73980548 10 barisan dan deret bilangan real

7/22/2019 73980548 10 Barisan Dan Deret Bilangan Real

1/20

Koko Martono FMIPA - ITB

001

Barisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut

dinamakanbarisan. Barisan bilangan real 1 2 3, , ,a a a ditulis 1{ }n na = ,

atau disingkat {an}. Secara formal, barisan (tak hingga) ini didefinisikansebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli .

Ilustrasi Barisan bilangan real yang polanya 1, 4, 7, mempunyai ru-

mus eksplisit suku ke-nberbentuk 3 2, 1,2,na n n= - = . Dalam bentukrumus rekursif barisan ini ditulis 1 11, 3, 2n na a a n-= = + .

Barisan konvergen Barisan {an} dikatakan konvergen keLjika anda-pat dibuat sebarang dekat keLdengan mengambil nyang besar. Secaraformal, barisan {an}konvergenkeL, ditulis lim ,n

na L

= atau na L jika

0 | | .nN n N a Le e" > $ ' fi -


2/20

B & D BR

002

Contoh Buktikan1

lim lim 1 1( )nn n

na

= - = dengan definisi limit barisan.

Bukti Akan dibuktikan1

0 1 1 .| |n

N n Ne e" > $ ' fi - - , maka ambillahNbilangan asli yang lebih besar

dari1e

, maka1

n Ne

> mengakibatkan 1 11 1 .| |n n

e- - = <

Sifat limit barisan Untukbarisankonvergen{an},{bn}dankonstantak:

(1) limn

k k

=

(2) lim limn nn n

ka k a

=

(3) lim ( ) lim limn n n nn n n

a b a b

=

(4) lim ( ) lim limn n n nn n n

a b a b

=

(5)lim

limlim , lim 0

nnn

n nn

nn n

aa

b b b

=

Sifat barisan konvergen

Untuk barisan { }, ( )n na a f n= ; jika lim ( )x

f x L

= , maka lim ( )n

f n L

= .

Prinsip apit Untuk barisan { },{ },{ }n n na b c , jika n n na b c dengan

na L dan nc L , maka nb L .Untuk barisan { }na , jika | | 0na , maka 0na .Jika barisan { }na konvergen, maka { }na terbatas.

({ }na barisan terbatas jika 0 | |nM a M n$ > ' " )Jika barisan { }na monoton tak turun dan terbatas di atas, maka { }na

konvergen. ({ }na barisan monoton tak turun jika 1n na a n+ " )

Contoh penggunaan prinsip apit Buktikan jika | | 1r < , maka 0nr .

Bukti Karena | | 1r < , maka 1| |

1r

> , akibatnya 1| |

0 1r

p p$ > ' = + . Dari sini

diperoleh1 1

| | | |(1 ) 1

n n

n

r r p pn pn n= = + + > " , sehingga 10 | |n

pnr < .

Karena1

lim 0 0 limn n pn

= = (limit pengapitnya 0),maka | | 0nr . Akibatnya

berdasarkan sifat barisan konvergen diperoleh 0nr .


3/20

B & D BR

003

Contoh Buktikan barisan { }na dengan2

!

n

n na = konvergen ke 0.

Bukti Karena{ }na barisan positif, maka { }na terbatas di bawah oleh 0.

Karena 11

11 2 ! 2

( 1)! 121n

n n

n

nn

a n

a a n na+

+

+ + += = = , maka 1n na a n+ " , akibat-

nya{ }na barisan monoton tak naik. Karena { }na monoton tak naik dan ter-

batasdibawaholeh0,maka{ }na konvergenke0. (sifat barisan konvergen)

Cara lain Karena 2 ( 1)!, 6n n n< - > (buktikan dengan induksi matematika),

maka ( 1)!2 1! !0n

n nn n na -< = < = . Karena limit pengapitnya 0, maka 0na .

Deret bilangan real Dari barisan {an} buatlah barisan {sn} dengan

1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 2, , , , n ns a s a a s a a a s a a a= = + = + + = + + + .

