8. SINIF ÖĞRENCĠLERĠNĠN KAREKÖKLÜ SAYILAR

KONUSUNDAKĠ KAVRAM YANILGILARI VE ORTAK HATALARI

Özlem GELĠCĠ1

1Gültepe Ġlköğretim Okulu, Ġskenderun, Hatay

Özet

Araştırmada 8. sınıf öğrencilerinin kareköklü sayılar konusunda yaptıkları ortak hataların ve kavram

yanılgılarının tespit edilmesi amaçlanmıştır. Araştırma tarama modelinde tasarlanmıştır. Hatay ili İskenderun

ilçesindeki düşük sosyo ekonomik çevrede bulunan iki ilköğretim okulunda 2011–2012 eğitim öğretim yılında 8.

sınıfta öğrenim gören 38 kız, 36 erkek öğrenci örneklemi oluşturmaktadır. Veri toplama aracı olarak araştırmacı

tarafından geliştirilen 10 açık uçlu sorudan oluşan bir test uygulanmıştır (cronbach 𝛼 = 0,82). Testte

öğrencilerden 8. sınıf kareköklü sayılar kazanımlarına ait soruları cevaplamaları ve çözümlerini açıklamaları

istenmiştir. Öğrencilerin cevaplarından elde edilen verilerin analizinde frekans ve yüzde tabloları kullanılmıştır.

Veri analizi sonucunda testteki 2. soru haricinde öğrencilerin %50’ sinden azının sorulara doğru cevap verdiği

görülmüştür. Testteki tüm soruları doğru yanıtlayan 1(%1,4), hiçbir soruyu doğru yanıtlayamayan 14(%18,9)

öğrenci vardır. Öğrencilerin kareköklü sayılarda dört işlemlerde yanlış kurallamalar yaptıkları, karesel bölgenin

alanı ile kareköklü sayılar arasındaki ilişkiyi kuramadıkları, kareköklü sayıları sıralarken kareköklü sayının

sadece bir bölümünü göz önüne aldıkları görülmüştür.

Anahtar Kelimeler: Kareköklü Sayılar, Kavram Yanılgısı, Hata

1. GĠRĠġ

Matematik, kavramların birbirine ağ gibi bağlı olduğu bir bilim dalıdır. Matematik

kavramlarının bu şekilde birbirine sıkı sıkıya bağlı olması herhangi bir kavramın yanlış veya eksik

öğrenilmesinin onunla ilişkili diğer kavramların da yanlış öğrenilmesine neden olmaktadır. Matematik

derslerinde kavram öğretimi üzerinde yeterince durulmaması yığılmalı ve ardışık biçimde ilerleyen bir

bilim olan matematiğin öğretiminde önemli bir engel oluşturmaktadır (Turanlı, Keçeli ve Türker,

2007). Bu nedenle öğrencilerin kavram yanılgılarının ve ortak hatalarının erken tespit edilmesi ve

giderilmeye çalışılması matematik öğretiminde oldukça önemlidir (Tatar ve Dikici, 2008).

Bir problemin çözümünde öğrenciler pek çok farklı sonuca ulaşabilir. Oliver’a (1989) göre bir

problemi çözerken sonucu etkileyen üç önemli faktör vardır: yanılgı, hata ve yanlış kavramalar.

Yanılgılar işlemden kaynaklanır, sistematik değillerdir. Hatalar planlamadan kaynaklanır, sistematik

olabilir ve çoğunlukla yanlış kavramaların belirtisidirler. Yanlış kavramalar ise sistematik olarak

ortaya çıkan kavram hatalarıdır (akt: Bilgin ve Akbayır; 2002). Kavram yanılgıları öğrencilerin

karşılaştıkları kavramlara yükledikleri yanlış anlamlar olarak düşünülebilir (Akkaya ve Durmuş, 2010:

7). Öğretmenler için kavram yanılgısı olan ifadeler öğrenciler için gayet mantıklıdır ve bu yanılgılar

onların zihinlerinde kalıcı bir yer edinmiştir. Kavram yanılgısına sahip bir öğrenciye hata yaptığı

söylendiğinde bunu kabul etmeyecek, çözümünün doğruluğunu savunacaktır (Bagni, 2000).

Kavram yanılgılarını öğrencilerin bilgi eksikliğinden kaynaklanan yanlış cevapları olarak

düşünmek hata olacaktır. Kavram yanılgıları öğrencilerin zihinlerinde bir kavramın yerine geçen; fakat

matematiksel olarak yanlış ifadelerdir. Öğrencilerin deneyim ve inançlarıyla desteklendiğinden

değiştirmek de oldukça zordur (Yenilmez ve Yaşa, 2008). Çelik ve Güneş (2007) boylamsal olarak

yürüttükleri çalışmalarında farklı eğitim seviyelerinden öğrencilerin olasılıkla ilgili anlamalarının ve

kavram yanılgılarının değişimini incelemişlerdir. Çalışmanın sonucunda öğrencilerin yaşamlarından

getirdikleri kavram yanılgılarını gidermekte aldıkları olasılık eğitiminin pek de etkili olmadığı

görülmüştür. Bu çalışmanın sonucu da kavram yanılgılarını gidermenin güçlüğünü açıkça

göstermektedir.

