C u r s o : Matemática

Material N° 07A

GUÍA TEÓRICO PRÁCTICA Nº 7A

UNIDAD: ÁLGEBRA Y FUNCIONES

ÁLGEBRA DE POLINOMIOS

EVALUACIÓN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Evaluar una expresión algebraica consiste en sustituir las letras por los valores numéricosdados para luego realizar las operaciones indicadas. Esta sustitución va siempre entreparéntesis.

TÉRMINOS SEMEJANTES

Son aquellos que tienen idéntico factor literal, es decir tienen las mismas letras, y losmismos exponentes, sólo pueden diferir en el coeficiente numérico.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES

Para reducir términos semejantes basta sumar o restar sus coeficientes numéricos ymantener su factor literal.

USO DE PARÉNTESIS

En Álgebra los paréntesis se usan para agrupar términos y separar operaciones. Losparéntesis se pueden eliminar de acuerdo a las siguientes reglas:

Si un paréntesis es precedido de un signo +, este se puede eliminar sin variar lossignos de los términos que están dentro del paréntesis.

Si un paréntesis es precedido por un signo –, este se puede eliminar cambiando lossignos de cada uno de los términos que están al interior del paréntesis.

Si una expresión algebraica tiene términos agrupados entre paréntesis y ellos a su vez seencuentran dentro de otros paréntesis, se deben resolver las operaciones que anteceden alos paréntesis desde adentro hacia fuera.

EJEMPLOS

1. Si a = -2, b = -3 y c = 4, entonces ab2 – a3 : c =

A) 20B) 6,5C) -2,5D) -16E) -20

2

2. x – 2y + 3z – 4 – 2x + 4y – z + 3 =

A) -x + 2y – 2z – 1B) -x – 2y + 2z – 1C) -x + 2y + 2z – 1D) x + 2y + 2z – 1E) -x + 2y + 2z + 1

3. a2b –13

ab2 –14

a2b +23

ab2 – 1 =

A)34

ab2 +13

a2b – 1

B)34

a4b2 +13

a4b – 1

C)34

ab2 –13

a2b – 1

D)34

a2b +13

ab2 – 1

E) -34

ab2 +13

a2b – 1

4. 3x + 2y – {2x – [3x – (2y – 3x) – 2x] – y} =

A) 5x + 5yB) 5x + yC) -7x + 5yD) 7x – 5yE) 5x – y

3

OPERATORIA ALGEBRAICA

ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN DE POLINOMIOS

Para sumar y/o restar polinomios se aplican todas las reglas de reducción de términossemejantes y uso de paréntesis.

MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS

MONOMIO POR MONOMIO:

Se multiplican los coeficientes numéricos entre sí y los factores literales entre sí, usandopropiedades de potencias. Al multiplicar tres o más monomios, se agrupan todos loscoeficientes numéricos y se multiplican entre sí; y los factores literales también seagrupan y se multiplican entre sí.

MONOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica el monomio por cada término del polinomio.

Es decir: a(b + c + d) = ab + ac + ad

POLINOMIO POR POLINOMIO:

Se multiplica cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomioy se reducen los términos semejantes, si los hay.

EJEMPLOS

1. Si A = 2x2 + 3x + 7 y B = 5x2 – 7x – 4, entonces -2(A + B) =

A) 6x2 – 20x – 20B) -14x2 – 8x – 6C) -14x2 + 8x – 6D) -14x2 – 20x – 6E) -6x2 – 20x – 20

2. La diferencia entre -(1 – a) y -(-a), en ese orden es

A) 1B) -1C) -2a + 1D) -2a – 1E) 2a – 1

4

3. José tiene 5a – b estampillas. Le regala a su hermano Miguel 3a – b y a su hermanaCristina a + b. ¿Con cuántas estampillas quedó José?

A) 9a – bB) 7a – 3bC) a – 3bD) a – bE) 3a – 3b

4. 22xy z

5

225x y

4

(-2 yz-3) =

A) -5x-3y4z-2

B) -5x3y-4z-2

C) 5x-3y4z-2

D) -5x3y4z-2

E) 5x3y4z-2

5. (a – 1) (an + an + 1 + an + 2) =

A) -an + an + 3

B) an + a3n

C) an – 2a2n

D) an + an + 3

E) an – an + 3

5

PRODUCTOS NOTABLES

CUADRADO DE BINOMIO

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más o menos el

doble producto del primero por el segundo término, más el cuadrado del segundo.

