algebra lineal 1

[ALGEBRA LINEAL ] Lic. Cristina Somalla Irigollen Pérez.

1

SEMANA 4: Movilización de prácticas

educativas abiertas en ambientes de

aprendizaje


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UNIDAD I: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.

INTRODUCCIÓN.

El álgebra lineal es la rama de las matemáticas que estudia conceptos tales como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal, espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales.

El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales, en las ciencias sociales y en la economía.

En este tema estudiaremos las matrices como objeto matemático y su aplicación al estudio de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos sus propiedades fundamentales, las operaciones básicas. Las matrices, sus propiedades y aplicaciones, son de los temas más importante en el estudio del álgebra lineal. Este tipo de objetos matemáticos permiten representar en forma ordenada y conveniente variada información con el fin de facilitar su lectura.

Por ejemplo el siguiente enunciado «Una familia gasta en enero 200 $ en comida y100 $ en vestir; en febrero, 300 $ en comida y 100 $ en vestir; y en marzo, 300 $ en comida y 200 $ en vestir». Se puede representar mediante la siguiente tabla.

Definición 1: Una matriz A es un arreglo o disposición rectangular de números reales,

número complejos, funciones, etc. Si el arreglo tiene 𝒎 filas (horizontales) y 𝒏 columnas

(verticales), entonces se llama matriz 𝑚 𝑥 𝑛 (se lee ̈ matriz 𝑚 por 𝑛¨). Se dice que el tamaño

o dimensión es 𝑚 por 𝑛, o sea 𝑚 𝑥 𝑛.

𝐴 =

[

𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑗 … 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 𝑎23 … 𝑎2𝑗 … 𝑎2𝑛

⋮𝑎𝑖1 𝑎𝑖2 𝑎𝑖3 … 𝑎𝑖𝑗 … 𝑎𝑖𝑛

⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3 … 𝑎𝑚𝑗 … 𝑎𝑚𝑛]

← 𝑓𝑖𝑙𝑎𝑠

↑ 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠

Enero Febrero Marzo

Comida 200 300 300

Vestimenta 100 100 200

http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticas

http://es.wikipedia.org/wiki/Vector

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorial

http://es.wikipedia.org/wiki/Transformaci%C3%B3n_lineal

http://enciclopedia.us.es/index.php/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADtica

http://enciclopedia.us.es/index.php/Ciencias_naturales

http://enciclopedia.us.es/index.php/Ciencias_sociales


3

La matriz mostrada se representa frecuentemente en forma abreviada de la

siguiente manera 𝐴 = {𝑎𝑖𝑗}𝑚𝑥𝑛, donde 𝑚 representa el número de filas y 𝑛 el número de

columnas.

Se utilizan letras mayúsculas, tales como 𝐴, 𝐵, 𝐶, … para denotar matrices.

Con el símbolo 𝒂𝒊𝒋 representamos al elemento que aparece en la fila i – ésima y la

columna j – ésima de 𝐴, se llama componente 𝒊𝒋 – ésima o elemento 𝑖𝑗 (- ésimo) de A.

Los elementos a11, a22, ⋯ , akk pertenecen y definen la diagonal principal en una

matriz cuadrada o sea de orden n.

Ejemplos:

𝐴 = [2 45 8

], 𝐵 = [2 + 3𝑖 1 + 𝑖 3𝑖8 + 2𝑖 4 + 𝑖 6𝑖1 − 2𝑖 3 − 𝑖 𝑖

], 𝐶 = [𝑤 𝑤 − 5 𝑤2𝑤 𝑤2 𝑤 + 1

], 𝐷 = [𝑚 𝑚 − 3 𝑚 + 2]

(b). Describa en detalle a la matriz 𝐴 = {𝑎𝑖𝑗}3×3, donde 𝑎𝑖𝑗 = 3𝑖 + 𝑗2.

Solución: Los elementos serán:

𝑎11 = 3(1) + 12 = 4, 𝑎12 = 3(1) + 22 = 7, 𝑎13 = 3(1) + 32 = 12.

𝑎21 = 3(2) + 12 = 7, 𝑎22 = 3(2) + 22 = 10, 𝑎23 = 3(2) + 32 = 15.

𝑎31 = 3(3) + 12 = 10, 𝑎32 = 3(3) + 22 = 13, 𝑎33 = 3(3) + 32 = 18.

Por tanto, 𝐴 = [4 7 127 10 1510 13 18

].

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES

Matriz fila: Es una matriz de orden 1𝑥𝑛, es decir, una matriz que tiene una sola fila y 𝑛

columnas. También a menudo se llama vector renglón n – dimensional.

