ajustes a una distribucion de probabilidad

Taller de Simulacin - USS 31/03/2015

Mg. Jos Rodrguez L. 1

TALLER DE SIMULACION

Mg. Jos Rodrguez L.

Docente

Unidad IIIAjustes a una distribucin de

probabilidad

Mg. Jos Rodrguez l.

Docente



Objetivos Unidad II

Identificar y seleccionar lafamilia de distribuciones deprobabilidad adecuada a lasituacin en estudio.

Seleccionar por medio desoftware especfico los test debondad de ajuste.

Cmo enfrentar situacionesreales en ausencia de datos.

Mg. Jose Rodrguez L. 3

GRAFICO DE CORRELACION

Mg. Jose Rodrguez L.

1. Si las observaciones 1 , 2 , . . . , , (listados en orden de

tiempo) son independientes.

2. En un grfico de correlacin, es el estimador de la

muestra para = 1,2, . . . ( ).

3. =

2()

4. = () [+ ()]

=1

5. 2 = [ ()]

2=1

1

4





1. La correlacin de la muestra , es un estimador de la

correlacin verdadera ( 1 1), entre

dos observaciones que son separadas en el tiempo.

2. Si las observaciones 1 , 2 , . . . , son independientes,

entonces = 0 , para = 1,2, 1.

3. Sin embargo, los no son exactamente 0 incluso

cuando los son independientes, esto se debe a que

es una observacin de una variable aleatoria cuya

media no es igual a cero.

5



1. Si lo son diferentes de 0 por una cantidad

significativa, entonces esta es una evidencia poderosa de

que los no son independientes.

6




GRAFICO DE DISPERSIN

7



1. Grficos dispersin (Scatter diagram), de las

observaciones 1 , 2 , . . . , , es un grafico de pares

ordenados ( , +1) para = 1,2, 1.

2. Por simplicidad suponga que los son no negativos. Si

los son independientes, se esperara que los pares

ordenados ( , +1) estn dispersos aleatoriamente a

lo largo del primer cuadrante de los plano.

3. La naturaleza de la dispersin depende de la distribucin

subyacentes de .

8





1. Si los tienen correlacin positiva, entonces, los puntos

tendrn una tendencia a agruparse en el primer

cuadrante, sobre una lnea con pendiente positiva.

2. Si los tienen correlacin negativa, entonces los

puntos tendrn una tendencia a agruparse en el primer

cuadrante, sobre una lnea con pendiente negativa.

9



10




Box Plot

11

http://www.slideshare.net/ddalgleish/how-to-create-a-box-plot-box-whisker-chart-in-excel


Ejemplo Quantil y Box Plot

12




FAMILIA DE DISTRIBUCIONESHIPTESIS

1. Parece razonable pensar que el primer paso debe ser

seleccionar una distribucin de probabilidades en base a

su forma aparente, sin preocuparse an de los

parmetros relevantes.

2. Otro aspecto que facilita una identificacin de la

distribucin de probabilidad es el tipo de sistema que se

trate y la experiencia que se tenga para analizarlos.

3. A continuacin se sugieren mtodos ms formales para

lograr un anlisis acabado de cada situacin en estudio.

13


RESUMEN ESTADISTICA

14





1. Estadstica descriptiva., Algunas distribuciones son

caracterizadas parcialmente por funciones de sus

verdaderos parmetros, como son;

a. Mximo,

b. Mnimo,

c. Media,

d. Mediana,

e. Varianza,

f. Coeficiente de variacin ( = 2

),

g. Razn Lexis ( =2

),

h. Oblicuidad =[ 3]

(2)3

2 ,

15



1. Estas funciones pueden ser usadas en algunos casos para

sugerir una apropiada familia de distribuciones. Para una

distribucin continua simtrica (Ej., Normal), la media y

la mediana son iguales. (Para una distribucin discreta

simtrica, la media de la poblacin y la mediana pueden

slo ser aproximadamente iguales. De esta manera si el

estimador y 0.5 son casi iguales hay un

indicio que la distribucin subyacente puede ser

simtrica.

