taller 3 ejercicios de distribucion de probabilidad

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EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD MARIA ESTHER PALENCIA VILLADIEGO TANIA ZAMARA RHERNALS MARTINEZ Tutor MARCOS CASTRO UNIVERSIDAD DE CARTAGENA Programa: ADMINISTRACION FINANCIERA Área: ESTADISTICA APLICADA ALA INVESTIGACION V SEMESTRE CERETE 2013 

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EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD

MARIA ESTHER PALENCIA VILLADIEGOTANIA ZAMARA RHERNALS MARTINEZ

Tutor MARCOS CASTRO

UNIVERSIDAD DE CARTAGENAPrograma: ADMINISTRACION FINANCIERArea: ESTADISTICA APLICADA ALA INVESTIGACION V SEMESTRE CERETE2013

EJERCICIOS PROPUESTOS DE DISTRIBUCIN DE PROBABILIDAD

1. Un embarque de 7 televisores incluye dos defectuosos. Un hotel realiza una compra de manera aleatoria d 3 de estos aparatos. Si X es el nmero de televisores defectuosos comprados por el hotel encuentre la media o valor esperado de X.

Respuesta:

Sea X= El nmero de televisores N= El tamao de la poblacin K= Numero de xitos de la poblacin n=Tamao de la muestra n-K= Fracaso

Entonces: por distribucin Hipergeomtrica tenemos que: h X= 0,1,2,..nEntonces:h Hallamos la funcin de distribucinpara poder calcular el Valor esperado el cual est dado por:

U= E(X) = X p(X)ppp = =

U = E(X) = X p(X)Entonces: x p(x) =

4. Suponga que las probabilidades 0.4, 0.3, 0.2, y 0.1 respectivamente , de que 0, 1, 2, o 3 fallas de energa elctrica afecten una cierta subdivisin en un ao cualquiera. Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X que representa el nmero de fallas de energa elctrica que afectan esa subdivisin. Respuestas: media =1 y varianza =1.

Solucin: De acuerdo al enunciado del ejercicio se obtiene la siguiente tabla de valores.Variable aleatoria XP(X)X * P (X)X2X2 * P(x)

00,4 0 0 0

10,3 0,3 1 0,3

20,2 0,4 4 0,8

30,1 0,3 9 0,9

=1=2

Aplicamos la frmula del valor esperado o media: u= E (X)= x * P (x)

se obtiene de la tabla E(x)= 1

Para hallar la varianza aplicamos la frmula: Var(x) = x2= p (x)- u2se obtiene de la tabla que: Var(x) 2-1=1 Var (x) =1

6. La probabilidad de que el nivel del ruido de un amplificador de un banda amplia exceda 2 dB es 0.05. Encontrar la probabilidad de que entre 12 de esos amplificadores el nivel del ruido: a) Exactamente 1 exceda 2 dB. b) A lo ms en dos exceda 2 dB. c) En 2 o ms se excedan 2 dB. Respuestas: a) 0.3413 b) 0.9805 c) 0.1183.Solucin:

Se trata de una distribucin binomial, donde la probabilidad de xito esP=0.05, el nmero de ensayos es n=12, los ensayos son independientes entre s, entonces se cumple que: q=1-p q=1 -0.05 = 0.95 q=0.95

X es la variable aleatoria X=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12)

a) Hallamos la probabilidad deque exactamente 1entrelos 12 amplificadores, exceda 2 dB.

Aplicamos la frmula de la distribucin binomial:

B (x, n, p)= (Cn, x )* (Px)*(qx-n)

Para los valoresx=1 n=12 p=0.05 q=0.95

Se obtiene:

(C12,1)* (0.051)*(0.95)12-1=12*(0.05)*0.5688=0.3412

b) Hallamos la probabilidad de que a lo ms en dos amplificadores excedan 2 dB

Debemos resolver:b) (0,12, 0.05)+ b (1, 12,0.05)+b (2, 12,0.05)=1*1*0.54036+12*(0.05)*0.5688+66*(2.5*10-3)*0.5987=0.54036+0.34128+0.09878=0.98042

c) Hallamos la probabilidad de que dos o ms amplificadores excedan 2 dB Se debe resolver p(X 2)b(2,12,0.05)+b(3,12,0.005)+b(4,12,0.05)+b(5,12,0.05)+b(6,12,0.05)+b(7,12,0.05)+b(0,12,0.05)+b(9,12,0.05)+b(10,12,0.05)+b(11,12,0.05)+b(12,12,0.05)Aplicando la formula binomial y resolviendo obtenemos: 0.09879 + .01733 +2.052469 * 10-3 + 1.72838 * 10-4 + 1.061288 *10-5 + 4.787769 * 10-7 + 1.574924 * 10-8 + 3.68406 * 10-10 +5.81689 * 10-12 + 5.5664 * 10-14 + 2.31933 * 10-6= 0.1183La probabilidad de que dos o ms amplificadores excedan 2 dB es de 0.1183