Ejemplos: 𝐴 = [1 4 3], 𝐵 = [2 + 𝑖 2𝑖 1 − 𝑖], 𝐶 = [𝑚 𝑚 − 3 𝑚 + 2]

Matriz Columna: Es una matriz de orden 𝑚𝑥1, es decir una matriz que tiene una sola

columna 𝑚 filas.

Ejemplos: 𝐴 = [15], 𝐵 = [

163], 𝐶 = [

𝑛 + 2𝑛 − 3

𝑛𝑛2 + 1

].


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Matriz uno por uno: Es una matriz que consta de un solo elemento.

Ejemplos: 𝐴 = [𝑑]; 𝐵 = [5], 𝐶 = [−2].

Conviene no establecer diferencias entre esta matriz cuyo elemento es d y el propio

número real d.

Matriz Cero (Matriz nula): Es una matriz de cualquier orden en la cual todos sus

elementos son iguales a cero. Se representa por 0𝑚𝑥𝑛.

Ejemplos: 𝐴 = [0 00 0

], 𝐵 = [0 0 00 0 00 0 0

], 𝐶 = [

0 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0

].

Matriz Cuadrada: Una matriz se denomina cuadrada si su número de renglones es

igual a su número de columnas, es decir, 𝑚 = 𝑛. Se dice que una matriz 𝑛 𝑥 𝑛 es de

orden 𝑛.


], 𝐵 = [1 0 93 6 82 4 7

], 𝐶 = [

4 6 4 35 8 2 60 1 9 31 0 3 7

].

ALGUNOS TIPOS DE MATRICES CUADRADAS.

Matriz Identidad (o unidad): Es una matriz cuadrada cuyos elementos de la diagonal

principal son iguales a 1 y el resto son ceros. Se dice, una matriz cuadrada 𝐴 de orden

𝑛 y se denota por 𝐼𝑛.


], 𝐵 = [1 0 00 1 00 0 1

], 𝐶 = [

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

].

Matriz Escalar: Es una matriz cuadrada que tiene iguales los elementos de la diagonal

principal y el resto son ceros.

Ejemplos:𝐴 = [2 00 2

],𝐵 = [3 0 00 3 00 0 3

] 𝐶 = [1 + 𝑛 0 00 1 + 𝑛 0

0 0 1 + 𝑛].

Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada que tiene al menos un elemento de la

diagonal principal distinto de cero y el resto de elementos, fuera de la diagonal principal

son iguales a cero.


], 𝐵 = [1 0 00 2 00 0 3

], 𝐶 = [0 0 00 2 00 0 0

].

Nótese que una matriz diagonal puede tener uno o más ceros en su diagonal.


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Matriz Triangular Superior: Es la matriz cuadrada cuyas componentes que se

encuentran debajo de los elementos de la diagonal son cero, es decir, 𝑎𝑖𝑗 = 0 si 𝑖 > 𝑗.


], 𝐵 = [8 9 160 4 50 0 0

].

Matriz triangular inferior: Es la matriz cuadrada cuyos elementos arriba de la diagonal

principal son cero, es decir, 𝑎𝑖𝑗 = 0 si 𝑖 < 𝑗.


], 𝐵 = [3 0 04 0 01 1 2

].

Matriz Transpuesta: Es la matriz obtenida al intercambiar las filas por las columnas, se

denota por 𝐴𝑡. En símbolos, si 𝐴 = {𝑎𝑖𝑗}, entonces 𝐴𝑡 = {𝑎𝑗𝑖}. Vemos que {𝑎𝑖𝑗}𝑡=

{𝑎𝑗𝑖}.

Ejemplos:𝐴 = [2 0 − 14 6 8

], entonces 𝐴𝑡 = [2 40 6−1 8

].

Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada 𝐴 es simétrica si 𝐴 = 𝐴𝑡, es decir, si se

cumple la igualdad 𝑎𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 para toda 𝑖 y para toda 𝑗.


], 𝐵 = [ 2 − 1 0−1 3 4 0 4 5

].

Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada 𝐴 cuyos elementos cumplen la igualdad

𝐴 = −𝐴𝑡, es decir, si se cumple la igualdad 𝑎𝑖𝑗 = −𝑎𝑗𝑖 para toda 𝑖 y para toda 𝑗.

Ejemplos: 𝐴 = [0 − 2 32 0 5−3 − 5 0

], 𝐵 = [ 0 9−9 0

].

Matrices Iguales: Se dice que dos matrices 𝐴 = {𝑎𝑖𝑗} y 𝐵 = {𝑏𝑖𝑗} son iguales si son del

mismo tamaño (esto es, ambas 𝑚𝑥𝑛) y si sus componentes correspondientes son iguales

(esto es, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 para cada i y para cada j). Si 𝐴 y 𝐵 son iguales, se escribe 𝐴 = 𝐵.