Matematik alanında daha önce yapılmış olan çalışmalar birçok farklı konu ve sınıf düzeyinde

öğrencilerin yaptıkları hataları ve kavram yanılgılarını ortaya koymuştur. Bu çalışmalardan birinde

Cengiz (2006) ortaöğretim öğrencilerinin reel sayılar konusunda yaşadıkları yanılgı ve yanlışları

araştırmıştır. Çalışma sonucunda öğrencilerin köklü bir ifadeyi üslü biçimde yazmada, iki sayının

kareleri toplamının karekökünü hesaplamada ve iki kareköklü sayıyı çarpma-bölmede oldukça

başarısız oldukları görülmüştür. Birçok öğrenci kareköklü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinde

sadece katsayıları çarpmış veya bölmüşlerdir.. Bazı öğrenciler ise 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 yanılgısına

sahiptir. Bu öğrenciler karekök alma işleminin toplama işlemi üzerinde dağılma özelliği olduğunu

düşünmektedirler. Ayrıca öğrenciler bir ifadenin karekökünün o sayının mutlak değeri ile ilişkisini de

tam olarak kavrayamamışlardır

Benzer bir araştırmada Özkan (2011) Anadolu lisesinde öğrenim gören 140 dokuzuncu sınıf

öğrencisine 18 soruluk bir test uygulayarak köklü sayılar konusundaki kavram yanılgılarını tespit

etmeye çalışmıştır. Verilerden elde edilen bulgulara göre öğrenciler rasyonel ve irrasyonel sayılar

kümelerini göstermekte başarısızken köklü sayıları sayı doğrusunda göstermekte oldukça başarılı

olmuşlardır. Öğrencilerden çoğu kök almanın her zaman sayının değerini küçülteceğini, karekökün

içinin negatif olabileceğini, bir sayının karekökünün her zaman pozitif olacağını, kök içinin ondalıklı

olamayacağını düşünmektedirler. Ayrıca öğrencilerden bir kısmı 𝑎 ∓ 𝑏 = 𝑎 ∓ 𝑏 ve −𝑥2 = −𝑥

yanılgılarına sahiptir. Birçok öğrenci de köklü sayıların kuvvetini almakta hata yapmaktadırlar. Şenay

(2002), 729 dokuzuncu sınıf öğrencisinin katıldığı çalışmasının sonucunda benzer hatalar tespit

etmiştir. Çalışmada öğrencilerin üslü ve köklü ifadeleri tanımlama ve bu ifadelerle işlem yapma

konusunda hatalar yaptıkları görülmüştür.

Bagni (2000) ise çalışmasında 16–19 yaşları arasındaki lise öğrencileri ile görüşmeler yaparak

onların hatalarını tespit etmeye çalışmıştır. Sonuç olarak lise 4. sınıf öğrencilerinden birinin

𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 yanılgısına sahip olduğu, bir lise 3. sınıf öğrencisinin ise 𝑎2 = 𝑎 yanılgısına

düştüğü görülmüştür. Bagni öğretmenlerin hata yapan öğrencilerine karşı örnekler vererek

öğrencilerinin yaptıkları hataları fark etmelerini sağlayabileceklerini düşünmektedir.

Yenilmez ve Avcu (2009) ise çalışmalarında 8. sınıf öğrencilerinin mutlak değer konusunda

karşılaştıkları zorlukları belirlemişlerdir. 86 öğrencinin cevapladığı 10 açık uçlu sorudan elde edilen

veriler öğrencilerin mutlak değer ile ilgili dört işlem problemlerinde zorluk yaşadıklarını göstermiştir.

Ayrıca harfli ifadelerin mutlak değeri, mutlak değer içeren denklemler ve mutlak değer içeren bir

ifadenin en küçük değerinin bulunmasında da başarı oldukça düşüktür. Şandır, Ubuz ve Argün (2002)

çalışmalarında 9. sınıf öğrencilerinin mutlak değer kavramındaki hatalarını ve kavram yanılgıları tespit

etmek için öğrencilere işlemsel ve kavramsal test uygulamışlardır. Öğrencilerin mutlak değer tanımını

ezberlediği, mutlak değerin geometrik ifadesini bilmedikleri, sadece test tekniğine alıştıkları

sonuçlarına ulaşmışlardır.

Akkaya ve Durmuş (2010) ise 6. sınıf öğrencilerinin cebir öğrenme alanındaki kavram

yanılgılarını 8 grupta toplamışlardır. Deney grubunda uygulanan çalışma yapraklarına dayalı

öğretimin bu kavram yanılgılarını gidermede etkili olduğu görülmüştür. Şişman ve Aksu (2009)

yedinci sınıf öğrencilerinin alan ve çevre konularındaki başarılarını 8 açık uçlu soru ile ölçmüşler,

öğrencilerin bu konuda öğrenme güçlüklerine ve kavram yanılgılarına sahip olduklarını görmüşlerdir.

Benzer şekilde olasılık (Fast, 1997 ve Memnun, 2008), cebir (Erbaş, Çetinkaya ve Ersoy, 2009; Kar,

Çiltaş ve Işık, 2011; ), geometri (Yenilmez ve Yaşa, 2008; Öksüz, 2010), ondalık sayılar (Bilgin ve

Akbayır, 2002; Steinle ve Stacey, 2004 ve Macdonald, 2008), kompleks sayılar (Turanlı ve

arkadaşları, 2007 ve Çelik ve Özdemir, 2011), oran ve orantı (Kaplan, Öztürk ve İşleyen, 2011),

kesirler (Pesen, 2008; Kocaoğlu ve Yenilmez, 2010) konularında öğrencilerin kavram yanılgılarını ve

hatalarını belirlemeye yönelik çalışmalar yapılmıştır.

Matematik, günümüzde bilim ve teknolojide yaşanan gelişmelerle herkes için vazgeçilmez

olmuştur. Matematiğin bu önemine rağmen ülkemizde matematik öğretiminde sorunlar yaşandığı da

bir gerçektir. Bu sorunların tespiti ve giderilmesi amacıyla birçok araştırma yapılmış ve yapılmaktadır.

Yapılan bu araştırmalar incelendiğinde öğrencilerin hemen her eğitim düzeyinde ve konuda kavram

yanılgılarına sahip oldukları ve hata yaptıkları belirlenmiştir. Öğrencilerin muhtemel kavram

yanılgılarının ve hatalarının belirlenmesi ile onların ileride öğrenecekleri konularda sorun yaşamaları

önlenebilir. Öğrencilerin ilk kez 8. sınıfta karşılaştıkları kareköklü sayılar konusu öğrencilerin daha

sonra öğrenecekleri birçok konuya temel oluşturmaktadır. Bu nedenle bu çalışmada 8. sınıf

öğrencilerinin kareköklü sayılar konusunda yaptıkları ortak hataların ve kavram yanılgılarının tespit

edilmesi amaçlanmıştır. Elde edilen sonuçlara bağlı olarak bazı öneriler sunulmuştur.

