4.sistemi linearnih jednačina
DESCRIPTION
4.Sistemi linearnih jednačinaTRANSCRIPT
Sistemi linearnih jednačina
Matematika
Sistemi linearnih jednačina
Gausov metodKramerov metodKroneker-Kapelijeva teoremaHomogeni sistem jednačinaMatrični metod za rješavanje sistema
linearnih jednačina
Gausov metod
Gausova metoda se sastoji u sukcesivnom eliminisanju nepoznatih iz sistema i transformacijom u trougaoni ili trapezni ekvivalentni sistem iz koga se dobija rješenje ili se ustanovi da sistem nema rješenja.
Primjer 1.
Kramerov metod
Primjer 2.
(x, y, z) = (1, 2, 3)
Kroneker-Kapelijeva teorema
Ako je n broj nepoznatih, tada: Sistem je saglasan i ima jednoznačno rješenje ako je
rang(A) = rang(Ap) = n Sistem je saglasan i ima beskonačno mnogo rješenja ako je
rang(A) = rang(Ap) < n Sistem je protivrječan i nema rješenja ako je
rang(A) < rang(Ap)
Primjer 3.
Homogeni sistem linearnih jednačina
U homogenom sistemu je b1 = b2 =…= bm = 0 . Homogeni sistem je uvijek saglasan, jer je rang(A) = rang(Ap) Homogeni sistem ima samo trivijalno rješenje X1 = X2 = .......= Xn =0 ako
i samo ako je rang( A) jednak broju nepozantih n . Homogeni sistem ima i netrivijalno rješenje ako i samo ako je rang( A)
manji od broja nepozantih n .
Napomena: Prethodni stav o saglasnosti i broju rješenja homogenog sistema je posledica Kroneker-Kapelijeve teoreme.
Primjer 4.
Matrični metod za rješavanje sistema linearnih jednačina
Primjer 5.