monomios polinomios casos notaveis

Prof.ª Arminda Pereira

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ESCOLA BÁSICA DE ALFORNELOS

FICHA DE TRABALHO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE MATEMÁTICA

Monómios e Polinómios

Monómios; fatores numéricos, constantes e varáveis ou indeterminadas; parte numérica ou coeficiente; monómio nulo e monómio constante; parte literal;

Monómios semelhantes; forma canónica de um monómio; igualdade de monómios;

Grau de um monómio;

Soma algébrica e produto de monómios;

Polinómios; termos; variáveis ou indeterminadas, coeficientes; forma reduzida; igualdade de polinómios; termo independente; polinómio nulo;

Grau de um polinómio;

Soma algébrica e produto de polinómios;

Casos notáveis da multiplicação como igualdades entre polinómios;

Problemas associando polinómios a medidas de áreas e volumes, interpretando geometricamente igualdades que os envolvam;

Problemas envolvendo polinómios, casos notáveis da multiplicação de polinómios e factorização.

METAS CURRICULARES DE MATEMÁTICA

Monómios e Polinómios 2. Reconhecer e operar com monómios

1. Identificar um monómio como uma expressão que liga por símbolos de produto «fatores numéricos» (operações envolvendo números e letras, ditas «constantes», e que designam números) e potências de expoente natural e de base representada por letras, ditas «variáveis» (ou «indeterminadas»).

2. Designar por «parte numérica» ou «coeficiente» de um monómio uma expressão representando o produto dos respetivos fatores numéricos.

3. Designar por «monómio nulo» um monómio de parte numérica nula e por «monómio constante» um monómio reduzido à parte numérica.

4. Designar por «parte literal» de um monómio não constante, estando estabelecida uma ordem para as variáveis, o produto, por essa ordem, de cada uma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em que essa variável intervém no monómio dado.

5. Identificar dois monómios não nulos como «semelhantes» quando têm a mesma parte literal.

6. Designar por «forma canónica» de um monómio não nulo um monómio em que se representa em primeiro lugar a parte numérica e em seguida a parte literal.

7. Identificar dois monómios como «iguais» quando admitem a mesma forma canónica ou quando são ambos nulos.

8. Reduzir monómios à forma canónica e identificar monómios iguais.

9. Designar por «grau» de um monómio não nulo a soma dos expoentes da respetiva parte literal, quando existe, e atribuir aos monómios constantes não nulos o grau 0.

10. Identificar, dados monómios semelhantes não nulos, a respetiva «soma algébrica» como um monómio com a mesma parte literal e cujo coeficiente é igual à soma algébrica dos coeficientes das parcelas.


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11. Identificar o «produto de monómios» como um monómio cuja parte numérica é igual ao produto dos coeficientes dos fatores e a parte literal se obtém representando cada uma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em que essa variável intervém nos monómios dados.

12. Multiplicar monómios e adicionar algebricamente monómios semelhantes.

13. Reconhecer, dada uma soma de monómios semelhantes, que substituindo as indeterminadas por números obtém-se uma expressão numérica de valor igual à soma dos valores das expressões numéricas que se obtêm substituindo, nas parcelas, as indeterminadas respetivamente pelos mesmos números.

14. Reconhecer, dado um produto de monómios, que substituindo as indeterminadas por números obtém-se uma expressão numérica de igual valor ao produto dos valores das expressões numéricas que se obtêm substituindo, nos fatores, as indeterminadas respetivamente pelos mesmos números.

3. Reconhecer e operar com polinómios 1. Designar por «polinómio» um monómio ou uma expressão ligando monómios (designados por «termos do

polinómio») através de sinais de adição, que podem ser substituídos por sinais de subtração tomando-se, para o efeito, o simétrico da parte numérica do monómio que se segue ao sinal.

2. Designar por «variáveis do polinómio» ou «indeterminadas do polinómio» as variáveis dos respetivos termos e por «coeficientes do polinómio» os coeficientes dos respetivos termos.

3. Designar por «forma reduzida» de um polinómio qualquer polinómio que se possa obter do polinómio dado eliminando os termos nulos, adicionando algebricamente os termos semelhantes e eliminando as somas nulas, e, no caso de por este processo não se obter nenhum termo, identificar a forma reduzida como «0».

4. Designar por polinómios «iguais» os que admitem uma mesma forma reduzida, por «termo independente de um polinómio» o termo de grau 0 de uma forma reduzida e por «polinómio nulo» um polinómio com forma reduzida «0».

5. Designar por «grau» de um polinómio não nulo o maior dos graus dos termos de uma forma reduzida desse polinómio.

6. Identificar, dados polinómios não nulos, o «polinómio soma» (respetivamente «polinómio diferença») como o que se obtém ligando os polinómios parcelas através do sinal de adição (respetivamente «subtração») e designar ambos por «soma algébrica» dos polinómios dados.

7. Reconhecer que se obtém uma forma reduzida da soma algébrica de dois polinómios na forma reduzida adicionando algebricamente os coeficientes dos termos semelhantes, eliminando os nulos e as somas nulas assim obtidas e adicionando os termos assim obtidos, ou concluir que a soma algébrica é nula se todos os termos forem assim eliminados.

8. Identificar o «produto» de dois polinómios como o polinómio que se obtém efetuando todos os produtos possíveis de um termo de um por um termo do outro e adicionando os resultados obtidos.

9. Reconhecer, dada uma soma (respetivamente produto) de polinómios, que substituindo as indeterminadas por números, obtém-se uma expressão numérica de valor igual à soma (respetivamente produto) dos valores das expressões numéricas que se obtêm substituindo, nas parcelas (respetivamente fatores), as indeterminadas respetivamente pelos mesmos números.

10. Reconhecer os casos notáveis da multiplicação como igualdades entre polinómios e demonstrá-los.

11. Efetuar operações entre polinómios, determinar formas reduzidas e os respetivos graus. 4. Resolver problemas 1. Resolver problemas que associem polinómios a medidas de áreas e volumes interpretando geometricamente

igualdades que os envolvam.

2. Fatorizar polinómios colocando fatores comuns em evidência e utilizando os casos notáveis da multiplicação de polinómios.


