teorija oscilatornosti linearnih diferencijalnih jedna ... · pdf filemnogi zi cki sistemi su...
TRANSCRIPT
Univerzitet u Nisu
Prirodno - matematicki fakultet
Departman za matematiku
Teorija oscilatornosti linearnihdiferencijalnih jednacina drugog
redaMaster rad
Student: Mentor:Milica Pavlovic Prof. dr Jelena Manojlovic
Nis, Oktobar 2013.
Sadrzaj
1 Sturmova teorija linearne DJ drugog reda 51.1 Linearna diferencijalna jednacina-osnovni pojmovi . . . . . . . . . . . 51.2 Nule resenja i nekonjugovanost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Rikatijeva metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4 Varijacioni princip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.5 Ciklicna teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Kriterijumi neoscilatornosti i oscilatornosti 192.1 Leightonov kriterijum oscilatornosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Rikatijeva nejednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Hartman-Wintner teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4 Hille-Wintner-komparativne teoreme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.5 Hille-Nehari kriterijumi oscilatornosti i neoscilatornosti . . . . . . . . 372.6 Kriterijumi oscilatornosti tipa Hartman-
Wintner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1
2
Uvod
Mnogi fizicki sistemi su modelirani diferencijalnim jednacinama drugog reda i kval-itativna analiza ovih jednacina privlaci veliku paznju autora koji se bave teorijomobicnih diferencijalnih jednacina. Kvalitativna analiza nam daje informacije o nizuosobina integralnih krivih kao sto su ogranicenost, broj i polozaj nula, oscilatornosti monotonost.
Oblast kvalitativne analize diferencijalnih jednacina se intenzivno razvija posled-njih tridesetak godina. Za to vreme su dobijeni vazni i korisni rezultati. Medu timrezultatima su ustanovljeni kriterijumi oscilatornosti resenja linearnih diferencijal-nih jednacina i dokazane su teoreme o klasifikaciji jednacina prema oscilatornimsvojstvima njihovih resenja.
Od posebnog interesa u oblasti kvalitativne analize diferencijalnih jednacina jeutvrdivanje kriterijuma oscilatornosti i neoscilatornosti linearnih i nelinearnih difer-encijalnih jednacina o cemu svedoci veliki broj radova iz ove oblasti.
Kako su linearne diferencijalne jednacine drugog reda najcesci modeli oscila-tornih fizickih sistema u kojima amplituda oscilovanja i ucestanost promene rezimaoscilovanja utice na stabilnost sistema , razvoj teorije oscilatornosti je krenuo odproucavanja oscilatornosti linearnih jednacina.
U ovom master radu su data najvaznija tvrdenja oscilatornosti i neoscilatornostiresenja linearne diferencijalne jednacine drugog reda. Rad je podeljen u dve glave.
U prvoj glavi je od interesa ispitati nule i oscilatornost resenja linearnih diferenci-jalnih jednacina drugog reda i data su dva osnovna tvrdenja o oscilatornosti resenjalinearne diferencijalne jednacine poznata kao Sturmova teorema o razdvajanju nulai Sturmova komparativna teorema. Navedene su osnovne tehnike dokazivanja kri-terijuma oscilatornosti diferncijalnih jednacina drugog reda koje objedinjuje tzv.ciklicna teorema.
Druga glava takode obuhvata najvaznije kriterijume oscilatornosti i neoscila-tornosti linearne diferencijalne jednacine pri cemu se glavni akcenat stavlja na kon-vergenciju i divergenciju odgovarajucih integrala koje cemo kasnije uvesti. Na-jpre je dokazan osnovni kriterijum oscilatornosti, odnosno Leightonov, a zatim iHartman-Wintnerov kriterijum, Hille-Nehari kriterijumi oscilatornosti i neoscila-tornosti i drugi.
3
Posebnu zahvalnost na pruzenoj pomoci i konsultacijama tokom pisanja rada,dugujem svom mentoru, profesoru dr. Jeleni Manojlovic.
4
Glava 1
Sturmova teorija linearne DJdrugog reda
U ovoj glavi cemo navesti dve osnovne tehnike za dokazivanje kriterijuma oscila-tornosti. To su Rikatijeva tehnika i varijacioni princip. Pokazacemo dva osnovnatvrdenja o oscilatornosti resenja diferencijalnih jednacina poznata kao Sturmovateorema o razdvajanju nula i Sturmova komparativna teorema. Za dokaz Sturmovekomparativne teoreme koristicemo dve navedene tehnike i jos cemo pokazati da seSturmova teorema o razdvajanju nula moze dokazati nezavisno od ova dva osnovnametoda. Na kraju cemo Rikatijevu tehniku, varijacioni princip i Sturmovu teorijulinearne diferencijalne jednacine povezati tvrdenjem poznatim kao tzv. ciklicna teo-rema.
1.1 Linearna diferencijalna jednacina-osnovni po-
jmovi
LINEARNA DJ DRUGOG REDA:
(L) l[u] := [p(t)u′(t)]′ + q(t)u(t) = 0, t ∈ I,
gde je p ∈ C1(I) pozitivna funkcija i q ∈ C(I), pri cemu je I = (a, b).
Oblast definisanosti ove jednacine je D = (a, b)× R.
Definicija 1.1 Pod resenjem jednacine (L) podrazumevamo funkciju u : I → R kojaje neprekidno diferencijabilna u I zajedno sa pu′ i koja zadovoljava datu jednacinuu svakoj tacki iz I.
Kosijev problem za diferencijalnu jednacinu (L) definise se na sledeci nacin: Zadatu tacku (t0, u0, u
′0) ∈ D odrediti resenje u = φ(t), definisano u nekoj okolini tacke
t0, koje zadovoljava uslove
(1.1) φ(t0) = u0, φ′(t0) = u′0.
5
Brojevi t0, u0, u′0 su pocetne vrednosti, a uslovi (1.1) pocetni uslovi ili Kosijevi uslovi.
Oblast G ⊂ G je oblast egzistencije i jedinstvenosti resenja diferencijalne jednaci-ne (L) ako kroz svaku tacku te oblasti prolazi samo jedna integralna kriva. Drugimrecima za proizvoljnu tacku (t0, u0, u
′0) ∈ G Kosijev problem ima jedistveno resenje.
Teorema 1.1 (Teorema egzistencije i jedinstvenosti resenja ) Ako su funkci-je p ∈ C1(a, b), q ∈ C(a, b), tada za svako t0 ∈ (a, b) i proizvoljne konacne vrednostit0, u0, u
′0 postoji jedistveno resenje u = φ(t) diferencijalne jednacine (L), definisano
na intervalu (a, b), koje zadovoljava pocetne uslove (1.1).
Oblast egzistencije i jedinstvenosti resenja diferencijalne jednacine (L) je G =(a, b)× R2 = D, pa jednacina nema singularnih tacaka.
Diferencijalna jednacina (L) ima trivijalno resenje φ(t) ≡ 0. Ako u nekoj tackit0 resenje φ(t) diferencijalne jednacine (L) zadovoljava trivijalne pocetne uslove
φ(t0) = 0, φ′(t0) = 0,
prema Teoremi 1.1 ono mora biti trivijalno.
1.2 Nule resenja i nekonjugovanost
Proucavanje nula netrivijalnih resenja jednacine l[u] = 0 je veoma bitno sto cemovideti kasnije u ovoj glavi. Sada cemo dati neke elementarne cinjenice koje seticu nula netrivijalnih resenja jednacine l[u] = 0. Najpre primetimo da za bilokoji neprazan podinterval J ⊂ I, postoji netrivijalno resenje koje ima nulu u J.Da proverimo ovo, izaberimo t0 ∈ J proizvoljno i u resenje Kosijevog problemal[u] = 0, u(t0) = 0, u′(t0) = 1. Primetimo da prema Teoremi o jedinstvenosti nepostoji netrivijalno resenje koje ima dvostruku nulu na nekom intervalu I. Stoga,sva netrivijalna resenja jednacine l[u] = 0 imaju samo proste nule u I. Ako uocimojednacinu u′′ + u = 0 i J ⊂ I je interval duzine manje od π, tada ne postoji netrivi-jalno resenje koje ima dve nule u J. Ovo nas dovodi do sledecih definicija :
Definicija 1.2 Netrivijalno resenje u(t) jednacine (L) je oscilatorno na intervaluJ ⊂ I ako ima beskonacno mnogo nula na J, odnosno ako za svako T ∈ J takvo da jex(T ) = 0 postoji T1 ∈ J, T1 > T, tako da je x(T1) = 0. Ako DJ (L) ima netrivijalnooscilatorno resenje na J, kazemo da je oscilatorna na J. U suprotnom, kazemo daje DJ (L) neoscilatorna na J.
Primer 1.1 (i) u(t) = sin t je netrivijalno resenje DJ u′′+u = 0 koje ima beskonacnomnogo nula nula na R.
(ii) u(t) = sin 1tje netrivijalno resenje DJ (t2u′)′ + u
t2= 0 koje ima beskonacno
mnogo nula na J = (0, 1].
Definicija 1.3 Tacke t1, t2 se nazivaju konjugovane u odnosu na jednacinu(L) ako postoji netrivijalno resenje u(t) ove jednacine takvo da je u(t1) = 0 = u(t2).
6
Definicija 1.4 Za diferencilalnu jednacinu (L) kazemo da je nekonjugovana naintervalu J ⊂ I ako svako netrivijalno resenje ima najvise jednu nulu na J.
Diferencijalna jednacina (L) je nekonjugovana na intervalu I ako ne postoji partacaka ovog intervala koje su konjugovane u odnosu na jednacinu (L).
Teorema 1.2 Svako netrivijalno resenje DJ (L) na proizvoljnom segmentu [α, β] ⊂(a, b) moze imati samo konacno mnogo nula.
Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da proizvoljno netrivijalno resenje u = u(t)na segmentu [α, β] ima prebrojivo mnogo nula t1, t2, ... Zbog ogranicenosti nizatn, n ∈ N postoji najmanje jedna tacka nagomilavanja t∗ ∈ [α, β] ovog niza. Otudapostoji podniz tnk
, k ∈ N tako da tnk→ t∗ kada k → ∞. Kako je u(tnk
) = 0 zasvako k ∈ N i u ∈ C2(a, b), dakle u ∈ C(a, b), to je u(t∗) = 0. Prema Rolovoj teoremipostoji tacka σnk
∈ (tnk−1, tnk
) tako da je u′(σnk) = 0. Kako σnk
→ t∗ kada k → ∞,to u′(σnk
) → u′(t∗) kad k → ∞. Prema tome ,u(t∗) = 0, u′(t∗) = 0. Ove pocetneuslove zadovoljava i trivijalno resenje, pa prema Teoremi egzistencije i jedinstvenostiresenja sledi da je u(t) ≡ 0 na (a, b), sto je suprotno pretpostavci da je u(t) netriv-ijalno resenje. Dakle, resenje u(t) na segmentu [α, β] moze imati samo konacnomnogo nula. �
Klasicna Sturmova komparativna teorema predstavlja veoma vazan rezultat teo-rije oscilatornosti.
Teorema 1.3 (Sturmova teorema o razdvajanju nula) Ako su u, v dva lin-earno nezavisna resenja na I jednacine l[u] = 0, onda se njihove nule u I medusobnorazdvajaju (pod cime se podrazumeva da linearno nezavisna resenja u i v nemaju za-jednickih nula, a izmedu svake dve uzastopne nule nekog od ta dva resenja se nalazitacno jedna nula drugog resenja).
Dokaz. Neka su u = u(t) i v = v(t) proizvoljna linearno nezavisna resenja jednacinel[u] = 0.
Ako u i v imaju zajednicku nulu na I, tj. ako postoji T ∈ I tako da je u(T ) =v(T ) = 0, onda je W (T ) = W [u(T ), v(T )] = 0, sto nije moguce zbog linearnenezavisnosti ovih resenja.
Neka su t1 i t2 uzastopne nule iz intervala I resenja u = u(t), pri cemu je t1 < t2.Dokazimo da postoji samo jedna nula T ∈ (t1, t2) resenja v = v(t). Pretpostavimosuprotno,da resenje v = v(t) nema nula na intervalu (t1, t2). Neka je, na primer,v(t) > 0. Posto su u = u(t) i v = v(t) linearno nezavisna resenja, mora biti v(t1) = 0i v(t2) = 0. Kako je
−(u(t)v(t)
)′=
W (t)
v(t)2,
to je
−u(t)
v(t)
∣∣∣t2t1=
∫ t2
t1
W (t)
v(t)2dt.
7
Ova jednakost je nemoguca, jer je leva strana jednaka nuli, a na desnoj je brojrazlicit od nule. Zbog toga mora postojati najmanje jedna nula T ∈ (t1, t2) resenjav(t).
Dokazimo da je T jedina nula resenja v = v(t) izmedu t1 i t2. Zaista ako bi naintervalu (t1, t2) postojala jos jedna nula T1 ovog resenja, po prethodnom zakljuckuizmedu nula T i T1 postoji nula resenja u = u(t), sto nije moguce jer su t1 i t2uzastopne nule. �
Prethodna teorema nam govori o vrlo bitnom svojstvu resenja linearne DJ, tj.sva resenja linearne diferencijalne jednacine su ili oscilatorna ili neoscila-torna.
Teorema 1.4 Ako DJ (L) ima pozitivno resenje na J ⊂ I, tada je ona nekonjugo-vana na J. Obrnuto, ako je J kompakt i DJ (L) je nekonjugovana na J, tada postojipozitivno resenje ove linearne DJ na J.
Dokaz. Ako DJ (L) ima pozitivno resenje na J ⊂ I, prema Sturmovoj teoremi orazdvajanju nula, svako netrivijalno resenje ima najvise jednu nulu na J.
Neka je J = [a, b] ⊂ I i pretpostavimo da je DJ (L) nekonjugovana na J. Nekasu u, v resenja DJ l[u] = 0 koja zadovoljavaju pocetne uslove
u(a) = 0, u′(a) = 1 i v(b) = 0, v′(b) = −1.
Kako je DJ (L) nekonjugovana na J, to je u(t) > 0 na (a, b] i v(t) > 0 na [a, b). Tadaje U(t) = u(t) + v(t) pozitivno resenje DJ (L) na J = [a, b]. �
Naredni primer pokazuje da se pretpostavka o kompaktnosti u prethodnoj teo-remi ne moze izostaviti.
Primer 1.2 DJ u′′ + u = 0 je nekonjugovana na J = [0, π), ali nema pozitivnoresenje na J.
1.3 Rikatijeva metoda
U teoriji oscilatornosti, jedan od najcesce koriscenih metoda dokazivanja kriteri-juma oscilatornosti je Rikatijeva tehnika, zasnovana na cinjenici da ako je u(t)netrivijalno resenje linearne jednacine (L), tada je
ω(t) =p(t)u′(t)
u(t)
resenje Rikatijeve diferencijalne jednacine
(R) R[ω] = ω′ +1
p(t)ω2 + q(t) = 0.
8
Ova Rikatijeva jednacina se moze zapisati u obliku ω′ = f(t, ω) gde je f(t, ω) :=
−q(t) − ω2
p(t). Kako su f(t, ω) i f ′
ω(t, ω) = − 2ω
p(t)neprekidne na I × R sledi prema
Teoremi o ezistenciji i jedinstvenosti I × R je oblast egzistencije i jedinstvenostiresenja Kosijevog problema Rikatijeve jednacine i svako resenje je definisano namaksimalnom intervalu egzistencije.
Fundamentalna veza izmedu jednacina (L) i (R) data je sledecom teoremom:
Teorema 1.5 Jednacina (L) ima resenje u(t) koje nema nula na J ⊂ I ako i samoako Rikatijeva DJ (R) ima resenje ω(t) koje je definisano na J.
Dokaz. (⇒) : Pretpostavimo da je u(t) resenje jednacine (L) takvo da je u(t) = 0za t ∈ J. Tada funkcija
ω(t) =p(t)u′(t)
u(t)
zadovoljava jednacinu (R) za t ∈ J. Zaista,
ω′(t) =[p(t)u′(t)]′
u(t)− p(t)u′(t)2
u(t)2
Iz poslednje jednakosti i jednacine (L) imamo da je
ω′(t) =−q(t)u(t)
u(t)− p(t)
(u′(t)
u(t)
)2⇒ ω′(t) = −q(t)− ω(t)2
p(t)
(⇐) : Neka je ω(t) resenje jednacine (R) za t ∈ J . Tada je resenje u(t) Kosijevogproblema
(1.2) u′ =ω(t)
p(t)u, u(t0) = 1, t0 ∈ J,
definisano na celom intervalu J. Primetimo da je sgn u′(t) = sgn ω(t) jer jeu(t) > 0, t ∈ J. Zamenom (1.2) u (L) dobicemo:
[p(t)u′(t)]′ + q(t)u(t) = [u(t)ω(t)]′ + q(t)u(t) = u′(t)ω(t) + u(t)ω′(t) + q(t)u(t)
= u(t)ω(t)2
p(t)− u(t)
( 1
p(t)ω2 + q(t)
)+ q(t)u(t) = 0. �
Primer 1.3 Resiti Rikatijevu diferencijalnu jednacinu
ω′ +2
t4+ t2ω2 = 0, t > 0.
Iz ove jednacine vidimo da je
p(t) =1
t2, q(t) =
2
t4.
9
Ovoj DJ prema Teoremi 1.5 u smislu resivosti odgovara linearna diferencijalnajednacina ( 1
t2u′)′
+2
t4u = 0.
Ova jednacina je Ojlerova diferencijalna jednacina
t2u′′ − 2tu′ + 2u = 0.
cije je opste resenje
u(t) = At+Bt2, gde su A i B proizvoljne konstante.
Dakle,
ω(t) =p(t)u′(t)
u(t),
odnosno,
ω(t) =
A
t2+
2B
tAt+Bt2
.
Kada je B = 0 dobijamo partikularno resenje ω(t) = 1/t3. U slucaju da je B = 0
podelimo brojilac i imenilac saB
t2odakle dobijamo opste resenje jednacine (R)
ω(t) =C + 2t
Ct3 + t4,
gde je C konstanta.
1.4 Varijacioni princip
Drugi koristan metod u ispitivanju oscilatornih svojstava linearne diferencijalnejednacine je varijacioni princip koji je zasnovan na vezi izmedu nekonjugovanostijednacine (L) na J = [a, b] i pozitivnosti funkcionala Jpq[η; a, b] : U [a, b] → R defin-isanog sa
Jpq[η; a, b] :=
∫ b
a
(p(t)η′2 − q(t)η2
)dt,
gde jeU [a, b] = {η ∈ C1[a, b] : η(a) = η(b) = 0}.
Vezu izmedu Rikatijeve i varijacione metode predstavlja Pikonova jednakost.
Teorema 1.6 (Pikonova jednakost) Ako su u, v, i pu′, Pv′ neprekidno difer-encijabilne na nekom intervalu I i v(t) = 0 za svako t ∈ I, onda je
d
dt
{uv(vpu′ − uPv′)
}=
u
v
(vl[u]− uL[v]
)+ (p− P )u′2 + P
(u′ − u
vv′)2
+ (Q− q)u2.
10
Dokaz.d
dt
{uv(vpu′ − Puv′)
}=
=(u′
v− uv′
v2
)(pvu′ − Puv′) +
u
v
[(pu′)′v + pu′v′ − (Pv′)′u− Pv′u′
]= p(u′)2 − P
uu′v′
v− p
uu′v′
v+ P
(uv′v
)2+u
v
[(pu′)′v + pu′v′ ± quv − (Pv′)′u∓Qvu− Pu′v′
]± P (u′)2
=u
v
(vl[u]− uL[v]
)+ P
[(uv′v
)2+ (u′)2 − 2u′ · uv
′
v
]+ (p− P )(u′)2 + (Q− q)u2. �
Fundamentalna teorema varijacionog tipa je sledeca teorema poznata u literaturikao nejednakost Wirtingera. Zajedno sa linearnom DJ l[u] = 0 posmatramo ijednacinu
(L1) L[v] ≡ [P (t)v′(t)]′ +Q(T )v(t) = 0, t ∈ I,
gde je P ∈ C(I) pozitivna funkcija i q ∈ C(I).