2. YÖNTEM

Araştırmada sekizinci sınıf öğrencilerinin kareköklü sayılar konusundaki kavram yanılgıları ve

ortak hataları belirlenmeye çalışılmıştır. Araştırma mevcut durumu ortaya koymaya yönelik

olduğundan tarama modelinde tasarlanmıştır.

Araştırmanın örneklemini Hatay ili İskenderun ilçesindeki düşük sosyo ekonomik çevrede yer

alan iki ilköğretim okulunda 2011–2012 eğitim öğretim yılında öğrenim gören 38 kız, 36 erkek olmak

üzere toplam 74 sekizinci sınıf öğrencisi oluşturmaktadır. Araştırmada uygun örnekleme metodu

kullanılmıştır. Öğrenciler kareköklü sayılar ile ilk kez sekizinci sınıfta karşılaşmakta ve sonraki

sınıflarda bu sayıları sürekli kullanmaktadırlar. Bu nedenle örneklem için sekizinci sınıf öğrencileri

seçilmiştir. Öğrencilerin okullara göre dağılımları Tablo 1’de görülmektedir.

Tablo 1: Örneklemdeki Öğrencilerin Okullara Göre Dağılımları

Okullar Kız Erkek Toplam

n % n % n %

İlköğretim Okulu 1 26 50 26 50 52 70

İlköğretim Okulu 2 12 55 10 45 22 30

Toplam 38 51 36 49 74 100

Çalışmada veri toplama aracı olarak araştırmacı tarafından geliştirilen 10 açık uçlu sorudan

oluşan bir test uygulanmıştır. Testte öğrencilerden 8. sınıf kareköklü sayılar konusu kazanımları

çerçevesinde hazırlanan soruları cevaplamaları ve çözümlerini açıklamaları istenmiştir. Testte her

kazanıma yönelik soru bulunmasına dikkat edilmiştir. Testin oluşturulması aşamasında kapsam

geçerliliğinin belirlenmesi amacıyla üç matematik öğretmeni ve matematik öğretimi alanında uzman

bir akademisyenin görüşlerine başvurulmuştur.

Öğrenciler kareköklü sayılar konusunu öğrendikten sonra hazırlanan test bir ders saati süresinde

uygulanmıştır. Öğrencilerin her soruya vermiş oldukları yanıtlar “yanlış”, “doğru” kategorilerine

ayrılmış ve sırasıyla “0”, “1” şeklinde puanlanmıştır. SPSS 16.0 programında yapılan analiz

sonucunda testin Cronbach Alpha katsayısı 0,82 bulunmuştur. Bu güvenirlik düzeyi oldukça güvenilir

düzeydedir. Araştırmada toplanan verilerin analizinde frekans ve yüzde tablolarından faydalanılmıştır.

3. BULGULAR VE YORUM

Bu bölümde testte yer alan sorular ve sorulara ait analizler ele alınmıştır. Öncelikle soru

verilmiş, ardından öğrencilerin cevaplarının frekans ve yüzde değerleri tablo halinde sunulmuştur. Son

olarak yanlış cevap veren öğrencilerin hataları ve olası kavram yanılgıları incelenmiştir.

3.1. Birinci Soruya Ait Bulgular

81 tane 142 tane 196 tane 324 tane

“Dört odalı bir evin her bir odasının tabanı yukarıda verilen sayılarda kare şeklindeki

fayanslarla döşenmiştir. Her bir model fayans bir odaya döşenmiştir. Buna göre hangi model fayansın

döşendiği odanın tabanı kare şeklinde olamaz? Nedenini açıklayınız.”

Tablo 2: Birinci Sorunun Değerlendirme Sonucu

f %

Yanlış 21 28,4

Doğru 34 45,9

Cevapsız 19 25,7

Toplam 74 100,0

Bu soru öğrencilerin tam kare sayıları kavrama düzeylerini ölçmek amacıyla sorulmuştur.

Öğrencilerin yarıdan çoğu soruya yanlış cevap vermiş veya soruyu cevapsız bırakmıştır.

Öğrencilerden birçoğu fayansların üzerindeki şekillerle odaklandıkları için yanlış cevap vermiştir.

Cevaplarına “Fayans üzerindeki şekil kare olmadığı için” veya “Her kenarı eşit olmadığı için” gibi

açıklamalar getirmişlerdir. Bazı öğrenciler “kare çift olmalıdır” şeklinde düşünüp “81” cevabını

vermiştir. Birkaç öğrenci ise verilen değerlerin hepsini toplamıştır. Bu öğrenciler soruyu anlamadan

herhangi bir işlem yapmışlardır.

3.2. Ġkinci Soruya Ait Bulgular

“ 13 , 35 , 70 , 83 Sayılarının sayı doğrusundaki yerini çizerek gösteriniz. Nasıl

çözdüğünüzü açıklayınız.”

Tablo 3: Ġkinci Sorunun Değerlendirme Sonucu

f %

Yanlış 14 18,9

Doğru 41 55,4

Cevapsız 19 25,7

Toplam 74 100,0

Bu soruda öğrencilerin verilen kareköklü sayıların yaklaşık değerlerini düşünerek bu sayıları

sayı doğrusunda göstermeleri gerekmektedir. Öğrencilerin büyük bir bölümü bu soruya doğru yanıt

vermiştir. Bazı öğrenciler sayıların büyüklük-küçüklük ilişkisini doğru belirlemiş, fakat karekök

işaretini yazmamıştır. Bu öğrenciler karekök işaretinin anlamını tam olarak kavrayamamış, karekök

işaretini parantez gibi algılamışlardır. Birkaç öğrenci ise sayıları doğru sıralasa da kareköklü sayıların

hangi tam sayılar arasında kaldığını doğru belirleyememiştir. Kareköklü sayıların hangi tam sayılar

arasında kaldığını doğru tespit eden birkaç öğrenci ise bu sayıları sayı doğrusuna yerleştirememiştir.

