modelos de distribucion de probabilidad

09/09/2015 Material Apoyo 1

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

A N Á L I S I S E S TA D Í S T I C O I I I N G E N I E R Í A E N P R E V E N C I Ó N D E R I E S G O S

MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD

INTRODUCCIÓN

Una de las preocupaciones de los científicos ha sido construir modelos de distribuciones

de probabilidad que pudieran representar el comportamiento teórico de diferentes

fenómenos aleatorios que aparecían en el mundo real. La pretensión de modelar lo

observable ha constituido siempre una necesidad básica para el científico empírico,

dado que a través de esas construcciones teóricas, los modelos, podía experimentar

sobre aquello que la realidad no le permitía. Por otra parte, un modelo resulta

extremadamente útil, siempre que se corresponda con la realidad que pretende

representar o predecir, de manera que ponga de relieve las propiedades más

importantes del mundo que nos rodea, aunque sea a costa de la simplificación que

implica todo modelo. En esta sección se analizarán los modelos probabilísticos

discretos más comunes y de mayor aplicación práctica.



MODELOS DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD DISCRETOS.

MODELO DE BERNOUILLI

Corresponde a experimentos como el lanzamiento de una moneda. Sirve de modelo

para muchas situaciones en las que sólo puede haber dos posibles resultados

complementarios (A y no A): uno de ellos con probabilidad p y el otro con probabilidad

(1-p).

Ejemplos:

• Inspeccionar un objeto para ver si es o no es defectuosos.

• Preguntar a una persona si tiene o no tiene trabajo

• Comprobar si una empresa está o no está en quiebra

• Ver si un alumno apruebe o no aprueba un examen




LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Se repite n veces de forma independiente un experimento de Bernouilli con probabilidad de éxito igual a p. La variable aleatoria x que expresa el número de “éxitos” obtenidos en este proceso sigue una distribución binomial con parámetros n y p: B(n,p). Una vez se tiene la probabilidad de que suceda k, y el número de permutaciones, ya se puede calcular la probabilidad de que se den k éxitos con n ensayos:

La esperanza matemática será:

La varianza será: donde


knk ppk

nkXPxf

)1()()(

npxE )(

npqxV )( 1 qp




Ejemplo: Un vendedor de seguros de vida afirma que el 30% de las veces que sale a la caza de clientes concreta una venta. ¿Cuál es la probabilidad de que en las 10 próximas visitas realice al menos una venta?

Solución: Entonces, la probabilidad de obtener al menos una venta en las próximas diez

visitas será


)0(1)1(1)1( xPxPxP

0282,0)3,01(3,00

10)0( 0100

xP

9717,00282,01)0(1)1(1)1( xPxPxP




Ejemplo: La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura. A. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leído la novela 2 personas?

B. ¿Y cómo máximo 2?

Solución: A.

La probabilidad es del 15,36%


1536,0)8,01(8,02

4)2( 242

xP




¿Y cómo máximo 2?

Solución B.


)2()1()0()2( xPxPxPxP

0016,0)8,01(8,00

4)0( 040

xP 0256,0)8,01(8,0

1

4)1( 141

xP

1536,0)8,01(8,02

4)2( 242

xP

1808,01536,00256,00016,0)2( xP




Ejemplo: La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0,02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.


20002,0000.10)( npxE

19698,002,0000.10)( npqxV

14196)( npqxDS



LA DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

Los experimentos que tienen este tipo de distribución tienen las siguientes características:

• Al realizar un experimento con este tipo de distribución, se esperan dos tipos de resultados.

• Las probabilidades asociadas a cada uno de los resultados no son constantes.

• Cada ensayo o repetición del experimento no es independiente de los demás.

• El número de repeticiones del experimento (n) es constante.

Ejemplo:

En una urna o recipiente hay un total de N objetos, entre los cuales hay una cantidad a de objetos que son defectuosos, si se seleccionan de esta urna n objetos al azar, y sin reemplazo, ¿cuál es la probabilidad de obtener x objetos defectuosos?





ESPERANZA MATEMÁTICA

Varianza


n

N

xn

N

x

N

xXP

21

)(

N

NnXE 1)(

1)( 21

N

nN

N

N

N

NnXV




Ejemplos:

Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas, a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.

