ContenidoIntroducción ....................................................................................................................... 2

Objetivos............................................................................................................................ 3

Distribución Gamma .......................................................................................................... 4

Características ............................................................................................................... 4

Función de densidad ...................................................................................................... 4

Grafica ........................................................................................................................... 5

Media, desviación típica y varianza ................................................................................ 5

Ejemplo .......................................................................................................................... 5

Distribución Beta................................................................................................................ 6

Características ............................................................................................................... 6

Función de densidad ...................................................................................................... 7

Función de distribución................................................................................................... 7

Grafica ........................................................................................................................... 7

Media, desviación típica y varianza ................................................................................ 8

Ejemplo .......................................................................................................................... 8

Distribución Erlang............................................................................................................. 9

Características ............................................................................................................... 9

Función de densidad .................................................................................................... 10

Función de distribución................................................................................................. 10

Grafica ......................................................................................................................... 10

Media, desviación típica y varianza .............................................................................. 11

Ejemplo ........................................................................................................................ 11

Distribución Weibull ......................................................................................................... 12

Características ............................................................................................................. 12

Función de densidad .................................................................................................... 12

1

Función de distribución................................................................................................. 12

Grafica ......................................................................................................................... 13

Media, desviación típica y varianza .............................................................................. 13

Ejemplo ........................................................................................................................ 14

Conclusiones ................................................................................................................... 15

Cuestionario..................................................................................................................... 16

2

Introducción

Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del

experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de variables

cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan principalmente del proceso

de medición.

Las distribuciones de probabilidad de variable continua son idealizaciones de las

distribuciones estadísticas de variable continua. Estas se obtienen empíricamente

(experimentando u observando). Aquellas son distribuciones teóricas.

Las distribuciones de probabilidad de variable continua se definen por medio de una

función y = f(x) que se llama función de probabilidad o función de densidad. Ha de ser f(x)

0 para todo x.

Las probabilidades vienen dadas por el área bajo la curva. Por tanto, el área encerrada

bajo la totalidad de la curva es 1. Es decir, tomamos como unidad el área bajo la curva

completa.

En este trabajo hablaremos de cuatro distribuciones de probabilidad para una variable

continua las cuales son: distribución gamma, beta, Erlang y Weibull.

3

General

Objetivos

Conocer diferentes tipos de distribución de probabilidad para una

variable continua

Específicos

Definir en qué consisten las cuatro distribuciones de probabilidad

a estudiar.

Mencionar las características y las ecuaciones o funciones de cada

distribución de probabilidad.

4

Distribución Gamma

Características

Este modelo es una generalización del modelo Exponencial ya que, en o casiones,

se utiliza para modelar variables que describen el tiempo hasta que se produce p veces

un determinado suceso.

La distribución Gamma (α, p = 1) es una distribución Exponencial de parámetro α. Es

decir, el modelo Exponencial es un caso particular de la Gamma con p = 1.

Dadas dos variables aleatorias con distribución Gamma y parámetro α

común X ~ G(α, p1) y Y ~ G(α, p2)

Se cumplirá que la suma también sigue una distribución Gamma

X + Y ~ G(α, p1 + p2).

Una consecuencia inmediata de esta propiedad es que, si tenemos k variables aleatorias

con distribución Exponencial de parámetro α (común) e independientes, la suma de todas

ellas seguirá una distribución G(α, k).

Función de densidad

Siendo G(a) la función gamma, definida como:

Como G(1) = 1, la función de probabilidad gamma cuando a = 1 es la exponencial. Otro

caso particular de esta función es t = 1/2 y a = r/2, siendo r un número natural, que recibe

el nombre de ji-cuadrado con r grados de libertad. Del mismo modo que la variable

5

“tiempo hasta que ocurra el primer evento” de un proceso es de Poisson es exponencial,

la variable “tiempo hasta que ocurra el evento k-ésimo” es gamma con a = k

Grafica

Media, desviación típica y varianza

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma son:

Ejemplo

Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo.

Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por

cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta

que ocurre el segundo ciclo.

a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo

promedio. b. A más de dos desviaciones por encima de la

media. Solución:

X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo ,en horas.

Y: Número de ciclos / 100 horas ----Y ~P( =2) E(Y) = 2

Y': Número de ciclos / hora ---------Y'~P( =0.02) E(Y') = 0.02 =

6

X ~ G(2, 0.02)

Distribución Beta

Características

La distribución de probabilidad beta es una función de densidad con dos parámetros

definida en el intervalo cerrado 0 <= y <= 1. Se utiliza frecuentemente como modelo para

fracciones, tal como la proporción de impurezas en un producto químico o la fracción de

tiempo que una maquina está en reparación.

La distribución beta es posible para una variable aleatoria continua que toma valores en el

intervalo [0,1], lo que la hace muy apropiada para modelar proporciones. En la inferencia

bayesiana, por ejemplo, es muy utilizada como distribución a priori cuando las

observaciones tienen una distribución binomial. Uno de los principales recursos de esta

distribución es el ajuste a una gran variedad de distribuciones empíricas, pues adopta

formas muy diversas dependiendo de cuáles sean los valores de los parámetros de forma

p y q, mediante los que viene definida la distribución. Un caso particular de la distribución

beta es la distribución uniforme en [0,1], que se corresponde con una beta de parámetros

p=1 y q=1, denotada Beta(1,1).

