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N . (Edites par Jes Pre~S poly techniques romandes H ....:.

(documentation detaillee sur dernande aux ~~, (Pressespoly techniques romandes, ', : ,( EPFL .Centre Midi, CHI015 Lausanne, Suisse). . : .ii:~ ( ,Preface~.:~

" ~;1'

CaJcuI differentiel et integral ~ ~. :'1 (Jacques Douchet et Bruno Zwahlen

1. Fonctions reelles d'une variable reelle ~i L'enseignement de l'algebre lineaire s'est considerablernent developpe au ( . ~~~ 2. Fonctions reeltes de plusieurs cours des deux dernieres decennies. De nos jours, presque to utes les sections (

variables reelles ~ d'etudes scientifiques et techniques, et notarnrnent les sections d'ingenieurs, ( I3. Exercices '$. incluent l'algebre lineaire dans la formation de base de leurs etudiants. Un ouvrage

(parution 1987) qui s'ajoute aux nombreux deja existants dans la litterature peut done encore se

Analyse ltott'standard ;,~~ justifier et pretendre repondre a des exigences restees insatisfaites. a (' ~ (Alain Robert , A l'exception de quelques-uns, les sujets developpes dans ce livre sont ' "

classiques et servent normalement de base a la realisation de tout livre d'algebre (Algebre Iineaire, tomes 1 et 2 ~

R. Cairoli lineairede rneme niveau . Ce qui distingue celui-ci des autres reside dans I'arrangeI. (:~t ment de la matiere et surtout dans sa presentation, qui emprunte beaucoup a la Initiation aux probabilltes '.M geometric ordinaire et vise a developper chez Ie lecteur une comprehension intui (Sheldon M. Ross ~

,~, tive. Un autre element distinctif est certainement la place accordee a la notion ~ .. -Cd'espace affine et a l'etude de la geornetrie affine a plusieurs dimensions.

Dans l'elaboration de la matiere, l'auteur s'est prevalu de l'experience de l :t~ r(

plusieurs annees d'enseignement a des sections d'ingenieurs de I'Ecole polytechni(

que federale de Lausanne. C'est a travers cette experience que l'exposition purement formelle concue initialement a cede la place a un discours plus parle et, ( oserait-on dire, plus humain.

(Conscient du fait que les concepts abstraits ne deviennent clairs qu 'a travers

les exemples, l'auteur s'est constamment soucie de favoriser la comprehension par ( des motivations, des commentaires et des illustrations.

(Outre creer les conditions propices a une meilleure assimilation des theore

mes et des techniques de calcul de l'algebre lineaire, cet ouvrage veut inciter Ie ( lecteur a un travail de recherche personnel. Quelques-uns des nombreux exercices (places a la fin de chaque chapitre ont pour but d'encourager une telle activite,

Ce livre a ete ecrit a l'intention des etudiants du premier cycle d'etudes des ( eccles d'ingenieurs de niveau universitaire, mais il s'adresse egalement aux etu (diants en rnathematique et en physique orientes vers les applications. 11 peut en

Si vous desirez etre tenu au courant outre venir en aide aux scientifiques a la recherche de methodes algebriques leur

.:

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R._rdrmmts

Je remcrcie vivement Monsieur Jean-Claude Evard de l'interet constant qu'il Conventions a apport': :i la realisation de cet ouvrage. Ses critiques et ses suggesti~ns m'ont permis d'arneliorer la presentation de nombreux points delicats du texte.

Je remercie Monsieur Laurent Perruchoud d'avoir lu plusieurs parties du . 1. Decoupage du texte manuscrit et de m'avoir signale quelques imprecisions.

Je remercie egalement Monsieur Claude EI-Hayek d 'avoir controle la ver Ce livre est divise en deux tomes. Chaque tome se compose de cinq chapitres

sion definitive du manuscrit, Monsieur Klaus-Dieter Semmler d'avoir realise les numerotes respectivement de I a5 et de 6 a 10. Le second tome contient en outre figures representant les quadriques, Monsieur Jean-Francois Casteu d'avoir effec un appendice repere par la lettre A. Chaque chapitre est divise en sections et

tue les dessins et Madame Pascale Deppierraz pour la competence avec laquelle chaque section en paragraphes. Les sections sont reperees par une double numerotat ion et les paragraphes par une triple numerotation. Par,c;xeIPple. 7.2 renvoie ae1le s'est occupee des problemes d'edition, la deuxieme section du septierne chapitre et 7.2.4 au quatrieme paragraphe de cette section. La derniere section de chaque chapitre rassemble les exercices sur la matiere traitee dans Ie chapitre. Ces exercices sont nurnerotes de la merne facon que les paragraphes. Ainsi, 7.4.11 designe Ie onzierne exercice de la quatrierne section du septieme chapitre, Les figures sont reperees par l'abreviation Fig. suivie de deux nombres , Ie premier indiquant Ie chapitre et Ie deuxierne la figure. Par

-~

. ~; exemple, Fig. 7.3 designe la troisieme figure du septieme chapitre.

'~;~ 2. Conventions sur les nombres \. ....., -~ ...... ;. . , ..l ' Les lett res R et a: designeront respectivement Ie corps des nombres reels et '~~~'J

Iecorps des nombres complexes. Tout au long des dix chapitres de ce livre. Ie terme ;:i nombre aura Ie sens de nornbre reel, Dans l'appendice consacre al'extension:~;,. de certains resultats aux nombres complexes. il sera precise dans quelles circons

.;;;, ., tances Ie terme nombre prendra la signification de nornbre complexe.

:~, Les nombres seront generalernent designes par des lettres grecques minuscu.:j' les telles que a. p, y, A. )1. v, ou par des lettres latines minuscules telles que a. b,

~;, c. d. Les nombres entiers seront appeles plus simplement entiers . Ils seront designes " r~ par des lettres latines minuscules telles que n, k, i, j, I. m. ~~ Nous dirons qu 'un nombre est positif inegatifv s' il est superieur (inferieur) ( .~ azero. Nous dirons qu'il est non negatlf s'il est superieur ou egal azero.

( ~1 .:0;1_,0i.,.:

( 3. Avertissement concernant I'emploi des adjectifs numeraux

( Tout au long de ce livre, par deux. trois n objets , nous entendrons (sauf

( mention explicite du contraire) deux. trois n objets distincts .

(

( I 4. Families d'elements d'un ensemble

( Dans ce livre. nous appelleronsfamillefinie d'elements d'un ensemble E tout n-uplet (ordonne) d'elements de E. c'est-a-dire tout element du produit cartesien

~, ; II J

';"" (. ~ .;.;.

:~t . (~~'.' .: ~: Convent ions2: ' :: ~;"; ." . (. .;:0:-. :'

:. ~S((x .to ... .t.) et dirons que x, est Ie i-ieme terme ou Ie terme d 'indice i. Nous dirons

en ou-tre que I'ensernble {I . 2.... n} est Yensemble d 'indices. ( On remarquera que notre definition n'exclut pas que Xi = xj pour des indices

(I i ei ] differents, ni rneme que X ; = x pour tout indice t. x designant un element de Table des matieres E. On remarquera encore que (XI' .t 2' .. .. x.) = (x]. x; .... x~ ) si et seulement si ('i XI = :cit .'(1 = x;. .... XII = x~ .

(Nous appellerons les families adeux et atro is termes respectivernent couples et triplets . (TOME I

Lesfamilles infinies (ou suites) sont definies similairement en prenant comme .1:, (ensemble d' indices I'ensemble des entiers positifs. Elles seront designees par Ie

.:.11sy~bol.; .~'~j x2 .. . ). Precisons toutefois qu 'elles apparaitront tres rarement dans ._' (Conventions ce livre: . ;f!.'

(Ajoutons quelques lignes de commentaire ala notion de famille finie. Dans Chapitre I Espaces vectoriels et espaces affines l'etude de nombreuses questions. telles l'independance lineaire ou la generation de

--(

( Table des matieres .. 4 Table des matieres

(

(

~ I

3.3 Matri ces echelonnees . . . . . . . . . . . . . 94 7.2 Classification des transformations orthogonales

( 3.4 Methode de resolution de Gauss . . . . . . . . 100 adeux et a trois dimensions . 52 3.5 Structu re et dime nsion de I'ensemble des solutions 105 7.3 Isornetries, similitudes 60(

65

l --, Chapitre 4 Algebre ma tricielle

3.6 Exercices ... . . . . .. . ... . . .. 108 7.4 Exercices

Chapitre 8 Valeurs propres et vecteurs pro pres ( .J !._:~'"X4. 1 Operations sur les matrices III j: " 8.1 Exernples preliminaires . . . . . . . . . . . . 69(

4.2 Ma trices inversibles . . . 119 8.2 Definitions et premieres consequences . . . . . 74 ( 4.3 Matrices ca rrees particulieres 124 8.3 Formulation matricielle, polynorne caracteristique 77

8.4 Reduction a la forme diagona le . . . . . . . . . . 824.4 Retour aux operations elementaires 126 8.5 Reduction des applications lineaires no'N"diigonalisables 874.5 Fo nctions matricielles 128 :,'

( I "1,;' 4.6 Matrices de tra nsition 130 8.6 Transformations et matrices syrnetriques .. 93 -s

i 8.7 Application am systernes differentiels .' . 98

::;~~ 8.8 Exercices . . . . . . . . 107 ( , 4.7 Exercices . . . . . 133 ... (. Chapitre 5 Determinants

( ., Chapitre 9 Formes bilineaires symetriques (

(

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5.1 Definition et proprietes des determinants . . : 137 ;~~ 5.2 Demo nstrations des proprietes des determinan ts 143 t 9.1 Reduction des formes bilineaires symetriques 113

I :;:";

5.3 Developpements, fonnule de Cramer 146 9.2 Formes bilineaires syrnetriques definies positives 118 .. ~ _ . r 123 5.4 Exernples et remarques diverses 150 9.3 Red uction simultanee . . .

. ~:;~ 126 'I

5.5 Exercices . . . . . .. . . . . 154 9.4 Exercices

TOME 2

Conventions . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . . I

~: Chapitre 6 Applications lineaires et applications aflines -j 6.1 Generalites . . . . . 7 6.2 Applications lineaires . 10 6.3 Noyaux et images . . 15 6.4 Operations sur les applications lineaires . 18 6.5 Representation matricielle d 'une application lineaire . 21 6.6 Changements de base . 27 6.7 Applications aflines 32

6.8 Exercices . .. . . 41

Chapitre 7 Transfo rmations et mat rices orthogonales, isometrics. similitudes

7.1 ' -T r.anefQmJa tions .et.matrices orthogona les . . . . . . 47

Chapitre 10 Quadriques

10.1 Equation generale d'une quadrique . . . . . . . 129

10.2 Centrage . . . .. . .. . . .. . . . . .. 131 10.3 Reduction de l'eq uation d'une quadrique acentre 133 10.4 _Reduction de l'equation d'une quadriq ue sans centre . 137

10.5 Exernples de reduction . .. . 140 10.6 Representations pararnetriques 142

14510.7 Exercices - - . .

Appendice Extension aux scalaires complexes

149 A.I Espaces vectoriels complexes .. .. . . A.2 Systemes lineaires, matrices et de terminants 152

A.3 Applications lineaires . . . . . . . 153

A.4 Valeurs propres et vecteurs propres 154

A.5 Transformations nonn ales .. . . 158 A.6 Formes sesquilineai res hennitiennes 161

165A.7 Exercices

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''I ,

.., . ~ : ~ \ ..

j

.....,,"" ....

