Relaciones

• Ideas de relación:

La relación se presenta en casi todas las actividades de la vida diaria, por que están

relacionados unos con otros.

Por ejemplo “el precio de una sandia con relación a su peso, el alumno esta en la relación con su escuela, la ropa esta en relación con al estación de año

• Par ordenado:• Al definir una relación entre elementos no solo

es fijar parejas sino establecer pares ordenados es decir donde existe un orden donde permite

destacar uno de ellos como primer elementos y el otro como segundo y en consecuencia se

hace necesario introducir una notación especial para las parejas ordenadas ya que el símbolo {x,y} de nota un conjunto. Indicamos los pares ordenados colocando los dos elementos entre

paréntesis y separados por una coma, así:

(x,y)Al elemento x, lo llamaremos primer componente en el paréntesis (x,y)

Al elemento y, lo llamaremos segundo componente en el paréntesis (x,y).

Ejemplo 1: Al vestirnos cada mañana, primero van las medias y luego los zapatos (y no lo contrario) entonces media y zapatos forman un par ordenado o un conjunto de dos elementos pero en cierto orden, donde media es el primer componente y zapatos es el segundo componente del par, así: (media, zapatos)

Es importante tener en cuenta al conjunto {a,b} con el PAR ORDENADO (a,b). El primero permite escribir {a,b}={b,a}, mientras que el segundo (a,b)≠(b,a) PORQUE {a,b} no importa el orden en que se coloquen sus elementos

• Producto Cartesiano: Ejemplo 1: Consideramos los conjuntos

A={1,2,3} ; B={a,b} y formemos en conjunto que contenga toda las parejas de primera componente en A y la segunda componente en B, se obtiene entonces:

{ (1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a)(3,b)} ; A este subconjunto se le llama producto cartesiano de A por B.

Simbólicamente en forma general se representa de la siguiente manera:

AxB={(a,b):a ε A y b ε B}

Ejemplo2: Dado los conjuntos X={m,n,p} y Y={1,2,3} se tiene que:

XxY={(m,1),(m,2),(m,3),(n,1)(n,2),(n,3),(p,1),

(p,2),(p,3)}

representación grafica: (veamos algunos de ellos)

Sagital

AxB A AxB B

1.

2.

3.

.a

.b

Diagrama Cartesiano

Denominado plano cartesiano.-esta caracterizado por:

.En cada recta esta representado el conjunto R.

.Convencionalmente una recta es horizontal (EJE DE ABSCISAS) y la otra vertical (EJEJ DE COORDENADAS).

.Ambos ejes cortados en el ORIGEN dividen al PLANO en CUATRO regiones llamadas CUADRANTES, las cuales se ordenan en sentido antihorario.

y Eje de ordenadas

II (x,y) I Eje de abscisas

-x +x Origen de ordenadas

III IV

-y

De nuestro ejemplo inicial, donde

R={(m,1),(m,2),(m,3),(n,1),(n,2)(n,3),(p,1)

(p,2),(p,3)}, para la cual lo ubicaremos los puntos en (I) el primer cuadrante.

3 ··················· . . . 2 ··················· . . . 1 ··················· . . . m n p

Vemos que en el producto cartesiano A x B, se ubican en el eje la “abscisa”(x) los elementos del conjunto A y en el eje de la “ordenada” (y) se ubican los elementos de B, por tanto cada punto de intersección de las rectas paralelas trazadas a los ejes, es un punto que representa a un determinado par ordenado: para lo cual se toma escalas (medidas) apropiadamente

• Relaciones: Si deseamos de expresar en una forma simple el concepto ordinario de relación se hace necesario precisar las parejas de elementos cuyos elementos se encuentran asociadas o ligadas mediante una regla de asociación.

• Ejemplo: Supongamos que mamá le pide a los chicos que escojan una fruta que deseen. Ellos escogen según el cuadro.

Julio. .plátano observamos que

.naranja Alberto no desea

Eva. .manzana fruta alguna y

.fresa que nadie a

Alberto. .lima escogido la

manzana

Simbólicamente escribimos:

P={J,E,A} F={p,n,m,f,l}

Sea el producto P x F

ahora vamos a relacionar al conjunto P con el conjunto F es decir existe una condición que asocia o corresponde un elemento con el otro.

Por la elección de los chicos tendremos que considerar los pares ordenados (J,p),(J,l),(E,n)(E,f) .

En el grafico estos pares los marcamos con * y este conjunto de pares ordenados es la relación entre P y F.

¿Qué es esta relación del conjunto de P y F?

Es un subconjunto de P y F!

