1

BARIS

tttt

(Winston Chucill)

2

Tujuan Pembelajaran

Dengan mempelajari materi barisan dan deret diharapkan siswa dapat :

1. Menjelaskan pengertian barisan dan deret

2. Menemukan konsep barisan aritmatika

3. Menemukan konsep deret aritmatika

4. Menentukan suku tengah barisan aritmatika

5. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika

6. Menghitung jumlah n suku deret aritmatika

7. Menemukan konsep barisan geometri

8. Menemukan konsep deret geometri

9. Menentukan suku tengah barisan geometri

10. Menentukan suku ke-n barisan geometri

11. Menghitung jumlah n suku deret geometri

12. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret aritmatika.

13. Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret geometri.

3

Mind Map

A. Barisan dan Deret Aritmatika

Barisan dan Deret Aritmatika

Deret Aritmatika

�� + �� + ⋯ + �� = ��

�� =�

2(� + ��)

�� =�

2(2� + � − 1 �

Definisi

�� − ���� = �����= �

2�� = ���� + ����

Barisan Aritmatika

��,��,��,… ,��.

�� = � + � − 1 �

Suku Tengah

�� =����

�,�=

���

�

��,… ,��,… ,��

Sisipan

�∗ =�

� + 1

�,… , � + ��∗ ,� + �

4

B. Barisan dan Deret Geometri

Barisan dan Deret Geometri

Deret Geometri

tak hingga (konvergen)

•� =�

���

•− 1 < � < 1

berhingga

•�� =�(����)

���

Definisi

������

= �����= �

(��)�= ����.����

Barisan Geometri

��,��,… ,�� .

�� = �.����

Suku Tengah

�� = �.�� ,�=���

�

��,… ,��,… ,��

Sisipan

�� = (�)�

���

�,… ,�(�′)�,��

5

BARISAN DAN DERET

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu

urutan tertentu.Bilangan-bilangan yang tersusun tersebut disebut suku.Perubahan

di antara suku-suku berurutan ditentukan oleh ketambahan bilangan tertentu atau

suatu kelipatan bilangan tertentu.Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu

barisan.

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai kelipatan bilangan yang

tetap,maka barisan ini disebut barisan aritmatika, misal :

a. 2, 6, 10, 14, ………….. ditambah 4 dari suku di depannya

b. 112, 107, 102, 97, …… dikurangi 5 dari suku di depannya

Jika barisan yang suku berurutannya mempunyai tambahan bilangan yang

tetap,maka barisan ini disebut barisan geometri, misal :

a. 3, 6, 9, 12, ……….. dikalikan 3 dari suku di depannya

b. 100, 50, 25, ……… dikalikan �

� dari suku di depannya

Deret adalah jumlah dari bilangan dalam suatu barisan, missal :

Deret aritmatika ( deret hitung ) : 3 + 6 + 9 + 12 = 39

Deret geometri ( deret ukur ) : 3 + 9 + 27+ 81 = 120

A. Barisan dan Deret Aritmatika

1. Barisan Aritmatika

Barisan aritmetika adalah barisan yang suku berurutannya mempunyai

tambahan bilangan yang tetap.

��,��,��,�� … … ,����,�� .

�� = �

�� = � + �

�� = (� + �)+ � = � + 2�

6

�� = (� + 2�)+ � = � + 3�

�� = � + (� − 1)�

Jika �� − �� = �� − �� = ⋯ = �� − ���� ,maka barisan tersebut

adalah barisan aritmatika.

Jika �� − ���� disebut beda atau � maka barisan aritmatika adalah

barisan yang mempunyai beda tetap.

a. Syarat barisan aritmatika

b. Rumus suku ke-n barisan aritmatika

Jika �� = � dan maka �� − �� = �� − ���� = �

suku

dimana :

⋃ � = Suku ke-n

� = suku pertama

� = beda antar suku

� = banyaknya suku

2�� = �� + ��atau

2�� = ���� + ����

�� = � + (� − 1)�

7

Contoh soal :

Tentukan suku ke 100 dari barisan 7,9,11,13!

