a a a a br - mebk12.meb.gov.trmebk12.meb.gov.tr/meb_iys_dosyalar/43/07/846641... · kareköklü...

KAREKÖKLÜ SAYILAR-1

Bu içerikte, karekökün tanımı ve tam kare doğal sayıların hangileri olduğu ve bu sayıların kareköklerinin

nasıl ifade edilebileceği incelenecektir.

Not:

Örnek: Aşağıda verilen karekök alma işlemi ile ilgili problemleri çözünüz.

Alanı 281 br olan

karenin bir kenar

uzunluğu kaçtır?

Her birinin alanı 21br

olan 94 karesel cebir

karosuna en az kaç karo

eklenirse karesel bölge

edilebilir?

Her birinin alanı 21br

olan 73 karesel cebir

karosundan en az kaç

karo çıkarılırsa karesel

bölge edilebilir?

Karesel bir bölge elde

edebilmek için 43

karesel cebir karosuna

alanı 21br olan en az

kaç karo eklemeliyiz?

Ders: Konu: TEOG

MİKRO ANLATIM

ÇALIŞMA DEFTERİ

Yaprak No: Copyright:

Matematik Kareköklü

Sayılar-1 7 Bilal KICIROĞLU

Kazanım: Tam kare doğal sayılarla bu sayıların karekökleri arasındaki ilişkiyi modelleriyle açıklar

ve kareköklerini belirler.

Not: Buna göre; alanı verilen karenin bir kenar uzunluğunu hesaplamak için kullanılan işleme karekök

alma işlemi ve bu işlem için gerekli "" sembolüne karekök sembolü denir. Eğer karekök

"" şeklinde ise buna negatif karekök denir.

Yanda verilen karenin alanı 236 br ise bir kenarının uzunluğu kaç br 'dir?

Karenin alanı, bir kenarının kendisiyle tekrarlı çarpımı olduğundan, sorunun cevabı

tabi ki br6 'dir.

Bu sorunun cevabı için gerekli işlemler karekök alma işlemi ile gerçekleştirilebilir ve bu işlem şu şekilde yapılır:

Karenin alanı: 2aaaA şeklinde hesaplanabilir. O halde;

bra

aa

a

6

0636

36

22

2

Karekökün içerisinden tam olarak çıkabilen doğal sayılarda sanki karekök işlemine

gerek yokmuş gibi gözükür. Ancak bize verilen karenin alanı 220br olsaydı ve bir

kenar uzunluğu bize sorulsaydı, kendisiyle tekrarlı çarpımı 220br olan bir doğal

sayı tanımlanamadığından karenin bir kenar uzunluğunun br20 şeklinde ifade

edilmesi gerekirdi. Dolayısıyla sorunun cevabını ifade etmek için karekök işlemine ve karekök sembolüne ihtiyaç duyardık.

Not: Karekök işlemi 0 ve 0'dan büyük tüm sayılar için tanımlandığından karekökün içerisindeki sayı

negatif olamaz. Başka bir deyişle; karesel bölgenin alanı hiçbir zaman negatif bir değer alamayacağından

karekök içerisindeki "121,60,49" şeklindeki ifadeler hatalıdır.

Ancak "121,60,49" şeklindeki ifadeler eksi işareti karekökün dışında olduğundan negatif

karekök şeklinde tanımlanan ifadelerdir. Karekök içerisinde eksi olan ifadelerle bu tür ifadeler birbirine

karıştırılmamalıdır.

Örnek: Aşağıda verilen örnekleri inceleyerek alanları verilen karelerin bir kenar uzunluklarını karekök alma

işlemini uygulayarak hesaplayınız.

Karenin Alanı: Bir Kenar Uzunluğu: Karenin Alanı: Bir Kenar Uzunluğu:

21br br111 2 2121 br br1111121 2

24 br br224 2 2144 br br1212144 2

29 br .............................. 2169 br ..............................

216 br .............................. 2196 br ..............................

225 br .............................. 2225 br ..............................

236 br .............................. 2256 br ..............................

249 br .............................. 2289 br ..............................

264 br .............................. 2324 br ..............................

281 br .............................. 2361 br ..............................

2100 br .............................. 2400 br ..............................

2625 br .............................. 210000 br ..............................

