x) = �1.

Uwaga 3.17 Powy·zsze twierdzenia pozostaj ¾a prawdziwe, je·zeli zamiast granicy w punkciex0 wyst¾epuj ¾a granice jednostronne lub granice w �1.

Twierdzenie 3.18limx!0

sin xx = 1

limx!0

(1 + x)1=x

= e:

3.2 Asymptoty funkcjiDe�nicja 3.19 Niech f : X ! R i x0 2 Xd. Prost ¾a o równaniu x = x0 nazywamyprawostronn ¾a asymptot ¾a pionow ¾a wykresu funkcji f , je·zeli

limx!x+0

f (x) = �1 albo limx!x+0

f (x) = +1:

Prost ¾a o równaniu x = x0 nazywamy lewostronn ¾a asymptot ¾a pionow ¾a wykresu funkcjif , je·zeli

limx!x�0

f (x) = �1 albo limx!x�0

f (x) = +1:

Prost ¾a o równaniu x = x0 nazywamy obustronn ¾a asymptot ¾a pionow ¾a wykresu funkcjif , je·zeli jest asymptot ¾a prawostronn ¾a i lewostronn ¾a.

11

4. CI ¾AG×OSC FUNKCJI

De�nicja 3.20 Niech f : X ! R. Je·zeli X nie jest zbiorem ograniczonym z góry, to prost ¾ao równaniu y = ax+ b nazywamy asymptot ¾a ukosn ¾a wykresu funkcji f w +1, gdy

limx!+1

(f (x)� (ax+ b)) = 0:

Je·zeli X nie jest zbiorem ograniczonym z do÷u, to prost ¾a o równaniu y = ax+ b nazywamyasymptot ¾a ukosn ¾a wykresu funkcji f w �1, gdy

limx!�1

(f (x)� (ax+ b)) = 0:

Je·zeli a = 0, to odpowiedni ¾a asymptot ¾e ukosn ¾a nazywamy asymptot ¾a poziom ¾a.

Uwaga 3.21 Prosta y = b jest asympot ¾a poziom ¾a wykresu funkcji f w �1 wtedy i tylkowtedy, gdy lim

x!�1f (x) = b.

Twierdzenie 3.22 Prosta o równaniu y = Ax+ B jest asymptot ¾a ukosn ¾a wykresu funkcjif w +1 wtedy i tylko wtedy, gdy

limx!+1

f (x)

x= A i lim

x!+1(f (x)�Ax) = B

(o ile te granice istniej ¾a i s ¾a skonczone). Prosta o równaniu y = ax + b jest asymptot ¾aukosn ¾a wykresu funkcji f w �1 wtedy i tylko wtedy, gdy

limx!�1

f (x)

x= a i lim

x!�1(f (x)� ax) = b:

4 Ci ¾ag÷osc funkcjiDe�nicja 4.1 (Heine) Niech f : X ! R, x0 2 X i za÷ó·zmy, ·ze U (x0) � X. Mówimy, ·zefunkcja f jest ci ¾ag÷a w punkcie x0, je·zeli

limx!x0

f (x) = f (x0) :

Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a w ka·zdym punkcie swojej dziedziny, to mówimy, ·ze jest ci ¾ag÷a.

Uwaga 4.2 Podobnie mo·zna zde�oniowac ci ¾ag÷osc funkcji w punktach zbioru X, które s ¾apunktami skupienia X. Przyjmujemy wtedy dodatkowo, ·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a w punktachizolowanych.

De�nicja 4.3 (Cauchy) Niech f : X ! R, x0 2 X i za÷ó·zmy, ·ze U (x0) � X. Mówimy,·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a w punkcie x0, je·zeli^

">0

_�>0

^x2X

(jx� x0j < � ) jf (x)� f (x0)j < ") :

Twierdzenie 4.4 De�nicje Heinego i Cauchy�ego ci ¾ag÷osci funkcji w punkcie pokrywaj ¾a si ¾e.

De�nicja 4.5 Niech f : X ! R, x0 2 X i za÷ó·zmy, ·ze U+ (x0) 2 X. Mówimy, ·ze funkcjaf jest ci ¾ag÷a prawostronnie w punkcie x0, je·zeli

limx!x+0

f (x) = f (x0) :

Analogiczne de�niujemy lewostronn ¾a ci ¾ag÷osc funkcji w punkcie.

12

4. CI ¾AG×OSC FUNKCJI

Uwaga 4.6 Powiemy, ·ze funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], je·zeli jest ci ¾ag÷a naprzedziale (a; b) oraz jest prawostonnie ci ¾ag÷a w a i jest lewostronnie ci ¾ag÷a w b.

Twierdzenie 4.7 Niech f : X ! R, x0 2 X i U (x0) � X. Funkcja f jest ci ¾ag÷a w x0wtedy i tylko wtedy, gdy jest prawostronnie i lewostronnie ci ¾ag÷a w x0.

De�nicja 4.8 Niech f : X ! R, x0 2 X i U (x0) � X. Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f nie jestci ¾ag÷a w x0. Mówimy, ·ze funkcja f ma w punkcie x0 nieci ¾ag÷osc

� pierwszego rodzaju, je·zeli istniej ¾a skonczone granice limx!x+0

f (x) i limx!x�0

f (x) oraz

limx!x+0

f (x) 6= f (x0) lub limx!x�0

f (x) 6= f (x0) ;

� drugiego rodzaju, je·zeli jedna z granic jednostronnych

limx!x+0

f (x) ; limx!x�0

f (x)

jest niew÷asciwa lub nie istnieje.

Twierdzenie 4.9 Je·zeli funkcje f i g s ¾a ci ¾ag÷e w x0, to

1. funkcje f � g s ¾a ci ¾ag÷e w x0;

2. funkcja fg jest ci ¾ag÷a w x0;

3. funkcja fg jest ci ¾ag÷a w x0, o ile g(x0) 6= 0.

Twierdzenie 4.10 Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a w x0 i g jest ci ¾ag÷a w f (x0), to g � f jestci ¾ag÷a w x0.

De�nicja 4.11 Funkcjami elementarnymi podstawowymi nazywamy funkcje sta÷e,pot ¾egowe, wyk÷adnicze, logarytmiczne, trygonometryczne i cyklometryczne. Funkcje, któremo·zna z nich otrzymac za pomoc ¾a skonczonej ilosci dzia÷an arytmetycznych oraz z÷o·zeniafunkcji, nazywamy funkcjami elementarnymi.

Twierdzenie 4.12 Funkcje elementarne s ¾a ci ¾ag÷e na swoich dziedzinach.

Twierdzenie 4.13 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f : [a; b]! R jest ró·znowartosciowa i ci ¾ag÷a. Wów-czas f jest monotoniczna oraz funkcja odwrotna f�1 : f [[a; b]]! R jest te·z ci ¾ag÷a i monoton-iczna.

Twierdzenie 4.14 (Weierstrass) Je·zeli funkcja f : [a; b]! R jest ci ¾ag÷a, to jest ogranic-zona, co wi ¾ecej osi ¾aga swoje kresy na przedziale [a; b], tzn._

c2[a;b]

f (c) = supx2[a;b]

f (x) ;_

d2[a;b]

f (d) = infx2[a;b]

f (x) :

Twierdzenie 4.15 (Darboux) Je·zeli funkcja f : [a; b] ! R jest ci ¾ag÷a oraz f (a) < f (b),to ^

y2(f(a);f(b))

_x2(a;b)

f (x) = y.

