trabajo final de probabilidad y estadistica (distribucion muestral)

TRABAJO FINAL DE PROBABILIDAD Y ESTADISTICA

DISTRIBUCIN MUESTRAL PARA UNA MEDIADefiniciones

1.- Como se ha visto, la media aritmtica es una medida descriptiva importante para caracterizar la tendencia central de una serie de datos. En muchas situaciones, se desea saber la media de una poblacin. Esta informacin puede no estar disponible a menos que se extraiga una muestra de la poblacin y se haga una inferencia respecto al parmetro basada en el anlisis de los datos de la muestra. En vista de que la validez de este procedimiento inferencia depende de conocer la distribucin muestral del estadstico implicado, es decir, la media muestral, se ver algo de esta materia antes de proceder.

El texto que sigue ilustra la construccin de una distribucin muestral de la media muestral, calculada a partir de las muestras extradas de una poblacin muy pequea. Es importante darse cuenta de que esto es slo con propsitos de instruccin. En la prctica, no se construye en realidad una distribucin muestral como una preliminar a la inferencia estadstica.

Estadstica para Administracin y Economa

Daniel Terrell

Hill y Dale Nurseries emplea 1500 personas. Durante un ao determinado, la cantidad media que contribuyeron para una colecta de caridad por empleado fue de $25.75.La desviacin estndar fue de $5.25. Cul es la probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 100 empleados produzca una media entre $25.00 y $27.00?

Planteamiento

N =1500

=25.75

=5.25

n=100

P(25.00 X 27)

Formula

Z = X M T . (N-n

( n N-1

Sustitucin

Z1 = 25-25.75

5.25 . (1500-100 =-1.47 ( 100 1500-1

Z2= 27-25.5 = 2.46

5.25 . (1500-100

(100 1500-1

Conclusin 0.99305

-0.07080

0.92225

tabla 1

tabla 2 z 0.07

z 0.06

-1.4 0.0708

2.4 0.99305

Grafica

25.00 25.75 27.002.-Una distribucin de muestreo de medias es de tipo probabilstica e indica cun probables son diversas medias de la muestra. La distribucin es una funcin de la media, de la desviacin estndar de la poblacin, y del tamao de la muestra. Para cada combinacin de la media de la poblacin, de la desviacin estndar de la poblacin y del tamao de la muestra habr una distribucin de muestreo nica de los valores medios de la muestra.


William J. Stevenson

500 Cojinetes de bolas tienen un peso medio de 5.02 onzas y una desviacin estndar de 0.30 onzas . hallar la probabilidad de que una muestra aleatoria al azar de 100 cojinetes elegidos entre este grupo tenga un peso total de mas de 5.10.

Planteamiento

N =500

=5.02

= 0.30

n=100

P( X > 5.10)

Formula

Z = X M T . (N-n

( n N-1

Sustitucin

Z = 5.10-5.02

0.30 . (500-100 = 2.96 ( 100 500-1

Conclusion

1.00000

-0.99846

0.00154

Tabla

z 0.07

-1.4 0.0708

Grafica

5.02 5.103.- Si se extrae una muestra al azar de tamao n, con reposicin, de una poblacin con una media y una variancia, entonces las observaciones de la muestral son variables aleatorias independientes e idnticamente distribuidas.

En esta derivacin hemos empleado el teorema de que la variancia de una constante multiplicado por una variable es igual al cuadrado de la constante multiplicado por la variancia de la variable.

El error estndar de la media, que mide la variabilidad casual en medias de la muestra, es

(x = (x/(n

Poblacin Infinita

(x = (x/(n (N-n/N-1 Poblacin Finita

Anlisis Estadstico

Ya Lun Chou

Planteamiento

Formula

x = 496

z = x - ((x = 20

(x

n = 100

N = 100000

P(x < 496)

SustitucinP(x < 496) = 496 500 = - 0.2

20

Tabla

z 0.00

-0.2 0.4207

Grfica

0.4207

Conclusin

La probabilidad es 42 %

DISTRIBUCIN MUESTRAL PARA DOS MEDIASDefiniciones

1.- En situaciones prcticas, a menudo se tiene inters en la diferencia entre dos medias poblacionales. Para hacer inferencias respecto a esta diferencia a partir de los datos muestrales, es necesario conocer las propiedades de la distribucin muestral de la diferencia entre dos medias muestrales, X1 - X2.