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EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

1. A figura representa um terreno retangular.

1.1. Escreva uma expressão para o perímetro do retângulo.

1.2. Simplifique a expressão.

1.3. Determine o perímetro do retângulo se: x = 5 e y = 3 .

2. O portão tem 12 peças de metal.

A área de cada peça é: 𝑥 × 𝑥

2.1. Escreva 𝑥 × 𝑥 de outra forma.

2.2. Escreva uma expressão simplificada para a área das 12 peças.

2.3. Determine a área das 12 peças, para x = 20 cm .

3. A figura representa uma caixa com a forma de um paralelepípedo.

3.1. O que representa a expressão: 𝑥 × 𝑦 × 𝑥?

3.2. Escreva de outra forma 𝑥 × 𝑦 × 𝑥.

3.3. Escreva uma expressão para indicar:

a) o comprimento total das arestas;

b) a superfície total da caixa.

3.4. Calcule o volume e a área total da caixa para x = 40 cm e y = 30 cm.


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MONÓMIOS

Um monómio é uma expressão que liga por símbolos de produto «fatores numéricos» (operações envolvendo números e letras, ditas «constantes», e que designam números) e potências de expoente natural e de base representada por letras, ditas «variáveis» (ou «indeterminadas»).

Designa-se por «parte numérica» ou «coeficiente» de um monómio uma expressão representando o produto dos respetivos fatores numéricos.

Designa-se por «parte literal» de um monómio não constante, estando estabelecida uma ordem para as variáveis, o produto, por essa ordem, de cada uma das variáveis elevada à soma dos expoentes dos fatores em que essa variável intervém no monómio dado.

Designa-se por «grau» de um monómio não nulo à soma dos expoentes da respetiva parte literal, quando existe, e atribuir aos monómios constantes não nulos o grau 0.

Designa-se por «monómio nulo» um monómio de parte numérica nula e por «monómio constante» um monómio reduzido à parte numérica.

Dois monómios não nulos são «semelhantes» quando têm a mesma parte literal.


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Designa-se por «forma canónica» de um monómio não nulo um monómio em que se representa em primeiro lugar a parte numérica e em seguida a parte literal.

Dois monómios são «iguais» quando admitem a mesma forma canónica ou quando são ambos nulos.

SOMA ALGÉBRICA DE MONÓMIOS

Dados monómios semelhantes não nulos, identifica-se a soma algébrica como um monómio com a parte

literal e cujo coeficiente é igual à soma algébrica dos coeficientes das parcelas.

PRODUTO DE MONÓMIOS

Identifica-se o produto de monómios como um monómio cuja parte numérica é igual ao produto dos

coeficientes dos fatores e cuja parte literal se obtém representando cada uma das variáveis elevada à

soma dos expoentes dos fatores em que essas variáveis intervém nos monómios dados.


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POLINÓMIOS

Um polinómio» é um monómio ou uma expressão ligando monómios (designados por «termos do

polinómio») através de sinais de adição, que podem ser substituídos por sinais de subtração tomando-se,

para o efeito, o simétrico da parte numérica do monómio que se segue ao sinal.

Exemplos:

1. Binómio polinómio com 2 termos

12 2 x ; xx 2 ; 5y

2. Trinómio polinómio com 3 termos

524 2 xx ; 924 3 xx

3. Polinómio com 4 termos

1523 23 xxx

Designa-se por «forma reduzida» de um polinómio qualquer polinómio que se possa obter do polinómio

dado eliminando os termos nulos, adicionando algebricamente os termos semelhantes e eliminando as

somas nulas, e, no caso de por este processo não se obter nenhum termo, identificar a forma reduzida

como «0».

Designa-se por «grau» de um polinómio não nulo o maior dos graus dos termos de uma forma reduzida

desse polinómio.

Exemplos:

1. Dado o polinómio, 2323 23545 xxxx .

Coloquemos este polinómio na forma reduzida, isto é, vamos reduzir os termos semelhantes.

Temos então, 2323 23545 xxxx

52435 2233 xxxx

522 23 xx

O grau mais elevado é 3, desta forma, dizemos que o polinómio é do 3º grau.

2. xx 52 polinómio de grau 5 ou polinómio do 5º grau.

OUTROS EXEMPLOS:


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SOMA ALGÉBRICA DE POLINÓMIOS

Dados dois polinómios não nulos, identifica-se o «polinómio soma» (ou o «polinómio diferença») como o que se obtém ligando os polinómios parcelas, colocados entre parênteses, através do sinal de adição (ou «subtração») e designamos ambos por «soma algébrica» dos polinómios dados.

A soma algébrica de dois polinómios na forma reduzida obtém-se adicionando algebricamente os coeficientes dos termos semelhantes, eliminando os nulos e as somas nulas assim obtidas e adicionando os termos assim obtidos. A soma algébrica é nula se todos os termos forem assim eliminados.


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MULTIPLICAÇÃO DE POLINÓMIOS

MULTIPLICAÇÃO DE MONÓMIOS

MULTIPLICAÇÃO DE UM MONÓMIO POR UM POLINÓMIO

Para se multiplicar um monómio por um polinómio, aplicam-se os conhecimentos que temos da simplificação de expressões com parênteses (basta aplicarmos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição algébrica, ou seja, multiplicamos o monómio por cada termo do polinómio).


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MULTIPLICAÇÃO DE UM POLINÓMIO POR UM POLINÓMIO

EM GERAL:

Para multiplicar polinómios, multiplica-se cada monómio de um polinómio pelos monómios do outro e adicionam-se algebricamente os produtos obtidos.

Identifica-se o produto de dois polinómios como o polinómio que se obtém efetuando todos os produtos possíveis de um termo de um por todos os termos do outro e adicionando os resultados obtidos.


