algebra liniowa z geometrią 2

Algebra liniowa z geometrią 2

Maciej Czarnecki

23 maja 2013

Spis treści

5 Geometria płaszczyzny zespolonej 2

6 Macierze 36.1 Działania na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.2 Wyznacznik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.3 Rząd macierzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76.4 Układy równań liniowych . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

7 Przestrzenie i przekształcenia afiniczne 87.1 Przestrzeń afiniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87.2 Podprzestrzenie afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97.3 Przekształcenia afiniczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

8 Geometria iloczynu skalarnego 108.1 Norma, kąt i odległość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108.2 Wyznacznik Grama i objętość . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118.3 Orientacja i iloczyn wektorowy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

9 Formy dwuliniowe i kwadratowe 179.1 Postać kanoniczna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179.2 Formy rzeczywiste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

10 Endomorfizmy przestrzeni skończonego wymiaru 2310.1 Wektory i wartości własne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2310.2 Diagonalizacja i postać Jordana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

11 Grupy przekształceń i geometrie nieeuklidesowe 2811.1 Grupy i działania grup na przestrzeniach . . . . . . . . . . . . . . 2811.2 Izometrie przestrzeni euklidesowej . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1

5 Geometria płaszczyzny zespolonej

Definicja 5.0.1. Ciałem nazywamy zbiór F składający się z co najmniej dwóchelementów wraz z funkcjami + : F× F→ F oraz · : F× F→ F takimi, że (F,+)jest grupą abelową, 0 — elementem neutralnym działania +, (F \ {0}, ·) jestgrupą abelową oraz a · (b+ c) = (a · b) + (a · c) dla dowolnych a, b, c ∈ F.

Innymi słowy, w zbiorze F określone są funkcje + i · przypisujące dwómelementom ze zbioru F jeden element ze zbioru F spełniające warunki:

(F1) ∀a,b∈F a+ b ∈ F(F2) ∀a,b∈F a · b ∈ F(F3) ∀a,b,c∈F (a+ b) + c = a+ (b+ c)

(F4) ∃0∈F ∀a∈F a+ 0 = 0 + a = a

(F5) ∀a∈F ∃−a∈F a+ (−a) = (−a) + a = 0

(F6) ∀a,b∈F a+ b = b+ a

(F7) ∀a,b∈F\{0} a · b ∈ F \ {0}(F8) ∀a,b,c∈F (a · b) · c = a · (b · c)(F9) ∃1∈F\{0} ∀a∈F a · 1 = 1 · a = a

(F10) ∀a∈F\{0} ∃a−1∈F\{0} a · a−1 = a−1 · a = 1

(F11) ∀a,b∈F a · b = b · a(F12) ∀a,b,c∈F a · (b+ c) = (a · b) + (a · c)

Przykład 5.0.2. Ciałami są R oraz Q ze zwykłymi działaniami dodawania imnożenia.

Stwierdzenie 5.0.3. stw. 4.1

Definicja 5.0.4. def. 4.2

Uwaga 5.0.5. po def. 4.2

Definicja 5.0.6. def. 4.3, 4.4

Wniosek 5.0.7. C jest przestrzenią liniową wymiaru 2 nad ciałem R. Jej baząjest np. układ (1, i).

Definicja 5.0.8. Wielomianem o współczynnikach zespolonych nazywamy nie-skończony cią liczb zespolonych a0, a1, . . ., w którym tylko skończona liczba wy-razów jest różna od 0. Zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach zespo-lonych oznaczamy przez C[z]. Dodawanie i mnożenie wielomianów zespolonychokreśla się tak sama analogicznie do wielomianów rzeczywistych.

Jeżeli n = min{j ; aj 6= 0}, to n nazywamy stopniem wielomianu f =(aj)j∈N∪{0}, a wielomian zapisujemy w postaci f(z) = a0 + a1z + . . .+ anz

n.Liczba zespolona c jest pierwiastkiem wielomianu f , gdy f(c) = 0.

Twierdzenie 5.0.9. (zasadnicze twierdzenie algebry) Każdy wielomian stopniadodatniego o współczynnikach zespolonych ma pierwiastek zespolony.

Wniosek 5.0.10. Kazdy wielomian o współczynnikach zespolonych rozkładasię na czynniki liniowe, tzn. dla wielomianu f(z) = a0 +a1z+. . .+anzn o współ-czynnikach zespolonych, przy czym an 6= 0, n 1, istnieją liczby z1, . . . , zk ∈ Coraz l1, . . . , lk ∈ N spełniające warunek l1 + . . .+ lk = n i takie, że

f(z) = an(z − z1)l1 · . . . · (z − zk)lk .

2




Stwierdzenie 5.0.14. stw. 4.5 (1),(5),(6),(7)



Twierdzenie 5.0.17. tw. 4.10

Wniosek 5.0.18. wn. 4.11

Definicja 5.0.19. Określmy dla ϕ ∈ R

eiϕ = cosϕ+ i sinϕ.

Stwierdzenie 5.0.20. (wzór Eulera)

eiπ + 1 = 0.

Przykład 5.0.21. Notacja zespolona pozwala na łatwy zapis przekształceńgeometrycznych płaszczyzny:

1. z 7→ z jest symetrią osiową względem osi rzeczywistej,

2. z 7→ eiϕz, gdzie ϕ ∈ R, jest obrotem o kąt ϕ dookoła 0,

3. z 7→ z + b, gdzie b ∈ C jest translacją o wektor b,

4. z 7→ kz, gdzie k ∈ R, k 6= 0, jest jednokładnością o środku 0 i skali k.

Stwierdzenie 5.0.22. 1. Funkcja liniowa C 3 z 7→ az + b ∈ C, gdzie a, b ∈C, a 6= 0, jest złożeniem obrotu, jednokładności i translacji.

2. Funkcja antyliniowa C 3 z 7→ az + b ∈ C, gdzie a, b ∈ C, a 6= 0, jestzłożeniem symetrii osiowej, obrotu, jednokładności i translacji.

6 Macierze

6.1 Działania na macierzach


uwaga 1 po def. 11.1



uwaga 2 po def 11.4

Stwierdzenie 6.1.4. 11.9


3

Wniosek 6.1.6. wn. 11.14



Wniosek 6.1.9. wn. 11.19



Wniosek 6.1.12. wn. 11.22

6.2 Wyznacznik

Niech dla n ∈ N Sn oznacza zbiór wszystkich permutacji (tzn. bijekcji) zbiorun–elementowego {1, . . . , n}.



Przykład 6.2.3. przykł. 12.3




Twierdzenie 6.2.7. F (Laplace’a) Niech A = [aij ] ∈ Mnn(F ), zaś dla i, j =1, . . . , n symbol Aij oznacza macierz (n−1)×(n−1) powstałą z macierzy A przezskreślenie w niej i−tego wiersza oraz j−tej kolumny. Wówczas dla dowolnegoi = 1, . . . , n zachodzi równość

detA =n∑j=1

(−1)i+jaij detAij .

Określając dla k = 1, . . . , n funkcje tk : {1, . . . , n} \ {k} → {1, . . . , n − 1}wzorami

tk(l) ={l gdy l < kl − 1 gdy l > k

możemy precyzyjnie określić macierz Aij jako[at−1i

(p),t−1j

(q)

]1¬p,q¬n−1

.

Do dowodu twierdzenia Laplace’a potrzebujemy dwóch lematów

Lemat 6.2.8. Jeżeli σ ∈ Sn jest taką permutacją, że σ(i) = j dla pewnychi, j ∈ {1, . . . , n}, to liczba inwersji w ciągu liczb σ̂ = (σ(1), . . . , σ(i − 1), σ(i +1), . . . , σ(n)) ma tę samą parzystość co liczba #inv σ − (i+ j).

Dowód: Jeżeli wśród pierwszych i−1 wyrazów ciągu σ̂ jest dokładnie m 0liczb większych niż j, to jest wśród nich i− 1−m liczb mniejszych niż j. Zatemwśród liczb σ(i+ 1), . . . , σ(n) liczb mniejszych niż j jest dokładnie j − 1− (i−1−m) = j − i+m.

Tym samym w permutacji σ liczba j tworzy j − i + 2m = i + j + 2(m − i)inwersji, więc liczba inwersji w ciągu σ̂ różni się od liczby #inv σ o liczbę i+ joraz pewną liczbę parzystą. �

4

Lemat 6.2.9. Dla ustalonych i, j = 1, . . . , n funkcja Cij przypisująca dowolnejpermutacji σ ze zbioru Zij = {σ ∈ Sn ; σ(i) = j} funkcję

tj ◦ σ|{1,...,n}\{i} ◦ t−1i

jest bijekcją zbioru Zij na zbiór Sn−1.

Dowód: Z definicji funkcji ti, tj i zbioru Zij wynika, że złożenie jest dobrzeokreślone, a funkcja Cij(σ), działająca ze zbioru {1, . . . , n−1} w ten sam zbiór,jest bijekcją jako złożenie trzech bijekcji. Zatem Cij(σ) ∈ Sn−1.

Aby wykazać różnowartościowość Cij weźmy takie σ, τ ∈ Zij , że Cij(σ) =Cij(τ). Wówczas składając obie strony lewostronnie z t−1

j i prawostronnie z tiotrzymujemy równość permutacji σ i τ na zbiorze {1, . . . , n} \ {i}. To zaś wrazz warunkiem σ(i) = j = τ(i) daje σ = τ .

Aby wykazać surjektywność Cij weźmy dowolną permutację η ∈ Sn−1 ipołóżmy

ηij(m) ={ (

t−1j ◦ η ◦ ti

)(m) dla m ∈ {1, . . . , n} \ {i}

j dla m = i

Funkcja ηij ∈ Sn, bo jako złożenie bijekcji jest bijekcją; z jej definicji wynikatakże ηij ∈ Zij . Wreszcie Cij(ηij) = tj ◦

(t−1j ◦ η ◦ ti

)◦ t−1

i = η. �

Dowód twierdzenia Laplace’a (12.7): Ustalmy i ∈ {1, . . . , n}. Z lematu 12.8wynika, że dla dowolnego j ∈ {1, . . . , n} i dowolnej permutacji σ ∈ Zij spełnionyjest warunek

(−1)i+jsgn (Cij(σ)) = sgnσ.

