ETSEIB

ÀLGEBRA LINEAL - SOLUCIONS DELS PROBLEMES

Tardor 2018

Unitat 1

1.1 Nombres complexos

1. −z és el vector oposat a z. z−1 = z és la reflexió de z respecte l’eix real.

2. (a) 29. (b) 12 + 4√

3 + (12 − 4√

3)i. (c) 3−√

32 +

3+√

32 i. (d)

12 +

√3

2 i. (e)272 +

792 i. (f)

6345525 +

3885525i.

3. 3√

2 + 3√

2i, 2 − 2√

3i, −5, 3i.

4. (a) 1 + 7i. (b) 325 +425 i. (c) −4 − 5i. (d) 24 − 32i. (e) − i3 . (f) − 122025 + 92025i.

5. −32 .

6. 4√

2e−π

4i, 2

√3e

π

3i, 4

√3e

π

6i, 4

√2e

π

4i, 2

√3e

2π

3i, 4

√3e−

5π

6i,√

2eπ

4i,√

6eθi amb θ = π−arctg 1√5

=

2.721, 2eπ

6i.

7.√

2−3π/4, 2√

23π/4, 128π/3, 16−2π/3, (481)5π/6.

8. (a) −118 − 31√

3i. (b) −8i. (c) 8i. (d) −64√

3 + 64i.

9. (a)√

22 +

√2

2 i, −√

22 −

√2

2 i. (b)√

32 +

i2 , −

√3

2 +i2 , −i. (c) 32 +

√3 + (1− 32

√3)i. (d) 12 +

√3

2 i.

(e) 0. (f) ±225i. (g) 8 + 8√

3i, 8 − 8√

3i, −16.

10. (a) ±1, ±i, ±√

22 ±

√2

2 i. (b) ±(√

2+√

22 −

√2−

√2

2 i

)

, ±(√

2−√

22 +

√2−

√2

2 i

)

. (c) 1.059 −0.168i, 0.487+0.955i, −0.778+0.778i, −0.955−0.487i, 0.168−1.059i (es pot posar en formaexacta...). (d) ±

√3

2 ± i2 , ±i.

11. (a) 1.618± 0.588i, −0.618± 1.902i, −2 (admet forma exacta utilitzant cos π5 = 1+√

54 , sin

π5 =√

5−√

58 ). (b) 0, −12 ±

√3

2 i. (c) ±12 ±√

32 i.

12. (a) 1, i,−1,−i sumen 0. (b) Les arrels n-èsimes de z ∈ C són les arrels del polinomi xn − z.Si aquestes són z1, z2, · · · , zn:

xn − η = (x− z1)(x− z2) · · · (x− zn) = xn − (z1 + z2 + · · ·+ zn)xn−1 + · · ·+ (−1)nz1z2 · · · zn.

Comparant els polinomis ha de ser z1 + z2 + · · ·+ zn = 0 i z1z2 · · · zn = −(−1)nz.

13. (a) Si z = rθ, 4√

rθ =4√

rθ/4,4√

rθ/4+π/2,4√

rθ/4+π,4√

rθ/4+3π/2. El seu producte val rθ+π = −z.(b) Com s’ha vist en el problema 12(b): z1z2 · · ·zn = −(−1)nz.

1

14. Ha de ser |z| = 1 i z6 = 1: ±1, ±12 ±√

32 i.

15. −52 .

16. α = 43 , β =32 o α = −43 , β = −32 .

17. (a) Les dues rectes y = ± x√3. (b) Semiplà per sota de la recta y = x. (c) Interior de la

paràbola y = x2.

18. z = 3+5√

32 +

√3−12 i o z =

3−5√

32 −

√3+12 i.

19. z1 = 2, z2 = 1 + i o z1 = 1 − i, z2 = 2.

20. A = (3, 2), C = (1, 4).

21. C = (2√

2, 4√

2) o C = (4√

2,−2√

2).

22. z = 2√

2i o z = −2√

2i.

1.2 Polinomis

1. En p1 i en p2 és triple. En p3 és quàdruple

2. p: a = −5, triple. q: a = 12, triple.

3. Cap valor.

4. x4 − 4x3 + 30x2 − 100x + 25.

5. t2(t − 2)2(t − 259 ).

6. 6 − 203 t + t2 + t3 − 724t4.

7. t5 + 254 t4 + 10t3 − 10t2 − 40t + 10.

8. (a) Q: t4 − t2 − 2, R: (t −√

2)(t +√

2)(t2 + 1), C: (t −√

2)(t +√

2)(t − i)(t + i). (b) Q:(t− 1)(t + 1)(t2 + 2), R, C: (t− 1)(t + 1)(t−

√2)(t +

√2). (c) Q, R: (t− 1)(t + 1)(t2 + 1), C:

(t − 1)(t + 1)(t− i)(t + i). (d) Q, R, C: (t − 3)2(t + 2)2.

9. (a) mcd = (t−1)2, mcm = (t−1)2t2(t−2)(t−3). (b) mcd = t−1, mcm = (t−1)2(t−2)2(t+1)(t2 +1). (c) mcd = t−2, mcm = t(t−2)2(t−1)(t+3)(t2 +1). (d) mcd = 1, mcm = p4 · q4.

10. (a) P (2) = P ′(2) = P ′′(2) = 0, P ′′′(2) = 42. 2 és arrel triple. (b) R: (x− 2)3(x2 + x + 1), C:(x − 2)3(x + 12 −

√3

2 i)(x +12 +

√3

2 i).

11. λ = µ = 2.

12. No té arrels múltiples.

13. p(x) = 8+ 23(x− 1)+ 33(x− 1)2 + 25(x− 1)3 + 9(x− 1)4 + (x− 1)5. Resta: 33x2 − 43x+ 18.

14. m = −1 (arrel comú: 2).

15. P (x) = (x2 + 2x − 1)(x2 − 2x + 5).

16. P (x) = 116 (5x7 − 21x5 + 35x3 − 35x).

17. (a) (n2 + 3n − 3)x − n2 − 2n + 3. (b) P (1) = P ′(1) = P ′′(1) = 0.

18. (a) x + 3. (b) −x2 + 2x + 1.

2

19. (a) Ha de ser a = r5, b = r3 amb r real no nul. (b) mcd = x − r, mcm = x7 + rx6 + r2x5 −r5x2 − r6x − r7. (c) mcd = x − 2, mcm = x7 + 2x6 + 4x5 − 32x2 − 64x − 128.

20. (a) mcd = x − 2, mcm = x4 − 5x3 + 9x2 − 8x + 4, P1 = 13 , Q1 = −13 (x + 1).(b) mcd = (x− 1)3, mcm = (x − 1)4(x + 1)(x− 3), P1 = 16 , Q1 = −16 (x + 2).(c) mcd = 1, mcm = (x− 1)3(x − 3)2(x + 2), P1 = − 17400x, Q1 = 17400x3 + 350x2 + x400 + 29200 .

21. (a) P ′(x) = 3x2 + 2x − 8 = 3(x − 43)(x + 2). (b) −2 és arrel de P (doble, per tant).P (x) = (x − 3)(x + 2)2. (c) x + 2. (d) P1 = − 950 , Q1 = 350x + 150 .

1.3 Matrius

1.

(

42 10 −7 433 12 27 86

)

. La primera no és possible i la segona śı.