13

5. POCHODNA FUNKCJI

Uwaga 4.16 Je·zeli w powy·zszym twierdzeniu za÷o·zymy, ·ze f (b) < f (a), to^y2(f(b);f(a))

_x2(a;b)

f (x) = y.

Wniosek 4.17 Je·zeli f : [a; b]! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a i f (a) f (b) < 0, to istnieje x 2 (a; b),·ze f (x) = 0.

5 Pochodna funkcji

5.1 Podstawowe poj ¾ecia i w÷asnosciDe�nicja 5.1 Niech f b ¾edzie funkcj ¾a rzeczywist ¾a okreslon ¾a na pewnym otoczeniu U (x0; r) =(x0 � r; x0 + r) punktu x0. Ilorazem ró·znicowym odpowiadaj ¾acym przyrostowi h takiemu,·ze 0 < jhj < r, nazywamy

f (x0 + h)� f (x0)h

:

Geometrycznie jest to wspó÷czynnik kierunkowy prostej przechodz ¾acej przez punkty (x0; f (x0)),(x0 + h; f (x0 + h)).

De�nicja 5.2 Niech f b ¾edzie funkcj ¾a rzeczywist ¾a okreslon ¾a na pewnym otoczeniu U (x0; r).Pochodn ¾a (w÷asciw ¾a) funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic ¾e

f 0 (x0) = limh!0

f (x0 + h)� f (x0)h

;

o ile ta granica istnieje i jest skonczona.

De�nicja 5.3 Mówimy, ·ze funkcja f : X ! R jest ró·zniczkowalna, je·zeli jest ró·zniczkowalnaw ka·zdym punkcie swojej dziedziny. Funkcj ¾e

X ! Rx 7! f 0 (x)

nazywamy pochodn ¾a funkcji f i oznaczamy przez f 0.

Twierdzenie 5.4 (Pochodne podstawowych funkcji elementarnych) 1. (c)0 = 0dla dowolnej funkcji sta÷ej f (x) = c, gdzie c 2 R jest ustalone;

2. (xn)0 = nxn�1 dla x 2 R i n 2 N;

3. (x�)0 = �x��1; � 6= 0;

4. (ex)0 = ex;

5. (ax)0 = ax ln a, a > 0, a 6= 1;

6. (lnx)0 = 1x , x > 0;

7. (loga x)0= 1

x ln a , x > 0, a > 0, a 6= 1;

8. (sinx)0 = cosx;

14

5. POCHODNA FUNKCJI

9. (cosx)0 = � sinx;

10. (tg x)0 = 1cos2 x ;

11. (ctg x)0 = � 1sin2 x

;

12. (arcsinx)0 = 1p1�x2 , x 2 (�1; 1) ;

13. (arccosx)0 = � 1p1�x2 , x 2 (�1; 1) ;

14. (arctg x)0 = 11+x2 ; x 2 R;

15. (arcctg x)0 = � 11+x2 , x 2 R.

Twierdzenie 5.5 (Warunek konieczny ró·zniczkowalnosci) Je·zeli funkcja f jestró·zniczkowalna w punkcie x0, to jest ci ¾ag÷a w x0.

De�nicja 5.6 (Pochodne jednostronne) Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest okreslona na zbiorzeU+ (x0; r) = [x0; x0 + r), gdzie r > 0. Pochodn ¾a prawostronn ¾a funkcji f w punkcie x0nazywamy granic ¾e

f 0+ (x0) = limh!0+

f (x0 + h)� f (x0)h

;

o ile ta granica istnieje i jest skonczona.Analogicznie, je·zeli f jest okreslona na zbiorze U� (x0; r) = (x0 � r; x0], gdzie r > 0, to

pochodn ¾a lewostronn ¾a funkcji f w punkcie x0 nazywamy granic ¾e

f 0� (x0) = limh!0�

f (x0 + h)� f (x0)h

;

o ile ta granica istnieje i jest skonczona.

Ró·zniczkowalnosc funkcji f : [a; b] ! R oznacza, ·ze f ma pochodn ¾a na przedziale (a; b)oraz ma pochodn ¾a prawostronn ¾a w a i lewostronn ¾a w b.

Twierdzenie 5.7 Funkcja f ma pochodn ¾a w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy

f 0� (x0) = f0+ (x0) .

Je·zeli spe÷niony jest powy·zszy warunek, to pochodna f w punkcie x0 jest równa tej wspólnejwartosci.

De�nicja 5.8 Niech f : X ! R b ¾edzie ci ¾ag÷a na pewnym otoczeniu punktu x0 2 X.Mówimy, ·ze prosta l jest styczna do wykresu funkcji f w punkcie x0, je·zeli przy h ! 0prosta przechodz ¾aca przez punkty (x0; f (x0)) i (x0 + h; f (x0 + h)) ma po÷o·zenie granicznerówne l.

Twierdzenie 5.9 Je·zeli funkcja f jest ró·zniczkowalna w punkcie x0, to równanie stycznejdo wykresu funkcji f w punkcie x0 ma postac

y = f 0 (x0) (x� x0) + f (x0) ;

czyli geometrycznie f 0 (x0) jest wspó÷czynnikiem kierunkowym prostej stycznej do wykresu fw punkcie x0.

15

5. POCHODNA FUNKCJI

Twierdzenie 5.10 (o arytmetyce pochodnych) Je·zeli funkcje f i g s ¾a ró·zniczkowalnew punkcie x0, to

1. (f � g)0 (x0) = f 0 (x0)� g0 (x0) ;

2. (fg)0 (x0) = f 0 (x0) g (x0) + f (x0) g0 (x0), w szczególnosci (cf)0(x0) = cf

0 (x0) ;

3.�fg

�0(x0) =

f 0(x0)g(x0)�f(x0)g0(x0)(g(x0))

2 , o ile g (x0) 6= 0.

Twierdzenie 5.11 (o pochodnej funkcji z÷o·zonej) Je·zeli funkcja f jest ró·zniczkowalnaw punkcie x0 oraz g jest ró·zniczkowalna w punkcie f (x0), to z÷o·zenie g�f jest ró·zniczkowalnew x0 przy czym

(g � f)0 (x0) = g0 (f (x0)) � f 0 (x0) .

Twierdzenie 5.12 (Rolle�a) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale [a; b], ró·zniczkowalnana (a; b) oraz f (a) = f (b), to istnieje taki punkt x0 2 (a; b), ·ze f 0 (x0) = 0.

Twierdzenie 5.13 (Lagrange�a o przyrostach) Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a na przedziale[a; b] i ró·zniczkowalna na (a; b), to istnieje taki punkt x0 2 (a; b), ·ze

f 0 (x0) =f (b)� f (a)

b� a :

Wniosek 5.14 Niech f b ¾edzie ró·zniczkowalna na przedziale (a; b). Wówczas

� je·zeli f 0 (x) = 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest sta÷a na (a; b);

� je·zeli f 0 (x) > 0 (f 0 (x) � 0) dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest rosn ¾aca (niemale-j ¾aca) na (a; b) ;

� je·zeli f 0 (x) < 0 (f 0 (x) � 0) dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest malej ¾aca (nieros-n ¾aca) na (a; b):

Twierdzenie 5.15 (Cauchy�ego o przyrostach) Je·zeli funkcje f i g s ¾a ci ¾ag÷e na przedziale[a; b], ró·zniczkowalne na (a; b) i g0 (x) 6= 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to istnieje x0 2 (a; b), ·ze

f (b)� f (a)g (b)� g (a) =

f 0 (x0)

g0 (x0):

Uwaga 5.16 Twierdzenie Lagrange�a o przyrostach jest szczególnym przypadkiem twierdzeniaCauchy�ego, gdy g (x) = x, x 2 [a; b].