En la prctica, no se intentara construir en realidad la distribucin muestral de la diferencia entre dos medias. Se puede, sin embargo, conceptuar con facilidad su construccin cuando las dos poblaciones de inters son finitas. Primero se seleccionan de la poblacin 1, sin reemplazo, todas las muestras aleatorias simples posibles de tamao nI y se calcula la media para cada muestra. Hay N1Cn de tales muestras, donde N1 es el tamao de la poblacin 1 y n1 es el tamao de la muestra extrada de la poblacin 1.

Formula

z = (x1 x2) ((1 - (2)

((12/n1 + (22/n2


Daniel TerrellPlanteamiento

FormulaCompaa A

Compaa B

z = (x1 x2) ((1 - (2)n = 20

n = 25

((12/n1 + (22/n2( = 505 ( = 475

(2 = 10

(2 = 7

Sustitucin

Obtener z1z1 = (25) (505 - 475) = - 1.89

(102/20 + 72/25

Obtener z2z2 = (35) (505 - 475) = 1.89

(102/20 + 72/25

Tabla 1

Tabla 2

z 0.09 z 0.09

-1.80.0294

1.8 0.9706

Grfica

-1.89 0 1.89

Conclusin

P(-1.89 ( z ( 1.89) = P(z ( 1.89) P(z ( -1.89)

P(-1.89 ( z ( 1.89) = 0.9706 0.0294 = 0.9412

2.- En muchos campos de la investigacin cientfica a menudo deseamos comparar las medias de dos variables aleatorias, tales como el efecto de dos condiciones, tratamientos o mtodos de produccin. Nuevamente, la comparacin puede hacerse sobre la base de dos muestras al azar independientes: una con tamao n1 extrada de una poblacin con media (1 otra con tamao n2 extrada de la otra poblacin con media (2. (Hay muestras "dependientes" o "emparejadas", cuya diferencia no puede ser analizada por los mtodos siguientes.) Ahora, si Xl y X2 son las dos medias de la muestra, podemos evaluar la diferencia posible entre (1 y (2, (( = (1 - (2, por la diferencia de las medias de las muestras, (x = Xl - X2 Por ello, el problema en este caso es determinar las propiedades de la distribucin de (x por muestreo.

Sean (1 y (12, y (2 (22, las dos poblaciones progenitoras; entonces, es fcil ver que el valor esperado de (x debe ser

E((x) = (( = (1 - (2

El error estndar de (x es

((x = ((12/n1 + (22/n2Sabemos que la media de la muestra est normalmente distribuida cuando el tamao de la muestra es infinito Hay razn para creer, pues, que su diferencia, (x, tambin debe estar normalmente distribuida cuando nI y n2 se aproximan al infinito. As, para valores suficientemente grandes de nI y n2, la funcin de distribucin acumulativa de (x puede expresarse como P((x ( (x0) = N ((x0 - (()/((xAnlisis Estadstico

Ya - Lun Chou

Tubos de acero producidos por cierto proceso tienen un dimetro medio de cinco pulgs y una desviacin estndar de 0.1 pulg; cul es la probabilidad de que dos lotes, de 25 tubos cada uno, difieran en dimetro medio en: 1) 0.01 pulg o ms?

Supongamos que cada lote es una muestra al azar de este proceso, y que las muestras son independientes; entonces, la distribucin de (x tiene

Sustitucin

FormulaE((x) = (( = 5 5 = 0 E((x) = (( = (1 - (2

((x = (0.12/25 + 0.12/25 ((x = ((12/n1 + (22/n2((x = 0.0283Conclusion

P((x ( 0.01) = 2N (-0.01/0.0283)

P((x ( 0.01) = 2N (-0.35) = 0.7264

3.-Si muestras independientes de tamaos n1 y n2 se toman al azar de dos poblaciones, discretas o continuas, con medias (1 y (2 y variancias (12 y (22 respectivamente, entonces la distribucin muestral de las diferencias de las medias x1 x2 es aproximadamente normal, con media y variancia dadas por