EJEMPLOS

1. (1 + 2x)2 =

A) 1 + 4x + 2x2

B) 1 + 4x2

C) 4x + 1 + 4x2

D) 1 + 2x + 4x2

E) 1 + 2x + 2x2

2.21

22w

=

A) 4 –2w

+2

1

4w

B) 4 –4w

+2

1

4w

C) 4 +4w

+2

1

4w

D) 4 +2w

+2

1

4w

E) 4 –2

1

4w

3. (5 – 2 3 )2 =

A) 31 – 20 3

B) 37 – 20 3

C) 37 – 10 3D) 37E) 13

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

6

4. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) con (2x – 3)2?

I) (3 – 2x)2

II) 4x2 – 9III) [-2x – (-3)]2

A) Solo IB) Solo IIIC) Solo I y IID) Solo I y IIIE) I, II y III

5. (an – a-n)2 =

A) 4a-2n

B) a2n – a-2n

C) a2n – a-2n – 2D) a2n + a-2n – 2E) a2n + a-2n + 2

7

SUMA POR DIFERENCIA

El producto de la suma por la diferencia entre dos términos es igual al cuadrado delprimer término menos el cuadrado del segundo término.

BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN

El producto de dos binomios con un término común es igual al cuadrado del términocomún, más el producto del término común con la suma algebraica de los otros dostérminos, más el producto de los términos no comunes.

EJEMPLOS

1. (1 – 2 ) (1 + 2 ) =

A) 1 – 2 2B) -1C) 1D) 2 2

E) 1 + 2 2

2. (4a2 – b2)(4a2 + b2) =

A) 16a2 – b2

B) 16a4 – b4

C) 4a2 – b2

D) 16a2 – b4

E) 16a4 – 8a2b2 + b4

3. (x – 5) (x + 2) =

A) x2 +3x – 10B) x2 – 3x + 10C) x2 – 3x – 10D) x2 – 10E) x2 – 3x

(x + y)(x – y) = x2 – y2

(x + a) (x + b) = x2 + (a + b)x + ab

8

4. (2z + 1)1

2z2

=

A) 4z2 + z –21

B) 2z2 + z –21

C) 4z2 +21

z –21

D) 4z2 + z +21

E) 4z2 –21

5. (7m – 3n)(7m + 3n) =

A) 72m – 92n

B) 492m – 92n

C) 72m + 32n

D) 49m – 32n

E) 49m – 3n

6. Si P = -22

x + 13

y Q =22

- x + 13

, entonces P + Q =

A) -83

x

B) -43

x

C) -89

x

D) 0E) 2

9

CUADRADO DE TRINOMIO

CUBO DE BINOMIO

EJEMPLOS

1. (2x – y + z)2 =

A) 4x2 + y2 + z2

B) 4x2 + y2 + z2 – 2xy + 2xz – yzC) 2x2 + y2 + z2 – 4xy + 4xz – 2yzD) 4x2 – y2 + z2 + 4xy + 4xz – 2yzE) 4x2 + y2 + z2 – 4xy + 4xz – 2yz

2. (b + 1)3 =

A) b3 + 1B) b3 + b2 + b + 1C) b3 + 3b + b2 + 1D) b3 + 3b2 + 3b + 1E) b3 + b2 + 3b + 1

3. (x2 – y2)3 =

A) x6 – y6

B) x6 – x4y2 + x2y4 – y6

C) x6 – 3x4y2 + 3x2y4 – y6

D) x5 – 3x4y2 + 3x2y4 – y5

E) x6 – 3x2y + 3xy2 – y6

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(a b)3 = a3 3a2b + 3ab2 b3

10

4.31

1a

=

A)3 2

1 3 3 + 1

aa a

B)3 2

1 3 3 + 1

aa a

C)3 2

1 1 1 + 1

aa a

D)3 2

1 3 3 + 1

aa a

E)3

1

a– 1

11

FACTORIZACIÓN

FACTORIZAR

Es el proceso de escribir un polinomio como producto de sus factores.