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MONÓMIOS E POLINÓMIOS

1. Indica o coeficiente e a parte literal de cada um dos seguintes monómios:

1.1. 5𝑥𝑦2

1.2. −𝑥𝑦2𝑧

1.3. 4

3𝑎

1.4. -5

2. Escreve, na forma reduzida, cada um dos seguintes monómios:

2.1. 2𝑥(3𝑥2)

2.2. 𝑥𝑦(2𝑥𝑦)

2.3. 3𝑥(−2)𝑦2

2.4. −1

3𝑎2 (−

3

2) 𝑎𝑏2

2.5. −2𝑎2 (−1

4) 𝑎3𝑏

2.6. −4𝑎𝑦 (3

4𝑎𝑏)

3. Dado o monómio 𝑀 = −5

7𝑦𝑏(4𝑏)

3.1. Simplifica-o e indica o coeficiente e a parte literal.

3.2. Indica o monómio semelhante a M, que tem coeficiente 7.

4. Indica o monómio simétrico em cada caso:

4.1. 𝑥

4.2. −1

3𝑥2

4.3. 2𝑥𝑦2

5. Simplifica cada uma das seguintes expressões:

5.1. 5𝑎2𝑏 − 8𝑎2𝑏 5.6. 2𝑥𝑦 −1

4𝑥𝑦 −

2

3𝑥𝑦 −

1

8𝑥𝑦

5.2. −5𝑥2𝑦2 + 𝑥2𝑦2 5.7. 4

3𝑚2𝑛 +

5

2𝑚2𝑛 − 3𝑚2𝑛

5.3. −5𝑎𝑏2 −4

3𝑏2𝑎 5.8.

1

2𝑧2𝑡2 +

1

3𝑧2𝑡2 + 8𝑧2𝑡2 −

25

3𝑧2𝑡2

5.4. 1

2𝑥 + 3𝑥 −

1

4𝑥 5.9.

𝑎3𝑏2

2−

3

2𝑎3𝑏2 − 𝑎3𝑏2 −

𝑎3𝑏2

3

5.5. 2𝑎2 + 3𝑎2 − 7𝑎2 +1

2𝑎2 + 2𝑎2

6. É dada a expressão 2𝑥3 + 3𝑥2 + 4𝑥3 − 7𝑥2

6.1. Por quantos termos é constituída a expressão?

6.2. Os monómios da expressão são todos semelhantes?

6.3. Simplifica a expressão.

6.4. Escreve o polinómio simétrico daquele que obtiveste em 6.3.


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7. Dados os monómios:

𝐴 = −2𝑥2 𝐵 = −3𝑥2 𝐶 =1

3𝑥𝑦 𝐷 =

2

3𝑥𝑦 𝐸 =

1

2𝑥2𝑦 𝐹 =

1

4𝑥2𝑦

Calcula:

7.1. A +B 7.5. A + B – C + D

7.2. C + D 7.6. A + B + C – D + E

7.3. E – F 7.7. - A + B - C – D – E + F

7.4. A – B + C

8. Reduzindo os termos semelhantes, simplifica cada uma das expressões seguintes:

8.1. 𝑎 + 𝑏 + 3𝑎 − 3𝑏 + 7𝑎

8.2. 𝑥 + 3𝑥2 −𝑥

2+ 7𝑥2 +

2

3𝑥

8.3. 𝑚𝑛 +1

2𝑚 + 3𝑛 − 7𝑚 + 2𝑛 −

𝑚𝑛

3

8.4. 1

2𝑧 +

2

3𝑦𝑧 +

1

4𝑧 −

8

3𝑦𝑧 −

7

5𝑧

8.5. 2𝑢2𝑣 −1

2𝑢2 −

1

4𝑢2𝑣 + 3𝑢2𝑣 +

2

5𝑢2

8.6. 2𝑎𝑏 −𝑎

3− 4𝑎𝑏 − 7𝑐 + 2𝑎𝑏 −

1

3𝑐 + 𝑎

9. Calcula o polinómio soma nos seguintes casos:

9.1. (𝑥2 + 4𝑥 − 5) + (𝑥2 − 4𝑥 + 7)

9.2. (4𝑥2 − 6𝑥 + 7) + (3𝑥2 + 7𝑥 − 7)

10. Calcula:

10.1. −3(𝑥2 + 5𝑥)

10.2. 2𝑥(𝑥2 − 4)

10.3. 3

2𝑥2(−2𝑥2 + 4𝑥 + 6)

10.4. (2

3𝑥𝑦)

2

10.5. (−1

2𝑥2𝑦)

2

10.6. (−2

3𝑥2𝑦3)

3


𝐴 = 2𝑥 𝐵 = 3𝑥 𝐶 =5

3𝑥2 𝐷 = −2𝑥𝑦

Calcula:

11.1. 𝐴 × 𝐵; 𝐶 × 𝐷; 𝐴 × 𝐷; 𝐵 × 𝐶

11.2. 𝐴 × 𝐵 × 𝐶; 𝐵 × 𝐶 × 𝐷; 𝐴 × 𝐵 × 𝐶 × 𝐷


𝐴 = 5𝑎2 e 𝐵 = −1

5𝑎𝑏

Calcula:

12.1. 𝐴2 × 𝐵

12.2. 𝐴 × 𝐵2

12.3. 𝐴2 × 𝐵2


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13. Dados os polinómios:

𝑅 = 𝑥3 − 3𝑥2 + 3 𝑆 =1

2𝑥2 − 2𝑥 + 1 𝑇 = 𝑥2 − 𝑥 +

3

2

Determina:

13.1. R + S + T

13.2. R – S – T

13.3. – R + S – T

13.4. – R – S – T

14. Efetua e simplifica:

14.1. 3(4 − 5𝑥2)

14.2. 𝑥(3 − 2𝑥) − 3(−𝑥2 − 8𝑥 + 2)

14.3. 𝑎2𝑏(2 − 3𝑎) − 4𝑎(𝑎𝑏 + 𝑏 − 1)

14.4. 3𝑚𝑛2(𝑚 − 𝑛) +1

2𝑚2(𝑛 − 𝑚2 + 1)

15. Apresenta sob a forma de polinómio reduzido:

15.1. (𝑎 + 3)(𝑏 + 4)

15.2. (𝑎 − 3)(𝑎 − 4)

15.3. (𝑎 + 6)(3𝑎 + 8)

15.4. (2 − 𝑥)(3 + 5𝑥)

15.5. (𝑥 +1

3) (2𝑥 + 6)

15.6. (1

2𝑦2 − 2𝑦) (3𝑦 + 8)

15.7. (𝑎 − 2)(2𝑎2 − 3𝑏 + 4)

15.8. (2 + 3𝑚2 − 𝑛)(2𝑚 − 5𝑛2 + 𝑚𝑛)

15.9. 2(𝑥 + 3) − 2(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)

15.10. (𝑥 − 3)2 + 3

15.11. (𝑦 + 2)2 − 3

16. Desenvolve as seguintes expressões:

16.1. (𝑥 + 3)2

16.2. (4𝑥 − 3)2

16.3. (−3𝑥 + 8)2

16.4. (−4𝑎 − 6𝑏)2

16.5. (3𝑥 − 2)(3𝑥 + 2)

16.6. (𝑥 + 3)(𝑥 − 3)

16.7. (1

2𝑦 − 1)

2

16.8. (1

3𝑚 − 3𝑛)

2

16.9. (1

3𝑥𝑦 −

1

2𝑥)

2

16.10. (−4𝑎2 −1

2)

2


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17. Qual é o polinómio que se deve subtrair a 7𝑥3 − 𝑥 − 3, para se obter 2 − 𝑥2 − 3𝑥?