Ejemplos: (a). Las matrices 𝐴 = [2 10 3

] y 𝐵 = [

4

2

3

30

2

6

2

] son iguales.

(b). 𝐶 = [ 5 2 − 3−1 0 7

] y 𝐷 = [5 2 − 3𝑥 𝑦 𝑧

], entonces 𝐶 = 𝐷 si y sólo si 𝑥 = −1, 𝑦 = 0,

𝑧 = 7.


6

(c). Las matrices 𝐸 = [1 00 1

] y 𝐹 = [1 0 00 1 0

] no son iguales la primera es de 2 × 2 y la

segunda es 2 × 3, por lo que no tienen el mismo tamaño.

Propiedades de la igualdad de Matrices:

La igualdad de matrices, definida solamente entre matrices del mismo orden, cumple las

siguientes propiedades:

1. Reflexiva o idéntica: Toda matriz es igual a sí misma o sea 𝐴 = 𝐴.

2. Recíproca o simétrica: Si una matriz es igual a otra, entonces ésta es igual a la primera,

o sea 𝐴 = 𝐵, entonces 𝐵 = 𝐴.

3. Transitiva: Si una matriz es igual a otra y ésta es igual a una tercera, entonces la primera

es igual a la tercera, o sea: 𝐴 = 𝐵 𝑦 𝐵 = 𝐶, entonces 𝐴 = 𝐶.

OPERACIONES BÁSICAS CON MATRICES

Suma de Matrices: La suma de dos matrices del mismo tamaño se obtiene sumando las

componentes correspondientes de las matrices. Simbólicamente, sean 𝐴 = {𝑎𝑖𝑗} y 𝐵 = {𝑏𝑖𝑗}

dos matrices 𝑚𝑥𝑛. La suma de 𝐴 + 𝐵 de las dos matrices es la matriz 𝑚𝑥𝑛, tal que 𝐴 + 𝐵 =

{𝑎𝑖𝑗} + {𝑏𝑖𝑗} = {𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗} para toda i y para cada j.

Sean 𝐴 = [

𝑎11 𝑎12 … 𝑎1𝑛

𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛

⋮ ⋮ … ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 … 𝑎𝑚𝑛

] y 𝐵 = [

𝑏11 𝑏12 … 𝑏1𝑛

𝑏21 𝑏22 … 𝑏2𝑛

⋮ ⋮ … ⋮𝑏𝑚1 𝑏𝑚2 … 𝑏𝑚𝑛

], entonces

𝐴 + 𝐵 = [

𝑎11 + 𝑏11 𝑎12 + 𝑏12 ⋯ 𝑎1𝑛 + 𝑏1𝑛

𝑎21 + 𝑏21 𝑎22 + 𝑏22 ⋯ 𝑎2𝑛 + 𝑏2𝑛

⋮𝑎𝑚1 + 𝑏𝑚1 𝑎𝑚2 + 𝑏𝑚2 ⋯ 𝑎𝑚𝑛 + 𝑏𝑚𝑛

].

Ejemplos: (a). Sean 𝐴 = [2 95 8

] y 𝐵 = [8 41 3

], entonces:

𝐴 + 𝐵 = [2 95 8

] + [8 41 3

] = [2 + 8 9 + 45 + 1 8 + 3

] = [10 136 11

].

(b). Sean 𝐶 = [ 2 4 − 6 7 1 3 2 1−4 3 − 5 5

] y 𝐷 = [ 0 1 6 − 2 2 3 4 3−2 1 4 4

], entonces


7

𝐶 + 𝐷 = [ 2 5 0 5 3 6 6 4−6 4 − 1 9

].

(c). Sean 𝐸 = [1 2 34 5 6

] y 𝐹 = [−1 0 2 − 5 4 7

], entonces no es posible sumar ambas matrices,

ya que tienen tamaño diferentes.

Propiedades de la suma de Matrices.

La adición es una ley de composición interna que cumple las propiedades asociativa,

conmutativa, existencia de elemento neutro y existencia de recíproco o simétrico.

1. Asociativa:

Para toda matriz 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝜖 𝑀𝑚×𝑛 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶.

2. Conmutativa:

Para toda matriz 𝐴, 𝐵 𝜖 𝑀𝑚×𝑛 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐶.

3. Existencia de elementos neutro:

Existe la matriz nula, denotada por 0𝑚𝑥𝑛., talque: 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴.

4. Existencia de elementos recíproco o simétrico:

Para toda matriz 𝐴 𝜖 𝑀𝑚×𝑛 y también existe otra matriz −𝐴 𝜖 𝑀𝑚×𝑛 tal que:

𝐴 + (−𝐴) = (−𝐴) + 𝐴 = 0.