Stąd, z definicji wyznacznika i lematu 12.9 otrzymujemy

detA =∑σ∈Sn

sgnσ a1σ(1) · . . . · anσ(n)

=n∑j=1

aij∑σ∈Zij

sgnσn∏

k=1,k 6=i

akσ(k)

=n∑j=1

(−1)i+jaij∑σ∈Zij

sgn (Cij(σ))n∏

k=1,k 6=i

akσ(k)

=n∑j=1

(−1)i+jaij∑

η∈Sn−1

sgn ηn∏

k=1,k 6=i

ak,(C−1ij (η))(k)

=n∑j=1

(−1)i+jaij∑

η∈Sn−1

sgn ηn−1∏p=1

at−1i

(p),(t−1j ◦η◦ti))(t−1i (p))

=n∑j=1

(−1)i+jaij∑

η∈Sn−1

sgn ηn−1∏p=1

at−1i

(p),t−1j

(η(p))

=n∑j=1

(−1)i+jaij detAij

�

5

Wniosek 6.2.10. wn. 12.10

Definicja 6.2.11. defin. 12.11

Wniosek 6.2.12. wn. 12.12

Stwierdzenie 6.2.13. Dla A ∈ Mnn(F ) oraz k, l = 1, . . . , n, k 6= l spełnionyjest warunek

det (skl(A)) = −detA.

Dowód: Dla ustalenia uwagi przyjmijmy k < l i niech skl(A) = B = [bij ] ∈Mnn(F ). Wówczas dla dowolnego j = 1, . . . , n mamy

bij = aij dla i /∈ {k, l}, bkj = alj , blj = akj .

Jeżeli l = k + 1, to stosując rozwinięcie Laplace’a detB względem (k +1)−szego wiersza otrzymujemy

detB =n∑j=1

(−1)k+1+j detBk+1,j =n∑j=1

(−1)k+1+j detAk,j

= −n∑j=1

(−1)k+j detAkj = −detA,

gdzie ostatnia równość wynika z rozwinięcia Laplace’a detA względem k−tegowiersza.

Zatem zamiana dwóch sąsiednich wierszy zmienia znak wyznacznika. Z dru-giej strony zamiana wiersza k−tego z l−tym wymaga (k− l) zamian sąsiednich,aby przeprowadzić wiersz l−ty na miejsce k-te, oraz (k − l − 1) zamian są-siednich, aby przeprowadzić stary wiersz k−ty (znajdujący się teraz na miejscu(k + 1)−szym) na miejsce l−te. Stąd

det(skl(A)) = (−1)2(k−l)−1 detA = − detA.

�

Wniosek 6.2.14. wn. 12.14

Wniosek 6.2.15. wn. 12.15

Stwierdzenie 6.2.16. Jeżeli A ∈Mnn oraz B ∈Mmm, to

1.

det[A θX B

]= detAdetB

dla dowolnej macierzy X ∈Mmn.

2.

det[Y AB θ

]= (−1)mn detAdetB

dla dowolnej macierzy Y ∈Mnm.

6

Dowód: Macierz D = [dij ] ∈ Mm+n,m+n dana w postaci blokowej D =[A θX B

]ma wyrazy

dij =

aij dla 1 ¬ i, j ¬ nbi−n,j−n dla n+ 1 ¬ i, j ¬ m+ n0 dla 1 ¬ i ¬ n, n+ 1 ¬ j ¬ m+ nxi−n,j dla n+ 1 ¬ i ¬ m+ n, 1 ¬ j ¬ n

1. Indukcja względem n. Dla n = 1 wzór wynika z rozwinięcia Laplace’awzględem pierwszego wiersza.

Załóżmy, że wzór jest prawdziwy dla pewnego stopnia k ∈ N macierzy A.Przypuśćmy teraz, że A ∈ Mk+1,k+1 i rozwińmy wyznacznik macierzy Dwzględem pierwszego wiersza i skorzystajmy z założenia indukcyjnego

detD =k+1+m∑j=1

(−1)1+jd1j detD1j =k+1∑j=1

(−1)1+ja1j det[A1j θXj B

]

=k+1∑j=1

(−1)1+ja1j detA1j detB = detA detB

(Xj oznacza tu macierz X, w której skreślono j−tą kolumnę).

2. Wystarczy przestawić w macierzy[Y AB θ

]pierwszych n wierszy z za-

chowaniem kolejności na koniec (potrzeba na to po m zamian na każdywiersz), skorzystać z pierwszej części stwierdzenia i ze stw. 12.13.

�


Wniosek 6.2.18. wn. 12.18


6.3 Rząd macierzy



Wniosek 6.3.3. wn. 12.22


Wniosek 6.3.5. wn. 12.24

Stwierdzenie 6.3.6. F stw. 12.15

7

6.4 Układy równań liniowych











Uwaga 6.4.11. uwaga 2 po tw. 13.11



Wniosek 6.4.14. wn. 13.14


Twierdzenie 6.4.16. F tw. 13.16

Wniosek 6.4.17. wn. 13.17

7 Przestrzenie i przekształcenia afiniczne

7.1 Przestrzeń afiniczna











8



Załóżmy teraz, że przestrzeń afiniczna (E, V,→) jest rzeczywista tzn, że Vjest przestrzenia liniową nad ciałem R.










7.2 Podprzestrzenie afiniczne











7.3 Przekształcenia afiniczne

Załóżmy, że V, V ′ są przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F , zaś(E, V,→) oraz (E′, V ′,→′) — przestrzeniami afinicznymi





9

Wniosek 7.3.5. wn. 17.5

Wniosek 7.3.6. wn. 17.6





Twierdzenie 7.3.11. def. 17.11

8 Geometria iloczynu skalarnego

8.1 Norma, kąt i odległość

Załóżmy, że V jest przestrzenią liniową z iloczynem skalarnym 〈., .〉.









Wniosek 8.1.9. wn. 19.10

Wniosek 8.1.10. wn. 19.11

Definicja 8.1.11. Przestrzenią euklidesową nazywamy przestrzeń afiniczną,której przestrzeń liniową jest skończonego wymiaru i określony w niej jest ilo-czyn skalarnym.

W przestrzeni euklidesowej E odległością (lub metryką) nazywamy funkcjęprzypisującą dwóm punktom p, q ∈ E liczbę rzeczywistą |pq| = ‖−→pq‖.





10

8.2 Wyznacznik Grama i objętość

Definicja 8.2.1. Dla danych wektorów v1, . . . , vk z przestrzeni liniowej V ziloczynem skalarnym 〈., .〉 macierz

G(v1, . . . , vk) = [〈vi, vj〉]1¬i,j¬k

nazywamy macierzą Grama wektorów v1, . . . , vk, zaś jej wyznacznikdetG(v1, . . . , vk) — wyznacznikiem Grama tychże wektorów.

Przykład 8.2.2. 1. detG(v1) = ‖v1‖2

2. detG(v1, v2) = ‖v1‖2 ‖v2‖2 − 〈v1, v2〉2 = ‖v1‖2 ‖v2‖2(1− cos2^(v1, v2)) =(‖v1‖ ‖v2‖ sin^(v1, v2))2

Stwierdzenie 8.2.3. W przestrzeni Rn ze standardowym iloczynem skalarnydla v1, . . . , vn ∈ Rn zachodzi związek

detG(v1, . . . , vn) =

det

v1...vn

2

Dowód;�

Stwierdzenie 8.2.4. W przestrzeni liniowej V z iloczynem skalarnym 〈., .〉 dlav1, . . . , vk spełnione są warunki:

1. detG(v1, . . . , vk) 0,

2. detG(v1, . . . , vk) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy układ (v1, . . . , vk) jestliniowo zależny.

Dowód:�


1.∀σ∈Sk detG(vσ(1), . . . , vσ(k)) = detG(v1, . . . , vk)

2.∀a∈R detG(av1, v2, . . . , vk) = a2 detG(v1, . . . , vk)

3.

∀a2,...,ak∈R detG

v1 +k∑j=2

ajvj , v2, . . . , vk

= detG(v1, . . . , vk)

Dowód:�

11


1. detG(v1, . . . , vk) ¬ ‖v1‖2 · . . . · ‖vk‖2,

2. przy założeniu v1, . . . , vk 6= θ równość detG(v1, . . . , vk) = ‖v1‖2 · . . . ·‖vk‖2zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy układ (v1, . . . , vk) jest ortogonalny.

Dowód:�

Definicja 8.2.614 def. 18.11

Stwierdzenie 8.2.612 Dla dowolnej podprzestrzeni afinicznej H przestrzeni eu-klidesowej E i dowolnego punktu p ∈ E jego rzut ortogonalny πH(p) jest jedy-nym punktem przestrzeni E odległym od H o d(p,H).

Stwierdzenie 8.2.634 stw. 18.12

Stwierdzenie 8.2.7. Jeżeli (p; v1, . . . , vk) jest układem współrzędnych w pod-przestrzeni afinicznej H przestrzeni euklidesowej E, to odległość punktu q ∈ Eod podprzestrzeni H wyraża się wzorem

d(q,H) =

√detG (v1, . . . , vk,

−→pq)detG(v1, . . . , vk)

Dowód:�

Definicja 8.2.8. Ścianą l–wymiarową sympleksu k–wymiarowego conv (p0, . . . , pk),gdzie 0 ¬ l ¬ k, nazywamy każdy sympleks postaci conv (pi0 , . . . , pil), gdzie(i0, . . . , il) jest podciągiem ciągu (0, . . . , k).

Definicja 8.2.9. Kompleksem symplicjalnym w przestrzeni afinicznej E nazy-wamy taki skończony układ sympleksów (S1, . . . , Sm) z tej przestrzeni, że dladowolnych i, j = 1, . . . ,m zbiór Si ∩ Sj jest pusty lub jest wspólną ścianą sym-pleksów Si oraz Sj .

Pozdbiór przestrzeni E, który dla pewnego k ∈ N ∪ {0} można przedstawićjako sumę sympleksów pewnego kompleksu symplicjalnego zawierającego tylkosympleksy k–wymiarowe, nazywamy k–wymiarowym wielościanem.

Podział wielościanu na sumę sympleksów pewnego kompleksu symplicjalnegonazywamy triangulacją.

Wielościan dwuwymiarowy zawarty w płaszczyźnie nazywamy wielokątem.

Przykład 8.2.10. 1. Każdy zbiór skończony jest 0–wymiarowym wielościa-nem.

2. Sumę sympleksów kompleksu zawierającego tylko sympleksy co najwyżejjednowymiarowe nazywamy grafem skończonym.

Twierdzenie 8.2.11. Dla dowolnego k ∈ N pryzma k–wymiarowa jest k–wymiarowym wielościanem.

Pewna triangulacja pryzmy Q(conv (p0, . . . , pk−1), v) składa się z k symplek-sów, z których każdy rozpięty jest na k wektorach postaci

ε1−−→p0p1 + . . .+ εk−1

−−−−→p0pk−1 + εv,

gdzie ε1, . . . , εk−1, ε ∈ {−1, 0.1}.