16





1. Hay que tener presente que y 0.5 son

observaciones de variables aleatorias sus relaciones no

necesariamente proveen informacin definitiva acerca

de la verdadera relacin entre y 0.5

2. Coeficiente de variacin. (cv), algunas veces puede

proveer informacin til acerca de la forma de la

distribucin continua. En particular, para la distribucin

exponencial, = 1, ahora, sin tener en cuenta el

parmetro de escala , () es prxima al valor 1

sugiriendo esto que la distribucin subyacente es

exponencial.

17



1. Para las distribuciones, Gamma y Weibull los valores de

pueden ser mayores, iguales o menores que 1,

cuando el parmetro de forma es mayor, igual o menor

que 1, estas distribuciones tendrn una forma similar a

las distribuciones de densidad.

2. Por otra parte, la distribucin Lognormal tiene una

forma caracterstica pero su puede ser cualquier

nmero real positivo. As, si la distribucin subyacente

(observada en el histograma) tiene esta forma y

> 1 la Lognormal puede ser un mejor modelo que

la distribucin Gamma o Weibull.

18





1. Para el resto de distribuciones el no es

particularmente til.

2. Para una distribucin discreta, el Lexis ratio, ( =2

),

juega el mismo rol que el para distribuciones

continuas, esta relacin es til para discriminar entre

distribucin de Poisson, Binomial,y Binomial negativa,

pues, = 0, < 1, y > 1, respectivamente. ( la

distribucin Geomtrica es un caso especial de la

Binomial negativa).

19



1. La Oblicuidad es una medida de simetra de una

distribucin. Para distribuciones simetricas como la

Normal, = 0, si > 0 (Ej., = 2 para la distribucin

exponencial). La distribucin es oblicua a la derecha

si < 0, la distribucin es oblicua a la izquierda si el

estimador puede ser usado para comprobar la

forma de la distribucin subyacente.

2. La experiencia indica que muchas de las distribuciones

encontradas en la prctica son oblicuas a la derecha y,

adems, para muchos ejemplos, es algo menor

que .

20





1. La Kurtosis es una medida de que tan punteaguda es la

distribucin de probabilidad.

2. No se ha encontrado que la kurtosis sea muy usada para

discriminar entre distribuciones de probabilidad (Law &

Kelton).

21



1. Histograma. Para un conjunto de datos continuos el

histograma es esencialmente una estimacin grafica de

los puntos de la funcin correspondiente a la

distribucin de nuestros datos 1 , 2 , . . . , .

2. La funcin densidad, en muchos casos, tiende a dar una

pista de la forma de la distribucin subyacente.

22




IDENTIFICACIN DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD Cuando los datos ya estn disponibles, el primer paso en su procesamiento es la construccin de un histograma para cada variable X. Para ello, se deben determinar:

El tamao de la muestra . Valor mnimo . Valor mximo .

El rango = La cantidad de intervalos o clases : la cantidad aconsejable es

, una cantidad menor o mayor puede distorsionar la forma del histograma, se recomienda 8 12 .

El ancho ( Amplitud) de los intervalos : es igual a /. La frecuencia absoluta de los datos en cada intervalo : se

obtiene contando cuntos datos estn dentro del intervalo considerado.

Determinados estos parmetros, el histograma surge de graficar columnas con alturas y ancho para cada intervalo.

23


FAMILIA DE DISTRIBUCIONES

El siguiente paso es determinar la familia de distribuciones que se probar para representar el conjunto de datos en estudio. Para ello se cuenta con la forma del histograma y tambin se cuenta con la naturaleza del proceso. En efecto, se han desarrollado numerosas distribuciones tericas para procesos determinados, por ejemplo:

Despus de haber seleccionado una familia de distribuciones, el prximo paso es la estimacin de los parmetros correspondientes.

24



ESTIMACION DE LA DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Veamos un ejemplo: la tabla siguiente muestra los

tiempos entre llegada.