2. Per files:

A ∼

8 −5 −130 1 −160 0 492

, B ∼

0.2 1.1 3.2

0 −4.9 −15.70 0 −2.14690 0 0

, C ∼

0.8 −0.5 −1.3 2.40 −1.4 −2.9 −2.10 0 0.9875 −3.5375

.

3.

4. Veure que queden igual al transposar.

5. Denotem com T kn , k = 0, 1, · · · , n, el conjunt de matrius quadrades d’ordre n amb tot zerosexcepte les n − k últimes diagonals superiors. T 0n són les triangulars superiors, T 1n són lestriangulars superiors estrictes,..., T nn = {0}. Es demostra que al multiplicar matrius de T knper matrius de T ln s’obtenen matrius de T

k+ln . La matriu A del problema pertany a T

1n d’on

An pertany a T 1+1+···+1n = Tnn = {0}.

6. rang A = 3. rang B = 2. rangC = 3. rang D = 2.

7. rang A = 3. rang B = 4. rangC = 5. rang D = 3.

8. α 6= 0 i β 6= α: rang = 3. α = 0 i β = 0: rang = 0. α = 0 i β 6= 0: rang = 2. α = β 6= 0:rang = 1.

9. 2.

10. |A| = 17, |A−1| = 117 , |An| = 17n.

11. |A| = 30, |B| = 0, |C| = −1, |D| = 32.

12. |A| = 14, |B| = −6, |C| = −4, |D| = 1.

13. |A| = −12, |B| = 12.

14. Prenent determinants arribem a |B| = (−1)n|B| = −|B| d’on |B| = 0.

15. Prenent determinants arribem a |A|p = 0 d’on |A| = 0.

16. Fem c5 + 10c4 + 100c3 + 1000c2 + 10000c1 i treiem a fora un factor 13 de c5.

17. (a) 1. (b) 131. (c) (x − 1)3(x + 3). (d) 0. (e) 0. (f) 0.

18. |A(t)| = t4 − 12t2 + 16. |B(t)| = t5 − 7t3 + 6t2 + 3t − 2.

3

19.

20.

21. |B| = 5, |C| = 15.

22. A i C.

23. A−1 = 15

−3 4 6−4 2 13

2 −1 −4

, B−1 = 5

−3 4 6−4 2 13

2 −1 −4

, C−1 = 150

−3 4 6−4 2 13

2 −1 −4

.

24. A−1 =

1 −1 01 2 −1

−1 −1 1

, B−1 = 103

−5 2 110 −7 1−4 4 −1

,

C−1 = 15

4 −1 −1 −1−1 4 −1 −1−1 −1 4 −1−1 −1 −1 4

, D−1 = 13

3 3 −1 −70 3 −2 10 0 1 1

0 0 −1 −2

.

25. A−1 = 120

−5 −15 0 −103 7 2 10

7 13 −12 106 4 −6 0

,

C−1 = 184

−7 12 23 −4 107 24 −17 −8 20

49 36 −29 16 214 24 −10 20 −870 72 −44 4 −10

, D−1 = 125

18 −6 0 17 −2−25 0 −25 −25 25−9 3 0 −21 1

−11 12 0 −9 4−13 −4 0 −22 7

.

26. Per α 6= 1, A−1 =

2α−1α−1 − 1α−1 −1

− 1α−1 1α−1 0−1 0 1

.

27. Invertible per a 6= −1. En aquest cas: A−1 = 1a+1

1 −2 0 1−a a − 1 0 1a 2 0 −1

−2a − 2 −a − 1 a + 1 0

.

28. A−1 =

−1 −i ii 0 1

−i 1 0

.

29. Multiplicar per caixes.

30. |A| = |P | · |Q|. la inversa es troba operant per caixes.

4

1.4 Sistemes lineals

Nota: g designa els graus de llibertat d’un SCI.

1. SCI, g = 1. x = −1 − 3z, y = 2 + 2z, z = z.SCI, g = 2. x = −7z − 5z, y = 5z + 4t, z = z, t = t.SCI, g = 2. x1 = 1 − 2x4 − 32x5, x2 = 23 − 113 x4 − 32x5, x3 = 13 − 73x4 − 12x5, x4 = x4, x5 = x5.

2. Només és compatible per λ = 4. En aquest cas, SCI, g = 1, x = x, y = 1 − 34x, z = 1− x4 .

3. SCD. x = 140(−9a + b + c + 11d), y = 140(a + b + 11c − 9d), z = 140(a + 11b − 9c + d),t = 140(11a − 9b + c + 11d).

4. ω = 1:

a 6= b, SI.a = b, SCI, g = 2, x = a − y − z, y = y, z = z.ω 6= 1 (és a dir, ω = −12 ±

√3

2 i):

SCD, x = a3 +23b, y = z =

a3 − b3 .

5. (a)

a = 1, b 6= 1, SI.a = 1, b = 1, SCI, g = 3, x = 1 − y − z − t, y = y, z = z, t = t.a = −3, b 6= −1, SI.a = −3, b = −1, SCI, g = 1, x = t − 12 , y = t, z = t − 12 , t = t.a 6= 1,−3, SCD.x = −b

3−b2−b+a+2(a−1)(a+3) , y =

−b3−b2+(a+2)b−1(a−1)(a+3) , z =

−b3+(a+2)b2−b−1(a−1)(a+3) , t =

(a+2)b3−b2−b−1(a−1)(a+3) .

(b)

a = b = c 6= 1, SI.a = b = c = 1, SCI, g = 2, x = 1 − y − z, y = y, z = z.a = b 6= c:a 6= 1 i c 6= 1, SI.a = 1 i c 6= 1, SCI, g = 1, x = 1 − y, y = y, z = 0.a 6= 1 i c = 1, SCI, g = 1, x = −y, y = y, z = 1.(els casos a = c 6= b, b = c 6= a es fan de manera similar.)a, b, c diferents, SCD. x =

(b−1)(c−1)(b−a)(c−a) , y =

(a−1)(c−1)(a−b)(c−b) , z =

(a−1)(b−1)(a−c)(b−c) .

6. n 6= 1: SCD, x1 = 0, x2 = a1, · · · , xn+1 = an.n = 1: SCI, g = 1, x1 = a1 − x2, x2 = x2.

7. X =

(92

114

152

94

)

, Y =

(

−12 54−3 52

)

.

8. SCI, g = 1, x1 =2−31x4

11 , x2 =3+43x4

11 , x3 =5−17x4

11 , x4 = x4.

SCI, g = 1, x1 =13+7x4

5 , x2 = −6+2x4

5 , x3 = −2 − x4, x4 = x4.SCI, g = 2, x1 =

43 − 23x4 − 56x5, x2 = −16 − x46 + 23x5, x3 = 13fr + 43x4 + x56 , x4 = x4, x5 = x5.

5

9. (a) SCD, x1 = 1, x2 = x3 = 0. (b) SCI, g = 1, x1 = x3, x2 = 1 − 2x3, x3 = x3. (c) SCI,g = 3, x1 = x1, x2 = 1 + x1 − x5, x3 = x6, x4 = 1 + x5, x5 = x5, x6 = x6.

10. a 6= 0: SCD, X = 14

0 a − 2b + c0 −2a + 2c4a 7 +

2b−5ca

.

a = 0: SI.

11. a 6= b: SCD, X = 1b−a

(

0 b −a0 −1 1

)

.

a = b: SI.

12. (a) X = 1b−a

(

1 0

−1 1

)

.