(x1-x2 = (1 - (2

y(2x1-x2 = (12 /n1 + (22 / n2

En consecuencia,

z = (x1 x2) ((1 - (2) ((12 /n1 + (22 / n2Si n 1 y n 2 son mayores o iguales a 30, la aproximacin para la distribucin de X1- X2 es muy aceptable, sin importar la forma de las dos poblaciones. No obstante, aun cuando n1 y n2 son menores que 30, la aproximacin normal es razonablemente buena, excepto cuando las poblaciones son con seguridad no normales. Desde luego, si ambas poblaciones son normales, entonces X1 - X2 tiene una distribucin normal sin que importe si los tamaos son de n1 y n2.

Probabilidad y Estadstica para Ingenieros

Walpole Myers

Se toma al azar una muestra de tamao n1 = 5 de una poblacin que est distribuida normalmente, con media (1 = 50 y variancia (12 = 9, y se registra la media de la muestra x1. Se selecciona una segunda muestra aleatoria de tamao n2 = 4, independiente de la primera muestra, de una poblacin diferente que tambin est distribuida, en forma normal con media (2 = 40 y variancia (22 = 4, y se registra la media de la muestra x2 Obtenga P(X1 - X2 < 8.2)

Planteamiento

Formula

n1 = 5

n2 = 4

z = (x1 x2) ((1 - (2)(12 = 9

(12 = 4

((12 /n1 + (22 / n2(1 = 50

(2 = 40

Sustitucin

z = (8.2) (50 - 40) = -1.08

(9 /5 + 4 / 4

Tabla

z0.08

-1.0 0.1401

Grfica

0.1401 10

DISTRIBUCIN MUESTRAL PARA UNA PROPORCINDefiniciones

1.- Una distribucin de este tipo indica cun probable es un conjunto particular de proporciones muestrales, dados el tamao de la muestra y la proporcin de la poblacin. Cuando el tamao de la muestra es 20 menos, las probabilidades para los diferentes resultados posibles se pueden obtener directamente de una tabla de probabilidades binomiales simplemente convirtiendo el nmero de xitos a porcentajes. Por ejemplo, tres ocurrencias en 10 observaciones sera el 30%, en tanto que 5 ocurrencias en 20 observaciones sera el 25%. Para tamaos muestrales mayores la aproximacin normal a la binomial producir valores bastante aceptables.

La media (proporcin promedio o porcentaje) de la distribucin de muestreo siempre es igual a la proporcin de la poblacin. Es decir

p=p

en donde p proporcin de la poblacin

p media de la distribucin de muestreo de proporciones

Cuando la poblacin es muy grande o infinita, la desviacin estndar de la distribucin de muestreo se calcula utilizando la frmula

(p = (p (1-p)/n


William J. Stevenson

Un detallista compra vasos de cristal en grandes cantidades directamente de la fbrica. Tales vasos son envueltos uno por uno. Algunas veces, el detallista inspecciona las remesas para determinar la proporcin de vasos rotos o defectuosos. Si un gran cargamento contiene el 10% de vasos rotos o defectuosos, cul es la probabilidad de que el detallista obtenga una muestra aleatoria de 100 vasos que presenta el 17% o ms de defectuosos?

Formula

(p = (p (1-p)/n

Sustitucin

(p = ((0.10)(1-0.10)/100

(p = 0.03

Ahora esto se puede usar para determinar la variacin relativa

17% - 10% = +7% = 2.33(p = z

3% 3%

Tabla z 0.03

2.3 0.0099 Grfica

10% 17%

2.- Se define una proporcin de poblacin como ( = n/N, donde k es el nmero de elementos que poseen cierto rasgo y N es el nmero total de unidades de la poblacin. Se define una proporcin de muestra como p = x/n, donde x es el nmero de unidades de la muestra que poseen cierto rasgo y n es el tamao de la muestra. (Esto es un importante cambio de notacin. Lo que sola ser P se llama ahora (, y P tiene ahora un significado muy diferente.) As, una proporcin de muestra puede considerarse como una proporcin de xitos y se obtiene dividiendo el nmero de xitos por el tamao de la muestra, n. Debido a esto, vemos que si se obtiene una muestra al azar de n, con reposicin, la distribucin por muestreo de p obedece la ley de probabilidad binomial, y podemos escribir su funcin de probabilidad acumulativa con nuestros nuevos smbolos, as:

P(p ( p0) = (x=0 pon n (x (1 - () n-x x

Si el lmite superior de suma en, pon, no es un entero, redondese hacia abajo (ignrese la parte fraccionaria). El valor esperado y la variancia de la distribucin de p, obtenida dividiendo las medidas correspondientes del nmero de xitos por n o n2, son, respectivamente,

E(p) = n( = ( n

V(p) = n( (1 - () = ( (1 - () n2 n

El error estndar de p, designado por (p, que mide las variaciones casuales de proporciones de muestra de una muestra a otra, es

(p = (( (1 - ()/n

Poblacin infinita

(p = (( (1 - ()/n (N-n / N-1

Poblacin finita

Anlisis Estadstico

Ya Lun Chou

Una remesa de tubos electrnicos, 30 por cien son defectuosos. Si se extrae una muestra al azar de 500, con reposicin de esta poblacin Qu debemos hacer para evaluar la distribucin de la proporcin de tubos defectuosos?

Formula

(p = (( (1 - ()/n

Sustitucin

E(p) = ( = 0.3

(p = (0.3(1 0.3)/500 = 0.0205

3.- A menudo se desea saber la distribucin muestral de estadsticos que surgen de datos que consisten en conteos. Un ejemplo de un estadstico as es la proporcin muestral, la cual es un caso especial de la media muestral. Supngase que se sabe que en alguna poblacin la proporcin de elementos con una caracterstica particular es p. Se hace referencia a una poblacin as como una poblacin dicotmica debido a que cada sujeto u objeto en la poblacin tiene (X = 1) o no tiene (X = O) la caracterstica de inters. Se pueden usar grficas para representar poblaciones dicotmicas. A menudo se tiene inters en hallar la probabilidad de observar en una muestra de tamao n de esta poblacin una proporcin de elementos con la caracterstica de inters tan extrema o ms extrema que algn valor po especificado. Para hacer esto, es necesario conocer las propiedades de la distribucin muestral de la proporcin muestral p. Este problema se relaciona con los problemas que se solucionaron por medio de la distribucin binomial. Aquellos problemas que implicaban la determinacin de la probabilidad de observar un cierto nmero de elementos con alguna caracterstica en una muestra de tamao n de una poblacin en la que una proporcin p de los elementos tena esa caracterstica. Aqu se tiene inters en la proporcin, ms que en el nmero, que tiene la caracterstica de inters.

Los dos problemas estn relacionados, en vista de que la proporcin muestral es igual al nmero en la muestra que tiene la caracterstica dividido entre el tamao de la muestra.

Formula

z = p p

Poblacin Infinita

(p(1-p)/n

z = p - p (N-n / N-1 Poblacin Finita

(p(1-p)/n


Daniel TerrellLa Finaly Iron Works, fabricante de clavos, ha encontrado que el 3% de los clavos producidos estn defectuosos. Supngase que se examina una muestra aleatoria de 300 calvos. Cul es la probabilidad de que la proporcin defectuosa este entre 0.02 y 0.035?

Planteamiento

P(0.02 ( z ( 0.035)

Formula

z = p p

(p(1-p)/n

Sustitucin

Obtener z1

Obtener z2

z = 0.02 0.03

z = 0.035 0.03

(0.03(1-0.03)/300

(0.03(1-0.03)/300

z = -1.02

z = 0.51

Tabla1

Tabla 2 z 0.02

z 0.01

-1.0 0.5411

0.5 0.6950

Grfica

-1.02 0 0.51

Conclusin

P(-1.02 ( z ( 0.51) = P(z ( 0.51) P(z ( -1.02)

P(-1.02 ( z ( 0.51) = 0.6950 0.1539

P(-1.02 ( z ( 0.51) = 0.5411

DISTRIBUCIN MUESTRAL PARA DOS PROPORCIONESDefiniciones

1.-Cuando dos muestras al azar extradas de dos poblaciones binomiales son comparadas, una debe trabajar solo con la proporcin de xitos, no con el numero de xitos, a menos que ambas muestras sean del mismo tamao. Por ejemplo, durante unas elecciones presidenciales, se toma una muestra de 100 electores de un estado y se encuentra que 40 estn en favor del candidato A, otra muestra de 150 electores es tomada de un segundo estado y se encuentra que 50 estn en favor del candidato A. Claramente, estos dos conjuntos de cifras no pueden ser evaluados, a menos que sean reducidos a proporciones. Especficamente, lo que necesitamos aqu es un modelo de probabilidades para la diferencia de dos proporciones.

