transformada de fourier discreta (dft)

Transformada de Fourier Discreta (DFT)

Ingeniería Electrónica de Comunicaciones

Jesús Chacón Sombría

Departamento de Arquitectura de Computadores y Automática.Universidad Complutense de Madrid

Curso 2020-2021

Jesús Chacón Sombría (DACYA. UCM) Procesamiento de Señales Transformada Fourier Discreta 1 / 41

Esquema

1 Objetivos

2 Introducción

3 Definición de la Transformada de Fourier Discreta

4 Relación de la DTF con otras transformadas

5 Propiedades de la DFT

6 Sistemas LTI y Filtros Discretos

7 Cómputo eficiente

8 Señales con comportamiento en frecuencias variable


Objetivos del tema

Caracterizar matemáticamente:

El muestreo y reconstrucción en el dominio de la frecuencia, através de la Transformada de Fourier Discreta (DFT)La relación entre la DFT y las series y transformadas vistas entemas anteriores (transformada Z, Serie de Fourier,Transformada de Fourier).Las propiedades de la DFT.Comportamiento de los sistemas LTI bajo la DFT.

Introducir los métodos de computo eficiente asociadas a la DFT:

Transformada Rápida de Fourier.Respuesta de los sistemas LTI.


Objetivos del tema

Caracterizar matemáticamente:El muestreo y reconstrucción en el dominio de la frecuencia, através de la Transformada de Fourier Discreta (DFT)

La relación entre la DFT y las series y transformadas vistas entemas anteriores (transformada Z, Serie de Fourier,Transformada de Fourier).Las propiedades de la DFT.Comportamiento de los sistemas LTI bajo la DFT.




Objetivos del tema

Caracterizar matemáticamente:El muestreo y reconstrucción en el dominio de la frecuencia, através de la Transformada de Fourier Discreta (DFT)La relación entre la DFT y las series y transformadas vistas entemas anteriores (transformada Z, Serie de Fourier,Transformada de Fourier).

Las propiedades de la DFT.Comportamiento de los sistemas LTI bajo la DFT.




Objetivos del tema

Caracterizar matemáticamente:El muestreo y reconstrucción en el dominio de la frecuencia, através de la Transformada de Fourier Discreta (DFT)La relación entre la DFT y las series y transformadas vistas entemas anteriores (transformada Z, Serie de Fourier,Transformada de Fourier).Las propiedades de la DFT.

Comportamiento de los sistemas LTI bajo la DFT.Introducir los métodos de computo eficiente asociadas a la DFT:



Objetivos del tema

Caracterizar matemáticamente:El muestreo y reconstrucción en el dominio de la frecuencia, através de la Transformada de Fourier Discreta (DFT)La relación entre la DFT y las series y transformadas vistas entemas anteriores (transformada Z, Serie de Fourier,Transformada de Fourier).Las propiedades de la DFT.Comportamiento de los sistemas LTI bajo la DFT.




Objetivos del tema


Introducir los métodos de computo eficiente asociadas a la DFT:Transformada Rápida de Fourier.

Respuesta de los sistemas LTI.


Objetivos del tema


Introducir los métodos de computo eficiente asociadas a la DFT:Transformada Rápida de Fourier.Respuesta de los sistemas LTI.


Esquema

1 Objetivos

2 Introducción








Muestreo en el dominio de la frecuencia IEn el tema análisis en frecuencia vimos que laTransformada de Fourier de una SeñalDiscreta (DTFT) era una función continua enla frecuencia y periódica (con periodo 2π):• Análisis: X (ejw ) =

∑∞n=−∞ x(n)e−jwn

• Sintesis: x(n) = 12π

∫2π X (ejw )ejwn

• Periodicidad: X (ej(w+2π)) = X (ej(w+2π))

Sin embargo, resulta muy interesante poderrepresentar la señal discreta con muestras desu transformada de Fourier:• Los procesadores digitales de señales

trabajan habitualmente con señalesdiscretas (vectores), no con funciones

• El computo de las muestras de latransformada de Fourier es más sencilloque el computo de la funcióntransformada.

−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)

−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)





∫2π X (ejw )ejwn


Sin embargo, resulta muy interesante poderrepresentar la señal discreta con muestras desu transformada de Fourier:

• Los procesadores digitales de señalestrabajan habitualmente con señalesdiscretas (vectores), no con funciones


−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)

−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)





∫2π X (ejw )ejwn


Sin embargo, resulta muy interesante poderrepresentar la señal discreta con muestras desu transformada de Fourier:• Los procesadores digitales de señales

trabajan habitualmente con señalesdiscretas (vectores), no con funciones


−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)

−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)


Muestreo en el dominio de la frecuencia II

¿Como muestreamos de la DTFT (X (ejw ))?

• Para muestrear periódicamente una señalcontinua xa(t) en el tiempo, sustituíamost = nT , y hacíamos x(n) = xa(nT )

• Para muestrear la DTFT de la señaldiscreta, que es continua en w , tendremosque hacer w = k∆w y X (k) = X (ej∆wk ).

−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)

• Para elegir ∆w :F Tenemos en cuenta que X (ejw ) tiene periodo 2π, y por lo tanto,

únicamente es necesario tomar las muestras en el periodofundamental [0, 2π)

F Si queremos tomar N muestras equiespaciadas entre [0, 2π)hacemos de ∆w = 2π

N• Las muestras de la DTFT, X (k) = X (ej 2π

N k ), reciben el nombre de laTransformada de Fourier Discreta (DFT).

• La DFT es una señal periódica de periodo N, ya que debido a la periodicidadde la señal X(ejw ) y el muestreo realizado, cada N muestras la señal se repite.

Ojo: esto no significa que la señal original x(n) tenga que ser periódica.



¿Como muestreamos de la DTFT (X (ejw ))?• Para muestrear periódicamente una señal

continua xa(t) en el tiempo, sustituíamost = nT , y hacíamos x(n) = xa(nT )


−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)













−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)

• Para elegir ∆w :

F Tenemos en cuenta que X (ejw ) tiene periodo 2π, y por lo tanto,únicamente es necesario tomar las muestras en el periodofundamental [0, 2π)











−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)













−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)




N

• Las muestras de la DTFT, X (k) = X (ej 2πN k ), reciben el nombre de la

Transformada de Fourier Discreta (DFT).• La DFT es una señal periódica de periodo N, ya que debido a la periodicidad

de la señal X(ejw ) y el muestreo realizado, cada N muestras la señal se repite.







−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)













−3*pi −2*pi −pi 0 pi 2*pi 3*pi−5

0

5

10

15

w (rad)

H(e

jw)






• La DFT es una señal periódica de periodo N, ya que debido a la periodicidadde la señal X(ejw ) y el muestreo realizado, cada N muestras la señal se repite.Ojo: esto no significa que la señal original x(n) tenga que ser periódica.


Reconstrucción de la señal en tiempo discreto I¿Dada la DFT (N muestras de X (k)) podemos reconstruir la señal original x(n)?