Jawab :

7,9,11,13,… .,����

�� = � + (� − 1)�

���� = 7 + (100− 1)(9 − 7)

���� = 7 + (99)(2)

���� = 7 + 198

���� = 205

2. Suku Tengah Barisan Aritmatika

Misal �� adalah suku tengah.

��,��,��,��,… ,��,… ,����,����,�� .

Maka �= ���

� sehingga �� = � + (�− 1)� menjadi

�� = � + ��� + 1

2�− 1�� =

1

2� +

1

2� +

1

2(� − 1)� =

1

2� +

1

2(� + (� − 1)�)

Jadi

Contoh soal :

Diketahui barisan aritmatika sebagai berikut : 5,8,11,… ,131.

Tentukan suku keberapakah suku tengahnya!

Jawab :

�� =� + ��

2

�� =5 + 133

2

�� =� + ��

2

8

�� =���

�= 68

�� = � + (� − 1)�

68 = 5 + (� − 1)3

66 = 3�

22 = �

3. Deret Aritmatika

Deret Aritmatika adalah barisan aritmatika yang dijumlahkan.

Jika �� + �� + �� + ⋯ + �� = �� dan �� disebut jumlah � suku pertama

deret aritmatika,maka :

�� = � + (� + �)+ (� + 2�)+ ⋯ + (�� − 2� + �� − �)+ ��

�� = �� + (�� − �)+ (�� − 2�)+ ⋯ + (� + 2�)+ (� + �)+ � +

2�� = (� + ��)+ (� + ��)+ … … … + (� + ��)+ (� + ��)+ (� + ��)

Sebanyak n kali

2�� = �(� + ��)

Karena �� = � + (� − 1)�, maka

Contoh soal :

Terdapat 60 suku dalam barisan aritmetika yang mana suku pertama

adalah 9 dan suku terakhir adalah 127. Tentukan ��� !

�� =�

2(� + ��)

�� =�

2(2� + (� − 1)�)

9

Jawab :

�� =�

2(� + ��)

��� =60

2(9 + 127)

��� = 30(136)

��� = 4080

B. Barisan dan Deret Geometri

1. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah perbandingan dua suku berurutan selalu tetap (konstan).

Misal ada barisan sebagai berikut :

��,��,��,�� … … ,����,�� .

�� = �

�� = � � � = ��

�� = �� � � = ���

�� = ��� � � = ���

�� = �����

Jika ��

��=

��

��= ⋯ =

��

���� maka barisan tersebut adalah barisan

geometri.

Jika ��

���� disebut rasio (�) maka barisan geometri adalah barisan yang

mempunyai rasio tetap.

a. Syarat Barisan Geometri

b. Rumus suku ke-n Barisan Geometri

(��)� = ��.�� atau (��)

� = ����.����

�� = �.����

10

Jika �� = � dan ��

��=

��

����= � , maka

Contoh soal :

1. Diketahui barisan geometri 3, 9, 27, 81, ...

Tentukan :

a. Suku pertama

b. Rasio

c. Rumus suku ke-n

d. Suku ke 10

Jawab :

a. Suku pertama = �� = 3

b. Rasio = � =��

��=

�

�= 3

c. Rumus suku ke-n = �����

= (3)(3)���

= (3)��(���)

= 3�

d. Suku ke 10 = 3�� = 59049

2. Supaya barisan (2� − 5),(� − 4),�

�(� − 4),… menjadi barisan

geometri maka tentukanlah nilai �!

Jawab :

(2� − 5),(� − 4),1

5(� − 4)

�� ,��,��

����

=����

11

� − 4

2� − 5=

15 (� − 4)

(� − 4)

���

����=

�

�

5(� − 4)= 2� − 5

5� − 20 = 2� − 5

5� − 2� = 20 − 5

3� = 15

� =15

3

� = 5

2. Suku Tengah Barisan Geometri

Misal �� adalah suku tengah dari barisan sebagai berikut:

��, ��, ��,…, ��,… ����, ����. ��

Maka �=���

� sehingga �� = �.���� menjadi :

Contoh soal :

Diketahui barisan geometri sebagai berikut : �

�,�

�,1,… ,64.Tentukan

suku ke berapakah suku tengahnya!