I

I I

I I

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CHAPITRE I

;, Espaces vectoriels et espaces affines

1.1 UN MODELE D'ESPACE VECTORIEL

1.1.1 Introduction

Des notions physiques telles que la force ou la vitesse sont caracterisees par une direction , un sens et une intensite. Ce triple caractere est rnis en evidence par les fleches, Celles-ci sont a l'origine de la notion de vecteur et en constituent I'exemple Ie plus suggestif. Bien que leur nature soit essentiellement geornetrique, c'est leur aptitude ase Iier les unes aux autres , done leur comportement algebrique, qui retiendra principalement notre attention. Partage en classes d'equivalence et muni de deux operations appelees addition et multiplication par un scalaire, I'ensemble qu'elles forment represente Ie modele c1assique d'un espace vectoriel. Un de nos premiers objectifs est la description detaillee de ce modele.

1.1.2 Notion de Oeche

Nous designerons par '/:' l'espace ordinaire de la geometric elementaire et par P, Q, ... ses points. Nous appelleronsjleche tout segment de droite oriente. La fleche d'origine P et d'extremite Q sera notee PQ (fig. 1.1). II est evident que toute fleche est caracterisee par sa direction , son sens, son intensite ou grandeur et son origine.

~Q P . Fig. 1.1

1.1.3 Ensemble des vecteurs

Nous dirons que deux flechessont equivalentes si elles ont la merne direction,le meme sens et la merne intensite . Partageons l'ensemble des flechesen classes d'equivalence: deux fiechesappartiennent aune meme c1asse si et seulement si elles sont equivalentes. Nous dirons que chacune de ces classes est un vecteur. Rangeons, en outre, les fleches degenerees (c'est-a-dire de la forme PP) en une c1asse distinguee que nous appellerons vecteurnul et noterons O. L'ensernble des vecteurs

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9

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( Un modele d'espace veetorielEspaces vectoriels et espaces affines (

( ainsi definis sera designe par V. II faut souligner que les elements de V sont des ( classes de fleches et non pas des fleches individuelIes. II est cependant clair qu'une

( fleche quelconque suffit a determiner la c1asse a laquelIe elIe appartient et iI est done naturel de I'appeler representant de la c1asse ou du vecteur. (

Dans ce livre, les vecteurs seront designes par des lett res latines minuscules ~ ( imprimees en caractere gras ou par des couples de lettres latines majuscules surmontees d'une fleche (par exemple, PQ designe Ie vecteur determine par la Fig. 1.3 ( fieche PQ). Dans les figures. les fleches seront toutefois designees par Ie symbole

( du vecteur qu'elles representent, 1.1.5 Soustraction de vecteurs (

j . L'operation inverse de I'addition vectorielle est la soustraction vectorielle. I ':' (

(

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( ,

( \

Soustraire un vecteur revient a additionner Ie vecteur oppose (fig. 1.4): 1.1.4 Addition de vecteurs Tracons Ie representant d'un vecteur yapartir de l'extremite d'un represen x - y = x + (-y~.

tant d'un vecteur x. La fleche dont I'origine est celie du representant de x et l'extremite celIe du representant de y determine un vecteur que nous noterons x + yet appelerons somme de x et y. L'operation qui assode a tout couple de vecteurs leur somme s'appelle addition vectorielle (fig. 1.2).- .

x+y Fig. 1.4

~ y

1.1.6 Remarque::---z---

L'addition s'etend, par recurrence, au cas d'une famille finie quelconque de

A I'aide d'une figure, il est facile de montrer que l'operation d'addition vecteurs (XI' X2..... Xk): vectorielle est associative et commutative, autrement dit, que

XI + x:J + Xl) + .... (x + y) + z = x + (y + z) En vertu de l'associativite, ces additions successives peuvent etre effectuees dans

et n'importe quel ordre, ce qui justifie l'ecriture sans parentheses

x + Y = Y + x. XI + x2 + ... + Xk' II est en outre evident que Ie vecteur nul 0 est l'element neutre de I'addition

vectorielIe, autrement dit , que 1.1.7 Multiplication par un scalaire

x + 0 = 0 + x = x, Dans ce livre scalaire sera synonyme de nombre, Rappelons en outre et que que. sauf indication contraire, nombre signifie nombre reel, Le vecteur ex,

appele produit du nombre 0: par x, est defini de la maniere suivante : prenons une x + (-x) = 0,

fleche representative de x et construisons une fleche de meme direction. de meme

OU - x designe Ie vecteur oppose de x, c'est-a-dire Ie vecteur dont les representants sens ou de sens oppose. suivant que 0: est positif ou negatif, et d'intensite 10:1 fois ( ) , ont la meme direction et la rneme intensite que ceux de x, mais Ie sens oppose l'intensite de la fleche initiale; la fieche ainsi obtenue est un representant du vecteur

(fig. 1.3). ex; si 0: = 0 ou x = 0, no us posons o:x = O. L'operation qui consiste aeffectuer(

----

Espaces vectoriels et espaces aflines 12

(7) (-a)x = -(ax), donc en particulier (-I)x = -x. En effet, l'oppose d'un vecteur etant unique d'apres (3), il suffit de montrer que ax + (-a)x = O. Or, par la condition (I), ax + (-a)x = (a - a)x = Ox et, par (5), Ox = O.

I 1.3 EXEMPLES D'ESPACES VECTORIELS Ii:

1.3.1 ~es vectoriels geometriques l.L':.. :-

Ii L'espace vectoriel geornetrique V etudie dans la section 1.1 est un premier

exemple d'espace vectoriel selon la definition 1.2.2. Un deuxieme exemple est Ie plan vectorie1 geometrique, c'est-a-dire I'ensemble des classes de fleches equivalen,n tes du plan usuel de la geometrie elementaire, muni des deux operations introduites . 1i , . dans 1.1.4 et 1.1.7. Nous Iedesignerons egalement par V, mais s'il faut Ie distinguer du premier, nous utiliserons les symboles V3 pour I'espace et V2' pour Ie plan.

~~ 1,3.2 Vectoriallse de ~1 . Soit 0 un point arbitrairement choisi et fixe de I'espace ponctuel ~ introduit

dans 1.1.2. Definissons l'operation d'addition des points Pet Q de "' par la regle du parallelograrnme: P + Q est Ie sommet oppose a 0 du parallelogramme construit sur 0, P, Q (fig. 1.6). Cette operation peut egalernent etre definieaI'aide des fleches : P + Q est l'extremite de la fteche d'origine P equivalente ala fleche OQ . Definissons similairement la multiplication de P par un nombre a (fig, 1.7). Muni de ces deux operations, ~ ' devient un espace vectoriel appele vectorialise de :/} relativement aO. Nous designerons cet espace par ~~ et appellerons Ie point o origine. En identifiant chaque point P ala fleche OP, no us pouvons considerer

~~o comme etant forme des fleches d'origine commune O.

Q ......A.._

.... .... -"./ --

/,"/ ---O~_ -~P+Q --~P

-- -- -- " " .... --..._-- .> -...... ,.""

----0""",,,, .... / .... P P\

Fig, 1.6 o

14 Espaces vectoriels et espaces affines

et que

-a, a l -a2 a2

est l'oppose de

-an an

JR I sera identifie a JR.

1.3.4 Un espace vectoriel fonctionnel

Soit Cia.b)l'ensemble des fonctions reellescontinues definies dans l'intervalle ferme [a. b]. Nous designerons les elements de cet ensemble par les lettres I, g... . La valeur de f au point t sera notee f(t). Dire que f = g equivaudra done adire que f(t) = g(t) pour tout t de l'intervalle [a. b]. De maniere abregee, nous ecrirons f(t) == g(t). Ie signe == indiquant ainsi que les deux membres sont egaux pour tout t de l'intervalle [a. b]. Considerons les deux operations suivantes:

f + g. definie par la formule (f + g)(t) == f(t) + g(t). exf. definie par la formule (cd)(t) == af(t).

Ces deux operations satisfont aux conditions (a}-(h) de la definition 1.2.2 et

munissent CIa. b) d'une structure d 'espace vectoriel. Le vecteur nul de cet espace est la fonction nulle et l'oppose de fest la fonction -f definie par (-I)(e) == -f(t).

II est interessant de constater que C1bj en tant qu'espace vectoriel, est une ageneralisation naturelle de JRn au cas continuo On peut en effet concevoir tout vecteur (a) de JRn sous la forme d'une fonction reelle definie dans l'ensemble { I. 2..... /I}: la valeur de cette fonction au point i est tout simplement ai .

1.3.5 Autres espaces vectoriels fonctionnels

Voici quelques autres exemplesd'espaces vectoriels fonctionnels. Les operations d 'addition et de multiplication par un scalaire sont definies comme dans 1.3.4.

(I) L'espace vectoriel c7a.b) forme des fonct ions reelles k fois contintiment derivables, defin ies dans I'intervalle ouvert (a. b).

(2) L'espace vectoriel des fonctions reelles definies dans un intervalle. (3) L'espace vectoriel des polynomes aune indeterminee. (4) L'espace vectorieI des polynomes aune indeterminee de degre inferieur

ou egal an.

Combinaisons lineaires, sous-espaces vectoriels, families generatrices IS

1.4 COMBINAISONS LINEAIRES, SOUS-ESPACES VECTORIELS, FAMILLES GENERATRICES

1.4.1 Avertissement

Dorenavant, sauf mention explicite du contraire, les vecteurs seront les

elements d'un espace vectoriel donne E.

1.4.2 Combinaisons Dneaires ~.~

On appelle combinaison lineaire des vecteurs XI' x2...., Xk tout vecteur de la forme (XIXI + a2x2 + ..: + akxk' ou a., a 2..... at sont des nombres appeles coefficients de la combinaison lineaire.

1.4.3 Exemples

(I) Le vecteur nul est combinaison lineaire de XI ' x2.... . xk Pour voir cela, il suffit de prendre a l = a2 = ... = at = O. Dans ce cas. la combinaison lineaire est appelee combinaison lineaire triviale.

(2) Les combinaisons lineaires d'un vecteur X sont appelees multiples de X.

Un multiple de X est done un vecteur de la forme ax. On notera que Ie vecteur nul

est multiple de tout vecteur. (3) Combinaisons con vexes. On appelle combinaison convexe toute combi

naison lineaire dont les coefficients sont non negatifs et de somme egale Ii 1. L'ensemble des combinaisons convexes de deux points Pet Q de ~ est lesegment de droite joignant Pet Q. Pour s'en rendre compte, il suffit d'ecrire

aP + (I - a)Q = Q + a(P - Q),

de fairevarier a de 0 a 1 et de constater que to us les po ints du segment sont ainsi obtenus (fig. 1.9).

Q

",'",,"""~

,," " oar;:---.:.:.::--------;; Q + a(P - Q) . ' , ------",,,/" ., ---, ",,,,,,, ----'" a(P - Q)'< /'" p'

-, ,,//

17

,

I

I I I I

I

Espaces vectoriels et espaees affines 16

Nous laissons au lecteur Ie soin de verifier que I'ensemble des combinaisons con vexes de trois points est Ie triangle. eventuellement degenere, dont les sommets sont ces trois points.

D'une maniere generate, on peut montrer que I'ensemble des combinaisons convexes de k > 3 points est Ie plus petit polyedre convexe (polygone convexe si

:(10 designe Ie plan), eventuellement degenere, comprenant ces points. (4) On dit que Ie vecteur-colonne (x?)de R 3 est solution du systerned'equa

tions linea ires

3xI - 2x z + 4x3 = 0 (1.2)-.r.l.t X z - 5x3 = 0 si ses termes .~t X~. ~, substitues aux inconnues XI' Xz, X3' verifient les deux equations.

