transformada discreta de fourier

TRANSFORMADA DISCRETA DE FOURIER - DFT

Señales de tiempo discreto: como en el caso de señales de tiempo contínuo, interesa conocer la respuesta de los sistemas

LTI (caracterizados por su h[n]) a exponenciales complejas x[n] = zn ; donde z es un número complejo.

Al truncar la Serie de Fourier (no puede trabajarse con infinitas armónicas),

aparece el efecto de Gibbs en forma de sobrepicos en las transiciones.

Lo notable es que al aumentar N la amplitud de los mismos no disminuye

(es del 9%), sólo se comprimen.

Señales de tiempo contínuo:

periódica Serie de Fourier dtetxT

aeatxTk

k

tjkk

tjk

0

00 )(

1 ; )(

0

no periódica Transf. de Fourier

dtetxXdeXtx

tjtjk

)()( ; )(

21

)(-

Aparecen problemas cuando la señal tiene una discontinuidad si x(t) cumple las condiciones de Dirichlet, entonces la

sumatoria converge al valor ‘promedio’ de la discontinuidad 1) debe ser absolutamente integrable 2) debe

tener un número finito de máximos y mínimos en un período y 3) en un intervalo finito de tiempo hay un número finito

de discontinuidades y cada una de ellas debe ser finita.

dttx )(

nknkn zzHnyzkhzzkhknxkhnxnhny

)(][ ][][][][][][][

al valer el principio de superposición, si nkk

kk

nk

kk zzHanyzanx )(][ ][

Por ahora sólo vamos a considerar las exponenciales con z = 1 nΩjn ez

Secuencias periódicas x[n] = x[n + N]

Considerando que ambos miembros de la ecuación son periódicos, se plantea un sistema de N ecuaciones lineales para

los ak. Las ecuaciones son linealmente independientes se pueden obtener los x[n]. Operando sobre la ec. anterior:

Se quiere representar la secuencia periódica x[n] en término de combinaciones lineales de las secuencias k[n]

El conjunto de todas las exponenciales complejas periódicas de período N esta dado por: (sólo N !!) /N2 ][ nkj

k en

Serie de Fourier de tiempo discreto; ak = coeficientes de SF.

Nk

Nnkjk

kkk eananx / 2 ][][

n

n

nx ][ k

Nnkjk ea / 2 Nnrje / 2 Nnrje / 2

puede intercambiarse el orden de las sumatorias, resultando:

Nn

Nrknj

Nkk

Nn

Nrnj eaenx / 2)-( / 2 ][ Propiedad útil:

valorotro para 0

.... 2 , 0, 1

0

/2NNkN

eN

n

Njnk

0 sólo para k = r

coeficientes de la Serie de Fourier de tiempo discretokNn

Nnrjr aenx

Na

/ 2 ][1

existen sólo N valores de ak distintos a0 = aN y en general ak = ak+N los N valores a considerars

pueden tomarse a partir de un origen arbitrario.

Ejemplos: la secuencia x[n] = sen(0n) será periódica sólo en el caso en que 2/0 sea entero ó una relación de enteros.

NnjNnj ej

ej

nx /2/2

2

1

2

1][ 1) Si x[n] es periódica en N a1 = 1/(2j); a-1 = -1/(2j) y los otros ak = 0

2)

2

4cos

2cos3

2sen1][

n

Nn

Nn

Nnx

valoresotros los para 0 ; 2

1 ;

2

1 ;

2

1

2

3 ;

2

1

2

3 ; 1 22110 kajaja

ja

jaa

3)

nnx

5

2sen][

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4)

nnx

5

23sen][

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

pueden utilizarse para calcularla secuencia original

5) onda cuadrada de tiempo discreto-N1 0 NN1 N-N1

1

1

/21 N

Nn

Nknjk e

Na cambio vbles.

(m = n + N1)

1

11

1

2

0

/2/22

0

/2)( 11 N

m

NkmjNNkjN

m

NkNmjk ee

Ne

Na

NnjNnjNnjNnj eaeaeaeaa /222

/222

/21

/210

expadiendo la serie y ordenando Nk

NNk

Nak 2/2sen

/2/12sen1 1

Coeficiente de la Serie de Fourier de la onda cuadrada (Nak)

para 2N1+1 = 5; (a) N = 10, (b) N = 20 y (c) N = 40.


NnjNnj ej

ej

nx /2/2

2

1

2


2)

2

4cos

2cos3

2sen1][

n

Nn

Nn

Nnx


1 ;

2

1 ;

2

1

2

3 ;

2

1

2

3 ; 1 22110 kajaja

ja

jaa

3)

nnx

5

2sen][

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4)

nnx

5

23sen][

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


en el caso inverso

M

Mk

Nknjkeanx /2][


1

1

/21 N

Nn

Nknjk e

Na cambio vbles.

(m = n + N1)

1

11

1

2

0

/2/22

0

/2)( 11 N

m

NkmjNNkjN

m

NkNmjk ee

Ne

Na


/222

/21

/210


NNk

Nak 2/2sen

/2/12sen1 1

Reconstrucciones parciales de la onda cuadrada con N = 9 y 2N1+1 = 5; (a) M = 1, (b) M = 2; (c) M = 3 y (d) M =

4.