Producto de un escalar por una Matriz.

El producto de una matriz 𝐴 = {𝑎𝑖𝑗}𝑚×𝑛 por un escalar 𝑘 es la matriz obtenida al multiplicar

cada elemento de la matriz por el escalar: 𝑘𝐴 = {𝑘𝑎𝑖𝑗}𝑚×𝑛.

Esto es, la matriz producto del número real 𝑘 por la matriz real 𝐴 se obtiene multiplicando

cada elemento de 𝐴 por el número real 𝑘.

𝑘𝐴 = [

𝑘𝑎11 𝑘𝑎12 … 𝑘𝑎1𝑛

𝑘𝑎21 𝑘𝑎22 … 𝑘𝑎2𝑛

…𝑘𝑎𝑚1 𝑘𝑎𝑚2 … 𝑘𝑎𝑚𝑛

]

Ejemplos: (a). Si la matriz 𝐴 = [−1 2 2 3 0 5

], entonces

2𝐴 = 2 [−1 2 2 3 0 5

] = [2. (−1) 2.2 2.22.3 2.0 2.5

] = [−2 4 4 6 0 10

].


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(b). Sea 𝐴 = [1 − 3 4 23 1 4 6−2 3 5 7

]. Entonces, −3𝐴 = [−3 9 − 12 − 6−9 − 3 − 12 − 18 6 − 9 − 15 − 21

], y

0𝐴 = [0 0 0 00 0 0 00 0 0 0

].

(c). Sean 𝐴 = [1 2 4−7 3 − 2

] y 𝐵 = [4 0 51 − 3 6

]. Calcule −2𝐴 + 3𝐵

−2𝐴 + 3𝐵 = (−2) [1 2 4−7 3 − 2

] + (3) [4 0 51 − 3 6

] = [−2 − 4 − 8 14 − 6 4

] + [12 0 15 3 − 9 18

]

= [10 − 4 717 − 15 22

].

Propiedades del producto de un número real por una matriz.

Si 𝐴 y 𝐵 son matrices de igual orden y 𝛼 𝑦 𝛽 son escalares, entonces se cumple:

1) Asociatividad mixta: (𝛼 𝛽) 𝐴 = 𝛼 (𝛽 𝐴).

2) Elemento Neutro: 1 ∙ 𝐴 = 𝐴 ∙ 1 = 𝐴.

3) Distributividad: (𝛼 + 𝛽)𝐴 = 𝛼𝐴 + 𝛽𝐴.

4) Distributividad: 𝛼 (𝐴 + 𝐵) = 𝛼 𝐴 + 𝛼 𝐵.

Dadas las sumas de matrices y la multiplicación por un escalar, es fácil definir la diferencia

𝐴 − 𝐵 de dos matrices 𝐴 y 𝐵 de 𝑚 × 𝑛. Denotemos (−1)𝐵 por –𝐵 y luego se define 𝐴 − 𝐵 =

𝐴 + (−)𝐵.

Definición: El inverso aditivo – 𝐴 de la matriz 𝐴, es −1. 𝐴, y se cumple,

𝐴 + (−𝐴) = 𝐴 − 𝐴 = 0𝑚×𝑛

Definición: La resta de matrices 𝐴 − 𝐵 se define como 𝐴 − 𝐵 = 𝐴 + (−)𝐵.

Ejemplo: Realizar la diferencia de:

4. [15 6 8 15

] − 3. [11 4 2 7

] = [60 2432 36

] + [−33 − 12 −6 − 21

] = [27 1226 15

]

Después de definir el producto de un número real 𝑘 por una matriz 𝐴 podemos señalar que,

la matriz escalar (𝑘 𝐼𝑛) no es más que el producto del número real 𝑘 por la matriz unitaria

𝐼𝑛. O sea, 𝑘 𝐼𝑛 = 𝑘( 𝐼𝑛) = (𝑘 𝐼𝑛).


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A menudo es útil cambiar una matriz de manera que las filas se conviertan en columnas, y

viceversa. La nueva matriz formada se llama transpuesta de la matriz original.

Definición: Si 𝐴 es una matriz 𝑚 × 𝑛, entonces la traspuesta de 𝑨, denotada por 𝐴𝑡, es

una matriz 𝑚 × 𝑛 cuyo i – ésimo renglón es la i – ésima columna de 𝐴 y cuya j – ésima

columna es el j – ésimo renglón de 𝐴.

Dada una matriz 𝐴, siempre existe su transpuesta y además es única.