(b) X =

(

1 − 2z −1 + z z1 − 2v 2 − v v

)

, z, v ∈ R.

(c) Cap solució.

(d) X =

(

−14 + z2 74 − 32z z54 +

v2 −34 − 32v v

)

, z, v ∈ R.

13. α 6= 1,−2: X = 1α+2

(

−1 − α 1 (α + 1)21 1 1

)

.

α = 1: X =

(

1 − y − z y z1 − u − v u v

)

, x, y, u, v ∈ R.

α = −2: SI.

14. (a) X = 15

(

6 −17−37 14

)

, Y = 15

(

12 6

6 3

)

.

(b) X =

(

28 5

−11 −2

)

, Y =

(

6 1

0 0

)

.

15. És SCD.

16. Falta la figura...

Si els nodes entrants són E1, E2, E3 i els nodes sortints S1, S2, S3, sembla que la xarxa interna

seria:

E1 → S3 (x1), S3 → E3 (x6), E3 → S2 (x5), S2 → E2 (x4), E2 → S1 (x3), S1 → E1 (x2).∑

αi =∑

βi si es conserva el flux en cada node. La distribució interna no és única ja que

la xarxa interna forma un camı́ tancat. Si sumen una constant igual a cada ĺınia internaobtenim una nova solució.

És un SCI amb g = 1. La solució és x6 = x6, x5 = x6 + α3, x4 = x6 + α3 − β2, x3 =x6 + α3 − β2 + α2, x2 = x6 + α3 − β2 + α2 − β1, x1 = x6 + α3 − β2 + α2 − β1 + α1.Amb els valors donats: x6 = x6, x5 = x6 + 80, x4 = x6 − 70, x3 = x6 + 60, x2 = x6 + 10,x1 = x6 + 100.

Si volem xi ≥ 0, podem prendre x6 = 70.

17. T1 = −70, T2 = −40, T3 = −60, T4 = −30.

6

18. P1 = 23, P2 = 120, P3 = 40.

19. 12.5% P1, 75% P2, 12.5% P3.

7

Unitat 2

2.1 Espais vectorials

Nota: ei, i = 1, . . . , n, denoten els vectors de la base canònica de Rn, Bc = {e1, . . . , en}.

1. (a) l.i. (b) l.i. (c) l.d. (rang = 4).

2. Per exemple, w1 = (1, 0, 0), w2 = (0, 0, 1). Els quatre vectors són l.d. (en R3 no podem tenir

4 vectors l.i.).

3. (a) Per exemple, w1 = (1, 0, 0, 0), w2 = (0, 0, 0, 1). (b) Per exemple, w1 = (1, 0, 0, 0), w2 =

(0, 0, 1, 0).

4. a = 0, a = 1 i a = −1.

5. (a) rang = 2. Podem triar {v1, v2}. (b) Per exemple, {v1, v2, e1, e2}

6. (a) Són generadors per a tot α (rang = 3). (b) Per α 6= 0, {v1, v2, v3}. Per α = 0, {v2, v3, v4}.

7. Els polinomis (x − α1)2, (x − α2)2, (x − α3)2, amb α1, α2, α3 diferents són l.i. i , per tant,base de l’espai vectorial de dimensió 3 R2[x]. Llavors tot polinomi de grau 2 és combinació

d’ells.

8. Treballant en la base canònica s’arriba a un determinant de Vandermonde que és no nul siles ai són tottes diferents.

9. (a) (1, 2, 3)B1, (2, 1, 0)B2. (b) (α, β, γ)B1, (−α+β+γ

2 ,α−β+γ

2 ,α+β−γ

2 )B2.

10. (a) (3, 3, 1). (b) Taylor.

11. (a) (1, 2, 3, 4)B1, (−8, 2, 3, 4)B2, ( 52 , 52 ,−12 ,−1)B3. (b) (α, β, γ, δ)B1, (α − β − γ − δ, β, γ, δ)B2,(α+δ2 ,

β+γ2 ,

α+β+γ−δ4 ,

α+β−γ−δ4 )B3.

12. Bc = {1, t, t2}.

(a) B1 → Bc, C1 =

0 1 0

1 0 1

0 1 1

. Bc → B1, C−11 =

1 1 −11 0 0

−1 0 1

.

(b) B2 → Bc, C2 =

−1 0 00 2 0

0 1 1

. Bc → B2, C−12 =

−1 0 00 1/2 0

0 −1/2 1

.

(c) B1 → B2, C−12 C1 =

−1 −1 01/2 0 1/2

−1/2 1 1/2

.

(d) (1, 1, 0)B1, (−1, 12 , 12 )B2.

13. (a)

x = 1

y = 2

2x + 4y + z = 1

(b) AC

x

y

z

= b.

14. (a) 3 dies. (b) 4 dies. (c) Combinant les 3 (αP1+βP2 +γP3) s’obté un SCI. La solució òptimaés α = 2, β = 2, γ = 1, que correpon a 2 dies.

8

15. (a) A partir de u1, u2, u3 els sis àtoms de l’exàgon inferior són: u1,−u2,−u1−u2,−u1, u2, u1+u2. Per l’exàgon superior: u1 + u3,−u2 + u3,−u1 − u2 + u3,−u1 + u3, u2 + u3, u1 + u2 + u3.En coordenades:

Inferior: (1, 0, 0), (0,−1, 0), (−1,−1, 0), (−1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0).Superior: (1, 0, 1), (0,−1, 1), (−1,−1, 1), (−1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1).(b) u1 = (3, 0, 0), u2 = (−32 ,−32

√3, 0), u3 = (0, 0, 4.8).

(c) v = u14 +u22 +

u36 , w =

u12 +

u22 +

u33 . ‖v‖ = 1.525, ‖w‖ = 2.193.

2.2 Subespais vectorials

1. (a) F śı, G no. (b) F i G śı. (c) F śı, G no. (d) F śı, G no.

2. (a) {v1, v2, v3}. (b) {v1, v2}. (c) {v1, v2}.

3. (a) dim = 3, {v1, v2, v3}. (b) dim = 3, {v1, v2, v3}. (c) dim = 2, {v1, v2}.

4. dimF = 3, dimG = 4, dim H = 3.

5. dimF = 2, dimG = 2.

6. (Nota: hi ha moltes maneres de triar una base)

(a) {(1, 0, 0, 0), (0, 1,−1, 0), (0, 1, 0,−1)}.(b) {(1,−1, 0, 0), (0, 0, 2, 1)}.(c) Raonant per Taylor: {(t − 1)2, (t− 1)3}. Amb equacions: {1 − 2t − t2, 2− 3t + t3}.

(d) {(

1 0

0 −1

)

,

(

0 1

0 0

)

,

(

0 0

1 0

)

}.

(e) {(0, 0, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (0, 3, 0, 1)}.(f) {(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1)}.(g) {t2 − t3, 1 + t − t2}.

(h) {(

1 0

0 0

)

,

(

0 1

1 0

)

,

(

0 0

0 1

)

}.

7. dimF = 0, dimG = 3, dim H = 3.

8. dimF1 = 3, dim F2 = 8, dimF3 = 7.

9. (a) U = {(x, y, z, t) | 2x + y + z = 0, −3y + 5z + 2t = 0}.(b) V = {(x, y, z, t) | y = 2x, z = 0, t = x}.(c) F = {a+ bx+ cx2 +dx3 | c = 3a, b = 0, d = 0}. Alternativament, F = {p ∈ R3[x] | p′(0) =0, p′′′(0) = 0, 2p′′(0) = 3p(0)}.