En general no. Pero en algunos casos, si. A continuación analizamos quecondiciones se tienen que cumplir, salvo para el caso particular de unaseñal periódica discreta (relación con la DTSF).

Definición de la X (k) a partir de la definición de la X (ejw ):

X (ejw ) =∑∞

n=−∞ x(n)e−jwn w= 2πkN−−−−→ X (k) =

∑∞n=−∞ x(n)e−j 2π

N kn

Dividimos el sumario sobre n en sumarios de N términos y operamos:

X(k)= . . .+∑−1

n=−N x(n)e−j 2πN kn +

∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn +∑2N−1

n=N x(n)e−j 2πN kn +· · · =

= . . .+∑N−1

n=0 x(n−N)e−j 2πN k(n−N)+

∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn+∑N−1

n=0 x(n+N)e−j 2πN k(n+N)+. . .

= . . .+∑N−1

n=0 x(n − N)e−j 2πN kn +

∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn +∑N−1

n=0 x(n + N)e−j 2πN kn +. . .

=∑∞

l=−∞∑N−1

n=0 x(n − lN)e−j 2πN kn =

∑N−1n=0

∑∞l=−∞ x(n − lN)e−j 2π

N kn

Definimos xp(n) =∑∞

l=−∞ x(n − lN), cuyo valor en un instante n resulta serel valor que se obtiene sumando los valores de x(n) cada N muestras.Entonces, X (k) =

∑N−1n=0 xp(n)e−j 2π

N kn.

Por definición xp(n) es una función periódica de periodo N:xp(n + N) =

∑∞l=−∞ x(n − lN + N) =

∑∞l=−∞ x(n − lN) = xp(n)





X (ejw ) =∑∞

n=−∞ x(n)e−jwn w= 2πkN−−−−→ X (k) =

∑∞n=−∞ x(n)e−j 2π

N kn


X(k)= . . .+∑−1


∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn +∑2N−1

n=N x(n)e−j 2πN kn +· · · =

= . . .+∑N−1


∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn+∑N−1

n=0 x(n+N)e−j 2πN k(n+N)+. . .

= . . .+∑N−1


∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn +∑N−1

n=0 x(n + N)e−j 2πN kn +. . .

=∑∞

l=−∞∑N−1


∑N−1n=0

∑∞l=−∞ x(n − lN)e−j 2π

N kn


l=−∞ x(n − lN), cuyo valor en un instante n resulta serel valor que se obtiene sumando los valores de x(n) cada N muestras.

Entonces, X (k) =∑N−1

n=0 xp(n)e−j 2πN kn.


∑∞l=−∞ x(n − lN + N) =

∑∞l=−∞ x(n − lN) = xp(n)





X (ejw ) =∑∞

n=−∞ x(n)e−jwn w= 2πkN−−−−→ X (k) =

∑∞n=−∞ x(n)e−j 2π

N kn


X(k)= . . .+∑−1


∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn +∑2N−1

n=N x(n)e−j 2πN kn +· · · =

= . . .+∑N−1


∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn+∑N−1

n=0 x(n+N)e−j 2πN k(n+N)+. . .

= . . .+∑N−1


∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn +∑N−1

n=0 x(n + N)e−j 2πN kn +. . .

=∑∞

l=−∞∑N−1


∑N−1n=0

∑∞l=−∞ x(n − lN)e−j 2π

N kn


l=−∞ x(n − lN), cuyo valor en un instante n resulta serel valor que se obtiene sumando los valores de x(n) cada N muestras.Entonces, X (k) =


N kn.


∑∞l=−∞ x(n − lN + N) =

∑∞l=−∞ x(n − lN) = xp(n)


Reconstrucción de la señal en tiempo discreto IIX (k)=X (ej 2π

N k )=∑N−1

n=0 xp(n)e−j 2πN kn, transformada de Fourier discreta.

xp(n)=∑∞

l=−∞ x(n−lN), extensión periódica de la señal original.X(k) y xp(n) periódicas (periodo N) por construcción.

Como xp(n) es periódica, podemos representarla a través de su desarrolloen Serie de Fourier (DTFS):• xp(n) =

∑N−1k=0 ck ej 2π

N kn

• ck = 1N∑N−1

n=0 xp(n)e−j 2πN kn

Comparando la expresión de X (k) con la de ck : ck = 1N X (k).

Por lo tanto, xp(n) = 1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn.La señal periódica xp(k) se puede reconstruir directamente a partir de latransformada de Fourier discreta (X (k)), es decir de las muestras tomadasde la transformada de Fourier en tiempo discreto (X (ejw ))

¿Dada la DFT (N muestras de X (k)) podemos reconstruir la señal original x(n)?Si la señal x(n) es de duración finita (distinta de cero sólo durante Linstantes sucesivos) y L ≤ N, entonces xp(n) = x(n) y podemos reconstruirla señal original.Si L > N, xp(n) 6= x(n), se produce aliasing, y la reconstrucción exacta noes posible.



N k )=∑N−1


xp(n)=∑∞

l=−∞ x(n−lN), extensión periódica de la señal original.X(k) y xp(n) periódicas (periodo N) por construcción.Como xp(n) es periódica, podemos representarla a través de su desarrolloen Serie de Fourier (DTFS):

• xp(n) =∑N−1

k=0 ck ej 2πN kn

• ck = 1N∑N−1




∑N−1k=0 X (k)ej 2π





N k )=∑N−1


xp(n)=∑∞

l=−∞ x(n−lN), extensión periódica de la señal original.X(k) y xp(n) periódicas (periodo N) por construcción.Como xp(n) es periódica, podemos representarla a través de su desarrolloen Serie de Fourier (DTFS):• xp(n) =


N kn

• ck = 1N∑N−1




∑N−1k=0 X (k)ej 2π





N k )=∑N−1


xp(n)=∑∞



N kn

• ck = 1N∑N−1




∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn.

La señal periódica xp(k) se puede reconstruir directamente a partir de latransformada de Fourier discreta (X (k)), es decir de las muestras tomadasde la transformada de Fourier en tiempo discreto (X (ejw ))




N k )=∑N−1


xp(n)=∑∞



N kn

• ck = 1N∑N−1




∑N−1k=0 X (k)ej 2π





N k )=∑N−1


xp(n)=∑∞



N kn

• ck = 1N∑N−1




∑N−1k=0 X (k)ej 2π


¿Dada la DFT (N muestras de X (k)) podemos reconstruir la señal original x(n)?

Si la señal x(n) es de duración finita (distinta de cero sólo durante Linstantes sucesivos) y L ≤ N, entonces xp(n) = x(n) y podemos reconstruirla señal original.Si L > N, xp(n) 6= x(n), se produce aliasing, y la reconstrucción exacta noes posible.