Toute combinaison lineaire al(x]) + az(x;) de solutions (x]) et (X;) du systeme (1.2) est encore une solution de ce systeme,

(5) Soit f l et fz les deux fonctions definies par

fl(l) ;: cost et fz(t) ;: sint. (1.3)

Toute combinaison lineaire de f l et fz est solution de l'equation different ielle

t + f = 0, ou 'r designe la deuxieme derivee de f.

1.4.4 Combinaisons Iineaires iterees

Si Ie vecteur x est combinaison lineaire des vecteurs XI ' Xz, ..., Xt et chacun ,de ces vecteurs est combinaison lineaire des vecteurs YI' Yz, ... YI' alors X est combinaison lineaire de YI ' Yz...., YI '

1.4.5 Sous-espaces veetoriels

On appelle sous-espace vectoriel de E tout sous-ensemble de E qui est lui-meme un espace vectoriel pour les operations d' addition et de multiplication par un scalaire definies dans E.

Un sous-espace vectoriel, en tant qu 'espace vectoriel, ne peut etre vide. puisqu'il comprend au moins un vecteur, asavoir son vecteur nul-.celui-ci etant d 'ailleurs forcement Ie vecteur nul de E. en vertu de la regie (5) de 1.2.3. En .l2Utre ~ _ en rneme temps que les vecteurs X et Y, il comprend toutes leurs combinaisons lineaires ax + Py. Inversement, on voit aussitot que tout sous-ensemble jouissant de ces proprietes est un sous -espace vectoriel. Nous avons ainsi etabli la proposition suivante: t

Combinaisons lineaires. sous-espaces vectoriels , families generalriccs

1.4.6 Proposition. Caracterisation des sous-espaces vcctoriels

Un sous-ensemble S de E est un sous-espace vectoriel de E si et seulementsi S est non vide et ax + fJy appartient Ii S pour tout couple (x, y) de vecteurs de S et tout couple (a. fJ) de nombres.

La proposition suivante en decoule aisernent :

1.4.7 Proposition

Soit (XI' XZ, , Xt) une famille de vecteurs. L 'ensemble des eombinaisons lineairesde xI' x2, ..., Xt est un sous-espaee vectorielS de E, plusprecisement Ieplus petit sous-espace vectoriel de E (au sens de l'inclusion} eomprenant XI' Xz, ..., Xt

1.4.8 Geoerateurs, famiUes genera trices

Les vecteurs XI' xz. .... Xt de la proposition 1.4.7 sont appeles generateurs de S et la famille (XI ' Xz... Xt) famille generatrice de S. On dit aussi que ces vecteurs ou cette famille engendrent S.

1.4.9 Somme et intersection de sous-espaces vcctoriels

Soit S et T des sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme de S et T, et on note S + T, I'ensemble des vecteurs de la forme s + r, ou s et un vecteur de Set tun vecteur de T. A I'aide de la proposition 1.4.7. Ie lecteur constatera facilemeot que la somme S + T et I'intersection S n T sont des sous-espaces vectoriels de E. Au contraire, la reunion S U T n'est pas un sous-espace vectoriel de E, amoins que S ne soit contenu dans T, ou reciproquement, En fait, Ie plus petit sous-espace vectoriel de E con tenant S U Test la somme S + T (cr.exercice 1.12.14).

Les resultats de ce paragraphe s'etendent, de maniere evidente, au cas d'une famille quelconque (SI' S2' ..., St) de sous-espaces vectoriels de E: la somme SI + Sz + '" + St, c'est-a-dire I'ensemble des vecteurs de la forme Sl + Sz + + St, ou Sj est un vecteur de S, pour i = 1,2, ... k, et I'intersection SI n Sz n n St sont des sous-espaces vectoriels de E.

1.4.10 Exemples

(I) {o} et E sont des sous-espaces vectoriels de E. (2) Le sous-espace vectoriel engendre par un vecteur non nul est forme de

tous les multiples de ce vecteur. On appelle un tel sous-espace droite veetorielle. Un sous-espace vectoriel engendre par deux vecteurs non multiples l'un de I'autre est appele plan vectoriel. Dans :oune droite et un plan vectoriels sont effectivement une droite et un plan passant par l'origine O.

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19

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,. :... .!~ . : "

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III i~

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( ) ( , <

18 Espaccs vectoriels et espaees affines

4(3) 1R est engendre par les vecteurs-eolonnes

ww[f]mEn effet,

(1.4)[m ~', w+ a W+', [f] +',m (4) Les fonctions (, et (2 definies dans (1.3) engendrent Ie sous-espace

vectoriel de era. b) forme des solutions de I'equation dilferentielle r + ( = O. Ce resultat d'analyse est enonce sans demonstration.

(5) Etant donne cinq nombres 10, ... , 14 arbitrairement choisis, definissons les cinq polynomes du quatrieme degre Po> ..., P4 par la formule

(t - (0) ... (t .:. IJ ... (I - (4) p,{/) == ) ( \'

(I; - (0) .. . (I; - I; .. . I; - 14J (1.5)

ou l'accent circonflexe indique I'absence des facteurs d'indice i. II est evident que

P,{IJ = I et p,{/) = 0 si i # j. (1.6)

Nous allons etablir que ces cinq polynornes engendrent I'espace vectoriel de tous les polynomes de degre inferieur ou egal Ii 4, en demontrant que si P est un tel polynone, alors "' j

ill P(/) == p(la> Po(t) + '" + p(/4) plt) iformule de Lagrange). (I.7)

A cet effet, designons par p Ie polynome defini par Ie second membre de (I. 7). D'apres (1.6),

p(to) = p(to) ' I + 0 + 0 + 0 + 0 = p(to)

p(t4) = 0 + 0 + 0 + 0 + p(tJ' I = P(l4)' i

ce qui montre que p et p prennent les memes valeurs en t = to> ..., I = t , done I4 que Ie polynome p - p a au moins cinq zeros. Puisqu'il est de degre inferieur ou egal Ii 4, nous en concluons qu'il est nul, done que p = p. La formule (1.7) est ainsi dernontree.

(6) L'ensemble des polynomes de degre inferieur ou egal Ii n est un sous fespace vectoriel de l'espace de tous les potynemes. II est engendre par les monomes j

,--tPo: Po(/) == I , PI: PI(/) == I, ... , P. : pit) == 1'. 1(un

j

~. .~--

20 Espaces vcetoriels et espaces affines

combinaison lineaire des deux autres, autrement dit, leurs representants ne sont pas paralleles a un meme plan.

,. Sur la base de ces observations, nous allons etendre la notion d'absence de";1 parallelisme a un meme plan au cas d'un nombre quelconque de vecteurs d'un

espace vectoriel E.

1.5,2 Independance et dependance lineaires, famiUes libres et liees

On dit que les vecteurs XI. x2' ..., xt sont lineairement independants si la relation a.x. + a 2x2 + ... + atxk = 0 implique a l = a2 = ... = ak = 0, autrement dit, si la combinaison lineaire triviale est la seule combinaison lineaire de XI' x2l ~'

II .... xk qui soit nulle. Dans Ie cas contraire, on dit que les vecteurs XI' x2...., xk sont

II' lineairement dependants.

iSi I'attention est fixee sur la famille (XI' x2' .. .. Xk) plutot que sur les termes

dont elle est constituee, on dit que celle-ci est libre ou liee suivant que les vecteurs

x., x2' .... Xk sont lineairernent independants ou dependants.

~

1.5.3 Formulation de la dependance lineaire

Selon la definition 1.5.2. les vecteurs x,. x2' , xk sont lineairernent dependants s'il existe des nombres non tous nuls ai' a 2, , ak tels que alx l + a2x2 + ... + akxk = O.

1.5.4 Exemples

Voici quelques cas ou la definition 1.5.2 s'applique directement.

(I) Une famille reduite aun seul terme X est libre ou liee suivant que X est non nul ou nul.

(2) Pour qu'un couple (x , y) soit lie, il faut et il suffit que I'un des vecteurs Xou y soit multiple de l'autre. On remarquera que Ie couple (x, 0) est lie, mais que x n'est pas multiple de 0 si x O.

I

(3) Si un des vecteurs XI ' x2. .... Xk est nul , ~s vecteurs sont lineairement dependants. car, en supposant Xi = 0, nous voyons que 1a combinaison lineaire

OXI + ... + l~ i~ + ... + OXk est nulle _sans etre triviale. (4) Si ~ .,;" ifPour un couple d'indices i etj differents, alors les vecteurs Xl'

I X2' .... Xk sont lineairement dependants, car. etant admis par exemple que i < j, la combinaison lineaire OX I + ... + ~+ ... + (-I)xj + ... + OXk est nullesa!l~._ ~ tre triviale. Cet exemple et Ie precedent se generaifsent de la facon suivante:

(5) Si les vecteurs XI ' x2. ..., xk sont lineairernent dependants. alors les

vecteurs XI' .. .. Xk' xt + l, .... x/Ie sont aussi, quels que soient xk+....., x/ (I> k) . En d'autres termes, toute famille finie de vecteurs admettant une sous-famille liee

est elle-meme liee.

, (

DCpendance et indCpendance Iineaires 21 (

(

(6) Si les vecteurs x X2' ... , Xk sont Iineairement independants, les vecteurs ( Xi.' X ...., Xi/ (I ~ i < i < ... < i/ ~ k) I~ egalement. En d'autres termes,

i2 l 2 (toute sous-famille d'une famille libre est elle-meme libre.

(La proposition suivante generalise l'exemple (2):

(

1.5.5 Proposition. Caracterisation de la dependance lineaire (

Pour qu'une famil/e de vecteurs (XI' x2' .. ., Xk) (k > I) soit liee, il faut et il ( suffit qu'un vecteur Xi soit combinaison lineaire des vecleurs xj avec j i.

DEMONSTRAnON

Si la famille (Xl' X2' ..., Xk) est liee, il existe des nombres non tous nuls a., ( a ... , at tels que alx. + Cx2X2 + ... +

23

(

( )

{

( I , ( I ! ( 'l l:/,I, : ( I , :! ,I I; ' j ( I I '

(

"I, J.; ~ I

(

(

(

(

(

(

(

(

22 Espaces veetoriels et espaees affines

1.6 BASES D'UN ESPACE VECTORIEL

1.6. I Introduction

Les families generatrices Iibres jouent un role important en algebre lineaire, Elles seront etudiees dans la presente section et la suivante.

Comme precedemment. E designera un espace vectoriel.

1.6.2 Bases d'un espace vectoriel

On dit qu'une famille finie de vecteurs est une base de E si elle est Iibre et engendre E.

D'apres cette definition. toute famille libre (x x2 , x t ) est une base du sous-espace vectoriel qu'elIe engendre.

1.6.3 Proposition

Pour qu 'une famille de vecteurs (e., e2... .. en) soit une base de E, il [aut et i/ suffit que tout vecteur x de E s'exprime de maniere unique sous la forme d'une combinaison lineaire des vecteurs e e . ... en:l, 2,

x = xle. + x2e 2 + ... + xnen. (1.9)

L'expression (1.9) est appelee decomposition de x suivant la base (e e2..... en)' l

DEMONSTRATION

Par definition d'une base. les vecteurs el' e2' .. .. en engendrent E. done tout vecteur x s'ecrit sous 1a forme (1.9). O'autre part. puisque el' e2. ... , en sont lineairernent independants, la decomposition (1.9) est unique, d'apres la proposition 1.5.6.