(d) G = {(

a b

c d

)

| a + d = 0, b = 0, c = 0}.

(e) U = {(x, y, z, t) |x− y + 3z − t = 0}.(f) V = {(x, y, z, t) |x = 0}.(g) F = {a + bx + cx2 | 9a − 26b + 16d = 0}. Alternativament, F = {p ∈ R2[x] | 9p(0) −24p′(0) + 32p′′(0) = 0}.

(h) G = {(

a b

c d

)

| a− 4b + c + d = 0}.

9

10. (a) F = {(x, y, z, t) | − 3x + y + 5z + t = 0}.(b) {(1, 1, 0, 0), (1, 0,−1, 0), (1, 0, 0,−1)}.(c) F ∩G = {(x, y, z, t) | −3x+y +5z + t = 0, x−y +z + t = 0}, base {(3, 4, 1, 0), (1, 2, 0, 1)}.F + G = R4.

11. (a) dim F ∩ G = 0, dim F + G = 3.(b) {(1, 0, 2, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 2, 0, 1), (1, 0, 0, 0)} (dos vectors de F , un de G i un vector més).

12. (a) dim V1 = 2, B1 = {(1,−1, 0), (1, 0,−1)}. dimV2 = 1, B2 = {(1, 2, 3)}.(b) Veient que V1 ∩ V2 = {0} i dim(V1 + V2) = 3.v ∈ R3, v = v1 + v2 amb v1 ∈ V1 i v2 ∈ V2. Si v = (x, y, z) llavors:v1 = (

5x−y−z6 ,

x+y+z3 ,

x+y+z2 ). v2 = (

x+y+z6 ,

−x+2y−z3 ,

−x−y+z2 ).

13. E = F ⊕ G.(a) G =< (1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0) >.

(b) G =< t3 >.

(c) G =<

(

1 0

0 0

)

,

(

0 1

1 0

)

,

(

0 0

0 1

)

}. Alternativament, G = {A ∈ M2|A = At}

(d) G =< 1, t2 >.

(e) G = {0} (ja que F = E).

(f) G =<

(

0 1

1 0

)

>.

14. (a) No són l.i. F + G = M2.(b) Són l.i. F + G = M2.

2.3 Aplicacions lineals

1. (a) No. (b) Śı. (c) Śı. (d) No. (e) Śı. (f) Śı. (g) No. (h) Śı.

2. f(v) = 3u1 + 4u2 − 2u3 − 3u4, f(w) = u1 − u2 + u4. M =

0 0 −1 00 0 0 1

1 2 0 −10 0 1 0

.

3. ( 233 ,43 ,

203 ).

4. Mf =

1 0 1

1 1 2

0 1 3

. Mg =

2 1 0

−1 1 01 −1 1

. Mf+g =

3 1 1

0 2 2

1 0 3

.

Mf◦g =

3 0 1

3 0 2

2 −2 3

. Mg◦f =

3 1 4

0 1 1

0 0 2

. Mλf =

λ 0 λ

λ λ 2λ

0 λ 3λ

.

5. (a)

(

α β γ

α′ β′ γ ′

)

. (b)

−1 −1−1 1

1 0

0 1

. (c)

−1 0 00 0 0

0 0 1

. (d)

(2 12

13

).

10

(e)

2 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

−1 0 0 0

.

6.

1 3 −1 −1−1 2 1 1

2 1 −2 −23 0 −3 −3

.

7. (2, 2).

8. (a) −1. (b) (ad− bc)2

9. (a) . (b) Im f =< (1, 0, 1), (1, 1, 1) >, Ker f =< (2, 1,−1) >. (c) f no injectiva (Ker f 6= {0}).f no exhaustiva (Im f 6= R3). Per tant, no bijectiva.

10. (a) Mf =

(

2 −1 00 2 1

)

. Mg =

4 2

0 1

1 1

.

(b) Im g =< (4, 0, 1), (2, 1, 1) >, Ker f =< (1, 2,−4) >.(c) f exhaustiva, no injectiva. g injectiva, no exhaustiva.

11. (a) p 6= 1. (b) Si p = 1, Ker f =< (1, 0,−1) >. (c) Correspon a p = 1, Im f =<(2, 1, 0), (−1, 2, 2) >.

12. α 6= 1, 12 : dim Im f = 3, dimKer f = 0.α = 1: dim Im f = 2, dimKer f = 1.

α = 12 : dim Im f = 2, dimKer f = 1.

13. (a)

1 −1 −1 12 −1 −1 −33 −2 −2 −21 0 0 −4

. (b) dim Im f = 2, dimKer f = 2. Im f =< (1, 2, 3, 1), (1, 1, 2, 0) >,

Ker f =< (4, 5, 0, 1), (0,−1, 1, 0) >.

14. M : matriu en Bc, M′: matriu en base u.

(a) M =

2 3 −11 2 −10 1 2

, M ′ =

1 2 −10 3 0

−1 0 2

.

(b) M =

1 3 −11 0 1

0 1 1

, M ′ =

−2 0 −5−1 1 −2

0 1 3

.

(c) M =

−3 2 −11 −1 10 1 1

, M ′ =

−1 3 31 3 6

−2 −1 −5

.

(d) M =

4 1 −2−3 1 0

0 6 −7

, M ′ =

−7 −3 −8−11 −2 −14

5 1 7

.

11

15. (a)

(

1 6 −31 4 −2

)

. (b)

(

−13 83 30 23 1

)

. (c) ( 263 ,113 ).

16.

2 4 −40 0 0

−1 −2 2

, Im f =< (2, 0,−1) >.

17.

3/2 1/2 1/2

3/2 −3/2 −1/2−1 1 1

.

18.1

6

2 2 −8 −41 4 −1 13 0 9 −3

−2 −2 −10 4

.

19. (a)

(

0 1 0

0 0 2

)

. (b)

(

2 3 4

0 −1 −2

)

. (c) u′ → v′:(

−1/2 1/21/2 1/2

)

. v → u:

1 4 9

−2 −4 −61 1 1

.

(d) .

20. a 6= ±1.

21. (a)

3 0 0

1 −1 02 1 1

. (b)

1

4

9 17 21

1 1 1

2 −14 2

. (c) És bijectiva. En la base canònica: Mf−1 =

1/3 0 0

1/3 −1 0−1 1 1

. En la base u: M ′f−1 =

112

−4 82 10 6 −34 −40 2

. (d) .

22. g ◦ f és invertible (és la identitat). f ◦ g no és invertible (nucli diferent de {0}).

23. (a) Mf

1 2 0

0 −1 01/2 1 2

. Mg

1 1 2

0 1 0

−1/4 −7/4 −1/2

. (b) Mf◦g =

1 3 2

0 −1 00 −2 0

.

(c) És bijectiva. Mf−1 =

1 3 2

0 −1 00 −2 0

. (d) No. (e) No té antiimatges.

24. No és invariant.

25. Dimensió 1: < e1 >. Dimensió 2: < e1, e2 > o < e2, e4 >. Dimensió 3: < e1, e3, e4 >.

26. No és invariant.

27. dimKer f = 1 (Ker f =< (1, 0, 1) >).

28. Mf |F =

(

1 1

1 1

)

.

29. És invariant.

12

30. (a) . (b) M =

0 −c b 0−b a − d 0 b

c 0 d − a −c0 c −b 0

. (c) dimKer f pot valer 2 i 4.