N k )=∑N−1


xp(n)=∑∞



N kn

• ck = 1N∑N−1




∑N−1k=0 X (k)ej 2π


¿Dada la DFT (N muestras de X (k)) podemos reconstruir la señal original x(n)?Si la señal x(n) es de duración finita (distinta de cero sólo durante Linstantes sucesivos) y L ≤ N, entonces xp(n) = x(n) y podemos reconstruirla señal original.

Si L > N, xp(n) 6= x(n), se produce aliasing, y la reconstrucción exacta noes posible.



N k )=∑N−1


xp(n)=∑∞



N kn

• ck = 1N∑N−1




∑N−1k=0 X (k)ej 2π




Reconstrucción de la señal en tiempo discreto III

Resumiendo:

Dada la señal discreta x(n) de duración finita L y su extensión periódicaxp(n)=

∑∞l=−∞ x(n−lN)

Se tiene que:• X (k)=


N kn

• xp(n) = 1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn

Si L ≤ N:• xp(n)=

x(n), 0≤n≤L−10, L+1≤n≤N−1xp(n+N), c.c

• X (k) =∑N−1

n=0 x(n)e−j 2πN kn

• x(n) = 1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn

Si L > N podemos obtener xp(n) y X (k), perono x(n), ya que no somos capaces de obtenerla x(n) a partir de la xp(n) o de laX (k) = X (ej 2π

N k ).

−10 −5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

x(n)

, L=6

−10 −5 0 5 10 15 200

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

x p(n),

N=1

0

−10 −5 0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

n

x p(n),

N=4


Reconstrucción de transformada de Fourier I¿Dada la DFT (N muestras de X (k)) podemos reconstruir la DTFT (X (ejw ))?

Definición de DTFT: X (ejw ) =∑∞

n=−∞ x(n)e−jwn

Manipulamos la expresión de la DTFT para buscar la relación entre X (ejw )

y sus muestras X (k):• Como x(n) tiene longitud finita L, podemos realizar el sumario

únicamente sobre los L términos consecutivos de x(n) donde la señalno es cero. Sin embargo, resulta más conveniente hacerlo sobre los Ntérminos, ya que tenemos N muestras en X(k).

• Sustituimos x(n) = 1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn

• Reorganizamos sumatorios.• Definimos la función de interpolación P(ejw ) = 1

N

∑N−1n=0 e−jwn

X (ejw )=∑N−1

n=0 x(n)e−jwn =∑N−1

n=0

[1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn]e−jwn =

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 ej 2π

N kne−jwn]

=

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 e−j(w− 2π

N k)n]

=

=∑N−1

k=0X (k)P(ej(w− 2πN k))






y sus muestras X (k):

• Como x(n) tiene longitud finita L, podemos realizar el sumarioúnicamente sobre los L términos consecutivos de x(n) donde la señalno es cero. Sin embargo, resulta más conveniente hacerlo sobre los Ntérminos, ya que tenemos N muestras en X(k).


∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn


N

∑N−1n=0 e−jwn

X (ejw )=

∑N−1n=0 x(n)e−jwn =

∑N−1n=0

[1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn]e−jwn =

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 ej 2π

N kne−jwn]

=

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 e−j(w− 2π

N k)n]

=

=∑N−1










∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn


N

∑N−1n=0 e−jwn

X (ejw )=∑N−1

n=0 x(n)e−jwn =

∑N−1n=0

[1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn]e−jwn =

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 ej 2π

N kne−jwn]

=

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 e−j(w− 2π

N k)n]

=

=∑N−1










∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn


N

∑N−1n=0 e−jwn

X (ejw )=∑N−1


n=0

[1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn]e−jwn =

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 ej 2π

N kne−jwn]

=

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 e−j(w− 2π

N k)n]

=

=∑N−1










∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn

• Reorganizamos sumatorios.

• Definimos la función de interpolación P(ejw ) = 1N

∑N−1n=0 e−jwn

X (ejw )=∑N−1


n=0

[1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn]e−jwn =

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 ej 2π

N kne−jwn]

=

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 e−j(w− 2π

N k)n]

=

=∑N−1










∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn


N

∑N−1n=0 e−jwn

X (ejw )=∑N−1


n=0

[1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn]e−jwn =

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 ej 2π

N kne−jwn]

=

=∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 e−j(w− 2π

N k)n]

=

=∑N−1



Reconstrucción de transformada de Fourier II

¿Dada la DFT (N muestras de X (k)) podemos reconstruir la DTFT (X (ejw ))?

X (ejw )=∑N−1

k=0X (k)P(ej(w− 2πN k)) (DFT← DTFT para x(n) de longitud finita L ≤ N)

P(ejw ) = 1N

∑N−1n=0 e−jwn (función de interpolación)

Reescribir la expresión de la función deinterpolación:

• ∑N−1n=0 an = 1−aN

1−a

• Sacar factor común del numeradory denominador.

• Simplificar.

P(ejw ) = 1N

1−e−jwN

1−e−jw =

= 1N

e−j wN2

e−j w2

ej wN2 −e−j wN

2

ej w2 −e−j w

2=

=sen( wN

2 )

Nsen( w2 )

e−j w(N−1)2

−pi 0 pi0

0.5

1

|P(w

−2

pik

/N)|

−pi 0 pi

−100

0

100

w (rad)

arg

(P(w

−2p

ik/N

))

−pi 0 pi0

0.5

1

|P(w

−2

pik

/N)|

−pi 0 pi

−100

0

100

w (rad)

arg

(P(w

−2

pik

/N))

k=0

k=1

k=2

k=3

k=4




X (ejw )=∑N−1


P(ejw ) = 1N



• ∑N−1n=0 an = 1−aN

1−a


• Simplificar.

P(ejw ) = 1N

1−e−jwN

1−e−jw =

= 1N

e−j wN2

e−j w2

ej wN2 −e−j wN

2

ej w2 −e−j w

2=

=sen( wN

2 )

Nsen( w2 )

e−j w(N−1)2

−pi 0 pi0

0.5

1

|P(w

−2

pik

/N)|

−pi 0 pi

−100

0

100

w (rad)

arg

(P(w

−2

pik

/N))

−pi 0 pi0

0.5

1

|P(w

−2

pik

/N)|

−pi 0 pi

−100

0

100

w (rad)

arg

(P(w

−2

pik

/N))

k=0

k=1

k=2

k=3

k=4




X (ejw )=∑N−1


P(ejw ) = 1N



• ∑N−1n=0 an = 1−aN

1−a


• Simplificar.

P(ejw ) =

1N

1−e−jwN

1−e−jw =

= 1N

e−j wN2

e−j w2

ej wN2 −e−j wN

2

ej w2 −e−j w

2=

=sen( wN

2 )

Nsen( w2 )

e−j w(N−1)2

−pi 0 pi0

0.5

1

|P(w

−2

pik

/N)|

−pi 0 pi

−100

0

100

w (rad)

arg

(P(w

−2

pik

/N))

−pi 0 pi0

0.5

1

|P(w

−2

pik

/N)|

−pi 0 pi

−100

0

100

w (rad)

arg

(P(w

−2

pik

/N))

k=0

k=1

k=2

k=3

k=4




X (ejw )=∑N−1


P(ejw ) = 1N



• ∑N−1n=0 an = 1−aN

1−a


• Simplificar.

