8_teorema del muestreo y la transformada discreta de fourier

7/23/2019 8_teorema Del Muestreo y La Transformada Discreta de Fourier

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Dic-05 2004-06 Jorge A. Cruz Emeric 1

Jorge A. Cruz Emeric, Ph.D.Jorge A. Cruz Emeric, Ph.D.Jorge A. Cruz Emeric, Ph.D.

I N EL 4 3 0 1 I N EL 4 3 0 1 I N EL 4 3 0 1 Teora de

Comunicaciones

Teora de

Comunicaciones0011 0010 1010 1101 0001 0100 10110011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

888 Teorema del muestreo y latransformada discreta deFourier

Teorema del muestreo y laTeorema del muestreo y latransformada discreta detransformada discreta deFourierFourier


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Dic-05 2004-06 Jorge A. Cruz Emeric

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Agenda para hoyAgenda para hoy

Evaluar las condiciones necesarias para:

convertir una seal analgica a una seal digital(tiempo discreto) consistente de un conjunto de

muestras.

tomando las muestras, reconstruir la seal

analgica original.

Teorema del muestreo define estascondiciones.

Transformada de Fourier discreta


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Muestreo de seMuestreo de sealesales


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Muestreo de seales

Proceso fundamental en la conversin de sealesanalgicas (tiempo continuo, amplitud continua) a seales

digitales (tiempo discreto, amplitud discreta)

x(t)

MuestreadorMuestreadorCuantifi-

cador

Cuantifi-

cador CodificadorCodificador

xd(n)xn(nT)

Seal

analgica

Seal

analgica Seal con amplitud

continua, tiempo discreto

Seal con amplitud

continua, tiempo discretoSeal digitalSeal digital

Seal con amplituddiscreta, tiempo discreto

Seal con amplitud

discreta, tiempo discreto


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Asuntos crticos

Cun bienxd(n)representa la informacin

contenida enx(t)? Es posible reconstruir a

x(t) a partir de su

representacin digitalxd(n)?

Cules son losrequisitos para podercumplir con lo anterior?

x

(t)

t0


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Interpolacin

Proceso fundamental en la conversin de seales

digitalizadas de regreso a su forma analgica

x(nT) x (t)?

MuestrasMuestrasSeal

analgica

original

Seal

analgica

original

x(nT)

t0

x (t)

t0

InterpoladorInterpolador


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Teorema del muestreoTeorema del muestreo


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Teorema del muestreo de Nyquist

Una sealx(t) puede ser representadapor una cadena (sequence) demuestras instantneas {x(nT)}

si se cumplen las siguientescondiciones:

x(t) es seal pasa bajaX(f) = 0 para todof>B Hz

Las muestras {x(nT)} se toman a una

razn de 1/Tmuestras por segundodonde T >1/(2B).

Si se cumple lo anterior,x(t) se puederecuperar a partir de {x(nT)} pasando

a esta ltima por un filtro pasa bajaideal con ancho de bandaB.

|X(f)|

f0 B-B

x (t)

t0

{x(nT)}{x(nT)}

T

LPFLPF Kx(t)

x(nT)x(t)1/T

constanteconstante


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Demostracin

La seal muestreada instantneamente puede escribirsecomo:

==

n

nTtnTxtx )()()(

que podemos reescribir como

=

=n

nTttxtx )()()(

Su transformada de Fourier es:

=

=n

nTttxfX )()()(

x (t)

t0

(t-nT)

t0x

(t)

t0


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Demostracin

=

=

n T

nfX

TfX 1)(

que podemos reescribir como

Utilizando el teorema de multiplicacin:

=

=nnTttxfX )()()(

=

=nnTtfX )()(

=

=n T

nf

TfXfX

1)()(

Luego de evaluar la convolucin queda

=

=

n T

nffX

T)(

1


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Demostracin

( )

=

=n

ss nffXffX )(

Ahora podemos reescribir aXd(f) como

Como Tes la separacin entre muestras en eltiempo, definafs como la frecuencia demuestreo (sampling frequency) T

fs1

=

El espectro deXd(f) es similar a esto

|X

(f)|

f0 fs 2fs

|X(f)|

f0

B

B-B

fs-B f

s+B

2fs-B 2f

s+B

... ...