Teorema 1.7 Ako postoji resenje v(t) jednacine L[v] = 0 takvo da je v(t) = 0 na(a, b), onda je
JPQ[η; a, b] ≥ 0
za svako η ∈ U [a, b], gde jednakost vazi ako i samo ako je η(t) = c · v(t), za nekukonstantu c = 0.
Dokaz. Koristeci Pikonovu jednakost za slucaj kada je
p(t) ≡ P (t), q(t) ≡ Q(t), u(t) ≡ η(t)
dobicemo da je:
d
dt
{ηPη′ − η2P
v′
v
}= P
[(η′)2 +
(ηv′v
)2− 2η′η
v′
v
]+ ηL[η]− η2
vL[v]
Kako je L[v] ≡ 0, ako levu stranu poslednje jednakosti oznacimo sa L, a desnu sa D,imacemo:
L = η[Pη′]′ + P (η′)2 −[Pη2
v′
v
]′D = P
[(η′)2 +
(ηv′v
)2− 2ηη′
v′
v
]+ η[Pη′]′ +Qη2
Oznacimo sa
(1.3) Λ(u, v) = (u− v)2.
Izjednacavajuci L i D dobicemo
(1.4) P (η′)2 −Q (η)2 =d
dt
[Pη2
v′
v
]+ PΛ
(η′,
ηv′
v
),
11
odakle sledi
JPQ[η; a, b] =
∫ b
a
[P (t)(η′(t))2 −Q(t)(η(t))2
]dt
= P (t)η(t)η(t)v′(t)
v(t)
∣∣∣∣∣t=b
t=a
+
∫ b
a
P (t)Λ(η′(t),
η(t)v′(t)
v(t)
)dt.
Ako je v(a) = 0 i v(b) = 0, uzesi u obzir da je η ∈ U [a, b], bice
P (t)η(t)2v′(t)
v(t)
∣∣∣∣∣t=b
t=a
= 0,(1.5)
odakle kako je Λ(u, v) ≥ 0, sledi da je JPQ[η; a, b] ≥ 0. S druge strane, ako je v(a) = 0onda je v′(a) = 0. Tada je:
limt→a+
P (t)η(t)v′(t) = 0 i limt→a+
η(t)
v(t)< ∞,
pa je
limt→a+
P (t)η(t)η(t)v′(t)
v(t)= 0.
Analogno, za v(b) = 0 dobicemo da je
limt→b−
P (t)η(t)η(t)v′(t)
v(t)= 0.
Prema tome, ako (1.4) integralimo od a+ ε do b− ε i kada ε → 0+, dobicemo da je
JPQ[η; a, b] ≥ 0(1.6)
za svako η ∈ U [a, b].
Ocigledno je da jednakost u (1.4) vazi ako i samo ako je Λ(η′,
ηv′
v
)≡ 0, a to je
moguce jedino ako je η′ ≡ ηv′
v, tj. ako je η = c · v, gde je c proizvoljna konstanta. �
Varijaciona teorema je posledica prethodne teoreme.
Teorema 1.8 (Varijaciona Teorema) Ako postoji η ∈ U [a, b] takvo da je
JPQ[η; a, b] ≤ 0
onda svako resenje v(t) jednacine L[v] = 0 mora imati nulu u (a, b), osim ako jev = c · η za neku nenula konstantu c.
Posmatrajmo linearne diferencijalne jednacine (L) i (L1) i definisimo funkcional
V [η; a, b] :=
∫ b
a
[(p(t)− P (t))(η′(t))2 + (Q(t)− q(t))(η(t))2
]dt
za η ∈ U [a, b]. Tada vazi sledeca komparativna teorema:
12
Teorema 1.9 (Leightonova komparativna teorema) Ako postoji resenje u ∈U [a, b] jednacine l[u] = 0 i ako je
(1.7) V [u; a, b] ≥ 0,
onda svako resenje jednacine L[v] = 0 ima bar jednu nulu u (a, b), osim u slucajukada je u(t) ≡ c · v(t), p(t) ≡ P (t) i q(t) ≡ Q(t) na [a, b].
Dokaz. Pretpostavimo suprotno. Neka je v(t) resenje jednacine L[v] = 0 takvo daje v(t) = 0 za svako t ∈ (a, b). Tada je prema Pikonovoj jednakosti
d
dt
{uv(pvu′ − Puv′)
}= P
[(uv′v
)2+ (u′)2 − 2u′
(uv′v
)]+ (p− P )(u′)2 + (Q− q)u2.
Zato je
V [u; a, b] =
∫ b
a
[(p(t)− P (t))(u′(t))2 + (Q(t)− q(t))(u(t))2
]dt
=[p(t)u(t)u′(t)− P (t)u(t)
u(t)v′(t)
v(t)
]∣∣∣∣∣t=b
t=a
−∫ b
a
P (t)Λ(u′(t),
u(t)v′(t)
v(t)
)dt,
gde je Λ(u, v) definisano sa (1.3). Ako ponovimo postupak kao u dokazu Teoreme1.7, dobicemo da je
V [u; a, b] ≤ 0,
sto je u kontradikciji sa (1.7), osim ako je V [u; a, b] = 0, a to vazi za p(t) ≡
P (t), q(t) ≡ Q(t) i u′(t) ≡ u(t)v′(t)
v(t), tj. u = c · v, za neku konstantu c. �
Kao direktnu posledicu prethodne teoreme imamo Sturmovu komparativnu teo-remu za linearnu diferencijalnu jednacinu.
Teorema 1.10 (Sturmova komparativna teorema )Neka je u(t) resenje DJl[u] = 0 cije su uzastopne nule t1, t2. Ako vazi da je
(1.8) p(t) ≥ P (t) > 0
i
(1.9) Q(t) ≥ q(t),
za t ∈ [t1, t2], onda svako resenje v(t) jednacine L[v] = 0 ima bar jednu nulu u(t1, t2), osim kada je v(t) = c · u(t), c = const = 0 ili je jedna od nejednakosti(1.8),(1.9) stroga.
Posledica 1.1 Pretpostavimo da vaze uslovi (1.8) i (1.9) za t ∈ J ⊂ I. Ako je difer-encijalna jednacina l[u] = 0 oscilatorna na J, onda je i jednacina L[u] = 0 takodeoscilatorna na J, ili (sto je ekvivalentno), ako je jednacina L[u] = 0 nekonjugovanana J, tada je i diferencijalna jednacina l[u] = 0 takode nekonjugovana na J.
13
Dokaz. Pretpostavimo da je jednacina l[u] = 0 oscilatorna na J. Tada postojinetrivijalno resenje u jednacine (L) koje ima beskonacno mnogo nula na J. Nekaje v netrivijalno resenje jednacine (L1). Ako su u i v linearno zavisne funkcije naJ, tada v ima zajednicke nule sa u, odakle sledi da je diferencijalna jednacina (L1)oscilatorna na J. Sa druge strane, ako su u i v linearno nezavisna resenja na J, tadaprema Teoremi 1.3 v ima tacno jednu nulu izmedu svake dve uzastopne nule resenjau, odakle sledi da je jednacina (L1) oscilatorna na J. Drugi deo dokaza je trivijalan.�
Primer 1.4 Pokazati da ako je
0 < p(t) ≤ t2, i q(t) ≥ b >1
4,
za t ∈ [1,∞), tada je jednacina l[u] = 0 oscilatorna na [1,∞).
Pored jednacine l[u] = 0 posmatramo diferencijalnu jednacinu
(t2u′)′ + bu = 0,
odnosno dobijamo Ojlerovu diferencijalnu jednacinu
(1.10) t2u′′ + 2tu′ + bu = 0.
Resavanjem Ojlerove diferencijalne jednacine smenom s = ln t dobija se diferenci-jalna jednacina sa konstantnim koeficijentima cija je karakteristicna jednacina
λ2 − λ+ b = 0.
Kako je b >1
4, diskriminanta karakteristicne jednacine je manja od nule, pa su
koreni karakteristicne jednacine konjugovano kompleksni brojevi. Dakle, resenjaOjlerove diferencijalne jednacine su periodicne funkcije, pa imaju beskonacno mnogonula. Prema tome, (1.10) je oscilatorna na [1,∞). Odavde, primenom Posledice 1.1jednacina l[u] = 0 je oscilatorna na [1,∞).
Naredna teorema je modifikacija Pikonove jednakosti koja nam daje vezu izmeduRikatijeve diferencijalne jednacine (R) i pozitivnosti funkcionala Jpq[η; a, b], odnosnoizmedu Rikatijeve metode i varijacionog principa.
Teorema 1.11 Neka je ω resenje jednacine (R) definisano na I = [a, b]. Tada(i) za svako η ∈ U [a, b] vazi
Jpq[η; a, b] = ω(t)η(t)2∣∣∣t=b
t=a+
∫ b
a
Λ(p(t)η′(t), ω(t)η(t))
p(t)dt;
gde je Λ(u, v) definisano sa (1.3) .
(ii) za svako η ∈ U [a, b] vazi da je
Jpq[η; a, b] ≥ 0.
14
Dokaz. Iz jednacine (R) imamo da je
(1.11) ω′ +ω2
p(t)= −q(t)
Pomnozimo (1.11) sa η2 gde je η ∈ U [a, b] proizvoljno, a zatim dobijenu jednakostintegralimo na [a, b]. Dobicemo∫ b
a
ω′(t)η(t)2 dt+
∫ b
a
ω(t)2
p(t)η(t)2 dt = −
∫ b
a
q(t)η(t)2 dt.
