Teorija za Tutorijal 8 iz IM2

6.2. Sistem obinih linearnih diferencijalnih jednaina 1. reda

Definicija 6.2.1. Sistem diferencijalnih jednaina oblika

gdje su , ija fi, za , 1, 2,...,i j n , neprekidne funkcije na nekom intervalu I u R zovemo

sistemom obinih linearnih diferencijalnih jednaina 1. reda.

Rijeiti ovaj sistem znai nai funkcije 1 2, , ... , ny y y neprekidno diferencijabilne na

intervalu I takve da zadovoljavaju svaku od jednaina u sistemu. Ureena n -orka funkcija

1 2, , ... , ny y y se zove rjeenje toga sistema.

Cauchyev problem ili problem poetnog uslova u ovom sluajujeste problem da se za

zadani 0 Ix i proizvoljne brojeve 01 02 0, , ... , ny y y nae rjeenje sistema tako da vrijedi

Ako stavimo

onda se zadani sistem moe zapisati kao

(6.2.1)

Takoer Cauchyev problem moemo pisati u matrinom obliku

(6.2.2)

Iz teoreme5.1.1. u 5.1. o egzistenciji i jedinstvenosti rjeenja sistema n diferencijalnih

jednaina prvog reda zadanog u normalnom obliku slijedi neposredno sljededa teorema:

Teorem 6.2.1. Neka su , ija fi : I R neprekidne funkcije na I za , 1, 2,...,i j n . Neka je 0Ix i

01 02 0, , ... , ny y y R . Tada Cauchyjev problem

ima jedno i samo jedno rjeenje.

Sistemi s konstantnim koeficijentima

Elementi matrice A (x), funkcije ( )xija se zovu koeficijenti sistema (6.2.1). Ako su

koeficijenti konstantni, onda su elementi matrice A brojevi, pa imamo sistem

(6.2.3)

uz poetni uslov

(6.2.4)

Ovaj sistem se zove sistem linearnih diferencijalnih jednaina 1. reda s konstantnim

koeficijentima.

Ako je 0f , tj. ako je ( ) 0, ( ), ( 1,2, ..., )if x x I i n , onda se sistem (6.2.1), pa, dakle, i

sistem (6.2.3), zove homogen, u protivnom sistem se zove nehomogen.

Metode rjeavanja sistema linearnih diferencijalnih jednaina 1. reda

1. Svoenje na jednu jednainu vieg reda

Jedna od metoda se sastoji u tome da se viestrukim deriviranjem jednaina

posmatranog sistema izbace sve nepoznate funkcije osim jedne. Na taj nain dolazimo do

jedne linearne diferencijalne jednaine n-tog reda, koju zatim rjeavamo poznatim metodama.

2. Eulerova metoda

Druga metoda, Eulerova, se sastoji u tome da se rjeenje pripadnog homogenog sistema

pretpostavi u obliku

gdje je

Uvrtavanje u (6.2.5) daje

pa dolazimo do poznatog problema da za matricu Anaemo vlastite vrijednosti i vlastite vektore.

Primijetimo da matrica Ane mora biti ni simetrina ni ortogonalna, vedmoe biti proizvoljna. Problem

egzistencije i nalaenja vlastitih vrijednosti i vlastitih vektora za proizvoljnu matricu nije tako

jednostavan, pa to oteava diskusiju.

Ako sistem rjeavamo Eulerovom metodom, onda se moe dogoditi da neka vlastita vrijednost

od A ima viestrukost veu od 1. Tada razlikujemo dva sluaja.

a) Vlastitoj vrijednosti je pridrueno onoliko linearno nezavisnih vlastitih vektora kolika ja

njena viestrukost.

b) Vlastitoj vrijednosti pripada manje linearno nezavisnih vlastitih vektora nego to je njena

viestrukost.

3. Dijagonalizacija matrice sistema

Sistem

moemo vrlo elegantno rijeiti, ako se matrica A moe dijagonalizirati. Pretpostavimo da je to

mogude, i da je

Da bismo dobili dijagonalnu matricu pomnoimo prethodnu jednainu s 1X slijeva.

gdje smo stavili

Ovaj sistem, kad se raspie, svodi se na n nezavisnih jednaina

Svaka od ovih jednaina je linearna diferencijalna jednina 1. reda, ije rjeenje je

Konstanta iC se izrauna iz poetnog uslova, koji je sada

Kad tako dobijemo ( ), ( 1, 2, .... , )x i niz rjeenje y naemo iz formule

Ova metoda omoguava elegantno rjeavanje sistema, ako je njegova matrica simetrina.

Neke nesimetrine matrice se takoer mogu dijagonalizirati.

287728782879288328842885289128922893skk:tm1294329442945295129522953295529562957295929602961