Reciproquement, si tout vecteur x s'ecrit de maniere unique sous la forme (1.9). les vecteurs el' e2, ..., en engendrent E et , en outre, ils sont Iineairernent independants, encore d'apres la proposition 1.5.6. done (ei- e2' ..., en) est une base de E.

1.6.4 Composantes d'un veeteur

Les coefficients XI' x2, .. . . xn de la decomposition d'un vecteur x suivant une base sont appeles composantes de x dans cette base.

En presence d'une base. tout vecteur est done entierement determine par ses composantes.

.~

i:.',

h ,

.j

.~ ,

.' j'

Bases d'un espace vectoriel

I.6.S Proposition

Si XI' X2' Xn sont les composantes de x et Y r- Y 2 .. . . Yn celles de y, a/ors XI + YI' X2 + Y2' , Xn + Yn sont les composantes de x + yet lX..l'., lX..l'2' .. . . aXn celles de ax.

En d'autres termes, additionner deux vecteurs revient a additionner leurs cornposantes et multiplier un vecteur par a revient amultiplier ses composantes par a. La base est done un outil de calcul important. car elle permet d'effectuer les operations sur les vecteurs au moyen d'operations sur les nombres.

1.6.6 Notation

De toute evidence. les composantes d'un vecteur dependent du choix de la base, mais une fois que ce choix est fait, it n'y aura aucun danger d'ambiguite lorsqu'on ecrira x(x i x2 .. . . xJ pour exprimer que XI' x2 .. . . xn sont les composantes de x, (Une ecriture rnieux appropriee au cas ou des changements de base interviennent sera introduite dans 6.5.6.)

1.6.7 Exemples

(1) La donnee d'une base d~ns ~ equivaut acelie d'un systerne d'axes de reference d'origine 0 dans :?: Les composantes d'un point de ~ sent, dans ce cas. les coordonnees de ce point par rapport au systerne d'axes.

(2) Deux (trois) vecteurs lineairement independants de V 2 (V3) forment une base.

(3) Les vecteurs-colonnes de IRn

I o o c o I o

(1.10)

o I 10 forment une base que l'on appelle base canonique de IRn Les composantes du vecteur-colonne (a j ) dans cette base sont c a2, .... an'

(4) Les polynornes Po ... P4 definis dans (1.5) forment une base de I'espace vectoriel des polynornes de degre inferieur ou egal Ii 4. En effet, ils engendrent cet espace et, de plus. ys sont lineairernent independants, car la relation CXoPo + ... + a 4P4 = 0 implique aopo(t;) + ... + a4P4(t;) = 0 et done. par (1..6). a j = 0 pour i = O....,4. D'apres (I }), les composantes dans cette base d'un polynome P de degre inferieur ou egal a4 sont p(to)..... p(t4) ,

(5) Les monornes Po ..., Pn definis dans (1.8) forment une base de I'espace vectoriel des polynornes de degre inferieur ou egal an. En effet, ils engendrent cet

24 Espaces vectorielset espaces affines

r . I

espace et, en outre. ils sont lineairernent independants, car la relation CXoPo + ... + a.p. = 0 s'ecrit aussi sous la forme ao + a.t + ... + a.t' == 0 et implique done a o = a l = ... = a. = 0 (cf. exercice 1.12.5). Les composantes d'un polynome de

~ degre inferieur ou egal an dans cette base sont les coefficients de ce polynome, :'1

1.7 DIMENSION D'UN ESPACE VECTORIEL

:: i. :lt l 1.7.1 Introduction

\ ., . i ~. i Au long de ce livre. no us nous occuperons principalement d'espaces vecto1\'! t. : riels admettant une base . Un des objectifs de cette section est de caracteriser ces q: j espaces.

Dans cette section. E designera encore un espace vectoriel.

1.7.2 Dimension linie et infinie

On dit que E est de dimensionfinie s'il est engendre par une famille finie de vecteurs. Dans Ie cas contraire , on dit que E est de dimension infinie. \1f

I t r i 1.7.3 Theoreme. Prolongement d'une Camille Iibre

I Soit (x x2 Xk) une famille libre et (VI' vl . .. .. v,J une famille genhatriee 1. de E. Si (x t- Xl' Xk) n'est pas une base de E, on prot extraire une sous-famille (Vii '

Vil..... Vi) de (v V2..... v,J de telle maniere que la famille (XI' .... Xk. ViI' .... Vi) soit ~..une base de E. ,~

t :t:

DEMONSTRAnON ... ' .~

Au moins un des vecteurs Vi n'est pas combinaison lineaire des vecteurs XI' Xl' .... Xk ' sinon (XI' Xl' .... Xk) engendrerait E. en raison de 1.4.4. et serait donc .~,. ~ une base de E. Notons ce vecteur vir La famille (XI' .... Xk' Vi.) est alors libre . En effet.Ia relation alx l + ... + akxk + PIVil = 0 implique d'abord PI = O. autrement Vi. serait combinaison lineaire des vecteurs XI' Xl' .... Xk et ensuite a l = a 2 = ...

.~~.= ak = O. puisque les vecteurs X Xl' .... Xk sont lineairement independants, Si la famille (XI' .... Xk' Vi.) engendre E. elle est une base de E et Ie theorerne est alors . demontre, Dans Ie cas contraire, Ie meme raisonnement nous assure de l'existence d'un vecteur Vil tel que (XI' .... Xk' Vii ' Vil) est une famille libre. Si cette famille n'engendre pas E. Ie precede d'extraction de vecteurs Vi de (VI ' vl..... Vm) se poursuit. Lorsqu'il s'arrete, nous aurons obtenu un prolongement de (x Xl' ...

\ Xk) en une famille libre engendrant E. c'est-a-dire en une base de E.

~

(

25 (Dimension d'un espaee vectoriel (

(1.7.4 Corollaire. Existence et extraction d'une base (Tout espace veetoriel de dimensionfinie et non reduit au vecteur nul admet une

base. En fait, de toute famille generatrice d 'un tel espaee on peut extraire une base. (

(DEMONSTRAnON

Soit (V V . ... . V ) une famille generatrice de E. Si E n'est pas reduit a {o}. (2 m

au moins un vecteur Vi n'est pas nul. Designons ce vecteur par x. Le corollaire ( resulte alors du theoreme 1.7.3 applique aux families (x) et (VI' vl... .. v".).

(

( 1.7.S Theoreme

( Si (el' el' .... e.) est une base de E. toute famille de vecteurs (XI ' Xl' .... Xk) done

(Ie nombre de termes k est superieur anest liee.

( DEMONSTRAnON

Nous raisonnons par I'absurde en supposant que la famille (XI' Xl' .... Xk) soit libre. Considerons la decomposition de Xl suivant la base (e., el' .... e.): .(

(X. = aiel + alel + ... + a.e.

(Comme x. n'est pas nul . au moins un des coefficients al' 0:2' .. .. a. n'est pas nul. Quitte aenumerer autrement les termes de la base. nous pouvons admettre que ( ce coefficient est a l. Dans ce cas.

I a2 a. e = -XI - -el - ... - -e.l a l a l a l.

et done (XI' e .. . . e.) est une famille generatrice de E. puisque Ie sous-espace l

vectoriel qu'elle engendre comprend les vecteurs e l el . .. . e . Exprimons alors Xl ( sous la forme d'une combinaison lineaire de XI' el .. . . e.:

Xl = P.x l + Plez + ... + p.e. ( Les coefficients Pl' ....P. ne sont pas tous nuls , sinon XI et Xl seraient [ineairernent

(dependants. Sans restreindre la generalite, nous pouvons admettre que Pl n'est pas

(nul . ce qui nous permet d'ecrire

(PI I P3 P. e, = --XI + -x, - -e3 - ... - -e.

o Pl Pl' Pl P2 ( et done de conclure que (XI' Xl' e3' .... e.) est une famille generatrice de E. puisque (Ie sous-espace vectoriel qu'elle engendre comprend les vecteurs XI' el' .... e. La

(suite de la demonstration poursuit ce precede d'echange: el' .... e. sont remplaces successivement par Xl' .... X . Le resultat montre que la famille (XI' Xl' .... xJ ( engendre E. Mais alors Xk est combinaison lineaire des vecteurs XI' Xl..... X ce

(qui contredit l'hypothese, en raison de la proposition 1.5.5.

(

http:effet.Ia

(

(

(

( Ii.

(

( 1.

(

II (

(

C

(

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(

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(

E(

(

(

26 Espaces vectorie ls et espaces atlines

1.7.6 Corollaire

Si (e., e2 , e.) et (e], ei ..., ek) sont deux bases de E. alors n = k .

DEMONSTRAnON

Du theoreme 1.7.5 nous deduisons que k ~ n. ainsi que n ~ k, par un echange du role des deux bases. II s'ensuit que n = k.

1.7.7 Dimension d'un espace vectoriel

Au moyen des corollaires 1.7.4 et 1.7.6. iI est maintenant possible d 'attribuer une dimension Ii tout espace vectoriel de dimension finie. Soit E un tel espace. On appelle dimension de E Ie nombre de tennes d 'une quelconque de ses bases. Si E se redu it au seul vecteur nul, on dit que sa dimension est nulle . La dimension de E sera notee dim E.

1.7.8 Exemples

La dimension de V2 est 2. celie de V3 est 3 et celie de JR' est n. D'apres I'exemple (5) de 1.6.7, la dimension de I'espace vectoriel des polynomes de degre inferieur ou egal a nest n + I. L'espace vectoriel de tous les polynornes et, par consequent.Ies espaces vectoriels Clabl et eta.b) sont de dimens ion infinie. En effet, ces espaces admettent des families libres arbitrairement grandes, par exemple (Po. P.. .... P. ). ou les Pisont les monomes definis dans (1.8). n etant pris arbitrairement grand ; par Ie theoreme 1.7.5, ces espaces n'admettent aucune base, done leur dimension est infinie, d 'apres Ie corollaire 1.7.4.

1.7.9 Proposition. Caracterisations d'une base

Supposons que E soit de dimension finie non nulle n. (a) Toute famille Iibre Ii n termes est une base de E. (b) Toute famille generatrice Ii n termes est une base de E.

DEMONSTRAnON

Assertion (a). Une famille libre a n tennes qu i ne serait pas une base se prolongerait en une base. d'apres Ie theoreme 1.7.3. et la dimension de E sera it alors superieure a n.

Assertion (b) . D'une famille generatrice Ii n tennes qui ne serai t pas une base on pourrait extra ire une base. d'apres Ie corollaire I. 7.4. et la dimension de E serait alors inferieure Ii n.

Retour aux sous-cspaccs vectoriels, sommcs directes 27

1.7.10 Isomorphie de E et JR'

Tout espace vecto riel E de dimension finie non nulle n peut etre mis en correspondanee biunivoque avec JR'. II suffit de choisir une base de E et de faire correspondre Ii tout vecteur x de E Ie vecteur -colonne dont les tennes sont les composantes de x dans la base cho isie:

E R' x. x2

(1.11)x(x x2 .... x.)

x.

D'apres la proposition 1.6.5, cette correspondance conserve les operations d'addition vectorielle et de multiplication par un scalaire; en d 'autres tennes, elle permet, comme nous l'avons deja fait remarquer, d'effectuer les operations sur les vecteurs par des operations sur les nombres. On dit que E et JR' sont isomorphes, ou que la correspondance est un isomorphisme (cf. 6.3.7). Evidemment, eet isomorphisme depend de la base de E choisie.

II importe de noter qu'un espace vectoriel E de dimension n n'admet, en general, aucune base privilegiee, contrairement a JR' ; pa r consequent. sauf si Ie choix d'une base de E a ete fait. iI faudra eviter de considerer E et R' comme identiques.