Campo de variación:

0 ≤ x ≤ 1

Parámetros:

p: parámetro de forma, p > 0

q: parámetro de forma, q > 0

7

Función de densidad

Nótese que la definición de (y) sobre el intervalo 0<= y <= 1 restringe su aplicación. Si c<=

y <= d, y = (y- c) / (d- c) definirá una nueva variable en el intervalo 0<= y <= 1. Así la

función de densidad beta se puede aplicar a una variable aleatoria definida en el intervalo

c<= y <= d mediante una traslación y una medición en la escala.

Función de distribución

La función de distribución acumulativa para la variable aleatoria beta se llama

comúnmente función beta y está dada por:

Grafica

8

Función de densidad de probabilidad

Función de distribución de probabilidad

Media, desviación típica y varianza

El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribución beta son:

Ejemplo

En el presupuesto familiar, la porción que se dedica a salud sigue una distribución

Beta(2,2).

1. ¿Cuál es la probabilidad de que se gaste más del 25% del presupuesto familiar en

salud?

2. ¿Cuál será el porcentaje medio que las familias dedican a la compra de productos y

servicios de salud?

9

Teniendo en cuenta la distribución beta, la probabilidad de que se gaste más de la

cuarta parte del presupuesto en salud será 0,84 y el porcentaje medio que las familias

dedican a la compra de productos y servicios de salud será el 50%.

Distribución Erlang

Características

La distribución de Erlang es una distribución de probabilidad continua con amplia

aplicabilidad principalmente debido a su relación con las distribuciones exponencial y

gamma. La distribución de Erlang fue desarrollado por AK Erlang para examinar el

número de llamadas telefónicas que pudieran ser realizados al mismo tiempo para los

operadores de las estaciones de conmutación. Este trabajo de ingeniería de tráfico

telefónico ha sido ampliado para tener en cuenta los tiempos de espera en los sistemas

de formación de colas en general. La distribución se utiliza ahora en el campo de los

procesos estocásticos y de biomatemáticas.

La distribución es una distribución continua, que tiene un valor positivo para todos los

números reales mayores que cero, y viene dada por dos parámetros: la forma, que es un

entero positivo, y la tasa, que es un número real positivo. La distribución se define a veces

utilizando la inversa de la tasa parámetro, la escala. Es la distribución de la suma de las

variables exponenciales independientes con media.

Cuando el parámetro de forma es igual a 1, la distribución se simplifica a la distribución

exponencial. La distribución Erlang es un caso especial de la distribución Gamma, donde

el parámetro de forma es un número entero. En la distribución Gamma, este parámetro no

se limita a los números enteros.

1

Está relacionada a una variable aleatoria Exponencial, mide la distancia (tiempo,

longitud, etc.) hasta que ocurre el primer conteo de un proceso de conteo poisson.

Una variable aleatoria de Erlang mide la distancia hasta que ocurre R

conteos en un proceso Poisson.

Función de densidad

Función de distribución

Grafica

1

Media, desviación típica y varianza

Su esperanza viene dada por:

Su varianza viene dada por:

La función generadora de momentos responde a la expresión:

Ejemplo

Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo.

Si estos ciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por

cada 100 horas. Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hast

a que ocurre el segundo ciclo.

a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo

promedio. b. A más de dos desviaciones por encima de la

media.

1

Distribución Weibull

Características

Devuelve la probabilidad de una variable aleatoria siguiendo una distribución de Weibull.

Esta distribución se aplica en los análisis de fiabilidad, para establecer, por ejemplo, el

periodo de vida de un componente hasta que presenta una falla.

Función de densidad

Función de distribución

1

Grafica

Media, desviación típica y varianza

Ejemplo

14

1

Conclusiones

Una distribución de probabilidad es continua cuando los resultados posibles del

experimento son obtenidos de variables aleatorias continuas, es decir, de

variables cuantitativas que pueden tomar cualquier valor, y que resultan

principalmente del proceso de medición.

La distribución de probabilidad beta es una función de densidad con dos

parámetros definida en el intervalo cerrado 0 <= y <= 1.

La distribución de Erlang es una distribución de probabilidad continua con amplia

aplicabilidad principalmente debido a su relación con las distribuciones

exponencial y gamma.

Este modelo (distribución gamma) es una generalización del modelo Exponencial

ya que, en ocasiones, se utiliza para modelar variables que describen el tiempo

hasta que se produce p veces un determinado suceso.

1

Cuestionario

1. ¿Cómo se calcula el valor esperado y la varianza para la distribución gamma?

Pagina 5

2. ¿cuál es la función de densidad de la distribución gamma?

Página 4

3. ¿Para queése utiliza la distribución beta?

Se utiliza frecuentemente como modelo para fracciones, tal como la proporción de

impurezas en un producto químico o la fracción de tiempo que una maquina están

en reparación. Página 6

4. ¿Para qué se aplica la distribución de Weibull? Esta distribución se aplica en los

análisis de fiabilidad, para establecer, por ejemplo, el periodo de vida de un

componente hasta que presenta una falla.

Página 12

5. ¿Quién desarrollo la distribución de Erlang?

La distribución de Erlang fue desarrollado por AK Erlang para examinar el número

de llamadas telefónicas que pudieran ser realizados al mismo tiempo para los

operadores de las estaciones de conmutación. Página 9

6. ¿Para qué se utiliza la distribución de Erlang en la actualidad?

La distribución se utiliza ahora en el campo de los procesos estocásticos y de

biomatemáticas. Página 9