Barisan {sn} dinamakanderet bilangan realdan ditulis 1 nn a= . Sukuke-ndari barisan {sn} dinamakan jumlah parsial deret. Dari definisi inilangsung diperoleh 1 , 1,2,3,n n na s s n+= - =

Deret konvergen Deret1 nn a

=

dikatakankonvergen(punya jumlah)jika barisan {sn} konvergen dandivergenjika {sn} divergen.

Contoh Selidiki kekonvergenan deret1

1

( 1)n n n=

+.

Deretnya:1

1 1 1 1 1( 1) 2 6 12 20n n n=

+ = + + + + dengan

1 1 1( 1) 1n n n n+ += - .

Jumlah parsial deret ini adalah

( ) ( ) ( ) ( )1 11 1 1 1 1 1 1 1 1

( 1) 1 2 2 3 1 11 1 .n k k

n n

k k k k n n ns

= =+ + + += = - = - + - + + - = -

Karena ( )1 1lim lim 1 1nn n ns += - = , maka deret ini konvergen dan jumlahderetnya 1, ditulis

1

1( 1)

1.n n n=

+ =


4/20

B & D BR

004


1n n=

.

Deretnya:1

1 1 1 12 3 4

1n n=

= + + + + dengan 1n na = . (deret harmonik)

Jumlah parsial deret ini dapat ditulis dalam bentuk

( )

( ) ( )

1 1

2 1 2

4 1 2 3 4

8

1/ 2

1/ 2 1/ 2

1 2 8

1 12 2

1 1 1 12 3 4 2

1 1 1 1 1 1 1 12 3 4 5 6 7 8 2

1

1 1 1

1 1 2

1 1 3

s a

s a a

s a a a a

s a a a

>

> >

= =

= + = + = +

= + + + = + + + > +

= + + + = + + + + + + + > +

Dari sini diperoleh2

1 12 2

1 1ns n n> + = + . (buktikan dengan induksi!)

Karena ( )12lim lim 1 ,nn ns n = + = maka deret ini divergen.

Contoh Selidiki kekonvergenan deret 11( 1)n

n

+=

- .

Deretnya: 11( 1) 1 1 1 1n

n

+=

- = - + - + dengan 1( 1) .nna += -

Jumlah parsial deretnya: {1, bilangan ganjil {1,0,1,0, }0, bilangan genapnn

sn

= = .

Karena {sn} tidak mempunyai limit (oskilasi),maka deret ini divergen.

Sifat deret konvergen Jika deret1 nn a

= konvergen, maka lim 0.nn a =

Bukti Misalkan jumlah parsial deret ini adalah sn. Karena deretnya kon-vergen, maka lim .n

ns s s

$ ' = Akibatnya

1 1lim lim ( ) lim lim 0.n n n n nn n n n

a s s s s s s- -

= - = - = - =

Ilustrasi Deret 11

2 5n

n

n=

+

- divergen karena1 1

2 5 2lim 0nn

n

+

- = .(kontraposisi sifat deret konvergen)


5/20

B & D BR

005

Catatan Kebalikan sifat deret konvergen tidak benar lagi.

Contoh penyangkalnya adalah1

lim 0n n = tetapi deret

1

1n n=

divergen.

Deret Geometri Bentuk umum: 1 21

n

n ar a ar ar

-=

= + + + .

Jumlah parsial: 1 2 11

(1 )1

, 1.nn k n

n k

a r

rs ar a ar ar ar r

- -=

--= = + + + + =

2 1

2 1

(1 )1

(1 ) (1 ) , 1n

nn

n nn

nn n

a rr

s a ar ar ar

rs ar ar ar ar

r s a r s r

-

-

--

= + + + += + + + +

=fi- = -

Jika | | 1r < , maka 0nr (halaman 2, prinsip apit),akibatnya1

1

(1 ) 11 1 1

lim limn

nnn n n

a r a

r r rs ar s a

-=

-- - -= = = = = .