P(ejw ) = 1N

1−e−jwN

1−e−jw =

= 1N

e−j wN2

e−j w2

ej wN2 −e−j wN

2

ej w2 −e−j w

2=

=sen( wN

2 )

Nsen( w2 )

e−j w(N−1)2

−pi 0 pi0

0.5

1

|P(w

−2

pik

/N)|

−pi 0 pi

−100

0

100

w (rad)

arg

(P(w

−2

pik

/N))

−pi 0 pi0

0.5

1

|P(w

−2

pik

/N)|

−pi 0 pi

−100

0

100

w (rad)

arg

(P(w

−2

pik

/N))

k=0

k=1

k=2

k=3

k=4


Esquema

1 Objetivos

2 Introducción








Definición de la transformada de Fourier Discreta

Una señal discreta x(n) de longitud finita L (x(n)=0 n ≥ L)

Transformada de Fourier Discreta (DFT) de N muestras (N ≥ L):

X (k) = X (ej 2πN k ) =

∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn para k = 0, . . . ,N − 1Transformada de Fourier Discreta Inversa (IDFT):

x(n) = 1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn

Observaciones:• Si L < N la expresión de la IDFT da x(n)=0 para n ≥ L.• La DFT de una señal de duración infinita siempre se obtendrá con

aliasing• Para cualquier señal x(n) de duración finita de longitud L, cualquier

DFT con N ≥ L obtenida a partir de la extensión periódica xp(n) de laseñal original, permite obtener unívocamente su DTFT X (ejw )utilizando la función de interpolación P(ejw ).

• Una mayor diferencia entre N y L no suministra mayor informaciónsobre el espectro X (ejw ), aunque permite representarlo en máspuntos (los N de la DFT).


Esquema

1 Objetivos

2 Introducción








Relación con la Serie de Fourier DiscretaRelación entre las señales periódicas discretas y la DFT:

¿Dada una señal periódica discreta cual es su DFT ?¿Relación existe entre los coeficientes de la DTFS y la DFT ?

Señal periódica discreta:x(n + N) = x(n)

x(n) =∑N−1

k=0 ck ej 2πN kn

ck = 1N

∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn

DFT:x(n) de longitud finita L ≤ N

x(n) = 1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn

X (k) =∑N−1


Comparando las expresiones: ck = X (k)/N.

La serie de Fourier tiene la estructura de la DFT. Si definimos la secuenciade duración finita como los N puntos de la señal periódica se tieneX (k) = Nck .

La expresión de síntesis de la serie tiene la estructura de la IDFT. Por lotanto, los N puntos de la DFT nos proporcionan las lineas del espectro de lasecuencia periódica de periodo fundamental N.

Finalmente, como X (k) = X (ej 2πkN ), y la señal periódica tiene una DTFT

que es un tren de pulsos sobre las frecuencia fundamental, es necesariomuestrear la DFT con el mismo periodo que el de la señal discreta originalpara evitar que se pierda algún armónico en la X(k).


Relación con la DTFTRelación entre la DFT y la DTFT:

Hemos visto la relación en la introducción. Resumimos:

x(n) es una secuencia aperiódica con DTFT X (ejw ) los N valores de la DFTson X (k) = X (ej 2πk

N ).

Los X(k) son los coeficientes de la señal periódicaxp(n) =

∑∞l=−∞ x(n − lN).

Si la secuencia x(n) es de duración finita1 L ≤ N, entonces los X(k)permiten recuperar la secuencia x(n) a través de la IDFT.

Si la secuencia no tiene duración finita o su duración es L > N la IDFT nopermite recomponer la señal, ya que aunque sus N coeficientes permitiránobtener la señal periódica xp(n) =

∑∞l=−∞ x(n − lN), no podríamos extraer

de los mismos los valores de la señal original.

Si la secuencia x(n) es de duración finita1 L ≤ N,

X (ejw ) =∑N−1

k=0 X (k)[

1N

∑N−1n=0 e−j(w− 2π

N k)n]

=∑N−1

k=0 X (k)sen(

wk N2 )

Nsen(wk2 )

e−jwk (N−1)

2

con wk = w − 2πN k

1Las señales periódicas son un caso excepcional a esta norma siempre ycuando el periodo de la señal y el número de muestras de la DFT coincidan.


Relación con la Transformada Z

¿Podemos obtener los N términos X (k) de la DFT a partir de la Transformada Z?

X (k) = X (ej 2πkN )

X (ejw ) = X (z)|z=ejw

Por lo tanto la DFT se puede obtener muestreando de la Transformada Zsobre N puntos equiespaciados del círculo unidad.

¿Podemos obtener la Transformada Z a partir de los N términos X (k) de la DFT?

Definición de la Transformada Z: X (z) =∑∞

n=−∞ x(n)z−n

Si la x(n) es de longitud finita ≤ N:

X (z) =∑N−1

n=0 x(n)z−n =∑N−1

n=0

[1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2πkn

N

]z−n =

= 1N

∑N−1k=0 X (k)

∑N−1n=0

[ej 2πk

N z−1]n

= 1N

∑N−1k=0 X (k) 1−ej 2πNk

N z−N

1−ej 2πkN z−1

=

= 1−z−N

N

∑N−1k=0

X(k)

1−ej 2πkN z−1


Relación con la Serie de Fourier Continua¿Relación existe entre los coeficientes de la CTFS y la DFT ?

Establecemos la relación a través de la IDFT y la CTFS.

IDFT de una señal discreta: x(n) = 1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn

Señal continua xa(t) periódica con periodo T

xa(t) periódica→ definida con su serie de Fourier: xa(t) =∑∞

k=−∞ ck ej 2πT kt

Muestreando xa(t) con periodo de muestreo Ts = TN tenemos la señal

discreta x(n) = xa(Tsn) = xa( TnN ).

x(n) = xa(Tsn) =∑∞

k=−∞ ck ej 2πT k Tn

N =∑∞

k=−∞ ck ej 2πN kn

=∑N−1

k=0

[∑∞l=−∞ ck−lN

]ej 2π

N kn

Relación: X (k) = N∑∞

l=−∞ ck−lN• ∑∞

l=−∞ ck−lN expansión periódica de los coeficientes de Fourier de la señalcontinua

• Si el número de coeficientes no nulos es finito y menor que N,∑∞l=−∞ ck−lN = ck , podemos extraer los coeficientes a partir de la DFT.

• Si el número de coeficientes distintos de cero es mayor que N, no podemosobtenerlos a partir de la DFT. De hecho, en general, salvo que nos asegurenque se cumple el caso contrario, este es el que debemos asumir que secumple, y que por lo tanto, no se pueden recuperar los ck a partir de la DFT.