12

Dowód: Moszyńska, Święcicka, Geometria z algebrą liniową.�

Twierdzenie 8.2.12. Dla dowolnego k ∈ N równoległościan k–wymiarowy jestk–wymiarowym wielościanem.

Pewna triangulacja równoległościanu P(p0; v1, . . . , vk) składa się z k! sym-pleksów, z których każdy rozpięty jest na k wektorach postaci

ε1v1 + . . .+ εkvk,

gdzie ε1, . . . , εk ∈ {−1, 0.1}.

Dowód: Moszyńska, Święcicka, Geometria z algebrą liniową.�

Definicja 8.2.13. Niech k ∈ N. Objętością k–wymiarową (lub miarą k–wymiarową)układu punktów (p0, . . . , pk) z przestrzeni afinicznej E z iloczynem skalarnym〈., .〉 nazywamy liczbę

vol (p0, . . . , pk) =1k!

√detG (−−→p0p1, . . . ,

−−→p0pk).

Jeżeli wielościan k–wymiarowy P ma triangulację postaci(∆i = conv

(p

(i)0 , . . . , p

(i)k

))1¬i¬m

i sympleksy tej triangulacji są parami różne, to k–wymiarową objętością wielo-ścianu P nazywamy liczbę

volk(P) =m∑i=1

volk(p

(i)0 , . . . , p

(i)k

).

Zamiast vol2 piszemy czasem P , zamiast vol3 — V , a vol1 jest zwykłą odle-głością punktów |. .|.

Można udowodnić, że definicja objętości wielościanu nie zależy od wyborujego triangulacji.

Niech odtąd E będzie przestrzenią afiniczną o przestrzeni nośnej V , w którejokreślony jest iloczyn skalarny 〈., .〉.

Stwierdzenie 8.2.14. Dla dowolnego k 2 i dowolnego układu punktów(p0, . . . , pk) z przestrzeni E zachodzi równość

volk(p0, . . . , pk) =1kd(pk, H) · volk−1(p0, . . . , pk−1),

gdzie H = af (p0, . . . , pk−1).

Dowód:�

Przykład 8.2.15. 1. Pole trójkąta:

P (∆ABC) = vol2(A,B,C) =12

vol1(A,B) · d(C,AB) =12|AB|hC

13

2. Objętość czworościanu:

V (conv (A,B,C,D)) =vol3(A,B,C,D) =13

vol2(A,B,C) · d(D,ABC)

=13P (∆ABC)hD

Stwierdzenie 8.2.16. (objętość sympleksu, pryzmy i równoległościanu) Niech(p0, . . . , pk) będzie układem punktów z przestrzeni E w położeniu ogólnym,vi = −−→p0pi dla i = 1, . . . , k oraz v ∈ V \ lin (v1, . . . , vk−1). Wówczas

1. volk(conv (p0, . . . , pk)) = 1k!

√detG(v1, . . . , vk),

2. volk(Q(conv (p0, . . . , pk−1), v)) = 1(k−1)!

√detG(v1, . . . , vk−1, v),

3. volk(P(p0; v1, . . . , vk)) =√

detG(v1, . . . , vk).

Dowód:�

8.3 Orientacja i iloczyn wektorowy

Niech V będzie rzeczywistą przestrzenią liniową skończonego wymiaru.

Stwierdzenie 8.3.1. W zbiorze B wszystkich baz przestrzeni V określamyrelację ∼ jako posiadanie macierzy przejścia o dodatnim wyznaczniku

(inaczej B ∼ C ⇐⇒ detMCB > 0) .

Wówczas

1. ∼ jest relacją równoważności w zbiorze B,

2. ∼ ma dwie klasy abstrakcji.

Dowód:

1. Zwrotność relacji ∼ wynika z faktu, że macierzą przejścia od bazy do tejsamej bazy jest macierz jednostkowa o wyznaczniku 1 > 0.

Aby wykazać symetrię załóżmy, że B ∼ C, co oznacza, że detMCB > 0.Wówczas z twierdzenia Cauchy’ego otrzymujemy, że

detMBC = det (MCB)−1 =1

detMCB> 0,

czyli C ∼ B.

Przechodniość wynika z wniosku 11.16 i twierdzenia Cauchy’ego; jeżeliB ∼ C i C ∼ D, to

detMDB = det (MDC ·MCB) = detMDC detMCB > 0,

skąd B ∼ D.

14

2. Niech B = (v1, . . . , vn−1, vn) ∈ B. Wówczas bazą przestrzeni V jest takżeD = (v1, . . . , vn−1,−vn).

Niech C ∈ B. Macierz przejścia od bazy do bazy jest nieosobliwa, więcdetMCB > 0 albo detMCB < 0. W pierwszym przypadku C ∼ B. Rozwa-żając przypadek drugi zauważmy najpierw, że licząc wyznacznik macierzydiagonalnej dostajemy

detMDB =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0. . . . . . .0 0 . . . 1 00 0 . . . 0 −1

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= −1.

Zatem ponowne zastosowanie twierdzenia Cauchy’ego pociąga za sobą

detMCD = det (MCB ·MBD) = detMCB detMBD = −detMCB > 0,

czyli C ∼ D.

Tym samym B,D ∈ B wyznaczają jedyne dwie klasy abstrakcji relacji ∼.

�

Definicja 8.3.2. W rzeczywistej przestrzeni liniowej V skończonego wymiarukażdą z klas abstrakcji relacji wiążacej bazy o macierzy przejścia, która madodatni wyznacznik, nazywamy orientacją przestrzeni V .

Mówimy, że dwie bazy należące do tej samej orientacji są zgodnie zoriento-wane, a bazy należące do różnych orientacji — przeciwnie zorientowane.

Przestrzeń z wybraną orientacją nazywamy przestrzenią zorientowaną, abazę należącą do wybranej orientacji w tej przestrzeni — bazą dodatnio zo-rientowaną.

Stwierdzenie 8.3.3. Niech (v1, . . . , vn) będzie bazą przestrzeni liniowej V .Wtedy

1. ∀a∈R (v1, . . . , vn) ∼ (v1, . . . , avn)⇐⇒ a > 0,

2. ∀σ∈Sn (v1, . . . , vn) ∼ (vσ(1), . . . , vσ(n))⇐⇒ sgnσ = 1.

Dowód: Wystarczy zastosować odpowiednie operacje elementarne do ma-cierzy jednostkowej, która jest macierzą przejścia od danej bazy do niej samej.�

Niech odtąd V oznacza zorientowaną przestrzeń euklidesową liniową.

Stwierdzenie 8.3.4. Niech dany będzie liniowo niezależny układ wektorów(v1, . . . , vn−1) w n–wymiarowej zorientowanej przestrzeni euklidesowej liniowejV . Istnieje dokładnie jeden wektor v ∈ V taki, że

(VP1) v ⊥ lin (v1, . . . , vn−1)

(VP2) ‖v‖ =√

detG(v1, . . . , vn−1)

(VP3) baza (v1, . . . , vn−1, v) jest dodatnio zorientowana

15

Dowód: Uzupełnijmy liniowo niezależny układ wektorów (v1, . . . , vn−1) wek-torem u do bazy przestrzeni V . Oznaczmy przez w rzut ortogonalny wektora wna podprzestrzeń lin (v1, . . . , vn−1). Wówczas w 6= θ oraz w ⊥ lin (v1, . . . , vn−1).

Połóżmy

v =

√detG(v1, . . . , vn−1)

‖w‖w.

Mamy niezmiennie w ⊥ lin (v1, . . . , vn−1) oraz ‖v‖ =√

detG(v1, . . . , vn−1),czyli wektor v spełnia warunki (VP1) i (VP2).

Jeżeli baza (v1, . . . , vn−1, v) jest dodatnio zorientowana, to wektor v spełniarónież warunek (VP3). W przeciwnym wypadku warunek ten spełnia wektor −v(stw. 21.4(2)) czyniąc cały czas zadość pozostałym warunkom.

Przypuśćmy, że wektor v′ spełnia warunki (VP1)–(VP3). Wówczas na mocy(VP1) wraz z wektorem v należy do jednowymiarowej podprzestrzeni(lin (v1, . . . , vn−1))⊥ (bo układ (v1, . . . , vn−1) jest liniowo niezależny, a dimV =n). Istnieje więc liczba a taka, że v′ = av. Warunek (VP2) implikuje |a| = 1,jednak zgodnie ze stw. 21.4(2) a = −1 powodowałoby zaprzeczenie warunku(VP3). Stąd v′ = v. �

Definicja 8.3.5. Niech v1, . . . , vn−1 będą wektorami n–wymiarowej zoriento-wanej przestrzeni euklidesowej liniowej V . Wektor v ∈ V określony jako:

• θ, gdy układ (v1, . . . , vn−1) jest liniowo zależny,

• jedyny wektor spełniający warunki (VP1)–(VP3), gdy układ (v1, . . . , vn−1)jest liniowo niezależny,

nazywamy iloczynem wektorowym wektorów v1, . . . , vn−1 i zapisujemy v1× . . .×vn−1.

Stwierdzenie 8.3.6. Iloczyn wektorowy w zorientowanej n–wymiarowej przest-rzeni euklidesowej liniowej V jest

1. skośnie symetryczny, tzn. dla dowolnych v1, . . . , vn−1 ∈ V oraz permutacjiσ ∈ Sn−1 spełniony jest warunek

vσ(1) × . . .× vσ(n−1) = sgnσ v1 × . . .× vn−1

2. (n− 1)–liniowy, tzn. dla dowolnych k = 1, . . . , n− 1, v1, . . . , vn−1, v′k ∈ V

oraz a, a′ ∈ R spełniony jest warunek

v1 × . . .× vk−1 × (avk + a′v′k)× vk+1 × . . .× vn−1

= a v1 × . . .× vk−1 × vk × vk+1 × . . .× vn−1

+ a′ v1 × . . .× vk−1 × v′k × vk+1 × . . .× vn−1

Dowód: Fakty te wynikają z definicji iloczynu skalarnego — uzyskujemywtedy warunek (VP1), stw. 20.6 — (VP2) i stw. 21.4 — (VP3). �

Wniosek 8.3.7. W przestrzeni liniowej Rn ze standardowym iloczynem ska-larnym i orientacją daną przez bazę kanoniczną iloczyn wektorowy wyraża sięwzorem

v1 × . . .× vn−1 =((−1)1+n detA1, . . . , (−1)n+n detAn

),

16

gdzie macierz A ∈ Mn−1,n ma jako kolejne wiersze współrzędne wektorówv1, . . . , vn−1, a dla każdego j = 1, . . . , n macierz Aj powstaje z A przez skreśleniej–tej kolumny.