Se extraen dos muestras al azar independientes. (Hay muestras "dependientes" o "emparejadas". cuya diferencia no puede ser analizada por los mtodos que se exponen a continuacin.) La primera muestra es de tamao n1 de una poblacin binomial con ( y la segunda es de tamao n2 de una poblacin binomial con (2. Entonces, la diferencia de las dos proporciones de muestras, (p = p1 p2, es tambin una estadstica de muestra cuya distribucin de probabilidades tiene como su valor esperado

E((p)= (( = (1 - (2Y como error estndar; ((p = (((1 - ()/n1 + ((1 - (2)/n2

Anlisis Estadstico

Ya Lun ChouSe cree que 10 por 100 de las bateras producidas por la compaa A son defectuosas, y que 5 por 100 de las producidas por la compaa B son defectuosas. Una muestra al azar de 250 unidades es tomada de la lnea de produccin de la compaa A y se encuentra que 20 son defectuosas; una muestra al azar de 300 unidades es tomada de la lnea de produccin de la compaa B y se encuentra que 18 son defectuosas. Cul es la probabilidad de obtener esta diferencia o una menor en proporciones de muestra si la creencia acerca de los parmetros de poblacin es correcta? (Obsrvese que "esta diferencia o una menor se refiere a ciertos valores positivos de (p, un valor cero y todos los valores negativos.)

Sustitucin

((p = (0.1(1 0.1)/250 + 0.05(1 0.05)/300 = 0.0228

P((p ( 0.02) = N ( 0.02 0.05)/0.0225

P((p ( 0.02) = N(-1.32)

Formula

((p = (((1 - ()/n1 + ((1 - (2)/n2Tabla z 0.02

-1.3 0.0934

Grfica

0.0934 0

Conclusin

P((p ( 0.02) = 0.0934

2.- A menudo hay dos proporciones poblacionales de inters y se desea determinar la probabilidad asociada con una diferencia observada entre dos proporciones muestrales, donde se extrae una muestra independiente de cada una de las dos poblaciones. La distribucin muestral relevante es la distribucin muestral de la diferencia entre dos proporciones muestrales. Se puede describir como sigue.

Supngase que muestras aleatorias independientes de tamao n1 y n2 son extradas de dos poblaciones, donde las proporciones de las observaciones con la caracterstica de inters en las dos poblaciones son p1 y p2, respectivamente. Cuando n1 y n2 son grandes, la distribucin de la diferencia entre proporciones muestrales p1 - p2 es aproximadamente normal, con media

(p1-p2 = p1 p2 y varianza (2p1-p2 = p1(1 p1) + p2(1 p2) n1 n2

Se consideran n1 y n2 suficientemente grandes cuando n1p1, n2p2, n1(1-p1) y n2(1 p2) son todos mayores que 5.

Para responder preguntas de probabilidad respecto a la diferencia entre dos proporciones muestrales, se transforman los valores de p1-p2 a valores de la distribucin normal estndar usando la siguiente frmula:

Z= (p1 p2) (p1 p2) (p1(1 p1)/n1 + p2(1 p2)/n2Para construir la distribucin muestral de la diferencia entre dos proporciones para poblaciones finitas, se sigue el mismo procedimiento usado para la construccin de la distribucin muestral de la diferencia entre dos medias muestrales.


Daniel Terrell

Se afirma que el 30% de los hogares en la Comunidad A y el20% de los hogares en la comunidad B tiene al menos un adolescente. Una muestra aleatoria simple de 100 hogares de cada comunidad produce los siguientes resultados: pA = 0.34, pB = 0.13. Cul es la probabilidad de observar una diferencia de esa magnitud o mas grande si las afirmaciones son ciertas?