Esquema

1 Objetivos

2 Introducción








Desplazamiento circular I

Señal discreta x(n)→ Expansión periódica(periodo N) es xp(n)=

∑∞l=−∞x(n−lN)

Si la secuencia tiene longitud finita L <= N:• Su extensión periódica consiste en

repetir la señal periódicamente cada Ninstantes.

• El desplazamiento xp(n) en el dominiotemporal de k unidades xp(n − k)induce un desplazamiento circular laseñal original.

• La señal circular desplazada serepresenta como x((n − k)N)

.

Ejemplo: y(n) = x((n− k)N ) con N = 5, k = 2y(0) = x((0− 2)5) = x(−2 + 5) = x(3)y(1) = x((1− 2)5) = x(−1 + 5) = x(4)y(2) = x((2− 2)5) = x(0)y(3) = x((3− 2)5) = x(1)y(4) = x((4− 2)5) = x(2)

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

) y x

(n)

n

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

−2)

y x

((n−

k) N

)

n




∑∞l=−∞x(n−lN)

Si la secuencia tiene longitud finita L <= N:

• Su extensión periódica consiste enrepetir la señal periódicamente cada Ninstantes.



.


−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

n

x(n

)

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

) y x

(n)

n

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

−2)

y x

((n−

k) N

)

n




∑∞l=−∞x(n−lN)





.


−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

) y x

(n)

n

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

−2)

y x

((n−

k) N

)

n




∑∞l=−∞x(n−lN)



• El desplazamiento xp(n) en el dominiotemporal de k unidades xp(n − k)

induce un desplazamiento circular laseñal original.


.


−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

) y x

(n)

n

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

−2)

n

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

−2)

y x

((n−

k) N

)

n




∑∞l=−∞x(n−lN)





.


−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

) y x

(n)

n

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

−2)

y x

((n−

k) N

)

n




∑∞l=−∞x(n−lN)




• La señal circular desplazada serepresenta como x((n − k)N).


−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

) y x

(n)

n

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

−2)

y x

((n−

k) N

)

n




∑∞l=−∞x(n−lN)





Ejemplo: y(n) = x((n− k)N ) con N = 5, k = 2

y(0) = x((0− 2)5) = x(−2 + 5) = x(3)y(1) = x((1− 2)5) = x(−1 + 5) = x(4)y(2) = x((2− 2)5) = x(0)y(3) = x((3− 2)5) = x(1)y(4) = x((4− 2)5) = x(2)

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

) y x

(n)

n

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

−2)

y x

((n−

k) N

)

n




∑∞l=−∞x(n−lN)






−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

) y x

(n)

n

−5 0 5 100

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

xp(n

−2)

y x

((n−

k) N

)

n


Desplazamiento circular IIReflexión temporal: x((−n)N) = x(N − n)

Secuencia circularmente par: x((−n)N) = x(n)

Secuencia circularmente impar: x((−n)N) = −x(n)

Propiedades de simetria de la DFT:

X (k) =∑N−1


x(n) = 1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn

x(n) = Re[x(n)] + j Im[x(n)] = xp(n) + xi (n)

X (k) = Xp(k) + Xi (k)

Secuencia DFTx(n) X (k)

x∗(n) X∗(N − k)

x∗(N − n) X∗(k)

Re[x(n)] = x(n)+x∗(n)2

X(k)+X∗(N−k)2 =

Xp(k)+Xi (k)+Xp(N−k)−Xi (N−k)

2 = Xp(k)

Im[x(n)] = x(n)−x∗(n)2j

X(k)−X∗(N−k)2j =

Xp(k)+Xi (k)−Xp(N−k)+Xi (N−k)

2j = Xi (k)

xp(n) = x(n)+x(N−n)2

X(k)+X(N−k)2 = X(k)+X∗(k)

2 = Re[X (k)]

xi (n) = x(n)−x(N−n)2

X(k)−X(N−k)2 = X(k)−X∗(k)

2 = j Im[X (k)]


DFT de señales reales

Se pueden obtener:• Utilizando la relación de Euler (tal y como hicimos en el caso

de la CTFT y DTFT)• Aprovechando la relación entre la DTFT y la DFT, teniendo en

cuenta las diferencias de paridad/imparidad habitual y lacircular.

Propiedades DFT señales reales1:• x(n) ↔ X (k) = X ∗(N − k)• La componente real de X(k) es par y la imaginaria es impar.• Si x(n) es par, X(k) es real y par.• Si x(n) es impar, X(k) es imaginaria e impar.• El módulo de X(k) es par y el argumento es impar.• Si x(n) es par, modulo par, argumento es 0 o π• Si x(n) es impar, modulo impar, argumento π/2 o 3π/2.

1 Con paridad/imparidad circular.


Propiedades de la DFT

X (k) =∑N−1


x(n) = 1N

∑N−1n=0 X (k)ej 2π

N kn

Propiedades:Linealidad: αx1(n) + βx2(n) ↔ αX1(k) + βX2(k)

Periodicidad en k: x(n + N) = x(n)

X (k) = X (k + N)

Desplazamiento temporal circular: x((n − l)N) ↔ ej −2πN klX (k)

Modulación: x(n)ej 2πN ln ↔ X ((k − l)N)

Convolución circular: (x ∗ y)N(n) ↔ X (k)Y (k)

Producto circular: x(n)y(n) ↔ 1N (X ∗ Y )N(k)

x∗(n) ↔ X∗(N − k)

x(N − n) ↔ X (N − k)


Convolución circular

Tenemos dos secuencias finitas de longitud N, x1(n) y x2(n).

Sus DFTs correspondientes son:

X1(k) =∑N−1

n=0 x1(n)e−j 2πN kn

X2(k) =∑N−1

n=0 x2(n)e−j 2πN kn

Definimos producto de ambas señales en el dominio de la transformadaX3(k) = X1(k)X2(k).

Calculamos la IDFT:x3(m) = 1

N

∑N−1k=0 X3(k)ej 2π

N km = 1N

∑N−1k=0 X1(k)X2(k)ej 2π

N km =

= 1N

∑N−1k=0

[∑N−1n=0 x1(n)e−j 2π

N kn] [∑N−1

l=0 x2(l)e−j 2πN kl]

ej 2πN km =

= 1N

∑N−1n=0 x1(n)

∑N−1l=0 x2(l)

[∑N−1k=0 ej 2π

N k(m−n−l)]

=

= 1N

∑N−1n=0 x1(n)Nx2(m−n−pN) =

∑N−1n=0 x1(n)x2((m−n)|N) = (x ∗ y)N(m)

(x ∗ y)N(m) =∑N−1

n=0 x1(n)x2((m − n)|N) ↔ X (k)Y (k)

∑N−1k=0 ej 2π

N k(m−n−l) =

N, m − n − l = pN, p ∈ Z0, c.c.