3.3. Üçüncü Soruya Ait Bulgular

“Alanı 80 m2 olan karesel bölgenin çevre uzunluğu kaç metredir? Çözümü nasıl yaptığınızı

açıklayınız.”

Tablo 4: Üçüncü Sorunun Değerlendirme Sonucu

f %

Yanlış 28 37,8

Doğru 25 33,8

Cevapsız 21 28,4

Toplam 74 100,0

Bu soruda öğrencilerin karekök kavramı ile karesel bölgenin alanı arasındaki ilişki kurabilme

düzeyleri ölçülmek istenmiştir. Soruyu yanlış yanıtlayan öğrencilerin büyük bölümü karenin alanı ile

karekök kavramını ilişkilendirememiştir. Alanı verilen karenin bir kenar uzunluğunu bulurken karekök

almak yerine alanın yarısını bulmuşlar veya alanı çevre ile karıştırıp alanı dörde bölerek bir kenar

uzunluğu hesaplamaya çalışmışlardır. Birkaç öğrenci ise karenin alanını kenar sayısı olarak düşünerek

çevreyi hesaplamıştır. Bu hataların öğrencilerin ön bilgilerinin eksikliğinden kaynaklandığı

görülmektedir. Bazı öğrenciler çevre hesaplarken 𝑎 𝑏. 𝑐 = 𝑎. 𝑏. 𝑐 şeklinde, bir kısmı ise 𝑎 𝑏. 𝑐 =𝑎. 𝑐 + 𝑏 şeklinde çözüm yapmışlardır. Öğrencilerden küçük bir bölümü ise karekök alırken sayının 2

katını hesaplamıştır. Bu öğrencilerin karekök kavramını tam olarak öğrenemedikleri için bu hatalara

düştükleri söylenebilir.

3.4. Dördüncü Soruya Ait Bulgular

Tablo 5: Dördüncü Sorunun Değerlendirme Sonucu

f %

Yanlış 33 44,6

Doğru 15 20,3

Cevapsız 26 35,1

Toplam 74 100,0

Bu soruda öğrencilerin kareköklü sayılarla çıkarma işlemini yapabilme düzeyleri ölçülmeye

çalışılmıştır. Öğrencilerin çok büyük bölümü kareköklü sayılarla çıkarma işlemi yaparken kök içlerini

çıkarmıştır. Oldukça fazla öğrenci 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏 yanılgısına sahiptir. Öğrenciler karekök

işaretini yok sayarak işlem yapmışlardır. Bazı öğrenciler ise soruyu anlamadan çözüm yapmışlar ve

verilenleri toplama yoluna gitmişlerdir.

3.5. BeĢinci Soruya Ait Bulgular

“ 120 Sayısını bir tam sayı yapmak istiyoruz. Bu sayıyı en az kaç ile çarpmamız gerekir?

Çözümünüzü açıklayınız.”

Tablo 6: BeĢinci Sorunun Değerlendirme Sonucu

f %

Yanlış 31 41,9

Doğru 12 16,2

Cevapsız 31 41,9

Toplam 74 100,0

Bu soru öğrencilerin kareköklü bir sayıyı 𝑎 𝑏 şeklinde yazabilme düzeylerini ölçmek amacıyla

sorulmuştur. Öğrencilerin çok az bir bölümü soruyu doğru cevaplayabilmiş, büyük bölümü soruyu

cevapsız bırakmış veya yanlış yanıtlamıştır. Yanlış cevap veren öğrencilerin büyük bölümü kök

içindeki sayıyı 𝑎 𝑏 şeklinde yazamamıştır. Bazı öğrenciler sayının yaklaşık değerini bularak çözüm

yapmaya çalışmışlardır.

3.6. Altıncı Soruya Ait Bulgular

Ali =5 4 km/sa Elif =4 7 km/sa Melek =5 3 km/sa

“Ali, Elif ve Melek adlı koşucuların hızları şekilde verilmiştir. Bu koşucuların hızlarını küçükten

büyüğe sıralayınız. Çözümünüzü açıklayınız.”

“Şekildeki karınca bulunduğu yerden 108 cm ileri gittikten sonra

48 cm geri gelmiştir. Bu karınca hareketi sonunda ilk bulunduğu

yerden ne kadar ileri gitmiştir? Nasıl çözdüğünüzü açıklayınız.”

Tablo 7: Altıncı Sorunun Değerlendirme Sonucu

f %

Yanlış 34 45,9

Doğru 34 45,9

Cevapsız 6 8,1

Toplam 74 100,0

Öğrencilerin birçoğu bu soruya doğru yanıt vermiştir. Hatalı cevap veren öğrencilerin

açıklamaları “ sıralama yaparken kök dışındaki sayıya bakılır”, “ sadece kök içindeki sayıya göre

sıralanır”, “karekök dışındaki sayılara göre sıralanır, karekök dışındakiler eşitse karekök içindeki

sayıya bakılır” şeklindedir. Bu öğrenciler 𝑎 𝑏 = 𝑎2 . 𝑏 şeklinde yazarak sıralamak yerine sadece

kök içindeki veya sadece kök dışındaki sayıya bakarak sıralama yapmışlardır. Bazı öğrenciler ise 𝑎 𝑏

şeklindeki ifadeyi 𝑎 + 𝑏 şeklinde kök içine alarak sıralamışlardır. Bu öğrenciler kareköklü ifadeleri

tam olarak kavrayamamıştır.

3.7. Yedinci Soruya Ait Bulgular

27 m

75 m

Tablo 8: Yedinci Sorunun Değerlendirme Sonucu

f %

Yanlış 41 55,4

Doğru 8 10,8

Cevapsız 25 33,8

Toplam 74 100,0

Bu soruda öğrencilerin kareköklü sayılarla toplama işlemi yapabilme düzeyleri ölçülmek

istenmiştir. Öğrencilerin en az doğru cevap verdiği sorulardan biridir. Yanlış cevapların bir bölümü

çokgenlerin çevresi kavramının tam anlaşılmamasından kaynaklanmaktadır. Öğrenciler çevre yerine

alan hesaplamışlar veya dikdörtgenin sadece iki kenar uzunluğunu toplamışlardır. Öğrencilerin büyük

bir bölümüm ise 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 yanılgısı içindedirler. Dördüncü soruda da öğrenciler benzer bir

yanılgı içindedir.