1.8 RETOUR AUX SOUS-ESPACES VECTORIELS. SOMMES DIRECTES

1.8.1 Introduction

Dans eette section, nous reprenons l'etude des sous-espaces vectoriels d 'un espace vectoriel donne E et introduisons les notions de rang d'une famille finie de vecteurs, ainsi que celie de somme directe de sous-espaees vectoriels.

1.8.2 Rang d'one famille finie de vecteurs

On appelle rang d'une famille finie de vecteurs la dimension du sous-espace vectoriel de E qu 'elle engendre.

1.8.3 Proposition

Le rang d'une famille de vecteurs (x ., X2' .. .. Xk) est inferieur ou egal Ii k . II est ega! Ii k si et seulement si cette famille est fibre.

...

29

'~ "

.< ~ }:

~ ,. .> ~

~

~ ,..

Espaces vectoriels et espaces aflines 28

DEMONSTRATION

Ecartons Ie cas trivial ou Ie rang de la famille (XI' x2' ... xt) est nul. D'apres Ie eorollaire 1.7.4, on peut alors extraire de cette famille une base du sous-espaee vectoriel qu'elle engendre. Le rang est done inferieur Ii k ou egal Ii k suivant que (XI' x2' ..., Xt) est une famille liee ou Iibre.

1.8.4 Proposition. Comparaison de deux rangs

Pour que Ie rang d 'unefamille de vecteurs (XI ' X2' ..., xt) soit egal au rang de la famille augmentee (x, x2' , xt , y), if faut et if suffit que Ie vecteur y soit combinaison lineaire des vecteurs XI' x2' ... , Xt.

DEMONSTRATION

Notons Set Ties sous-espaces vectoriels engendres respectivement par (XI'

x2' ... Xt) et (X" X2' ..., Xt, y). Si y est combinaison lineairedes vecteurs XI ' X2' ..., Xt, alors S = T, done les deux rangs sont egaux. Reciproquement, supposons que les deux rangs soient egaux et montrons que S = T, ce qui nous permettra de conclure que y est eombinaison lineaire des vecteurs XI ' x2' ..., Xt. Si les deux rangs sont nuls, il est clair que S = T = {O}. Sinon, une base de S est egalement une base de T, puisque S est inclus dans T, ce qui entraine que S = T.

1.8.5 Proposition. Sous-espaces veetoriels d'un espaee vectoriel de dimension finie

Si E est de dimension finie et S est un sous-espace vectoriel de E. alors S est de dimension finie et dimS"; dimE. En outre, dimS = dimE si et seulement si S = E.

DEMONSTRATION

Designons la dimension de E par n et supposons que celie de S soit infinie ou finie et superieure Ii n. Par recurrence, nous allons dernontrer I'existence d'une famille libre (XI' x:' .... xn-r') de veeteurs de S, ce qui contredit Ie theoreme 1.7.5, vu la definition 1.7.7. Comme S n'est pas de dimension nulle, il comprend au moins un vecteur non nul x" done (XI) est une famille Iibre. Supposons que (XI' x2' ..., Xt) est une famille Iibre de vecteurs de S. Si k est inferieur ou egal Ii n, au moins un des vecteurs de S n'est pas combinaison lineaire de x" X2' .... xt, sinon S serait de dimension k, eontrairement Ii l'hypothese. Designons ce vecteur par Xt+I' En vertu de la proposition precedente, la famille (x, X2' ..., Xk+ I) de vecteurs de S est alors libre.

Pour dernontrer la seconde assertion, il suffit de poser T = E dans la derniere partie de la demonstration precedente,

Retour aux sous-espaces vectoriels, sommes directes

1.8.6 Hyperplans vectoriels

Si E est de dimension finie non nulle n, un sous-espace vectoriel de E de dimension n - I est appele hyperplan vectoriel. Par exemple, un hyperplan vectoriel se reduit au vecteur nul si n = I, est une droite vectorielle si n = 2, un plan vectoriel si n = 3.

1.8.7 Sommes directes

On dit que la somme S + T de deux sous-espaces vectoriels S et T de E est directe si S n T = {O}. Dans ce cas, on la note S E9 T.

Par exemple, si E est de dimension 2 et (e., e0 est une base de E, alors E = DI E9 D2, ou DI et D2 sont les droites vectorielles engendrees respectivement par e l et e2'

Tout vecteur d'une somme directe S E9 T s'ecrit d'une seule rnaniere sous la forme s + t, ou s est un vecteur de S et t un vecteur de T. En effet, si

s + t = u + v, ou s, u sont des vecteurs de S et t, v des vecteurs de T, alors

s-u=v-t

est un vecteur de S n T = {O}, done s - u = v - t = 0, ce qui entraine s = u et t = v.

Inversement, si tout vecteur d'une somme S + Ts'ecrit d'une seule maniere sous la forme S + t, ou s est un vecteur de Set t un vecteur de T, alors S n T = {O} et done S + Test une somme directe. En effet, un vecteur non nul u de S n T permettrait au vecteur nul d'avoir deux decompositions, asavoir 0 = 0 + 0 et o = u + (-u).

1.8.8 Proposition, Existence d'un sous-espaee complementalre

Supposons que E soit de dimension finie. Pour tout sous-espace vectoriel S de E, if existe un sous-espace vectoriel T de E (non unique) tel que E soit somme directe de S ~t T. On dit que T est lin sous-espace cornplementaire de S dans E.

DEMONSTRATION

Ecartons les cas triviaux ou S = {O} et S = E. Le sous-espace vectoriel S admet alors une base (el , e:, ..., et), ou k est inferieur Ii la dimension n de E. Par Ie theoreme 1.7.3, cette base se prolonge en une base (e, ..., et, ek+I' .... en) de E. Soit TIe sous-espace vectoriel engendre par la famille (et+I' et+2' ..., e,.} . Si X = -"lei + -,,:e2 + + x nenest un vecteur quelconque de E, alors X = 5 + t, ou s = -"lei + x2e2 + + Xkek est un vecteur de Set t = x ..... lek... 1 + -"k+2ek+2 + ...

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s,

ij

"

30 Espaccs vectoriels et espaces aflines

+ xnen est un vecteur de T. En outre. S n T = {a} car aucun vecteur, excepte Ie vecteur nul. ne peut etre combinaison lineaire des vecteurs e\. e2... ek et des

vecteurs ek+\. ek+2' ... en' Nous en conc1uons que E = S EB T.

Par exemple, si S est un hyperplan, tout vecteur n'appartenant pas a S engendre une droite vectorielle D telle que E = S EB D.

1.8.9 Proposition. Dimension d'une somme directe

Si E est somme directe de deux sous-espaces vectoriels S et T de dimension finie, alors E est de dimension finie et

dimE = dimS + dimT. (1.12)

DEMONSTRAnON

Ecartons Ie cas trivial OU un des sous-espaces Set Tse reduit a{O}. Soit (e., e2' .... ek) une base de Set (ek+I' ek+2' ... e.) une base de T. II suffit de demontrer que (e,... ek. ek+\ ... e.) est une base de E. ou , ce qui revient au meme, que tout vecteur de E s'ecrit de rnaniere unique SOllS la forme d'une combinaison lineaire

des vecteurs el ' ... ek' ek+I' ... en' Or. cela est imrnedia t, car tout vecteur de E s'ecrit de maniere unique sous la forme 5 + t, OU 5 est un vecteur de S et t un vecteur de T.

1.8.10 Extension

On dit que la somme SI + S2 + .,. + Skdes sous-espaces vectoriels St. S2' ... Sk de E est directe si, pour i = 1.2. .... k, SI n T I = {O}. OU T I est la somme des Sj d'indice j different de i. On note cette somme directe S\ EB S2 EB ... EB Sk'

De rneme qu'en 1.8.7. on dernontre qu'une somme SI + S2 + ... + Sk est directe si et seulement si chacun de ses vecteurs s'ecrit d'une seule rnaniere sous

la forme s\ + 5:2 + ... + 5k. OU 5j est un vecteur de SI pour i = I. 2..... k, II est evident que cette condition est remplie si et seulement si la seule decomposition du vecteur nul est celie dans laquelle tous les 51 sont nuls.

Si les dimensions de St. S2 .... Sksont finies, la relation (1.12) se generalise et devient

dim(SI EB S2 EB ... EB Sk) = dim S, + dimS2 + ... + dimSk ' (1.13)

Espaces aflines

1.9 ESPACES AFFINES

1.9.1 Introduction

L'espace '' de la geornetrie elementaire est a la fois Ie modele usuel et la source de la notion d'espace affine que nous allons introduire. Cet espace '' est associe aI'espace vectoriel geometrique v par la correspondance entre fleches et vecteurs etudiee dans la section 1.1. La definition suivante ne fait que mettre en

evidence les traits dominants de cette correspondance.

1.9.2 Espaces atrmes

Soit if un ensemble non vide d'elements que nous appellerons points et designerons par les lettres P, Q ... ; soit en outre E un espace vectoriel. Supposons qu'a tout couple de points (P. Q) corresponde un vecteur note PQ. On dit que

(.! est un espace affine d'espace directeur ou direction E si les conditions suivantes

sont satisfaites : (a) Pour tout point P fixe. la correspondance entre couples (P. Q) et vecteurs x

est biunivoque, autrement dit , pour tout vecteur x il existe un point Q et un

seul tel que x = PQ. (b) Pour tout triplet de points (P. Q. R). PQ + QR = PR (relation de Chasles).

1.9.3 Notation

Si P est un point et x un vecteur, pour exprimer que Q est l'unique point tel que x = PQ. nous ecrirons

Q = P + x. (1.14)

Bien qu'un peu abusive. cette ecriture est commode aI'usage et suggere bien Ie sens de l'operation qu'elle designe (fig. 1.11).

//Q=P+> P Fig. 1.11

On remarquera que

P + (x + y) = (P + x) + y.

32 Espaces vccloriels et espaccs affines

II

1.9.4 Dimension d'un espace affine

I, On appelle dimension d'un espace affine la dimension de son espace direc

teur .

1.9.5 Regles de calcul dans les espaces affines

Les regles suivantes decoulent directement de la definition 1.9.2.

(I) Pour tout point P, PP = O. Cela resulte de la condition (b) appliquee au cas ou P = Q = R.

(2) Si PQ = 0, aI6rs P = Q. Cela resulte de la condition (a), compte tenu de la regie (I).

(3) PQ = -Q'P. II suffit de poser R = P dans la condition (b). (4) Regie du parallelogramme . " = W si et seuJement si P'Q' = PQ.j'

En effet, d'apres la condition (b)," + ~ = ~ = PQ + QQ' (fig. 1.12). j

P'

p Q'

i l' Fig. 1.12

I; f ~

r :

I '0;:' 1.9.6 Vectorialise d'un espace affine

Dans 1.3.2, no us avons rnontre comment l'espace 'l/ peut etre muni d'une structure d'espace vectoriel. Dans Ie cas general d'un espace affine !if , Ie precede est Ie merne. On choisit un point quelconque 0 de ? La correspondance entre couples (0, P) et vecteurs de I'espace directeur E etant alors biunivoque (par (a, tout com me celie entre couples (0, P) et points P, on definit l'addition de points et la multiplication d'un point par un scalaire par les operations correspondantes sur les vecteurs de E. Muni de ces deux operations, c' devient un espace vectoriel, appele vectorialise de I relativement Ii O. Nous designerons cet espace par Co et appellerons 0 origine.