Solución:

a) N = 9+6 =15 total de tabletas

a = 6 tabletas de narcótico

n = 3 tabletas seleccionadas

x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas






4747,0

3

15

2

9

1

6

)1(

XP

2967,0

3

15

1

9

2

6

)2(

XP

0439,0

3

15

0

9

3

6

)3(

XP 0,8143




b) p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)


1846,0

3

15

3

9

0

6

)0(

XP




Ejemplos: De un lote de 10 proyectiles, 4 se seleccionan al azar y se disparan. Si el lote contiene 3 proyectiles defectuosos que no explotarán, ¿cuál es la probabilidad de que , a) los 4 exploten?, b) al menos 2 no exploten?

Solución:

a) N = 10 proyectiles en total

N1 = 7 proyectiles que explotan

n = 4 proyectiles seleccionados

x = 0, 1, 2, 3 o 4 proyectiles que explotan = variable que nos define el número de proyectiles que explotan entre la muestra que se dispara






1666,0

4

10

0

3

4

7

)4(

XP

3333,0)3()2()2( xPxPxP

30,0

4

10

2

3

2

7

)2(

XP

0333,0

4

10

3

3

1

7

)3(

XP



DISTRIBUCIÓN DE POISSON

La distribución de Poisson se llama así en honor a su creador, el francés Simeón Dennis

Poisson (1781-1840), Esta distribución de probabilidades fue uno de los múltiples trabajos

matemáticos que Dennis completó en su productiva trayectoria.

La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de

ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.

Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.

Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es

pequeña.

Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un

segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.





A continuación veremos la función de probabilidad de la distribución de Poisson.

Donde:

P(X=K) es la probabilidad de ocurrencia cuando la variable discreta X toma un valor

finito k.

λ = Lambda es la ocurrencia promedio por unidad (tiempo, volumen, área, etc.). Es

igual a p por el segmento dado. La constante e tiene un valor aproximado de 2,711828

K es el número de éxitos por unidad


!)(

k

ekXP

k




Ejemplo 1 :La producción de televisores en SAMSUNG trae asociada una probabilidad

de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la

probabilidad de que existan 4 televisores con defectos.


n = 85

P = 0,02

X = 4

lambda = 1,7

0635,0!4

7,1)4(

47,1

e

XP




Ejemplo 2 :En una jaula con 100 pericos 15 de ellos hablan ruso calcular la probabilidad

de que si tomamos 20 pericos al azar 3 de ellos hablen ruso.


n = 20

p = 0.15

X = 3

lambda =3

2240,0!3

3)3(

33

e

XP




Ejemplo 3 :Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las

probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10

cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?


Solución: a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, etc.

= 6 cheques sin fondo por día 13392024

0024801296

4

7182664

64

.).)((

!

).()(),x(p





b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc.

= 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en dos días consecutivos

Nota: siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

10495303628800

00000615101019173646

10

7182121210

1210

.).)(.(

!

).()(),x(p




Ejemplo 4: En la inspección de hojalata producida por un proceso electrolítico continuo,

se identifican 0.2 imperfecciones en promedio por minuto. Determine las

probabilidades de identificar a) una imperfección en 3 minutos, b) al menos dos

imperfecciones en 5 minutos, c) cuando más una imperfección en 15 minutos.




DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

• La variable aleatoria al igual que en la distribución binomial, sólo puede tomar dos

valores (éxito o fracaso).

• Las pruebas son también idénticas e independientes entre sí.

• La probabilidad de éxito es p y se mantiene constante de prueba en prueba.

Sin embargo, mientras que en la distribución binomial se buscaba el número de éxitos que

ocurrían en “n” pruebas, en la distribución geométrica lo que se busca es el número de

pruebas necesarias para que ocurra un éxito, es decir, el experimento consiste de una serie

de pruebas, las cuales concluyen cuando un éxito es observado.





Función de probabilidad o cuantía: Se a X una V.A. definida como el numero de

realizaciones o repeticiones (independientes) en un experimento de Bernoulli hasta

conseguir el primer éxito y que toma los valores discretos superiores o iguales a 1 (x≥1). La

función de cuantía de la distribución Geométrica Ge (p) 0< p<1 ( p es la probabilidad de

obtener éxito) viene dada por :

Varianza


ppxXP x 1)1()(

Esperanza Matemática

pXE

1)( 2

1)(

p

pXV




Ejemplo 1: Sí la probabilidad de que un cierto dispositivo de medición muestre una

desviación excesiva es de 0,05, ¿cuál es la probabilidad de que; a) el sexto de estos

dispositivos de medición sometidos a prueba sea el primero en mostrar una desviación

excesiva?, b) el séptimo de estos dispositivos de medición sometidos a prueba, sea el

primero que no muestre una desviación excesiva?.