18. Sendo:

𝐴 = 2𝑥 +1

2 𝐵 =

1

4𝑥 −

1

2 𝐶 = −𝑥2 + 1

Calcula:

18.1. 𝐴2, 𝐵2 𝑒 𝐶2

18.2. 𝐴2 + 3𝐵2 − 2𝐶2

19. Efetua e simplifica:

19.1. (2𝑥 + 2)2 − (−2𝑥 + 5)2

19.2. (1

2𝑧 − 1)

2

+ (−1

2𝑧 + 1)

2

19.3. (1

2𝑧 − 1)

2

+ (−1

2𝑧 + 1)

2

19.4. (𝑎 − 1)2(3𝑎 − 1) − (𝑎 + 1)2(𝑎 + 4)

19.5. (𝑚 −1

2𝑛)

2

− (−𝑚 +1

2𝑛)

2

− (−𝑚 −1

2𝑛)

2

19.6. (𝑥2 − 3)2 −1

2(1 + 𝑥2)2 − 3 (−2𝑥2 −

1

2)

2

19.7. −2(𝑦 + 5)2 + 3(−𝑦 + 1)2 − (𝑦 − 3)(𝑦 − 5)


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CADERNO DE APOIO 3.º CICLO

1. Indica a parte numérica, a parte literal e o grau de cada um dos seguintes monómios:

1.1. 4x2 , variável x .

1.2. 37y3 , variável y .

1.3. 3ax4 , variável x , a número real não nulo.

1.4. 2yx2y2 , variáveis x e y .

1.5. 3c , c número real não nulo.

1.6. 21ax2b2cx2y5 , variáveis x e y , a , b e c números reais não nulos.

2. Indica uma forma canónica para cada um dos seguintes monómios e identifica os que são

semelhantes e os que são iguais:

2.1. 3xyx2, variáveis x e y.

2.2. 37zxxy3, variáveis x, y e z.

2.3. 3ayx3, variáveis x e y, a número real não nulo.

2.4. 2y2xy3, variáveis x e y.

2.5. 5

c, c número real não nulo.

2.6. 37xzyxy2, variáveis x, y e z.

2.7. 13,4

3. Escreve na forma canónica o produto dos seguintes monómios e, caso os monómios sejam

semelhantes, determina igualmente a respetiva soma.

3.1. 3x2 e 7x3

3.2. 2y e 5ay

3.3. 4x2y e 8yx2

3.4. 12abcx2y3z4 e 3ba2xyz

3.5. (3 + 2b)x2 e 7axy

4. Obtém uma forma reduzida de cada um dos seguintes polinómios (variáveis x e y), indicando o

respetivo grau e identificando duas alíneas em que se representem polinómios iguais:

4.1. 3x2 + 8 + 5x – 13x2 + 7

4.2. 3x2y2 + 4x + 4xy – x2y2 + y2 + 2xy + x – 2x2y2

4.3. 3ax2 +2by – y2 – 3by + ax2

4.4. 2x2y2 + 5x + 3xy – x2y2 + y2 + 3xy – x2y2

4.5. Polinómio soma dos representados nas alíneas 4.2. e 4.3.


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5.* Na seguinte figura um quadrado de lado x + y foi dividido em quatro

retângulos iguais e um quadrilátero central.

5.1. Justifica que o quadrilátero central é um quadrado e indica uma

expressão para o lado desse quadrado como um polinómio de

variáveis x e y.

5.2. Exprime a área dos retângulos e do quadrado central através de

polinómios nas variáveis x e y.

5.3. Utilizando a alínea anterior, mostra que (x + y)2 = 4xy + (x – y)2 .

5.4. Prova algebricamente a igualdade da alínea anterior.

6.* Na figura estão representados dois triângulos [ABC] e [DEA], retângulos respetivamente em C e em

D, de tal forma que os pontos D, A e C estão alinhados e tais que DA CB a , DE AC b e

AE AB c .

6.1. Justifica que o triângulo [EAB] é retângulo.

6.2. Exprime a área de cada um dos triângulos através de polinómios nas variáveis a, b e c e determina a

respetiva soma designando-a por A1.

6.3. Justifica que os três triângulos formam um trapézio retângulo [EBCD], exprime a área desse trapézio

através de um polinómio nas variáveis a e b, e designa-o por A2.

6.4. Levando em conta os resultados das alíneas anteriores e sem utilizares o teorema de Pitágoras prova

que a2 + b2 = c2.

7. Se três números naturais m, n e p verificarem a igualdade m2 + n2 = p2 diz-se que (m , n , p) é um

terno pitagórico.

7.1. Mostra que se (m , n , p) é um terno pitagórico e k é um número natural então

(km, kn , kp) é também um terno pitagórico.

7.2. Prova que, sendo a e b números naturais tais que a > b então os números inteiros m = a2 – b2, n =

2ab e p = a2 + b2 formam um terno pitagórico.

7.3. Utiliza a alínea 7.2. para obteres diferentes triângulos retângulos de lados inteiros.


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MANUAL MATEMÁTICA TEXTO EDITORA 8.º ANO

8. Considera os polígonos A e B representados nas figuras seguintes.

8.1. Obtém:

a) Uma expressão do perímetro do polígono A.

b) Uma expressão do perímetro do polígono B.

c) A expressão reduzida da soma dos perímetros dos dois polígonos A e B.

d) A expressão reduzida da diferença entre os perímetros dos dois polígonos A e B.