Jawab :

�� = �1

4 .64

�� = √16

�� = �.������

���= �.�

�����

�= ��.����� = ��.��

12

�� = 4

�� = �����

4 =1

4 .2� .

1

2

4 =1

8 .2�

32 = 2�

2� = 2�

5 = �

3. Deret Geometri

Deret Geometri adalah barisan geometri yang dijumlahkan.

a. Deret Geometri Berhingga

Jika �� + �� + �� + ⋯ + �� = �� adalah deret geometri dan ��

disebut jumlah � suku pertama deret geometri, maka :

Conto soal :

Pada deret geometri diketahui �� = 6 dan �� = 162 maka

tentukanlah jumlah 6 suku pertama!

Jawab :

�� =�(�� − 1)

� − 1

�� =2(3� − 1)

3 − 1

�� = 36 − 1

�� = 729 − 1

�� = 728

�� =�(����)

��� atau �� =

�

���−

�

���.��

13

b. Deret Geometri Tak Hingga

�� + �� + �� + ⋯ = �…

Ada (konvergen) untuk − 1 < � < 1 yaitu � =�

���

� =

~ (divergen) untuk � ≤ −1 dan � ≥ 1

C. Aplikasi Barisan dan Deret dalam Kehidupa Sehari-hari

Barisan dan deret banyak digunakan dalam bidang bisnis dan ekonomi,

terutama menyangkut dalam perkembangan dan pertumbuhan. Apabila

perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti

perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret hitung ataupun deret ukur,

maka teori deret yang bersangkutan penad (relevant) diterapkan untuk

menganalisisnya.

Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori baris dan

deret. Perkembangan usaha adalah sejauh mana usaha-usaha yang

pertumbuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris

hitung. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha

misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau

penanaman modal yang berpola seperti deret hitung, maka prinsip-prsinsip

deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable

tersebut. Berpola seperti deret hitung maksudnya di sini ialah bahwa variable

yang bersangkutan bertambah secara konstan dari satu periode ke periode

berikutnya.

14

D. Soal Latihan

Pilihan Ganda

1. Suku ke-3 dan ke-7 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 88 dan

212.Suku ke-8 barisan aritmatika tersebut adalah …

a. 243 c. 232 e. 220

b. 234 d. 222

2. Sebuah pabrik memproduksi barang jenis A pada tahun pertama sebesar

1960 unit. Tiap tahun produksi turun sebesar 120 unit,sampai tahun ke-16.

Total seluruh produksi yang dicapai sampai tahun ke-16 adalah …

a. 45.760 c. 16.960 e. 9.760

b. 45.000 d. 16.000

3. Suku tengah barisan aritmatika adalah 41. Jika beda adalah 5 dan suku

ketujuh adalah 56, maka jumlah semua suku barisan tersebut adalah …

a. 539 c. 387 e. 187

b. 437 d. 287

4. Barisan geometri dengan �� = 384 dan rasio 2. Suku ke-10 barisan

tersebut adalah …

a. 1920 c. 4052 e. 6144

b. 3072 d. 4608

5. Suku ke-3 dan suku ke-7 suatu deret geometri berturut-turut 16 dan 256.

Jumlah tujuh suku pertama deret tersebut adalah …

a. 500 c. 508 e. 516

b. 504 d. 512

6. Jumlah ke-10 dari barisan : 3, 5, 7, 9, …. adalah ….

a. 11 b. 12 c. 19 21 e. 27

7. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 2,5 meter dan memantul dengan

ketinggian �

� kali tinggi semula dan setiap kali memantul berikutnya

mencapai ketinggi �

� kali tinggi pantulan sebelumnya.Maka jarak lintasan

bola sampai bola berhenti adalah …

a. 5.5 m b. 7,2 m c. 9 m d. 12,5 m e. 10 m

15

8. Suatu deret aritmatika diketahui 5 deret suku pertama = 35 dan jumlah 4

suku yang pertama = 24. Suku yang ke-15 sama dengan ….