0,01 0,04 0,07 0,1 0,14 0,21 0,25 0,35 0,43 0,51 0,63 0,84 1,12

0,01 0,04 0,07 0,1 0,14 0,21 0,26 0,36 0,43 0,51 0,63 0,86 1,17

0,01 0,05 0,07 0,1 0,14 0,21 0,26 0,36 0,44 0,52 0,64 0,87 1,18

0,01 0,05 0,07 0,1 0,14 0,21 0,26 0,36 0,45 0,52 0,65 0,88 1,24

0,01 0,05 0,07 0,1 0,15 0,22 0,26 0,37 0,46 0,53 0,65 0,88 1,24

0,01 0,05 0,07 0,1 0,15 0,22 0,26 0,37 0,47 0,53 0,65 0,9 1,28

0,01 0,05 0,07 0,1 0,15 0,22 0,27 0,38 0,47 0,53 0,69 0,93 1,33

0,01 0,05 0,07 0,11 0,15 0,23 0,28 0,38 0,47 0,54 0,69 0,93 1,38

0,02 0,05 0,07 0,11 0,15 0,23 0,28 0,38 0,48 0,54 0,7 0,95 1,44

0,02 0,05 0,08 0,11 0,15 0,23 0,29 0,38 0,49 0,55 0,72 0,97 1,51

0,03 0,05 0,08 0,11 0,17 0,23 0,29 0,38 0,49 0,55 0,72 1,03 1,72

0,03 0,05 0,08 0,11 0,18 0,23 0,3 0,39 0,49 0,56 0,72 1,05 1,83

0,03 0,06 0,08 0,12 0,19 0,24 0,31 0,4 0,49 0,57 0,74 1,05 1,96

0,04 0,06 0,09 0,12 0,19 0,25 0,31 0,4 0,5 0,57 0,75 1,06

0,04 0,06 0,09 0,12 0,19 0,25 0,32 0,41 0,5 0,6 0,76 1,09

0,04 0,06 0,1 0,12 0,2 0,25 0,35 0,41 0,5 0,61 0,77 1,1

0,04 0,07 0,1 0,13 0,21 0,25 0,35 0,43 0,51 0,61 0,79 1,11





Usando MS Excel se obtuvo, Estadstica descriptiva

Estadistica descriptiva

Media 0,40

Error tpico 0,03

Mediana 0,27

Moda 0,05

Desviacin estndar 0,38

Varianza de la muestra 0,15

Curtosis 2,21

Coeficiente de asimetra 1,47

Rango 1,95

Mnimo 0,01

Mximo 1,96

Suma 86,76

Cuenta 217,00



HISTOGRAMA

n= 217

Maximo 1,96

Mnimo 0,01

Rango = 1,95

2. Calculo del RANGO = Maximo (Xi)-Minimo(Xi)

1. Numero de datos = N





HISTOGRAMA

K= 8

K= 9 8,76

n K

n < 50 5 a 7

50




HISTOGRAMA

a sumar = 0.5

Li Ls Lri Lrs

0.0 0.2 -0.5 0.7

0.2 0.4 -0.3 0.9

0.4 0.7 -0.1 1.2

0.7 0.9 0.2 1.4

0.9 1.1 0.4 1.6

1.1 1.3 0.6 1.8

1.3 1.5 0.8 2.0

1.5 1.7 1.0 2.2

1.7 2.0 1.2 2.5

6. Clculo de los lmites reales de clase Lri , LrsAgregue ceros despues de la coma, segn decimales contenga los nmeros de la muestra. esto es; 0.__5 unidades a sumar al limite superior y reste estosdecimales al lmite inferior. Para el caso particular de este ejemplo; los datos no tienen decimales, por lo que slo se debe sumar y restar 0.5 unidades al limite superior(Ls) y lmite