Dowód: Oznaczmy przez aj = (−1)j+n detAj , j = 1, . . . , n i niech w =(a1, . . . , an).

Jeżeli wektory v1, . . . , vn−1 są liniowo zależne, to rA < n − 1, więc każdy zminorów stopnia n− 1 macierzy A (a takimi są detAj , j = 1, . . . , n) jest równy0, skąd

v1 × . . .× vn−1 = θ = w.

Załóżmy teraz, że v1, . . . , vn−1 są liniowo niezależne. Wówczas rA = n − 1i w 6= θ. Pokażemy, że wektor w spełnia (VP1)–(VP3), czyli jest iloczynemwektorowym danych wektorów.

Zauważmy, że rozwinięcie Laplace’a wzgledem ostatniego wiersza daje dladowolnego u = (u1, . . . , un) ∈ Rn równość

〈w, u〉 =n∑j=1

ajuj =n∑j=1

(−1)n+juj detAj = det

v1...

vn−1

u

(1)

Zatem 〈w, vl〉 = 0, l = 1, . . . , n − 1, do wówczas wyznacznik w (1) ma takisam wiersz l–ty i n–ty. Zatem w spełnia warunek (VP1).

Biorąc w (1) u = w dostajemy

‖w‖2 = det

v1...

vn−1

w

, (2)

skąd natychmiast wynika (VP3).Ponadto uwzględniając wzór (2), stwierdzenie 20.3 i (VP1) uzyskujemy

‖w‖4 =

det

v1...

vn−1

w

2

= detG(v1, . . . , vn−1, w) = detG(v1, . . . , vn−1)‖w‖2,

co wraz z niezerowością wektora w pozwala na wywnioskowanie warunku (VP2).�

9 Formy dwuliniowe i kwadratowe

9.1 Postać kanoniczna

Załóżmy, że V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem Fcharakterystyki różnej od 2.

17

Definicja 9.1.1. Funkcjonałem dwuliniowym (lub formą dwuliniową) na przest-rzeni liniowej V nad ciałem F nazywamy funkcję f : V × V → F spełniającąwarunki

(BF1) ∀u,v,w∈V ∀a,b∈F f(au+ bv, w) = af(u,w) + bf(v, w)

(BF2) ∀u,v,w∈V ∀a,b∈F f(u, av + bw) = af(u, v) + bf(u,w)

Zbiór wszystkich funkcjonałów dwuliniowych na przestrzeni V oznaczamyprzez L(V 2;F).

Stwierdzenie 9.1.2. Każdy funkcjonał dwuliniowy jest jednoznacznie okre-ślony przez swoje wartości na bazie przestrzeni.

Dokładniej, jeżeli (e1, . . . , en) jest bazą przestrzeni liniowej V , to dla

x =n∑i=1

ciei, y =n∑j=1

djej ∈ V

mamy

f(x, y) =n∑

i,j=1

aijcidj ,

gdzie aij = f(ei, ej) dla i, j = 1, . . . , n.

Dowód: wynika bezpośrednio z definicji. �

Stwierdzenie 9.1.3. Jeżeli (e1, . . . , en) jest bazą przestrzeni liniowej VF, zaśA = [aij ] ∈ Mnn(F), to istnieje dokładnie jeden funkcjonał dwuliniowy f na Vtaki, że f(ei, ej) = aij .

Definicja 9.1.4. Załóżmy, że E = (e1, . . . , en) jest bazą przestrzeni liniowej VFi niech f będzie funkcjonałem dwuliniowym na V . Macierz

ME(f) = [f(ei, ej)]1¬i,j¬n

nazywamy macierzą funkcjonału dwuliniowego f w bazie E .

Stwierdzenie 9.1.5. Jeżeli A jest macierzą funkcjonału dwuliniowego f ∈L(V 2;F) w bazie E , a C jest macierzą przejścia od bazy E do bazy B, to

MB(f) = CTAC.

Dowód: Niech E = (e1, . . . , en) oraz B = (v1, . . . , vn) będą bazami prze-strzeni V , f ∈ L(V 2;F ). Niech ME(f) = A = [aij ] zaś C = [cij ] niech będziemacierza przejścia od bazy E do bazy B. Wówczas f(ei, ej) = aij , skąd

f(vi, vj) = f

(n∑k=1

ckiek,

n∑l=1

cljel

)=

n∑k=1

n∑l=1

ckicljakl =n∑l=1

(n∑k=1

c∗ikakl

)clj ,

gdzie [c∗ik] = CT . Zatem [f(vi, vj)] = CTAC. �

Definicja 9.1.6. Mówimy, że funkcjonał dwuliniowy f ∈ L(V 2;F) jest symet-ryczny, gdy

∀u,v∈V F (v, u) = f(u, v).

18

Stwierdzenie 9.1.7. 1. Jeżeli funkcjonał liniowy jest symetryczny, to jegomacierz w dowolnej bazie jest symetryczna.

2. Jeżeli w pewnej bazie funkcjonał dwuliniowy ma macierz symetryczną, toten funkcjonał jest symetryczny.

Dowód:

1. oczywiste.

2. wynika ze stw. 23.5 i własności transpozycji (stw. 11.8). Jeżeli macierzA = ME(f) jest symetryczna, czyli AT = A, to dla dowolnej macierzyprzejścia C od bazy E do innej bazy przestrzeni V mamy(

CTAC)T

= CTATC = CTAC,

a więc symetryczność macierzy funkcjonału dwuliniowego f w nowej bazie.

�

Definicja 9.1.8. Niech f ∈ L(V 2;F ). Funkcję F : V → F daną wzorem

F (x) = f(x, x) dla x ∈ V

nazywamy formą kwadratową generowaną przez funkcjonał dwuliniowy f .

Stwierdzenie 9.1.9. Dla dowolnej formy kwadratowej F na przestrzeni VFistnieje dokładnie jeden funkcjonał dwuliniowy symetryczny na V generujacyformę F .

Dowód: Załóżmy, że F jest formą kwadratową na V generowaną przez pe-wien funkcjonał dwuliniowy g ∈ L(V 2;F). Kładąc

f(x, y) =12

(F (x+ y)− F (x)− F (y))

można łatwo zauważyć, że f(x, y) = g(x, y), czyli f jest funkcjonałem dwulinio-wym generującym formę kwadratową F .

Jeżeli f jest symetryczny, to jest poszukiwanym funkcjonałem. Jeżeli f niejest symetryczny, to funkcja f1 : V × V → F dana wzorem

f1(x, y) =12

(f(x, y) + f(y, x))

jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym oraz f1(x, x) = f(x, x) = F (x)dla x ∈ V .

Przypuścmy, że k jest dwuliniowym funkcjonałem symetrycznym takim, żek(x, x) = F (x) dla x ∈ V . Wówczas

f1(x, y) =12

(F (x+ y)− F (x)− F (y)) = k(x, y) dla x, y ∈ V,

czyli k = f1. �Iloczyn skalarny jest funkcjonałem dwuliniowym symetrycznym (i dodat-

kowo dodatnio określonym). Jego formą kwadratową jest kwadrat normy.

19

Definicja 9.1.10. Macierzą formy kwadratowej w pewnej bazie nazywamy ma-cierz generującego ją funkcjonału dwuliniowego symetrycznego w tej bazie.

Mówimy, że forma kwadratowa F jest w postaci kanonicznej w bazie E ,gdy macierz formy F w bazie E jest diagonalna. Taką bazę nazywamy baząkanoniczną formy F .

Jeżeli E = (e1, . . . , en) jest bazą kanoniczną formy F , to istnieją λ1, . . . , λn ∈F takie, że

F (x) =n∑i=1

λix2i dla x =

n∑i=1

xiei.

Twierdzenie 9.1.11. F (Lagrange’a) Dla dowolnej formy kwadratowej F okre-ślonej na skończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem F charakte-rystyki różnej od 2 istnieje taka baza przestrzeni V , w której forma F ma postaćkanoniczną.

Dowód: Gleichgewicht, Algebra.�

Przykład 9.1.12.

Twierdzenie 9.1.13. F (Jacobiego) Jeżeli forma kwadratowa F określona naskończenie wymiarowej przestrzeni liniowej V nad ciałem F charakterystyki róż-nej od 2 ma w pewnej bazie macierz A = [aij ]1¬i,j¬n taką, że

∆k = det[aij ]1¬i,j¬k 6= 0 dla k = 1, . . . , n,

to istnieje baza E = (e1, . . . , en) przestrzeni V , w której forma F ma postaćkanoniczną

F (x) =n∑k=1

∆k−1

∆kx2k dla x =

n∑k=1

xkek.

przy dodatkowej umowie ∆0 = 1.

Dowód: Jefimow, Rozendorn, Algebra liniowa wraz z geometrią wielowymia-rową.

�

9.2 Formy rzeczywiste

Definicja 9.2.1. Forma kwadratowa F jest w postaci normalnej, gdy jest wpostaci kanonicznej i wszystkie jej współczynniki należą do zbioru {−1, 0, 1}.

Stwierdzenie 9.2.2. Każdą formę kwadratową określoną na rzeczywistej prze-strzeni liniowej skończonego wymiaru można przedstawić w postaci normalnej.

Dowód: Niech F będzie formą kwadratową na rzeczywistej przestrzeni li-niwej V wymiaru n. Z twierdzenia Lagrange’a (23.11) wynika, że istnieje baza(e1, . . . , en), w której forma F ma postać kanoniczną

F (x) =n∑i=1

λix2i .

20

Niech I = {i ; λi = 0} oraz dla i = 1, . . . , n

e′i =

{ei dla i ∈ I

1√|λi|

ei dla i ∈ {1, . . . , n} \ I

Wówczas baza (e′1, . . . , e′n) jest nadal bazą kanoniczną dla formy F oraz dla

i ∈ {1, . . . , n} \ IF (e′i) = λi

1|λi|

= ±1.

�

Twierdzenie 9.2.3. (Sylvestera o bezwładności) Niech F będzie formą kwa-dratową określoną na rzeczywistej przestrzeni liniowej V skończonego wymiaru.

Jeżeli E i B są dwiema bazami kanonicznymi formy F , to forma F ma wbazie E i w bazie B tę samą liczbę współczynników dodatnich.

Dowód: Ze stwierdzenia 23.14 i jego dowodu wynika, że formę kwadratową narzeczywistej przestrzeni wymiaru n można sprowadzić z postaci kanonicznej dopostaci normalnej nie zmieniając liczby współczynników dodatnich, ujemnychani zerowych.