a. 11 b. 25 c. 31 d. 33 e. 59

9. Jumlah n suku yang pertama dari deret aritmatika dinyatakan dengan Sn =

3n2 – 5n. Beda dari deret tersebut adalah….

a. -6 b. -4 c. 2 d. 4 e. 6

10. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri dirumuskan dengan Sn =23n

Rasio deret tersebut adalah...

a. 8 b. 7 c. 4 d.- �

� e. -8

Essey

1. Suku ke-4 dan suku ke-7 suatu deret aritmatika berturut-turut 17 dan 29.

Suku ke-25 deret tersebut adalah …

2. Jika �� = 3� − 7 merupakan barisan aritmatika maka tentukanlah

bedanya !

3. Tentukan suku ke-7 dari barisan geometri berikut :2 , 6 , 18 , 54, … !

4. Diketahui barisan gometri sebagai berikut : �

�,�

�,�

�,… ,

���

�. Tentukan

suku keberapakah suku tengahnya !

5. Pada deret geometri diketahui �� = 6 dan �� = 48 maka tentukanlah 6

suku pertama !

6. Carilah suku ke-8 dari barisan geometri jika suku pertamanya 16 dan

rasionya adalah 2!

7. Carilah suku ke-11 dalam suatu barisan geometri dimana suku ke-4 adalah

24 dan suku ke-9 adalah 768!

8. Carilah suku ke-10 dari barisan 3, 7, 11, 15, 19, .................

9. Suku ke-3 dan suku ke-16 dari barisan aritmetika adalah 13 dan 78.

Tentukan suku pertama dan bedanya!

10. Carilah suku ke-21 dalam barisan aritmetika dimana suku ke-5 adalah 41

dan suku ke-11 adalah 23!

16

DAFTAR PUSTAKA

Ganesha Operation (2013) Revolusi Belajar : Koding.Jakatra : Duta.

http://matematika-sma.blogspot.com/2007/07/soal-barisan-dan-deret.html

Diakses :14 Oktober 2014

Alfauziah, Dini.11 Agustus 2013.Penerapan Baris dan Deret dalam Kehidupan

Sehari-hari.(http://dinialfauziah.wordpress.com/2013/11/08/penerapan-baris-dan-

deret-dalam-kehidupan-sehari-hari.). Diakses : 11 Oktober 2014

17

BIODATA

Nama Lengkap : Angga Ibnu Arsalan

NPM : 114070150

Tempat,Tanggal Lahir : Cirebon,20 maret 1996

Jenis Kelamin : Laki-laki

Agama : Islam

Cita-cita : Bisnisman

Alamat : Jalan Otista Blok Asinan Desa Tegalsari

Kecamatan Plered Kabupaten Cirebon Kota Cirebon

No. Hp : 08987388921

E-mail : aibnuarsalan@gmail.com

Keanggotaan : Ketua

Deskripsi Kerja : 1. Mencari materi

2. Mendesain cover

3. Mencetak buku

18

Nama : Juneri

NPM : 114070078

Tempat,Tanggal Lahir : Cirebon,08 Maret 1996

Jenis Kelamin : Perempuan

Agama : Islam

Cita-cita : Guru PNS

Alamat : Blok Siseuti rt04/rw02 Desa Kedongdong Kidul

Kecamatan Dukupuntang Kabupaten Cirebon

No. Hp : 083823751714

E-mail : juneri12toi2@yahoo.co.id

Deskripsi Kerja : 1. Mencari materi

2. Mencetak buku

19

Nama : Norma Bertia Ningrum

NPM : 114070075

Tempat,Tanggal Lahir : Majalengka,01 Oktober 1996

Jenis Kelamin : Perempuan

Agama : Islam

Cita-cita : Guru

Alamat : Lingkungan Gandasari rt01/rw03 Kelurahan

Cikasarung Kecamatan Majalengka Kabupaten

Majalengka 45415

No.Hp : 087723985625

E-mail : norma.ningrum@yahoo.co.id

Keanggotaan : Anggota

Deskripsi Kerja : 1. Mencari materi

2. Menyusun materi

3. Mencetak buku