3.8. Sekizinci Soruya Ait Bulgular

“ 8+ 32

2=? İşleminin sonucunu bulunuz. Çözümünüzü açıklayınız.”

Tablo 9: Sekizinci Sorunun Değerlendirme Sonucu

f %

Yanlış 39 52,7

Doğru 17 23,0

Cevapsız 18 24,3

Toplam 74 100,0

“Ahmet Bey şekilde gösterilen dikdörtgensel bölge

biçimindeki tarlasının etrafını 2 sıra tel ile örecektir. Kaç

metre tel gerektiğini bulunuz. Çözümünüzü açıklayınız.”

İşlemsel bilginin ölçüldüğü soruda öğrencilerin kareköklü sayılarla toplama ve bölme

işlemlerini doğru bir şekilde yapmaları beklenmektedir. Öğrenciler kareköklü sayılarla toplama işlemi

yaparken bir önceki soruyla aynı hataları yapmışlardır. 𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 yanılgısı bu soruda da

kendini göstermektedir. Birkaç öğrenci ise 𝑎 + 𝑏 = 𝑎𝑏 şeklinde toplanan iki sayıyı kök içinde

yan yana yazarak iki basamaklı bir sayı elde etmişlerdir. Bazı öğrenciler toplama ve bölme işlemlerini

doğru yapsalar da kareköklü sayılar içeren bir işlemin sonucunun mutlaka kareköklü bir sayı olması

gerektiğini düşünerek buldukları sonucu karekök içine almışlardır. 𝑎 = 𝑎 şeklinde düşünmüşlerdir.

3.9. Dokuzuncu Soruya Ait Bulgular

“ 0,04+ 1,44

0,49=? İşleminin sonucunu bulunuz. Çözümünüzü açıklayınız.”

Tablo 10: Dokuzuncu Sorunun Değerlendirme Sonucu

f %

Yanlış 23 31,1

Doğru 11 14,9

Cevapsız 40 54,1

Toplam 74 100,0

Bu soru da bir önceki soru gibi işlemsel bilginin ölçüldüğü bir sorudur. Öğrencilerin cevapları

önceki soruyla paralellik taşımaktadır. Öğrenciler ondalık sayıların kareköklerini hesaplarken de

𝑎 + 𝑏 = 𝑎 + 𝑏 yanılgısına düşmüşlerdir. Birçok öğrenci sadece payı kök içinden doğru çıkarıp

paydayı yanlış çıkarmıştır. Bu öğrencilerin bir bölümü ise ondalık kesirleri kesre dönüştürmede hata

yapmıştır. Bir öğrenci ise kareköklü sayıları bölerken kesirleri birbirinden çıkarmıştır.

3.10. Onuncu Soruya Ait Bulgular

3 𝑚 3 3 𝑚

Tablo 11: Onuncu Sorunun Değerlendirme Sonucu

f %

Yanlış 31 41,9

Doğru 2 2,7

Cevapsız 41 55,4

Toplam 74 100,0

Öğrencilerden sadece ikisi soruyu doğru yanıtlarken öğrencilerin çok büyük kısmı bu soruya hiç

yanıt verememiştir. Yanlış cevap veren öğrencilerin yanıtları incelendiğinde 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏

yanılgısı dikkat çekmektedir. Birkaç öğrencinin ise 𝑎 𝑏 − 𝑏 = 𝑎 hatasını yaptıkları göze

çarpmaktadır. Öğrencilerden bir kısmı ise karesel bölgelerin alanlarını bulmak yerine çevrelerini

hesaplamışlardır. Bunu yaparken de 𝑎 𝑏. 𝑐 = 𝑎. 𝑐 𝑏. 𝑐 şeklinde hata yapmışlardır. Kareköklü bir

sayının karesini alma konusunda öğrencilerin oldukça başarısız olduğu görülmüştür. Öğrencilerin bu

sorudaki hataları da diğer sorularla benzer özellikler taşıdığı söylenebilir.

“Şekilde verilen karesel bölge şeklindeki duvarın üzerine

yine karesel bölge şeklindeki tablo asılmıştır. Duvarda

kalan boş bölgenin kapladığı alan kaç m2 dir? Çözümü

nasıl yaptığınızı açıklayınız.”

3.11. Öğrencilerin Tüm Testteki BaĢarıları

Öğrencilere testte 10 açık uçlu soru sorulmuş ve çözümlerini açıklamaları istenmiştir.

Öğrencilerin testte yer alan sorulara verdikleri cevaplar incelenmiş, toplam doğru sayılarına göre

dağılımları ve başarı oranları aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Tablo12: Öğrencilerin Tüm Testteki Doğru Sayıları

Doğru sayısı f % Kümülatif %

0 14 18,9 18,9

1 16 21,6 40,5

2 18 24,3 64,9

3 5 6,8 71,6

4 3 4,1 75,7

5 4 5,4 81,1

6 7 9,5 90,5

7 2 2,7 93,2

8 3 4,1 97,3

9 1 1,4 98,6

10 1 1,4 100

Tabloda dikkat çeken en önemli veri 14 öğrencinin (%18,9) hiçbir soruya doğru cevap

verememiş olmasıdır. Frekansı en yüksek olan doğru sayısı 2’dir. 18 öğrenci (%24,3) sadece 2 soruya

doğru yanıt verebilmiştir. Bir öğrencinin bu testte başarılı sayılabilmesi için soruların en az yarısını

doğru yanıtlaması gerektiği düşünülürse öğrencilerin 75,7’sinin başarısız olduğu söylenebilir.

Öğrencilerden sadece biri (%1,4) 9 soruya, biri (%1,4) ise tüm sorulara doğru yanıt verebilmiştir.