HISTOGRAMA

Li Ls Lri Lrs Xj

0,01 0,23 -0,49 0,73 0,12

0,23 0,44 -0,27 0,94 0,34

0,44 0,66 -0,06 1,16 0,55

0,66 0,88 0,16 1,38 0,77

0,88 1,09 0,38 1,59 0,99

1,09 1,31 0,59 1,81 1,20

1,31 1,53 0,81 2,03 1,42

1,53 1,74 1,03 2,24 1,64

1,74 1,96 1,24 2,46 1,85

7. Clculo de Marca de Clase (M) o punto medio de clase (Xj)

Xj=(Li-0.5 + Ls+0.5)/2





HISTOGRAMA

Li Ls Lri Lrs Xj ni

0,01 0,23 -0,49 0,73 0,12 92

0,23 0,44 -0,27 0,94 0,34 47

0,44 0,66 -0,06 1,16 0,55 37

0,66 0,88 0,16 1,38 0,77 14

0,88 1,09 0,38 1,59 0,99 12

1,09 1,31 0,59 1,81 1,20 8

1,31 1,53 0,81 2,03 1,42 4

1,53 1,74 1,03 2,24 1,64 1

1,74 1,96 1,24 2,46 1,85 2

n= 217

8. Clculo de la Frecuencia Absoluta ; ni



HISTOGRAMA

Li Ls Lri Lrs Xj ni fi

0,0 0,2 -0,5 0,7 0,1 92 0,4

0,2 0,4 -0,3 0,9 0,3 47 0,2

0,4 0,7 -0,1 1,2 0,6 37 0,2

0,7 0,9 0,2 1,4 0,8 14 0,1

0,9 1,1 0,4 1,6 1,0 12 0,1

1,1 1,3 0,6 1,8 1,2 8 0,0

1,3 1,5 0,8 2,0 1,4 4 0,0

1,5 1,7 1,0 2,2 1,6 1 0,0

1,7 2,0 1,2 2,5 1,9 2 0,0

n= 217 1,00

9. Clculo de la Frecuencia Relativa; fi





HISTOGRAMA

Li Ls Lri Lrs Xj ni fi Ni

0,0 0,2 -0,5 0,7 0,1 92,0 0,4 92,0

0,2 0,4 -0,3 0,9 0,3 47,0 0,2 139,0

0,4 0,7 -0,1 1,2 0,6 37,0 0,2 176,0

0,7 0,9 0,2 1,4 0,8 14,0 0,1 190,0

0,9 1,1 0,4 1,6 1,0 12,0 0,1 202,0

1,1 1,3 0,6 1,8 1,2 8,0 0,0 210,0

1,3 1,5 0,8 2,0 1,4 4,0 0,0 214,0

1,5 1,7 1,0 2,2 1,6 1,0 0,0 215,0

1,7 2,0 1,2 2,5 1,9 2,0 0,0 217,0

n= 217 1,00

10. Clculo de la Frecuencia Absoluta acumulada; Ni



HISTOGRAMA

Li Ls Lri Lrs Xj ni fi Ni Fi

0,0 0,2 -0,5 0,7 0,1 92,0 0,4 92,0 0,4

0,2 0,4 -0,3 0,9 0,3 47,0 0,2 139,0 0,6

0,4 0,7 -0,1 1,2 0,6 37,0 0,2 176,0 0,8

0,7 0,9 0,2 1,4 0,8 14,0 0,1 190,0 0,9

0,9 1,1 0,4 1,6 1,0 12,0 0,1 202,0 0,9

1,1 1,3 0,6 1,8 1,2 8,0 0,0 210,0 1,0

1,3 1,5 0,8 2,0 1,4 4,0 0,0 214,0 1,0

1,5 1,7 1,0 2,2 1,6 1,0 0,0 215,0 1,0

n= 217 1,00

11. Clculo de la Frecuencia Relativa acumulada; Fi





HISTOGRAMA

0,49

0,49

0,5

0,5

0,5

0,51

0,51

0,51

0,52

0,52

0,53

0,53

0,53

0,54

0,54

0,55

0,55

0,56

0,57

0,57

12. Grafico de Hstograma

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,0

0,2 0,4 0,7 0,9 1,1

0,0 0,2 0,4 0,7 0,9

Fre

cue

nci

a

Histograma



El siguiente paso es determinar la familia de

distribuciones que se probar para representar el

conjunto de datos en estudio.

Para ello se cuenta con la forma del histograma y tambin

se cuenta con la naturaleza del proceso.

En efecto, se han desarrollado numerosas distribuciones

tericas para procesos determinados, vistas

anteriormente.

ESCOJA UNA FAMILIA DE DISTRIBUCIN DE

PROBABILIDADES, LA MAS APROPIADA.





0,49

0,49

0,5

0,5

0,5

0,51

0,51

0,51

0,52

0,52

0,53

0,53

0,53

0,54

0,54

0,55

0,55

0,56

0,57

0,57

12. Grafico de Hstograma

0,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

90,0

100,0

0,2 0,4 0,7 0,9 1,1

0,0 0,2 0,4 0,7 0,9

Fre

cue

nci

a

Histograma

Forma de distribucin estimadaEXP(Beta)



A continuacin se listan los estimadores sugeridos para

las distribuciones mas empleadas:

La media = 0.40 beta (estimador)= 0.40

Para los apuntes entregados el estimador es MLE (Maximum

Likelihood Estimation), Exponencial: = ()





La funcin densidad de probabilidad f(x) la

consideraremos una primera aproximacin.