(d) a = b = c = d = 0, M = 0, Ker f = R4. a = 1, b = c = d = 0, M =

0 0 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 00 0 0 0

.

Ker f = {(

x y

z t

)

| y = z = 0}.

31. (a) Mf =

2 1 1

−1 0 12 −1 01 0 0

, Mg =

0 0 3

−4 3 30 1 0

0 0 4

1/2 0 −1/2

, Mh =

1 1 −1 11 −1 1 −1

−1 1 0 1

.

(b) Im f =< (2,−1, 2, 1), (1, 0,−1, 0), (1, 1, 0, 0) >, Ker f = {0}.Im g =< (0, 8, 0, 0, , 1), (0, 3, 1, 0, 0), (6, 6, 0, 8,−1) >, Ker g = {0}.Im h = R3, Ker f =< (0, 1, 0,−1) >.(c) f i g són injectives i no exhaustives. h és exhaustiva i no injectiva.

32. (a) . (b) Im f = R[x], Ker f =< 1 >. (c) Im g = {p ∈ R[x] | p(0) = 0}, Ker g = {0}.(d) f és exhaustiva i no injectiva. g és injectiva i no exhaustiva. (e) f ◦ g = I , (g ◦ f)(p) =p − p(0).

33. (a) Im f =< e1, e2 >, Ker f =< e1 >.

(b) u1 = (1, 0, 0), u2 = (0,12 , 0), u3 = (0,− 112, 16).

34. (a)

(

1 −11 1

)

. (b)

(

−2 −42 2

)

.

35. (a) El 2010: x1 = 250, x2 = 750. (b)

(

3/5 1/10

2/5 9/10

)

.

36. (1) Fórmules de la probabilitat total. Anomenem Ak = ‘k fitxes abans d’una jugada’, Bk =

‘k fitxes després d’una jugada’, G = ‘guanyar la jugada’, G = ‘perdre la jugada’.

P (Ak) = xk, P (G) = P (G) =12 .

P (B0) = P (A0) · 1 + P (A1)P (G) = x0 + x12 .P (B1) = P (A2)P (G) =

x22 .

P (B2) = P (A1)P (G) + P (A3)P (G) =x12 +

x32 .

P (B3) = P (A2)P (G) =x22 .

P (B4) = P (A3)P (G) + P (A4) · 1 = x32 + x4.(2) Passat molt temps haurem acabat el joc, ja sigui havent perdut totes les fitxes o havent-no

guanyat 4. Si comencem amb 0 acabem segur amb 0. Si comencem amb 4 acabem segur amb4. Si comencem amb 1, 2 o 3 hi ha probabilitats 34 ,

12 ,

14 , respectivament, d’acabar amb 0.

37. (a) ARGB = S−12 AS2. (b) ACIE = S1S

−12 AS2S

−11 .

13

Unitat 3. Reducció d’endomorfismes

Valors propis i vectors propis

1. (a) No en té. (b) La direcció de l’eix (λ = 1) i la seva perpendicular (λ = −1). (c) Tots elsvectors són propis (λ = −1).

2. α = −12 +√

32 , β = 0, λ =

√3. α = −12 −

√3

2 , β = 0, λ = −√

3.

3. (a) a − b, a − c, a − d, a + b + c + d. (b) 0, b − a, c, 2a + b.

Diagonalització

Nota: diag(a1, a2, . . . , an) indica una matriu n × n, diagonal amb valors ai en la diagonal. D és laforma diagonal d’una matriu diagonalitzable, l’ordre en que posem els valors propis és arbitrari (valligat a l’ordre dels vectors en la base de vectors propis).

1. (a) Només diagonalitza en C amb D = diag(3, 1 +√

2i, 1−√

2i).

(b) Diagonalitza en R, C amb D = diag(−1, 5+√

172 ,

5−√

172 ).

(c) Diagonalitza en Q, R, C amb D = diag(−2, 2, 2, 2).(d) No diagonalitza.

2. (a) λ1 =12 , λ2 =

2−√

34 , λ3 =

2+√

34 .

D = diag(12 ,2−

√3

4 ,2+

√3

4 ). S =

2 1 1

−1 1 1−2 −1 −

√3 −1 +

√3

.

(b) λ1 = 1, λ2 = 2 (doble). D = diag(1, 2, 2). S =

1 1 1

1 −2 02 0 2

.

3. (a) Diagonalitza per a tot a 6= 0. D = diag(−1,−1, 2). S =

a a2 a2

−1 0 a0 −1 1

. S−1 =

13

a−1 −2 aa−2 a−1 −2a−2 a−1 1

. (b) 13

2p + 2(−1)p (2p − (−1)p)a (2p − (−1)p)a2(2p − (−1)p)a−1 2p + 2(−1)p (2p − (−1)p)a(2p − (−1)p)a−2 (2p − (−1)p)a−1 2p + 2(−1)p

.

4. (a) M =

1 0 −1 a + 20 1 1 −20 0 2 a − 30 0 0 a

. (b) Diagonalitza per a 6= 1, 2.

5. (a) a = f = 0. (b) Sempre. (c) bf = 2c.

6. −1, α, γ diferents: λ1 = −1, λ2 = α, λ3 = γ. D = diag(−1, α, γ). B = {(0, 1, 0), (α−γ, β, 3+3α), (0, β, γ + 1)}.α 6= −1, γ = −1: Ha de ser β = 0. λ1 = −1 (doble), λ2 = α. D = diag(−1,−1, α).B = {(0, 1, 0), (0, 0, 1), (α+ 1, 0, 3)}.γ 6= −1, α = −1: Ha de ser β = 0. λ1 = −1 (doble), λ2 = γ. D = diag(−1,−1, γ).B = {(0, 1, 0), (γ + 1, 0,−3), (0, 0, 1)}.En la resta de casos (α = β = −1 o α = β 6= −1) no diagonalitza.

14

7. (a) λ1 = 0 (doble), V1 =< (3,−5, 0, 0), (0, 0, 0, 1) >, λ2 = 12 , V2 =< (1,−1, 0, 0) >, λ3 = 3,V2 =< (6, 4, 15, 0) >. (b) Diagonalitza.

8. (a) Només té els valors propis 1 i −1 ja que f2 = I . A λ1 = 1 correspon el subespai deles matrius simètriques, de dimensió 3. A λ2 = −1 correspon el subespai de les matriusantisimètriques, de dimensió 1.

D = diag(1, 1, 1,−1), en la base B = {(

1 0

0 0

)

,

(

0 1

1 0

)

,

(

0 0

0 1

)(

0 −1−1 0

)

}.

(b) Només té els valors propis 1 i −1 ja que g2 = I . A λ1 = 1 correspon el subespai deles matrius amb la segona fila igual a la primera, de dimensió 2. A λ2 = −1 correspon elsubespai de les matrius amb la segona fila igual a menys la primera, de dimensió 2. D =

diag(1, 1,−1,−1), en la base B = {(

1 0

1 0

)

,

(

0 1

0 1

)

,

(

1 0

−1 0

)(

0 1

0 −1

)

}.

9. (a) A =

2 0 −10 2 0

−1 0 2

. (b) En la base {1 + x2, x, 1− x2} f té matriu D = diag(1, 2, 3).

(c) B =

1 0 1

0 1 0

1 0 −1

.