4. TARTIġMA VE SONUÇ

Çalışmada ilköğretim sekizinci sınıf öğrencilerinin kareköklü sayılar konusunda sahip oldukları

kavram yanılgıları ve yaptıkları ortak hatalar incelenmiştir. 74 öğrencinin cevapları incelendiğinde tam

kare sayılarla ilgili soruda öğrencilerin büyük bir bölümünün soruyu cevapsız bıraktığı veya yanlış

cevap verdiği görülmüştür. Öğrencilerden %45,9’u ise soruyu doğru yanıtlayabilmiştir. Yanlış cevap

veren öğrencilerin açıklamaları incelendiğinde büyük çoğunluğun sorudaki şekillere odaklandığı için

hata yaptığı anlaşılmaktadır. Bazı öğrenciler ise “karenin çift sayı olması gerekir” şeklinde bir yorum

yaparak soruda verilen sayılar içinden tek sayı olanın kare oluşturamayacağını belirtmişlerdir.

Öğrencilerin bu hatalarının soruyu tam olarak anlayamamalarından kaynaklandığı söylenebilir.

Kareköklü sayıları sayı doğrusunda göstermede çoğu öğrenci başarılı olmuştur (%55,4). Özkan

(2011) da çalışmasında benzer bir soruyu 9. sınıf öğrencilerine yöneltmiş ve başarının diğer sorulara

göre daha yüksek olduğu sonucuna varmıştır. Bu soruda yapılan hatalar incelendiğinde öğrencilerin

karekök işaretini parantez gibi algıladığı söylenebilir. Birçok öğrencinin 𝑎 = 𝑎 şeklinde düşünerek

hareket ettiği görülmektedir. Bazı öğrencilerin ise kareköklü bir sayının hangi tam sayılar arasında

bulunduğunu tespit etmekte sorun yaşadığı göze çarpmaktadır. Soruyu yanlış yanıtlayan bu

öğrencilerin kareköklü sayı kavramını tam olarak öğrenemedikleri söylenebilir. Karekök işaretinin bir

işlem gerektirdiği bu öğrenciler tarafından fark edilmemiştir.

Öğrencilerin karesel bir bölgenin alanı ile karekök kavramı arasındaki ilişkiyi kurmada başarı

düzeyleri istenen düzeyde değildir (%33,8). Bu sorudaki hatalarının çoğu öğrencilerin alan ve çevre

konusundaki kavram yanılgılarından kaynaklanmaktadır. Öğrencilerin alan ve çevre konusunda

kavram yanılgılarına sahip olduğu Şişman ve Aksu (2009) tarafından yapılan çalışmada da tespit

edilmiştir. Görüldüğü gibi matematikte bir konuda sahip olunan kavram yanılgıları diğer konularda da

başarılı olunmasını engellemektedir. Öğrencilerin alan ve çevre hesabı konusundaki eksik ve yanlış

öğrenmeleri kareköklü sayılarla ilgili soruları yanıtlamalarını zorlaştırmıştır. Özellikle alan kavramının

yanlış öğrenilmesi alanı verilen karenin bir kenar uzunluğunun hesaplanması ile kareköklü sayılar

arasındaki ilişkinin kurulmasını engellemektedir. Bu soruda hata yapan bazı öğrenciler çevre

hesaplarken 𝑎 𝑏. 𝑐 = 𝑎. 𝑏. 𝑐 şeklinde, bir kısmı ise 𝑎 𝑏. 𝑐 = 𝑎. 𝑐 + 𝑏 şeklinde çözüm yapmışlardır.

Bu öğrencilerin yine 𝑎 = 𝑎 yanılgısına sahip oldukları, karekök işaretinin bir anlamı olmadığı

düşüncesiyle hareket ettikleri söylenebilir. Cengiz (2006) de ortaöğretim öğrencilerinin reel sayıların

öğretiminde karşılaştıkları hataları belirlediği çalışmasında benzer sonuçlara ulaşmıştır. Buna göre

öğrencilerin 8. sınıfta ilk kez karşılaştıkları kareköklü sayılar konusundaki hatalarını ve kavram

yanılgılarını üst öğrenim basamaklarına taşıdıkları söylenebilir.

Öğrencilerin kareköklü bir sayıyı 𝑎 𝑏 şeklinde yazabilme düzeyleri de oldukça düşüktür.

Öğrencilerin çok az bir bölümü soruyu doğru cevaplayabilmiş (%16,2), büyük bölümü soruyu

cevapsız bırakmış (%41,9) veya yanlış yanıtlamıştır (%41,9). Kareköklü sayıları sıralama konusunda

öğrencilerin birçoğu başarılı olmuştur (%45,9). Hata yapan öğrenciler (%45,9) sıralama yaparken

kareköklü sayının yalnızca bir bölümünü dikkate almıştır. Bu öğrenciler 𝑎 𝑏 = 𝑎2 . 𝑏 şeklinde

yazarak sıralamak yerine sadece kök içindeki veya sadece kök dışındaki sayıya bakarak sıralama

yapmışlardır. Bazı öğrenciler ise 𝑎 𝑏 şeklindeki ifadeyi 𝑎 + 𝑏 şeklinde kök içine alarak

sıralamışlardır. Bu öğrenciler kareköklü ifadenin ne anlama geldiğini tam olarak kavrayamamıştır.

Öğrencilerin kareköklü sayıları sıralama konusunda bu derece başarısız olup sayı doğrusunda

göstermede daha başarılı olmaları da dikkat çekicidir.