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Demostracin

Si ahora se pasa la seal por un filtro pasa baja conB 2B

Existencia de filtros ideales.

fcfc

Propiedad del filtroPropiedad del filtro

Propiedad delmuestreador

Propiedad delmuestreador


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Interpolacin en el tiempo

Aunque lareconstruccin se

demostr en eldominio de frecuencia,tambin es posibledemostrarla en eldominio del tiempo.

LPFLPF y(t)

x(t)

h(t) )2(sinc2)( BtBth

( )

=

=n

nTthnTxty )()(

=

=n

nTtnTxtx )()()(

=

=n

nTtBnTxBty )](2sinc[)(2)(

=

Esto se conoce como lafuncin de interpolacin

Esto se conoce como la

funcin de interpolacin


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Impacto del submuestreoImpacto del submuestreo

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Impacto del submuestreo

Qu ocurre si la frecuencia de muestreo es muy baja?

No cumple con fs> 2B

|X

(f)|

f0

BBfs-Bfs-B

fs 2fs

La seal a la salida del filtro incluye ax(t) y a otroscomponentes de frecuencia dex(t) ubicados a frecuenciasincorrectas.

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Fenmeno de alias o solape

Aliasing -- hacerse llamar por otronombre

Causa: ocurre cuandofs est por debajo de

la frecuencia de Nyquist (2B).

Manifestacin:

componentes de frecuencia porencima defs/2 se hacen pasar porcomponentes de frecuencia pordebajo defs/2.

Crea una nueva modalidad dedistorsin. versin reconstruida contiene

frecuencias que no estuvieronpresentes en la seal reconstruida.

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Ejemplo 1: Efecto de submuestreoEjemplo 1: Efecto de submuestreo

Suponga que la frecuencia de muestreo es 10 KHz y que la seal x(t)consiste de dos sinusoides, uno a 2 KHz y el otro a 6KHz

|X(f)|

f(KHz)0

144

fsdebi ser >12 KHzfsdebi ser >12 KHz

2 6

|X

(f)|

f(KHz)fs 2fs

10 20

12 16 22 262 6

4 244

8 18

El espectro de la seal muestreada es:

6

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Ejemplo 1: Efecto de submuestreoEjemplo 1: Efecto de submuestreo

Ahora suponga que desea recuperar el mensaje original pasando ax(t)por un filtro pasa bajo que corta a 6 KHz

La salida es:|X

(f)|

f(KHz)fs 2fs2 6

4

AliasAlias

14

4

0

|X

(f)|

f(KHz)

fs 2fs10 20

12 16 22 262 64

24

4

8 18

La salida tiene tres componentesde frecuencia (2, 4 y 6 KHz), la

entrada solamente dos (2 y 6KHz).

La salida tiene tres componentes

de frecuencia (2, 4 y 6 KHz), la

entrada solamente dos (2 y 6KHz).

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Comentario

El submuestreo provocaque un componente con

frecuencia alta se hagapasar por otro con unafrecuencia menor.

Note que una vez ocurre,no existe forma deerradicarlo.

Otra forma de verlo es que

las muestras describenmejor a un sinusoide defrecuencia menor.

t

Alias

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Impacto de filtros prImpacto de filtros prcticoscticos

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La seal a la salida del filtro pasa bajos incluye acomponentes de frecuencia mayor.

El efecto es similar al de alias excepto que ahora

frecuencias altas se hacen pasar como mayores y quedanen orden invertido. NO llame ALIAS a esto

Impacto de filtros prcticos

Sifs= 2B

BB

|X

(f)|

f0 fs 2fs

H(f)H(f)

Banda de

transicin del filtro

Banda detransicin del filtro

fs=2Bfs=2B

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Impacto de filtros prcticos

Si hace quefs> 2B

|X

(f)|

f0 fsBB fs-B

fs-B2fs

La seal a la salida del filtro pasa bajo ya NO incluye acomponentes de frecuencia mayor.