Koristeci poslednju jednakost, funkcional Jpq[η; a, b] ce dobiti oblik
Jpq[η; a, b] =
∫ b
a
(p(t)(η′(t))2 − q(t)η(t)2
)dt
=
∫ b
a
p(t)(η′(t))2 dt+
∫ b
a
ω′(t)η(t)2 dt+
∫ b
a
ω(t)2
p(t)η(t)2 dt
=
∫ b
a
p(t)η′(t)2 dt+ ω(t)η(t)2∣∣∣t=b
t=a−2
∫ b
a
ω(t)η(t)η′(t) dt+
∫ b
a
ω(t)2
p(t)η(t)2 dt
= ω(t)η(t)2∣∣∣t=b
t=a+
∫ b
a
Λ(p(t)η′(t), ω(t)η(t))
p(t)dt
sto je i trebalo dokazati.Kako je η ∈ U [a, b] bice
ω(t)η(t)2∣∣∣t=b
t=a= 0,
odakle uzevsi u obzir da je Λ(u, v) ≥ 0, bice Jpq[η; a, b] ≥ 0, za proizvoljno η ∈U [a, b]. �
Teorema 1.12 Jednacina (L) je nekonjugovana na [a, b] ⊂ I ako i samo akoJpq[η; a, b] > 0, za proizvoljno η ∈ U [a, b].
Dokaz. (⇒ : ) Jednacina (L) je nekonjugovana na [a, b] ⊂ I. Tada prema Teoremi1.4 l[u] = 0 ima pozitivno resenje na [a, b]. Onda prema Teoremi 1.5 Rikatijeva DJ(R) ima resenje ω(t) definisano na [a, b]. Neka je η ∈ U [a, b]. Tada je Jpq[η; a, b] ≥ 0prema Teoremi 1.11 . Pri tome je Jpq[η; a, b] = 0 samo ako je
η′(t) =ω(t)
p(t)η(t), t ∈ [a, b].
Kako je η(a) = 0, to je Jpq[η; a, b] = 0 akko η ≡ 0. Dakle, Jpq[η; a, b] > 0 na U [a, b].
( ⇐ : ) Neka je Jpq[η; a, b] > 0 na U [a, b] i pokazimo da je l[u] = 0 nekonjugovanana [a, b]. Pretpostavimo suprotno, da postoji netrivijalno resenje u(t) jednacine (L)sa uzastopnim nulama t1, t2 ∈ [a, b]. Definisemo funkciju η(t) na sledeci nacin
η(t) =
{u(t), t ∈ [t1, t2]0, t ∈ [a, b] \ [t1, t2]
15
Tada je η ∈ U [a, b]. Primenom parcijalne integracije U(t) = p(t)u′(t), dV (t) = u′(t)dt
Jpq[η; a, b] =
∫ b
a
(p(t)(η′(t))2 − q(t)η(t)2
)dt =
∫ t2
t1
(p(t)(u′(t))2 − q(t)u(t)2
)dt
= u(t)p(t)u′(t)∣∣∣t=t2
t=t1−∫ t2
t1
u(t)
[(p(t)u′(t)
)′+ q(t)u(t)
]dt = −
∫ t2
t1
u(t)l[u(t)] dt = 0
sto je u suprotnosti sa pretpostavkom da je Jpq[η; a, b] > 0 za svako η ∈ U [a, b]. �
Sada cemo dati jos jedan dokaz Sturmove komparativne teoreme u kome se koristiRikatijev princip.
Teorema 1.13 (Sturmova komparativna teorema) Pretpostavimo da vaze uslo-vi (1.8) i (1.9) za t ∈ J ⊂ I. Ako je jednacina L[u] = 0 nekonjugovana na J, tadaje i jednacina l[u] = 0 takode nekonjugovana na J.
Dokaz. Dovoljno je pokazati da je DJ l[u] = 0 nekonjugovana na svakom kompaktu[a, b] ⊂ J. Kako je jednacina L[u] = 0 nekonjugovana na J, prema Teoremi 1.12 jeJPQ[η; a, b] > 0 za svako η ∈ U [a, b]. Tada je
Jpq[η; a, b] =
∫ b
a
(p(t)η′(t)2 − q(t)η(t)2) dt
≥∫ b
a
(P (t)η′(t)2 −Q(t)η(t)2) dt = JPQ[η; a, b] > 0, η ∈ U [a, b].
Dakle, Jpq[η; a, b] > 0 za svako η ∈ U [a, b], pa je prema Teoremi 1.12 jednacinal[u] = 0 nekonjugovana na [a, b]. �
1.5 Ciklicna teorema
Sledeca takozvana ciklicna teorema objedinjuje najvaznije rezultate pokazane uovom poglavlju. Ova teorema predstavlja vezu Rikatijeve tehnike, varijacionog prin-cipa i Sturmove teorije linearne diferencijalne jednacine.
Teorema 1.14 (Ciklicna teorema) Sledeca tvrdenja su ekvivalentna:(i) jednacina (L) je nekonjugovana na [a, b];(ii) postoji resenje u(t) jednacine (L) takvo da je u(t) > 0 za ∀t ∈ [a, b];(iii) postoji resenje ω(t) jednacine (R) definisano na [a, b];(iv) Jpq[η; a, b] > 0 za svako η ∈ U [a, b].
Dokaz. I NACIN:(i) ⇔ (ii) : prema Teoremi 1.4(ii) ⇔ (iii) : prema Teoremi 1.5
16
(i) ⇔ (iv) : prema Teoremi 1.12
II NACIN:(i) ⇒ (ii) : prema Teoremi 1.4(ii) ⇒ (iii) : prema Teoremi 1.5(iii) ⇒ (iv) : prema Teoremi 1.11 je Jpq[η; a, b] ≥ 0, za svako η ∈ U [a, b], pri
cemu jednakost vazi samo ako je η(t) ≡ 0.(iv) ⇒ (i) : prema Teoremi 1.12 �
17
18
Glava 2
Kriterijumi neoscilatornosti ioscilatornosti
U prethodnoj glavi smo dali dva osnovna metoda za dokazivanje kriterijuma os-cilatornosti. U ovoj glavi cemo pokazati da su ti metodi i opsti metodi teorijeoscilatornosti. Najpre cemo dokazati osnovni kriterijum oscilatornosti diferencijalnejednacine (L). Glavno pitanje je kako divergencija integrala
Ip =
∫ ∞
a
ds
p(s), Iq =
∫ ∞
a
q(s) ds
utice na oscilatornost jednacine (L), pri cemu je p ∈ C(I) pozitivna funkcija, aq ∈ C(I) je funkcija proizvoljnog znaka. Vecina kriterijuma je pokazana pod pret-postavkom da je funkcija q ∈ C proizvoljnog znaka, dok ce kod pojedinih teorema(sto ce biti naglaseno ) biti neophodno pojacati pretpostavku o koeficijentu q.
LINEARNA DJ DRUGOG REDA:
(L) l[u] := [p(t)u′(t)]′ + q(t)u(t) = 0, t ∈ I,
gde su p, q ∈ C(I) i p je pozitivna funkcija.
Neka je
(2.1) P (t) =
∫ t
a
ds
p(s), ρ(t) =
∫ ∞
t
ds
p(s).
2.1 Leightonov kriterijum oscilatornosti
Formulisacemo najpre jednostavan oscilatorni kriterijum za (L), pri cemu cemodokaz izvesti na dva nacina, koristeci dve osnovne metode teorije oscilatornosti:varijacionu i Rikatijevu. Najpre je ovaj kriterijum dokazan pri pretpostavci daje q(t) ≥ 0, dok je kasnije Wintner kriterijum pokazao bez ogranicenja o znaku
19
koeficijenta q, pa se cesto ovaj kriterijum u literaturi naziva Wintner-Leightonovkriterijum oscilatornosti.
Teorema 2.1 Jednacina (L) je oscilatorna ako
(2.2) Ip = ∞ i Iq = ∞.
Dokaz. Prema definiciji oscilatornosti (L) neophodno je pokazati da ova jednacinanije nekonjugovana na svakom intervalu oblika [T,∞).
(i) Varijacioni dokaz. Pokazacemo da za svako T ∈ R postoji netrivijalnafunkcija u ∈ U(T,∞) tako da
(2.3) Jpq(u;T,∞) =
∫ ∞
T
[p(t)u′(t)2 − q(t)u(t)2] dt ≤ 0.
Funkcija koja zadovoljava (2.3) se moze konstruisati na sledeci nacin
u(t) =
0 T ≤ t ≤ t0,∫ t
t0
ds
p(s)
(∫ t1
t0
ds
p(s)
)−1
t0 ≤ t ≤ t1,
1 t1 ≤ t ≤ t2,∫ t3
t
ds
p(s)
(∫ t3
t2
ds
p(s)
)−1
t2 ≤ t ≤ t3,
0 t3 ≤ t ≤ ∞,
gde T < t0 < t1 < t2 < t3 i t0, t1, t2, t3 ce biti kasnije odabrani. Neka je
K := Jpq(u; t0, t1) =
∫ t1
t0
[p(t)u′(t)− q(t)u(t)2] dt.
Dobijamo
Jpq(u, T,∞) = K −∫ t2
t1
q(t) dt+
(∫ t3
t2
dt
p(t)
)−1
−∫ t3
t2
q(t)u(t)2 dt.
Posto je funkcija g(t) =∫ t3t
dsp(s)
(∫ t3t2
dsp(s)
)−1
monotono opadajuca na [t2, t3] sa g(t2) =
1 i g(t3) = 0, na osnovu Teoreme o srednjoj vrednosti integrala postoji ξ ∈ (t2, t3)tako da je ∫ t3
t2
q(t)g(t)2 dt =
∫ ξ
t2
q(t) dt.
Koriscenjem ove jednakosti imamo
Jpq(u; t0, t3) = K −∫ ξ
t1
q(t) dt+
(∫ t3
t2
dt
p(t)
)−1
.
20
Neka je ϵ > 0 i t1 > t0 proizvoljno. Iz drugog uslova (2.2) sledi da se t2 moze izabrati
tako da vazi
∫ t2
t1
q(t) dt > K + ϵ, a iz prvog uslova (2.2) sledi da se t3 > t2 moze
uzeti tako da
(∫ t3
t2
dt
p(t)
)−1
< ϵ. Sumirajuci ove procene imamo
Jpq(u; t0, t3) ≤ K − (K + ϵ) + ϵ ≤ 0,
pa je (L) oscilatorna prema Teoremi (1.12) .
