deret - modul. · pdf filesuatu barisan •deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun...

16
Modul ke: Matematika Ekonomi Deret Pusat Bahan Ajar dan E-learning 02

Upload: lethuan

Post on 02-Feb-2018

246 views

Category:

Documents


6 download

TRANSCRIPT

Page 1: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

Modul ke:

Matematika Ekonomi

Deret

Pusat Bahan Ajar dan E-learning

02

Page 2: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

2

BANJAR / BARISAN • Banjar ialah suatu fungsi yang wilayahnya ialah set

bilangan alam.

• Banjar ialah suatu set bilangan bernomor satu, dua, tiga dan seterusnya.

• Barisan/ banjar (sequence), Un, adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu

– Un : suku ke n

– Un = f (n) ; n = bilangan asli

• Banjar yang berakhir dinamakan banjar berhingga

• Banjar yang tak berakhir dinamakan banjar tak berhingga

Page 3: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

3

Contoh-contoh banjar:

• Jenis barisan/banjar: - Aritmetika (Hitung) - Geometrika (Ukur) - Harmoni

• Banjar (1) dan banjar (5) adalah banjar hitung. • Banjar (2) yang sukunya kebalikan dari suku banjar hitung (1)

adalah banjar harmoni. • Banjar 6 adalah banjar ukur • Suku banjar (2) dan (3) mendekati 0, dan suku banjar (4)

mendekati 1 sebagai limit.

1. [n] = 1, 2, 3, ..., n, ...

2. [1/n] = 1, ½, 1/3, ..., 1/n, ...

3. [1/2n] = ½, ¼, 1/8, ..., 1/2

n, ...

4. [ {n + (-1)n} / n ] = 0, 3/2, 2/3, 5/4, 4/5, 7/6, 6/7, ..., {n + (-1)

n} / n, ...

5. [a + (n-1) d] = a, a+d, a+2d, ..., a + (n-1) d, ...

6. [arn-1

] = a, ar, ar2, ...,ar

n-1, ...

Page 4: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

4

Definisi:

• Banjar Hitung ialah banjar yang selisih antara dua sukunya yang berikutan/berurutan adalah sama.

• Selisih itu dinamakan selisih sama yang adalah 1 pada banjar (1) dan d pada banjar (5).

• Banjar ukur ialah banjar yang nilai bandingnya antara dua sukunya yang berikutan/berurutan sama.

• Nilai banding (ratio) itu dinamakan nilai banding sama, yang adalah r pada banjar (6)

Page 5: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

5

Banjar & Deret • Banjar (sequence) perlu dibedakan dari deret (series) yang

adalah jumlah suku-suku suatu banjar.

• Banjar (sequence) khusus seperti (1) dan (5), (2) dan (6) dalam bahasa inggris dinamakan juga progression, yaitu arithmatic progression, harmonic progression, dan geometric progression.

• Jumlah suku-suku banjar hitung adalah deret hitung (arithmatic series),

• jumlah suku-suku banjar harmoni adalah deret harmoni (harmonic series), dan

• jumlah suku-suku banjar ukur adalah deret ukur (geometric series).

Page 6: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

6

DERET

• Deret (series), Sn, adalah jumlah semua suku dari suatu barisan

• Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan unsur dan pembentuk sebuah deret dinamakan suku/ banjar/barisan.

• Jenis deret :

–deret hitung (arithmatic series),

–deret ukur (geometric series).

–deret harmoni (harmonic series),

Page 7: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

7

• a + (a+d) + (a+2d) + ... + a+(n-1)d adalah deret hitung berhingga dengan n suku

• 1 + ½ + 1/3 + ... + 1/n adalah deret harmoni berhingga dengan n suku.

Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah dari terbaginya panjang kawat gitar atau piano menurut angka-angka yang sama, pada nada-nada harmoni. Rumus untuk jumlah deret harmoni belum ada.

• a + ar + ar2 + ... + ar n-1 + ... adalah deret ukur tak berhingga dengan tak berhingga suku.