Kareköklü sayılarla dört işlem gerektiren soruların çözümünde öğrencilerin birbirine benzer

hatalar yaptıkları görülmüştür. Özellikle kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinde

öğrenciler 𝑎 ± 𝑏 = 𝑎 ± 𝑏 şeklinde düşünerek hareket ettikleri göze çarpmaktadır. Birkaç

öğrencinin ise 𝑎 𝑏 − 𝑏 = 𝑎 hatasını yaptıkları görülmüştür. Öğrencilerin bir bölümü ise 𝑎 + 𝑏 =

𝑎𝑏 şeklinde düşünerek toplanan iki sayıyı kök içinde yan yana yazıp iki basamaklı bir sayı elde

etmişlerdir. Bazı öğrenciler toplama ve bölme işlemlerini doğru yapsalar da kareköklü sayılar içeren

bir işlemin sonucunun mutlaka kareköklü bir sayı olması gerektiğini düşünerek buldukları sonucu

karekök içine almışlardır. Bu öğrenciler daha önceki sorularda olduğu gibi 𝑎 = 𝑎 şeklinde

düşünmüşlerdir. Öğrencilerin büyük çoğunluğu karekök işaretini yok sayarak işlemlerini yapmışlardır.

Bu sonuçlar daha önce yapılan çalışmalarla benzerlik göstermektedir (Bagni, 2000; Şenay, 2002;

Cengiz,2006 ve Özkan, 2011).

Kareköklü bir sayının karesinin bulunması gereken soruda da öğrencilerin oldukça başarısız

olduğu görülmüştür (%2,7). Öğrencilerin hatalarının bir bölümü alan ve çevre kavramlarının

karıştırılmasından kaynaklanmıştır. Yapılan diğer hatalar önceki sorularda karşılaşılan hatalarla

benzerlik göstermektedir. Özkan (2011) ve Cengiz (2006) de çalışmalarında ortaöğretim öğrencilerinin

köklü ifadelerin kuvvetini almakta hata yaptıkları sonucuna ulaşmışlardır.

Öğrencilerin testin tamamındaki başarıları incelendiğinde sadece bir öğrencinin (%1,4) tüm

sorulara doğru yanıt verdiği göze çarpmaktadır. 14 öğrencinin (%18,9) ise hiçbir soruya doğru cevap

verememiş olması dikkat çekicidir. Testte elde edilen doğru sayılarından frekansı en yüksek olanı

2’dir (%24,3). Bir öğrencinin bu testte başarılı sayılabilmesi için soruların en az yarısını doğru

yanıtlaması gerektiği düşünülürse öğrencilerin 75,7’sinin başarısız olduğu söylenebilir.

Sonuç olarak çalışmaya katılan 8. sınıf öğrencilerinin kareköklü sayı kavramını anlamada ve

kareköklü sayılarla dört işlemi etkin şekilde kullanma konusunda ciddi güçlükler yaşadıkları

görülmüştür. Öğrencilerin kareköklü sayılarla dört işlem yaparken uymaları gereken kuralları

benimsemeden sadece ezberledikleri söylenebilir. Bu nedenle öğrenciler bu kuralları kolayca unutup

karıştırabilmektedirler.

5. ÖNERĠLER

Öğrenciler kareköklü sayılar konusunu ilk kez sekizinci sınıfta öğrenmektedir. Bu nedenle

sekizinci sınıf öğrencilerinin kareköklü sayılar konusunda yaptıkları hataların ve kavram yanılgılarının

tespit edilmesiyle onların sonraki sınıflarda aynı hataları yapmalarını önlenebilir. Kareköklü sayılar

konusunu kalıcı, anlamlı ve etkili bir şekilde öğretilebilmesi için öğrenme ortamlarında

yapılabilecekler hakkında aşağıdaki öneriler getirilebilir:

Öğretmenlerin öğrencilere yeni bir kavramı anlatırken kavramın günlük hayattaki karşılığı ile

matematikteki karşılığının farkını ayırt etmeye yönelik çalışmalar yaptırması faydalı olabilir.

Öğretmenlerin anlatacakları konularda öğrencilerin çoğunlukla sahip olduğu kavram

yanılgılarını ve yaptıkları hataları bilmeleri bunları giderecek çalışmalar yapmalarını

kolaylaştıracaktır. Bu konuda öğretmenlere yönelik eğitimler düzenlenebilir. Kılavuz

kitaplarda sık görülen hatalar ve kavram yanılgılarına yer verilebilir.

Yeni bir kural ya da kavram öğretilirken genelde yapılan hatalara dikkat çekecek örneklere de

yer verilmelidir. Öğrencilerin doğru ve yanlış arasındaki farkı görmeleri sağlanmalıdır.

Öğrencilere matematiksel kuralların ezberletilmesi yerine onların bu kuralları keşfetmelerini

sağlayacak etkinlikler yapılmalıdır.

Öğrencilere matematiksel işlemleri nasıl yapacaklarını anlatmanın yanında öğrendikleri yeni

kavramları ve bir problemi çözerken yaptıkları işlemleri kendi cümleleriyle ifade etmelerini

öğretmek daha etkili olabilir.

Öğrenciler problemleri çözerken kendi yöntemlerini geliştirmeleri konusunda

cesaretlendirilmelidir.

Öğrencilere genellikle işlemsel bilgiler sunulmakta ve bunlarla ilgili sorular yöneltilmektedir.

İşlemsel bilgilerle birlikte bu işlemlerin temelini oluşturan kavramsal bilgilerin de

öğretilmesine özen gösterilmelidir.

Öğretmenlerin her öğrenciye hitap edebilecek farlı araç-gereçler ve öğretim yöntemleri

kullanarak derslerini anlatmaları daha etkili ve kalıcı öğrenmeyi sağlayabilir.

Öğretmenlerin yaptıkları sınavları değerlendirirken öğrencilerin kavram yanılgılarını ve sık

yaptıkları hataları belirleyerek bunları gidermek için çalışmalar yapmaları sorunların

büyümeden çözülmesini sağlayabilir.

KAYNAKLAR

Akkaya, R. ve Durmuş, S. (2010). İlköğretim 6. Sınıf Öğrencilerinin Cebir Öğrenme Alanındaki

Kavram Yanılgılarının Giderilmesinde Çalışma Yapraklarının Etkililiği. Dumlupınar Üniversitesi

Sosyal Bilimler Dergisi. 27, 7–26.

Bagni, G. (2000). “Simple” Rules and General Rules in Some High School Student’s Mistakes.