(ii) Dokaz Rikatijevom tehnikom . Pretpostavimo suprotno, da (2.2) vazi ida je (L) neoscilatorna. Tada postoji T ∈ R i resenje ω Rikatijeve jednacine (R)koje je definisano na celom intervalu [T,∞). Integracijom (R) od T do t dobijamo
ω(t) = ω(T )−∫ t
T
q(s) ds−∫ t
T
ω(s)2
p(s)ds.
Iz drugog uslova (2.2) sledi postojanje T1 > T tako da imamo ω(T )−∫ t
T
q(s) ds ≤ 0
za t > T1 i stoga
ω(t) ≤ −∫ t
T
ω(s)2
p(s)ds za t > T1 .
Neka je G(t) =
∫ t
T
ω(s)2
p(s)ds. Tada je ω = −
√G′p, pa poslednja nejednakost postaje
G′(t)
G2(t)≥ 1
p(t).
Integracijom prethodne nejednakosti od T1 do t dobijamo
G(T1)−1 > [G(T1)
−1 −G(t)−1] ≥∫ t
T1
ds
p(s).
Kada t → ∞ imamo kontradikciju sa prvim uslovim u (2.2). �
Navescemo primer na koji se ne moze primeniti Leightonov kriterijum.
Primer 2.1 Posmatramo Ojlerovu diferencijalnu jednacinu
u′′ +a2
t2u = 0, a = 0,
Ip = ∞, a Iq < ∞.Opste resenje ove jednacine je u = c1|t|12+√
1/4−a2+c2|t|12−√
1/4−a2 ,
a za a2 ≤ 1
4sledi da su sva resenja neoscilatorna.
Posle ovog kriterijuma se prirodno namece pitanje sta se desava ukoliko jedan ilioba integrala Ip, Iq konvergiraju.
21
2.2 Rikatijeva nejednacina
Iz ciklicne teoreme sledi da je neoscilatornost jednacine (L) ekvivalentna resivostiodgovarajuce Rikatijeve jednacine (R). Zapravo, na osnovu Sturmove komparativneteoreme moze se pokazati da je neoscilatornost ekvivalentna resivosti Rikatijevenejednacine. U narednom izlaganju bice vise reci o ovome. Posmatramo RikatijevuDJ
(R) R[ω] = ω′ +1
p(t)ω2 + q(t) = 0, t ∈ I
gde su p, q ∈ C(I) i p je pozitivna funkcija na I.
Sledeca teorema daje vezu izmedu linearnog operatora L i Rikatijevog operatoraR.
Teorema 2.2 Pretpostavimo da je u resenje jednacine (L) i da je u(t) = 0 naJ ⊂ I. Ako je
(2.4) ω(t) =p(t)u′(t)
u(t), t ∈ J,
tada jel[u] = uR[ω].
Dokaz. Neka je u resenje jednacine (L), u(t) = 0 na J, i uvedimo smenu
ω(t) =p(t)u′(t)
u(t), t ∈ J
u Rikatijevoj jednacini. Tada dobijamo za t ∈ J
u(t)R[ω](t) = u(t)ω′(t) + q(t)u(t) +ω(t)2u(t)
p(t)
= u(t)(p(t)u′(t)
u(t)
)′+ q(t)u(t) +
ω(t)2u(t)
p(t)
= u(t)u(t)[p(t)u′(t)]′ − p(t)(u′(t))2
u(t)2+ q(t)u(t) +
u(t)ω(t)2
p(t)
= (p(t)u′(t))′ − u(t)ω(t)2
p(t)+ q(t)u(t) +
u(t)ω(t)2
p(t)
= (p(t)u′(t))′ + q(t)u(t)
= l[u](t). �
Sada cemo pokazati da je egzistencija Rikatijeve integralne jednacine dovoljanuslov za neoscilatornost jednacine (L).
22
Lema 2.1 Pretpostavimo da vazi Ip = ∞ i
(2.5) Ψ(T ) := lim inft→∞
∫ t
T
q(s) ds ≥ 0, i Ψ(T ) ≡ 0
za svako veliko T. Ako je u resenje jednacine (L) tako da u(t) > 0 za t ∈ [T,∞),tada postoji S ∈ [T,∞) tako da je u′(t) > 0 za t ∈ [S,∞).
Dokaz. Dokaz izvodimo kontradikcijom. Razmatramo dva slucaja:
Slucaj I : Pretpostavimo da je u′(t) < 0 za t ∈ [T,∞). Bez gubljenja opstostimozemo pretpostaviti da je T takav da vazi
∫ t
Tq(s) ds ≥ 0, t ∈ [T,∞). Definisemo
Q(t, T ) =∫ t
Tq(s) ds. Integracijom od T do t dobijamo∫ t
T
q(s)u(s) ds =
∫ t
T
Q′(s, T )u(s) ds
= Q(t, T )u(t)−∫ t
T
Q(s, T )u′(s) ds ≥ 0.
Integracijom jednacine (L) u granicama od T do t i pritom koristeci poslednju pro-cenu dobijamo,
p(t)u′(t)− p(T )u′(T ) =
∫ t
T
[p(s)u′(s)]′ ds ≤ 0.
Stoga,
(2.6) u′(t) ≤ p(T )u′(T )
p(t),
za t ∈ [T,∞). Integracijom (2.6) za t ≥ T vidimo da u(t) → −∞ zato sto je Ip = ∞,sto je kontradikcija. Dakle, ne moze biti u′(t) < 0 za svako veliko t.
Slucaj II : Pretpostavimo da u′(t) ≤ 0 za t ≥ T. Prema tome, postoji T0 ∈[T,∞) tako da je u′(T0) ≤ 0. Posto je u(t) > 0 za t ∈ [T,∞), funkcija ω(t) definisanau (2.4) zadovoljava Rikatijevu jednacinu (R) za t ∈ [T,∞). Integracijom (R) od T0
do t, t ≥ T0, dobijamo
ω(t) = ω(T0)−∫ t
T0
q(s) ds−∫ t
T0
ω(s)2
p(s)ds.
Koristeci cinjenicu da je ω(T0) ≤ 0, ω(t) je netrivijalno, i (2.5) vazi, postoji M > 0
tako da
∫ t
T0
ω(s)2
p(s)ds ≥ M i
∫ t
T0
q(s) ds ≥ −M
2za svako veliko t, odakle sledi da je
lim supt→∞ ω(t) < 0. Stoga postoji T1 ∈ [T,∞) tako da ω(t) < 0 za t ∈ [T1,∞) itakode u′(t) < 0 za t ∈ [T1,∞), sto je kontradikcija sa prvim delom dokaza. �
23
Teorema 2.3 Neka pretpostavke Leme 2.1 vaze i neka je Iq < ∞. Neka je u resenjejednacine (L) tako da je u(t) > 0 za t ∈ [T,∞). Tada postoji T1 ∈ [T,∞), tako da
(2.7) ω(t) ≥∫ ∞
t
q(s) ds+
∫ ∞
t
ω(s)2
p(s)ds
za t ∈ [T1,∞), gde je ω definisano kao u (2.4) .
Dokaz. Iz Leme 2.1 sledi da postoji T1 ∈ [T,∞) tako da ω(t) > 0 za t ∈ [T1,∞) iω zadovoljava (R) za t ∈ [T,∞). Integracijom jednacine (R) od t do s, s ≥ t ≥ T1,dobijamo
(2.8) ω(s)− ω(t) +
∫ s
t
q(ξ) dξ +
∫ s
t
ω(ξ)2
p(ξ)dξ = 0.
Dakle,
0 < ω(s) = ω(t)−∫ s
t
q(ξ) dξ −∫ s
t
ω(ξ)2
p(ξ)dξ,
i stoga
ω(t) ≥∫ s
t
q(ξ) dξ +
∫ s
t
ω(ξ)2
p(ξ)dξ,
za s ≥ t ≥ T1. Kada s → ∞ dobijamo (2.7). �
Ako delom pojacamo pretpostavke prethodne Teoreme pokazacemo da je egzis-tencija resenja Rikatijeve integralne jednacine dovoljna za neoscilatornost diferenci-jalne jednacine (L).
Neka je
(2.9) ω(t) =
∫ ∞
t
q(s) ds+
∫ ∞
t
ω(s)2
p(s)ds.
Teorema 2.4 Pretpostavimo da je Ip = ∞, Iq < ∞ i q(t) ≥ 0. Neka je u resenjejednacine (L) takvo da u(t) > 0 za t ∈ [T,∞). Tada postoji T1 ∈ [T,∞) tako da jeω definisano u (2.4) pozitivno, nerastuce, tezi nuli i zadovoljava jednacinu (2.9) zat ∈ [T1,∞).
Dokaz. Posto je q(t) ≥ 0, sledi da vazi (2.5). Prema tome, na osnovu Leme 2.1,sledi da postoji T1 ∈ [T,∞) tako da je ω(t) > 0 za t ∈ [T1,∞). Osim toga ωzadovoljava (R) na [T,∞). Cinjenica da je ω′(t) ≤ 0 za t ∈ [T1,∞) sledi iz (R).Nadalje cemo pokazati da ω(t) → 0, kad t → ∞. Posto je u pozitivno i rastuce,to konvergira pozitivnoj konstanti M ili divergira u ∞. Najpre pretpostavimo dau(t) → ∞ kad t → ∞. Tada, posto je p(t)u′(t) nerastuca, imamo
ω(t) =p(t)u′(t)
u(t)≤ p(T1)u
′(T1)
u(t)→ 0,
24
kad t → ∞. Sada, ako je u(t) → M kad t → ∞, tada je p(t)u′(t) → 0, kad t → ∞ izbog toga, ω(t) tezi nuli, kada t → ∞. Zaista, kako je p(t)u′(t) pozitivna i nerastuca,ona je konvergentna. Pretpostavimo da p(t)u′(t) konvergira pozitivnoj konstanti K,odakle dobijamo
u(t) ≤ u(T1) +K
∫ t
T1
ds
p(s)→ ∞,
kada t → ∞, sto je kontradikcija sa ogranicenosti za u. Prema tome, p(t)u′(t) → 0.Na kraju, cinjenica da u zadovoljava (2.9) sledi iz (2.8). �
Teorema 2.5 Sledeci uslovi su ekvivalentni:(i) Jednacina (L) je neoscilatorna.(ii) Postoji a ∈ R i (neprekidno diferencijabilna) funkcija ω : [a,∞) → R tako
da
ω′ +ω2
p(t)+ q(t) = 0, t ∈ [a,∞).