Örnek: Aşağıda verilen örnekleri inceleyerek verilen kareköklü sayıları küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

3681225

225,6,81

572136

136,5,72

16,289,64

..............................

4,121,12

..............................

100,13,49

..............................

36,1,361

..............................

9,121,0

..............................

256,196,3

..............................

324,400,14

..............................


Bu içerikte, tam kare olmayan sayıların kareköklerini strateji kullanarak tahmin etme konusu

incelenecektir. Bu işlem iki şekilde incelenecektir; birincisi her işleme uygun ve en yakın sonucu veren

matematiksel yöntem, ikincisi ise pratik yöntem olacaktır.

Örnek: Daha önce de bahsettiğimiz gibi alanı 220 br olan karesel bir bölgenin bir kenar uzunluğunu doğal

sayı cinsinde hesaplamak mümkün değildir. Çünkü kendisiyle tekrarlı çarpımı 20 yapan

tanımlayabildiğimiz herhangi bir sayı yoktur. O halde biz 20 sayısını sayı doğrusunda gösterirken hangi iki

tam sayının arasında olduğunu ve hangisine daha yakın olduğunu tanımlayabiliriz. Öyleyse şimdi 20

sayısının yaklaşık değerini hesaplayalım.

20 sayısı değerini tam sayı cinsinden ifade edebildiğimiz 16 ve 25 sayılarının arasında yer

almaktadır. O halde; 252016 şeklinde bir sılama yapabiliriz ve dahası 16 sayısına biraz daha

yakın olduğunu da söyleyebiliriz. 416 ve 525 olduğundan;

5204 20 sayısı 4 ve 5 tam sayıları arasında ve

4 tam sayısına daha yakın bir bölümdedir.

Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayıların sayı doğrusundaki yerlerini yukarıdaki örnekte olduğu gibi ifade ediniz.

43 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine

daha yakındır? .....................................................................................


daha yakındır? .....................................................................................


daha yakındır? .....................................................................................

3 sayısı hangi iki tam sayı arasında ve hangisine daha

yakındır? .....................................................................................


daha yakındır? .....................................................................................


daha yakındır? .....................................................................................


daha yakındır? .....................................................................................


daha yakındır? .....................................................................................


daha yakındır? .....................................................................................


daha yakındır? .....................................................................................

Ders: Konu: TEOG

MİKRO ANLATIM

ÇALIŞMA DEFTERİ




Kazanım: Tam kare olmayan sayıların kareköklerini strateji kullanarak tahmin eder.

Not: Şimdi de 20 sayısının onda birler basamağına kadar yaklaşık değerini iki şekilde hesaplayalım.

Birinci Yol; İkinci Yol:

4,4 252016 aralığındadır.

20 4x2=84 20-16=4

- 16 x 4 25-16=9

400 336 4/9=0,4 O halde; 4,420

Not: Bunların dışında kareköklü sayının değerini en yakın onda birler basamağına kadar belirlemek istersek

yani sayının onda birler basamağına yuvarlanmış şeklini bulmak istersek, bölme işleminde bölünen sayıya en

yakın sonucu veren rakamı onda birler basamağına yazarız. Aşağıdaki örneği dikkatlice inceleyiniz.

Örnek: 88 sayısının değerini en yakın onda

birler basamağına kadar tahmin ediniz.

1008881 aralığındadır.

1981100

78188

3808315196,988 hesap makinesinde bulunan sonuçtur. Eğer bu sonucu onda birler basamağına yuvarlarsak

4,988 elde ederiz yani onda birler basamağı 4,0 şeklinde gelir.

77 sayısının değerini onda birler basamağına kadar

tahmin ediniz.


tahmin ediniz.

Not: 243 sayısının değerini onda birler basamağına kadar tahmin ediniz.

15,5

432 1x2=25 15x2=305

- 1 x 5 x 5

143 125 1525

- 125

1800


tahmin ediniz.


tahmin ediniz.

Pratik yöntemde 20 ile 16 ve 25 ile 16

arasındaki farkı buluruz. Sonra da küçük sayısı

büyük sayıya bölerek yalnızca onda birler

basamağındaki sayıyı belirleyebiliriz. Bu

yöntem onda birler basamağı dışındaki

basamaklar için doğru sonucu vermez. Sadece

virgülden sonraki ilk basamağı doğru bir

şekilde belirleyebiliriz.