Catatan Dari fenomena 1 2 1= - , 1 12 2

1 2+ = - , 1 1 12 4 4

1 2+ + = - , di-

peroleh 11 1 1 1

2 4 2 21 2n nnS + = + + + + = - dengan 1lim 2nn S + = , sehingga

deret geometri0

1 1 12 42

1nn=

= + + + konvergen ke 2; 01

22nn=

= .

Ilustrasi ( )1

1 1 23

1

1 1 1

2 2 2 2 13 13 3

2 2 2 3 6.n n

n n

n

n n n

-

- -

-

= = =

-

= = = = =

Ilustrasi ( ) 12

1

0 1

1 1 1 1 1 1 22 4 8 2 312

( 1) 1 1nn

n

n n

-

= =

+

- = - + - + = - = = .

Ilustrasi Jika | | 1x < , maka0

11

n

n xx

=

-= dan 0

11

( 1)n nn x

x=

+- = .

Catatan Deret1 nn a

=

yang konvergen ke Sditulis 1 nn a S=

= .Sifat linear deret tak hingga

(1)Jika c0, maka1 nn a

=

dan 1 nn ca= bersama-sama konvergen atau

divergen.(2)Jika

1 nn a S

=

= dan 1 ,nn b T=

= maka 1( ) .n nn a b S T =

=


6/20

B & D BR

006

Uji jumlah terbatas

Deret1

, 0n nn a a n=

" konvergen 1n

n kks a

== terbatas di atas.

Uji integral Untuk fungsifyang kontinu, bernilai positif, dan tak naik

pada [1,) dengan ( )na f n= berlaku

deret 1 nn a=

konvergen integral tak wajar 1 ( )f x dx

konvergen.y

y=f(x)

0 1 2 3 4 5 n x

y

y=f(x)

0 1 2 3 4 5 n x

Uji banding biasa

Jika1

0 dann n nna b n N b=

" konvergen, maka 1 nn a= konvergen.

Jika1

0 dann n nna b n N a=

" divergen, maka 1 nn b= divergen.

Uji banding limit Misalkan 0, 0, dan lim nn

n nn

a

ba b L

> = .

Jika 0 L< " dan 1lim nnn

a

a L+

= ;

jika 1L< , maka deret konvergen.

jika 1L

> atau

1

lim

n

nan

a +

= , maka deret divergen.jika 1L = , maka uji kekonvergenan tidak memberikan kesimpulan.

a1a2

a3a4 a5

an

a1a2 a3 a4 a5

an


7/20

B & D BR

007

Aneka Ragam Variasi Contoh Kekonvergenan Deret

Contoh Selidiki kekonvergenan deret 212

3 3nn

n n=

- +

Cara 1 Dengan uji banding biasa, dari 1n n " diperoleh 3 3 0.n- +

Akibatnya 2 23 3 ,n n n- + sehingga 2 21 1

3 3n n n- + dan 2 2

2 2 2

3 1

n n

nn n n- + = .

Karena deret1

1n n=

divergen,maka deret 212

3 3nn

n n=

- + juga divergen.

Cara 2 Dengan uji banding limit, bandingkan 22

3 3nn

n na

- += dengan 2n nb = .

Karena 21 2

3 3lim lim lim 2n

n nn

n n n

a n

b b n na n

- += = =


8/20

B & D BR

008

Contoh Selidiki kekonvergenan deret (a)1

1n n n=

, (b) 21lnn n n=

.

(a)Dengan uji integral, karena

( ) ( )3/2 1/21 1 12

lim lim 2 lim 2 2bb

b b b

dx

x x bx dx x

- -

= = - = - + =

(konvergen), maka deret1

1n n n=

konvergen.(b)Dengan uji integral, karena

( ) ( )22 2(ln )

ln lnlim lim ln(ln ) lim ln(ln ) ln(ln2)

b b

b b b

d xdx

x x x x b

= = = - = (divergen),maka deret

2

1lnn n n=

divergen.

Hampiran jumlah deret Jumlah deret1 nn

S a=

= dapat dihampiri oleh

jumlah parsial1

n

n kkS a

== dan galatnya adalah 1 .n n kk nE S S a= +

= - =

Dengan kondisi fungsifpada uji integral diperoleh ( )n n

E f x dx

, sehingga 160000n> .