Niech forma F ma w bazie E = (e1, . . . , en) postać normalną

F (x) = x21 + . . .+ x2

p − x2p+1 − . . .− x2

p+q dla x =n∑i=1

xiei,

czyli

λi =

1 dla i = 1, . . . , p−1 dla i = p+ 1, . . . , p+ q

0 dla i = p+ q + 1, . . . , n

i analogicznie forma F ma w bazie B = (v1, . . . , vn) postać normalną

F (y) = y21 + . . .+ y2

s − y2s+1 − . . .− y2

s+t dla y =n∑i=1

yivi.

Przypuśćmy, że p > s. Wówczas podprzestrzenie V ′ = lin (e1, . . . , ep) orazV ′′ = lin (vs+1, . . . , vn) mają wymiary odpowiednio p oraz n−s > n−p, którychsuma wynosi p+n−s > n = dimV . Zatem istnieje niezerowy wektor w ∈ V ′∩V ′′(stw. 8.17). Można go więc zapisać w postaci

x1e1 + . . .+ xpep = w = ys+1vs+1 + . . .+ ynsn

przy czym jeden ze współczynników xi jest niezerowy.Zatem stosując do wektora w obie postacie normalne otrzymujemy

0 < x21 + . . .+ x2

p = F (w) = −y2s+1 − . . .− y2

n ¬ 0.

Otrzymana sprzeczość dowodzi, że p ¬ s. Analogicznie pokazujemy, że s ¬ p,czyli ostatecznie p = s. �

Wniosek 9.2.4. Formą kwadratową na rzeczywistej przestrzeni liniowej skoń-czonego wymiaru ma w dowolnej postaci kanonicznej tę samą liczbę współczyn-ników ujemnych. �

21

Definicja 9.2.5. Mówimy, że forma kwadratowa F określoną na rzeczywistejprzestrzeni liniowej V wymiaru n ma sygnaturę (r,−s), gdzie r + s ¬ n, gdyw pewnej swojej bazie kanonicznej ma dokładnie r współczynników dodatnichi dokładnie s współczynników ujemnych.

Definicja 9.2.6. Mówimy, że forma kwadratowa F określona na rzeczywistejprzestrzeni liniowej V jest dodatnio (odpowiednio ujemnie) określona, gdy

∀x∈V \{θ} F (x) > 0(odpowiednio ∀x∈V \{θ} F (x) > 0

).

Stwierdzenie 9.2.7. Forma kwadratowa F określoną na rzeczywistej prze-strzeni liniowej V wymiaru n jest dodatnio (odpowiednio ujemnie) określonawtedy i tylko wtedy, gdy w pewnej bazie przestrzeni V forma F ma macierzA = [aij ]1¬i,j¬n spełniającą warunki:

∆k = det[aij ]1¬i,j¬k > 0 dla k = 1, . . . , n

(odpowiednio

(−1)k∆k = (−1)k det[aij ]1¬i,j¬k > 0 dla k = 1, . . . , n)

Dowód: Przeprowadzimy rozumowanie dla formy ujemnie określonej. Za-łóżmy, że forma kwadratowa F jest określona na przestrzeni V wymiaru n.⇒) Jeżeli F jest ujemnie określona, to na mocy twierdzenia Lagrange’a

(23.11) istnieje baza E = (e1, . . . , en), w której forma F ma postać kanoniczną

F (x) = λ1x21 + . . .+ λnx

2n

Po podstawieniu wektorów bazy E otrzymujemy, że λi < 0 dla i = 1, . . . , n.Minory główne diagonalnej macierzy formy F w bazie E są równe

∆k = λ1 · . . . · λk, k = 1, . . . , n

co wraz z ujemnością wszystkich λi daje

(−1)k∆k = (−1)2k|λ1| · . . . · |λk| > 0.

⇐) Załóżmy, że minory główne ∆k są w pewnej bazie B na przemian ujemnei dodatnie. Spełnione są więc założenia twierdzenia Jacobiego (23.12), więc ist-nieje baza E , w której forma kwadratowa F ma postać kanoniczną

F (x) =n∑k=1

∆k−1

∆kx2k.

Wszystkie współczynniki λk = ∆k−1∆k

= (−1)k−1|∆k−1|(−1)k|∆k| są ujemne, więc dla v 6= θ

mamy F (v) < 0. �

Uwaga 9.2.8. Iloczyn skalarny można określić w przestrzeni liniowej skończo-nego wymiaru nad dowolnym ciałem żądając, aby był to funkcjonał dwuliniowy,symetryczny i niezdegenerowany, to znaczy np. żeby jego macierz była nieoso-bliwa.

Innym sposobem sposobem uogólnienia iloczynu skalarnego na przestrzeniezespolone jest określenie iloczynu hermitowskiego: liniowego ze względu na pierw-szą zmienną, z częściową symetrią daną przez warunek g(v, u) = g(u, v) i do-datnią określonością analogiczną do tej w przestrzeni rzeczywistej (bo g(v, v) =g(v, v) ∈ R).

22

10 Endomorfizmy przestrzeni skończonego wy-miaru

10.1 Wektory i wartości własne

Załóżmy, że V jest skończenie wymiarową przestrzenią liniową nad ciałem F ,zaś ϕ — endomorfizmem przestrzeni V , tzn. przekształceniem liniowym V → V .

Definicja 10.1.1. Podprzestrzeń liniową U przestrzeni liniowej V nazywamypodprzestrzenią niezmienniczą endomorfizmu ϕ (lub krótko podprzestrzenią ϕ–niezmienniczą), gdy ϕ(U) ⊂ U .

Przykład 10.1.2. 1. Podprzestrzeń trywialna {θ} jest niezmiennicza wzglę-dem dowolnego endomorfizmu.

2. Dla dowolnego endomorfizmu ϕ : V → V przestrzeń V jest ϕ–niezmiennicza.

3. Każda podprzestrzeń liniowa U przestrzeni liniowej V jest idV –niezmienniczaoraz Θ–niezmiennicza.

Definicja 10.1.3. Jeżeli wektor v ∈ V \{θ} oraz skalar λ ∈ F spełniają warunek

(E) ϕ(v) = λv,

to λ nazywamy wartością własną endomorfizmu ϕ, a v — wektorem własnymtego endomorfizmu.

Dla danej wartości własnej λ endomorfizmu ϕ zbiór

Eλ = {v ∈ V : ϕ(v) = λv}

nazywamy podprzestrzenią własną dla wartości własnej λ.

Przykład 10.1.4. 1. Dla ϕ = idV podprzestrzeń własna E1 = V .

2. Dla ϕ = −idV podprzestrzeń własna E−1 = V .

3. Jeżeli λ1, λ2 są różnymi wartościami własnymi endomorfizmu ϕ, to

Eλ1 ∩ Eλ2 = {θ}.

Stwierdzenie 10.1.5. Niech B będzie bazą pzestrzeni liniowej V , a A macierząendomorfizmu ϕ w tej bazie (czyli A = MBB(ϕ)).

Wówczas λ jest wartością własną endomorfizmu ϕ wtedy i tylko wtedy, gdydet(A− λI) = 0.

Dowód: ⇒) Załóżmy, że λ jest wartością własną endomorizmu ϕ. Istniejewówczas niezerowy wektor v ∈ V taki, że ϕ(v) = λv. Współrzędne wektora v wbazie B tworzą niezerowy wektor CB(v) ∈ Fn.

Stąd oraz z własności macierzy przekształcenia liniowego i współrzędnychwektora w bazie (wn. 11.8) wynika, że

λI CB(v) = λCB(v) = CB(λv) = CB(ϕ(v)) = MBB(ϕ)CB(v) = ACB(v).

Zatem układ równań (A−λI)X = θ ma niezerowe rozwiązanie, co w połączeniuz tw. Cramera (13.9) daje det(A− λI) = 0.

23

⇐) Załóżmy, że det(A − λI) = 0 dla pewnego λ ∈ F . Wówczas jedno-rodny układ równań (A − λI)X = θ ma na mocy tw. Cramera niezerowerozwiązanie (bo ma więcej niż jedno rozwiązanie). Niech będzie nim wektorw = (a1, . . . , an) ∈ Fn \ {θ}.

Połóżmy v = a1v1 + . . .+ anvn, gdzie (v1, . . . , vn) = B. Wówczas CB(v) = wi analogicznie jak w części ”wtedy” otrzymujemy, że CB(ϕ(v)) = CB(λv), czyliϕ(v) = λv. �

Stwierdzenie 10.1.6. Niech B i C będą bazami przestrzeni liniowej V , A ma-cierzą endomorfizmu ϕ : V → V w bazie B, zaś D — macierzą ϕ w bazie C.

Wówczas dla dowolnego x ∈ F prawdziwa jest równość

det(A− xI) = det(D − xI).

Dowód: Niech E będzie macierzą przejścia od bazy B o bazy C. WówczasE jest macierzą nieosobliwą i D = EAE−1, skąd na mocy własności działań namacierzach (stw. 11.9) oraz twierdzenia Cauchy’ego (12.17) otrzymujemy

det(D − xI) = det(EAE−1 − xI) = det(EAE−1 − EE−1xI)

= det(EAE−1 − E xI E−1) = det

(E(A− xI)E−1)

= detE det(A− xI) det(E−1) = det(A− xI).

�

Definicja 10.1.7. Niech A będzie macierzą endomorfizmu ϕ : V → V w pewnejbazie przestrzeni liniowej V .

Wielomian x 7→ det(A − xI) nazywamy wielomianem charakterystycznymendomorfizmu ϕ.

Uwaga 10.1.8. Stosując rozwninięcie Laplace’a dla det(A − xI) można po-kazać indukcyjnie, że wyznacznik ten jest wielomianem stopnia n = dimV owspółczynniku przy xn równym (−1)n.

Stwierdzenie 24.6 gwarantuje niezależność wielomianu charterystycznego en-domorfizmu od wyboru bazy przestrzeni.

Przykład 10.1.9. 1. Wielomianem charakterystycznym tożsamości na prze-strzeni n–wymiarowej jest (1− x)n.

2. Wielomianem charakterystycznym przekształcenia zerowego na przestrzenin–wymiarowej jest (−1)nxn.

3. Wielomianem charakterystycznym obrotu w R2 o kąt α, czyli przekształ-

cenia danego macierzą[

cosα − sinαsinα cosα

], jest x2 − 2x cosα+ 1.

Stwierdzenie 10.1.10. Endomorfizm ϕ przestrzeni n–wymiarowej posiada nliniowo niezależnych wektorów własnych wtedy i tylko wtedy, gdy macierz en-domorfizmu ϕ w pewnej bazie jest diagonalna.