FACTOR COMÚN

MONOMIO:

BINOMIO

EJEMPLOS

1. 54 – 81x =

A) 27(2 – 3x)B) 18(3 – 4x)C) 9(6 – 6x)D) 9(6 + 9x)E) 27(2x – 3)

2. Al factorizar 2x3y – 8x2y2 – 6xy3 se obtiene

A) x(2x2y – 8xy2 – 6xy3)B) -6x6y6

C) 2xy(x2 – 4xy – 3y2)D) x3y2(2y2 – 8xy – 8x2)E) 2xy(x2 – 6xy – 3xy)

3. t(x + y) + u(x + y) =

A) tu(x + y)B) xy(t + u)C) 2tu(x + y)D) (t + x)(u + y)E) (x + y)(t + u)

4. Uno de los divisores de 18x3 – 8x es

A) 2x3

B) 3x – 2C) 3x2 + 2D) (3x + 2)2

E) 2x2

ac + ad = a(c + d)

(a + b)c + (a + b)d = (a + b)(c + d)

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5. Si en la expresión x2n + xn uno de sus factores es xn, entonces el otro factor es

A) x2 + xB) x-n + 1C) 1 – xn

D) xn + 1E) x

6. a – 2 – x(a – 2) =

A) -xB) -x(a – 2)C) -2x(a – 2)D) (1 – x)(a – 2)E) (1 + x)(a – 2)

7. c(1 – x) + c2x(1 – x) =

A) c(c + x)(1 – x)B) c(1 – x)(1 + cx)C) 2c3x(1 – x)D) c3x(1 – x)E) c2x(1 – x)

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DIFERENCIA DE CUADRADOS:

DIFERENCIA DE CUBOS:

SUMA DE CUBOS:

EJEMPLOS

1. a2 – 289 =

A) (17 – a)(17 – a)B) (a – 17)(17 – a)C) (a + 17)(a + 17)D) (a + 17)(a – 17)E) (a – 17)2

2. Al factorizar 16x2 – 9y2 su resultado es

A) (4x – 3y)(4x – 3y)B) (8x + 3y)(8x – 3y)C) xy(16x – 9y)D) (4x – 3y)2

E) (4x + 3y)(4x – 3y)

3. a3 + 1 =

A) (1 – a)(1 – a + a2)B) (1 + a)(1 + a + a2)C) (1 + a)(a2 – a + 1)D) (1 – a)(1 + a + a2)E) (1 – a)2(1 – a)

a2 – b2 = (a + b) (a – b)

a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2)

a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)

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4. Uno de los factores de 8z3 – 1 es

A) 2z + 1B) 2z – 1C) 6z3 + 1D) z – 1E) z + 1

5. x2 –2

1

w=

A)21

xw

B)1 1

x + xw w

C)1 1

x + x +w w

D)1 1

x xw w

E)1 1

x x +w w

6. x4 – y4 =

A) (x2 – y2)2

B) (x2 + y2)(x + y)(x – y)C) (x2 + y2)(x + y)(x + y)D) (x2 + y2)(x – y)(x – y)E) (x + y)(x + y)(x – y)(x + y)

7. a6 – y12 =

A) (a3 – y6)2

B) (a4 – y10)(a2 – y2)C) (a – y2)6

D) (a3 – y6)(a3 + y6)E) (a2 – y4)(a2 + y4)(a2 + y4)

8. Si a b = 2a – b y a b = 2a + b, entonces (p q)2 – (p q) · (p q) =

A) 2q2 – 2pqB) 2q2 – 4pqC) -4pqD) -2pqE) 0

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TRINOMIO CUADRADO PERFECTO:

TRINOMIO DE LA FORMA:

TRINOMIO DE LA FORMA:

EJEMPLOS

1. a2 – 2a + 1 =

A) (a + 1)(a – 1)B) (a + 1)(a + 1)C) (a + 1)(1 – a)D) (1 – a)(1 – a)E) (1 – a)(a – 1)

2. Al factorizar x2 – 2x – 15 se obtiene

A) (x + 1) (x – 15)B) (x – 5) (x – 3)C) (x – 5) (x + 3)D) (x + 5) (x – 3)E) (x + 5) (x + 3)