9/20

B & D BR

009

Contoh Tunjukkan deret1

2 !n

nn

n

n

=

konvergen dan hitunglah 2 !limn

n

n

n

n

.

Gunakan uji banding untuk deret suku positif. Untuk deret ini2 !n

nn

n

na

= dan

( )( )

11

1 112 ( 1)!1 2 2

12 !( 1) lim 1lim lim lim lim 2 1n

n nn

nnn n

nn

n

nn n n n

a n n n

a a n enna

++

+

+

+++ +

= = = = = < .

Karena 1lim 1nnn

a

a+

< , maka deret

1

2 !n

nn

n

n

=

konvergen. Berdasarkan sifat

deret konvergen diperoleh2 !

lim 0

n

nn

n

n

=


(2 )!! !nn

n n=

.

Gunakan uji banding untuk deret suku positif. Untuk deret ini(2 )!

! !nn

n na = dan

121

(2 2)! (2 1)(2 2)1 ! !( 1)!( 1)! (2 )! ( 1)

lim lim lim lim 4 1nn n

nn n n n

a n n nn n

a a n n n na+ +

+ + ++ + +

= = = = > .

Karena 1lim 1nnn

a

a+

> , maka deret

1

(2 )!! !nn

n n= divergen.

Deret ganti tanda Bentuk umumnya adalah1

1 2 3 41

( 1) , 0n n nn

a a a a a a n+

=

- = - + - + > "

,

suku-suku deret ganti tanda berselang-seling positif dan negatif.

Ilustrasi

( )1 12

11

1 1

1 1 1 1 1 1 22 4 8 2 312

( 1) 1 1nn

n

n n-

-+

= =

+

- = - + - + = - = = ada-lah deret ganti tanda konvergen. (deret geometri dengan rasio -1/2)

1

1( 1) 1 2 3 4n

n n

+=

- = - + - + adalah deret ganti tanda divergen.

1

1( 1) 1 1 1 1n

n

+=

- = - + - + adalah deret ganti tanda divergen.


10/20

B & D BR

010

Uji kekonvergenan deret ganti tanda Jika barisan{ }na semua sukunya

positif, monoton turun, dan lim 0,nn

a = maka

11( 1)

nnn

a+= - konvergen.

Ilustrasi Deret 11

1 1 1 12 3 4

( 1) 1nn n

+=

- = - + - + konvergen karena

10n na n= > " , { }na monoton turun, dan

1lim lim 0.n

n n na

= =

+a1-a2

+a3-a4

0 s2 s4 s s3 s1 x

Taksiran deret ganti tanda Jika deret1

1( 1)n

nn a s

+

=

- = memenuhi kondisidi atas dan 11 2 ( 1)nn ns a a a+= - + + - ,maka 1| | .n ns s a +-

Ilustrasi Deret 11

1

1

2( 1) n

n

n -+

=

- konvergen ke 23s= dan jumlah 8 suku

pertamanya adalah 8 0,6440625s = . Taksiran jumlahnya memenuhi

8 9

1

256| | 0,00260416 0,00390625s s a- = < = = .

Uji kekonvergenan dengan nilai mutlak

Jika deret1| |nn u=

konvergen, maka deret 1 nn u= juga konvergen.

Kekonvergenan mutlak dan bersyarat Deret1 nn u

=

dikatakankon-vergen mutlakjika

1| |nn u=

konvergen dankonvergen bersyaratjika

1 nn u=

konvergen tetapi deret 1| |nn u=

divergen.Ilustrasi

Deret 11

1

1 1 1 12 4 82

( 1) 1nn

n -+

=

- = - + - + konvergen mutlak karena

1 12

1

1 1 1 12 4 12

1 2nn -=

-= + + + = = . (deret nilai mutlaknya konvergen)

Deret 1

1

1 1 1 1

2 3 4

( 1) 1n

n n

+

=

- = - + - +

konvergen bersyarat karena

deret ini konvergen tetapi deret1

1 1 12 3

1n n=

= + + + divergen.