8.2. Determina o valor exato da soma dos perímetros dos dois polígonos, considerando que x = 3 e y = 2.

9. Escreve a expressão simplificada do perímetro de cada uma das seguintes figuras.

10. Efetua as seguintes operações com polinómios.

a) (3𝑥2 − 5𝑥 + 1) + (4𝑥2 + 𝑥 − 3) e) (12𝑥𝑦 + 6𝑥) − (13𝑥𝑦 + 5𝑥)

b) (3𝑥2 − 5𝑥 + 1) − (4𝑥2 + 𝑥 − 3) f) (1

2𝑥𝑦2 − 4) − (

5

2𝑥𝑦2 + 𝑥 + 3)

c) (3𝑥 + 2𝑦) + (𝑥 − 𝑦) g) (2𝑥𝑦2 + 3𝑥) + (2𝑥2𝑦 + 2𝑦)

d) (−𝑥 − 2𝑦) − (−𝑥 + 5𝑦) h) (2𝑥𝑦2 + 3𝑥) − (2𝑥2𝑦 + 2𝑦)


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PROPOSTAS DE RESOLUÇÃO

1.

Monómio Parte numérica Parte literal Grau

1.1. 4x2 4 x2 2

1.2. 37y3 37 y3 3

1.3. 3ax4 3a x4 4

1.4. 2yx2y2 2 x2y3 5

1.5. 3c 3c Não tem 0

1.6. 21ax2b2cx2y5 21ab2c x4y5 9

2.

Monómio Forma

canónica Igual a Semelhante a

2.1. 3xyx2 3x3y – 2.3.

2.2. 37zxxy3 37x2y3z 2.6. 2.6.

2.3. 3ayx3 3ax3y – 2.1.

2.4. 2y2xy3 2xy5 – –

2.5. 5

c

5

c

– 2.7.

2.6. 37xzyxy2 37x2y3z 2.2. 2.2.

2.7. 13,4 13,4 – 2.5.

Nos monómios seguintes, as variáveis designam-se por x , y e z e as constantes por a , b e c .

3.1. 3x2 × 7x3 = 3 × 7 × x5 = 21x5

3.2. 2y × 5ay = 2 × 5a × y2 = 10ay2

Os monómios são semelhantes: 2y + 5ay = (2 + 5a)y

3.3. 4x2y × 8yx2 = 4 × 8 × x4y2 = 32x4y2

Os monómios são semelhantes: 4x2y + 8yx2 = 12x2y

3.4. 12abcx2y3z4 × 3ba2xyz = 12abc × 3ba2 × x3y4z5 = 36a3b2cx3y4z5

3.5. (3 + 2b)x2 × 7axy = (3 + 2b) × 7a × x3y = 7a(3 + 2b)x3y

7.1. Tem-se (km)2 + (kn)2 = k2m2 + k2n2 = k2(m2 + n2) = k2p2 = (kp)2 , pelo que (km , kn , kp) é um terno

pitagórico.

7.2. m2 + n2 = (a2 – b2)2 + (2ab)2 = a4 – 2a2b2 + b4 + 4a2b2 = a4 + 2a2b2 + b4 = (a2 + b2)2 = p2

de onde se conclui que (m , n , p) é um terno pitagórico.


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PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA

a(b + c) = a x b + a x c.

a) 4(x+8) =4×x+4× 8= 4x+32

b) x2 −5x = x×x−5 × x = x(x−5)

1. Aplica a propriedade distributiva nas alíneas seguintes:

c) 𝑥(4 − 𝑥)

d) 3𝑎(4 + 𝑏)

e) 𝑎𝑏 − 𝑎

f) 𝑥

4(8 − 2𝑥)

g) 3𝑥

5−

𝑎𝑥

5

h) (𝑥 − 3)(𝑥 + 2)(1 − 𝑥)

i) 4ab2 −3a3 b6 +7b3

CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO

QUADRADO DA SOMA

Observa a figura ao lado:

O comprimento do lado do quadrado [ABCD] é a + b pelo que a sua área é

Área [ABCD] = (a + b)2 = (a+b) (a+b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2.

Como podes observar o quadrado [ABCD] pode ser decomposto em dois

retângulos e dois quadrados, pelo que a sua área é igual à soma das áreas das

figuras que o compõem. Isto é,

Área [ABCD] = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.

Temos então: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.


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O quadrado da soma de dois monómios pode ser calculado da seguinte forma:

(𝒂 + 𝒃)𝟐 = (𝒂 + 𝒃)(𝒂 + 𝒃) = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

É igual ao quadrado do 1º termo mais o dobro do produto do 1º termo pelo 2º termo mais

o quadrado do 2º termo.

Exemplos:

a) (𝑥 + 2)2 = 𝑥2 + 2 × 𝑥 × 2 + 22 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4

b) (3 + 𝑦)2 = 32 + 2 × 3 × 𝑦 + 𝑦2 = 9 + 6𝑦 + 𝑦2

c) (3𝑎 + 2)2 = (3𝑎)2 + 2 × 3𝑎 × 2 + 22 = 9𝑎2 + 12𝑎 + 4

d) (4 + 3𝑏)2 = 42 + 2 × 4 × 3𝑏 + (3𝑏)2 = 16 + 24𝑏 + 9𝑏2

e) (𝑥 +5

2)

2

= 𝑥2 + 2 × 𝑥 ×5

2+ (

5

2)

2

= 𝑥2 + 5𝑥 +25

4

f) 16𝑥2 + 16𝑥 + 4 = (4𝑥 + 2)(4𝑥 + 2) = (4𝑥 + 2)2

2. Calcula, usando este processo, o quadrado dos seguintes binómios:

a) (2𝑥 + 1)2 = (2𝑥)2 + 2 × 2𝑥 × 1 + 12 = 4𝑥2 + 4𝑥 + 1

b) (𝑦 + 4)2 =

c) (𝑥 + 9)2 =

d) (𝑥 +1

2)

2

=

e) (3𝑎 + 10)2 =

f) (4𝑥 + 𝑦)2 =

g) (3𝑏 +𝑏

2)

2

=

h) (4𝑐 +3

5)

2

=

i) (𝑦

2+ 7)

2

=

j) (𝑥 +4

5)

2

=

k) (7

2𝑓 + 0,01𝑒)

2

=

l) (3𝑎 + 5𝑏)2 =

m) (7𝑥 + 3𝑦)2 =

n) (𝑎

3+ 5𝑏)

2

=

2222 bababa

1.º Termo 2.º Termo Quadrado do

1.º Termo

Quadrado do

2.º Termo

Dobro do produto

do 1.º termo pelo

2.º termo


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QUADRADO DA DIFERENÇA

Considera a seguinte figura:

O quadrado [ABCD] pode ser decomposto em dois retângulos e dois

quadrados como podes ver na figura ao lado.