Twierdzenie 5.17 Je·zeli funkcja f

1. jest ró·zniczkowalna na przedziale (a; b)

2.V

x2(a;b)f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0);

to istnieje funkcja odwrotna f�1 oraz�f�1

�0(f (x)) = 1

f 0(x) dla ka·zdego x 2 (a; b).

Twierdzenie 5.18 (regu÷a de l�Hospitala) Je·zeli funkcje f i g spe÷niaj ¾a warunki:

16

5. POCHODNA FUNKCJI

1. limx!x0

f (x) = limx!x0

g (x) = 0 lub limx!x0

f (x) = limx!x0

g (x) = +1;

2. istnieje granica limx!x0

f 0(x)g0(x) (w÷asciwa lub nie)

to

limx!x0

f (x)

g (x)= lim

x!x0

f 0 (x)

g0 (x):

Uwaga 5.19 Powy·zsze twierdzenie jest prawdziwe tak·ze dla granic jednostronnych i granicw +1 lub w �1.

Uwaga 5.20 Zamiana symboli nieoznaczonych 0 � 1, 1�1, 00, 11, 10 na 00 lub

11 .

� Je·zeli limx!x0

f (x) = 0� i limx!x0

g (x) = �1, to wówczas limx!x0

1g(x) = 0 i limx!x0

1f(x) = �1;

st ¾ad

limx!x0

f (x) g (x) = [0 � 1] =

= limx!x0

f (x)1

g(x)

=

�0

0

�= lim

x!x0

g (x)1

f(x)

=

��1�1

�;

� Je·zeli limx!x0

f (x) = limx!x0

g (x) = +1, to

limx!x0

(f (x)� g (x)) = [1�1]

= limx!x0

11

f(x)

� 11

g(x)

!

= limx!x0

1g(x) �

1f(x)

1f(x)g(x)

=

�0

0

�;

� W przypadku, gdy limx!x0

f (x)g(x) daje jeden z symboli nieoznaczonych 11; 00; 10

stosujemy przekszta÷cenie

f (x)g(x)

= eln f(x)g(x)

= eg(x) ln(x);

5.2 Badanie funkcjiDe�nicja 5.21 (Ekstrema lokalne) Niech f : X ! R, X � R oraz x0 2 X. Mówimy, ·zefunkcja f ma w punkcie x0

� minimum lokalne, je·zeli _r>0

^x2S(x0;r)

f (x) � f (x0)

17

5. POCHODNA FUNKCJI

� maksimum lokalne , je·zeli_r>0

^x2S(x0;r)

f (x) � f (x0) :

Je·zeli w powy·zszych warunkach zachodz ¾a nierównosci ostre f (x) > f (x0) (f (x) <f (x0)), to mówimy o minimum (maksimum) lokalnym w÷asciwym.

De�nicja 5.22 Niech f : X ! R. Mówimy, ·ze funkcja f ma

� wartosc najmniejsz ¾a m na zbiorze A � X, je·zeli_x02A

f (x0) = m i^x2A

f (x) � m;

� wartosc najwi ¾eksz ¾a M na zbiorze A � X, je·zeli_x02A

f (x0) =M i^x2A

f (x) �M:

Twierdzenie 5.23 (Fermata � warunek konieczny istnienia ekstremum lokalnego)Je·zeli funkcja f ma ekstermum lokalne w punkcie x0 oraz f jest ró·zniczkowalna w x0, tof 0 (x0) = 0.

Uwaga 5.24 Warunek f 0 (x0) = 0 nie jest warunkiem wystarczaj ¾acym do istnienia ek-stremum lokalnego w x0, np. niech f (x) = x3; wtedy f 0 (x) = 3x2 oraz f 0 (0) = 0, ale wx0 = 0 funkcja f nie ma ekstremum lokalnego.

Twierdzenie 5.25 (I warunek wystarczaj ¾acy istnienia maksimum lokalnego) Niechf : (a; b)! R b ¾edzie funkcj ¾a ró·zniczkowaln ¾a na (a; b) oraz x0 2 (a; b). Je·zeli f 0 (x0) = 0 i

_r>0

0@ ^x2(x0�r;x0)

f 0 (x) > 0 ^^

x2(x0;x0+r)

f 0 (x) < 0

1A ;to funkcja f ma maksimum lokalne w÷asciwe w punkcie x0.

Uwaga 5.26 Analogicznie formu÷ujemy warunek wystarczaj ¾acy istnienia minimum lokalnegow÷asciwego.

Twierdzenie 5.27 (II warunek wystarczaj ¾acy istnienia ekstremum) Je·zeli istniejeliczba parzysta n � 2 taka, ·ze

1. f 0 (x0) = f 00 (x0) = ::: = f (n�1) (x0) = 0;

2. f (n) (x0) < 0�f (n) (x0) > 0

�,

to funkcja f ma w punkcie x0 maksimum (minimum) lokalne w÷asciwe.

18

5. POCHODNA FUNKCJI

De�nicja 5.28 Mówimy, ·ze funkcja f jest wypuk÷a na przedziale (a; b), je·zeli^x1;x22(a;b)

^t2(0;1)

f (tx1 + (1� t)x2) � tf (x1) + (1� t) f (x2) :

Mówimy, ·ze funkcja f jest wkl ¾es÷a na przedziale (a; b), je·zeli^x1;x22(a;b)

^t2(0;1)

f (tx1 + (1� t)x2) � tf (x1) + (1� t) f (x2) :

Je·zeli w powy·zszych warunkach zachodz ¾a nierównosci ostre, to mówimy o scis÷ej wy-puk÷osci (wkl ¾es÷osci).

Twierdzenie 5.29 Za÷ó·zmy, ·ze f jest funkcj ¾a ró·zniczkowaln ¾a na przedziale (a; b). Funkcjaf jest wypuk÷a (wkl ¾es÷a) na (a; b) wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego punktu x0 2 (a; b)

f (x) � f 0 (x0) (x� x0) + f (x0) ; x 2 (a; b)

(f (x) � f 0 (x0) (x� x0) + f (x0) ; x 2 (a; b))

tzn. wykres funkcji f na przedziale (a; b) le·zy "powy·zej"("poni·zej") stycznej do wykresufunkcji w punkcie (x0).

Twierdzenie 5.30 Je·zeli f 00 (x) > 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to funkcja f jest wypuk÷a na(a; b). Je·zeli f 00 (x) < 0 dla ka·zdego x 2 (a; b), to f jest wkl ¾es÷a na (a; b).

De�nicja 5.31 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest okreslona na pewnym otoczeniu U (x0) punktux0 i f jest ci ¾ag÷a w x0. Mówimy, ·ze funkcja f ma pochodn ¾a niew÷asciw ¾a w x0 je·zeli

limh!0

f (x0 + h)� f (x0)h

= +1 lub limh!0

f (x0 + h)� f (x0)h

= �1.

