Koko Martono FMIPA - ITB 001

Barisan bilangan real Pengaturan bilangan real dalam indeks terurut dinamakan barisan. Barisan bilangan real a1 , a2 , a3 , ditulis {an }=1 , n atau disingkat {an}. Secara formal, barisan (tak hingga) ini didefinisikan sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli . Ilustrasi Barisan bilangan real yang polanya 1, 4, 7, mempunyai rumus eksplisit suku ke-n berbentuk an = 3n - 2, n = 1, 2, . Dalam bentuk rumus rekursif barisan ini ditulis a1 = 1, an = an -1 + 3, n 2 . Barisan konvergen Barisan {an} dikatakan konvergen ke L jika an dapat dibuat sebarang dekat ke L dengan mengambil n yang besar. Secara formal, barisan {an} konvergen ke L, ditulis lim an = L, atau an L jika"e > 0 $ N 'n N | an - L | < e . Barisan yang tidak konvergen din

namakan divergen, mungkin limitnya , - , atau tidak ada (oskilasi).Ilustrasi Barisan {an} dengan an = 1 - n ; 0, 2 , 3 , 4 ,1n n

1

{

1 2 3

} konvergen ke 1

karena lim an = lim (1 - n ) = 1 . Perhatikan situasi geometrinya.1+e 1-e1

1+e 1-e an = 1 - n 1 2 3 4N1

y

1

y = a(x) = 1 - x

1

0

1

N

x

B & D BR

002

Contoh Buktikan lim an = lim (1 - n ) = 1 dengan definisi limit barisan.n n

1

Bukti Akan dibuktikan " e > 0 $ N 'n N |1 - n - 1| < e . Karena dik dicari bktkan1 |1 - 1 - 1| = 1 < e n > e , maka ambillah N bilangan asli yang lebih besar n n 1 1 1 1 dari e , maka n N > e mengakibatkan |1 - n - 1| = n < e .

1

Sifat limit barisan Untuk barisan konvergen {an}, {bn} dan konstanta k: (1) lim k = k (4) lim (an bn ) = lim an lim bnn n

n

n

n

(2) lim kan = k lim ann

(3) lim (an bn ) = lim an lim bnn n n

(5)

a lim bn n n

= lim b , lim bn 0 n n n

n

lim an

Sifat barisan konvergen Untuk barisan {an }, an = f (n) ; jika lim f (x) = L , maka lim f (n) = L .x n

Prinsip apit Untuk barisan {an },{bn },{cn } , jika an bn cn dengan an L dan cn L , maka bn L . Untuk barisan {an }, jika | an | 0 , maka an 0 . Jika barisan {an } konvergen, maka {an } terbatas. ({an } barisan terbatas jika $ M > 0 '| an | M "n ) Jika barisan {an } monoton tak turun dan terbatas di atas, maka {an } konvergen. ({an } barisan monoton tak turun jika an an +1 " n ) Contoh penggunaan prinsip apit Buktikan jika | r | < 1 , maka r n 0 . Bukti Karena | r | < 1 , maka | r | > 1, akibatnya $ p > 0 '| r | = 1 + p . Dari sini1 1

diperoleh

1 | rn|

=

1 | r |n

= (1 + p)n 1 + pn > pn "n , sehingga 0 | r n | < pn .1

1

Karena lim 0 = 0 = lim pn (limit pengapitnya 0), maka | r n | 0 . Akibatnya n n berdasarkan sifat barisan konvergen diperoleh r n 0 .

B & D BR

003

Contoh Buktikan barisan {an } dengan an = n ! konvergen ke 0. Bukti Karena {an } barisan positif, maka {an } terbatas di bawah oleh 0.= n + 1 1, maka an +1 an "n , akibatnya {an } barisan monoton tak naik. Karena {an } monoton tak naik dan terbatas di bawah oleh 0, maka {an } konvergen ke 0. (sifat barisan konvergen)an +1 an

2n

Karena

=

1 an +1 a n

=

2n +1 n ! ( n + 1)! 2n

2

Cara lain Karena 2n < (n -1)!, n > 6 (buktikan dengan induksi matematika),

maka 0 < an = n ! 1 + 2 2 s8 = a1 + a 2 + + a 8 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 > 1 + 3 2> 1/ 2 > 1/ 2

( )1 1> 1/ 2

1

1

( ) (1 1 1

1

1

1

1

)

1

Dari sini diperoleh s2n > 1 + n 2 = 1 + 2 n . (buktikan dengan induksi!) Karena lim sn = lim 1 + 2 n = , maka deret ini divergen. n nContoh Selidiki kekonvergenan deret

1

(

1

)

n =1(-1)n +1 .dengan an = (-1) n +1.