Vu la rnaniere dont les operations ont ete definies, i! resulte que eo est isomorphe (cf. 1.7.10) Ii l'espace directeur E:

(f~ E P =O+x ---- x

Q

/Ja.~

::...---

Espaccs affines 33

Toutefois, cet isomorphisme depend du choix de l'origine 0 et en pratique cette origine est choisie sur la base de donnees inherentes aux problemes poses. Par exemple , si une transformation affine admet un point invariant, nous verrons qu'il y a avantage Ii choisir ce point comme origine.

1.9.7 Exemples

l (I) II est dit dans 1.9.1 que l'espace ~ . de la geometrie elementaire est un

espace affine. En elfet, sa direction est l'espace geometrique Vet les conditions (a) et (b) de la definition 1.9.2 sont satisfaites. II faut bien noter qu 'au couple de points (P, Q) est associe Ie vecteur PQ et non pas la fleche W. En fait, la fleche pouvant etre identifee au couple d~ points, nous voyons que ce que postule la definition 1.9.2 n'est rien d'autre qu'une forme abstraite de correspondance entre fleches et

\ vecteurs, (2) Tout espace vectoriel E peut etre considere com me un espace affine de

direction E lui-meme si au couple de vecteurs (x, y) est associe Ie vecteur y - x. En effet, les conditions (a) et (b) de la definition 1.9.2 sont satisfaites.

(3) Soit E un espace vectoriel, S un sous-espace vectoriel de E distinct de E et x un vecteur de E. Nous designerons par x + S I'ensemble des vecteurs z de la forme x + y, ou y parcourt S. Si x n'appartient pas Ii S, x + S n'est pas un sous-espace vectoriel de E, car Ie vecteur nul n'appartient pas Ii x + S. Par contre, x + S devient un espace affine de direction S, lorsqu'on y introduit la correspondance entre couples et vecteurs definie dans l'exemple (2). En effet, la difference de deux vecteurs de x + S est un vecteur de S et les conditions (a) et (b) de la definition 1.9.2 sont satisfaites.

(4) Pour iIlustrer l'exemple (3), considerons Ie systeme d'equations lineaires

3x1 - 2x2 + 4xJ = 3 (1.15) -Xl + X2 - 5x; = -4.

Comme dans l'exemple (4) de 1.4.3, nous appellerons solution de ce systeme tout vecteur-colonne (x?> de IRJ dont les tennes x~, x~, xgverifient les deux equations. Prenons une solution particuliere de ce systeme, par exemple

[~] Nous obtenons alors la solution generale en additionnant Ii cette solution particuliere une solution quelconque du systeme (1.2) (cf. 3.5.5). En d'autres tennes, l'ensemble des solutions de (1.15) s'ecrit sous la forme

[i] + S, ou S est Ie sous-espace vectoriel de IRJ forme des solutions du systeme (1.2).

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~ j

35

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~ ~

~ ! L ~ ~

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Espaccs vectoriels et espaees affines 34

1.10 SOUS-ESPACES AFFINES, PARALLELISME

1.10.1 Introduction

L'exemple (3) de 1.9.7 et son illustration (4) nous suggerent lanotion de sous-espaceaffine que nous allons introduire. Les sous-espaces affines de I'espace affine :~ de la geometrie elementaire sont les points, les droites, les plans et :9' lui-meme,

Dans ce qui suit, if designera un espace affine de direction E.

1.10.2 Sous-espaces affines

On dit qu'un sous-ensemble Y de if est un sous-espace affine s'il existe un point Po de (S et un sous-espace vectoriel S de E tels que

.Y = {P: PJe S} = {P: P = Po + x, xeS}. (1.16)

En d'autres termes,Y est un sous-espace affine si, pour un point Po de if, .'7' est un sous-espace vectoriel de lfpo (fig. 1.13).

On notera que !/ ainsi defini n'est pas vide, car iI comprend au moins Ie point Po.

Suivant I'exemple (3) de 1.9.7, nous designerons Ie dernier membre de (1.16) plus brievement par Po + S, ce qui nous permettra de considerer un sous-espace affine comme un sous-ensemble Y de (f de la forme

y = Po + S, (1.17)

ou Po est un point de if et S un sous-espace vectoriel de E. On prendra garde abien distinguer les differentes significations du signe + :

addition dans E, addition d'un point et d'un vecteur, addition d'un point et d'un sous-espace vectoriel.

y

Fig. 1,13

Sous-espacesaffines. parallelisme

1.10.3 Proposition

Soit !/ le sous-espace affine difini par Po et S. (a) Si P est un point quelconque de g; alors !/ = P + S. (b) S = {x: x = PQ, P, Q e .'7'}.

DEMONSTRATION

Assertion (a). Posons .'7" = P + S. II suffit de montrer que .Y' est inclus dans 51; car I'argument symetrique nous foumira l'inclusion opposee et done la conclusion Y = ..9: Soit Q un point de Y '; c'est-a-dire un point tel que PQ appartienne aS. Puisque P est un point de g; PJ appartient aS. Mais PoQ = P;P + PQ, par la condition (b) de la definition 1.9.2, donc ~ appartient aussi a Set, par consequent, Q est un point de Y

Assertion (b). En vertu de (a), pour tout couple (P, Q) de points de .9: PQ est un vecteur de S. Reciproquement, si x est un vecteur de S, choisissons un point quelconque P de Y et posons Q = P + x. D'apres (a), Q est un point de g; done x est bien un vecteur de la forme PQ, avec P et Q des points de Y:

1.10.4 Espace directeur

D'apres la proposition 1.10.3, Ie sous-espace affine Y' defini par (1.16) ne depend pas du choix de I'origine)) Po et determine Ie sous-espace vectoriel S. On dit que S est I'espace directeur ou la direction de Y

1.10.5 Sous-espaces aftlDes comme espaces affines

Soit Y"un sous-espace affine de if de direction S. A l'aide de la proposition 1.10.3, DOUS voyons que la correspondance heritee de {f entre couples de points de Y' et vecteurs de S fait de Y' un espace affine dans Ie sens de la definition 1.9.2.

1.10.6 Dimension d'un sous-espace atrme

On appelle dimension d'un sous-espace affine !/ de It la dimension de Y en tant qu'espace affine, c'est-a-dire la dimension de l'espace directeur de Y.

1.10.7 Intersection de sous-espaces affines

Soit Y et .r deux sous-espaces affines de (;f. Si .'7' et .!F ont au moins un point commun P, leur intersection est un sous-espace affine de if de direction l'intersection de leurs directions. En effet, .Y n .r = {Q:PQ e S} n {Q : PQ e T} = {Q: PQ e S n T}, ou Set T sont les directions respectives de .Y et de .!i":

36 Espaces vcctoricls et cspaces affincs

1.10.8 Sous-espaces aflines engendres

Soit .Y un sous-espace affine de if de direction Set PI' P2, , PIdes points de if. On appelle sous-espace affine engendre par :/ et PI' P2, , Pile plus petit sous-espace affine .;'-contenant Y et comprenant PI' P2, ..., PI' Si S admet une base (VI' v2, ..., vt ) , on voit aisement que la direction de J est Ie sous-espace vectoriel engendre par les vecteurs VI' .. . , vt , ~...., M, ou Po est un point quelconque de Y. Par exernple, Ie sous-espace affine de ~' engendre par une droite et un point est Ie plan passant par cette droite et ce point (suppose hors de la droite).

1.10.9 Exemples

(I) Comme deja annonce et illustre (fig. 1.13), les sous-espaces affines de 0/ sont les points, les droites, les plans et ' lui-rneme.

(2) L'espace affine t! est un sous-espace affine de lui-rneme. Pour s'en rendre compte, iI suffit de mettre E a la place de S dans (1.16). .

(3) Pour tout point Po de ft, {po} est un sous-espace affine. On voit cela en posant S = {o} dans (1.16).

(4) Un sous-espace affine de dimension nulle se reduit a un seul point. Un sous-espace affine de dimension I est appele droite affine ou simplement droite; un de dimension 2 plan affine ou simplement plan. II est clair qu'une droite est determinee par deux de ses points et un plan par trois de ses points non alignes, c'est-a-dire n'appartenant pas a une merne droite.

1.10.10 Hyperplans affines

Si ~. est de dimension finie non nulle n, un sous-espace affine de if de dimension n - I est appele hyperplan affine ou simplement hyperplan. Un hyperplan est donc un sous-espace affine de direction un hyperplan vectoriel. Par exemple, un hyperplan est un point si n = I, une droite si n = 2 et un plan si n = 3.

1.10.11 Parallelisme

Soit c/ et f des sous-espaces affines de tf de directions respectives Set T. On dit quev et ./- sont paralleles si l'une des directions Sou Test incluse dans .;.;; .

...' l'autre. Si S = T, on dit aussi que Y et ./ - sont paralleles au sens etroit,

31Rcpercs. representation parametrique, geometric analytique affinc

1.10.12 Deux resultats

Forrnulees en termes de droites et de plans de ~ les deux assertions suivantes deviennent des enonces bien connus de la geometric eIementaire .

(I) Generalisation du cinquieme postulat d'Euclide. Soit P un point de if et J un sous-espace affine de (if. II existe un unique sous-espace affine ,;T de if parallele a y au sens etroit et comprenant P. En effet, ce sous-espace affine est

tout simplement J - = {Q: PQ E S}, ou S est la direction de !/. (2) Position relative de deux sous-espaces affines paralleles. Si deux sous

espaces affines sont paralleles, soit i1s sont disjoints, soit l'un d'entre euxest inclus dans I'autre. S'ils sont paralleles au sens etroit, soit ils sont disjoints, soit confondus . II suffit en elfet de choisir comme point Po des representations (1.16)des deux sous-espaces affines un point de leur intersection (dans Ie cas ou celle-ci n'est pas

vide), pour que la conclusion decoule de la definition 1.10.11.

1.11 REPERES, REPRESENTATION PARAMETRIQUE, GEOMETRIE ANALYTIQUE AFFINE

1.11.1 Introduction

Comme pour Ie choix d'une base dans un espace vectoriel, Ie choix d'un n

repere dans un espace affine de dimension n permettra d'identifier cet espace a R et, par ce moyen, de traiter les problernes geometriques par des calculs sur les

coordonnees (geometric analytique). Dans cette section , (( designera un espace affine de dimension finie non nulle

n et de direction E.

1.11.2 Reperes

On appelle repere de if tout ensemble (0 ; e l, e2' ..., en> forme d'un point 0, appele origine, et d 'une base (e" e2' ..., en) de E.

1.11.3 Remarque

On peut concevoir un repere sous la forme d'une famille de points (0; PI'

P , , P ) telle que (~, OP;, .... OP,,) est une base de E. 2 n

(

(

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( i

On remarquera que ces deux notions de parallelisme s'equivalent lorsqu'elles sont appliquees a des sous-espaces affines de rneme dimension finie (en raison de la seconde partie de la proposition 1.8.5). En les appliquant au cas particulier de '-:, nous retrouvons les notions usuelles de parallelisme entre droites, entre plans et entre droi tes et plans .

1.11.4 Coordonnees

On appelle coordonnees cartesiennes ou simplement coordonnees d'un point P dans un repere (0 ; el' e2' ..., en) les composantes du vecteur 75P dans la base (e. , e2' .... en)'

(

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(

39

.i

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\ {

( I

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( ) (

38 Espaces vectoriels et espaces affines

Si XI' X2 .. Xn sont les coordonnees d'un point Pet YI' Y2 ..Yncelles d'un point Q. les composantes du vecteur PQ = OQ - OP sont YI - XI' Y2 - x2 ... Yn - xn Inversement, si XI' x 2 ... xn sont les coordonnees d'un point Pet zi' Z2. ... Zn les composantes d'un vecteur z, les coordonnees du point Q = P + z sont XI + Z x2 + z2' ... xn + Zn. car Pet Q sont lies par la relation PQ = OQ - OP = z.