(iii) Postoji a ∈ R, konstanta A ∈ R i (neprekidna) funkcija ω : [a,∞) → Rtako da je
ω(t) = A−∫ t
a
(q(s) +
ω(s)2
p(s)
)ds, t ∈ [a,∞).
(iv) Postoji a ∈ R i (neprekidno diferencijabilna)funkcija ω : [a,∞) → R takoda
(2.10) R[ω](t) = ω′(t) +ω(t)2
p(t)+ q(t) ≤ 0, t ∈ [a,∞).
(v) Postoji a ∈ R i pozitivna funkcija u : [a,∞) → R ( neprekidno diferencija-bilna zajedno sa pu′ ) tako da
(2.11) l[u](t) ≤ 0 t ∈ [a,∞).
Dokaz. (i) ⇒ (ii): Sledi iz ciklicne teoreme.(ii) ⇒ (iii): Trivijalno.(iii) ⇒ (iv): Trivijalno.(iv) ⇒ (v): Neka ω zadovoljava (2.10) na [a,∞). Funkcija
u = exp
(∫ t
a
ω(s)
p(s)ds
)
je pozitivno resenje Kosijevog problema u′ = ω(t)p(t)
u, u(a) = 1, a ∈ J, pa na osnovu
Teoreme 2.2 (v) vazi.(v) ⇒ (i):Pretpostavimo da funkcija u zadovoljava (2.11) na [a,∞). Tada
φ(t) := −ul[u](t)
25
je nenegativna funkcija na tom intervalu. Neka je q(t) = q(t) + φ(t)/u2. Tadaq(t) ≥ q(t) i
(p(t)u′(t))′ + q(t)u(t) = (p(t)u′(t))′ +(q(t) +
φ(t)
u2
)u(t) = 0.
Tada je jednacina (p(t)u′(t))′ + q(t) = 0 nekonjugovana na [a,∞). Dakle, jednacina(L) je nekonjugovana na [a,∞) odakle je na osnovu Sturmove komparativne teoremeona neoscilatorna. �
Smer (iv) ⇒ (i) se moze pokazati i na sledeci nacin:
Teorema 2.6 Jednacina (L) je nekonjugovana na [a, b] ako i samo ako postojifunkcija ω(t) definisana na [a, b] koja zadovoljava (2.10).
Dokaz. (⇒ :) Ako je jednacina (L) nekonjugovana na [a, b], prema Teoremi 1.5postoji funkcija ω(t) definisana na [a, b] takva da je R[ω] = 0.
(⇐ :) Ako postoji funkcija ω koja zadovoljava R[ω] ≤ 0, definisemo funkcijuh(t) = R[ω](t), Q(t) = q(t)− h(t), t ∈ [a, b]. Tada je h(t) ≤ 0, t ∈ [a, b] odnosno
(2.12) Q(t) ≥ q(t), t ∈ [a, b]
i
ω′(t) +ω(t)2
p(t)+Q(t) = 0, t ∈ [a, b].
Kao u dokazu Teoreme 1.5 moze se pokazati da je
u(t) = u(t0) exp
(∫ t
t0
ω(s)
p(s)ds
), t0 ∈ [a, b]
pozitivno resenje jednacine
(2.13) [p(t)u′(t)]′ +Q(t)u(t) = 0
na [a, b] pa je DJ (2.13) nekonjugovana na [a, b]. Tada je na osnovu (2.12), koristeciSturmovu komparativnu teoremu, DJ l[u] = 0 nekonjugovana na [a, b]. �Primer 2.2 Posmatramo Ojlerovu diferencijalnu jednacinu
u′′(t) +c
t2u(t) = 0.
Neka je ω(t) =1
2t. Tada je ω′(t) = − 1
2t2i
ω′(t) + ω(t)2 + q(t) = − 1
2t2+
1
4t2+
c
t2
=4c− 1
4t2,
odakle je prema Teoremi 2.6 Ojlerova diferencijalna jednacina (L) neoscilatorna za
c ≤ 1
4.
26
Primer 2.3 Posmatramo Ojlerovu diferencijalnu jednacinu
u′′(t) +
(1
4t2+
c
(t ln t)2
)u(t) = 0,
gde je c realna konstanta.
Neka je ω(t) =1
2
(1
t+
1
t ln t
). Tada je ω′ = −1
2
(1
t2+
1
t2 ln t+
1
t2(ln t)2
)i
ω′(t) + ω(t)2 + q(t) = −1
2
(1
t2+
1
t2 ln t+
1
t2(ln t)2
)+
+1
4
(1
t+
1
t ln t
)2
+1
4t2+
c
t2(ln t)2
=4c− 1
4t2(ln t)2,
odakle je za c ≤ 1
4prema Teoremi 2.6 Ojlerova diferencijalna jednacina neoscila-
torna.
2.3 Hartman-Wintner teorema
Hartman-Wintnerova teorema je veoma vazan rezultat u teoriji oscilatornosti i dajedovoljne uslove za neoscilatornost jednacine. Ona je jedan od prvih rezultata kojidaju odgovor na pitanje o oscilatornosti jednacine (L) kada je Ip = ∞.
Razlikovacemo slucajeve Ip = ∞ i Ip < ∞.
I Slucaj Ip = ∞
Lema 2.2 Pretpostavimo da vazi Ip = ∞, Iq < ∞ i da je jednacina (L) neoscila-torna. Tada je ∫ ∞
a
ω(s)2
p(s)ds < ∞ i lim
t→∞ω(t) = 0.
Dokaz. Bez gubljenja opstosti pretpostavimo da je u(t) > 0 za t ≥ t1 ≥ t0, pricemu je u resenje jednacine (L). Neka je ω(t) definisano kao u (2.4) . Integracijomjednacine (R) u granicama od t do τ dobijamo
(2.14) ω(τ)− ω(t) +
∫ τ
t
q(s) ds+
∫ τ
t
ω(s)2
p(s)ds = 0.
27
Pretpostavimo suprotno, da je ∫ ∞
t
ω(s)2
p(s)ds = ∞.
Odavde sledi da postoji T ≥ t tako da je
ω(τ) +
∫ τ
T
ω(s)2
p(s)ds = ω(t)−
∫ τ
t
q(s) ds−∫ T
t
ω(s)2
p(s)ds ≤ −1, τ ≥ T
odakle dobijamo
(2.15) −ω(τ) ≥ 1 +
∫ τ
T
ω(s)2
p(s)ds, τ ≥ T.
Odavde vidimo da je ω(τ) < 0, τ ≥ T odakle sledi da je u′(τ) < 0, τ ≥ T.Mnozenjemjednakosti (2.15) sa
−ω(τ)
p(τ)
(1 +
∫ τ
T
ω(s)2
p(s)ds
)−1
,
dobijamo1
p(τ)ω(τ)2
1 +
∫ τ
T
ω(s)2
p(s)ds
≥ |ω(τ)|p(τ)
,
odnosno1
p(τ)ω(τ)2
1 +
∫ τ
T
ω(s)2
p(s)ds
≥ |u′(τ)|u(τ)
= −u′(τ)
u(τ).
Integracijom poslednje nejednakosti u granicama od T do τ dobijamo
ln(1 +
∫ τ
T
ω(s)2
p(s)ds)≥ ln
u(T )
u(τ),
sto povlaci
(2.16)
(1 +
∫ τ
T
ω(s)2
p(s)ds
)≥ u(T )
u(τ).
Sada iz (2.15) i (2.16) dobijamo
p(τ)(−u′(τ))
u(τ)≥ u(T )
u(τ).
Integracijom poslednje nejednakosti od T do t dobijamo
u(T )− u(τ) ≤ −u(T )
∫ t
T
ds
p(s)→ −∞, t → ∞
28
sto je kontradikcija sa cinjenicom da je u(t) > 0, pa prema tome vazi da je∫ ∞
t
ω(s)2
p(s)< ∞.
Ako u (2.14) τ → ∞ dobijamo limτ→∞ ω(τ) < ∞. Ostaje da pokazemo da ovajlimes tezi nuli. Pretpostavimo suprotno, tj. ω(∞) > 0. Odavde za je za svakoτ > T ω(τ) > ω(∞)− ε > 0, odnosno
∞ >
∫ ∞
T
ω(s)2
p(s)ds > (ω(∞)− ε)2
∫ ∞
T
1
p(s)ds
sto je kontradikcija sa pretpostavkom da je Ip = ∞. Dakle, limτ→∞ ω(τ) = 0. �
Sledeca teorema je klasicna Hartman-Wintnerova teorema koja je u vezi sakvadratnom integrabilnoscu resenja Rikatijeve jednacine
ω′ + q(t) + ω2 = 0
koja odgovara jednacini (L) u slucaju kada je p(t) ≡ 1.
Teorema 2.7 Pretpostavimo da vazi Ip = ∞ i (L) je neoscilatorna. Sledeci uslovisu ekvivalentni:
(i) Vazi da je
(2.17)
∫ ∞
a
ω(t)2
p(t)dt < ∞
za svako resenje ω Rikatijeve jednacine (R).(ii) Postoji konacan limes
(2.18) limt→∞
∫ t
a
1
p(s)
∫ s
a
q(τ) dτ ds
P (t).
(iii) Za limes inferior vazi
(2.19) lim inft→∞
∫ t
a
1
p(s)
∫ s
a
q(τ) dτ ds
P (t)> −∞.