De�nicja 5.32 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest okreslona na pewnym otoczeniu U (x0) punktu x0i ·ze ma pochodn ¾a w x0 (w÷asciw ¾a lub nie). Punkt (x0; f (x0)) nazywamy punktem przegi ¾e-cia wykresu funkcji, je·zeli dla pewnego � > 0 funkcja f jest scisle wypuk÷a na (x0 � �; x0) iscisle wkl ¾es÷a na (x0; x0 + �) lub odwrotnie.

Twierdzenie 5.33 (Warunek konieczny istnienia punktu przegi ¾ecia) Je·zeli (x0; f (x0))jest punktem przegi ¾ecia funkcji f oraz istnieje f 00 (x0), to f 00 (x0) = 0.

Uwaga 5.34 Warunek f 00 (x0) = 0 nie jest warunkiem wystarczaj ¾acym istnienia punktuprzegi¾ecia w x0. Je·zeli f (x) = x4, to f 00 (x) = 12x2, f 00 (0) = 0, ale funkcja f nie ma punktuprzegi¾ecia w (0; 0); f jest wypuk÷a.

Twierdzenie 5.35 (I warunek wystarczaj ¾acy istnienia punktu przegi ¾ecia) Je·zeli funkcjaf ma w punkcie x0 pochodn ¾a (w÷asciw ¾a lub nie) oraz

_�>0

0@ ^x2(x0��;x0)

f 00 (x) > 0 ^^

x2(x0;x0+�)

f 00 (x) < 0

1A ;to punkt (x0; f (x0)) jest punktem przegi ¾ecia wykresu funkcji f .

19

6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

Uwaga 5.36 Powy·zsze twierdzenie jest prawdziwe, gdy na zbiorach (x0 � �; x0), (x0; x0 + �)s ¾a nierównosci odwrotne.

Twierdzenie 5.37 (II warunek wystarczaj ¾acy istnienia punktu przegi ¾ecia) Je·zeli ist-nieje liczba nieparzysta n � 3 taka, ·ze

1. f 00 (x0) = f 000 (x0) = ::: = f (n�1) (x0) = 0;

2. f (n) (x0) 6= 0,

to (x0; f (x0)) jest punktem przegi ¾ecia wykresu funkcji f .

6 Ca÷ka nieoznaczona i oznaczona

6.1 Ca÷ka nieoznaczonaDe�nicja 6.1 Funkcj ¾e F nazywamy funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f na przedziale I, je·zeli Fjest ró·zniczkowalna i

F 0 (x) = f (x)

dla ka·zdego x 2 I.

Twierdzenie 6.2 Je·zeli F jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f na przedziale I, to

1. G (x) = F (x) + c, gdzie c 2 R, jest funkcj ¾a pierwotn ¾a f na I;

2. ka·zda funkcja pierwotna funkcji f na przedziale I jest postaci F (x) + c dla pewnejsta÷ej c.

Twierdzenie 6.3 Ka·zda funkcja ci ¾ag÷a na przedziale I ma funkcj ¾e pierwotn ¾a.

De�nicja 6.4 Niech f : I ! R b ¾edzie ustalon ¾a funkcj ¾a. Zbiór wszystkich funkcji pierwot-nych funkcji f nazywamy ca÷k ¾a nieoznaczon ¾a funkcji f i oznaczamy przezZ

f (x) dx:

Jesli F jest funkcj ¾a pierwotn ¾a f na przedziale I, toZf (x) dx = fF (x) + c : c 2 Rg:

Uwaga 6.5 Ogólniej, powiemy, ·ze F jest funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f : X ! R je·zeli F jestró·zniczkowalna na X oraz

F 0 (x) = f (x)

dla ka·zdego x 2 X (nie wymagamy teraz, ·zeby dziedzina funkcji f by÷a jednym przedzia÷em).Je·zeli f (x) = 0 dla x 6= 0, to funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f jest ka·zda funkcja postaci

F (x) =

�C1; x < 0;C2; x > 0;

gdzie C1 i C2 s ¾a dowolnymi sta÷ymi.

20

6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

Ca÷ki nieoznaczone pewnych funkcji elementarnych

1.R0dx = C; x 2 R,

2.Rxndx = 1

n+1xn+1 + C; x 2 R, n 2 N [ f0g, w szczególnosci

R1dx = x+ C;

3.Rxpdx = 1

p+1xp+1 + C, gdzie p 2 f�2;�3;�4; :::g, x 2 (�1; 0) lub x 2 (0;1),

4.Rx�dx = 1

�+1x�+1 + C, � 2 R� Z,

5.R1xdx = ln jxj+ C, gdzie x 2 (�1; 0) lub x 2 (0;1),

6.Rexdx = ex + C

7.Raxdx = 1

ln aax + C;

8.Rsinxdx = � cosx+ C;

9.Rcosxdx = sinx+ C;

10.R

dxcos2 x = tg x+ C, gdzie x 2

���2 + k�;

�2 + k�

�i k 2 Z jest ustalone,

11.R

dxsin2 x

= � ctg x+ C;

12.R

dx1+x2 = arctg x+ C;

13.R

dxp1�x2 = arcsinx+ C, jxj < 1:

Twierdzenie 6.6 Je·zeli f i g maj ¾a funkcje pierwotne na przedziale I, to

1.R(f (x)� g (x)) dx =

Rf (x) dx�

Rg (x) dx;

2.R�f (x) dx = �

Rf (x) dx dla dowolnej liczby � 2 R.

Twierdzenie 6.7 (o ca÷kowaniu przez cz¾esci) Je·zeli funkcje f i g s ¾a ró·zniczkowalne ijedna z funkcji fg0 lub f 0g ma funkcj ¾e pierwotn ¾a, to druga z nich te·z ma, przy czymZ

f (x) g0 (x) dx = f (x) g (x)�Zf 0 (x) g (x) dx:

Twierdzenie 6.8 (o ca÷kowaniu przez podstawienie) Je·zeli:

1. f : I ! J jest ró·zniczkowalna,

2. g : J ! R ma funkcj ¾e pierwotn ¾a G,

to wówczas funkcja (g � f) f 0 jest ca÷kowalna przy czymZ(g (f (t))) f 0 (t) dt = G (f (t)) + C:

Twierdzenie 6.9 1.R f 0(x)

f(x) dx = ln jf (x)j+ C;

2.R f 0(x)p

f(x)dx = 2

pf (x) + C:

21

6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

6.2 Ca÷ka oznaczonaDe�nicja 6.10 Podzia÷em przedzia÷u [a; b] nazywamy zbiór P = fxi 2 [a; b] : i =0; 1; :::; ng taki, ·ze

a = x0 < x1 < ::: < xn = b:

Zbiór wszystkich podzia÷ów przedzia÷u [a; b] oznaczamy przez P [a; b].Wartosciowaniem podzia÷u P nazywamy zbiór T = fti 2 [a; b] : i = 1; :::; ng taki, ·ze

ti 2 [xi�1; xi] ; i = 1; :::; n:

Zbiór wszystkich wartosciowan podzia÷u P oznaczamy przez T (P ).Srednic ¾a podzia÷u P nazywamy liczb ¾e

� (P ) = maxfxi � xi�1 : i = 1; :::; ng:

De�nicja 6.11 Niech f : [a; b] ! R. Sum ¾a Riemanna dla funkcji f , podzia÷u P = fxi :i = 0; :::; ng przedzia÷u [a; b] i jego wartosciowania T = fti : i = 1; :::; ng nazywamy liczb ¾e

S (f; P; T ) =nXi=1

f (ti) (xi � xi�1) :

De�nicja 6.12 Ci ¾ag podzia÷ów (Pk), k 7! Pk 2 P [a; b] nazywamy normalnym, je·zeli

limk!1

� (Pk) = 0.