8. En promedio cada rollo de 500 metros de lmina de acero trae dos imperfecciones. Cul es la probabilidad de que a medida que se desenvuelva el primer rollo, la primera imperfeccin aparezca en el primer segmento de 50 metros? Respuesta: 0.1813.Solucin:

Aplicamos la frmula de distribucin de Poisson: P(x,)=

El promedio de imperfecciones es: = 4*10-3

En un segmento de 50 metros el promedio ser:

(50) * (4* 10-3) = 0.2

Remplazando valores para el primer segmento de 50 metros obtenemos:

P(1,0.2) = = 0.1637

La probabilidad de que a medida que se abre el primer rollo, la primera imperfeccin aparezca en el primer segmento de 50 metros es de 0.1637

10. A un mostrador llega un promedio de 0.5 clientes por minuto. Despus de que la encargada abre el mostrador, cul es la probabilidad de que tenga que esperar por lo menos 3 minutos antes de que se presente el primer cliente? Respuesta: 0.2231.

Solucin: Aplicamos la frmula de distribucin de poisson:

P(x,)= X=1 =0.5 * 3 = 1.5Reemplazando valores obtenemos: p(1,1.5) = = 0.3346La probabilidad de que tenga que esperar por lo menos 3 minutos antes de que se presente el primer cliente es de 0.3346

12. Entre los 12 colectores solares en exposicin en una feria comercial, 9 son planos y los otros son curvos. Si una persona que visita la feria toma 4 de esos colectores para examinarlos, cul es la probabilidad de que tres de ellos sean colectores planos? Respuesta: 0.5091.Solucin: Aplicamos la frmula de la distribucin hipergeometrica:

P(n, X, N, Xt)=

Debemos resolver p(4,3,12,9) = = == 0.5090

La probabilidad de que tres de los colectores sean planos es de 0.5090

14. Entre los 300 empleados de una compaa, 240 estn sindicalizados mientras que los otros no. Si se escogen 8 por sorteo para integrar un comit que administre los fondos de pensiones, calcule la probabilidad de que 5 estn sindicalizados mientras que los otros no, utilizando: a) la frmula para distribucin hipergeomtrica. b) la frmula para la distribucin binomial como una aproximacin. Respuestas: a) 0.1470, b) 0.1468.

Solucin: a).Aplicamos la frmula de distribucin hipergeometrica:

P(n, X, N, Xt)=

Para los valores n = 8 X=5N=300Xt =240

P(8,5, 300, 240)= =0.1470

b).La frmula para la distribucin binomial como una aproximacin

b(x,n,p) = Cn,x * px * q n-x

Con P= = = 0.8 P = 0.8 y q = 1-p = 1-0.8 = 0.2q = 0.2b (5,8,0,8) = C (8,5) * (0,8)5 * (0,2)8-5 = C (8,5) * (0,8)5 * (0,2)3 = 5 * (0.32768) * (8*10-3) = 0.1468 0.147015. La tabla siguiente muestra las probabilidades de que una computadora falle 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 veces en un da cualquiera; nmero de fallas: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 probabilidad: 0.17 0.29 0.27 0.16 0.07 0.03 0.01. Se pide calcular la media aritmtica y la desviacin estndar de sta distribucin.Para hallar la media se utiliza la expresin: U = X*p(x)1. (0) x (0.17) + (1) x (0.29) + (2) x (0.27) + (3) x (0.16) + (4) x (0.07) + (5) x (0.03) + (6) x (0.01) = 1.8

Por propiedad:

1. = (X-p(x)

1. = (0- (0.17) +0(1- (0.29) +(2- (0.27) + (3-(0.16) + (4-(0.07) +(5-(0.03) + (6-(0.01)

1. = 1.8 = 1.8 = 1.3426

19. Una variable aleatoria tiene distribucin normal con desviacin estndar igual a 10. Si la probabilidad de que asuma un valor menor que 82.5 es 0.8212. Cul es la probabilidad de que tome un valor mayor que 58.3? Solucin: S=10; P (X 58,3)

Ahora tabla para Z < 1.5 corresponde a un rea de 1 0,0668 0,9332

22 Las fallas debidas al desgaste de un componente elctrico, siguen la distribucin normal. Si los componentes de un determinado tipo tienen una vida til promedio de 1000 horas con una desviacin estndar de 25 horas, encuentre la proporcin de componentes que tendr una vida de desgaste en horas de: a) mayor que 1040 horas b) menor que 955 horas c) entre 1020 y 1049 horas. Respuestas: a) 0.0548 b) 0.0359 c) 0.7631.

Solucin: = 1000 = 25

Z= a) para x= 1040; Z = = 1.6

Entonces p( x>1040) = 0.5 p(z = 1.6) = 0.5 0.4452 = 0.0548La proporcin de componentes con mayor de 1040 horas de desgaste es de 0.0548

b) para x = 955 ; Z = = Z == 1.8 Z = 1.8

Entonces p(