10. (a) Av1 = 4v1, Av2 = 3v2, Av3 = −v3. (b) λ1 = 4, λ2 = 3, λ3 = −1. λ1 + λ2 + λ3 + λ4 =trA = 4, d’on λ4 = −2. Diagonalitza ja que té quatre valors propis simples. Per λ4 trobemv4 = (1, 1,−5,−5). (c) D = diag(4, 3,−1,−2) en la base {v1, v2, v3, v4}.

11. Per a = 0, A = 0 que és diagonal. Per a 6= 0 no diagonalitza (cA(λ) = (λ−2a)4, dimKer(A−2aI) = 3).

12. (a) Si b = 0, A és diagonal. Si b 6= 0, diagonalitza si a 6= c+√

2b, c−√

2b. En la resta de casos

no diagonalitza. (b) D = diag(1, 1, 0,√

22 ,−

√2

2 ). B = {(1, 0, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 0, 1), (1,−2, 0, 2,−1),(1 −

√2,√

2, 2,√

2, 1−√

2), (1 +√

2,−√

2, 2,−√

2, 1 +√

2)}.

Matrius no diagonalitzables. Forma redüıda de Jordan

Nota: Per una caixa de Jordan, passem de tenir el uns sobre la diagonal a tenir-los a sota (i a la

inversa) invertint l’ordre dels vectors de la base. Sobre una “torre” de Jordan tenim uns a sobre siels prenem de baix a dalt i tenims uns a sota si els prenem de dalt a baix.

1. (a) J =

(

4 1

0 4

)

, BJ = {(1, 1), (1, 0)}.

(b) J =

3 0 0

0 16 1

0 0 16

, BJ = {(0, 0, 1), (1, 0, 1), (2, 1, 0)}.

(c) J =

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 2 1

0 0 0 2

, BJ = {(1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (1, 2, 4, 8), (−1,−1, 0, 4)}.

2. J =

2 0 0

0 2 1

0 0 2

, BJ = {(0, 1, 0), (−1, 0,−1), (0, 0, 1)}.

15

3. J =

4 1 0 0 0

0 4 0 0 0

0 0 4 1 0

0 0 0 4 1

0 0 0 0 4

, BJ = {(0, 2, 2, 0, 0), (1, 1, 0, 0, 0), (−2, 0, 0, 0,−2), (1,−1,−1,−1, 0),

(0, 0, 0, 0, 1)}.

4. (a) J =

0 0 0

0 0 1

0 0 0

, BJ = {(1, 2, 0), (2, 3, 3), (0, 0,−1)}.

(b) J =

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0

, BJ = {(1,−7, 4, 2), (0, 0, 1, 0), (3, 9, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}.

(c) J =

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

, BJ = {(0, 0, 0, 8), (0, 0, 4, 12), (0, 2, 3, 4), (1, 0, 0, 0)}.

(d) J =

2 0 0

0 2 1

0 0 2

, BJ = {(0, 0, 1), (1, 2, 1), (0, 1, 0)}.

(e) J =

1 1 0 0

0 1 1 0

0 0 1 1

0 0 0 1

, BJ = {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 0, 1)}.

(f) J =

0 0 0 0

0 −2 0 00 0 −2 10 0 0 −2

, BJ = {(1, 1, 1,−1), (0, 0, 1, 0), (1, 1, 2, 1), (2, 1, 0, 0)}.

Miscel.lània

1. (a) Calculant M2 + I = −M . (b) {(1, 0, 0, 0), (1, 2, 0, 1), (0, 0, 1, 0), (−1, 3, 1, 2)} té rang 4.

M ′ =

0 −1 0 01 −1 0 00 0 0 −10 0 1 −1

. (c) Ee1 =< e1, g(e1) >. (d)

(

0 −11 −1

)

.

2. Veient que si p és un polinomi, p(f |F ) = p(f)|F quan F és invariant per f . Llavors, amb elpolinomi mı́nim de f , mf (λ) tenim que mf (f |F ) = 0 d’on el polinomi mı́nim de f |F nomésté arrels simples i f |F diagonalitza.

3. (a) De f2 − α2I = 0 tenim el polinomi mı́nim mf (λ) = λ2 − α2 = (λ − α)(λ + α). Com téarrels simples, f diagonalitza.

(b) λ1 = α, multiplicitat k1, λ2 = −α, multiplicitat k2, k1 + k2 = n (n = dimE). tr f =

(k1 − k2)α. D = diag(k1

︷ ︸︸ ︷α, · · · , α,

k2︷ ︸︸ ︷

−α, · · · ,−α).

16

(c) S2 = I , α = 1. (d) M =

0 0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0 0 0

.

(e) D = diag(1, 1, 1, 1, 1,−1,−1,−1,−1).

(f) {

1 0 0

0 0 0

0 0 1

,

0 1 0

0 0 0

0 1 0

,

0 0 1

0 0 0

1 0 0

,

0 0 0

1 0 1

0 0 0

,

0 0 0

0 1 0

0 0 0

,

1 0 0

0 0 0

0 0 −1

,

0 1 0

0 0 0

0 −1 0

,

0 0 1

0 0 0

−1 0 0

,

0 0 0

1 0 −10 0 0

}.

4. (a) f(u1) = 4u1 + 6u2, f(u2) = 2u1 − 3u2, d’on f(F ) = F .

(b) B =

(

4 2

6 −3

)

. (c) A =

1 −1 0 02 −2 0 05 0 4 −2

10 −2 6 −3

.

(d) c(λ) = λ2(λ + 1)(λ − 1). J =

0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 −1 00 0 0 1

.

5. (a) Av = λv, amb v 6= 0, implica Akv = λkv, és a dir, 0 = λkv d’on 0 = λk, és a dir, λ = 0.c(λ) = (−1)nλn.(b) cA+I (λ) = det(A+I−λI) = det(A−(λ−1)I) = cA(λ−1) = (−1)n(λ−1)n. det(A+I) =cA+I (0) = 1.

(c) Si det B 6= 0, existeix B−1 i det(A + B) = det(AB−1B + B) = det((AB−1 + I)B) =det(AB−1 + I) detB = det B, ja que AB−1 és nilpotent (en efecte, com A i B commuten, Ai B−1 també commuten i (AB−1)k = Ak(B−1)k = 0) i, tal com s’ha vist a l’apartat anterior,det(AB−1 + I) = 1.

Si det B = 0, (det(A+B))k = det(A+B)k = det(Ak +kBAk−1 + · · ·+Bk) = det(B(kAk−1 +· · ·+ Bk−1)) = det B det(kAk−1 + · · ·+ Bk−1) = 0 (s’ha aplicat el binomi de Newton ja queA i B commuten) d’on det(A + B) = 0.

6.

−2/5 −3/5 −7/55 10/3 5

2/5 3/5 7/5

.

7.

3 −2 −20 1 0

4 −4 −3

.

17

8. D = diag(0, 0, 1) o D = diag(0, 1, 1).

9.

2 0 0 0

−1/2 1/2 −3/2 −3/21/2 1/2 5/2 1/2

0 1 1 3

.

10. (a) Si a + 2b + 3c 6= 0: D = diag(0, 0, a+ 2b + 3c), B = {(2,−1, 0), (3, 0,−1), (a, b, c)}.

Si a+2b+3c = 0: En el cas a = b = c = 0, la matriu és 0, diagonal. Si no, J =

0 0 0

0 0 1

0 0 0

,

B = {(α, β, γ), (a, b, c), (1, 0, 0)} on α + 2β + 3γ = 0 i els dos primers vectors són l.i.