Page 8: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

8

RUMUS BARISAN & DERET ARITMETIKA

• Barisan :Un = a + (n – 1)b – Un : suku ke n

– a = U1 = suku pertama

– b = beda/selisih = Un – Un-1

• Deret : – Sn = n/2 (a + Un), atau

– Sn = n/2 (2a + (n – 1) b)

Sn : jumlah n suku pertama

• Hubungan barisan dan deret :

Un = Sn – Sn-1

Page 9: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

9

Proses pencarian rumus

Contoh: 5, 10, 15, 20, 25, 30, , …. “x”

a U2 U3 U4 U5 U6 Un

Perhatikan: ternyata besarnya selisih antara nilai-nilai dua suku

yang berurutan (b) adalah 5. Suku pertama, yaitu U1 atau a,

adalah 5. Selanjutnya berturut-turut dapat dihitung :

U1 = a = 5

U2 = a + b = 5 + 5 = 10

U3 = a + 2b = 5 + 10 = 15

U4 = a + 3b = 5 + 15 = 20

.

.

.

Un = a + (n – 1)b = “x”

Page 10: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

10

Besarnya suku ke-n adalah:

Jumlah nilai-nilainya sampai dengan suku ke –n adalah:

atau

a : besarnya suku pertama atau S1

b : selisih antara nilai-nilai dua suku yang berurutan (beda)

n : banyaknya suku

Un : besarnya atau nilai suku ke n

Sn : jumlah nilai-nilai sampai dengan suku ke n.

Un = a + (n – 1)b

Sn = n/2 (a + Un)

Sn = n/2 {2a + (n – 1)b}

Page 11: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

11

KASUS

1. Cari suku ke 10 dan jumlah dari 15 suku pertama barisan 3, 7, 11 ..

2. Cari suku ke 8 dan jumlah dari 10 suku pertama dari barisan aritmetika jika nilai suku ke 2 = 8 dan suku ke 5 = 17

3. Penjualan bulan Januari sebesar 4.000 unit dan tiap bulan penjualan turun sebesar 100 unit. Berapakah :

a. Jumlah penjualan pada bulan Oktober

b. Total penjualan sampai dengan Desember

4. Diketahui Un = 3n2 + 4n, tentukan suku ke 7

Page 12: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

12

BARISAN & DERET GEOMETRIKA

• Barisan :Un = arn-1

–Un : suku ke n

– Sn : jumlah dari n suku pertama

– a = U1 = suku pertama

– r = rasio = Un/Un-1

• Deret :

– Sn = a(rn – 1)/(r – 1) jika r > 1

– Sn = a(1 – rn)/(1 – r) jika r < 1, r ≠ 0

– Sn = a/(1 – r) jika n = ~

Sn : jumlah dari n suku pertama

Page 13: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

13

Proses pencarian rumus Contoh : 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, … “x”

a U2 U3 U4 U5 U6 U7 Un

Besarnya hasil bagi antara nilai-nilai dua suku yang beurutan (p)

– yaitu antara suatu suku dengan suku di depannya –adalah 2.

Suku pertama, yaitu U1 atau a, adalah 5. Selanjutnya berturut-

turut dapat dihitung:

U1 = a = 5

U2 = ap = 5 . 2 = 10

U3 = ap2 = 5. 2

2 = 20

U4 = ap3 = 5 . 2

3 = 40

.

.

.

Un = apn-1

= “x”

Page 14: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

14

Besarnya suku ke - n adalah:

Jumlah nilai-nilainya sampai dengan suku ke - n adalah

a : besarnya suku pertama

p : hasil bagi antara nilai-nilai dua suku yang berurutan (pengganda)

n : banyaknya suku

Un : besarnya suku ke – n

Sn : jumlah nilai-nilai sampai dengan suku ke – n.

Un = ap n - 1

Sn = a ( 1 - p n )

1 - p

Page 15: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

15

KASUS

1. Carilah suku ke 3 dan jumlah dari 7 suku pertama barisan 8, 16, 32 ..

2. Carilah suku ke 10 dan jumlah dari 12 suku pertama dari barisan geometri jika suku ke 2 = 8 dan suku ke 5 = 64

3. Produksi tahun pertama sebesar 7.000 unit dan tiap tahun terjadi kenaikan 5%. Berapa :

a. Jumlah produksi tahun ke 5

b. Total produksi dalam 8 tahun pertama

Page 16: Deret - modul. · PDF filesuatu barisan •Deret ialah rangkaian bilangan yang tersusun secara teratur. Bilangan-bilangan yang merupakan ... Nama deret harmoni dan banjar harmoni adalah

Terima Kasih Mafizatun Nurhayati, SE. MM.