Deretnya:

n=1 (-1)n+1 = 1 - 1 + 1 - 1 +

Jumlah parsial deretnya: sn =

{

1, n bilangan ganjil = {1,0,1,0, } . 0, n bilangan genap

Karena {sn} tidak mempunyai limit (oskilasi), maka deret ini divergen.Sifat deret konvergen Jika deret n =1 an konvergen, maka lim an = 0.n

Bukti Misalkan jumlah parsial deret ini adalah sn. Karena deretnya konvergen, maka $ s 'lim sn = s. Akibatnyan n

lim an = lim (sn - sn -1) = lim sn - lim sn -1 = s - s = 0.n n n

Ilustrasi Deret

n =1 2n - 5 divergen karena nlim 2n - 5 = 2 0 . 1

n +1

n +1

(kontraposisi sifat deret konvergen)

B & D BR

005

Catatan Kebalikan sifat deret konvergen tidak benar lagi.1

Contoh penyangkalnya adalah lim n = 0 tetapi deret n =1 n divergen. nDeret Geometri Bentuk umum:n

1

n =1 ar n -1 = a + ar + ar 2 ++ ar n -1 + ar n -1 + ar na (1- r n ) , r 1 1- r

.

Jumlah parsial: sn = k =1 ar k -1 = a + ar + ar 2 +sn = a + ar + ar 2 + rsn = ar + ar 2 +n

+ ar n -1 = 1- r , r 1.

a (1- r n )

(1 - r ) sn = a (1 - r ) sn =

Jika | r | < 1 , maka r n 0 (halaman 2, prinsip apit), akibatnyas = n =1 ar n -1 = lim sn = lim 1- r n n1 a (1- r n )

= 1- r = a 1 - r .1 1 1

a

1

Catatan Dari fenomena 1 = 2 - 1 , 1 + 2 = 2 - 2 , 1 + 2 + 4 = 2 - 4 , di-

1

peroleh Sn +1 = 1 + 2 + 4 + deret geometriIlustrasi Ilustrasi

1 1 n = 2 - 2n dengan lim S n +1 = 2 , sehingga 2 n 1 1 1 1 konvergen ke 2; n = 0 n = 2 . n = 1+ 2 + 4 + n=0 2 2

1

1

+

2n n =1 3n -1

= n =11 2n

2 2n -1

3n -1 1

= n =1 2 31

()

2 n -1

= 2

1 1- 2 3

= 2 3 = 6. =1 1+ 1 2 1

n=0 (-1)n

=1- 2 + 4 - 8 +

1

= n =11 - 21

( )

1 n -1

= 3.

2

Ilustrasi Jika | x | < 1 , maka Catatan Deret

n=0 xn = 1 - x dan

n =0 (-1)n x n = 1 + x .

n =1 an yang konvergen ke S ditulis

n=1 an = S .

Sifat linear deret tak hingga

(1) Jika c 0, maka n =1 an dan n =1 can bersama-sama konvergen atau

divergen.(2) Jika

n=1 an = S dan

n =1bn = T, maka

n=1 (an bn) = S T.

B & D BR

006

Uji jumlah terbatas

Deret

n =1 an , an 0 "n

konvergen sn = k =1 ak terbatas di atas.n

Uji integral Untuk fungsi f yang kontinu, bernilai positif, dan tak naik pada [1,) dengan an = f (n) berlaku

derety

n=1 an konvergen integral tak wajary

1

f (x) dx konvergen.

y = f (x)

y = f (x)

a10

a2

a3

a4

a5an

a1n x

a2 a3

a4

a5an

1 2 3 4 5

0

1 2 3 4 5

n

x

Uji banding biasa

Jika 0 an bn "n N dan n =1bn konvergen, maka n =1 an konvergen. Jika 0 an bn "n N dan n =1 an divergen, maka n =1bn divergen.Uji banding limit Misalkan an 0, bn > 0, dan lim bn = L . n na

Jika 0 < L < , maka n =1 an dan n =1bn bersama-sama konvergen atau divergen. (keduanya konvergen atau keduanya divergen) Jika L = 0 dan n =1bn konvergen, maka

n =1 an

konvergen.a

n Uji banding Untuk deret n =1 an , an > 0 "n dan lim a +1 = L ; n n jika L 1 atau lim

an +1

jika L =1 , maka uji kekonvergenan tidak memberikan kesimpulan.

n an

= , maka deret divergen.