Solución:

a) x = 6 que el sexto dispositivo de medición probado sea el primero que muestre una

variación excesiva p = 0,05 =probabilidad de que un dispositivo de medición muestre una

variación excesiva q = 0,95 =probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre

una variación excesiva.


03869,005,0)05,01()6( 16 XP




Solución:

b) x = 5 que el quinto dispositivo de medición probado, sea el primero que no muestre una

desviación excesiva p = 0,95 = probabilidad de que un dispositivo de medición no muestre

una variación excesiva q = 0,05 = probabilidad de que un dispositivo de medición muestre

una variación excesiva


0000059,095,0)05,0()6( 15 XP




Ejemplo 2: Los registros de una compañía constructora de pozos, indican que la

probabilidad de que uno de sus pozos nuevos, requiera de reparaciones en el término de

un año es de 0.20. ¿Cuál es la probabilidad de que el quinto pozo construido por esta

compañía en un año dado sea el primero en requerir reparaciones en un año?.





Solución : x = 5 que el quinto pozo sea el primero que requiera reparaciones en un año p =

0,20 = probabilidad de que un pozo requiera reparaciones en el término de un año q = 0,80

= probabilidad de que un pozo no requiera reparaciones en el término de un año


08192,020,0)80,0()6( 15 XP



DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

Puede definirse como una generalización del modelo Geométrico o de Pascal. Así, dado un

suceso A y su complementario Ac, cuando X representa el número de veces que se da Ac

(ausencias, fallos, etc.) hasta que se produce r veces el suceso A, en una serie de

repeticiones de la experiencia aleatoria en condiciones independientes, decimos que X

sigue la distribución Binomial negativa. Nótese que, cuando r = 1, tenemos exactamente el

modelo geométrico.

Este modelo queda definido por dos parámetros p (la probabilidad de A: p = P(A)) y r (el

número de veces que debe producirse A para que detengamos la experiencia).




DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA

La función de densidad viene dada por:


rxr ppr

xxXPxf

)1(

1

1)()(

Esperanza Matemática

p

rXE )(

Varianza 2

)1()(

p

prXV



Ejemplo: Encuentre la probabilidad de que una persona que lanzares monedas obtenga

solo caras o solo sellos por segunda vez en el quinto lanzamiento.


1054,0256

27)

4

11(

4

1

12

15)5()( 25

2

XPxf



Ejemplo: Para tratar a un paciente de una afección de pulmón han de ser operados en

operaciones independientes sus 5 lóbulos pulmonares. La técnica a utilizar es tal que si

todo va bien, lo que ocurre con probabilidad de 7/11, el lóbulo queda definitivamente

sano, pero si no es así se deberá esperar el tiempo suficiente para intentarlo

posteriormente de nuevo. Se practicará la cirugía hasta que 4 de sus 5 lóbulos funcionen

correctamente. ¿Cuál es el valor esperado de intervenciones que se espera que deba

padecer el paciente? ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten 10 intervenciones?




Solución: Este es un ejemplo claro de experimento aleatorio regido por una ley binomial

negativa, ya que se realizan intervenciones hasta que se obtengan 4 lóbulos sanos, y éste

es el criterio que se utiliza para detener el proceso.


285,67

44

11

7

4)(

p

rXE

0318,0)11

71(

11

7

14

110)10()( 410

4

XPxf



Ejercicios: Para evitar que lo descubran en la aduana, un viajero ha colocado 6 tabletas de

narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en

apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas,

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?, b)

¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.




Solución: a) N = 9+6 =15 total de tabletas, 6 tabletas de narcótico, n = 3 tabletas

seleccionadas, x = 0, 1, 2, o 3 tabletas de narcótico = variable que nos indica el número de

tabletas de narcótico que se puede encontrar al seleccionar las 3 tabletas


8153,01846,01

3

15

3

9

0

6

1)0(1)1(

xPxP



Solución: p(no sea arrestado por posesión de narcóticos)


1846,0

3

15

3

9

0

6

)0(

xP


ANÁLISIS ESTADÍSTICO II INGENIERÍA EN PREVENCIÓN

DE RIESGOS M A T E R I A L D E A P O Y O

R E A L I Z A D O P O R A L E J A N D R O P I Ñ E I R O C A R O

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