Dowód: Niech dimV = n i niech ϕ będzie endomorfizmem przestrzeni li-niowej V .

Jeżeli B = (v1, . . . , vn) jest liniowo niezależnym układem wektorów własnychendomorfizmu ϕ, przy czym wartość własna wektora vi wynosi λi, i = 1, . . . n,to macierz MBB(ϕ) = [λiδij ] jest diagonalna.

24

Na odwrót, jeżeli B = (v1, . . . , vn) jest bazą, w której macierz A = [aij ] =MBB(ϕ) jest diagonalna, to dla dowolnego j = 1, . . . , n mamy

ϕ(vj) =n∑i=1

aijvi = ajjvj ,

czyli każdy z wektorów bazy B jest wektorem własnym endomorfizmu ϕ. �

Stwierdzenie 10.1.11. Każdy endomorfizm zespolonej przestrzeni liniowej do-datniego wymiaru posiada jednowymiarową podprzestrzeń niezmienniczą (ina-czej: posiada wektor własny).

Dowód: Wielomian charakterystyczny endomorfizmu ϕ przestrzeni liniowejVC wymiaru n ∈ N ma stopień n > 0 i zespolone współczynniki. Z zasadni-czego twierzenia algebry (tw. 4.12) wynika, że istnieje pierwiastek λ ∈ C tegowielomianu.

Stwierdzenie 24.5 gwarantuje istnienie wektora własnego v endomorfizmuϕ o wartości własnej λ. Z jednorodności ϕ wynika, że przestrzeń lin (v) jestϕ–niezmiennicza. �

Stwierdzenie 10.1.12. Każdy endomorfizm rzeczywistej przestrzeni liniowejdodatniego wymiaru posiada jednowymiarową lub dwuwymiarową podprzestrzeńniezmienniczą

Dowód:�

Wniosek 10.1.13. Każdy endomorfizm rzeczywistej przestrzeni liniowej skoń-czonego nieparzystego wymiaru posiada wektor własny.

Przykład 10.1.14. 1. W przestrzeni R2 obrót o kąt α 6= kπ nie ma wek-tora własnego, bo wielomian charakterystyczny x2 − 2x cosα + 1 nie mapierwiastków rzeczywistych.

2. Endomorfizm przestrzeni C2 dany macierzą[


](taką samą

ja obrót o α w R2) ma wartości własne cosα±i sinα, którym odpowiadająwektory własne (1,∓i).

10.2 Diagonalizacja i postać Jordana

Stwierdzenie 10.2.1. Jeżeli λ1, . . . , λk ∈ F są parami różnymi wartościamiwłasnymi endomorfizmu ϕ przestrzeni V , zaś v1, . . . , vk ∈ V — odpowiadają-cymi im wektorami własnymi, to układ (v1, . . . , vk) jest liniowo niezależny.

Dowód:�

Wniosek 10.2.2. Jeżeli endomorfizm ϕ n–wymiarowej przestrzeni liniowej po-siada n różnych wartości własnych, to w pewnej bazie tej przestrzeni ma macierzdiagonalną.

Dowód:�

25

Przykład 10.2.3. Macierz A =[

1 01 1

]ma wielomian charakterystyczny

(1− x)2, więc jej jedyną wartością własną jest 1. Jednak warunek Av = v speł-niają tylko wektory postaci (a, 0), z których nie można utworzyć bazy przestrzeniR2 (ani C2).

Definicja 10.2.4. Załóżmy, że endomorfizm ϕ n–wymiarowej przestrzeni linio-wej V ma wartość własną λ ∈ F o krotności m ¬ n. Niech A będzie macierząendomorfizmu ϕ w pewnej bazie B. Określmy dla każdego j = 0, 1, . . . podprze-strzeń liniową

V λj = {v ∈ V ; (A− λI)j · CB(v) = θ}oraz liczbę całkowitą

pj+1 = dimV λj+1 − dimV λj .

Istnieje wówczas j0 takie, że pi0 > 0 oraz pj = 0 dla j > j0.Podprzestrzeń V λm nazywamy podprzestrzenią pierwiastkową endomorfizmu

ϕ odpowiadającą wartości własnej λ, a ciąg (p1, . . . , pj0) — rozkładem charak-terystycznym krotności m wartości własnej λ.

Stwierdzenie 10.2.5. Niech ϕ będzie endomorfizmem n–wymiarowej zespo-lonej przestrzeni liniowej V . Niech λ1, . . . , λr ∈ C będą wszystkimi różnymiwartościami własnymi endomorfizmu ϕ o krotnościach odpowiednio m1, . . . ,mr

(zatem m1 + . . .+mr = n). Wtedy

V = V λ1m1 ⊕ . . .⊕ Vλrmr

(czyli przestrzeń V jest sumą prostą swoich przestrzeni pierwiastkowych).

Definicja 10.2.6. Klatką Jordana stopnia k ∈ N nazywamy macierz

Jk(λ) =

λ 0 0 . . . 0 01 λ 0 . . . 0 00 1 λ . . . 0 0. . . . . . . .0 0 0 . . . λ 00 0 0 . . . 1 λ

∈Mkk(F )

Macierzą Jordana nazywamy macierz, która wzdłuż głównej przekątnej maumieszczone klatki Jordana, a poza tym klatkami — same zera.

Twierdzenie 10.2.7. (Jordana) F Dowolny endomorfizm skończenie wymiaro-wej zespolonej przestrzeni liniowej ma w pewnej bazie macierz Jordana. Rozkładna klatki Jordana jest jednoznaczny z dokładnością do ich kolejności.

Dokładniej, jeżeli λ ∈ C jest wartością własną o krotności m endomorfizmuϕ : V → V , (p1, . . . , pj0) jest rozkładem charakterystycznym tej krotności, tomacierz endomorfizmu ϕ|V λm ma w pewnej bazie postać Jordana, przy czym dlak = 1, . . . , j0 macierz ta zawiera dokładnie pk − pk+1 klatek Jk(λ).

Dowód: J. Komorowski, Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebrLiego i kwadryk. �

Definicja 10.2.8. Śladem macierzy kwadratowej A = [aij ] ∈ Mnn(F ) nazy-wamy skalar

tr A =n∑i=1

aii

26

Stwierdzenie 10.2.9. Jeżeli D i E są macierzami endomorfizmu ϕ odpowied-nio w bazach D i E , to

detD = detE, trD = trE

Dowód: Ze stw. 3.5.6 wynika, że E = CDC−1, gdzie C = MDE .Z tw. Cauchy’ego mamy zatem

detE = detC · detD · (detC)−1 = detD.

Zauważmy teraz, że ślad iloczynu dwóch macierzy nie zależy od kolejnościczynników. Istotnie, jeżeli A = [aij ], B = [bkl] ∈Mnn, to

tr (AB) =n∑i=1

n∑j=1

aijbji =n∑k=1

n∑l=1

bklalk = tr (BA).

ZatemtrE = tr

(CDC−1) = tr

(DC−1C

)= trD.

�

Wniosek 10.2.10. Wyznacznik macierzy endomorfizmu przestrzeni zespolonejjest iloczynem wszystkich wartości własnych tego endomorfizmu licząc z krot-nościami, a ślad macierzy endomorfizmu — sumą wszystkich wartości własnychtego endomorfizmu licząc z krotnościami

Przykład 10.2.11. Rozważmy endomorfizm przestrzeni C6 dany macierzą

A =

1 1 0 0 0 00 1 0 2 0 00 0 1 0 0 10 0 0 1 0 00 0 0 0 1 00 0 0 0 0 1

która, jak łatwo widać ma sześciokrotną wartość własną 1. Kolejne potęgi ma-cierzy A− I są równe: (A− I)0 = I,

A−I =

0 1 0 0 0 00 0 0 2 0 00 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

, (A−I)2 =

0 0 0 2 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

, (A−I)3 = θ.

Tym samym j0 = 3, a rozkładem charakterystycznym krotności 6 dla wartościwłasnej 1 jest (3, 2, 1). Oznacza to, że macierz Jordana endomorfizmu ϕ zawierapo jednej klatce J1(1), J2(1), J3(1), jest więc równa

1 0 0 0 0 00 1 0 0 0 00 1 1 0 0 00 0 0 1 0 00 0 0 1 1 00 0 0 0 1 1

27

Definicja 10.2.12. Uogólnioną klatką Jordana nazywamy macierz

J2k(α, β) =

A 0 0 . . . 0 0I A 0 . . . 0 00 I A . . . 0 0. . . . . . . .0 0 0 . . . A 00 0 0 . . . I A

∈M2k,2k(R)

gdzie α, β ∈ R oraz

A =[

α β−β α

], I =

[1 00 1

]Wniosek 10.2.13. (uogólniony rozkład Jordana w przestrzeni rzeczywistej)Jeżeli ϕ jest endomorfizmem skończenie wymiarowej rzeczywistej przestrzeniliniowej V , to istnieje baza tej przestrzeni, w której endomorfizm ϕ ma ma-cierz będącą w uogólnionej postaci Jordana. Oznacza to , że wzdłuż przekątnejumieszczone są klatki Jordana lub uogólnione klatki Jordana, a poza nimi wmacierzy są same zera.

11 Grupy przekształceń i geometrie nieeuklide-sowe

11.1 Grupy i działania grup na przestrzeniach

Definicja 11.1.1. Grupą nazywamy parę uporządkowaną (G, ·), gdzie G jestzbiorem niepustym oraz · : G×G→ G, spełniającą warunki:

(G1) ∀a,b,c∈G (a · b) · c = a · (b · c)(G2) ∃e∈G ∀a∈G a · e = e · a = a

(G3) ∀a∈G ∃a−1∈G a · a−1 = a−1 · a = e

Definicja 11.1.2. Podgrupą grupy (G, ·) nazywamy niepusty podzbiór H ⊂ Gspełniający warunek

(SG) ∀a,b∈H a · b−1 ∈ H

Przykład 11.1.3. 1. (Rn,+) jest grupą, a Zn jest jej podgrupą.

2. (GL(n,F), ·) jest grupą, a SL(n,F) = {A ∈ Mnn(F) ; detA = 1} jest jejpodgrupą.

Definicja 11.1.4. Niech (G, ·) i (H, ∗) będą grupami, a ϕ funkcją działającą zG w H. Mówimy, że ϕ jest homomorfizmem (grup), jeżeli spełnia warunek

(H) ∀a,b∈G ϕ(a · b) = ϕ(a) ∗ ϕ(b)

Izomorfizmem (grup) nazywamy homomorfizm, który jest jednocześnie bijekcją.Mówimy, że grupy (G, ·) i (H, ∗) są izomorficzne i piszemy (G, ·) ∼= (H, ∗), gdyistnieje izomorfizm grupy (G, ·) na grupę (H, ∗).

