makalah barisan dan deret bilangan kelompok 8

5/27/2018 Makalah Barisan Dan Deret Bilangan Kelompok 8

1/13

BARIS DAN DERET

Dosen Pengampu : Sugiyanti. S.Pd, M.Pd.

Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Matematika SMK

Disusun oleh :

1. Linda Dwi Anggraini (11310113)

. Muhamad !amadhan (1131011)

3. Dewi "anwari Mad#aratri (113103$)

PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKUTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN IMU PEN!ETA"UAN AAM

IKIP P!RI SEMARAN!

#$%&

1


2/13

BAB I

Penda'u(uan

A. ata) Be(a*ang

%enggunaan notasi sigma sebagai &en#ederhanaan bentuk &en'umlahan #ang &an'ang sangat

menghemat waktu dan tenaga. Sebagai dasar untuk &enulisan deret maka &enggunaan notasi

sigma beserta siatsiatn#a men'adi sangat &enting untuk di&ela'ari.

*arisan dan deret #ang disa'ikan meli&uti &engertian tentang barisan dan deret+ barisan dan

deret aritmetika serta barisan dan deret geometri. %erhitungan bunga bank+ &en#usutan nilai

barang+ meru&akan salah satu ,ontoh &enera&an dari barisan dan deret dalam bidang

ekonomi.

-idak ketinggalan &ula dibahas tentang konse& awal notasi sigma+ barisan dan deret untuk

mengingatkan kembali bahwa matematika berkembang dari halhal sederhana #ang

kemudian berlan'ut ke halhal #ang lebih kom&leks.

B. Tu+uan

*ahan a'ar ini disusun dengan tu'uan untuk mengingatkan kembali guru tentang materi dasar

dalam &embela'aran otasi Sigma+ *arisan dan Deret *ilangan. *ahan a'ar ini nmeru&akan

bahan a,uan dalam diklat ber'en'ang tingkat dasar untuk guruguru SMK / -KK.

. Ruang ing*up!uang lingku& materi #ang dibahas dalam bahan a'ar ini adalah:

1. otasi Sigma

a. Konse& notasi sigma

b. Siat 2 siat notasi sigma

. *arisan dan Deret


3/13

a. *arisan dan Deret Aritmetika

b. *arisan dan Deret eometri

3


4/13

$ suku

BAB II

Pem-a'asan

A. Notasi Sigma

%. Konsep Notasi Sigma

%erhatikan 'umlah $ bilangan gan'il &ertama berikut+

1 4 3 4 5 4 6 4 7 4 11 8888888888888.. (1)

%ada bentuk (1) 1 disebut suku &ertama+ 3 disebut suku ke+ 5 disebut suku ke3 dan

seterusn#a. %erhatikan 'uga sukusuku bentuk (1) tersebut membentuk &ola.

Suku ke%9 1 9 .%2 1

Suku ke#9 3 9 .#2 1

Suku ke&9 5 9 .&2 1

Suku ke9 6 9 .2 1

Suku ke/9 5 9 ./2 1

Suku ke09 6 9 .02 1

Se,ara umum suku kek &ada (1) da&at din#atakan dalam bentuk k 2 1 dengan k

0 1+ + 3+ ;+ 5+ $ sum? #ang berarti 'umlah. otasi ini di&erkenalkan

&ertama kali oleh Leonhard uler &ada tahun 1655 dalam buku >nstitutiones =al,uli

Dierentialis?.

Dengan notasi sigma bentuk 'umlahan (1) da&at ditulis :

=

=+++++$

1

)1(1176531k

k

*entuk =

$

1

)1(k

k diba,a >sigma k 2 1 diamana k 91 sam&ai $ ? atau >'umlah k

2 1 untuk k 9 1 sam&ai k 9 $?. %ada notasi sigma di atas 1 dan $ masingmasing

;


5/13

disebut batas bawah dan batas atas+ lambang k dinamakan indeks (ada &ula #ang

men#ebut k sebagai @ariable). Sembarang huru ke,il da&at digunakan sebagai

indeks.

Se,ara umum n1n32n

1k

1k aa...aaaa +++++= =

#. Si1at2si1at Notasi Sigma

*erikut ini adalah bebera&a siat notasi sigma.

Aturan suku konstan

Aturan 'umlah

Aturan &erkalian s,alar

Aturan kelinearan

Aturan bagian ('ika 1 m n )

Aturan &engubahan indeks

Dan

5


6/13

Aturan dominasi ( 'ika

Aturan kuadrat

B. Ba)isan dan De)et A)itmati*a

%. Ba)is A)itmati*a

Adalah suatu barisan bilangan #ang memiliki selisih dua suku #ang berurutan(beda)

selalu teta&.

Bika suku &ertama(C1) din#atakan dengan + selisih(beda)antara dua suku berurutan diberi

notasi b+ dan suku barisan ke n dilammbaangkan dengan Cn+ maka bentuk umum

barisan aritmtika adaalah sebagai berikut:

Sehingga di&eroleh bentuk umun#a :

Keterangan :

$


7/13

=ontoh :

=arilah rumus suku ke n dari baris 1+3+5+6+7+8.