Relación entre Convoluciones y T. FourierDefiniciones de convolución

• Convolución continua: (x ∗ y)(t) =∫∞−∞ x(τ)y(t − τ)dτ

• Convolución periódica continua (x ∗ y)T (t) =∫

T x(τ)y(t − τ)dτ• Convolución discreta: (x ∗ y)(m) =

∑∞n−∞ x(n)y(m − n)

• Convolución circular discreta (x ∗ y)N(m) =∑N−1

n=0 x(n)y((m − n)|N)

Transformadas de Fourier:

• CTFT:F Señales genéricas continuas en tiempo y frecuencia.F F [(x ∗ y)(t)] = X (jw)Y (jw)F F [(x(t)y(t))] = 1

2π (X ∗ Y )(jw)• DTFT:

F Señal genérica discreta en tiempo y periódica continua enfrecuencia.

F F [(x ∗ y)(n)] = X (ejw )Y (ejw )F F [(x(n)y(n))] = 1

2π (X ∗ Y )2π(ejw )• DFT:

F Señal periódica (circular) discreta en tiempo frecuencia.F F [(x ∗ y)|N(n)] = X (k)Y (k)F F [(x(n)y(n))] = 1

N (X ∗ Y )N(k)


Relación entre Convoluciones y T. FourierDefiniciones de convolución• Convolución continua: (x ∗ y)(t) =

∫∞−∞ x(τ)y(t − τ)dτ



∑∞n−∞ x(n)y(m − n)


n=0 x(n)y((m − n)|N)

Transformadas de Fourier:

• CTFT:F Señales genéricas continuas en tiempo y frecuencia.F F [(x ∗ y)(t)] = X (jw)Y (jw)F F [(x(t)y(t))] = 1






N (X ∗ Y )N(k)



∫∞−∞ x(τ)y(t − τ)dτ



∑∞n−∞ x(n)y(m − n)


n=0 x(n)y((m − n)|N)

Transformadas de Fourier:• CTFT:

F Señales genéricas continuas en tiempo y frecuencia.F F [(x ∗ y)(t)] = X (jw)Y (jw)F F [(x(t)y(t))] = 1

2π (X ∗ Y )(jw)

• DTFT:F Señal genérica discreta en tiempo y periódica continua en

frecuencia.F F [(x ∗ y)(n)] = X (ejw )Y (ejw )F F [(x(n)y(n))] = 1



N (X ∗ Y )N(k)



∫∞−∞ x(τ)y(t − τ)dτ



∑∞n−∞ x(n)y(m − n)


n=0 x(n)y((m − n)|N)






2π (X ∗ Y )2π(ejw )

• DFT:F Señal periódica (circular) discreta en tiempo frecuencia.F F [(x ∗ y)|N(n)] = X (k)Y (k)F F [(x(n)y(n))] = 1

N (X ∗ Y )N(k)



∫∞−∞ x(τ)y(t − τ)dτ



∑∞n−∞ x(n)y(m − n)


n=0 x(n)y((m − n)|N)








N (X ∗ Y )N(k)


Esquema

1 Objetivos

2 Introducción








Sistemas LTI y Filtros Discretos ILa respuesta y(n) de un sistema LTI discreto a una entrada x(n) se calcula:• Como la convolución entre x(n) y la respuesta del sistema a la entrada

impulso h(n): y(n)=T [x(n)]=(h ∗ x)(n)=∑∞

m=−∞ x(m)h(n−m)

• A través del producto de las transformadas de Fourier de la entrada yde la función ponderatriz: Y (ejw ) = H(ejw )X (ejw )

• DTFT: X (ejw ) =∑∞


¿Podemos usar el producto de DFTs para calcular la respuesta de sistemas LTI ?

Las operaciones correspondientes en el caso de la DFT son:• y(n) =

∑N−1m=0 x(m)h((m − n)N) para señales de longitud ≤ N

• Y (k) = H(k)X (k)

• X (k) =∑N−1

n=0 x(n)ej 2πN kn para señales de longitud ≤ N

La DFT y la convolución se definen para señales de longitud finita. Por lotanto, para poder realizar las operaciones con la DFT necesitamos que:• x(n) sea una señal de longitud finita L ≤ N• h(n) sea una señal de longitud finita M ≤ N → sistema FIR.• Para que no aparezcan elementos del desplazamiento circular,

N ≥ L + M − 1


Sistemas LTI y Filtros Discretos IIPara poder calcular la respuesta de un sistema a través del producto de lasDFTs, necesitamos:• Sistema sea FIR• El número de muestras de las DFTs es N >= L + M − 1, con L

longitud de la señal de entrada x(n) y M longitud de la respuesta delsistema a la función impulso h(n).

• Se rellenará con ceros las secuencias x(n) y h(n) para lograr que lassecuencias sean de duración sea N antes de calcular sus DFTs.

Si el sistema h(n) es IIR:

• Podemos obtener la DFT como H(k) = H(e2πk

N ), pero no utilizarlopara calcular la respuesta del sistema a cualquier entrada.

Si la entrada x(n) no tiene longitud finita:

• Podemos obtener la DFT como X (k) = X (e2πk

N ), pero no utilizar latransformada para calcular la respuesta de cualquier sistema LTI adicha entrada.

Las entradas x(n) y funciones ponderatrices h(n) periódicas son un casoparticular de señales de longitud finita, considerando como longitud finita deambas señales su periodo correspondiente.


Ejemplo de respuesta sistema LTICalcular la respuesta del sistema h(n) = 0, 2 a la entradax(n) = 1, 3, 4.A traves de la convolución:y(0) =

∑1n=0 h(n)x(0− n) = 0 · 1 + 2 · 0 = 0

y(1) =∑1

n=0 h(n)x(1− n) = 0 · 3 + 2 · 1 = 2y(2) =

∑1n=0 h(n)x(2− n) = 0 · 4 + 2 · 3 = 6

y(3) =∑1

n=0 h(n)x(3− n) = 0 · 0 + 2 · 4 = 8

→ y(n) = 0, 2, 6, 8

A través de la DFT:N = 3 + 2− 1 = 4x(n) = 1, 3, 4, 0X (0)=

∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N 0n =1+3+4=8X (1)=

∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N 1n =1−3j−4=−3−3jX (2)=

∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N 2n =1−3+4=2X (3)=

∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N 3n =1+3j−4=−3+3j

→ X (k)=8,−3−3j, 2,−3− 3jh(n) = 0, 2, 0, 0 → H(k) = 2,−2j, 2, 2jY (k)=X (k)H(k)=16,−6+6j, 4,−6−6j → y(n) = 0, 2, 6, 8


Esquema

1 Objetivos

2 Introducción








FFT: Cómputo eficiente de la DFT IX (k) =

∑N−1n=0 x(n)e−j 2π

N kn

x(n) = 1N

∑N−1k=0 X (k)ej 2π

N kn

Para calcular la DFT o la IDFT podemos construir (tal y como hicimos en elcaso de la serie de Fourier discreta) un sistema lineal en el que loscoeficientes son los ej 2π

N kn.