28

Przykład 11.1.5. 1. Tożsamość idG jest izomorfizmem grupy (G, ·).

2. Funkcja G 3 a 7→ eH ∈ H jest homomorfizmem grupy (G, ·) w grupę(H, ∗).

3. Grupy (R,+) i (R+, ·) są izomorficzne poprzez dowolną funcję wykładnicząx 7→ ax , gdzie a > 0 i a 6= 1.

4. Bijekcje ustalonego niepustego zbioru X stanowią grupę z działaniem skła-dania funkcji.

5. Izomorfizmy liniowe ustalonej przestrzeni liniowej na siebie tworzą grupęz działaniem składania.

Definicja 11.1.6. Mówimy, że grupa (G, ·) działa na zbiorze X i piszemy GyX, gdy istnieje homomorfizm grupy G w grupę bijekcji zbioru X. Innymi słowy,jeżeli każdemu elementowi g ∈ G przypisujemy bijekcję ψ(g) : X → X, tospełniony jest warunek

∀g,g′∈G ∀x∈X ψ(g · g′)(x) = ψ(g) (ψ(g′)(x))

Zamiast ψ(g)(x) piszemy często po prostu gx.Możemy mówić o działaniu grupy G na zbiorze X poprzez homeomorfzimy,

izometrie, dyfeomorfizmy, przekształcenia liniowe itd., o ile w zbiorze X okre-ślona jest odpowiednio struktura topologiczna, metryczna, różniczkowa, liniowaitd., a elmentom grupy G przypisane są odpowiednio homeomorfzimy, izometrie,dyfeomorfizmy, przekształcenia liniowe itd.

Przykład 11.1.7. 1. Grupa GL(n,F) działa na przestrzeni Fn w taki spo-sób, że macierzy nieosobliwej A odpowiada izomorfizm, dla którego A jestmacierzą w bazie kanonicznej tzn. ψ(A)(x) = Ax.

2. Grupa (V,+) działa na przestrzeni afinicznej (E, V,→) za pomocą trans-lacji, tzn. ψ(v) = Tv.

3. Grupa S1 = {z ∈ C ; |z| = 1} (z działaniem mnożenia liczb zespolonych)działa na płaszczyźnie zespolonej C za pomocą obrotów, tzn. ψ(z) jest dlaz ∈ S1 obrotem dookoła 0 o kąt arg z.

Definicja 11.1.8. Załóżmy, że grupa G działa na zbiorze X. Orbitą punktux ∈ X nazywamy zbiór

Gx = {gx ; g ∈ G} ⊂ X.

Stabilizatorem punktu x ∈ X nazywamy zbiór

Stab (x) = {g ∈ G ; gx = x} ⊂ G.

Definicja 11.1.9. Mówimy, że działanie grupy G na zbiorze X jest

1. przechodnie, gdy dla każdych x, x′ ∈ X istnieje takie g ∈ G, że gx = x′.

2. wolne, jeżeli z faktu, że dla pewnego x ∈ X zachodzi gx = x wynika, żeg = e.

29

3. efektywne (lub wierne), gdy homomorfizm ψ jest różnowartościowy.

Przykład 11.1.10. 1. Przy działaniu S1 na C: G0 = {0} oraz Gz = {w ∈C ; |w| = |z|} dla z 6= 0, zaś Stab (0) = S1 oraz Stab (z) = {1} dla z 6= 0.

Działanie to nie jest więc ani przechodnie, ani wolne, ale jest wierne.

2. działanie (V,+) na przestrzeni afinicznej (E, V,→) jest wolne, przechodniei efektywne.

Definicja 11.1.11. Niech homomorfizm ψ określa jak grupa (H, ∗) działa nagrupę (G, ·). Zbiór G×H z działaniem � określonym wzorem

(g, h)�(g′, h′) = (g · (ψ(h)(g′)), h ∗ h′) dla (g, h), (g′, h′) ∈ G×H

nazywamy iloczynem półprostym grup G oraz H i oznaczamy przez GoH.

11.2 Izometrie przestrzeni euklidesowej

Definicja 11.2.1. Niech V , W będą przestrzeniami liniowymi z iloczynem ska-larnym, zaś ϕ : V →W przekształceniem liniowym. Odwzorowanie ϕ nazywamyprzekształceniem ortogonalnym, gdy zachowuje iloczyn skalarny, to znaczy gdy

(OM) ∀v1,v2∈V 〈ϕ(v1), ϕ(v2)〉 = 〈v1, v2〉

(po lewej stronie równości stosujemy iloczyn skalarny w przestrzeni W , a poprawej — w przestrzeni V ).

Stwierdzenie 11.2.2. Przekształcenia ortogonalne ustalonej przestrzeni eukli-desowej liniowej w siebie, z działaniem składania, stanowią grupę.

Dowód: Niech (V, 〈., .〉) będzie przestrzenią euklidesową liniową.Zauważmy, że każde przekształcenie ortogonalne ϕ : V → V jest różnowar-

tościowe. Na mocy stw. 9.13 wystarczy pokazać, że jadro przekształcenia ϕ jesttrywialne. Z faktu ϕ(v) = θ wynika na mocy definicji przekształcenia ortogo-nalnego, że 〈ϕ(v), ϕ(v)〉 = 0 = 〈v, v〉, co wraz z (IP3) daje v = θ.

Różnowartościowość przekształcenia ortogonalnego V → V zgodnie ze stw.9.15 gwarantuje, że przekształcenie to jest izomorfizmem.

Wystarczy zatem pokazać, że przekształcenia ortogonalne przestrzeni V sta-nowią podgrupę jej izomorfizmów.

Biorąc przekształcenia ortogonalne ϕ oraz ψ przestrzeni V w nią samą otrzy-mujemy z definicji dla v1, v2 ∈ V :

〈ψ ◦ ϕ(v1), ψ ◦ ϕ(v2)〉 = 〈ϕ(v1), ϕ(v2)〉 = 〈v1, v2〉,

co wraz ze stw. 9.6(2) daje ortogonalność przekształcenia ψ ◦ ϕ.Ponadto ze stw. 9.6(3) wynika, że ϕ−1 jest izomorfizmem, a definicja prze-

kształcenia ortogonalnego pociąga za sobą dla v1, v2 ∈ V równość

〈ϕ−1(v1), ϕ−1(v2)〉 = 〈ϕ ◦ ϕ−1(v1), ϕ ◦ ϕ−1(v2)〉 = 〈v1, v2〉,

co oznacza ortogonalność przekształcenia ϕ−1. �

Przykład 11.2.3. 1. Tożsamość jest przekształceniem ortogonalnym dowol-nej przestrzeni z iloczynem skalarnym na siebie.

30

2. Symetria środkowa v 7→ −v jest przekształceniem ortogonalnym dowolnejprzestrzeni z iloczynem skalarnym na siebie.

3. Sprzężenie z 7→ z jest przekształceniem ortogonalnym przestrzeni CR zestandardowym iloczynem skalarnym na siebie.

Definicja 11.2.4. Macierz A ∈Mnn(R) nazywamy macierzą ortogonalną stop-nia n, gdy AAT = I.

Zbiór wszystkich macierzy ortogonalnych stopnia n oznaczamy przez O(n), apozbiór zawierający te spośród nich, które mają wyznacznik 1 — przez SO(n).

Stwierdzenie 11.2.5. Zbiór O(n) z działaniem mnożenia macierzowego sta-nowi grupę, której podgrupą jest SO(n).

Dowód: Z definicji, tw. Cauchy’ego (12.17) i ze stw. 12.4 wynika, że macierzortogonalna ma wyznacznik równy ±1.

Wystarczy więc pokazać, żeO(n) jest podgrupą ogólnej grupy liniowejGL(n,R).Dla A,B ∈ O(n) spełniony jest warunek AAT = I = BBT , co wraz ze

własnościami transpozycji (stw. 11.18(3)) daje

(AB)(AB)T = (AB)(BTAT

)= A

(BBT

)AT = AAT = I,

czyli ortogonalność macierzy AB.Dla dowodu ortogonalności macierzy A−1, gdzie A ∈ O(n), wystarczy za-

uważyć, że A−1 = AT i ATA = A−1A = AA−1 = AAT = I, skąd natychmiast(stw. 11.8(4)) wynika, że

A−1 (A−1)T = AT(AT)T

= ATA = I.

SO(n) jest podgrupą O(n) na mocy tw. Cauchy’ego. �

Przykład 11.2.6. Macierz A =[a bc d

]jest ortogonalna wtedy i tylko wtedy,

gdy spełnione są warunki a2 + b2 = 1ac+ bd = 0c2 + d2 = 1

Z pierwszego i trzeciego z nich otrzymujemy istnienie takich α oraz β, że

a = cosα, b = − sinα, c = sinβ, d = cosβ,

a wówczas z drugiego sin(β−α) = 0. Wystarczy rozważyć przypadki β = α lubβ = π + α i obliczyć wyznaczniki, aby zauważyć, że

SO(2) ={[


]; α ∈ [0, 2π)

}oraz

O(2) = SO(2) ∪{[

cosα − sinα− sinα − cosα

]; α ∈ [0, 2π)

}Stwierdzenie 11.2.7. A jest macierzą przekształcenia ortogonalnego prze-strzeni Rn ze standardowym iloczynem skalarnym w siebie (w bazie kanonicznej)wtedy i tylko wtedy, gdy A ∈ O(n).

31

Dowód: W przestrzeni Rn standardowy iloczyn skalarny jest dany wzorem

〈v, w〉 = vTw

(wektory v, w ∈ Rn traktujemy jako macierze n×1). Zatem jeżeli A jest macierząprzekształcenia liniowego ϕ : Rn → Rn w bazie kanonicznej, to dla v, w ∈ Rn

〈ϕ(v), ϕ(w)〉 = 〈Av,Aw〉 = vTATAw.

⇒) Jeżeli A jest macierzą przekształcenia ortogonalnego ϕ : Rn → Rn wbazie kanonicznej, to vTw = vTATAw dla dowolnych v, w ∈ Rn. Biorąc za v iw wektory bazy kanonicznej, odpowiednio ei i ej otrzymujemy, że wyraz (i, j)macierzy ATA jest równy δij , i, j = 1, . . . , n. Zatem ATA = I, czyli A ∈ O(n).⇐) Jeżeli A ∈ O(n), to przekształcenie liniowe ϕ : v 7→ Av ma w bazie

kanonicznej macierz A oraz zachowuje iloczyn skalarny, bo ATA = I. �

Definicja 11.2.8. Izometrią przestrzeni euklidesowej E nazywamy funkcję prze-kształcającą E na E i zachowującą odległość, to znaczy spełniającą warunek

(I) ∀x,y∈E |f(x)f(y)| = |xy|.