O quadrado 1 tem como medida do lado a – b pelo que a sua área é

(a – b)2 = (a – b) (a - b) = a2 – ab – ba + b2 = a2 – 2ab + b2.

Como a área do quadrado 1 é igual à diferença entre a área do quadrado

[ABCD] e a área dos dois retângulos e do quadrado 2.

Assim, A 1 = a2 – 2 (a – b) b – b2 = a2 – 2ab + 2b2 – b2 = a2 – 2ab + b2.

Temos então: (a – b)2 = a2 - 2ab +b2.

De forma semelhante pode calcular-se o quadrado da diferença de dois monómios.

(𝒂 − 𝒃)𝟐 = (𝒂 − 𝒃)(𝒂 − 𝒃) = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

É igual ao quadrado do 1º termo menos o dobro do produto do 1º termo pelo 2º termo

mais o quadrado do 2º termo.

Exemplos:

a) (𝑥 − 8)2 = 𝑥2 − 2 × 𝑥 × 8 + 82 = 𝑥2 − 16𝑥 + 64

b) (3 − 2𝑦)2 = 32 − 2 × 3 × 2𝑦 + (2𝑦)2 = 9 − 12𝑦 + 4𝑦2

c) (2𝑎 −3

5)

2

= (2𝑎)2 − 2 × 2𝑎 ×3

5+ (

3

5)

2

= 4𝑎2 −12

5𝑎 +

9

25

d) 𝑧2 − 𝑧 +1

4= (𝑧 −

1

2) (𝑧 −

1

2) = (𝑧 −

1

2)

2

1

2

1.º Termo 2.º Termo Quadrado do

1.º Termo

Quadrado do

2.º Termo

Dobro do produto do 1º termo

pelo 2º termo

2222 bababa


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3. Calcula, usando este processo, o quadrado dos seguintes binómios:

a) (3𝑥 − 4)2 = (3𝑥)2 − 2 × 3𝑥 × 4 + 42 = 9𝑥2 − 24𝑥 + 16

b) (𝑎 − 2)2 =

c) (3 − 𝑦)2 =

d) (6𝑥 − 1)2 =

e) (4𝑦 − 𝑥)2 =

f) (2𝑧 − 1)2 =

g) (3𝑥 −𝑎

3)

2

=

h) (3

2𝑓 + 0,2𝑒)

2

=

i) (1

2𝑦 − 1)

2

=

j) (5

3𝑦 − 2)

2

=

k) (4𝑎 − 3𝑏)2 =

l) (−𝑎 − 𝑏)2 =

m) (𝑎2 − 1)2 =

n) (2𝑥 − 5)2 =

DIFERENÇA DE QUADRADOS

A medida do comprimento do lado do quadrado [ABCD] é a logo a sua área é a2.

A medida do comprimento do lado do quadrado 3 é b logo a sua área é b2.

A área dos dois retângulos é igual é diferença entre a área do quadrado [ABCD] e

a área do quadrado 3 menor, pelo que: Área = a2 - b2.

Por outro lado, alinhando os retângulos 1 e 2, como podes observar na

figura ao lado, obtemos um novo retângulo cujas medidas dos seus lados

são a + b e a – b. Logo a área dos dois retângulos é

(a +b) (a – b) = a2 – ab + ba – b2= a2 – b2.

Podemos então concluir que: a2 - b2 = (a +b) (a – b).

Exemplos:

a) (𝑥 + 5)(𝑥 − 5) = 𝑥2 − 52 = 𝑥2 − 25

b) (3 − 𝑥)(3 + 𝑥) = 9 − 𝑥2

c) (2𝑦 − 1)(2𝑦 + 1) = (2𝑦)2 − 12 = 4𝑦2 − 1

d) (1 − 𝑎)(1 + 𝑎) = 1 − 𝑎2

e) (9 +1

2𝑥) (9 −

1

2𝑥) = 92 − (

1

2𝑥)

2

= 81 −1

4𝑥2

f) 4𝑏2 − 9 = (2𝑏 − 3)(2𝑏 + 3)


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O produto da soma pela diferença de dois monómios é igual à diferença dos quadrados

desses monómios.

(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2

4. Calcula, usando este caso notável da multiplicação:

a) (𝑥 + 7)(𝑥 − 7) = b) (𝑦 + 5)(𝑦 − 5) =

c) (2z + 1,5)(2z - 1,5) = d) (𝑥 − 𝑦)(𝑥 + 𝑦) =

e) (3𝑥 +𝑏

2) (3𝑥 −

𝑏

2) = f) (5𝑎 − 0,5𝑑)(5𝑎 + 0,5𝑑) =

g) (1 −1

2𝑥) (1 +

1

2𝑥) = h) (𝑎 − 3𝑏)(𝑎 + 3𝑏) =

i) (12 − 9)(12 + 9) = j) (𝑢2 +5

3𝑣) (𝑢2 −

5

3𝑣) =

k) (1

8+ 𝑦) (

1

8− 𝑦) = l) (

5

3𝑎 − 1) (

5

3𝑎 + 1) =

m) (−3𝑥 − 1)(−3𝑥 + 1) = n) (𝑏 −2

3) (𝑏 +

2

3) =

o) (−5

7𝑎 − 𝑏) (−

5

7𝑎 + 𝑏) = p) (2𝑦 − 3)(2𝑦 + 3) =

q) (3𝑥 − 4𝑦)(3𝑥 + 4𝑦) = r) (𝑥2 + 7𝑐)(𝑥2 − 7𝑐) =

22 bababa

Quadrado do

1.º Termo

Quadrado do

2.º Termo 1.º 2.º 1.º 2.º


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CASOS NOTÁVEIS

1. Traduz de linguagem corrente para linguagem matemática as seguintes expressões: a) A soma do quadrado de dois com o quadrado de seis. b) O quadrado da soma de cinco por sete. c) A diferença do quadrado de três com o quadrado de nove. d) O quadrado da diferença de oito por quinze. e) O quadrado da soma de uma quantidade por outra quantidade. f) A diferença do quadrado de uma quantidade com o quadrado de outra quantidade. g) A soma do quadrado de uma quantidade com o quadrado de outra quantidade. h) O quadrado da diferença de uma quantidade por outra quantidade.