11/20

B & D BR

011

Ilustrasi Deret16

1

sin (2 1) 1 1 1 1 1 12 16 5 52 2 6 3 12 6n

n

n n

p

=

-= + + - - - +

konvergen karena deret nilai mutlaknya16

1

|sin (2 1) |

n

n

n n

p

=

- konvergen.Karena

16|sin (2 1) | 1n

n n n n

p- dan deret

1

1n n n=

konvergen (uji integral),maka deret

16

1

|sin (2 1) |

n

n

n n

p

=

- konvergen.

Uji banding mutlak Untuk deret1

, 0n nn a a=

dan 1| || |lim nnn

a

a L+

= ;

jika 1L< , maka deret konvergen.jika 1L> , maka deret divergen.jika 1L = , maka uji kekonvergenan tidak memberikan kesimpulan.

Pengaturan kembali suku deret Suku-suku deret konvergen mutlakdapat diatur kembali tanpa berpengaruh pada kekonvergenan atau jum-lah deretnya.

Ilustrasi Deret 11

3!

( 1) nnn n

+=

- konvergen mutlak berdasarkan uji ban-ding mutlak karena

11| |

1| | | |

1 3 ! 3( 1)! 13

lim lim | | lim lim 0 1n

nn

n nn

n n n n

a n

a a n na

++

+ + +

= = = = < .

Deret pangkat Bentuk umum deret pangkat yang berpusat di 0 adalah2

0 1 20

nnn

a x a a x a x=

= + + + dan yang berpusat di 0x adalah

20 0 1 0 2 00

( ) ( ) ( )nnn a x x a a x x a x x=

- = + - + - + Catatan Dalam notasi ini 00 0a x a= walaupunx=0.

Ilustrasi Deret geometri 2 3

0

n

n

ax a ax ax ax

=

= + + + +

adalah suatu

deret pangkat yang konvergen ke1

( ) a

xs x -= untuk | | 1x< (atau 1 1x- < < )


12/20

B & D BR

012

Himpunan kekonvergenan deret pangkat Himpunan ini terdiri dari se-

muaxdi mana suatu deret pangkat konvergen dan di luarnya divergen.Teorema Himpunan kekonvergenan

0

nnn

a x=

selalu berbentuk:Titikx=0 (selang [0,0]), jari-jari kekonvergenannya 0;Selang (-R,R) (atau (-R,R], [-R,R), [-R,R]), jari-jari kekonvergenan-nyaR;

Seluruh garis real (selang (-,)), jari-jari kekonvergenannya .

Teorema Deret pangkat0

nnn

a x=

konvergen mutlak pada interior(selang buka)dari selang kekonvergenannya.

Ilustrasi Untuk deret0

! ,nn

n x=

uji banding dengan ! nna n x= membe-rikan {

11| |

| |

( 1)!

!

0, 0lim lim lim ( 1)| | .

, 0

nn

nnn n n

a n x

a n x

xL n x

x

++

+ == = = + = KarenaL>1,

maka deret hanya konvergen dix=0.

Ilustrasi Untuk deret 0 !

n

n

x

n=

, uji banding dengan !

n

n

x

na = memberikan1

1| |1| |

1 ! | |( 1)! 1

lim lim lim lim 0n

nn

n nn

n n n n

a x n x

a a n nxL a

++

+ + +

= = = = = . KarenaL


13/20

B & D BR

013

Contoh Tentukan selang kekonvergenan deret pangkat1

( 2)

3

n

nn

x

n=

+

.

Gunakan uji kekonvergenan mutlak dengan( 2)

3

n

nn

x

na

+

= , diperoleh

11

1

| |1| |

( 2)1 3 | 2| | 2|3 1 3( 2)( 1) 3

lim lim lim limnn

nnn

n nn

n n n n

a x n x n x

a a nxnL a

++

++

+ + ++++

= = = = = .

Akibatnya deret konvergen jika| 2|

31

xL

+= < dan divergen jika | 2|3

1x

L += > ,

sehingga deret konvergen jika 5 1x- < < dan divergen jika 1x> atau 5x < - .