Dokaz. (i) ⇒ (ii) : Iz neoscilatornosti jednacine (L) sledi da Rikatijeva jednacina(R) ima resenje ω koje je definisano na [T,∞). Integracijom ove jednacine od T dot i koristeci (2.17) imamo da je
ω(t) = ω(T )−∫ t
T
q(τ) dτ −∫ t
T
ω(τ)2
p(τ)dτ(2.20)
= ω(T )−∫ t
T
q(τ) dτ −∫ ∞
T
ω(τ)2 dτ
p(τ)+
∫ ∞
t
ω(τ)2
p(τ)dτ
= C −∫ t
T
q(τ) dτ +
∫ ∞
t
ω(τ)2
p(τ)dτ,
29
gde je C = ω(T ) −∫ ∞
T
ω(τ)2
p(τ)dτ. Mnozenjem (2.20) sa p(t)−1 i integracijom od T
do t, a zatim deljenjem sa P (t) mi dobijamo
1
P (t)
∫ t
T
ω(s)
p(s)ds = C − 1
P (t)
∫ t
T
1
p(s)
(∫ s
T
q(τ) dτ
)ds
+1
P (t)
∫ t
T
1
p(s)
(∫ ∞
s
ω(τ)2
p(τ)dτ
)ds.(2.21)
Sada na osnovu Helderove nejednakosti imamo∣∣∣∣∣∫ t
T
ω(s)
p(s)ds
∣∣∣∣∣ =∣∣∣∫ t
T
p(s)−12p(s)−
12ω(s) ds
∣∣∣≤
(1
P (t)
∫ t
T
ω(s)2
p(s)ds
) 12
,
odakle se dobija
(2.22)
∣∣∣∣∣ 1
P (t)
∫ t
T
ω(s)
p(s)ds
∣∣∣∣∣ ≤(
1
P (t)
∫ t
T
ω(s)2
p(s)ds
) 12
→ 0, t → ∞.
Zaista, (1
P (t)
∫ t
T
ω(s)2
p(s)ds
) 12
→ 0, t → ∞
jer je Ip = ∞ prema pretpostavci, a prema (i) vazi (2.17). Poslednji sabirak u(2.21) tezi 0, kada t → ∞. Zaista, koristeci (2.17), primenom Lopitalovog pravila naposlednji sabirak u (2.21) se dobija
(2.23) limt→∞
1
P (t)
∫ t
T
1
p(s)
(∫ ∞
s
ω(τ)2
p(τ)dτ
)ds = lim
t→∞
1
p(t)
(∫ ∞
t
ω(τ)2
p(τ)dτ
)1
p(t)
= 0.
Dakle, na osnovu (2.23) i (2.22) iz (2.21) zakljucujemo da je granicna vrednost u(2.18) konacna.
(ii) ⇒ (iii) : Trivijalno.(iii) ⇒ (i) : Neka je ω resenje jednacine (R) koje postoji na [T,∞). Tada iz
(2.20) istim postupkom kao u prvom delu dokaza dobija se
1
P (t)
∫ t
T
ω(s)
p(s)ds = ω(T )− 1
P (t)
∫ t
T
1
p(s)
∫ s
T
q(τ) dτ ds
− 1
P (t)
∫ t
T
1
p(s)
∫ s
T
ω(τ)2
p(τ)dτ ds.
30
Na osnovu (2.19) i (2.22) , postoji realna konstanta K tako da je
−
(1
P (t)
∫ t
T
ω(s)2
p(s)ds
) 12
≤ K +1
P (t)
∫ t
T
1
p(s)
∫ s
T
ω(τ)2
p(τ)dτ ds.
Pretpostavimo da (2.17) ne vazi. Tada poslednji sabirak prethodne nejednakostitezi ∞. Zaista, primenom Lopitalovog pravila na ovaj sabirak dobija se
limt→∞
1
P (t)
∫ t
T
1
p(s)
∫ s
T
ω(τ)2
p(τ)dτ ds = lim
t→∞
1
p(t)
(∫ t
T
ω(τ)2
p(τ)dτ
)1
p(t)
= ∞.
Dakle, (1
P (t)
∫ t
T
ω(s)2
p(s)ds
) 12
≥ 1
2P (t)
∫ t
T
1
p(s)
∫ s
T
ω(τ)2
p(τ)dτ ds
za veliko t. Neka je M(t) =
∫ t
T
1
p(s)
∫ s
T
ω(τ)2
p(τ)dτ ds. Tada poslednja nejednakost
postaje [M ′(t)p(t)
P (t)
] 12
≥ M(t)
2P (t),
odnosno
(2.24)M ′(t)
M2(t)≥ 1
4p(t)P (t).
Ako (2.24) integralimo od T1 do t,T1 > T, dobijamo
M(T1)−1 > [M(T1)
−1 −M(t)−1] ≥ 1
4lnP (t).
sto je u kontradikciji sa pretpostavkom da je Ip = ∞. �
Na osnovu Hartman-Wintner-ove teoreme moze se pokazati da je neoscilatornostjednacine (L) ekvivalentna egzistenciji resenja Rikatijeve integralne jednacine.
Teorema 2.8 Pretpostavimo da je Ip = ∞ i Iq < ∞. Jednacina (L) je neoscilatornaako i samo ako postoji a ∈ R i (neprekidna) funkcija ω : [a,∞) → R zadovoljavaRikatijevu integralnu jednacinu (2.9) za t ≥ a.
Dokaz. ( ⇒ ) : Pretpostavimo da je (L) neoscilatorna i da je ω odgovarajuceresenje Rikatijeve jednacine (R) koje je definisano na nekom intervalu [T0,∞). Postoje integral Iq < ∞ i Ip = ∞ sledi da vazi i (2.17) prema Lemi 2.2. Integralimo
31
jednacinu (R) od t do T, t ≥ T0 i pustimo da T → ∞ odakle prema Lemi 2.2limT→∞ ω(T ) postoji i tezi 0, tj. ω zadovoljava (2.9).
( ⇐ ) : Neka je ω resenje integralne jednacine (2.9). Tada je ω i resenje jednacine(R), te je (L) neoscilatorna. �
Jednostavno se moze pokazati da je neoscilatornost jednacine (L) ekvivaletnaegzistenciji resenja Rikatijeve integralne nejednacine pod dodatnim uslovom o znakukoeficijenta q(t).
Teorema 2.9 Neka je q(t) ≥ 0, Iq < ∞ i Ip = ∞. Tada postoji a ∈ R i (neprekidna)funkcija ω : [a,∞) → R takva da je
(2.25) ω(t) ≥∫ ∞
t
q(s) ds+
∫ ∞
t
ω(s)2
p(s)ds ≥ 0
ili
(2.26) ω(t) ≤∫ ∞
t
q(s) ds+
∫ ∞
t
ω(s)2
p(s)ds ≤ 0
ako i samo ako je (L) neoscilatorna.
Dokaz. Neka je
v(t) =
∫ ∞
t
(q(s) +
ω(s)2
p(s)
)ds.
Tada je v′ + q(t) +ω(t)2
p(t)= 0. Imamo da je ω ≥ v ≥ 0 ili ω ≤ v ≤ 0 pa je
ω2
p≥ v2
p.
Tada dobijamo da je v′ + q(t) +v2
p(t)≤ 0 za svako t ∈ [a,∞), pa (iv) iz Teoreme
2.5 vazi sto je ekvivalentno neoscilatornosti jednacine (L). Obrat tvrdenja sledi izTeoreme 2.8. �
Posledica 2.1 Neka je q(t) ≥ 0, Iq < ∞ i Ip = ∞. Jednacina (L) je neoscilatornaako i samo ako postoji a ∈ R i (neprekidna) funkcija ω : [a,∞) → R takva da je
(2.27) |ω(t)| ≥
∣∣∣∣∣∫ ∞
t
q(s) ds+
∫ ∞
t
ω(s)2
p(s)ds
∣∣∣∣∣.Na osnovu Posledice 2.1 i Teoreme 2.8, dobijamo da su sledeci uslovi ekvivalentni:
(i) Jednacina (L) je neoscilatorna.
(ii) Rikatijeva integralna jednacina (2.9) ima resenje na [a,∞).
(iii) Rikatijeva integralna nejednacina (2.27) ima resenje na [a,∞).
32
II Slucaj Ip < ∞
Najpre cemo dokazati tvrdenje koje se koristi u dokazu Hartman-Wintneroveteoreme za slucaj Ip < ∞.
Lema 2.3 Neka je q(t) ≥ 0, u neoscilatorno resenje jednacine (L) i neka je ωdefinisano u (2.4) odgovarajuce resenje jednacine (R). Tada su u i funkcija ρ · ωograniceni. Stavise ,
(2.28) ρ(t)ω(t) ≥ −1 za veliko t
i
(2.29) lim supt→∞
ρ(t)ω(t) ≤ 0.
Dokaz. Bez gubljenja opstosti mozemo pretpostaviti da je u(t) > 0 za t ∈ [t0,∞).Funkcija p(t)u′(t) je nerastuca i vazi da je, u′(t) > 0 za t ≥ t0 ili postoji t1 > t0 takoda u′(t) < 0 za t ≥ t1, i jos
p(s)u′(s) ≤ p(t)u′(t) za s ≥ t ≥ t0 .
Deljenjem ove nejednakosti sa p(s) i integracijom u granicama [t, τ ] dobijamo
(2.30) u(τ) ≤ u(t) + p(t)u′(t)
∫ τ
t
ds
p(s).
Ako je u′(t) > 0 za t ≥ t0 mi imamo iz (2.30)
u(τ) ≤ u(t) + p(t)u′(t)ρ(t).
Kada τ → ∞ u (2.30) dobija se
(2.31) 0 ≤ limτ→∞
u(τ) ≤ u(t) + p(t)u′(t)ρ(t), t ≥ t0.
Prema (2.31) postoji limτ→∞ u(τ) = c ∈ [0,∞) sto pokazuje da je u ogranicena na[t0,∞). Ako je u′(t) < 0 za t ≥ t1, tada je u jasno ograniceno. Iz (2.31) sledi
ρ(t)p(t)u′(t)
u(t)≥ −1,
odnosno, (2.28) vazi. Nejednakost (2.29) trivijalno vazi ako u′(t) < 0 za t ≥ t1,posto je u tom slucaju funkcija ρ · ω negativna za t ≥ t1. Ako je u′(t) > 0 za t ≥ t0,postoje pozitivne konstante c1, c2 takve da
u(t) ≥ c1 i p(t)u′(t) ≤ c2 za t ≥ t0,
33
iz koje sledi
ω(t) ≤ c2c1, t ≥ t0.
