Transformada Wavelet Diádica

por Leandro Di Persia

Introducción

• TWD representación multirresolución de una señal

• Objetivo Analizar lo que sucede en diferentes instantes Y en diferentes resoluciones A LA VEZ

• Para ello se realiza una discretizaciónparticular del TIEMPO y la ESCALA

Repaso• Transformada wavelet contínua:

• Compara con una base altamente redundante

• Fórmula de reconstrucción

( )*1,( , ) ( ), ( ) ( ) t u

u s ssWf u s f t t f t dtψ ψ

+∞−

−∞= = ∫

�

, 20

2

1( ) ( , ) ( )

( )

u s

dsf t Wf u s t du

C s

C d

ψ

ψ

ψ

ψ ωω

ω

−∞ ∞

−∞

∞

−∞

=

=

∫ ∫

∫

Transformada wavelet discreta• Se computa en valores discretos de la escala

donde K es el soporte de la wavelet• La fórmula se escribe como una convolución:

• Esta no es una representación completa de la señal, ya que se ha truncado en una escala máxima

[ ] 1, 2 j

j jj

n Nn a

a Kaψ ψ = ≤ ≤

[ ] [ ] [ ] [ ]1

* *

0

,N

jj j

m

Wf n a f m m n f n nψ ψ−

=

= − = ⊗ − ∑

TWD: función de escala• Para obtener una representación completa se

necesita la información de bajas frecuencias correspondientes a las escalas mayores

• Esto se logra mediante una función de escala

• A partir de esta se obtienen las componentes de bajas frecuencias como:

( )tφ

[ ]

[ ] [ ] [ ]1

* *

0

1

, [ ]

j jj

Nj

j jm

nn

aa

Lf n a f m m n f n n

φ φ

φ φ−

=

=

= − = ⊗ − ∑

TWD: reconstrucción

• Con la descomposición con la función wavelet y la función de escala, se obtiene una representación completa

• La formula de reconstrucción es:

[ ] [ ]

[ ]

1

1 0

1

0

log 1,

1,

J Nje

jjj m

Nj

jjm

af n Wf m a n m

C a

Lf m a n mC a

ψ

ψ

ψ

φ

−

= =

−

=

= −

+ −

∑ ∑

∑

Función Wavelet y de Escala

0 5 10 15

0

0.5

1

Scaling function phi

0 5 10 15

-1

-0.5

0

0.5

1Wavelet function psi

0 2 4 6 8 10 12 14

-0.5

0

0.5

Decomposition low -pass filter

0 2 4 6 8 10 12 14

-0.5

0

0.5

Reconstruction low -pass filter

0 2 4 6 8 10 12 14

-0.5

0

0.5

Decomposition high-pass filter

0 2 4 6 8 10 12 14

-0.5

0

0.5

Reconstruction high-pass filter

Transformada Wavelet Discreta

• Hasta aquí sólo se ha discretizado la escala• Esto genera altisima redundancia• Se suele tambien discretizar el dominio temporal• Para esto la wavelet se modifica como sigue:

• Esto genera un muestreo en intervalos

[ ] 0,

1 j

j k jj

n ka un

aaψ ψ −=

0ja u

Transformada wavelet discreta• Con esto se logra una representación menos

redundante• Desventaja: se pierde la Invarianza ante

desplazamientos temporales!!!• Esto quiere decir que la TWD calculada así

para una señal que haya sido desplazada dará valores DIFERENTES

• Para resolverlo se recurre a la TW diádica con a=2 y muestreo en el tiempo en intervalos de 2j

ANALISIS MULTIRRESOLUCIÓN

Análisis multirresolución• Una secuencia de subespacios es una

“aproximación multirresolución” si:{ }j jV

∈�

{ }

( )

1

1

2

, , ( ) ( 2 )

,

, ( )2

lim 0

lim

jj j

j j

j j

j jj

j

j jj

j

j k f t V f t k V

j V V

tj Z f t V f V

V V

V Clausura V L

+

+

∞

→+∞=−∞

∞

→−∞=−∞

∀ ∈ ∈ ⇔ − ∈

∀ ∈ ⊂

∀ ∈ ∈ ⇔ ∈

= =

= =

�

�

�

∩

∪

Análisis multirresolución• Además, existe una función tal que

es una base para

• Utilizando ésta se construye una base para cada :

θ

{ }( )n

t nθ∈

−� 0V

jV� ( )

� ( )� ( )

( )

22

,

2

1 2

22

k

j

j n jj

k

t nt

θ ωφ ω

θ ω π

φ φ

∞

=−∞

= +

−=

∑

( ){ }, es una base para j n jnt Vφ

∈⇒

�

Ej. de Aproximación multirresolución: • Compuesto por funciones constantes por

tramo

• V j es el conjunto de todas las g(t) en L2 que son constantes en el intervalo [n2j,(n+1)2j) con n entero

• La aproximación de f(t) en escala 2j

(resolución 2-j) es la función continua por trozos en intervalos 2j más cercana a ella.