Di titik batas 5x = - diperoleh deret1

( 1)n

n n=

- yang konvergen. Di titik ba-tas 1x = diperoleh deret

1

1n n=

yang divergen. Jadi selang kekonvergenanderet pangkat ini adalah 5 1x- < .

Operasi pada deret pangkat Turunan dan integral suku demi suku de-ret pangkat di interior selang kekonvergenannya. (interior adalah selang

buka terbesar dari selang kekonvergenannya).

Jika 2 30 1 2 30( ) n

nns x a x a a x a x a x

=

= = + + + + pada selangI, maka

1 21 2 30 1

( ) ( ) 2 3n nn nn nd

dxs x a x na x a a x a x

-= =

= = = + + + ,xinteriorI

11 22 3

00 0 1 2 3( )

nnn

nn n

a aa x

ns x dx a x dx a x x x

+

= =

+= = = + + + ,xinteriorI

Ilustrasi Dari deret pangkat 2 311 1 , 1 1x x x x x- = + + + + - <


14/20

B & D BR

014

Teorema Abel (Kekonvergenan deret pangkat di titik ujung selang)

Jika 0( ) , ( , ),n

nns x a x x R R=

= - skontinu diRdan -R, serta deret kon-vergen untukx=Rdanx=-R, maka di titik ujung selang berlaku

0( )nnn a R s R=

= dan 0 ( ) ( )

nnn

a R s R=

- = - .

Ilustrasi Dari ilustrasi terakhir kita mempunyai deret pangkat

2 3 21 1 12 3 4

ln (1 ) , 1 1x x x x x x+ = - + - + - <


15/20

B & D BR

015

Operasi aljabar pada deret pangkat Dua deret pangkat yang konver-

gendapat dijumlahkan, dikurangkan, dan dikalikan suku demi sukunyaseperti pada sukubanyak. Dua deret pangkat yang konvergen juga dapatdibagi seperti pembagian panjang pada sukubanyak.

Ilustrasi Tentukan jumlah, selisih, hasilkali, dan hasilbagi deret pang-

kat 2 31

11 , 1 1

x x x x x+ = - + - + - <


16/20

B & D BR

016

Deret Maclaurin Perhatikan proses menentukan koefisien deret pang-

kat 0( ) n

nnf x a x=

= dinyatakan dalam turunan dari fungsifpada selang(-R,R) denganRjari-jari kekonvergenan deret.

2 30 1 2 30

( ) n nn nnf x a x a a x a x a x a x=

= = + + + + + + 0 (0)a ffi = 2 3 1

1 2 3 4( ) 2 3 4 n

nf x a a x a x a x na x -= + + + + + + 1 (0)a ffi =

2 22 3 4( ) 2 2 3 3 4 ( 1)

nnf x a a x a x n na x

-= + + + + - + 212

(0)a ffi = 3

3 4( ) 2 3 2 3 4 ( 2)( 1)

n

nf x a a x n n na x

-

= + + + - - + 31

3! (0)a ffi = ..................................................................................

( )( ) ! !( 1)n nf x n a n n x= + + + ( )1

!(0)nn na ffi =

Akibatnya kita mempunyai( )

0

(0)!

( ) ,n

n

n

f

nf x x R x R

=

= - <


17/20

B & D BR

017

Ilustrasi Tentukan deret Maclaurin untuk ( ) sinf x x= dan ( ) cosg x x= .

Dari ( )12( ) cos sinf x x x p= = + , ( )12( ) sin sin 2f x x x p= - = + diperoleh

( )( ) 12( ) sinnf x x n p= + , sehingga ( )12

(0) sin , 0,1,2,3,nf n np= = . Jadi de-

ret Maclaurin untuk fungsi ( ) sinf x x= adalah3 5 7 2 1

03! 5! 7! (2 1)!( ) sin ,

n

n

x x x x

nf x x x x

+

=

+= = - + - + = .