Esto obliga a muestrear a frecuencias mayores a las

requeridas por Nyquist. Sobremuestreo (over sampling)

H(f)H(f)

Banda de

transicin del filtro

Banda detransicin del filtro

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Ejemplos prcticos

Conociendo que los filtros ideales no existen, ensituaciones prcticas se hace sobre muestreo.

Telfono:Audio hasta 3.3 KHz

fs = 8 KHz, muestras codificadas como 8 bits.

CD-DA (Compact Disk - Digital Audio)Audio hasta 20 KHz

fs = 44.1 KHz, muestras codificadas como 16 bits.

DAT (Digital Audio Tape)Audio hasta 20 KHz

fs = 48 KHz, muestras codificadas como 16 bits.

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Muestreo prMuestreo prcticoctico

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Conversin analgico a digital

Generalmente asociamos muestreo con conversin deanalgico a digital (A/D).

Conversin A/D requiere pasos adicionales al muestreo.

x(t) Cuantifi-

cador

Cuantifi-


xd(n)x (nT)

Seal digitalSeal digital

MuestreadorMuestreador

fs

Seal

analgica

Seal

analgica Aproximar a

una amplitud

discreta

Aproximar a

una amplitud

discreta

Seal

analgica

muestreada

Seal

analgica

muestreada

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Aspectos prcticos del muestreo de


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Aspectos prcticos del muestreo de

seales analgicas

Los impulsos no existen.

Lo que podemos hacer es conmutar la seal a la razn que

dicte la frecuencia de muestreo. (Muestreo natural)

x(t) Cuantifi-

cador

Cuantifi-


xd(n)xn(nT)

Seal

analgica

conmutada

Seal

analgica

conmutada

Seal digitalSeal digital

MuestreadorMuestreador

fs

Seal

analgica

Seal

analgica

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Cul es la diferencia?

La forma de onda esdiferente.

La ecuacin quedescribe a lasmuestras esdiferente.

El filtro pasa bajostambin es diferente.

Este tema lo veremoscuando estudiemos

modulacin de pulsosms adelante en elcurso.

x

(t)

t

x

(t)

t0

muestra existe sobre unaventana de tiempo

muestra existe sobre una

ventana de tiempo

muestra existe solo en un

instante de tiempo

muestra existe solo en un

instante de tiempomuestreo impulsivomuestreo impulsivo

muestreo naturalmuestreo natural

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InterpoladorInterpolador

Interpolacin se hace con filtros

Debe recordar que no existen filtros ideales. El proceso de reconstruccin no puede ser perfecto.

Siempre habr algo de error.

x(nT) x (t)

MuestrasMuestrasSeal

analgica

original

Seal

analgica

original

x

(t)

t0

x(t)

t0

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Desarrollo de la transformada deDesarrollo de la transformada de

Fourier discretaFourier discreta

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Motivacin

Si es posible hacer quex(t) est

representada adecuadamente porx(n)...

Se podr muestrear aX(f) y representarlo

adecuadamente por sus muestras?

De ser posible, esto significa que existeuna versin discreta de la transformada de

Fourier.

Provee una forma alterna de calcular aX(f) sinevaluar integrales o integrar numricamente.

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Modelo conceptual

El proceso sera como se muestra abajo.

La aproximacin consiste en calcular los valores deX(f) de

manera muestreada, evaluada a intervalos uniformes defrecuencia.

x(t)MuestreadorMuestreador

Algoritmo

de DFT

Algoritmo

de DFT

Xk(n)xn(nT)

Seal

analgica

Seal

analgica Seal

analgica

muestreada

Seal

analgica

muestreada

DFTDFT

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011Definicin de la Transformada de


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Definicin de la Transformada de

Fourier Discreta

Si {xn(n)} representa unconjunto deNmuestras

tomadas ax(t) espaciadascada Tsegundos

entonces definimos DFTcomo:

x(t)

t0 N-1

(N-1)T

n

{x(n)}

...