FormulaZ= (p1 p2) (p1 p2) (p1(1 p1)/n1 + p2(1 p2)/n2Sustitucin

(Pa-pB = 0.3 0.2 = 0.1

(2pA Pb = (0.3)(0.7) + (0.2)(0.8) = 0.0037

100 100

p A p B = 0.34 0.13 = 0.21

z = 0.21 - 0.10 = 0.11 = 1.83

(0.0037 0.06

TablaZ 0.03

1.8 0.0336

Grfica

0 1.83

3.-Las medias (proporciones promedio o porcentaje) de la distribucin de muestreo siempre es igual a las proporciones de la poblacin. Es decir p 1=p1 en donde p es la proporcin de la poblacin y p1 es la media 1de la distribucin de muestreo de la proporcin y p2 = p2

Probabilidad y Estadstica para Ingeniera

Ronald E. Walpole, Raymond H Myers

DISTRIBUCIN MUESTRAL PARA UNA MEDIA

Definiciones

1.- La distribucin de probabilidad de un estadstico recibe el nombre de distribucin muestral. La distribucin de probabilidad de X se llama distribucin muestral de la media.


Ronald E. Walpole, Raymond H Myers2.- Si una muestra aleatoria de tamao n se elige de una poblacin con media ( y una varianza ( 2 , entonces x es un valor de una varianza aleatoria cuya distribucin tiene muestra (.


Irwin Miller, John E. Freund

3.- Algunos problemas de decisin en los negocios requieren a menudo de la estimacin de la media ( de una poblacin. La Estimacin de la ( resulta una importante aplicacin prctica de la inferencia estadstica.


Mendenhall / Reinmuth

DISTRIBUCIN MUESTRAL PARA DOS MEDIASDefiniciones1.- Si se sacan al azar muestras independientes de tamao n1 y n2 de dos poblaciones discretas o continuas, con medias (1 y (2 y variancias (1 2 y (2 2 respectivamente , entonces la distribucin muestral de la diferencia de medias , X1 - X2 est distribuida en la forma normal con media.



2.- Una muestra de tamao n se elige al azar de una poblacin entonces X es un valor de la variable aleatoria cuya distribucin tiene media (X1 y (X1- X2 = X



3.- Una distribucin de muestreo de medias es de tipo probabilstico e indican cun probables son diversas medias de la muestra. La distribucin es una funcin de la media, de la desviacin estndar de la poblacin y del tamao de la muestra.



DISTRIBUCIN MUESTRAL PARA UNA PROPORCINDefiniciones

1.- Un estimador puntual de la proporcin p en un experimento binomial est dado por el estadstico P = x / n donde x representa los xitos y n los intentos. Por lo tanto la proporcin muestral p = x / n se utiliza como la estimacin puntual del parmetro.


Daniel Terrell2.- Una distribucin de este tipo indica cun probable es un conjunto particular de proporciones muestrales , dados el tamao de la muestra y la proporcin de la poblacin.



3.-La media (proporcin promedio o porcentaje) de la distribucin de muestreo siempre es igual a la proporcin de la poblacin. Es decir p (testada) =p en donde p es la proporcin de la poblacin y p testada es la media de la distribucin de muestreo de la proporcin)

Probabilidad y Estadstica para Ingeniera,


DISTRIBUCIN MUESTRAL PARA DOS PROPORCIONESDefiniciones

1.- La distribucin de este tipo indica cun probable es un conjunto particular de 2 proporciones muestrales , dados el tamao de la muestra y la proporcin de la poblacin, tomadas de p1 y p2.


Mendenhall / Reinmuth2.- Un estimador puntual de la proporcin p en un experimento binomial est dado por el estadstico P = x / n donde x representa los xitos y n los intentos. Por lo tanto las proporciones muestrales p1 = x / n1 y p2 = x / n2 se utiliza como la estimacin puntual del parmetro.



3.-Las medias (proporciones promedio o porcentaje) de la distribucin de muestreo siempre es igual a las proporcines de la poblacin. Es decir p 1=p1 en donde p es la proporcin de la poblacin y p1 es la media 1de la distribucin de muestreo de la proporcin y p2 = p2



trabajo final de probabilidad y estadistica (distribucion muestral)

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