Journal Für Mathematik Didaktik. 21(2),124–138.

Bilgin, T. ve Akbayır, K. (2002). Lise 1. Sınıf Öğrencilerinin Ondalık Sayıları Yorumlama ve

Uygulamada Sahip Oldukları Kavram Yanılgıları. Kastamonu Eğitim Dergisi. 10(1), 109–118.

Cengiz, Ö. M. (2006). Reel Sayıların Öğretiminde Bir Kısım Ortaöğretim Öğrencilerinin

Yanılgıları ve Yanlışları Üzerine Bir Çalışma. Yüksek Lisans Tezi. Erzurum: A.Ü. Fen Bilimleri

Enstitüsü.

Çelik, D. ve Güneş, G. (2007). 7, 8, ve 9. Sınıf Öğrencilerinin Olasılık İle İlgili Anlama ve

Kavram Yanılgılarının İncelenmesi. Milli Eğitim. 173, 361–375.

Çelik, A. ve Özdemir, M. F. (2011). Ortaöğretimde Kompleks Sayılarla İlgili Kavram

Yanılgılarının Belirlenmesi. Buca Eğitim Fakültesi Dergisi. 209, 203–229.

Erbaş, A. K., Çetinkaya, B. ve Ersoy, Y. (2009). Öğrencilerin Basit Doğrusal Denklemlerin

Çözümünde Karşılaştıkları Güçlükler ve Kavram Yanılgıları. Eğitim ve Bilim. 34(152), 44–59.

Fast, G. R. (1997). Using Analogies to Produce Long Term Conceptual Change: Overcoming

High School Mathematics Students’ Probability Misconceptions. American Educational Research

Association Annual Conference. March 24-28, Chicago, İllinois. Internetten 3 Mart 2012’ de ERIC

veritabanından alınmıştır (ED407660): www.eric.ed.gov

Kaplan, A., Öztürk, M. ve İşleyen, T. (2011). 6. Sınıf Oran Orantı Konusundaki Kavram

Yanılgıları. Kastamonu Eğitim Dergisi. 19(3), 953–968.

Kar, T., Çiltaş, A. ve Işık, A. (2011). Cebirdeki Kavramlara Yönelik Öğrenme Güçlükleri

Üzerine Bir Çalışma. Kastamonu Eğitim Dergisi. 19(3), 939–952.

Kocaoğlu, T. ve Yenilmez, K. (2010). Beşinci Sınıf Öğrencilerinin Kesir Problemlerinde

Yaptıkları Hatalar Ve Kavram Yanılgıları. Dicle Üniversitesi Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi.

14,71–85.

MacDonald, A. (2008). A Year 7 Student’s Misconception About Decimal Place Value.

Australian Mathematics Teacher. 64(4), 12–15.

Memnun, D. S. (2008). Olasılık Kavramlarının Öğrenilmesinde Karşılaşılan Zorluklar, Bu

Kavramların Öğrenilmeme Nedenleri ve Çözüm Önerileri. İnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi

Dergisi. 9(15), 89–101.

Öksüz, C. (2010). İlköğretim Yedinci Sınıf Üstün Yetenekli Öğrencilerin “Nokta, Doğru Ve

Düzlem” Konularındaki Kavram Yanılgıları[Electronic Version]. İlköğretim Online. 9(2), 508–525.

Özkan, E. M. (2011). Misconceptions in Radicals İn High School Mathematics[Electronic

version]. Procedia Social and Behavioral Sciences. 15, 120–127. Internetten 22 Şubat 2012’ de

alınmıştır: www.sciencedirect.com

Pesen,C. (2008). Kesirlerin Sayı Doğrusu Üzerindeki Gösteriminde Öğrencilerin Öğrenme

Güçlükleri Ve Kavram Yanılgıları. İnönü Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi. 9(15), 157–168.

Steinle, V. & Stacey, K. (2004). Persistence of Decimal Misconceptions and Rediness to Move

to Expertise. 28. Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics

Education.4, 225–232.

Şandır, H., Ubuz, B. ve Argün, Z. (2002). Ortaöğretim 9. Sınıf Öğrencilerinin Mutlak Değer

Kavramındaki Öğrenme Hataları ve Kavram Yanılgıları. V. Ulusal Fen Bilimleri ve Matematik Eğitimi

Kongresi. ODTÜ, Ankara.

Şenay, Ş. C. (2002). Üslü ve Köklü Sayıların Öğretiminde Öğrencilerin Yaptıkları Hatalar ve

Yanılgıları Üzerine Bir Araştırma. Yüksek Lisans Tezi, Konya: S.Ü. Fen Bilimleri Enstitüsü.

Şişman, G. T. ve Aksu, M. (2009). Yedinci Sınıf Öğrencilerinin Alan ve Çevre Konularındaki

Başarıları[Electronic Version]. İlköğretim Online. 8(1), 243–253.

Tatar, E. ve Dikici, R. (2008). Matematik Eğitiminde Öğrenme Güçlükleri. Mustafa Kemal

Üniversitesi Sosyal Bilimler Enstitüsü Dergisi. 5(9), 183–193.

Turanlı, N., Keçeli, V. ve Türker, N. K. (2007). Ortaöğretim İkinci Sınıf Öğrencilerinin

Karmaşık Sayılara Yönelik Tutumları İle Karmaşık Sayılar Konusundaki Kavram Yanılgıları Ve

Ortak Hataları. Balıkesir Üniversitesi Fen Bilimleri Enstitüsü Dergisi. 9(2), 135–149.

Yenilmez, K. ve Avcu, T. (2009). İlköğretim Öğrencilerinin Mutlak Değer Konusunda

Karşılaştıkları Zorluklar. Dicle Üniversitesi Ziya Gökalp Eğitim Fakültesi Dergisi. 12, 80–88.

Yenilmez, K. ve Yaşa, E. (2008). İlköğretim Öğrencilerinin Geometrideki Kavram Yanılgıları.

Uludağ Üniversitesi Eğitim Fakültesi Dergisi. 21(2), 461–483.