=

=1

0

/2)()(N

n

Nnkj

k enxkX

=

=1

0

/2)(1

)(N

k

Nnkj

kn ekXN

nx

La DFT inversa se define como:

1,...,2,1,0 = Nk

1,...,2,1,0 = Nn

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Espectro calculado bajo DFT

Note queXk(f) es elespectro de la seal

muestreada. Va a tener las mismascaractersticas deperiodicidad queencontramos previamente

bajo el teorema demuestreo.

x(t)

t0

{x(n)}

N-1

(N-1)T

n

...

=

=1

0

/2)()(N

n

Nnkj

k enxkX

|X

(k)|

fk0 fsB fs-B fs+B

...

(N-1)/NT(N-1)/NT1/NT1/NTEspectro tiene simetra para

la mitad de las muestras

Espectro tiene simetra para

la mitad de las muestras

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

F t d


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Fuentes de error

Observe que a menos que{x(n)} contenga la totalidad

de las muestras, el cmputode la DFT se est haciendocon informacin incompletasobrex(t).

Entonces en el mejor de loscasos

NT

kfk

fXkX=

)()(

Pero esto no es prctico habra que observar la

totalidad de la existencia dela seal

significa procesar unacantidad infinita de datos

Acepte que es unaaproximacin y entienda

las consecuencias delerror.

Qu se puede hacer?

El error se reduce siN

0011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

F i


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Frecuencias

La DFT solo puedeproducirle frecuencias

menores de 1/(2NT) Esto es consistente con el

Teorema de Nyquist.

Tambin debe notar que lasfrecuencias que aparecensolo pueden ser mltiplos de1/NT.

Six(t) contiene componentesde frecuencia concentradosentre las muestras deX(k),DFT no los puede mostrar.

Ejemplo: Tome una seal peridica y

tmele muestras que nocoincidan con un nmero

entero del periodo. Va a notar que una o ms

las frecuencias no aparecenen la DFT ya que nocoinciden con las muestras.

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E DFT


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Error en DFT

Note que el error en el espectro est en tratar de inferir quela DFT es idntica a la FT.

Esto es, asumir queXk(k) =X(f) cuandof=k/NT La DFT y la DFT-1 forman una pareja de transformadas

Esto es, xn(n)Xk(k) sin error.

El problema surge de quexn(n) =x(nT)(n/N)

donde (n/N) representa la ventana de tiempo (intervalo detiempo) sobre el cual se capturaron las muestras.

As que en realidadXk(k) =X(k/NT)*{(n/N)}

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FFT DFT


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FFT y DFT

FFT (Fast Fourier Transform) representa a un conjunto dealgoritmos que se han desarrollado para evaluar de

manera rpida y eficiente a

=

=1

0

/2)()(N

n

Nnkj

k enxkX

=

=1

0

/2)(1)(N

k

Nnkj

kn ekXN

nx

1,...,2,1,0 = Nk

1,...,2,1,0 = Nn

Paquetes matemticos como MATLAB incluyen laimplantacin de algoritmos para FFT por lo que usted nodebe tener que calcular la DFT por la ecuacin que ladefine.

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MATLAB FFT


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MATLAB FFT

Para calcular la FFT

utilizando MATLAB se

utiliza la instruccin:Y = fft(X)

donde

X: Nmuestras de{x(n)}

Y: Nmuestras de {Xk(k)}.

Note que la separacinentre muestras de

frecuencia es 1/NT.

0

{x(n)}

N-1

(N-1)T

n

...

|X

(k)|

f

k0 fsB fs-B fs+B...

(N-1)/NT(N-1)/NT

1/NT1/NT

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MATLAB y FFT


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MATLAB y FFT

Si necesita obtener otrasfrecuencias que no seanmltiplos de 1/NTentoncesdebe alargar la cadena paraefectos de FFT.

Esto es equivalente a rellenar

con ceros.Para hacer esto con MATLABdebe usar la instruccin

Y = fft(X,M)dondeMes el nuevo largo parala cadena dex(n)

Para buscar la DFTinversa utilice lainstruccin:

Y = fft(X)Y = fft(X,M)

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Ej l d d FFT

Ejemplo de uso de FFT


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Ejemplo de uso de FFTEjemplo de uso de FFT

En este ejemplo se analizar una cadena de datos

que est mezclada con ruido. El objetivo es

determinar si es posible reconocer qu seal es laque est inmersa en el ruido.