Analog: ( )( ) 1

2( ) cosn

g x x np= + dan( ) 1

2(0) cos , 0,1,2,3,n

g n np= = . Jadideret Maclaurin untuk fungsi ( ) cosg x x= adalah

2 4 6 2

02! 4! 6! (2 )!( ) cos 1 ,

n

n

x x x x

ng x x x

=

= = - + - + = .

Rumus Taylor dengan suku sisanya Jika fungsifmempunyai turunansampai tingkat-(n+1) pada selang bukaIyang memuat c, maka ,x I"

( )2( ) ( )

2! !( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

nn

n

f c f c

n

f x f c f c x c x c x c R x= + - + - + + - + ,

dengan suku sisa( 1)

1( )( 1)!

( ) ( )n

nn

f

nR x x c

x+ ++= - , xdi antaraxdan c. Di sini

( )2( ) ( )

2! !( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

nn

n

f c f c

nP x f c f c x c x c x c

= + - + - + + -

dikenal sebagaisukubanyak Taylordan ( )nR x suku sisa Taylor.

Teorema Taylor Jika fungsifmempunyai turunan di semua tingkat pa-

da selang( , )c r c r - + , maka deret Taylor( )

0

( )

!( )

nn

n

f c

n x c

=

-

adalah uraian

fungsif lim ( ) 0,nn

R x

= dengan( 1)

1( )( 1)!

( ) ( ) , ( , )n

nn

f

nR x x c c r c r

xx

++

+= - - + .

Deret Binomial Untukxyang memenuhi 1 1x- < < dan p" berlaku

2 3 ( 1)( 2) ( 1)!

(1 ) 1 ,1 2 3

p p p p p n

n

p p p px x x x

n

- - - + + = + + + + =

Ilustrasi Dengan rumus deret binomial,31

2 21/2 2

1

( )( ) ( 1) 1 3 5 (2 1)12 2! 2 !

(1 ) 1 1 , | | 1.n

nn

n

n

nx x x x x

-=

- - - -+ = - + + = +


18/20

B & D BR

018

Hampiran fungsi dengan sukubanyak Taylor Jikafungsifmempunyai

turunan sampai tingkat-(n+1) pada selang bukaIyang memuat c, maka,x I" ( ) ( ) ( )n nf x P x R x= + , dengan( )

2( ) ( )2! !

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )n

nn

f c f c

nP x f c f c x c x c x c

= + - + - + + -

dan( 1)

1( )( 1)!

( ) ( ) , ( , )n

nn

f

nR x x c c r c r

xx

+ ++= - - + . Untukn=1 kita mempunyai

( ) ( ) ( ) ( )( )nf x P x f c f c x c = + - , dikenal sebagai hampiran dengan garissinggung. Untuk n=2 hampiran dengan fungsi kuadrat, dan seterusnya.

Untuk Rn(x) yang terbatas dapat dihitung batas ketelitian hampirannyadan besarnya nagar hampirannya memenuhi batas galat yang diberikan.

Contoh Hitunglah hampiran untuk edengan galat paling sedikit 610 .-

Uraian Maclaurin dari xe dan suku sisanya adalah2 3

2! 3! !1 ( )

nx

n

x x x

ne x R x= + + + + + + ,

1

( 1)!( )

c n

n

e x

nR x

+

+= , cdi antara 0 danx.

Untuk menghitung eambillahx=1, maka diperoleh1 1 12! 3! !

1 1 (1)x nne R= + + + + + + , ( 1)!(1)c

n

e

nR += , cdi antara 0 dan 1.

Andaikan e


19/20

SOAL LATIHAN MA 1201 KALKULUS 2A 2010/2011

Pokok Bahasan: Deret tak Hingga

Soal uji konsep dengan benar salah, berikan argumentasi atas jawaban Anda.