B & D BR

007

Aneka Ragam Variasi Contoh Kekonvergenan Deret Contoh Selidiki kekonvergenan deret n =1

2n n 2 - 3n + 3

Cara 1 Dengan uji banding biasa, dari n 1 "n

diperoleh -3n + 3 0.2n 2n 2 n - 3n + 1 n2

Akibatnya n 2 - 3n + 3 n 2, sehingga Karena deret 1

1 n - 3n + 32

1 n2

dan2n

= n.

2

n =1 n divergen, maka deret n =1 n2 - 3n + 3 juga divergen.2n n - 3n + 32

Cara 2 Dengan uji banding limit, bandingkan an =a1 2n

dengan bn = n .

2

Karena lim bn = lim an b = lim 2 n = 2 0 "n , {an } monoton turun, dan lim an = lim n = 0. n n+a1 -a2 +a3 -a4 0 s2 s4 s s3 s1 x

Taksiran deret ganti tanda Jika deret

n =1(-1)n +1an = s memenuhi kondisidi atas dan sn = a1 - a2 + maka | s - sn | an +1.1 2

+ (-1) n +1an ,

konvergen ke s = 3 dan jumlah 8 suku pertamanya adalah s8 = 0,6440625 . Taksiran jumlahnya memenuhiIlustrasi Deret| s - s8 | = 0,00260416 < a9 = 256 = 0,00390625 .1

n =1(-1)n +1 2n-1

Uji kekonvergenan dengan nilai mutlak

Jika deret n =1| un | konvergen, maka deret n =1un juga konvergen.Kekonvergenan mutlak dan bersyarat Deret vergen mutlak jika

n=1unIlustrasi

n=1|un | konvergen dan konvergen bersyarat jika konvergen tetapi deret n =1| un | divergen.

n=1un dikatakan kon-

Deret

n=1(-1)n +1 2n-1 = 1 - 2 + 4 - 8 +1 1 1 1 1 1 1

konvergen mutlak karena

n =1 2n-1 = 1+ 2 + 4 +Deret

=

1 1- 1 2 1

= 2 . (deret nilai mutlaknya konvergen)1 1

n=1(-1)n +1 n = 1 - 2 + 3 - 4 + konvergen bersyarat karena 1 1 1 deret ini konvergen tetapi deret n =1 n =1 + 2 + 3 + divergen.1

B & D BR

011

5 5 6 3 1 (2n -1)p | |sin konvergen karena deret nilai mutlaknya n =1 6 konvergen. n n |sin 1 (2n -1)p | 1 1 6 Karena dan deret n =1 konvergen (uji integral), n n n n n n |sin 1 (2n -1)p | maka deret n =1 6 konvergen. n n 2 2

Ilustrasi Deret

n=1

sin 1 (2n -1)p 6

n n

= 2+

1

1

+

1

- 16 -

1

1

-

1 12 6

+

n Uji banding mutlak Untuk deret n =1 an , an 0 dan lim | a +1 = L ; n n| jika L < 1, maka deret konvergen. jika L >1, maka deret divergen. jika L =1 , maka uji kekonvergenan tidak memberikan kesimpulan.

|a

|

Pengaturan kembali suku deret Suku-suku deret konvergen mutlak dapat diatur kembali tanpa berpengaruh pada kekonvergenan atau jumlah deretnya.

n =1 (-1)n +1 n! konvergen mutlak berdasarkan uji banding mutlak karenaIlustrasi Deret| an +1|

3n

1 lim | a | = lim | an +1| | a | n n n n

3n +1 n! = lim ( n +1)! n 3 n

= lim n +1 = 0 < 1 . n

3

Deret pangkat Bentuk umum deret pangkat yang berpusat di 0 adalah

n=0 an x n = a0 + a1x + a2 x 2 + dan yang berpusat di x0 adalah n =0 an(x - x0)n = a0 + a1 (x - x0) + a2 (x - x0)2 +Catatan Dalam notasi ini a0 x 0 = a0 walaupun x = 0. Ilustrasi Deret geometri

n =0 ax n = a + ax + ax2 + ax3 +a

adalah suatu

deret pangkat yang konvergen ke s (x) = 1- x untuk | x | 5000, (b) n > 50 73. 1 - 2 + 8 - 16 dan | R3(x)| 2,15 10 -6