Ejemplo: Sea 𝐴 = [2 0 − 14 6 8

]. Entonces 𝐴𝑡 = [ 2 4 0 6−1 8

].

La fila 1 de 𝐴 pasa a ser columna 1 de 𝐴𝑡.

La fila 2 de 𝐴 pasa a ser columna 2 de 𝐴𝑡.

Otra manera de decir, Matriz Cuadrada que tiene iguales los elementos simétricos respecto

a la diagonal principal.

𝐴 = [1 2 32 5 43 4 6

] y 𝐴𝑡 = [1 2 32 5 43 4 6

].

Propiedades de la transposición de matrices.

Para cualquier par de matrices 𝐴 y 𝐵 de tamaño 𝑚 × 𝑛 y para todo escalar 𝑘:

1) (𝐴𝑡)𝑡 = 𝐴.

2) (𝐴 + 𝐵)𝑡 = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡.

3) (𝑘𝐴)𝑡 = 𝑘(𝐴𝑡).

Ejemplos:

(a). Si 𝐴 = [2 0 − 14 6 8

], entonces (𝐴𝑡)𝑡 = [2 0 − 14 6 8

].

(b). Sean 𝐴 = [1 2 34 5 6

] y 𝐵 = [7 8 910 11 12

]. Entonces 𝐴 + 𝐵 = [8 10 1214 16 18

] y

(𝐴 + 𝐵)𝑡 = [8 1410 1612 18

] = [1 42 53 6

] + [7 108 119 12

] = 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡.

(c). Finalmente, 𝑐𝐴 = [𝑐 2𝑐 3𝑐4𝑐 5𝑐 6𝑐

] y (𝑐𝐴)𝑡 = [𝑐 4𝑐2𝑐 5𝑐3𝑐 6𝑐

] = 𝑐 [1 42 53 6

] = 𝑐 (𝐴𝑡).

Las matrices simétricas son particularmente importantes en el estudio de valores

característicos. Recordemos que una matriz es simétrica si 𝐴 = 𝐴𝑡 o sea, 𝐴 es simétrica


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solo si los elementos situados simétricamente respecto a la diagonal principal son iguales.

Una propiedad sencilla pero útil de las matrices simétricas, nos asegura que la suma de

dos matrices simétricas 𝑛 × 𝑛 es simétrica.

Multiplicación de matrices.

Definición.

Si A es una matriz 𝑚 × 𝑛 , y si B es una matriz 𝑛 × 𝑝 con columnas 𝑏1, 𝑏2, …… . , 𝑏𝑝 , entonces

el producto 𝐴𝐵 es la matriz 𝑚 × 𝑝 cuyas columnas son 𝐴𝑏1, 𝐴𝑏2, ……𝐴𝑏𝑝. Esto es, 𝐴𝐵 =

𝐴[𝑏1, 𝑏2, 𝑏3, …… , 𝑏𝑝] = [𝐴𝑏1, 𝐴𝑏2, …… , 𝐴𝑏𝑝].

Ejemplo: Calcule 𝐴𝐵, donde 𝐴 = [2 31 −5

] 𝑦 𝐵 = [4 3 61 −2 3

].

Solución: Escriba 𝐵 = [𝑏1 𝑏2 𝑏3], y calcule:

𝐴𝑏1 = [2 31 −5

] [41] = [

11−1

] , 𝐴𝑏2 = [2 31 −5

] [3

−2] = [

013

] , 𝐴𝑏3 = [2 31 −5

] [63] = [

21−9

]

Entonces, 𝐴𝐵 = 𝐴[𝑏1 𝑏2 𝑏3] = [11 0 21−1 13 −9

]

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el

número de filas de B.

𝑀𝑚×𝑛 × 𝑀𝑛×𝑝 = 𝑀𝑚×𝑝

El elemento 𝐶𝑖𝑗 del matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de

la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices:

Propiedad Asociativa: 𝐴 (𝐵 𝐶) = (𝐴 𝐵) 𝐶,

Existencia del Elemento Neutro o matriz identidad: 𝐴 𝐼𝑛 = 𝐼𝑛 𝐴 = 𝐴

donde 𝐼𝑛 es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A,

El producto de Matrices en general No es conmutativa: 𝐴 𝐵 ≠ 𝐵 𝐴,

Distributiva del producto respecto a la suma:

𝐴 (𝐵 + 𝐶) = 𝐴 𝐵 + 𝐴 𝐶,

(𝐴 + 𝐵) 𝐶 = (𝐴 𝐶) + (𝐵 𝐶).

Hay cuatro propiedades fundamentales de la multiplicación de números reales que no se

cumplen de manera general en la multiplicación de matrices:


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(1) Si 𝐴 𝐵 = 0 ⇏ 𝐴 = 0 ó 𝐵 = 0, el producto de dos matrices sea una matriz nula no

requiere que alguna de ellas también lo sea.