No. Pernyataan Jawab

1. Jika 0 n na b n " dan barisan { }nb konvergen, maka barisan { }na konvergen. B S2. Jika barisan { }na konvergen, maka barisan /{ }na n konvergen ke 0. B S3. Jika barisan { }na konvergen dengan lim n

na L

= , maka 3 4lim n

na L+

= . B S

4. Jika 1lim ( ) 0n nn

a a +

- = , maka lim nn

a

ada dan nilainya hingga. B S5. Jika deret Sandivergen, maka barisan jumlah parsial dari deretnya tak terbatas. B S6. 22 1( ln )n

nn n=

+ adalah suatu deret yang konvergen. B S7. ( ) ( ) ( )

2 3 10001 1 1 1 13 3 3 3 2

+ + + +


20/20

Tunjukkan deret berikut konvergen dan tentukan hampiran |S S9|, S=jumlah deret .

41. 11

23 1

( 1)nn n

+=

+- 42. 11

1ln ( 1)

( 1)nn n

+=

+- 43. 11

ln( 1)n

n

n

n+

=

-

Selid iki apakah deret berikut konvergen mutlak, konvergen bersyarat, atau divergen.

44. 11

15

( 1)nn n

+=

- 45. 11 1( 1)( 1)nn n n+= +- 46. 11 10 1( 1)nn nn+= +- 47. 2 1ln( 1)nn n n= -

48.4

1

1 2( 1) n

n

n

n+=

- 49. 211 1( 1)

n

n

n

n

+=

+- 50. 211

1( 3)n

n n

+=

- 51. 2

sin( 1)n

n

n

n n=

-

Tentukan himpunan kekonvergenan setiap deret pangkat berikut.

52.1 ( 1)!

n

n

x

n=

- 53. 211( 1)

nn

n

x

n

+=

- 54. 0

(2 )!

( 1)n

n

n

x

n=

- 55. 1

( 2)( 1)

nn

n

x

n=

--

56. 2 32 3x x x+ + + 57.3 5 7

3! 5! 7!x x x

x - + - + 58.2 3

2 31

x xx- + - + 59.

2 3

2 32 2 21

x x x- + - +

Tentukan deret pangkat dari fungsi berikut beserta jari-jari kekonvergenannya.

60. 31

(1 )( )

xf x

-= 61. 1

2 3( )

xf x -= 62.

2

41( )

x

xf x

-= 63.

0( ) ln (1 )

xf x t dt= +

Tentukan deret Maclaurin sampai x5dan deret Taylor sampai (xa)3dari fungsi f(x).64. ( ) tanf x x= 65. ( ) sinxf x e x= 66. ( ) (cos )ln (1 )f x x x= + 67. ( ) sinxf x e x x= + +

68.21

24

cos 1( )

x x

xf x

- -= 69. 2

1

1( )

x xf x

+ += 70. 2 3( ) 1 , 1f x x x a= + + = 71. ( ) , 1xf x e a= =

Soal Aneka Ragam

72.Pada deret (a) 211

n n=

dan (b) 411nn

n=

+ , tentukan nagar 0,0002.n nE S S= - < 73.Tentukan sukubanyak Maclaurin derajat 3 untuk

1/2(1 )x -+ dan batas galat 3( )R x jika | | 0,05.x

74.Dengan menggunakan deret1

!nn

n

n=

buktikan !lim 0.nn

n

n =

Kunci Jawaban

1.S 2.B 3.B 4.S 5.S 6.B 7.B 8.S 9.B 10.B 11.3 12.0 13.divergen 14.e 15.divergen

16.1 17.0 18.p 19. 16

5 20. 2( )e

ep p- 21.divergen 22.1 23.3 24.-ln2 25.divergen 26.konvergen

27.konvergen 28.konvergen 29.divergen 30.divergen 31.divergen 32.konvergen 33.konvergen

34.divergen 35.konvergen 36.konvergen 37.konvergen 38.konvergen 39.konvergen 40.divergen

41. 9| | 0,065S S- 42. 9| | 0,417S S- 43. 9| | 0,23S S- 44.k.bersyarat 45.k.mutlak 46.divergen47.k.bersyarat 48.k.mutlak 49.k.bersyarat 50.divergen 51.k.mutlak 52. 53.1x1 54.

55.1

73980548 10 barisan dan deret bilangan real

Documents