Par la suite. un point P defini par ses coordonnees XI' X2' .... x sera designe n ;~ par P(xI' x2 .... xn).

1.11.5 Representation parametrique d'un sous-espace affine

Soit .!/ un sous-espace affine de {f de direction Set de dimension non nulle k. Soit en outre Po un point de .Y et ("I' "2' .... "t) une base de S. D 'apres (a) de la proposition 1.10.3. un point P appartient a.9" si et seulement si P = Po + x ou x est un vecteur de S. c'est-a-dire un vecteur de la forme aivi + a2v2 + ... + akvk, II s'ensuit que .Y est I'ensemble des points P satisfaisant a la relation

P = Po + aivi + a2 v2 + ... + atvk (1.18) ou al. a 2 at sont des variables parcourant R. Cette relation est appelee representationparametrique de .9: Les vecteurs VI' v2. .... vt sont appeles vecteurs directeurs de .Y et les variables a l a 2..... at parametres de la representation. On notera que Ie nombre de parametres est egal a la dimension de .Y (fig. 1.14).

.~~

~.

~

~ ~!

Fig. 1.14

1.11.6 Equations parametrtques

. ';,.Supposons main tenant que if soit muni d'un repere (0; e e2..... e,,). En designant par x x2 .... xn et x~. x~ .. x~ les coordonnees respectives de Pet Po et par Vlj' Vu. .. .. Vnj les composantes de Vj. nous voyons que la relation (1.18) s'ecrit, de rnaniere equivalente, sous la forme

XI = x~ + alvlI + a2 vI2 + + 'akvlk x2 = x~ + a.v21 + a2vn + + akv2k

(1.19)

Xn = x~ + a1vnl + a2vn2 + ... + akvnk' Ces equations sont appelees equations parametriquesde .'/.

Reperes, represenlation parametrique, gcomclrie analytique affine

1.11.7 Cas particuliers

Une droite est determinee par un de ses points et un vecteur directeur, un plan par un de ses points et deux vecteurs directeurs.

Oroite: Plan:

Representation parametrique: P = Po + av P = Po + all'. + a 2"2 Equations XI = x~ + aVI x. = x~ + a .vlI + a2 v12 parametriques X2 = x~ + aV2 X 2 = x~ + alv21 + a2vn (1.20) dans Ie cas n = 3: XJ = x~ + aVJ xJ = x~ + a1vJ. + a2 vJ2 .

1.11.8 Equation cartesieDDl; d'un hyperplan

Supposons que n soit superieur a I. Si k = n - I. les equations parametriques (1.19) sont celles d'un hyperplan. Par Ie precede d'elimination (cf. exemple (2) de 3.1.6). n - I equations peuvent etre utilisees pour eliminer les n - I parametres al ' a 2..... an_I de l'equation restante. Le resultat sera une relation lineaire entre les coordonnees XI' X2 .... Xn plus exacternent une equation de la forme

. (1.21) V.XI + vr2 + ... + VnXn = ~. ou VI' V

2 . .. . V

n sont des nombres non tous nuls et a est un nombre pouvant

s'annuler, auquel cas I'hyperplan passe par I'origine O. Cette equation est appelee equationcartesienne ou simplement equationde l'hyperplan. Les coordonnees d'un point P satisfont a (1.21) si et seulement si P appartient a l'hyperplan.

Reciproquement, to ute equation de la forme (1.21) est l'equation d'un hyperplan, acondition. bien entendu, que les coefficients VI' v2 . .. . vn ne soient pas tous nuls . En effet, si par exernple V est non nul. les solutions de (1.21) peuventn etre ecrites sous la forme

X. = a l x2 = a2

Xn_1 = an _I a VI _ Vn-lan_I'xn = - - -a. v vn vn n

ou al. a 2. .... an _I sont des variables parcourant R. Ces equations sont de la fanne (1.19) et representent done un hyperplan.

Dans Ie cas particulier ou n = 2.

vlXI + Vr2 = a est l'equation cartesienne d'une droite et dans celui ou n = 3.

v.XI + vr2 + vJxJ = a est l'eouation cartesienne d'un olan.

41 40 Espaces vectoriels et cspaces allines

1.I 1.9 Problemes de geometrie analytique affine . ~

La geometrie analytique affine traite les problemes de la geornetrie affine (parallelisme, incidence, ...) par des ealeuls dans R". Voici quelques problemes resolus.

equations pararnetriques du sous-espace affine engendre par

~ les pain so ' , 3, -I), PI(-I, 2, 0, 3), P~(O , 0, -1 ,2), P)(-3, 5, I, 2). Solution. .Trois veeteurs direeteurs de ee sous-espace affine sont VI = M(-2, 2, -3,4) ( v2 = PoP;(-I, 0, -4,3) r vJ = ~(-4, 5, -2,3) . (

Ses equations parametriques sont done

XI = I - 20: 1 - a 2 - 4a ) ( x2 = . 2et l . + 5a (J xJ = 3 - 3a l - 4a 2 - 2aJ I X4 = - I + 4a 1 + 3a~ + 3aJ ./

~ ~I'interseetion des deux plans d'equations parametriques V XI = I + a l + 2a2 ( XI = I - a; ,,

x2 = I - a l + a2 ( x2 = I + a; + ai x J = - I + 2a 1 - a 2 r xJ = - I + 2a; , X 4 = - 2 + a l + a2' I X 4 = - 2 + 2a; + 3ai. I /

./ Solution. Deux veeteurs directeurs du pre~r plan sont ~I , -1,2,1) et Vv2(2, I, -I , I), deux du deuxierne v,(-I , 1,0,2) et v;(O, 1,2,3(. Ces quatre vee- .

teurs sont lineairernent independants, done aueun vecteur, sauf Ie veeteur nul, ne / pcut etre en rneme temps eombinaison lineaire de vI et v2 et de v; et v;. Cela entraine que ('intersection des deux espaces directeurs est {O}. D'autre part, en posant a l /

= a 2 = a, = a i = 0 dans les equations parametriques, nous voyons que Ie point / Po(l , I, - I, - 2) appartient aux deux plans . Nous en eoncluons que I'intersection cherchee se reduit au point Po.

o (3) Deux droites '/ et '/ ' sont donnees par leurs equations parametriques X I = - i - 2a X I = a ' X2 = t + 3a X l = -I + 2a' XJ = 6a, x ) = 4+ a '.

Determiner les equations pararnetriques de la droite passant par Ie point PoCI, I, -I) et rencontrant i/.' et :j' ',

Solution. Les points d'interscction P de . ~". et la droite cherchee et P' de

'/ ' et cette merne droite satisfont ala relat ion P;P = PPoP', au Pest un nombre inconnu non nul. En cornposantes ceue relation s'exprirne par les trois equations

_:,.1

~

:~ .' -';'. r.~

't'" ; !, ~ t~

:j ?~ .",r 1.,

..f ;jJ .:z ~~ ,..

': 9~~: ' .' .,~

s. ....: B

(

(

Excrciccs (

(

- i - 2a = P(-I + a ') ( t + 3a = P(- 2 + 20:') (

I + 6a = P( 5 + a '). (

En multipliant la deuxieme equation par 2 et en la soustrayant de la troisierne, nous obtenons aussitot a ' = 3, ee qui nous permet de ealculer les coordonnees de P',

(

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(

(

(

( /

42 Espaces vcctoricls ct espaces atlines

engendrent R 3 et exprimer Ie vecteur-colonne comme combinaison lineaire de ces vecteurs [~;]

1.12.2 Montrer que toute fonction de la forme f(t) == asin(At + Ii) (a. A ~ 0, Ii E [0. 21t est combinaison lineaire des fonctions s(t) == sin(At) et c(t) == cos (AI) et, inversernent, que toute combinaison lineaire de s et c est une fonction de la meme forme que f.

41.12.3 Exprimer Ie polynome pet) == 1 + t sous la forme d'une combinaison lineaire des polynomes Po' PI. P2' P3 et P4 definis dans (1.5).

1.12.4 Dernontrer que les vecteurs-colonnes

dl a, fbib2 C2 rd2o rCI o ' 0 ' d3C3 I I" ,) o 0 0 d4

sont lineairernent independants si et seulement si al' b2, C3 et d4 sont differents de O.

1.12.5 En derivant n fois la relation aD + a, t + ... + ant' == 0, montrer que les monomes Po' PI' ... P. definis dans (1.8) sont lineairement independants.

1.12.6 Montrer que les fonctions fl(t) == 1. f2(t ) == e' et f3(t) == e2J sont

lineairement independantes, ; l~ rJ e~ \ \\), I"J ~ . I ct'~ 0 , ;-.:> ='':> 01-. , ~~ .

1.12.7 Soit (x x~ . .... xk) une famille libre de vecteurs d'un espace vectoriel E. Soit (YI ' Yz ... , Yk) une deuxierne famille de vecteurs de E. On suppose que chaque vecteur Xisoit combinaison lineaire des vecteurs Y" Y2' ..., Yk' Montrer que la famille (y,. Y2' ... Yk) est libre .

1.12.8 Soit (e., e~. e3 e4) une base d'un espace vectoriel E de dimension 4. (a) Montrer que les vecteurs v, = el + e2 + e4 v2 = e, - ez + e3 - 2e4 et

v3 = -e. + ez - e3 + e, sont lineairement independants, (b) Prolonger la famille (vI' v2 v3) en une base de E.

Excrcices 43

1.12.9 Soit (e., ez) une base d'un espace vectoriel E de dimension 2. Montrer que les familles de vecteurs (e, + e2 ez). (el + ez.e t - ez) et (e., e2 + ael) (a etant un nombre arbitraire) sont des bases de E. Calculer, en outre, les composantes de e l et e2 dans chacune de ces bases.

1.12.10 Dans chacun des cas suivants, dire si la famille (fl' f2 f) est une base de I'espace vectoriel des polynomes de degre inferieur ou egal a2. Si oui , trouver les composantes dans cette base des monomes Po(t) == I. p,(t) == t et pz(t) == ,z. (a) f,(t) == I +,z. f2(t) == 2 - t + ,z. f)(t) == -6 + 3t - 3r. (b) fl(t) == 1 + 2t +,z. fit) == I - 2t +,z. f3(t) == t. (c) fl(t) == t , fit) == t +,z. fit) == I + t + ,z.

1.12.11 Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de

RS?

{(a): a, = O}. {(a): a2 = I}. {(aj : 20 1 - 04 = O}. {(a) : a104 = as}. {(o): a. rationnel},

1.12.12 Soit (e., e2, ..., e6) une base d'un espace vectoriel E de dimension 6. Soit S Ie sous-espace vectoriel de E engendre par les vecteurs e, - e2' e) + e4 et e, + e6 Quelles conditions doivent satisfaire les composantes d'un vecteur X de

.~. E pour qu'il appartienne a S? 1

1.12.13 Soit E un espace vectoriel de dimension 4. muni d'une base (e., e2 e). e4) . (a) Montrer que l'ensemble S des vecteurs x de E dont les composantes X I' x~ . x).

X 4 satisfont Ii la condition XI - 2xz + X3 - X 4 = 0 est un hyperplan vectoriel. (b) Exhiber une base de S. (c) Trouver un sous-espace complementaire de S dans E.