F

l * · ·

f · * ·

m · · ·

n · * ·

p * · ·

J E A

Por tanto: Una relación es un subconjunto del producto cartesiano. Precisemos algunos conceptos.

A B

Dominio Rango

Conjunto de partida Conjunto de llegada

A.

.p

.n.m.f.l

J.

E.

Conjunto de partida: Se llama la conjunto A o

“ todo elemento del primer conjunto”

Conjunto de llegada: Se le llama al conjunto F o “todo elemento del segundo conjunto”

p se llama imagen de J y E

n se llama imagen de E.

J,E} se llama DOMINIO de la relación, pues J,E tienen imagen en F.

{p,n,f,l} se llama RANGO de la relación (“escoger”). Pues sus elementos son imagen de algún elemento de A.

ACTIVIDAD Nº 1

I. Indicar los pares que verifiquen cada una de las siguientes relaciones:

a)…………… limita con ……………

b)…………… es hermano de …………

c)…………… es padre de ……………..

d)…………… es el autor de ……………

e)…………… es la tercera parte de …………..

f)…………… es múltiplo de …………………

II. Si (a,b) ε R, hallar R: A → B, construir el diagrama de flechas y determinar el dominio y el rango de la relación para:a) A=(5,7,9) y B=(6,10) definida por a < bb) A=(9,12,15) y B=(3,4,5) definida por a=3bc) A=(2,4,8) y B=(6,8,10) definida por a + b = 14

III. Dado el diagrama de la siguiente figura determinar:El conjunto BLa relación REl dominio y el rango de la relación

R A → B

4.

5.

9.

10.

.2

.3

.7

.6

IV. Dado el grafico de la siguiente figura determina

el conjunto A

la relación R

el dominio y el rango de la relación

2.

3.

4.

V. Construir el diagrama cartesiano y determinar el dominio y le rango de

{(x,y)/-3 ≤ x ≤ +3 , 0 ≤ y ≤ +2}

VI. Dado el diagrama cartesiano de la siguiente figura determinar

el dominio y rango

la relación de R

Y

3

2

1

X 3 2 1

-1

-2

-3

V. Dado los siguientes conjuntos A={1,3,5,7} B={1,2,3,4} C={ (3,2),(5,4)} Hallar la condición que define la relación R, el diagrama sagital, el dominio y el rango de R.

VI. Considerando los siguientes conjuntos : N={0,1,3,4,5,6,7} B={Par, impar, primo}Representar la relación mediante el diagrama sagital, la relación R, definida por “es un numero”

Propiedades de la Relación:

Relación Simétrica.- Se define así :

Una relación R en A es simétrica a R b → b R a

Ejemplo:

Sean B={Nora, Pedro, Juan, Rosa} y

R=“ es hermana (o) de”

En este caso vemos que Nora es hermana de Pedro implica que Pedro es hermano de Rosa, Juan es hermano de Rosa implica que Rosa es hermana de Juan.

En símbolos tenemos:

N R P implica P R N

J R R implica R R J

gráficamente

“es hermana (o) de”

Observa, hay B flechas de ida

y vuelta.

.N .p

.J

.R

Relación antisimétrica.- Se define así :

Una relación a R en A es antisimétrica para a ≠ b, si a R b entonces b Я a

Ejemplo: Sea A={4,5,8} y la relacion R en A definida por a divide a b

tenemos:

R={(4,4),(5,5)(8,8),(4,8)}

R es una relación antisimétrica

por que 4 R 8 pero 8 Я 4

Relación Transitiva: Se define así :

Una relacion R en A es transitiva si a R b,

B R c → a R c

Ejemplo: Sea A={7,5,3} y la relación definida por a>b A={(7,5),(5,3)(7;3)}

7 R 5;5 R 3;7 R 3 A

.5

7.

.3

“Un primero esta relacionado con un segundo, este esta relacionado con un tercero entonces el primero esta relacionado con el tercero”

Relación de Equivalencia: Una relación R en A es de equivalencia si y solo si es reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplo: Sean A={x/x ser humano} y R definida en A por | ser compatriota de | Tenemos:

R es reflexiva, porque a R a, Å a ε R, puesto que todo ser humano es compatriota de si mismo.

R es simétrica, porque a=b, entonces a es compatriota de b, luego b es compatriota de a, es es b=a, puesto que tiene la misma patria.

R es transitiva, por que a R b, b R c y a R c es decir a es compatriota de b, y b es lo de c. Por tanto a es compatriota con c.

Relación de Orden: Una relación R en A es de orden si y solo si es reflexiva, antisimétrica y transitiva.

Ejemplo: Sean A={3,5,7} y al relación R en A definida por a ≤ b.