2. Completa, utilizando os casos notáveis da multiplicação:

a) (y + 3)2 = ___ + 6y + ___

b) (x - 2,3)2 = ___ - 4,6x + ___

c) (4z - 2)2 = 16z2 + ___ + ___ d) (3x - y)2 = 9x2 - ___ + ___

e) ________94____ 22 x f) 4____2 22

xx

g) 84,4______2,24

32

ef h) ______4

4

1___ 2

2

x

i) 36___25

___)(___2

2 x

j) 4928_______2

2 xx

k) 9___________52

x l) ___12______ 22 yy

m) 912_______22

xx

n) ____14_______)( 2 xx

o) 22 )______(100___ x p) _______________)4( 2 x

q) ______)5___( 22 x r) ________4

13

2

____ x

s) 4____________3

2 4

2

x t)

4

1______)___2( 2 x

u) 4

1______

2

13

2

x

v) ___4___4___ 2 x

w) 9______4___4 xx x) 2364____________ x

y) ___645

2___

5

2___ 2

x z)

c c

3

1

6 3

1

6

=


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Resumindo, os três casos notáveis são:

Quadrado da soma

2222 bababa

Quadrado da Diferença 2222 bababa

Diferença de Quadrados 22)( bababa

3. Efetua e simplifica, utilizando sempre os casos notáveis da multiplicação:

a) (𝑥 − 8)2 n) 5(2 − 𝑥)(2 + 𝑥) + 4(2𝑥 − 1)2

b) (4 − 𝑦)2 o) (2𝑏 + 8)2 − (𝑏 + 1)2

c) (1

2𝑐 −

3

6)

2

p) (𝑥 − 2)2 + (2𝑥 + 1)

d) (3𝑥 − 6)2 q) 4𝑥3(2 − 5𝑥2)2

e) (7𝑑 +1

3)

2

r) (𝑧2 − 5)(𝑧2 + 5)

f) (𝑥 − 7)(𝑥 + 7) s) 5(2 − 𝑥)(2 + 𝑥) + 4(2𝑥 − 1)2

g) (3𝑥

2− 9) (

3𝑥

2− 9) t) −3𝑥 +

1

2(𝑥2 − 𝑥) − 𝑥2

h) (3 − 𝑥)2 + 2𝑥(3𝑥 − 4) − (𝑥 − 9)(𝑥 + 9) u) (𝑎 − 1)(2𝑎 + 1) − 3(𝑎 + 2)2

i) 2(𝑥 + 5)(𝑥 − 5) −1

3(𝑥 + 2)2 v) (𝑥 + 1)(𝑥 − 3) + 4(2 − 𝑥)(𝑥 + 2)

j) )25)(25(342

xxx w) 2322727 xxx

k) 2

2

32

2

13

2

13

xxx x) 22

5372 xx

l) )12(12422

xxx y) 552132

xxx

m) 2

233

1

x z)

2

1

3

1

2

1

3

1xx


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4. Identifica quais destes trinómios representam casos notáveis da multiplicação e escreve-os na forma

de um quadrado de um binómio.

a) x2 + 4x + 4 b) x2 - 2x + 1 c) 6x + 9 + x2

d)4 12 92b b e) x x21

4 f) 10 +2x + x2

g) x2 + 25 - 10x h) 4m2 + 4m + 1 i) 1+ 9b2 +6b

j) 24 1 zz k) 4

12a

a l) a a4 2

9 3

1

4

m) a

a

2

16

1

21 n)

x xy y2 2

4 3 9 o) 4 42 2y yb b

5. Sabendo que:

(𝒂 + 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

(𝒂 − 𝒃)𝟐 = 𝒂𝟐 − 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐

Completa:


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DECOMPOSIÇÃO DE UM POLINÓMIO EM FACTORES

Decompor ou fatorizar um polinómio é escrevê-lo sob a forma de um produto de fatores.

FATORES COMUNS EM EVIDÊNCIA

Exemplos:

xxx 53 2 )53( x ;

)23(61218 223 xxxx ;

)31(4124 2242 yyyy .

Regra:

Quando existem fatores comuns em todas as parcelas pode-se aplicar a propriedade distributiva e colocar

esses fatores comuns em evidência.

Exemplos:

a) )(555 yxyx

b) )5(3533153 xxx

c) )34(34 2 xxxx

d) )2(323363 2 yyyyyyy

e) 23323 yyyyy

1. Fatoriza, pondo em evidência os fatores comuns.

a) 105 x

b) 287 x

c) xx 62

d) 263 yxy

e) 23 yy

f) 23 306 bb

g) )1(15 aaa

h) 15715

2 xx

i) 132134 xxxx j) 2131 xxxx

Nota:

m.d.c.(18,12) = 6

fator comum em evidência


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UTILIZAÇÃO DOS CASOS NOTÁVEIS DA MULTIPLICAÇÃO

Um polinómio nem sempre tem fatores comuns. No entanto, isso não significa que não é possível

decompô-lo.

Exemplos:

a) )3)(3(39 222 xxxx Diferença de Quadrados

b) 111112122222 xxxxxxx Quadrado da Soma

c) 53535355323253092222 xxxxxxx Quadrado da Diferença

d) 94 2 x temos que 22 )2(4 xx e 239 .

Assim, temos que:

)32)(32(3)2(94 222 xxxx

e) 25102 xx

Repara que:

2525 ;

xx 5210 ;

Então,

)5)(5(2)5(2552225102 xxxxxxx

Por vezes, para fatorizarmos um polinómio é necessário aplicar simultaneamente os dois processos:

pôr em evidência os fatores comuns e os casos notáveis.

Exemplos:

a) )1( 23 xxxx

Repara que 12 x é uma diferença de quadrados.