Para simplificar las expresiones, definimos WN = e−j 2πN y los coeficientes

e−j 2πN kn = W kn

N . Se tiene que X (k) =∑N−1

n=0 x(n)W knN con k=0, 1, . . . ,N − 1

X(0)X(1)

...X(N − 1)

=

1 1 . . . 11 W 1

M . . . W N−1M

......

. . ....

1 W N−1M . . . W (N−1)(N−1)

M

x(0)x(1)

...x(N − 1)

Si la secuencia x(n) es muy larga, el computo a través del sistema lineal noes computacionalmente eficiente (N2 sumas y N2 multiplicaciones concomplejos.

Existen algoritmos alternativos que permiten realizar la operacióndividiendo las secuencias en secuencias más pequeñas. Estos algoritmosson lo que constituyen la FFT (Fast Fourier Transform).


FFT: Cómputo eficiente de la DFT IIEjemplo: Algoritmo en base 2 de diezmado temporal (hay algoritmos más rapidos)

Suponemos que la longitud N es una potencia de 2 (N = 2p).

Dividir la secuencia x(n) en dos secuencias de longitud N/2, y agrupar loselementos con n impar y con n impar:X (k) =

∑N−1n=0 x(n)W nk

N =∑

n∈pares x(n)W nkN +

∑n∈impares x(n)W nk

N =

=∑N/2−1

r=0 x(2r)W 2rkN +

∑N/2−1r=0 x(2r + 1)W (2r+1)k

N =

=∑N/2−1

r=0 f (r)W rkN/2 +

∑N/2−1r=0 g(r)W k

NW rN/2 =

= F (k) + W kNG(k) para k = 0, ...,N/2− 1

Necesitamos saber que les pasa a los puntos sucesivos. Como F(k) y G(k)son periódicas de periodo N/2, podemos calcular sus valoresaprovechando dicha propiedad:X (k + N/2) = F (k) + W k+N/2

N G(k) para k = N/2, ...,N − 1En la original teníamos N2 sumas + N2 productos. Aquí tenemos (2 ∗ (N/2)2 sumas+ 2 ∗ (N/2)2 productos + otros). La división de la secuencia en subsecuencias sepuede repetir para calcular F (k) y G(k).

f (r) = x(2r) y g(r) = x(2r + 1)

F(k) y G(r) son las DFT de N/2 puntos de g(r) y h(r).


Cómputo eficiente de la respuesta del sistema FIR

Hemos visto que para calcular la respuesta de un sistema FIR podemosusar el producto de las DFTs.

Si la señal de entrada o la función ponderatriz son funciones de duraciónelevada, necesitaremos calcular sus DFTs de forma eficiente (FFT) yobtener el producto de las DFTs.

Alternativamente, siempre y cuando la longitud L de secuencia de la señalde entrada x(n) sea mucho mayor que la longitud M de la funciónponderatriz h(n) se puede simplificar el calculo dividiendo la señal x(n) ensubsecuencias de LD + M − 1 valores, con LD >> M.

Existen diferentes formas de proceder (método de solapamiento yalmacenamiento, o el método de solapamiento y adición) que agilizan elcomputo considerablemente.


Cómputo eficiente con Matlab I

DFT: X=fft(x)• x es un vector con N=length(x) elementos, y X es su DFT con N

elementos.• Si se quiere obtener una DFT con más elementos, rellenar con ceros

al final de x.• Como X (k) = X (ej 2π

N k ), para representarlo frente a Ω discretahacemos w=2*pi/N*[0:N-1]. Además, al ser una Transformada deFourier, es conveniente representar el modulo y el argumento porseparado.

• Si x(n) es una señal muestreada de una señal continua xa(t) sinaliasing (i.e. que ha sido muestreada con un Ts que adecuado),podemos representar el resultado de la fft frente a ω continuohaciendo w=2*pi/N*[0:N-1]/Ts ya que tal y como vimos en el tema demuestreo el espectro de la señal continua y la muestreada estánrelacionados por Xd (ejΩ) = 1

Ts

∑∞k=−∞Xc(j( Ω−2kπ

Ts)) .

IDFT: x=ifft(X)


Cómputo eficiente con Matlab II

Respuesta del sistema:• y=filter(num,den,x) donde la función de transferencia del filtro

H(z) = num(z)den(z)

.

• Alternativamente, podemos llamar la orden anterior con la condicionesiniciales ci previas: y=filter(num,den,x,ci) . El valor de las condicionesiniciales se puede calcular con la orden ci=filtic(num,den,x0,y0) , dondex0 e y0 son los valores de la entrada y salida en los instantes previos.

• Si el filtro es FIR (den(z)=1) y las condiciones iniciales son nulas, larespuesta del sistema se puede calcular también con la ordeny=conv(num,x).


Ejemplo de cómputo de FFT IEjemplo: Calcular las componentes en frecuencia deN = 500 muestras de laxc(t) = sen(2πf1t) + sen(2πf2t) conf1 = 10; f2 = 30; fs = 100 con la FFT.

Fs=100;Ts=1/Fs;N=500;f1=10;f2=30;k=0:N-1;td=k*Ts; %Instantes de muestreo%Señal muestreadaxd=sin(2*pi*f1*td)+sin(2*pi*f2*td);%FFTXd=fft(xd);%Representacioneswd=2*pi*k/N; %frecuencia discreta (rad/s)wc=wd/Ts; %frecuencia continua (rad/s)fc=wc/2/pi %Frecuencia continua en Hzfigure,plot(k,abs(Xd)); %Respecto a kylabel('|X(k)|');xlabel('k');figure,plot(wd,abs(Xd)); %Aprox DTFT respecto a la w_dylabel('|X(e^jw_d)|');xlabel('w_d (rad/s)');figure,plot(fc,abs(Xd)); %Aprox CTFT respecto a f_cylabel('|X(j f_c)|');xlabel('f_c (Hz)');

Segun aumentamos N la ventana es más grande y laX (jw) se parece más a las de la xc(t). Ademástenemos más muestras de la DTFT X (ejw )

k0 100 200 300 400 500

|X(k

)|

0

50

100

150

200

250

wd (rad/s)

0 1 2 3 4 5 6 7

|X(e

jwd)|

0

50

100

150

200

250

fc (Hz)

0 20 40 60 80 100

|X(j f

c)|

0

50

100

150

200

250


Ejemplo de cómputo de FFT IEjemplo: Calcular las componentes en frecuencia deN = 500 muestras de laxc(t) = sen(2πf1t) + sen(2πf2t) conf1 = 10; f2 = 30; fs = 100 con la FFT.