(b) J =

1 1 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0

0 0 1 1 0 0

0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 1

, B = {(a5, 0, 0, 0, 0, 0), (0, a4, 0, 0, 0, 0), (0, 0, a3, 0, 0, 0),

(0, 0, 0, a2, 0, 0), (0, 0, 0, 0, a, 0), (0, 0, 0, 0, 0, 1)}

11. cA(λ) = −λ3 + 3λ + 2. det A = cA(0) = 2 6= 0 aix́ı que A és invertible. Cayley-Hamilton:cA(A) = 0, és a dir −A3 + 3A + 2I = 0 d’on −A2 + 3I + 2A−1 = 0 i A−1 = 12 (A2 − 3I) =

12

−1 a a2a−1 −1 aa−2 a−1 −1

.

Aplicacions, càlcul matricial, matrius equivalents,...

1. (a) λ1 = a + b + c, λ2 = −bβ − cβ, λ3 = −bβ − cβ, on β = eπ

3i.

Si b 6= c tenim tres valors propis diferents i A diagonalitza en C.Podem triar v1 = (1, 1, 1), v2 = (1,−β,−β), v3 = (1,−β,−β). Definint α = e

2π

3i tenim que

−β = α, −β = α2.D = diag(a + b + c, a + αb + α2c, a + α2b + αc) en la base {(1, 1, 1), (1, α, α2), (1, α2, α)}.(b) La matriu de canvi de base no depèn de a, b, c. Per qualsevol matriu diagonal D, SDS−1

és circulant ja que podem calcular a, b, c igualant D a la matriu diagonal de l’apartat anterior.

Llavors, si A = SDAS−1, B = SDBS−1, resulta A+B = S(DA+DB)S−1, AB = SDADBS−1

on DA + DB i DADB són diagonals i, per tant, A + B i AB són circulants.

(Si A té paràmetres a, b, c i B té paràmetres a′, b′, c′, A + B té paràmetres a + a′, b+ b′, c+ c′

i AB té paràmetres aa′ + bc′ + cb′, ab′ + ba′ + cc′, ac′ + bb′ + ca′.)

2. (a) Jk+1 = 0.33Ak, els adults es reprodueixen.

Sk+1 = 0.33Jk, els joves esdevenen subadults.

Ak+1 = 0.71Jk + 0.94Ak, els subadults esdevenen adults, els adults segueixent sent-ho.

(b) c(λ) = −λ3 + 0.94λ2 + 0.042174. Com c(0) > 0 i c(1) < 0, té una arrel real en (0, 1).Calculant-la numèricament λ1 = 0.983597. Fent Ruffini, queda un polinomi de segon grauamb arrels λ2 = −0.0217964 + 0.205918i, λ3 = λ2.(c) Si definim Mk = (Jk, Sk, Ak), Mk+1 = AMk. Llavors, si partim d’una població M0,després de k anys tindrem Mk = A

kM0.

18

Expressant M0 = αv1 + βv2 + γv3 on vi són vectors propis: Mk = λk1αv1 + λ

k2βv2 + λ

k3γv3.

Com |λi| < 1 per i = 1, 2, 3, per k → ∞, Mk → 0 (extinció).(d) Canviant 0.71 per 1, c(λ) = −λ3+0.94λ2+0.0594. Encara resulta λ1 < 1 i segueix haventextinció.

(e) Canviant 0.18 per 0.30, c(λ) = −λ3 + 0.94λ2 + 0.07029. Ara, λ1 = 1.009037, λ2 =−0.03451 + 0.2616i, λ3 = λ2. Ara λk1 → ∞ i la població va creixent.(f) Quant k és gran, Mk ∼ λk1αv1. L’increment anual, en tant per cent, és (λ1−1)100 = 0.9%.Les proporcions les dóna el vector v1 = (1, 3.0577, 0.2973). Dividint per la suma de les seves

components trobem un 23% per Jk, un 70.2% per Sk i un 6.8% per Ak.

3. (a) S =

(

1 1

0 1

)

. (b) B = ±14

(

9 −11 7

)

.

4. (a) λ = 16, µ = 3, S =

2 1 0

1 0 0

0 1 1

. (b) B =

4 18 0

0 4 0

4 −√

3 2√

3 − 638√

3

.

(també si canviem el signe de les√

3 o el signe d’aquestes matrius.

5. (a) α = 2, β = 53 . (b) Ak =

4k 0 0

2(4k − 1) 1 053 (4

k − 1)− 2k k 1

. (c) B =

2 0 0

2 1 023

12 1

.

6. a = b = 0. S =

1 0 −20 1 −20 0 1

. No és única ja que tS amb qualsevol escalar t 6= 0 produeix

el mateix efecte.

7. Pel teorema de Cayley-Hamilton cA(A) = 0 d’on podem äıllar An = α0I + α1A + · · · +

αn−1An−1. Llavors AnB = α0B+α1AB+· · ·+αn−1An−1B és combinació lineal de B, AB, . . . ,An−1B i afegint-la no augmenta el rang.

19

Unitat 4. Sistemes dinàmics discrets

En ocasions s’indiquen els valors propis. La solució del sistema homogeni es dóna com a combinació

de solucions independents o amb Ak (a vegades, les dues formes).

1. (a) (λ1 = 1, k1 = 4, d1 = 2, d2 = 3, d3 = 4.) x(k) =

1 0 0 0

k 1 0 0k(k−1)

2 k 1 0

−k(k+1)2 −k 0 1

x(0).

(b) (λ1 = −1, λ2 = −2.)

x(k) = c1

(

3

−2

)

(−1)k + c2(

1

−1

)

(−2)k.

x(k) =

(

3(−1)k + (−2)k+1 3(−1)k − 3(−2)k−2(−1)k + (−2)k+1 −2(−1)k + 3(−2)k

)

x(0).

(c) (λ1 = −1 + 2i, λ2 = −1 − 2i, mòdul√

5 i argument ϕ = π − arctg 2.)

x(k) = c1

(

cos kϕ + sinkϕ

− cos kϕ

)

√5

k+ c2

(

sin kϕ − cos kϕ− sin kϕ

)

√5k.

x(k) =√

5k

(

cos kϕ − sin kϕ −2 sinkϕsinkϕ cos kϕ + sinkϕ

)

x(0).

(d) (λ1 = 1, k1 = 2, d1 = 1, d2 = 2.) x(k) =

(

1 − k −kk k + 1

)

x(0).

(e) (λ1 = 1, λ2 = 5i, λ3 = −5i.)

x(k) = c1

25

−76

+ c2

cos k π2 − 5 sink π2cos k π2cos k π2

5k + c3

5 cos k π2 + sinkπ2

sink π2sink π2

5k.

c1

c2

c3

= 165

0 −5 50 30 35

13 19 −32

x(0).

2. (λ1 = 1, λ2 = 1 − α − β.) x(k) = 1α+β

(

α + β(1 − α − β)k β − β(1− α − β)kα − α(1 − α − β)k β + α(1− α − β)k

)

x(0).

Si α + β = 1 la solució és constant x(k) =

(

α β

α β

)

x(0).

3. (a) x(k) =

(

1 k

0 1

)

x(0) +

(k(k−1)

2

k

)

. (b) x(k) =

1 k 0

0 1 0

0 0 1

x(0) +

k

0

k

.