%en#elesaian :

Diket a 9 1+ dan b 9 3 2 1 9

itung nilai suku ke E dari baris +5+ E+8

%en#elesaian :

Diket : a 9 + dan b 9 5 2 9 3

#. Ba)isan A)itmati*a Ting*at Banya*

*arisan aritmatika tingkat F adalah sebuah barisan aritmatika #ang memiliki selisih

#ang sana tia& suku #ang berurutan setelah F tingkatan. !umus umum suku ken

untuk barisan tingkat ban#ak adalah :

Dimana : a 9 suku ke 1 barisan mula 2 mula

b 9 suku ke 1 barisan tingkat satu

, 9 suku ke 1 barisan tingkat dua

d 9 suku ke 1 barisan tingkat tiga

dst

&. De)et A)itmati*a

Adalah &en'umlahan dari suku &ada barisan aritmatika + se,ara umum ditulis sebagai

berikut:

*entuk umum deret din#atakan sebagai :

6


8/13

Deret aritmatika adalah suatu barisan aritmatika #ang suku 2 sukun#a di'umlahkan.

A&abila 'umlah n suku barisan aritmatika #ang berurutn din#atakan sebagai

Bika &enulisan suku 2 suku dibalik + maka di&eroleh :

Dengan men'umlahkan &ersamaan (1) dan () maka di&eroleh :

Badi + se,ara umum 'umlah n suku &ertama dari deret aritmatika da&at din#atakan dengan

rumus berikut

Atau

Keterangan +

=ontoh :

-entukan 'umlah 10 suku dari deret aritmatika 11 4 1$ 4 1 4 8

%en#elesaian :

a 9 C19 11

b 9 1$ 2 11 9 5

E


9/13

. Ba)isan dan De)et !eomet)i

%. Ba)isan !eomet)i

Adalah suatu barisan bilangan #ang memiliki &erbandingan (ratio) antara dua buah suku

terdekat berturut 2 turut selalu teta&. Se,ara umum ditulis

ilai r di&eroleh dari :

Dimana r (rasio antara dua suku #ang berurutan) meru&akan bilangan konstan

*entuk umum barisan geometri dengan suku &ertama a dan rasio r adalah sebagai berikut.

=ontoh :

Diketahui barisan geometri + ;+E+ 1$+ 8

-entukan rumus suku ke n dan nilai suku ke 6 dari baris tersebut

%en#elesaian :

1. a 9 + dan r 9 ;G 9

.

7


10/13

#. De)et !eomet)i

Adalah 'umlah suku 2 suku dari barisan geometri #ang berurutan+ se&erti &ada deret

aritmstika + deret geometri 'uga din#atakan dengan

Bika &ersamaan (1) dikalikan dengan r+ maka di&eroleh :

Dengan mengurangkan (1) dan () di&eroleh :

Sehingga + untuk r 1+ berlaku :

Cntuk r H 1

&. De)et !omet)i Ta* "ingga

Deret geometri tak hingga adalah deret geometri #ang ban#k suku 2 sukun#a tak

hingga. Deret geometri tak hingga terdiri dari 'enis + #aitu kon@ergen dan

dir@ergen.

Bika 1 r 1+ maka 'umlah deret geometri tak hingga tersebut mem&un#ai limit 'umlah

( kon@ergen ).

Cntuk

10


11/13

Sehingga

Dengan :

Bika

11


12/13

BAB III

KESIMPUAN

1. otasi sigma () digunakan untuk men#ingkat bentuk 'umlahan #ang sukusukun#a

mem&un#ai &ola.

. Suatu barisan adalah ungsi #ang mem&un#ai daerah asal him&unan bilangan bulat

&ositi. Sebuah barisan bisa dideinisikan dengan ,ara eks&lisit atau rekursi.

3. Suatu barisan disebut barisan aritmetik 'ika selisih dari setia& dua suku #ang berurutan

bernilai teta&+ selisih ini dinamakan beda (b). Suatu barisan disebut barisan geometri

'ika rasio (r) dari setia& dua suku #ang berurutan bernilai teta&.

;. Suku ken barisan aritmetik dirumuskan sebagai: b)1n(aUn += sedangkan untuk

barisan geometri suku ken dirumuskan sebagai1n

n arU

=

5. Deret meru&akan 'umlahan dari sukusuku suatu barisan. !umus 'umlah n suku &ertama

deret aritmetika adalah 2

)b)1n(a2(nS

n

+=

atau 2

)Ua(nS n

n

+=

. !umus 'umlah

n suku &ertama deret geometri adalah1r

)1r(aS

n

n

= atau

r1

)r1(aS

n

n

= untuk r

1.

$. Suku ken barisan aritmetik dirumuskan sebagai: b)1n(aUn += Suku ken barisan

aritmetik dirumuskan sebagai: b)1n(aUn += Deret geometri tak hingga

mem&un#ai limit 'umlah 'ika 1 r 1. !umus 'umlah sam&ai tak hingga deret

geometri adalahr1

aS

= .

1


13/13

DAI-A! %CS-AKA

Kasmina+dkk. 00$. Matematika %rogram Keahlian -eknologi+ Kesehatan+ %ertanian+ Cntuk

SMK dan MAK Kelas J.Bakarta : rlangga.

13

makalah barisan dan deret bilangan kelompok 8

Documents