Bu yöntemde önce kendisiyle çarpımı 20

sayısına en yakın tam sayıyı yazarız. Sonra 20

ile 16'nın farkını alırız. Daha sonra farkın sağına

iki adet sıfır ve karesini aldığımız tam sayının

sağına da virgül ekleriz. Daha sonra da karesini

aldığımız tam sayının her zaman 2 katını alır ve

çıkan sonucun sağına eklediğimiz sayı ile elde

ettiğimiz sayıyı çarparak sağına iki sıfır

eklediğimiz sayıya en yakın sonuca ulaşmaya

çalışırız.

Üç basamaklı sayılarda ilk önce sayıları sağdan başlayarak ikişer ikişer

gruplandırırız. Sonra da kendisiyle çarpımı 2 sayısına en yakın tam sayıyı

yazar ve yukarıdaki notta Birinci Yol için anlatılan işlemleri aynen sırası

ile uygularız.

70 19 70 19 57 76 0,3 0,4 13 -6 70 'e -6 sayısı 13 sayısından daha yakın olduğundan 0,4 sayısı

88 kareköklü sayısının değerinin en yakın onda birler

basamağıdır yani onda birler basamağına göre yuvarlanmış şeklidir.


Bu içerikte, tam kare olmayan bir doğal sayının ba şeklinde nasıl yazıldığını ve ba şeklinde yazılan

bir kareköklü sayının katsayısının kök içine nasıl alındığını inceleyeceğiz. Ayrıca ba şeklinde verilen

kareköklü sayıları sıralayacağız.

Örnek: Tam kare bir doğal sayının katı şeklinde yazılabilen kareköklü sayıları ba şeklinde yazabiliriz.

Örneğin; 20 sayısını ele alalım. 20 sayısını asal çarpanlarına ayırırsak;

20 2

10 2 20 sayısının asal çarpanları içerisindeki çarpanlardan karesel olanlarını belirleyelim.

5 5 52220 20 sayısının asal çarpanlarıdır.

1

525252220 2 Karesel ifade kök dışına karesini bırakarak çıkabilir.

Diğer çarpan kök içinde kalır.

Not: Tam kare bir doğal sayının katı şeklinde yazılabilen baba 2 kareköklü sayılar ba şeklinde

ifade edilebilir. Sayının tam kare bir doğal sayının katı olup olmadığını da asal çarpanlarına ayırarak belirleyebiliriz.

Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayıları yukarıdaki örnekte belirtildiği gibi ba şeklinde yazınız.

.........................8 .........................12 .........................18 .........................20

.........................24 .........................28 .........................32 .........................40

.........................45 .........................48 .........................50 .........................54

.........................63 .........................72 .........................75 .........................96

.........................98 ......................108 ......................112 ......................125

......................128 ......................147 ......................150 ......................162

.......................175 ......................180 .......................200 .......................216

......................242 ......................245 ......................250 ......................300

.......................363 .......................392 .......................500 .....................1000

Ders: Konu: TEOG

MİKRO ANLATIM

ÇALIŞMA DEFTERİ




Kazanım: Kareköklü bir sayıyı ba şeklinde yazar ve ba şeklindeki ifadede katsayıyı kök

içine alır.

Örnek: ba şeklinde verilen aşağıdaki ifadeleri örneği inceleyerek baba 2 şeklinde yazınız.

12343232 2 45595353 2

...............................................................27 ...............................................................26

............................................................311 ...............................................................38

...............................................................65 ...............................................................54

...............................................................73 ...............................................................66

...............................................................132 ............................................................710

Not: O halde yüksek mertebeden kuvveti olan şu ifadeleri de şu şekilde baba 2 şeklinde yazabiliriz.

3223222642 cbacbacba yxyxyyxxyx 21221253

52510 222 3333333 25122515051

..............................................................528 ..............................................................7101

........................................................108 ba ........................................................127 yx

Örnek: ba şeklinde verilen aşağıdaki ifadeleri örnekleri inceleyerek baba 2 şeklinde yazarak

küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

133,8,35

117133

648

7535

358133

7564117

15,38,103

22515

19238

900103

1031538

900225192

35,5,25

62,9,37

112,13,53

167,14,56


Bu içerikte, kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerinin nasıl yapıldığını inceleyeceğiz.

Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayılarla toplam ve çıkarma işlemlerini örneklerde gösterildiği gibi çözünüz.

223137322132723 36915339315

Not: Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemleri yapılırken katsayılar toplanır veya çıkarılır ortak kareköklü çarpan sonuca çarpan olarak yazılır.

............................................555105 ....................................................611619

.........................................3731238 ......................................7971472

..................................1025102710 ......................................7117772

.........................1112118114116 .........................23236224216

.........................393153637 .........................1522151615154

.........................563 aaaa .........................453836 xxxx

.........................2 bbbb ....................5432 yyyyy

.........................3162936212 .........................9117 baba

Örnek: Aşağıdaki örneği inceleyerek kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini verilen kareköklü

sayıları ba şeklinde yazarak çözünüz.

2624222422328 22 ..............................................10827

..............................................45125 ...............................16212898

..................................15021624 ......................................5018200

.........................2437548147 ..................6403601000250

Ders: Konu: TEOG

MİKRO ANLATIM

ÇALIŞMA DEFTERİ




Kazanım: Kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini yapar.

Örnek: Aşağıdaki örneği inceleyerek kareköklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemlerini verilen kareköklü

sayıları katsayılarını da dikkate alarak ba şeklinde yazarak çözünüz.

2262202621022232102223200283 22

..........................................................................................................................12339272

......................................................................................................................452531254

........................................................................................................................24754566

....................................................................................................................................507729

....................................................................................................................................272485

....................................................................................................................................205455

......................................................................................................................................275483

....................................................................................................................................4510204

...........................................................................................................................8320027

.....................................................................................................................636175285

...........................................................................................................................3124276

..........................................................................................................................125206511

.......................................................................................................................272125756

.........................................................................................................................2518884

...................................................................................................................752275124

...........................................................................................................271083127312

............................................................................................................50730084276

...........................................................................................................63328445220

.........................................................................................................12218575232


Bu içerikte, kareköklü sayılarla çarpma işleminin nasıl yapıldığını inceleyeceğiz.

Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayılarla çarpma işlemlerini örneklerde gösterildiği gibi çözünüz.

102152735723 63232332332 2

Not: Kareköklü sayılarla çarpma işlemini yapılırken kareköklerin katsayıları kendi arasında ve kareköklü sayılarda kendi arasında çarpılır.

Not: aaa

....................................................232 ....................................................6611

..............................................3257 ..................................................22

320

35

2

....................................................122312 .................................................726

..................................................665 ................................................5153

...........................................2437 ...............................................2735

....................................................23 aa ................................................523108

...................................................5553 ........................................................235

.........................................29228 ..................................................247

Örnek: Aşağıdaki örnekleri inceleyerek kareköklü sayılarla çarpma işlemlerini dağılma özelliğinden

yararlanarak çözünüz.

21531023532523325

155103555235552535525 2

236620181262063342534632534

Ders: Konu: TEOG

MİKRO ANLATIM

ÇALIŞMA DEFTERİ




Kazanım: Kareköklü sayılarla çarpma işlemini yapar.

5326

3378

731024

105733

64545

536510

56322

3635

Örnek: Aşağıdaki örneği inceleyerek kareköklü sayılarla çarpma işlemlerini iki kare farkı özelliğinden

yararlanarak çözünüz.

1565565665655665656 22

Not: 2222 babababababbaababa

Yukarıdaki çarpma işleminde de görüldüğü gibi baba şeklindeki çarpımlar pratik olarak 22 ba

işlemi ile hesaplanabilirler. 22 ba şeklindeki bu hesaplamaya iki kare farkı adı verilir. İki kare farkını

cebirsel ifadeler konusunda daha detaylı bir şekilde işleyeceğiz. Dolayısıyla kareköklü sayılarla yapılan bazı çarpma işlemlerinin sonuçlarını iki kare farkı ile ortaya koymak mümkündür. O halde yukarıdaki işlem;

15656565622

şeklinde de yapılabilir.

3232

106106

5757

222222

325325

213213


Bu içerikte, kareköklü sayılarla bölme işleminin nasıl yapıldığını ve karma örnekleri inceleyeceğiz.

Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayılarla bölme işlemlerini örneklerde gösterildiği gibi çözünüz.