Proyección en Vj• Usando la base calculada, la proyección de f en

V j se puede obtener como:

• Se define la aproximaciónen escala 2j como:

• Asociado con la función de escala se define un filtro conjugado espejocomo:

, ,,jV j n j n

n

P f f φ φ+∞

=−∞

= ∑

,[ ] ,j j na n f φ=

( )1[ ] ,

22

th n t nφ φ = −

Proyecciones en subespacios

• Como se vio, • Sea el complemento ortogonal de Vj tal que:

• Entonces se puede escribir:

• Para poder calcular esto se necesita calcular la proyección sobre el complemento ortogonal

• Y para esto, se necesita una BASE para Wj

1j jV V −⊂

1j j jV V W− = ⊕

1j j jV V WP f P f P f−

= +

Base para Wj• Dada una función wavelet cuya TF es:

con

• Se obtienen “atomos tiempo-escala” por escalado y desplazamiento:

• El conjunto es una BASE para Wj

� ( ) �1

2 22g

ω ωψ ω φ =

� � ( )*

2ig e hωω ω π− = +

( ),

1 2

22

j

j n jj

t ntψ ψ −=

{ },j n nψ

∈�

Filtro g• En forma similar a la función de escala, la

función wavelet tiene asociado un filtro conjugado espejo

• Sus coeficientes se pueden calcular a partir de los del h asociado a la función de escala

( )1[ ] ,

22

tg n t nψ ψ = −

( ) ( )1[ ] 1 1

ng n h n

−= − −

Proyección en Wj - Detalle

• Usando la base para Wj se puede escribir la proyección de una f como:

• Se define el detalleen la escala 2j como:

, ,,jW j n j n

n

P f f ψ ψ∞

=−∞

= ∑

,[ ] , j nd n f ψ=

Algoritmo para la TW diadica

• A partir de los filtros h y g se pueden verificar las siguientes ecuaciones:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

1

1

1 1

2

2

y para la reconstrucción

2 2

j jn

j jn

j j jn n

a p h n p a n

d p g n p a n

a p h p n a n g p n d n

∞

+=−∞

∞

+=−∞

∞ ∞

+ +=−∞ =−∞

= −

= −

= − + −

∑

∑

∑ ∑

Algoritmo para TW diádica

Cuadrícula tiempo-frecuencia

Tiempo

<−

−−

− F

recu

enci

a

Particion tiempo−frecuencia de DWT hasta escala 4

Ej.: Denoising

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1sin(2*pi*5*t)

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10

0.5

1rand(size(x))

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

0

1

2x+y

tiempo

Ej.: Denoising

50

100

150

200

250

Transformada Discreta, coeficientes absolutos.

j=lo

g2(s

) (s

=2j )

Tiempo100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

1

2

3

4

5

6

Ej.: Denoising

-1

-0.5

0

0.5

1

Umbralado con umbral 0.01 del maximo

j=lo

g2(s

) (s

=2j )

Tiempo0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1

2

3

4

5

6

Ej.: Denoising

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2z reconstruida

tiempo

Ej.: Denoising

-1

-0.5

0

0.5

1

Umbralado con umbral 0.03 del maximo

j=lo

g2(s

) (s

=2j )

Tiempo0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1

2

3

4

5

6

Ej.: Denoising

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5z reconstruida

tiempo

Ej.: Denoising

-1

-0.5

0

0.5

1

Umbralado con umbral 0.05 del maximo

j=lo

g2(s

) (s

=2j )

Tiempo0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1

2

3

4

5

6

Ej.: Denoising

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5z reconstruida

tiempo

Ej.: Denoising

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Umbralado con umbral 0.07 del maximo

j=lo

g2(s

) (s

=2j )

Tiempo0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

1

2

3

4

5

6

Ej.: Denoising

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2z reconstruida

tiempo

Ej.: Denoising

50

100

150

200

250

Transformada Discreta, coeficientes absolutos.

j=lo

g2(s

) (s

=2j )

Tiempo100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

1

2

3

4

5

6

Bibliografía

• Apunte de cátedra

• S. Mallat, A wavelet tour of signalprocessing, Academic Press, 1999, Cap. 7