NnjNnj ej

ej

nx /2/2

2

1

2


2)

2

4cos

2cos3

2sen1][

n

Nn

Nn

Nnx


1 ;

2

1 ;

2

1

2

3 ;

2

1

2

3 ; 1 22110 kajaja

ja

jaa

3)

nnx

5

2sen][

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

4)

nnx

5

23sen][

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9


en el caso inverso

M

Mk

Nknjkeanx /2][


1

1

/21 N

Nn

Nknjk e

Na cambio vbles.

(m = n + N1)

1

11

1

2

0

/2/22

0

/2)( 11 N

m

NkmjNNkjN

m

NkNmjk ee

Ne

Na


/222

/21

/210


NNk

Nak 2/2sen

/2/12sen1 1

Sólo se necesita un número FINITO de coeficientes para representar la secuencia

NO APARECE EL FENOMENO DE GIBBS

Secuencias aperiódicas x[n] es en general de duración finita x[n] = 0 si n > N1

Puede construirse una secuencia periódica para la cual x[n] es un período, con lo cual se puede aplicar la SFTD ][~ nx

1

1

/ 2 ~ ][1 N

Nn

Nnkjk enx

Na

n

NnkjenxN

/ 2 ][1

y se define X() como la envolvente de Nak.

Transformada de Fourier de tiempo discreto

n

njenxX ][)(contínua

periódicapuede expandirse en SF

dtetxT

aeatxTk

k

tkjk

tkj

0

00 )(

1 ; )(

0

haciendo las analogías: T0 2 y , entonces 2/T0 = 1 y x[n] = a-k ; resultando:00 /2 Ttkjtkj ee n

njTtkj ee 0/2

deXnx nj

2)(

2

1][ coeficientes de la Transformada de Fourier de tiempo discreto

Las relaciones siguen siendo válidas si la duración de la secuencia es infinita x[n] debe ser absolutamente sumable,

, ó si tiene energía finita

n

nx ][

n

nx2

][

Ejemplos:

1) Sean las secuencias x[n] = (1/2)n[n]; y[n] = (-1/2)n[n]. Encontrar y comparar sus transformadas.

2) Encontar la secuencia que cuya transformada es X() = cos()

π

π

)1()1(π

ππ2

1

2

1)cos(

π2

1][ deedenx njnjnj

sen)cos2(

2

2/1

12

)(0 je

eX

j

n

n

j

sen)cos2(

2

2/1

12

)(0 je

eY

j

n

n

j

cos25.1

1)(X

cos25.1

1)(Y

Mod

ulo

X() Y()

0.67

0 2

2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-0.5

0

0.5

1

n

y[n]

x[n]

Propiedad útil:

0 1

.... 2 ,1 0

2

1 π

π k

kde kj

de acuerdo a la propiedad, la integral sólo sera 0 para n 1 x[n] = 0.5· [n-1] + 0.5· [n+1]

Propiedades de la DTFT (Transformada de Fourier de tiempo discreto)

Periodicidad: siempre es periódica en , con período 2.

Simetría: si x[n] es real X() = X*() módulo par, fase impar. Si x[n] es real y par, X() también lo es.

en el caso de la DFT los desplazamientos NO SON LINEALES, son CIRCULARES..

Escalamiento en tiempo y frecuencia: difiere del caso de tiempo contínuo. Recordar diezmado e interpolación

Linealidad: x1[n] X1() y x2[n] X2(), a·x1[n] + b·x2[n] a·X1() + b·X2() . F F F

Desplazamientos: x [n] X () x1[n - n0] ; X( - 0)F FF

)(0 Xe nj )(0 nxe nj

Diferenciación y sumatoria: F )()1( ]1[][ Xenxnx j

F )()1(

1 ][

X

emx

j

n

m

kkX )2()0(

Diferenciación en frecuencia:

ddX

jnnx)(

][ F

Convolución: lo trataremos al ver convolución y correlación discretas.

Relación de Parseval:

2

22 )(21

][ dXnxn

para secuencias periódicas:

NkNn

kanxN

22 ][][1

Transformada Discreta de Fourier

Nak corresponde a muestras de la TF de un período. La relación se cumple, independientemente del M elegido.

Sea una secuencia periódica de la cual x[n] es un período, ][~ nx

valorotrocualquier en 0

1 ][][~ NMnMnxnx M arbitrario.

Puede demostrarse que

NkXNak

2donde los ak son los coeficientes de la SF de y X() es la TF de x[n] ][~ nx

kkNnxnnx ][ ][][ ~ Ejemplo:

-N 0 N 2N

x[n]~

sólo hay que analizar en k = 2k/N y en esos valores X1() = X2() no importa el M .

Nenx

Na

Nn

Nnkjk

1][

1 / 2 ~

para 0 n N-1

-N 0 N 2N

x1[n]=[n]

1)( ][][ 11 Xnnx

-N 0 N 2N

x2[n]=[n-N]

NjeXNnnx )( ][][ 22

1

0

/ 2 ~

][1

)(N

k

Nnkjk enx

NakX

0 n N-1 ; 0 k N-1 Transformada Discreta de Fourier

1

0

/ 2 ~][][

N

k

NnkjekXnx

)()(2

?

1 XX

mismo algoritmo!!

1

0

/2][][N

k

NkjnekXnx *1

0

/2* ][

N

k

NkjnekX

Desarrollo gráfico de la

Transformada Discreta

de Fourier

transformada discreta de fourier

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