236

12

2

6

62

126 6323292

2

18

4

8

24

188 2

Not: Kareköklü sayılarla bölme işlemini yapılırken kareköklerin katsayıları kendi arasında ve kareköklü sayılarda kendi arasında bölünür.

..........................................................34

1512 .........................................................

39

27144

........................................................215

645

......................................................

612

2496

..........................................................26

824 .....................................................

212

3272

......................................................7

285 ...................................................

105

4080

........................................................6

530

..................................................

37

7535

.........................................................10

620

.....................................................

6

545

.....................................................2

3213

...........................................................

22

86

...........................................................6

187 .....................................................

215

12845

.....................................................28

24

........................................................

34

1292

........................................................3

1513 .....................................................

77

2142

.....................................................713

9165

.....................................................

1911

5744

Ders: Konu: TEOG

MİKRO ANLATIM

ÇALIŞMA DEFTERİ




Kazanım: Kareköklü sayılarla bölme işlemini yapar.

Kareköklü sayılarla karma işlemleri yapar.

Örnek: Aşağıdaki karma örnekleri kareköklü sayılarla işlemlerin özelliklerinden yararlanarak çözünüz.

50200

1832583

45209

9040

700252

63228

62

96600

832

3122

341227

10875

12545203

4904090

116

332332

2525

1313

27323

8232

632

522522

3001223527

6006554242

4

51

36

1

9

1

16132241 1361314

Örnek: 3 sayısının yaklaşık değeri 7,1 olduğuna

göre; 108 'in yaklaşık değeri nedir?

Örnek: Bir karenin alanı 272 br olduğuna göre

çevresi kaç birimdir?


Bu içerikte, ondalık kesirlerin kareköklerini ve bu kareköklerle yapılan işlemleri inceleyeceğiz.

Örnek: Aşağıdaki kareköklü sayılarla bölme işlemlerini örneklerde gösterildiği gibi çözünüz.

4,010

4

10

4

100

1616,0

2

2

5,110

15

10

15

100

225

100

25225,2

2

2

Not: Kareköklü sayılarda ondalık kesirlerin karekökleri hesaplanırken önce ondalık kesir rasyonel kesre çevrilir daha sonra da pay ve paydanın karekökü alınır.

..........................................................36,0 .........................................................69,1

........................................................01,0 ......................................................89,2

..........................................................81,0 .....................................................24,3

......................................................0001,0 ...................................................96,1

.....................................................64,0 ...........................................................0025,0

10

106

1010

106

10

6

10

6

10

366,3

2

10

1013

1010

1013

10

13

10

1699,16

Not: Yukarıdaki örneklerde 3

32

33

32

3

2

şeklinde gösterilen işleme paydayı kökten kurtarma

işlemi denir. Bu işleme bazı kaynak kitaplarda yer verildiğinden ihtiyacınız olabilir. İşlemde kareköklü rasyonel sayının paydasında yer alan kareköklü sayı ile hem pay hem de payda çarpılmaktadır. Siz de aşağıdaki örnekleri yukarıda gösterildiği şekilde karekökü paydadan kurtararak çözünüz.

........................................................9,0 ..................................................1,12

.........................................................9,4 .....................................................4,14

Ders: Konu: TEOG

MİKRO ANLATIM

ÇALIŞMA DEFTERİ




Kazanım: Ondalık kesirlerin kareköklerini belirler.

Kareköklü sayılarla karma işlemleri yapar.

Örnek: Aşağıdaki karma örnekleri kareköklü sayılarla işlemlerin özelliklerinden yararlanarak çözünüz.

1,04,09,0

259719

16

911

19611

817

16

71

4

12

9

51

649

68121 22

25,2225,08

01,0

1

04,0

1

09,0

1

36

1

64

1

16

91

16

71

16

25

49

1

10

6,19

5

2 3

04,0

716

Örnek: ba 2,3 ise 72 'nin a ve b

türünden nasıl ifade edilebileceğini gösteriniz. (72 sayısı asal çarpanlarına ayrılır.)

2323

23 323272 ab 09,0

25,2

1,36

61,3

zyx 5,3,2 ise 180 x, y ve z

türünden nasıl ifade edilebilir? ...................................................................................

44,181,0

a a a a br - mebk12.meb.gov.trmebk12.meb.gov.tr/meb_iys_dosyalar/43/07/846641... · kareköklü...

Documents