(2) Si 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 (𝐵 ≠ 0) ⇏ 𝐴 = 𝐶 no se cumple la propiedad cancelativa.

(3) En general (𝐴 + 𝐵)2 ≠ 𝐴2 + 𝐵2 + 2𝐴𝐵, ya que 𝐴 𝐵 ≠ 𝐵 𝐴.

(4) En general (𝐴 + 𝐵)(𝐴 − 𝐵) ≠ 𝐴2 − 𝐵2, ya que 𝐴 𝐵 ≠ 𝐵 𝐴.

Ejemplos: (a). Sean 𝐴 = [1 2 − 13 1 4

] y 𝐵 = [ 1 4 3 − 1−2 2

].

Entonces,

𝐴𝐵 = [(1)(−2) + (2)(4) + (−1)(2) (1)(5) + (2)(−3) + (−1)(1)(3)(−2) + (1)(4) + (4)(2) (3)(5) + (1)(−3) + (4)(1)

] = [4 − 26 16

]

(b). Sean 𝐴 = [1 − 2 34 2 10 1 − 2

] y 𝐵 = [1 43 − 1−2 2

]. Calcule la entrada (3, 2) de 𝐴 𝐵.

Solución: Si 𝐴 𝐵 = 𝐶, la entrada (3, 2) de 𝐴 𝐵 es 𝐶32 que es fila 3 de 𝐴 por columna 2 de 𝐵.

Ahora tenemos

𝑓𝑖𝑙3(𝐴). 𝑐𝑜𝑙2 (𝐵) = [0 1 − 2] [4

−12

] = [(0)(4) + (1)(−1) + (−2)(2)] = [−5].

La multiplicación de matrices requiere mucho más cuidado que la suma, ya que las

propiedades algebraicas de la multiplicación de matrices difieren de las que satisfacen los

números reales. Parte del problema se debe al hecho de que 𝐴𝐵 se define sólo cuando el

número de columnas de 𝐴 es igual al número de filas de 𝐵. En consecuencia, si 𝐴 es una

matriz de 𝑚 × 𝑝 y 𝐵 es una matriz de 𝑝 × 𝑛, 𝐴𝐵 es una matriz de 𝑚 × 𝑛. ¿Qué ocurre con

𝐵𝐴? Pueden suceder cuatro situaciones diferentes:

1. Es posible que 𝐵𝐴 no esté definido; esto pasará si 𝑛 ≠ 𝑚.

2. Si 𝐵𝐴 está definida, lo que significa que 𝑛 = 𝑚, entonces 𝐵𝐴 es de 𝑝 × 𝑝, mientras que

𝐴𝐵 es de 𝑚 × 𝑚; de esta manera, si 𝑚 ≠ 𝑝, 𝐴𝐵 y 𝐵𝐴 son de tamaños diferentes.

3. Si 𝐴𝐵 y 𝐵𝐴 son del mismo tamaño, pueden ser iguales.

4. Si 𝐴𝐵 y 𝐵𝐴 son del mismo tamaño, pueden ser diferentes.

Ejemplos: (a). Si 𝐴 es una matriz de 2 × 3 y 𝐵 es una matriz de 3 × 4, 𝐴𝐵 es una matriz de

2 × 4 mientras que 𝐵𝐴 no está definida.

(b). Sean A de 2 × 3 y B de 3 × 2. Entonces 𝐴𝐵 es de 2 × 2, mientras que 𝐵𝐴 es de 3 × 3.

(c). Sean 𝐴 = [1 2−1 3

] y 𝐵 = [2 10 1

] , entonces 𝐴𝐵 = [ 2 3−2 2

] mientras que 𝐵𝐴 = [ 1 7−1 3

].

En consecuencia 𝐴𝐵 ≠ 𝐵𝐴.


12

Potencias de una matriz cuadrada.

Una matriz cuadrada 𝐴 de orden 𝑛 puede multiplicarse por sí misma y a ese producto se le

llama cuadrado de la matriz 𝐴 y se le denota por 𝐴2 de modo que 𝐴2 = 𝐴. 𝐴. Si multiplicamos

el cuadrado de la matriz A por sí misma obtenemos el cubo de A el que se denota 𝐴3 de

modo que 𝐴3 = 𝐴2. 𝐴. Análogamente podemos formar potencias de 𝐴, siempre que A sea

una matriz cuadrada de modo que:

𝐴𝑛 = 𝐴. 𝐴. 𝐴. 𝐴. 𝐴…𝐴

Ejemplos: (a). Hallar 𝐴3. Si 𝐴 = [1 0

−1 2].