~

1.12.14 Soit Set T deux sous-espaces vectoriels .d'un espace vectoriel E. (a) Demontrer que la somme S + T et l'intersection S n T sont des sous-espaces

; :~ vectoriels de E.

.~ (b) Demontrer que S + Test I'intersection de tous les sous-espaces vectoriels U~

de E tels que U ;j SU T.>? ~::..'l

44 Espaces vectoriels et espaees affines

1.12.15 Soit S et Ties sous-espaces vectoriels de R 4

familles respectives

1 2 o 1 4 -I

2 1 o

-II . -2

5 ) et (

-I 2 1

-2 3 I .

I o -1 o 1

engendres par les

3 -I

1 I) .

-1

Determiner les dimensions de Set de T. ainsi que celles de S + T et de S n T. ~,

"

1.12.16 Soit S. T et U trois sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel E. (a) Montrer que S + (Tn U) c (S + n n (S + U). (b) Montrer que si SeT. les deux membres de I'inclusion sont egaux. s

;,

(c) Trouver un exemple montrant que l'egalite n'est generalement pas vraie. Z!, ~

1.12.17 Soit S et T deux sous-espaces vectoriels de dimension finie d'un espace vectoriel E. Montrer que

dimeS + n + dimeS n n = dimS + dim T. En deduire la relation (1.12).

Exercices sur les espaces affines

1.12.18 Soit j I'hyperplan d'equation 3:

(

(

(

( I

(

( ,

I (

(

(

(

(

(

(

( \

(

(

(

(

( \

( \

(

( '

46 Espaces vectoriels et espaces allines

1.12.24 Suite de l'exerciceprecedent. Soit N. , N2, , Niles ensembles d'une partition de {I, 2, ..., k}. Pour i = 1,2, ..., I, on suppose que Pi = 1:aj soit non

jeNi

nul et on designe par Gi Ie barycentre des points Pj avec j E N j , affectes des coefficients aj. (a) Montrer que G (defini dans l'exercice precedent) est Ie barycentre des points

G., G2, ..., GI affectes des coefficients respectifs PI' P2' ..., PI' (b) A l'aide de (a), situer Ie centre de gravite des sommets d'un tetraedre,

1.12.25 Soit.9; .Y' et .9' '' trois hyperplans paralleles d'un espace affine de dimension finie superieure a I. Soit en outre 9., 9 2, , des droites du meme espace, non paralleles a.9'. On designe par Pi' P; et P;' les points d'intersection respectifs de Y: ..9", .9''' et gj' Montrer que PiP;' = ap;p;, avec a independant de i (theoreme de Thales).

~.

.j

1:

CHAPITRE 2

Espaces vectoriels euclidiens et espaces affines euclidiens

2.1 PRODUIT SCALAIRE DANS L'ESPACE VECTORIEL GEOMETRIQUE

2.1.1 Introduction

Dans Ie present chapitre, nous etudierons les not ions qui derivent de la donnee d'une nouvelle operation sur les vecteurs, celie de produit scalaire. II s'agit de notions metriques telles que la nonne ou I'orthogonalite, Dans l'espace vectoriel geornetrique V, on peut definir un produit scalaire en partant des idees de longueur et d'angle, Muni de ce produit scalaire, V devient un exemple de ce que nous appellerons espace vectoriel euclidien (cr. definition 2.2.3).

Tout au long de cette section, les vecteurs seront les elements de V.

2,1.2 Longueur, angle

En choisissant une unite de longueur, nous pouvons mesurer l'intensite de chaque fleche, autrement dit, determiner sa longueur. Nous pouvons aussi mesurer l'ecart angulaire de deux fleches quelconques d'origine commune (non necessairernent distinctes) en prenant comme unite de mesure par exernple Ie radian. La mesure de cet ecart est aloes un nombre compris entre 0 et It, appele angle des deux fleches. Si les deux fleches ont meme direction et meme sens, leur angle est nul et si elles ont rneme direction et sens oppose, ce meme angle est It.

2,1,3 Norme, angle de deux vecteurs

Les fleches representatives d'un rneme vecteur x ont toutes la meme longueur . Nous designerons cette longueur par II x II et I'appellerons norme de x. II est clair qu'un vecteur est nul si et seulement si sa nonne est nulle. Nous dirons

qu'un vecteur est unitairesi sa nonne est 1. Si x est un vecteur non nul, _I-x esti1x II

un vecteur unitaire, puisque la nonne de ax est lalll x II . Nous appellerons angle des vecteurs non nuls x et y l'angle de deux fleches

d'origine commune representant l'une x et l'autre y.

48 Espaces vectoriels euclidiens et espaces allines euclidiens

2.1.4 Produit scalaire

On appelle produit scalaire des vecteurs non nuls x et y Ie nombre

II x 1111 y II cosO, (2.1)

ou 0 est I'angle de x et y. Si x ou y sont nuls, Ie produit scalaire est nul par convention.

Nous noterons Ie produit scalaire de x et y par (x Iy). D'autres syrnboles couramment utilises sont (x, y), ( x, y), x-y,

On remarquera que (x I x) = II X 11 2

2.1.5 Ortbogonalite

On dit que des vecteurs x et y sont orthogonaux s'ils sont non nuls et leur

angle est ~, ou si l'un d'entre eux est nul.

En vertu de la definition 2.1.4, x ct y sont done orthogonaux si et seulement '~.~ il;.

si (x Iy) = O.

f "j:'/ ,1 2.1.6 Projection orthogonale WI

La projection orthogonale d'un vecteur non nul x sur la droite vectorielle { ! '\

engendree par un vecteur non nul vest Ie vecteur :' .1 i l ~, I .i:,

II x II cosO(_I-v), 'ti II v II i.l

ou 0 est I'angle de x et v. Nous 1anoterons proj.x et l'appellerons aussi projection !! (j

orthogonale de x sur v (fig. 2.1). ~ Irl ,~ I

~ I ' ~ i

il

,:~ i.lII A I'aide du produit scalaire, Ie vecteur proj.x peut etre exprime autrement: 1.. '1 ffi db ' (x Iv) . 0 bteni

:,?'

I su It e su stituer II x 1111 v II a cos pour 0 ternr i ~ s ~.

proj.x = (x I v) _ (x Iv) (2.2) II V 11 2 V - (v I v) v.

Produil scalaire dans l'espaee vectoriel gComClrique 49

Cette expression vaut egalement dans Ie cas ou x est nul, a condition d'admettre que la projection orthogonale du vecteur nul est Ie vecteur nul. La norme de proj,x s'ecrit

roi x II = I(x I v)111 v II = I(x I v)1 (2.3)II p ~y II V 11 2 II v II

Si vest unitaire, (2.2) et (2.3) se simplifient et deviennent

proj,x = (x I v)v, II proj.x II = I(x I v)l (2.4)

Par des considerations geometriques elementaires, il est facile de se rendre compte que

proj.(x + y) = proj,x + proj.y, proj.cx = e proj.x. (2.5)

2.1.7 Proprietes

Le produit scalaire jouit de trois proprietes qui constitueront Ie point de depart d'une formulation abstraite de cette operation. Les voici :

(a)(x Iy) = (y I x). (b)(ax + py I z) = a(x I z) + P(y I z). (c) (x I x) > 0 si x "# O.

La seule..9.t!! demande une verification est la deuxierne, Si zest nul, les trois produits scalaires sont nuls et l'egalite est vraie. Si z n'est pas nul,

proj.(ax + py) = aproj.x + pproj.y, d'apres (2.5), ce qui entraine, grace a (2.2),

(ax + py Iz) (x Iz) i y Iz).:....-....,......,~.:.......:..z = a--z + z

(z Iz) (z Iz) (z Iz) ,

d'ou la propriete (b) s'ensuit.

2.1.8 Bases orthononnales

Une base (e l , e2' eJ) de Vest dite orthonormale si les vecteurs el , e2' eJ sont orthogonaux deux adeux et unitaires.

2.1.9 Decomposition suivant one base orthononnale

Par Ie raisonnement geometrique, on voit facilement que chaque vecteur est la somme de ses projections orthogonales sur les vecteurs d'une base orthonormale, ~utrement dit, si (el , e2' eJ) est une base orthononnale,

x = (x I e.)e, + (x Ie~2 + (x IeJ)eJ. (2.6)

t ( I

( I

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

' (

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

( 'J (

51

(

(

c (

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

(

l

(

(

(

(

(

(

l (

(

(

(

(

(

(

so Espaces veetoriels euclidiens et espaces affines euclidiens

Cette decomposition s'obtient egalement par (b) de 2.1.7. En effet, xI' X2' .l") etant les composantes de x,

d'ou la decomposition.

(x lei) = (x.e. +. X2e2 +. x)e) lei) = x.(el lei) +. x2(e21 e.) +. xie) lei) = XI'

puisque (e, lei) = I et (e21e.) = (e) leI) = 0; de merne;

(x Ie2) = X 2, (x Ie) = X),

2.1.10 Produit scalaire en fonction des composantes

..,./:::.

Soit XI' X2' xl et YI' Y2'Y) les composantes respectives des vecteurs x et y dans une base orthonormale (e., e2' e) . Grace a(a) et (b) de 2.1.7, Ie produit scalaire

(x 1 y) = (Xlel +. X2e2 +. x)e) I Ylel +. Y2e2 +. y)e)

se developpe en une somme de neuf termes de la forme x;YJ{ell e); or, par I'orthonormalite de la base, (ell e) est nul si i :F jet vaut I si i = j, ce qui entraine

(x I y) = XIYI +. x2Y2 +. x)1).

2.2 ESPACES VECTORIELS EUCLIDIENS

2.2.1 Introduction

Le produit scalaire dans V a ete defini au moyen des notions de norme et d'angle, II jouit des proprietes (a), (b) et (c) (mises en evidence dans 2.1.7) qui en

resurnent les caracteres. Pour etendre la notion de produit scalaire aux espaces vectoriels abstraits, nous suivrons Ie precede inverse ; plus exactement, nous admettrons les trois proprietes com me donnees de depart, en deduirons les notions de norme, d'orthogonalite et d'angle et aboutirons aun certain nombre de resultats applicables a des situations les plus variees, notamment aux espaces vectoriels fonctionnels. La geometric aura ainsi laisse la place a l'algebre, en demeurant toutefois I'inspiratrice des idees et des methodes utilisees,

:71

2.2.2 Produit scalaire

Soit E un espace vectoriel. On appelle produit scalairedans E to ute operation qui fait correspondre achaque couple (x, yJ de vecteurs de E un nombre, note (x 1 y) et appele produit scalaire de x et y, satisfaisant aux conditions suivantes:

Espaces vectoriels euclidiens

(a) (x I y) = (y I x) (syrnetrie ou commutativite). (b) (ax +. Py Iz) = a(x 1;.0:) +. P(y I z) (linearite). (c) (x I x) > 0 si x :F 0 (positivite),

2.2.3 Espaces vectoriels euclidiens

On appelle espace vectorieleuclidien tout espace vectoriel muni d'un produit scalaire.

II est clair que tout sous-espace vectoriel d'un espace vectoriel euclidien E devient lui-rneme un espace vectoriel euclidien s'il est muni du produit scalaire herite de E.

2.2.4 Remarques ,

(I) La condition (b) exprirne la linearite agauche du produit scalaire (cf. 6.2.2). La lineariteadroite decoule de l'union de (a) et (b):

(x 1Py +. yz) = P(x I y) +. r(x I z). \

(2) En posant a = P= 0 dans (b), ou P= r = 0 ci-dessus, nous voyons que Ie produit scalaire (x 1y) es