(c) (λ1 = −16 , k1 = 2, λ2 = 5+√

306 , λ3 =

5−√

306 .)

x(k) = c1

0

1

0

−1

(−16)k+c2

0

0

1

−1

(−16 )k+c3

6

6√30√30

( 5+√

306 )

k+c4

6

6

−√

30

−√

30

( 5−√

306 )

k.

20

4. (a) x(k) =

k

−(k − 1)!k−1∑

l=0

1

l!

, k ≥ 1. (b) x(k) =(

k(k+1)2

1

)

.

5. (λ1 = 1, λ2 = 0.92.) Solució general x(k) = c1

(

3

5

)

+ c2

(

1

−1

)

0.92k.

Per k → ∞, x(k) → c1(

3

5

)

. En el nostre cas, c1 =18 , c2 =

940 i x(k) →

(

3/8

5/8

)

.

6. (λ1 = −1, k1 = 2, d1 = 1, d2 = 2.) No té punts d’equilibri, tret de x(k) = 0. Les solucions

fitades corresponen al vector propi: x(k) = c1

(

1

−1

)

(−1)k.

7. (λ1 = 1, λ2 = 0.5, λ3 = 0.2.) limk→∞

x(k) = c1

3

6

1

.

8. (a) Punt d’equilibri: x(k) =

1/4

−3/41/4

. (b) (λ1 = −1, k1 = 2, λ2 = 5.) Inestable ja que

|λ2| > 1.

9. (λ1 = − 112 , k1 = 2, λ2 = 1112 .) Els modes propis són c1

1

0

−1

(− 112)k, c2

0

1

−1

(− 112)k i

c3

1

1

1

( 1112)

k. El dominant és el tercer. Per k → ∞, x(k) ∼ c3

1

1

1

( 1112)

k → 0.

10. x(k) =

x1

x2

x3

on xi és la proporció de clients en Si, i = 1, 2, 3. x(k + 1) = Ax(k), amb

A =

0.8 0.2 0.1

0.1 0.7 0.3

0.1 0.1 0.6

. x(0) =

0.2

0.3

0.5

.

(λ1 = 1, λ2 = 0.6, λ3 = 0.5.) Per k → ∞, x(k) →

9/20

7/20

4/20

.

11. Fet en la unitat 3.

12. x(k) =

P (F )

P (C1)

P (C2)

P (C3)

P (C)

. x(0) =

0

0

1

0

0

. x(k+1) = Ax(k), amb A =

1 1/2 0 0 0

0 0 1/2 0 0

0 1/2 0 1/2 0

0 0 1/2 0 0

0 0 0 1/2 1

.

21

(λ1 = 1, k1 = 2, λ2 =√

22 , λ3 = −

√2

2 , λ4 = 0.) v1 =

1

0

0

0

0

, v2 =

0

0

0

0

1

, v3 =

1 +√

2

−√

2

−2−√

2

1 +√

2

,

v4 =

1 −√

2√2

−2√2

1 −√

2

, v5 =

1

−20

2

−1

.

Solució general: x(k) = c1v1 + c2v2 + c3v3(√

22 )

k + c4v4(−√

22 )

k + c5v5δk,0. Per k → ∞,

x(k) →

c1

0

0

0

c2

. A partir de la condició inicial es determina c1 = c2 =12 , c3 = c4 = −14 ,

c5 = 0. Per tant, en el ĺımit pot trobar-se a la feina o a casa amb probabilitats iguals al 50%.

13. (a) x(k) =

(

p(k)

q(k)

)

. La probabilitat d’error l’anomenem � = 0.05. La probabilitat de

transmissió correcta és 1 − � = 0.95 (s’entén que dos errors deixen el missatge correcte). Dep(k + 1) = (1 − �)p(k) + �q(k) i q(k + 1) = �p(k) + (1 − �)q(k) s’obté x(k + 1) = Ax(k) on

A =

(

1 − � �� 1 − �

)

.

(b) (λ1 = 1 − 2�, λ2 = 1.) v1 =(

1

−1

)

, v2 =

(

1

1

)

. Els punts d’equilibri són els vectors

propis de valor propi 1: x = c

(

1

1

)

.

(c) p(k+1)+q(k+1) = ((1−�)p(k)+�q(k))+(�p(k)+(1−�)q(k)) = p(k)+q(k). La constantés la suma de probabilitats p(0) + q(0) = 1.

(d) La solució del sistema és x(k) = 12

(

1 + (1 − 2�)k 1 − (1 − 2�)k1 − (1 − 2�)k 1 + (1 − 2�)k

)

x(0). Aix́ı, p(k) =

12 (1 + (1 − 2�)k)p(0) + 12 (1 − (1 − 2�)k)q(0) = 12 +

p(0)−q(0)2 (1 − 2�)k. El punt d’equilibri és(

1/2

1/2

)

, estable.

(e) q(k) = 12 (1 − (1 − 2�)k)p(0) + 12 (1 + (1 − 2�)k)q(0) = 12 −p(0)−q(0)

2 (1 − 2�)k. Per k → ∞,q(k) → 12 .(f) En el transcurs del temps es van produint errors i a la llarga és igual de probable tenir elmissatge correcte o incorrecte.

14. (Ha de ser α > 0.)

(a) λ1 = 0.8 +√

0.09− 0.4α, λ2 = 0.8−√

0.09− 0.4α.Per 0 < α ≤ 0.225 tenim dos valors propis reals. Si 0 < α ≤ 0.125, λ1 ≥ 1. Si 0.125 < α ≤0.225, λ1, λ2 < 1.

22

Per α > 0.225 tenim dos valors propis complexos conjugats. |λi| < 1 si 0.225 < α < 1.125.Per α ≥ 1.125 |λi| ≥ 1.Llavors |λi| < 1 per 0.125 < α < 1.125.(b) Quan |λi| < 1, λki → 0 i la solució tendeix a zero.(c) Per α < 0.125, λ1 > 1 i la solució conté λ

k1 que va creixent. Per α = 0.125, λ1 = 1 i

λ2 < 1. Llavors el sistema tendeix al mode de valor propi 1, constant.

(d) Per α = 0.125, la solució tendeix a c

(

4

5

)

, constant amb proporcions 4/9 i 5/9 (44.4%

i 55.6%).

Per α = 0.104, la solució creix com c

(

10

13

)

1.02k, amb proporcions 10/23 i 13/23 (43.5% i

56.5%). Com més petit és α menys efecte té el depredador sobre la pressa.

15. (a) Sistema x(k + 1) = Mx(k) on x(k) =

a(k)

b(k)

c(k)

d(k)

i M =

1/3 0 1/3 1/3

0 1/3 1/3 1/3

1/3 1/3 0 1/3

1/3 1/3 1/3 0

.

(λ1 = 1, λ2 =13 , λ3 = −13 , k3 = 2.)

x(k) = c1

1

1

1

1

+ c2

1

−10

0

( 13)k + c3

1

1

−20

(−13)k + c4

1

1

0

−2

(−13 )k.

c1 =a(0)+b(0)+c(0)+d(0)

4 , c2 =a(0)−b(0)

2 , c3 =a(0)+b(0)−3c(0)+d(0)

8 , c4 =a(0)+b(0)+c(0)−3d(0)

8 .

(b) a(k)+b(k)+c(k)+d(k) = 4c1 = a(0)+b(0)+c(0)+d(0). Aix́ı, la suma es manté constant.

(c) Amb la successió d’intercanvis els autobusos acaben repartint-se uniformement.

23