De�nicja 6.13 Liczb ¾e S (f) nazywamy ca÷k ¾a Riemanna z funkcji f na przedziale [a; b],je·zeli dla dowolnego normalnego ci ¾agu podzia÷ów (Pk) przedzia÷u [a; b] i dowolnego ci ¾aguwartosciowan (Tk) (Tk 2 T (Pk))

S (f) = limk!1

S (f; Pk; Tk) :

Liczb ¾e S (f) w dalszym ci ¾agu oznaczac b ¾edziemy przez

S (f) =

Z b

a

f (x) dx:

De�nicja 6.14 Funkcj ¾e f , dla której istnieje ca÷ka Riemanna na przedziale [a; b] nazywamyfunkcj ¾a ca÷kowaln ¾a na [a; b]. Przyjmujemy dodatkowo, ·zeZ a

a

f (x) dx = 0

i dla funkcji ca÷kowalnej f na [a; b]Z a

b

f (x) dx = �Z b

a

f (x) dx:

Interpretacja geometryczna ca÷ki oznaczonej.Niech f b¾edzie ca÷kowalna na [a; b]. Je·zeli f (x) � 0 dla x 2 [a; b] oraz

D = f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b] ^ 0 � y � f (x)g;

22

6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

to Z b

a

f (x) dx = jDj ;

je·zeli f (x) � 0 dla x 2 [a; b] i

D = f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b] ^ f (x) � y � 0g;

to Z b

a

f (x) dx = � jDj :

Twierdzenie 6.15 Je·zeli funkcje f i g s ¾a ca÷kowalne na [a; b], to wówczas f+g i �f , � 2 R,s ¾a ca÷kowalne, przy czym

1.R ba(f (x) + g (x)) dx =

R baf (x) dx+

R bag (x) dx;

2.R ba�f (x) dx = �

R baf (x) dx:

Twierdzenie 6.16 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na przedziale [a; b] i c 2 (a; b), toZ b

a

f (x) dx =

Z c

a

f (x) dx+

Z b

c

f (x) dx:

Twierdzenie 6.17 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na [a; b], to wówczas jf j jest te·z ca÷kowalnana [a; b] i �����

Z b

a

f (x) dx

����� �Z b

a

jf (x)j dx:

Twierdzenie 6.18 Je·zeli f i g s ¾a ca÷kowalne na [a; b] i f (x) � g (x) dla ka·zdego x 2 [a; b],to Z b

a

f (x) dx �Z b

a

g (x) dx:

Twierdzenie 6.19 Ka·zda funkcja ci ¾ag÷a f : [a; b]! R jest ca÷kowalna na [a; b].

Uwaga 6.20 Zachodzi fakt ogólniejszy: je·zeli f : [a; b]! R jest ograniczona i ma skonczon ¾aliczb ¾e punktów nieci ¾ag÷osci pierwszego rodzaju, to f jest ca÷kowalna.

Twierdzenie 6.21 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na [a; b], to jest ograniczona.

Przyk÷ad 6.22 Funkcja Dirichleta f : [0; 1]! R

f (x) =

�1; x 2 Q;0; x =2 Q

jest ograniczona, ale nie jest ca÷kowalna w sensie Riemanna.

23

6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

Twierdzenie 6.23 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na [a; b] i istniej ¾a liczby m;M takie, ·ze^x2[a;b]

m � f (x) �M;

to wówczas

m (b� a) �Z b

a

f (x) dx �M (b� a) :

Twierdzenie 6.24 Niech f b ¾edzie funkcj ¾a ca÷kowaln ¾a na przedziale [a; b] i niech x0 2 [a; b]b ¾edzie dowolnym punktem. Wówczas funkcja

F (x) =

Z x

x0

f (t) dt

jest ci ¾ag÷a. Je·zeli funkcja f jest ci ¾ag÷a w x, to F jest ró·zniczkowalna w x, przy czymF 0 (x) = f (x) :

Twierdzenie 6.25 (Newtona-Leibniza, zasadnicze tw. rachunku ca÷kowego) Je·zelif : [a; b]! R jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a, toZ b

a

f (x) dx = F (b)� F (a) ;

gdzie F jest dowoln ¾a funkcj ¾a pierwotn ¾a funkcji f .

Uwaga 6.26 Przyjmujemy nast¾epuj ¾ace oznaczenie

F (x) jba = F (b)� F (a) :

Uwaga 6.27 Za÷ó·zmy, ·ze a > 0 i f jest ca÷kowalna na przedziale [�a; a].

� Je·zeli f jest parzysta, toR a�a f (x) dx = 2

R a0f (x) dx:

� Je·zeli f jest nieparzysta, toR a�a f (x) dx = 0:

Twierdzenie 6.28 (o ca÷kowaniu przez cz¾esci) Je·zeli funkcje f i g maj ¾a ci ¾ag÷e pochodnena [a; b], to Z b

a

f 0 (x) g (x) dx = [f (x) g (x)]ba �

Z b

a

f (x) g0 (x) dx:

Twierdzenie 6.29 (o ca÷kowaniu przez podstawienie) Je·zeli ' : [�; �] �! [a; b] maci ¾ag÷¾a pochodn ¾a, ' (�) = a, ' (�) = b oraz f jest ci ¾ag÷a na [a; b], toZ b

a

f (x) dx =

Z �

�

f (' (t))'0 (t) dt:

Twierdzenie 6.30 (o wartosci sredniej) Je·zeli f : [a; b]! R jest ci ¾ag÷a, to istnieje takipunkt c 2 (a; b), ·ze Z b

a

f (x) dx = f (c) (b� a) :

24

6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

Zastosowania geometryczne ca÷ek

� Niech dane b¾ed ¾a funkcje ci ¾ag÷e f; g : [a; b]! R. Wówczas pole obszaru ograniczonegowykresami funkcji f i g na przedziale [a; b] wyra·za si¾e wzoremZ b

a

jf (x)� g (x)j dx

� Niech (t) = (x (t) ; y (t)), t 2 [a; b] b¾edzie parametryzacj ¾a krzywej �. Powiemy,·ze � jest ÷ukiem zwyk÷ym, gdy funkcje x i y s ¾a ci ¾ag÷e i krzywa nie ma punktówwielokrotnych, tzn. (t1) 6= (t2) dla t1 6= t2. Mówimy, ·ze � jest krzyw ¾a zamkni¾et ¾a,gdy (a) = (b). Je·zeli � jest (zamkni¾etym) ÷ukiem zwyk÷ym, przy czym pochodnefunkcji x i y s ¾a ci ¾ag÷e, to d÷ugosc krzywej � jest równa

l =

Z b

a

q(x0 (t))

2+ (y0 (t))

2dt:

� Za÷ó·zmy, ·ze f : [a; b] ! R jest funkcj ¾a nieujemn ¾a. Niech V oznacza obj¾etosc bry÷ypowsta÷ej przez obrót trapezu krzywoliniowego

f(x; y) 2 R2 : x 2 [a; b] ^ 0 � y � f (x)g

wokó÷osi OX. Wówczas obj¾etosc V jest równa

jV j = �Z b

a

f2 (x) dx:

Pole powierzchni bocznej otrzymanej bry÷y jest równe

jSj = 2�Z b

a

f (x)

q1 + (f 0 (x))

2dx:

6.3 Ca÷ki niew÷asciweDe�nicja 6.31 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f jest ca÷kowalna na ka·zdym przedziale [a; �] dla ka·zdejliczby � > a. Je·zeli istnieje granica w÷asciwa

lim�!+1

Z �

a

f (x) dx;

to nazywamy j ¾a ca÷k ¾a niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale [a;+1) i oznaczamy symbolemZ +1

a

f (x) dx:

St ¾ad Z +1

a

f (x) dxdef= lim

�!+1

Z �

a

f (x) dx:

Je·zeli powy·zsza granica istnieje i jest w÷asciwa, to mówimy, ·ze ca÷ka funkcji f na przedziale[a;+1) jest zbie·zna. Je·zeli granica ta nie istnieje lub jest niew÷asciwa, to mówimy, ·ze ca÷kaniew÷asciwa jest rozbie·zna. Ca÷k ¾e niew÷asciw ¾a na przedziale nieograniczonym nazywamyca÷k ¾a niew÷asciw ¾a pierwszego rodzaju.

25

6. CA×KA NIEOZNACZONA I OZNACZONA

W podobny sposób okreslamy ca÷k¾e niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale (�1; a]:Z a

�1f (x) dx

def= lim

�!�1

Z a

�

f (x) dx:

De�nicja 6.32 Je·zeli funkcja f jest ca÷kowalna na ka·zdym przedziale [a; b], to ca÷k ¾e funkcjif na przedziale (�1;+1) de�niujemy jako sum ¾eZ +1

�1f (x) dx

def= lim

�!�1

Z 0

�

f (x) dx+ lim�!+1

Z �

0

f (x) dx:

Mówimy, ·ze ca÷ka funkcji f na przedziale (�1;+1) jest zbie·zna, gdy zbie·zne s ¾a ca÷kiR 0�1 f (x) dx i

R10f (x) dx.

Uwaga 6.33 Ca÷ki niew÷asciwejR +1�1 f (x) dx nie nale·zy mylic z granic ¾a

lim�!1

Z �

��f (x) dx

(jest to tzw. wartosc g÷ówna ca÷ki). Je·zeli ca÷ka niew÷asciwaR +1�1 f (x) dx jest zbie·zna, to

istnieje skonczona wartosc g÷ówna ca÷ki. Odwrotnie byc nie musi. Dla przyk÷adu

lim�!+1

Z �

��sinx dx = 0

(bo funkcja sin jest nieparzysta), ale ca÷kaR +1�1 sinx dx jest rozbie·zna.

Przyk÷ad 6.34 Ca÷ka Z +1

1

dx

x�

jest rozbie·zna dla � � 1 i zbie·zna dla � > 1.

Twierdzenie 6.35 (Kryterium porównawcze) Za÷ó·zmy, ·ze funkcje f; g : [a;+1) ! Rs ¾a ca÷kowalne na ka·zdym przedziale [a; �] dla � > a oraz^

x�a0 � f (x) � g (x) :

� Je·zeli ca÷kaR +1a

g (x) dx jest zbie·zna, to zbie·zna jest ca÷kaR +1a

f (x) dx.

� Je·zeli ca÷kaR +1a

f (x) dx jest rozbie·zna, to ca÷kaR +1a

g (x) dx jest rozbie·zna.

De�nicja 6.36 Mówimy, ·ze ca÷kaR +1a

f (x) dx jest bezwzgl ¾ednie zbie·zna, gdy zbie·zna jest

ca÷kaR +1a

jf (x)j dx. Je·zeli ca÷kaR +1a

f (x) dx jest zbie·zna, ale nie bezwgl ¾ednie, to mówimy,·ze jest warunkowo zbie·zna.

Twierdzenie 6.37 Je·zeli dla ka·zdego � > a funkcja f jest ca÷kowalna na przedziale [a; �] ica÷ka

R +1a

jf (x)j jest zbie·zna, to ca÷kaR +1a

f (x) dx jest zbie·zna, przy czym����Z +1

a

f (x) dx

���� � Z +1

a

jf (x)j :

26

7. SZEREGI

De�nicja 6.38 Niech f : [a; b)! R b ¾edzie funkcj ¾a nieograniczon ¾a i ca÷kowaln ¾a na ka·zdymprzedziale [a; �], gdzie a < � < b. Je·zeli istnieje granica w÷asciwa

lim�!b�

Z �

a

f (x) dx;

to nazywamy j ¾a ca÷k ¾a niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale [a; b]. Oznaczamy j ¾a symbolemR baf (x) dx i st ¾ad Z b

a

f (x) dx = lim�!b�

Z �

a

f (x) dx:

Podobnie, je·zeli f : (a; b] ! R jest funkcj ¾a nieograniczon ¾a i ca÷kowaln ¾a na ka·zdymprzedziale [�; b], gdzie a < � < b, to ca÷k ¾a niew÷asciw ¾a funkcji f na przedziale [a; b] nazywamygranic¾e Z b

a

f (x) dxdef= lim

�!a+

Z b

�

f (x) dx;

przy za÷o·zeniu, ·ze powy·zsza granica istnieje i jest skonczona.Ca÷k¾e niew÷asciw ¾a z funkcji nieograniczonej na przedziale ograniczonym nazywamy ca÷k ¾a

niew÷asciw ¾a drugiego rodzaju. Je·zeli ca÷ka ta istnieje, to mówimy, ·ze jest zbie·zna, w przeci-wnym wypadku mówimy, ·ze jest rozbie·zna.

Przyk÷ad 6.39 Ca÷kaR 10dxx� jest zbie·zna dla � < 1 i rozbie·zna dla � � 1.

Je·zli istniej ¾a ca÷ki niew÷asciwe drugiego rodzaju funkcji f na przedzia÷ach [a0; a1], [a1; a2],:::,[an�1; an],to przyjmujemy Z an

a0

f (x) dx =nXi=1

Z ai

ai�1

f (x) dx:

7 SzeregiDe�nicja 7.1 Niech b¾edzie dany ci ¾ag (an) liczb rzeczywistych. Ci ¾agiem sum cz ¾esciowychodpowiadaj ¾acych ci ¾agowi (an) nazywamy ci ¾ag (sn), gdzie

sn = a1 + :::+ an:

Szeregiem o wyrazie ogólnym an nazywamy par¾e uporz ¾adkowan ¾a ((an) ; (sn)) i oznaczamyprzez

1Xn=1

an:

De�nicja 7.2 Mówimy, ·ze szeregP1

n=1 an jest zbie·zny, je·zeli zbie·zny jest ci ¾ag sum cz ¾es-ciowych (sn) dla ci ¾agu (an). Je·zeli s = lim

n!1sn, to s nazywamy sum ¾a szeregu

P1n=1 an i

piszemy

s =1Xn=1

an.

Mówimy, ·ze szeregP1

n=1 an jest rozbie·zny, je·zeli ci ¾ag sum cz ¾esciowych (sn) dla ci ¾agu (an)jest rozbie·zny.