3. 2x2 + 5x + 2 =

A) (2x + 1)(2x + 4)B) (2x + 1)(x + 4)C) (x + 1)(2x + 4)D) (2x + 1)(x + 2)E) (x + 1)(2x + 2)

4. Si a = x2 – xy y b = y2 – xy, entonces a + b es igual a

A) (x + y)2

B) (x – y)2

C) (x + y)(x – y)D) (x – y)(y – x)E) 2x + 2y

a2 2ab + b2 = (a + b)2

x2 + px + q = (x + a) (x + b) con p = a + b, q = ab

ax2 + bx + c =(ax + p)(ax + q)

acon b = p + q, ac = pq

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5. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) factor(es) de la expresión algebraicax2 – 7x + 12?

I) x – 4II) x – 1

III) x – 3

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) Solo I y III

6. ¿Cuál(es) de las siguientes expresiones es (son) equivalente(s) a 6x2 – 5x – 6?

I) (3 – 2x)(-2 + 3x)II) (2x – 3)(3x + 2)

III) (3 – 2x)(-3x – 2)

A) Solo IB) Solo IIC) Solo IIID) Solo II y IIIE) I, II y III

7. 9 + 4x2 – 12x =

A) (3 – 2x)(3 + 2x)B) (2x – 3)(2x + 3)C) (3 – 2x)(2x – 3)D) (3 – x)(3 – 4x)E) (3 – 2x)(3 – 2x)

8. 2x3y3 + 16x2y4 + 32xy5 =

A) y3(2x2 + 4y)2

B) 2xy3(x + 4y)2

C) 2x(x + 4y4)2

D) 2x3y(x + 4y)2

E) 2xy3(2x + 8y)2

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FACTORIZACIÓN POR AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS

Para factorizar polinomios de cuatro o más términos, éstos se deben agruparconvenientemente de manera de hacer factorizaciones parciales y llegar a una factorizaciónfinal.

OBSERVACIÓN: Los casos anteriores de factorización nos conducen a la siguiente estrategiageneral para factorizar un polinomio.

1. Intente factor común.2. Cuente los términos del polinomio.

2.1. Si tiene 2 términos, intente: suma por diferencia, suma de cubos o restasde cubos.

2.2. Si tiene 3 términos, intente cuadrado de binomio inicialmente, si no,aplique trinomios que no son cuadrados.

2.3. Si tiene más de 3 términos agrupe convenientemente.

EJEMPLOS

1. ax + ay + bx + by =

A) ab(x + y)B) xy(a + b)C) (2a + 2b)(x + y)D) (2x + 2y)(a + b)E) (a + b)(x + y)

2. pr + qr – ps – qs =

A) (p + q)(r + s)B) (p + q)(r – s)C) (p – q)(r + s)D) (p – q)(r – s)E) (p – r)(q – s)

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3. a2 + 3a + ac + 3c =

A) (3 + a)(c + a)B) (a – 3)(a – c)C) (a + 3)(a – c)D) (c – a)(c – 3)E) (c – 3)(c + a)

4. mx – 4 + m – 4x =

A) x(m – 4)B) (x – 1)(m + 4)C) (x – 1)(m – 4)D) (x + 1)(m – 4)E) (x + 1)(m – 1)

5. ax – bx + by + cy – cx – ay =

A) (a – b)(c – x)(x – y)B) (a – b – c)(x + y)C) (a – b + c)(x – y)D) (a – b – c)(x – y)E) (a + b + c)(x + y)

6. a2 – b2 – c2 + 2bc =

A) b(a + 1) + a(b + c)B) a(b + c) – b(a – c)C) (a + b – c)(a – b + c)D) (a + b + c)(a – b – c)E) (a – b – c)(a – b + c)

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RESPUESTAS

DMTRMA07A

EjemplosPágs. 1 2 3 4 5 6 7 8

1 y 2 D C D B

3 y 4 C B D D A

5 y 6 C A B D D

7 y 8 B B C A D A

9 y 10 E D C A

11 y 12 A C E B D D B

13 y 14 D E C B E B D B

15 y 16 D C D B E D E B

17 y 18 E B A D D C

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