La seal consiste de dos sinusoides (50 y120 Hz)

muestreados a 1 KHz El ruido es una cadena de nmeros generados al azar con

amplitud mxima de 2.

Este ejemplo est basado en otro mostrado en el

manual del estudiante de MATLAB.

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Ej l d d FFT



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Solucin:

Primero debe generar la seal descrita

% Genere el vector de los valores de tiempot = 0: 0. 001: 0. 6

% Genere la seal

x = si n( 2*pi *50*t ) +si n( 2*pi *120*t ) ;% Aada el ruido a la sealy = x + 2*r andn( si ze( t ) ) ;

% Dibuje la grfica para ver como se vepl ot ( 1000*t ( 1: 50) , y( 1: 50) ) t i t l e( ' Si gnalCor r upt ed wi t h Zer o- Mean Random Noi se' )xl abel ( ' t i me ( mi l l i seconds) ' )

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Ej l d d FFT



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La grfica de la seal con ruido resultante es:

Estdifcil

precisar que hay

algo mas queruido

Estdifcil

precisar que hay

algo mas que

ruido

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Ejemplo de so de FFT



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% Ahora buscamos la FFT con 512 puntos

Y = f f t ( y, 512) ;

% El espectro de potencia esPyy = Y. * conj ( Y) / 512;

% Dibuje la grfica solo para la mitad de los puntos

% ya que el resto es redundante

% Genere la escala de frecuencias

f = 1000*( 0: 256) / 512;

pl ot ( f , Pyy( 1: 257) ) t i t l e( ' Fr equency cont ent of y' ) xl abel ( ' f r equency ( Hz) ' )

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La grfica del espectro es

Se puede

deber al

ruido o aerrores de

ventana

Se puede

deber al

ruido o a

errores de

ventana

Se pueden

ver las dos

frecuencias

originales

Se pueden

ver las dos

frecuenciasoriginales

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Importante


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Importante

DFT sirve para estimarla transformada de

Fourier continua Requiere que usted entienda las condiciones

sobre las cuales se calcula.

FT ve toda la seal. DFT solo puede ver unsegmento de la onda.

FFT no es otra transformada. FFT es un algoritmo para evaluar la DFT.

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Uso de DFT en este curso


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Uso de DFT en este curso

DFT es un caso especial de la transformada deFourier por lo que la primera retiene todas las

propiedades de la segunda. Utilizaremos la DFT como una forma rpida de

estimar numricamente el espectro de una seal.

En INEL 5307 Procesamiento Digital de Sealesse estudia en detalle el proceso de evaluacin dela DFT y FFT junto con tcnicas para reducir elerror de la aproximacin aX(f).

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Al completar estaAl completar esta leccileccinn


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Al completar estaAl completar esta leccileccinn

Usted debe ser capaz de:

Entender los requisitos que permiten el

muestreo de una seal y su reconstruccina partir de las muestras.

Entender las consecuencias del sub

muestreo de las seales. Reconocer los requisitos del filtro pasabajos en la reconstruccin de la sealoriginal.

Entender la utilidad y las limitaciones de latransformada de Fourier discreta (DFT).

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Para obtener mPara obtener ms informacis informacinn


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Para obtener mPara obtener ms informacis informacinn

Secciones 2.8 y 2.10 de Ziemer y Tranter

Pgina del curso:http://www.ece.uprm.edu/~jace

http://webct.uprm.edu

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http://www.ece.uprm.edu/~jacehttp://webct.uprm.edu/http://webct.uprm.edu/http://www.ece.uprm.edu/~jace


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2004-06 Derechos reservadosJorge A. Cruz Emeric

Universidad de Puerto Rico

Departamento de Ingeniera Elctrica y Computadoras

Mayagez, Puerto Rico 00681-9042

Prohibida la reproduccin sin el consentimiento del autor.

8_teorema del muestreo y la transformada discreta de fourier

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