Tenemos:

P={(3,3),(5,5),(7,7),(3,5)(5,7)(3,7)}

es reflexiva : 3 R 3;5 R 5;7 R 7

Es antisimétrica:3 R 5 pero 5 Я 3,3 R 7 pero 7Я 3

Es transitiva:3 R 5,5 R 7 y 3 R 7

gráficamente

A.5

.3

.7

ACTIVIDAD Nº 2

I.- Considerando el conjunto A y la relación R, definida en A.

A={a,b,c}

R={(a,a),(b,b),(c,c)}

Se pide demostrar si:

a)¿R es reflexiva?

b)¿R es simétrica?

c)¿Res transitiva?

d)¿R es antisimétrica?

e)¿R es de equivalencia?

f)¿R es de orden?

II.- En los siguientes diagramas sagitales:

Denotar las siguientes propiedades, tomando en cuenta el recorrido de las flechas.

a) relación reflexiva

b)relación simétrica

c)relación transitiva

d)relación antisimétrica

III. Sean X= [1,2,3,4,5] y S=[(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(4,5),(5,4),(5,5)]

el conjunto solución de una relación R. Determina si R es una relación de equivalencia.

IV.- Sean A=[6,12,18] y al relación R en A definida a=b o “a divide b”

Hallar la relación R

Construye el diagrama de flechas

Determinar si es un relación de equivalencia o de orden y fundamenta tu afirmación.

V.- Sean A=[4,3,2,1] y la relación R, en A definida por a ≥ b

Hallar la relación

Construye el diagrama de flechas

Determina si es una relación de equivalencia o de orden y fundamenta tu afirmación

Funciones

• La idea de función: La idea de función es una de las mas importantes de la matemática moderna pues con su ayuda se puede estudiar y formular en forma mas precisa y elegante. Esta ligada a nuestra vivencia diaria ya que en muchas de nuestras experiencias, “algo” depende de “algo”.

Por ejemplo nuestro rendimiento en ele colegio depende de nuestra dedicación al estudio, el precio de un par de zapatos depende del tamaño y calidad, etc.

Una función es una cierta ley que gobierna el comportamiento de un cierto conjunto.

Observa bien las siguientes relaciones!

Ejemplo 1. Sean los siguientes conjuntos

A=[Cesar, David, Martha, Humberto, José] y

R=“es padre de” de acuerdo al grafico

R= es un padre de

A A

Ejemplo 2: Sean los conjuntos

A=[Ricardo, Jorge, David, Benjamín, Zoila]

B=[5,8,12,14,18] y

R= [tiene por edad] de acuerdo al grafico

R=tiene por edad

A B

R.

J.

D.

B.

Z.

.5

.8

.12

.14

.18

¿ Cual es la diferencia esencial entre ambas relaciones?

La diferencia puede ser en el ejemplo 1 un elemento del dominio puede tener mas de una imagen.

Si has comprendido la diferencia esencila, podemos decir que….. Una relación que tiene la propiedad del ejemplo 2, se llama función.!

Ejemplo 3:

A B A B

no es una función (a) es una función (b)

A B A B

es una función (c) es una función (d)

.

.

.

.

:

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

..

.

.

.

.

.

.

.

CONCLUSION: Una función es una relación en la que todo elemento del dominio tiene una y sola imagen.

Notación: Una función con conjuntos de partida A y conjunto de llegada B, se escribe

f

F: A → B

a → f (a) A E

Podremos deducir D(f)=dominio de f, R(f)=rango de f

a

.

f (a)

.

• CLASES DE FUNCIONES

Así como existen diferentes clases de relaciones, veremos algunas clases de funciones a partir del ejemplo 3.

Función Inyectivas o Unívocas.- En (b):

Dos elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas, es decir, si a ≠ b entonces f(a) ≠ f(b)

Funciones Sobreyectivas ó Sobre.- En (c) :

Todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del conjunto de partida, aun cuando pueda ser imagen de dos o mas elementos, en otras palabras si b є B,Э a є A tal que b=f(a); también se llama f. SURYECTIVA

Funciones Biyectivas ó Biunívocas.- En (d) :

Todo elemento del conjunto de partida tiene una y solo una imagen, todo elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del conjunto de partida; en otras palabras, la función es inyectiva y a la vez sobreyectiva.

Funciones Constantes.- En (e):

Todos los elementos de A tienen una misma imagen.

En (f) ¿Por qué no es una función ? ……………….

• Aplicaciones o Funciones.- En (b), (d), (e)

D f = A y f(a) ≠ f (b)

Cada elemento de A le corresponde un único de B, es decir ningún elemento de A queda sin imagen ni tampoco un mismo elemento de A tiene dos ó mas imágenes. Una relación así restringida se llama aplicación