Solución: 𝐴2 = [1 0

−1 2] [

1 0−1 2

] = [1 0

−3 4], entonces 𝐴3 = 𝐴2. 𝐴

𝐴3 = [1 0

−3 4] [

1 0−1 2

] = [1 0

−7 8]

(b). Dada la matriz 𝐴 = [ 4 5 − 1−3 − 4 1−3 − 4 0

]. Calcular 𝐴2, 𝐴3, 𝐴128.

Solución: 𝐴2 = 𝐴. 𝐴 = [ 4 5 − 1−3 − 4 1−3 − 4 0

] . [ 4 5 − 1−3 − 4 1−3 − 4 0

] = [ 4 4 1−3 − 3 − 1 0 1 − 1

].

𝐴3 = 𝐴2. 𝐴 = [ 4 4 1−3 − 3 − 1 0 1 − 1

] . [ 4 5 − 1−3 − 4 1−3 − 4 0

] = [ 1 0 00 1 00 0 1

] = 𝐼.

𝐴4 = 𝐴3. 𝐴 = 𝐼. 𝐴 = 𝐴.

Vemos que 𝐴4 = 𝐴, cada 𝐴3 volvemos a empezar. Entonces podemos hacer la siguiente

división. Se repite 42 veces, nos quedan 2.

Por lo tanto, 𝐴128 = 𝐴2 = [ 4 4 1−3 − 3 − 1 0 1 − 1

].

(c). Dada la matriz 𝐴 = [1 0 00 1 02 0 1

]. Hallar 𝐴𝑛.

Solución: Calcula 𝐴2, 𝐴3, 𝐴4 y observa que elementos van cambiando. Intentar deducir la

relación de los que cambian en función de 𝑛.

𝐴2 = 𝐴. 𝐴 = [1 0 00 1 02 0 1

] . [1 0 00 1 02 0 1

] = [1 0 00 1 04 0 1

].

𝐴3 = 𝐴2. 𝐴 = [1 0 00 1 04 0 1

] . [1 0 00 1 02 0 1

] = [1 0 00 1 06 0 1

].

𝐴4 = 𝐴3. 𝐴 = [1 0 00 1 06 0 1

] . [1 0 00 1 02 0 1

] = [1 0 00 1 08 0 1

].

Cambia el elemento 𝑎31 la sucesión es: 2, 4, 6, 8, … lo cual es una progresión aritmética.

Hallemos su término general: 𝐴𝑛 = 2 + (𝑛 − 1). 2 = 2 + 2𝑛 − 2 = 2𝑛.


13

Por tanto, 𝐴𝑛 = [1 0 00 1 02𝑛 0 1

].

APLICA LA TEORIA.

I. Escribe una matriz fila de dimensión 1x4.

II. Escribe una matriz columna de dimensión 4x1.

III. Escribe una matriz cuadrada de orden 3 y marca la diagonal principal.

IV. Completa la siguiente matriz para que sea simétrica.

V. Escribe una matriz triangular superior de orden 2 y su transpuesta. ¿Cómo es su

transpuesta?

VI. Escribe una matriz diagonal de orden 2.

EJERCICIO PROPUESTOS.

I. Halle si es posible, todos los valores de cada incógnita para que la siguiente igualdad se

cumpla.[2 45 𝑥 + 2

] = [𝑦 45 7

].

II. Halle los valores de 𝑎, 𝑏, 𝑐 y 𝑑, para que la matrices sean iguales 𝐴 = [2𝑎 + 𝑏 − 413 3𝑐 + 𝑑

] y

𝐵 = [19 𝑎 + 2𝑏𝑐 + 3𝑑 15

].

III. Escriba explícitamente la matriz 𝐴 = {𝑎𝑖𝑗}4×5, si 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 2𝑗, 𝑖 = 1, 2, 3, 4. 𝑗 = 1, 2, 3, 4, 5.

IV. Escriba explícitamente la matriz 𝐴 = {𝑎𝑖𝑗 }4×4, si 𝑎𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗, 𝑖, 𝑗 = 1, 2, 3, 4.

V. Halle la matriz transpuesta de cada una de las siguientes matrices. En cada caso determine si

la matriz es simétrica.

a. 𝐴 = [121],

b. 𝐵 = [1 2 3 22 2 4 33 4 1 1

],

c. 𝐶 = [0 1],

d. 𝐷 = [1 2 32 2 43 4 1

].