Zbiór wszystkich izometrii przestrzeni E oznaczamy przez Isom (E).

Stwierdzenie 11.2.9. Izometrie dowolnej przestrzeni euklidesowej z działa-niem składania tworzą grupę.

Dowód: Każda izometria jest przekształceniem różnowartościowym, bo zwłasności normy (N1) wynika równoważność

f(x) = f(y)⇔−−−−−−→f(x)f(y) = θ ⇔ |f(x)f(y)| = 0⇔ |xy| = 0⇔ −→xy = θ ⇔ x = y.

Zatem każda izometria f : E → E jako przekształcenie ńa”jest bijekcją i tymsamym posiada przekształcenie odwrotne f−1. Wystarczy więc pokazać, że dlaf, g ∈ IsomE spełnione są warunki f ◦g ∈ IsomE oraz f−1 ∈ IsomE, co wynikaz definicji:

|f ◦ g(x), f ◦ g(y)| = |g(x), g(y)| = |xy|∣∣f−1(x), f−1(y)∣∣ =

∣∣f ◦ f−1(x), f ◦ f−1(y)∣∣ = |xy|.

�

Przykład 11.2.10. 1. Translacja Tv : x 7→ x+ v jest izometrią. Istotnie,

|Tv(x)Tv(y)| =∥∥∥−−−−−−−−→x+ v, y + v

∥∥∥ = ‖−→xy‖ = |xy|.

2. W przestrzeni En przekształcenie dane wzorem

x 7→ A ·−→θx+ b

(lub krótko Ax+ b), gdzie A ∈ O(n), b ∈ Rn, jest izometrią, bo jego prze-kształceniem liniowym jest przekształcenie ortogonalne (czyli zachowującetakże normę) o macierzy A (por. stw. 22.7).

32

Definicja 11.2.11. Niech H będzie podprzestrzenią afiniczną przestrzeni eu-klidesowej E. Funkcję sH : E → E daną wzorem

sH(x) = x+ 2−−−−−→xπH(x) dla x ∈ E

(πH oznacza rzut ortogonalny na podprzestrzeń H) nazywamy symetrią wzglę-dem podprzestrzeni H.

Przykład 11.2.12. 1. Symetria środkowa sp = s{p} dla dowolnego p ∈ Ejest dana wzorem

sp(x) = x+ 2−→xp = p+−→xp,

bo rzutowanie πp odbywa się na jedyny punkt p.

2. Jeżeli H jest hiperpłaszczyzną w E, p ∈ H, a v jest jednostkowym wek-torem normalnym do H (innymi słowy H = p + v⊥), to symetria hiper-płaszczyznowa względem H wyraża się wzorem

sH(x) = x− 2〈−→px, v〉v,

gdyż 〈−→px, v〉v jest składową wektora −→px równoległą do wektora v rozpina-jącego przestrzeń S(H)⊥, więc

πH(x) = p+ projS(H)(−→px) = p+−→px− 〈−→px, v〉v = x− 〈−→px, v〉v.

3. W przestrzeni E2 prosta jest hiperpłaszczyzną.

Jeżeli prosta L nie jest równoległa do drugiej osi, to ma równanie postaciy = mx + n, można więc przyjąć w poprzednim przykładzie p = (0, n)oraz v = 1√

1+m2(m,−1), skąd

sL((x, y)) =(

(1−m2)x+ 2my − 2mn1 +m2 ,

2mx− (1−m2)y + 2n1 +m2

).

Jeżeli zaś prosta L jest równoległa do drugiej osi, to ma równanie postacix = c. Wówczas p = (c, 0), v = (1, 0), skąd

sL((x, y)) = (2c− x, y).

Stwierdzenie 11.2.13. Niech H będzie podprzestrzenią afiniczną przestrzenieuklidesowej E. Symetria sH względem podprzestrzeni H ma następujące wła-sności:

1. sH jest inwolucją, tzn. sH ◦ sH = idE ;

2. sH jest izometrią;

3. podprzestrzeń H jest zbiorem wszystkich punktów stałych prekształceniasH , tzn. sH(x) = x wtedy i tylko wtedy, gdy x ∈ H.

Dowód: Oznaczmy przez s symetrię względem podprzestrzeni H, a przez π— rzut ortogonalny na tę podprzestrzeń.

33

1. Dla x ∈ E z uwagi na−−−→xπ(x) ⊥ H mamy

s ◦ s(x) = s(x+ 2

−−−→xπ(x)

)= x+ 2

−−−→xπ(x) + 2

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→(x+ 2

−−−→xπ(x)

)π(x+ 2

−−−→xπ(x)

)= x+ 2

−−−→xπ(x) + 2

−−−−−−−−−−−−−−→(x+ 2

−−−→xπ(x)

)π(x) = x+ 2

−−−→xπ(x)− 2

−−−→xπ(x) = x.

2. Z definicji symetrii dla x, y ∈ E otrzymujemy

−−−−−→s(x)s(y) =

−−−−−→s(x)π(x) +

−−−−−−→π(x)π(y) +

−−−−−→π(y)s(y)

=−−−−−−−−−−−−−−→(x+ 2

−−−→xπ(x)

)π(x) +

−−−−−−→π(x)π(y) +

−−−−−−−−−−−−−−→π(y)

(x+ 2

−−−→xπ(x)

)= −

(−−−→xπ(x) +

−−−→yπ(y)

)+−−−−−−→π(x)π(y)

i ostatni wektor, jako należący do S(H), jest ortogonalny do sumy dwóchpozostałych (bo każdy z nich należy do S(H)⊥). Stąd i z twierdzeniaPitagorasa otrzymujemy

|s(x)s(y)|2 =∥∥∥−−−−−→s(x)s(y)

∥∥∥2=∥∥∥−−−→xπ(x) +

−−−→yπ(y)

∥∥∥2+∥∥∥−−−−−−→π(x)π(y)

∥∥∥2

=∥∥∥−−−→xπ(x) +

−−−→yπ(y) +

−−−−−−→π(x)π(y)

∥∥∥2= ‖−→xy‖2 = |xy|,

co wraz z wzajemną jednoznacznością s (wynika z inwolutywności) dajeizometryczność tego przekształcenia.

3. Dla x ∈ E mamy

s(x) = x⇔ 2−−−→xπ(x) = θ ⇔ x = π(x)⇔ x ∈ H.

�

Twierdzenie 11.2.14. (Mazura–Ulama) F Każda izometria przestrzeni eukli-desowej jest przekształceniem afinicznym.

Dowód: Niech E będzie przestrzenią euklidesową, f ∈ Isom(E) i niech p ∈ E,q = f(p). Wówczas dla x ∈ E

f(p) +−−−→qf(x) = f(x) = f (p+−→px) .

Przyjmując ϕ (−→px) =−−−→qf(x) widzimy, że na mocy stwierdzenia 17.4 afiniczność

przekształcenia f wynika z liniowości przekształcenia ϕ.Pokażemy najpierw, że ϕ jest przekształceniem jednorodnym. Niech a ∈ R

i x ∈ E. Kładąc x′ = x + a−→px otrzymujemy−→px′ = a−→px. Tym samym punkty

p, x, x′ są współliniowe, więc jeden z nich należy do odcinka o końcach w pozo-stałych punktach. Możliwe są więc przypadki:

I. x′ ∈ pxII. x ∈ px′III. p ∈ xx′Rozważmy przypadek I. Gdy p = x, to p = x′ = x, czyli

−−−−→qf(x′) = θ =

a−−−→qf(x).

34

Jeżeli p 6= x, to z lematu o odcinku (stw. 19.15) wynika, że

|px′|+ |x′x| = |px|,

a ponieważ izometria f zachowuje odległości, także

|f(p)f(x′)|+ |f(x′)f(x)| = |f(p)f(x)|.

Stosując ponownie lemat o odcinku wnioskujemy, że f(x′) ∈ qf(x). Zatem ist-

nieje b ∈ [0, 1] takie, że−−−−→qf(x′) = b

−−−→qf(x), co wraz z powyższymi warunkami na

odległość daje

a ‖−→px‖ =∥∥∥−→px′∥∥∥ =

∥∥∥−−−−→qf(x′)∥∥∥ = b

∥∥∥−−−→qf(x)∥∥∥ = b ‖−→px‖ ,

skąd na mocy p 6= x otrzymujemy a = b, czyli ϕ (−−→a px) = aϕ (−→px), co kończydowód jednorodności w przypadku I. Przypadki II i III rozważamy analogicznie.

Aby wykazać addytywność przekształcenia ϕ zauważmy najpierw, że izome-tria na mocy lematu o odcinku zachowuje środek odcinka, tzn. dla x, y ∈ E

f

(12x+

12y

)=

12f(x) +

12f(y).

To z kolei wraz z udowodnioną właśnie jednorodnościa pociąga za sobą ciągrówności

ϕ (−→px+−→py) = 2ϕ(

12−→px+

12−→py)

= 2−−−−−−−−−−→qf

(12x+

12y

)= 2−−−−−−−−−−−−→q,

12f(x) +

12f(y)

= 2(

12−−−→qf(x) +

12−−−→qf(x)

)= ϕ (−→px) + ϕ (−→py)

Ostatecznie ϕ spełnia (LM1) i (LM2), jest więc przekształceniem liniowym,a izometria f — przekształceniem afinicznym. �

Wniosek 11.2.15. Isom(En) ∼= Rn oO(n),czyli grupa izometrii przestrzeni En (z działaniem składania) jest izomorficznaz iloczynem półprostym grup (Rn,+) oraz (O(n), ·).

Dowód: szkic Bridson, Haefliger, Metric Spaces of Nonpositive Curvature �

Uwaga 11.2.16. Klasyfikacja izometrii przestrzeni En stanowi, że wszystkieizometrie tej przestrzeni są postaci opisanej w przykładzie 11.2.10(2).

Uwaga 11.2.17. Podobnie można pokazać, że przekształcenie liniowe związanez izometrią jest ortogonalne, a dla dowolnej przestrzeni euklidesowej E mamyIsom(E) ∼= V o O(V ), gdzie V = S(E), zaś O(V ) jest grupą przekształceńortogonalnych przestrzeni V w siebie.

Twierdzenie 11.2.18. Każda izometria n–wymiarowej przestrzeni euklideso-wej jest złożeniem symetrii hiperpłaszczyznowych w liczbie nie przekraczającejn+ 1.

35

algebra liniowa z geometrią 2

Documents