No obstante hay que verificar si el parmetro de 0.4 es el

ajuste correcto, esto se validara ms adelante con otras

tcnicas que se desarrollaran en clases.


Grfico: quantile - quantile

Una alternativa al empleo dehistogramas para identificar ladistribucin de los datos es elgrafico quantile-quantile.

Este tipo de grfico puedeutilizarse aun cuando los datosson escasos (menos de 30), y alno depender de parmetrosarbitrarios , como el numero declases y el ancho de losintervalos, facilita la evaluacindel grado de ajuste de ladistribucin propuesta alconjunto de datos analizados.




GRFICO q-q

Grafico q-q:

Sea una variable aleatoria con distribucin

acumulada (), el q-quantile de es el valor

talque = = para 0 < < 1.

Cuando () tiene inversa, el quantile es igual a

= 1()


GRFICO q-q

Sea X una variable aleatoria con distribucinacumulada F(x), el q-quantile de X es el valor talque F()=P(X)=q para 0



GRFICO q-q

y1 ~ F-1 ((j-0.5)/n).

Suponga que se esta probando unadistribucin con funcin de probabilidadacumulada F(X) para presentar los datos enestudio, si F(X) es de la familia dedistribuciones adecuada; entonces el grfico,yj vs. F

-1 ((j-0.5)/n) ser aproximadamente unalnea recta.


GRFICO q-q

Considere los datos mostrados a continuacin:

99.79, 100,26, 100.23, 99.55, 99.96, 99.56,100.41, 100.27, 99.62, 99.60, 100.17, 99.98,100.02, 99.65, 100.06, 100.33, 99.83, 100.47,99.82, 99.85.




CALCULOS GRFICO q-q

Estadstica descriptiva.


Histograma

Usando SW ARENAS imput Analyzer, se obtuvoel histograma.




Histograma

Usando SW ARENAS imput Analyzer, se obtuvoel histograma.

No es fcil determinar que los datos puedenser representados por una distribucinNORMAL


CALCULOS GRFICO q-q

Estadstica descriptiva.




CALCULOS GRFICO q-q

Usando MS Excel se genera una tabla:


CALCULOS GRFICO q-q




CALCULOS GRFICO q-q


CALCULOS GRFICO q-q




CALCULOS GRFICO q-q

Los puntos estn alineados a lo largo de unarecta con pendiente 45, por lo tanto, sepuede concluir que los datos tienen unadistribucin normal con valor medio 99.99 yvarianza 0.08.


CALCULOS GRFICO q-q

Note que es posible realizar un grficoequivalente que no emplee la funcin inversade la distribucin acumulada, la cual puede noexistir, para ello, se grafica F(yj) vs. qj




GRFICO q-q MODIFICADO

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

1.20

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

F(y j

)

qj

Lineal (Grafico


GRFICO q-q MODIFICADO

Generalmente los puntos ubicados en losextremos pueden alejarse de la lnea recta.

Sin embargo, la atencin debe ser puesta enlos puntos centrales para decidir si ladistribucin que esta siendo probada es lacorrecta.




Otro criterio.

Es posible tambin detectar si una variable Xtienen una misma distribucin que otra Z.

Para ello se grafican los valores ordenados dela primera variable vs los valores ordenadosde la segunda variable.

Si el grfico resulta una lnea recta ambasvariables pueden ser representadas con lamisma distribucin.


Seleccin de una distribucin sin datos: consideraciones.

Si no existe an el sistema o elproceso de medicin no puederealizarse por algn motivo,ser necesario contar con unadistribucin sin contar con losdatos del sistema.

La informacin para ello puedeobtenerse de distintas fuentes,como ser:

Especificaciones tcnicas,generalmente se cuenta condatos tcnicos de un producto oproceso, Ej, tiempo medio entrefallas, velocidad de impresin,consumo promedio, etc.




Distribucin sin datos.


Unidad IIIAjustes a una distribucin de

probabilidad

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ajustes a una distribucion de probabilidad

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