Fs=100;Ts=1/Fs;N=500;f1=10;f2=30;k=0:N-1;td=k*Ts; %Instantes de muestreo%Señal muestreadaxd=sin(2*pi*f1*td)+sin(2*pi*f2*td);%FFTXd=fft(xd);%Representacioneswd=2*pi*k/N; %frecuencia discreta (rad/s)wc=wd/Ts; %frecuencia continua (rad/s)fc=wc/2/pi %Frecuencia continua en Hzfigure,plot(k,abs(Xd)); %Respecto a kylabel('|X(k)|');xlabel('k');figure,plot(wd,abs(Xd)); %Aprox DTFT respecto a la w_dylabel('|X(e^jw_d)|');xlabel('w_d (rad/s)');figure,plot(fc,abs(Xd)); %Aprox CTFT respecto a f_cylabel('|X(j f_c)|');xlabel('f_c (Hz)');

Segun aumentamos N la ventana es más grande y laX (jw) se parece más a las de la xc(t). Ademástenemos más muestras de la DTFT X (ejw )

k0 100 200 300 400 500

|X(k

)|

0

50

100

150

200

250

wd (rad/s)

0 1 2 3 4 5 6 7

|X(e

jwd)|

0

50

100

150

200

250

fc (Hz)

0 20 40 60 80 100|X

(j f

c)|

0

50

100

150

200

250


Ejemplo de cómputo de FFT IIEjemplo: Continuación.Como xd (n) es real, el modulo de la FFT es par.Como es periódica solo se representa entre [0,N − 1],[0, 2π] o [0,Fs].Ambas propiedades permiten cambiar la representaciónal rango [−N/2 : N/2], [−π, π], [−Fs/2,Fs/2]. Paratrasladar la FFT hay que usar el comando X=fftshift(X).

Fs=100;Ts=1/Fs;N=500;f1=10;f2=30;k=0:N-1;td=k*Ts; %Instantes de muestreo%Señal muestreadaxd=sin(2*pi*f1*td)+sin(2*pi*f2*td);%FFTXd=fft(xd);Xd=fftshift(Xd);k=k-N/2;%Representacioneswd=2*pi*k/N; %frecuencia discreta (rad/s)wc=wd/Ts; %frecuencia continua (rad/s)fc=wc/2/pi %Frecuencia continua en Hzfigure,plot(k,abs(Xd)); %Respecto a kylabel('|X(k)|');xlabel('k');figure,plot(wd,abs(Xd)); %Aprox DTFT respecto a la w_dylabel('|X(e^jw_d)|');xlabel('w_d (rad/s)');figure,plot(fc,abs(Xd)); %Aprox CTFT respecto a f_cylabel('|X(j f_c)|');xlabel('f_c (Hz)');

FFT directa (frente fc)

fc (Hz)

0 20 40 60 80 100

|X(j f

c)|

0

50

100

150

200

250

FFT transladada (vs fc)

fc (Hz)

-50 0 50

|X(j f

c)|

0

50

100

150

200

250


Ejemplo de cómputo de FFT IIIPor lo general, nos darán ya la señal discreta. Esta puede habersido originada:

Directamente en discreto (porque ya nos den la expresión discreta osea el resultado de un sistema discreto).

En esos casos, podemosrepresentarla respecto a wd o fd . Pero debemos tener en cuentaque no representamos la DTFT si no unas muestras de la misma).

Muestreando una señal continua (como hemos hecho en elejemplo). En esos casos, conocemos el periodo de muestreo, por loque podemos representarla frente a wc o fc .Pero hay que tener encuenta que a través de la FFT estamos aproximando triplemente laCTFT (enventanar la señal al generar un número finito de muestraspuede cambiar su espectro, el Ts no debe producir aliasing y la FFTson muestras de la DTFT).

El rango de las frecuencias utilizado (p.e. [0,Fs] o [−Fs/2,Fs/2]) esindiferente, siempre y cuando la representación este bien hecha yse sepa interpretar la FFT.



Directamente en discreto (porque ya nos den la expresión discreta osea el resultado de un sistema discreto). En esos casos, podemosrepresentarla respecto a wd o fd .

Pero debemos tener en cuentaque no representamos la DTFT si no unas muestras de la misma).





Directamente en discreto (porque ya nos den la expresión discreta osea el resultado de un sistema discreto). En esos casos, podemosrepresentarla respecto a wd o fd . Pero debemos tener en cuentaque no representamos la DTFT si no unas muestras de la misma).






Muestreando una señal continua (como hemos hecho en elejemplo).

En esos casos, conocemos el periodo de muestreo, por loque podemos representarla frente a wc o fc .Pero hay que tener encuenta que a través de la FFT estamos aproximando triplemente laCTFT (enventanar la señal al generar un número finito de muestraspuede cambiar su espectro, el Ts no debe producir aliasing y la FFTson muestras de la DTFT).





Muestreando una señal continua (como hemos hecho en elejemplo). En esos casos, conocemos el periodo de muestreo, por loque podemos representarla frente a wc o fc .

Pero hay que tener encuenta que a través de la FFT estamos aproximando triplemente laCTFT (enventanar la señal al generar un número finito de muestraspuede cambiar su espectro, el Ts no debe producir aliasing y la FFTson muestras de la DTFT).



Esquema

1 Objetivos

2 Introducción








Señales con comportamiento en frecuencia variableCuando se trabaja con señales reales, el comportamiento en frecuencia notiene por que mantenerse a lo largo del tiempo.

La DFT (o su implementación como FFT) de una señal no permitecaracterizar su cambio temporal de frecuencias, ya que determina elcomportamiento en frecuencia de la señal completa.

Para observar el cambio de de frecuencias a lo largo del tiempo, se puede:• Trocear la señal y caracterizar, usando la FFT, el comportamiento en

frecuencias de cada trozo.• Utilizar alguna herramienta avanzada que permita realizar ese análisis

de forma automática:F El espectrograma1 es una buena elección en muchos casos, ya

que es una representación gráfica de la variabilidad temporal delcomportamiento en frecuencia de una señal.

F En concreto, utiliza un mapa de color para resaltar, en torno aque instantes de tiempo, las componentes en frecuencias mássignificativas (que tienen un módulo de FFT mayor)

1 El procedimiento que se sigue para obtener un espectrograma será explicadodetenidamente en el último tema de la asignatura


Espectrograma: FFT a lo largo del tiempo

Representación de un espectrograma en Matlab:espectrogram(x,window,overlap,[],Fs)

• x: La señal muestreada• window: número de elementos utilizados por cada FFT.• overlap: número de valores que se superponen.• Fs: Frecuencia de muestreo. Se utiliza para representar correctamente las

frecuencias en Hz y el paso temporal de la señal (n · Ts).

Ts=0.01;Fs=1/Ts;t=0:Ts:20;F0=40;F1=30;x=chirp(t,F0,5,F1);spectrogram(x,128,120,[],Fs);%Reorientar los ejesview(90,-90)

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

50

2 4 6 8 10 12 14 16 18Time

Fre

qu

en

cy (

Hz)


transformada de fourier discreta (dft)

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