27

7. SZEREGI

Twierdzenie 7.3 (Warunek konieczny zbie·znosci szeregów) Je·zeli szereg1Pn=1

an jest

zbie·zny, to limn!1

an = 0.

Twierdzenie 7.4 Je·zeli szereg1Pn=1

an jest zbie·zny do a oraz szereg1Pn=1

bn jest zbie·zny do

b, to wówczas szeregi1Pn=1

(an + bn) oraz1Pn=1

�an s ¾a zbie·zne (� 2 R jest dowoln ¾a liczb ¾a) przyczym

1Xn=1

(an + bn) = a+ b;

1Xn=1

�an = �a:

Twierdzenie 7.5 (kryterium porównawcze) Za÷ó·zmy, ·ze dla prawie wszystkich n za-chodzi nierównosc

0 � an � bn:

� Je·zeli szeregPbn jest zbie·zny, to szereg

Pan jest zbie·zny.

� Je·zeli szeregPan jest rozbie·zny, to szereg

Pbn jest rozbie·zny.

De�nicja 7.6 Szeregiem harmonicznym rz ¾edu � nazywamy szereg postaci

1Xn=1

1

n�:

Twierdzenie 7.7 Szereg harmoniczny1Pn=1

1n� jest:

� zbie·zny, gdy � > 1;

� rozbie·zny, gdy � � 1:

Twierdzenie 7.8 (kryterium d�Alemberta) Za÷ó·zmy, ·ze an > 0 dla ka·zdego n i niech

g = limn!1

an+1an

:

� Je·zeli g < 1, to szereg1Pn=1

an jest zbie·zny.

� Je·zeli g > 1, to szereg1Pn=1

an jest rozbie·zny.

Twierdzenie 7.9 (kryterium Cauchy�ego) Za÷ó·zmy, ·ze an � 0 dla ka·zdego n i niech

g = limn!1

npan:

� Je·zeli g < 1, to szeregP1

n=1 an jest zbie·zny.

� Je·zeli g > 1, to szeregP1

n=1 an jest rozbie·zny.

28

7. SZEREGI

Uwaga 7.10 Je·zeli an > 0 dla ka·zdego n i limn!1

an+1an

= g, to limn!1

npan = g (granica g mo·ze

byc niew÷asciwa). Przyk÷ad ci ¾agu 1; 1; 12 ;12 ;

14 ;

14 ; ::: wskazuje, ·ze istnieje granica lim

n!1npan

(=p22 ) mimo, ·ze nie istnieje granica lim

n!1an+1an: Jesli wi¾ec szereg spe÷nia za÷o·zenia kryterim

d�Alemberta, to spe÷nia te·z za÷o·zenia kryterium Cauchy�ego.

Twierdzenie 7.11 (Leibniza) Je·zeli ci ¾ag (an) spe÷nia warunki:

1. a1 � a2 � a3 � :::: � 0;

2. limn!1

an = 0,

to szereg1Pn=1

(�1)n an jest zbie·zny.

Przyk÷ad 7.12 Szereg1Pn=1

(�1)n 1n jest zbie·zny (jest to tzw. szereg anharmoniczny)

De�nicja 7.13 Mówimy, ·ze szereg1Pn=1

an jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny, gdy szereg1Pn=1

janj

jest zbie·zny. Mówimy, ·ze szereg1Pn=1

an jest warunkowo zbie·zny, gdy jest zbie·zny, ale nie

jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny.

Twierdzenie 7.14 Je·zeli szereg1Pn=1

an jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny, to jest zbie·zny.

Przyk÷ad 7.15 Szereg1Pn=1

(�1)n 1n jest warunkowo zbie·zny.

Twierdzenie 7.16 (o mno·zeniu szeregów) Je·zeli szeregPan jest bezwzgl ¾ednie zbie·zny

i szeregPbn jest zbie·zny, to szereg

Pcn, gdzie

c1 = a1b1;

c2 = a2b1 + a1b2;

c3 = a3b1 + a2b2 + a1b3;

:::

cn = anb1 + an�1b2 + :::+ a2bn�1 + a1bn

::

jest te·z zbie·zny, przy czym Xan �

Xbn =

Xcn:

Uwaga 7.17 Wyst¾epuj ¾acy powy·zej szeregPcn nazywamy iloczynem szeregów

Pan iP

bn.

Twierdzenie 7.18 (Cauchy � Maclaurina) Niech f : [a;1)! R b ¾edzie funkcj ¾a nieu-jemn ¾a, nierosn ¾ac ¾a i ca÷kowaln ¾a na ka·zdym przedziale [a; �], dla � > a. Ca÷ka

R1af (x) jest

zbie·zna wtedy i tylko wtedy, gdy szeregP1

n=1 f (a+ n) jest zbie·zny.

29

8. CI ¾AGI I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POT ¾EGOWE

8 Ci ¾agi i szeregi funkcyjne. Szeregi pot ¾egowe

8.1 Ci ¾agi funkcyjneNiech F oznacza zbiór funkcji f : X ! R, gdzie X � R. Ci ¾agiem funkcyjnym nazywamyka·zdy ci ¾ag (fn) funkcji ze zbioru F , tzn. dla ka·zdego n 2 N jest przyporz ¾adkowana pewnafunkcja fn : X ! R. Dla przyk÷adu

fn (x) = nx; gn (x) = 1 + xn; hn (x) =

px sinnx:

De�nicja 8.1 Mówimy, ·ze ci ¾ag funkcyjny (fn), fn : X ! R, jest zbie·zny punktowo dofunkcji f : X ! R, je·zeli dla ka·zdego x 2 X zachodzi równosc

limn!1

fn (x) = f (x) :

Piszemy wtedy fn ! f .

De�nicja 8.2 Mówimy, ·ze ci ¾ag (fn) funkcji f : X ! R jest jednostajnie zbie·zny dofunkcji f : X ! R, je·zeli ^

">0

_k2N

^n>k

^x2X

jfn (x)� f (x)j < ":

Piszemy wówczas fn � f .

Uwaga 8.3 Zauwa·zmy, ·ze je·zeli ci ¾ag (fn) jest zbie·zny jednostajnie do funkcji f , to jest te·zzbie·zny punktowo do f . Odwrotnie byc nie musi. Ci ¾ag fn (x) = 1

nx jest zbie·zny punktowodo funkcji sta÷ej f (x) = 0 dla x 2 R, ale nie jest to zbie·znosc jednostajna. Niech " = 1.Wówczas dla dowolnego n 2 N mamy

fn (("+ 1)n) =1

n("+ 1)n = "+ 1 � ":

Twierdzenie 8.4 Je·zeli ci ¾ag (fn) funkcji ci ¾ag÷ych fn : X ! R jest jednostajnie zbie·zny dofunkcji f : X ! R, to f jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a.