Então,

)1)(1(11 222 xxxx ,

logo, )1)(1()1( 23 xxxxxxx .

b) 22343433123 223 xxxxxxxxxx

c) 554)5(4251042541044100404 2222 xxxxxxxxx

Diferença de quadrados


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2. Ponha em evidência todos os fatores comuns:

a) 32 23 xx b) 42 124 yy c) xxx 2146 43

d) yyy 352114 23 e) )1()1(3 xxx f) xx 2

g) )7)(3()7)(5( xxxx h) )3(4)3( 2 xx i) 2)1(3)1( yyy

j) yyy 555 23

3. Fatorize os seguintes polinómios, utilizando os casos notáveis da multiplicação:

a) 362 x b) 21 y c) 814 2 a d) 49142 xx

e) 4

1525 2 xx f) 2816 yy g) 412

2x h) xx 34

4. Escreve cada um dos seguintes polinómios como um produto de fatores, utilizando o processo mais

adequado.

a) 𝑥2 − 9

b) 4𝑥2 − 25

c) 2𝑥2 − 5𝑥

d) 2𝑥4 − 3𝑥3

e) 4𝑥2 − 20𝑥 + 25

f) 1

9𝑥4 − 25𝑥2

g) (2𝑥 − 1 )2 − 100𝑥2

h) (𝑥 − 1)2 − (2𝑥 − 3)2

i) (𝑥 − 5)(𝑥 + 5) − (3𝑥 +4

7) (𝑥 + 5)

j) 𝑥2 − 4𝑥 + 4

k) 36𝑥2 − 24𝑥 + 4

l) 16𝑥2 − 49𝑦2

m) 9𝑥2 − 5

n) 𝑥2 − 25 o) 4𝑚2 − 1 p) 4𝑚2 − 9𝑏2

q) x y2 2

4 9 r) 1

4

2

a

s) a4

9

1

4

t) a2

161 u)

ab

4

4

4

1

9 v)

x y2 2

4 9 x) 4𝑦2 − 𝑏2

Na decomposição em fatores de polinómios de dois

termos(binómios), existem alguns processos de resolução:

• Pôr em evidência os fatores comuns;

• Aplicar a fórmula da diferença de quadrados;

• Utilizar os dois processos anteriores associados.

Na decomposição em fatores de polinómios de três termos

( trinómios), existem alguns processos de resolução:

• Pôr em evidência os fatores comuns.

• Aplicar a fórmula do quadrado do binómio

• Utilizar os dois processos anteriores associados.


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5. Decompõe em fatores os seguintes polinómios.

a) 1682 xx

b) 164025 2 xx

c) 362 y

d) 14 2 a

e) 18122 2 xx

f) 25204 2 tt

g) 8116 2 x

h) 169 2 xx

i) xx 3

j) 9189 2 xx

k) 498436 2 pp

l) 82 2 y

m) 328 xyxy n) 36422x

o) 2249112 xx

p) )12(4123

yy

6. Fatoriza os seguintes polinómios, começando por colocar em evidência fatores comuns e observando,

em seguida, a eventual ocorrência de casos notáveis que permitam prosseguir a fatorização. (Caderno

de apoio 3.º ciclo)

a) 3xy2 – 12x3

b) a4b2 – a2b2

c) (x – y)2 – 4

d) (a – b)3 – 9(a – b)

e) 3x(x – y)3 – 12x3(x – y)

f) (x – 2)4 – 16

g) 5x2 – 10x + 20

h) 3ax2 + 6ax + 3a

i) 4xy2 + 24xy + 36x

j) – xy2 + 2xy – x

k) 4x2y4 – 4xy3z + y2z2

l) 4x4y2 – 4x3yz + x2z2

m) 4x2y4 – 4xy3z + y2z2 – 4x4y2 – 4x3yz + x2z2


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LEI DO ANULAMENTO DO PRODUTO

Um produto é nulo se e só se pelo menos um dos fatores é nulo.

000 BABA

Exemplos:

2 8 7 0 2 8 0 7 0

2 8 7

87

2

4 7

. . 4, 7

x x x x

x x

x x

x x

C S

0,4..

40

040

04042

SC

xx

xx

xxxx

Demonstração da lei de anulamento do produto:

Sejam dois números x e y tais que x × y = 0.

Se x ≠ 0, multiplicando ambos os membros da igualdade por 1

x vem

1 10x y

x x , ou seja, y = 0 .

Desta forma, x = 0 ou y = 0.


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7. Resolve as equações utilizando a lei do anulamento do produto.

a) 021 xx

b) 0

5

112

xx

c) 0522 xx

d) 023142 xx

e) 072 xx

f) 0123 2 xx

g) 054363 xxx

h) 04323 xxx

i) 0131 xxx j) 0)182(12)182(6 xxx

8. Determina o conjunto-solução de cada uma das seguintes equações.

a) 0962 xx

b) 0162 x

c) 0252 xx

d) 02 23 xxx

e) 028 3 xx

f) 0364 2 x

g) 013 22 xx

h) 4562x

9. Resolve cada uma das equações, utilizando a lei do anulamento do produto. Sempre que for

necessário, transforma o primeiro membro num produto e, em seguida, aplica a lei do anulamento do

produto.

a) (𝑥 − 3)(𝑥 + 4) = 0 b) (𝒙 − 𝟏)𝟐 = 𝟎 c) (𝟔𝒙 − 𝟓)𝟐 = 𝟒

d) (𝟐𝒙 − 𝟒) (−𝒙

𝟐− 𝟑) = 𝟎 e)

0

3

532

xx f)

𝒙𝟐

𝟒− 𝟏 = 𝟎

g) (2x − 3)(x −1)(x2 +1)(x − 2)= 0 h) (2x −1)(2x +1)= 1 i) x2 = 9

j) − x2 = −81 k) 5x2 = x l) t − 3t2 = 0

m) 𝒙(𝟐𝒙𝟐 + 𝟏) + 𝒙(𝒙𝟐 + 𝟏) = 𝟎 n) 5x2 =

3

2x2 o)

𝒙𝟐

𝟑+ 𝟓 = 𝟎

p) − y2 − 3y = 0 q) 5t2 = 0 r) 4x2−32=0


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s) x2 + 16=0 t) x2−6x+9=0 u) 𝟐(𝒙 − 𝟑)𝟐 − 𝟖 = 𝟎

v) − 4x2 + 4x −1 = 0 w) 2(x - 3)2 = 18 x) 𝒙(𝒙 + 𝟏) + 𝟑(𝒙 + 𝟏) = 𝟎

y) 𝟔𝒙(𝟐𝒙 + 𝟏𝟖) − 𝟏𝟐(𝟐𝒙 + 𝟏𝟖) = 𝟎 z) 𝒙(𝒙𝟐 − 𝟐𝟓) = 𝟎 aa) (𝟑𝒙 + 𝟏)𝟐 − 𝒙𝟐 = 𝟎

monomios polinomios casos notaveis

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