[𝟏 −𝟐 𝟑

𝟒 −𝟓𝟎

]


14

VI. Si 𝐴 = [4 −32 1

] , 𝐵 = [1 −22 −1

] 𝑦 𝐶 = [2 3

−1 2] encuentre:

a) AB

b) BA

c) AC

d) CA

e) BC

f) CB

g) A2

h) B2

i) (A+B)C

j) C(A+B)

k) (C-A)2

VII. En cada una de las siguientes ecuaciones, determine la matriz incógnita 𝑋 si existe.

a) 𝑋 + [4 5 17 2 0

] = [1 2 −13 6 0

] [1 2 −13 6 0

]

b) 𝑋 + [9 −1 35 2 67 3 1

] = [1 5 21 2 35 4 5

]

c) 5𝑋 − 3 [−2 02 17 −4

] = 2 [−7 5−3 12 −9

]

VIII. Hallar 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤 si: 3. [𝑥 𝑦𝑧 𝑤

] = [𝑥 6

−1 2𝑤] + [

4 𝑥 + 𝑦𝑧 + 𝑤 3

].

IX. Resolver razonadamente la siguiente ecuación matricial

[ 4 1−1 0

] 𝑋 − [ 1 2 0 − 12 − 1 0 1

] = [0 − 1 2 11 0 − 3 0

].

X. Dadas las matrices 𝐴 = [ 2 4 7−1 3 0

] , 𝐵 = [ 5 1 310 9 4

] , 𝐶 = [−2 − 3 5 0 8 − 1

], Obtenga.

a) 𝐴𝑡.

b) 𝐵𝑡.

c) (𝐴 + 𝐵)𝑡.

d) 𝐴𝑡 + 𝐵𝑡.

e) (2𝐴 + 5𝐵)𝑡.

XI. Sean 𝐴 = [1 3 − 24 1 7

] , 𝐵 = [0 − 1 32 0 1

] 𝑦 𝐶 = [1 1 12 2 2

]. Encuentre la matriz D tal

que 𝐴 + 2𝐵 − 𝐶 + 𝐷 = 02×3.

XII. Encuentre dos matrices 𝑋 e 𝑌, de orden 2 × 2 con coeficientes reales tales que 𝐴𝑋 +

𝐵𝑌 = 𝐶 y 𝐴𝑋 = 𝑌, siendo: 𝐴 = [ 1 2−1 0

], 𝐵 = [ 1 − 4−2 − 1

] y 𝐶 = [ 6 7−2 − 5

].

XIII. Calcula “𝑥” y “𝑦” si 𝐴 = [ 1 2−3 4

]. Verifica 𝐴2 + 𝑥 𝐴 + 𝑦 𝐼 = 0.


15

XIV. Determine cuales de las matrices siguientes son simétricas:

𝐴 = [1 33 0

] , 𝐵 = [2 − 55 2

] , 𝐶 = [1 2 33 1 42 5 1

] , 𝐷 = [5 6 86 0 48 4 9

].

XV. Si 𝐴 = [1 𝑖1 − 𝑖

] , 𝐵 = [1 𝑖−𝑖 1

], donde 𝑖 = √−1, calcular (1 + 𝑖)𝐴 + (1 − 𝑖)𝐵.

XVI. Sean 𝐴 = [ 2 5−4 6

], 𝐵 = [8 45 5

], y 𝐶 = [5 − 23 1

]. Verifique que AB = AC y que sin

embargo 𝐵 ≠ 𝐶.

XVII. Si 𝐴 = [ 1 − 2−2 5

] y 𝐴𝐵 = [−1 2 − 16 − 9 3

], determine la primera y segunda columna de

𝐵.

XVIII. Calcular 𝐴100 siendo 𝐴 = [1 0 01 1 01 0 1

].

XIX. Dadas las matrices A y B calcula la matriz 𝑃 = 𝐴𝐵 + 𝐵2, siendo 𝐴 = [1 0 11 1 10 1 2

] y 𝐵 =

[1 0 11 2 22 1 3

].

XX. Un constructor puede adquirir ladrillos, tejas, madera y cemento de tres proveedores:

P, Q y R. Los precios de cada proveedor por paquete de materiales vienen dados en

miles de córdobas por la matriz:

L T M C

P 18 13 6 6

Q 6 12 7 8

R 7 14 6 7

El constructor tiene que comenzar tres obras. Necesita:

a) Primera obra: 24 paquetes de ladrillo, 5 de tejas, 12 de madera y 18 de cemento.

b) Segunda obra: 20 paquetes de ladrillo, 7 de tejas, 15 de madera y 20 de cemento.

c) Tercera obra: 20 paquetes de ladrillo, 4 de tejas, 15 de madera y 15 de cemento.

El constructor quiere adquirir todos los materiales de cada obra al mismo proveedor.

¿Qué proveedor es el más económico para cada obra?

algebra lineal 1

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