De�nicja 8.5 Niech (fn) b ¾edzie ci ¾agiem funkcyjnym fn : X ! R. Ci ¾agiem sum cz ¾es-ciowych dla ci ¾agu (fn) nazywamy ci ¾ag funkcyjny (un)

un (x) = f1 (x) + :::+ fn (x) :

Szeregiem funkcyjnymPfn o wyrazie ogólnym fn nazywamy par¾e uporz ¾adkowan ¾a ((fn) ; (un)),

gdzie (un) jest ci ¾agiem sum cz ¾esciowych dla ci ¾agu (fn). Mówimy, ·ze szereg funkcyjnyPfn

jest zbie·zny, je·zeli dla ka·zdego x 2 X ci ¾ag (un (x)) jest zbie·zny do pewnej liczby f (x).Funkcj ¾e f nazywamy wtedy sum ¾a szeregu

Pfn i piszemyX

fn (x) = f (x) :

Mówimy, ·ze szereg funkcyjnyPfn jest zbie·zny jednostajnie do funkcji f : X ! R, je·zeli

ci ¾ag sum cz ¾esciowych (un) jest jednostajnie zbie·zny na X do funkcji f .

Twierdzenie 8.6 Suma jednostajnie zbie·znego szeregu funkcji ci ¾ag÷ych jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a.

30

8. CI ¾AGI I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POT ¾EGOWE

Twierdzenie 8.7 (Weierstrassa) Je·zeli szeregPan jest zbie·zny i dla (prawie) ka·zdego

n spe÷niona jest nierównosc ^x2X

jfn (x)j � an;

to szereg funkcyjnyPfn jest zbie·zny jednostajnie i bezwzgl ¾ednie.

8.2 Szeregi pot ¾egoweDe�nicja 8.8 Szeregiem pot ¾egowym o wyrazie ogólnym an nazywamy szereg postaci

a0 + a1x+ a2x2 + :::+ anx

n + ::: =1Xn=0

anxn;

przy czym przyjmujemy, ·ze 00 = 1.

Uwaga 8.9 Szereg pot¾egowyPanx

n jest zawsze zbie·zny dla x = 0 � jego suma równa si¾ewtedy a0.

Twierdzenie 8.10 Je·zeli szereg pot ¾egowyPanx

n jest zbie·zny dla pewnego x0 2 R, to jestzbie·zny dla wszystkich x takich, ·ze jxj < jx0j.

De�nicja 8.11 Promieniem zbie·znosci szeregu pot ¾egowegoPanx

n nazywamy liczb ¾e

r = supfjx0j : szereg1Xn=0

anxn0 jest zbie·znyg

W szczególnosci, jesli r = +1, to szereg pot ¾egowy jest zbie·zny dla ka·zdego x; gdy zas r = 0,to jest zbie·zny tylko dla x0 = 0. Przedzia÷(�r; r) nazywamy przedzia÷em zbie·znosci szeregu(gdy r = +1, to przedzia÷em zbie·znosci jest R).

Twierdzenie 8.12 Szereg pot ¾egowy jest jednostajnie i bezwzgl ¾ednie zbie·zny w ka·zdym przedzialedomkni ¾etym po÷o·zonym wewn ¾etrz przedzia÷u zbie·znosci.

Wniosek 8.13 Ka·zdy szereg pot ¾egowy jest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a w przedziale (�r; r), gdzie r jestjego promieniem zbie·znosci.

Twierdzenie 8.14 (Hadamarda-Cauchy�ego) Je·zeli

g = limn!1

npjanj lub g = lim

n!1

����an+1an

���� ;to promien zbie·znosci szeregu pot ¾egowego

Panx

n jest równy

r =

8<:+1; g = 01g ; 0 < g < +10; g = +1:

Twierdzenie 8.15 Ka·zdy szereg pot ¾egowy jest funkcj ¾a ró·zniczkowaln ¾a wewn ¾atrz przedzia÷uzbie·znosci, przy czym 1X

n=0

anxn

!0=

1Xn=1

nanxn�1:

31

8. CI ¾AGI I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POT ¾EGOWE

Twierdzenie 8.16 Ka·zdy szereg pot ¾egowy jest funkcj ¾a ca÷kowaln ¾a wewn ¾atrz przedzia÷u zbie·znosci,przy czym Z x

0

1Xn=0

antn

!dt =

1Xn=1

an�1xn

n

Twierdzenie 8.17 (Abela) Szereg pot ¾egowy zbie·zny w jednym z kranców przedzia÷u zbie·znoscijest funkcj ¾a ci ¾ag÷¾a (jednostronnie) w tym punkcie.

8.3 Szeregi TayloraDe�nicja 8.18 Za÷ó·zmy, ·ze funkcja f ma w punkcie x0 pochodn ¾a rz ¾edu n 2 N. Wielomian

fn;x0 (x) = f (x0) +f 0 (x0)

1!(x� x0) +

f 00 (x0)

2!(x� x0)2 + :::

:::+f (n) (x0)

n!(x� x0)n

=nXk=0

f (k) (x0)

k!(x� x0)k

nazywamy wielomianem Taylora rz ¾edu n funkcji f w punkcie x0. Je·zeli x0 = 0, towielomian ten nazywamy wielomianem Maclaurina

fn;0 (x) =nXk=0

f (k) (0)

k!xk:

Twierdzenie 8.19 (wzór Taylora z reszt ¾a Lagrange�a) Je·zeli funkcja f jest n krotnieró·zniczkowalna na przedziale [x0; x], to istnieje c 2 (x0; x), ·ze

f (x) = fn�1;x0 (x) +Rn;x0 (x) :

gdzie

Rn;x0 (x) =f (n) (c)

n!(x� x0)n

� jest to tzw. n-ta reszta Lagrange�a. Zatem

f (x) = f (x0) +f 0 (x0)

1!(x� x0) +

f 00 (x0)

2!(x� x0)2 + :::

:::+f (n�1) (x0)

(n� 1)! (x� x0)n�1 +f (n) (c)

n!(x� x0)n :

Uwaga 8.20 Reszt¾e Lagrange�a mo·zna zapisac w nast¾epuj ¾acej postaci: je·zeli h = x � x0,to

Rn;x0 (x) =f (n) (x0 + �h)

n!hn;

gdzie � 2 (0; 1).

Je·zeli x0 = 0, to otrzymujemy tzw. wzór Maclaurina

f (x) = f (0) + f 0 (0)x+ :::+f (n�1) (0)

(n� 1)! xn�1 +

f (n) (�x)

n!xn:

32

8. CI ¾AGI I SZEREGI FUNKCYJNE. SZEREGI POT ¾EGOWE

Uwaga 8.21 Je·zeli limn!1

Rn;x0 (x) = 0 na pewnym otoczeniu punktu x0, to wówczas ze

wzoru Taylora dostajemy

f (x) =1Xn=0

f (n) (x0)

n!(x� x0)n :

Jest to tzw. rozwini¾ecie w szereg Taylora funkcji f w otoczeniu punktu x0. W szczegól-nosci, jesli we wzorze Maclaurina lim

n!1Rn;0 (x) = 0 na otoczeniu 0, to

f (x) =1Xn=0

f (n) (0)

n!xn

� rozwini¾ecie funkcji f w szereg Maclaurina.

Przyk÷ad 8.22 Przyk÷adowe rozwini¾ecia funkcji w szereg Maclaurina:

1.

ex =1Xn=0

xn

n!;

2.

sinx =1Xn=0

(�1)n x2n+1

(2n+ 1)!;

3.

cosx =1Xn=0

(�1)n x2n

(2n)!;

4.

ln (x+ 1) =1Xn=1

(�1)n+1 xn

n; jxj < 1;

5.

(1 + x)�=

1Xn=0

� (�� 1) ::: (�� n+ 1)n!

xn; jxj < 1:

33