Posto ρ(t) → 0, kada t → ∞, mi zakljucujemo da je
limt→∞
ρ(t)ω(t) = 0.
Ovim je dokaz zavrsen. �
Teorema 2.10 Neka je q(t) ≥ 0. Jednacina (L) je neoscilatorna ako i samo ako
(2.32)
∫ ∞
a
ρ2(t)q(t) dt < ∞
i postoji neprekidna funkcija v takva da je
(2.33) ρ(t)v(t) ogranicena, ρ(t)v(t) ≥ −1,
i
(2.34) ρ2(t)v(t) ≥∫ ∞
t
ρ2(s)q(s) ds+ 2
∫ ∞
t
ρ(s)v(s)
p(s)ds+
∫ ∞
t
ρ2(s)v2(s)
p(s)ds
za veliko t.
Dokaz. (⇒ :) Neka je u resenje jednacine (L) takvo da je u(t) = 0 za t ≥ t0 i nekaje ω(t) odgovarajuce resenje Rikatijeve jednacine (R) definisano u (2.4) . Mnozeci(R) sa ρ2(t) i integracijom od t do τ, τ ≥ t ≥ t0, dobijamo
−ρ2(τ)ω(τ) + ρ2(t)ω(t) = 2
∫ τ
t
ρ(s)ω(s)
p(s)ds+
∫ τ
t
ρ2(s)q(s) ds
+
∫ τ
t
ρ2(s)ω2(s)
p(s)ds.(2.35)
S obzirom na ogranicenost funkcije sto sledi iz Leme 2.3, vidimo da ρ2(τ)ω(τ) =ρ(τ)ρ(τ)ω(τ) → 0, kad τ → ∞, i∣∣∣∣∣
∫ ∞
t
ρ(s)ω(s)
p(s)ds
∣∣∣∣∣ ≤∫ ∞
t
|ρ(s)ω(s)|p(s)
ds < ∞,
∫ ∞
t
ρ2(s)|ω(s)|2
p(s)ds < ∞
za t ≥ t0. Dakle, kada τ → ∞ u (2.35), nalazimo da je
∫ ∞
t
ρ2(s)q(s) ds konvergen-
tan, tj. (2.32) vazi, i
ρ2(t)ω(t) =
∫ ∞
t
ρ2(s)q(s) ds+ 2
∫ ∞
t
ρ(s)ω(s)
p(s)ds+
∫ ∞
t
ρ2(s)|ω(s)|2
p(s)ds.
34
Nejednakost ρ(t)ω(t) ≥ −1 sledi iz prethodne leme.
(⇐ :) Neka neprekidna funkcija v zadovoljava pretpostavke teoreme. Definisemofunkciju r na sledeci nacin:
r(t) =1
ρ(t)2
{∫ ∞
t
ρ2(s)q(s) ds+ 2
∫ ∞
t
ρ(s)v(s)
p(s)ds+
∫ ∞
t
ρ2(s)v2(s)
p(s)ds}
za veliko t. Dakle, v(t) ≥ r(t).Koristeci cinjenicu da funkcija f(x) = x2+2x ima najmanju vrednost za x = −1
mozemo napraviti procenu :
ρ(t)v(t) ≥ ρ(t)r(t) ≥ 1
ρ(t)
∫ ∞
t
1
p(s)
[2ρ(s)v(s) + ρ(s)2v(s)2
]ds
≥ 1
ρ(t)
∫ ∞
t
1
p(s)(−1) ds = −1.
Kako je funkcija f rastuca na intervalu (−1,∞) imamo da f(ρ(t)v(t)) ≥ f(ρ(t)r(t))za svako veliko t. Kako je
r′(t) = 2r(t)
ρ(t)p(t)− q(t)− 2
v(t)
ρ(t)p(t)− v(t)2
p(t)
za veliko t, onda je
r′ + q(t) +r2
p(t)= 2
r
ρ(t)p(t)− 2
v(t)
ρ(t)p(t)− v(t)2
p(t)+
r2
p(t)
=1
p(t)
1
ρ(t)2
(ρ(t)2r2 + 2ρ(t)r(t)− [ρ(t)2v(t)2 + 2ρ(t)v(t)]
)=
1
p(t)
1
ρ(t)2
[f(ρ(t)2r(t))− f(ρ(t)2v(t))
]≤ 0.
Odavde, prema Teoremi 2.6 sledi da je jednacina (L) neoscilatorna. �Teorema 2.11 Pretpostavimo da vazi Ip < ∞. Jednacina (L) je oscilatorna ako je
(2.36)
∫ ∞
a
q(t)ρ2(t) dt = ∞.
2.4 Hille-Wintner-komparativne teoreme
Ovde ce biti data tvrdenja u kojima se o oscilatornosti jedne DJ moze zakljucitina osnovu oscilatornosti neke druge linearne DJ. Dok su se kod Sturmove kom-parativne teoreme uporedivala oba koeficijenta kod klasicne Hille-Wintnerove teo-reme uporeduje se samo koeficijent uz u(t) dok se koeficijent p fiksira. Zajedno sajednacinom (L) posmatramo i jednacinu
(2.37) (p(t)u′(t))′ + q(t)u(t) = 0.
35
Teorema 2.12 Pretpostavimo da je Ip = ∞ i da su
∫ ∞
a
q(t) dt i
∫ ∞
a
q(t) dt kon-
vergentni. Ako
(2.38)∣∣∣∫ ∞
t
q(s) ds∣∣∣ ≤ ∫ ∞
t
q(s) ds za veliko t ,
i linearna DJ (2.37) je neoscilatorna, tada je (L) neoscilatorna, ili ekvivalentno, izoscilatornosti jednacine (L), sledi oscilatornost jednacine (2.37).
Dokaz. Ako je jednacina (2.37) neoscilatorna tada prema Teoremi 2.8 postojifunkcija ω koja zadovoljava
ω(t) =
∫ ∞
t
q(s) ds+
∫ ∞
t
ω(s)2
p(s)ds,
za veliko t. Stoga,
ω(t) ≥
∣∣∣∣∣∫ ∞
t
q(s) ds
∣∣∣∣∣+∫ ∞
t
ω(s)2
p(s)ds
≥
∣∣∣∣∣∫ ∞
t
q(s) ds+
∫ ∞
t
ω(s)2
p(s)ds
∣∣∣∣∣,odakle je prema Posledici 2.1 jednacina (L) nescilatorna . �
Sledeca teorema je Hille-Wintnerova teorema u slucaju kada je Ip < ∞.
Teorema 2.13 Neka q(t) ≥ 0, q(t) ≥ 0 za veliko t i Ip < ∞. Pretpostavimo da
(2.39)
∫ ∞
a
q(t)ρ2(t) dt < ∞,
∫ ∞
a
q(t)ρ2(t) dt < ∞.
Ako je
(2.40)
∫ ∞
t
q(t)ρ2(t) dt ≤∫ ∞
t
q(t)ρ2(t) dt,
i linearna DJ (2.37) je neoscilatorna, tada je i jednacina (L) neoscilatorna, ili ek-vivalentno, iz oscilatornosti jednacine (L), sledi oscilatornost jednacine (2.37).
Dokaz. Pretpostavimo da je DJ (2.37) neoscilatorna. Iz direktnog smera Teoreme2.10 postoji neprekidna funkcija ω koja zadovoljava (2.33) i
ρ2(t)ω(t) ≥∫ ∞
t
ρ2(s)q(s) ds+ 2
∫ ∞
t
ρ(s)2ω(s)
p(s)ds+
∫ ∞
t
ρ(s)2ω(s)2
p(s)ds.
Koriscenjem (2.39) i (2.40), zakljucujemo da ω zadovoljava integralnu nejednacinu(2.34) i stoga je jednacina (L) neoscilatorna prema suprotnom smeru Teoreme 2.10. �
36
2.5 Hille-Nehari kriterijumi oscilatornosti i neo-
scilatornosti
Lema 2.4 ( nejednakost Wirtingera ) Neka je M pozitivna neprekidno difer-encijabilna funkcija za koju je M ′(t) = 0 na [a, b] i neka je η ∈ U(a, b). Tada,∫ b
a
|M ′(t)|η(t)2 dt ≤ 2
∫ b
a
M(t)2
|M ′(t)|η′(t)2 dt.
Dokaz. Pretpostavimo da je M ′(t) > 0 na [a, b]. Koristeci Helderovu nejednakosti cinjenicu da je η(a) = η(b) = 0, dobijamo∫ b
a
|M ′(t)|η(t)2 dt ≤ 2
∫ b
a
M(t)|η(t)||η′(t)| dt
≤ 2
(∫ b
a
|M ′(t)|η(t)2 dt
) 12(∫ b
a
M(t)2
|M ′(t)|η′(t)2 dt
) 12
. �
Primenom nejednakosti Wirtingera moze se pokazati naredni kriterijum neoscila-tornosti.
Teorema 2.14 Neka je q+(t) = max{0, q(t)}. Ako
Ip = ∞,
∫ ∞
a
q+(t) dt < ∞,
i
(2.41) lim supt→∞
P (t)
∫ ∞
t
q+(s) ds <1
4,
ili Ip < ∞ i
(2.42) lim supt→∞
ρ(t)
∫ t
a
q+(s) ds <1
4,
tada je (L) neoscilatorna.
Dokaz. Dokazacemo tvrdenje u slucaju kada je Ip = ∞. U slucaju da je ovajintegral konvergentan dokaz je analogan. Neka je
M(t) := (P (t))−1
37
i neka je T ∈ R tako da je izraz P (t)
∫ ∞
t
q+(s) ds manji od1
4za t > T. Primenom
Helderove nejednakosti i nejednakosti Wirtingera, imamo da za svako η ∈ U(T,∞),∫ ∞
T
q(t)η(t)2 dt ≤∫ ∞
T
q+(t)η(t)2 dt = 2
∫ ∞
T
q+(t)
∫ t
T
η′(s)η(s) ds dt
≤ 2
∫ ∞
T
|η′(t)||η(t)|M(t)
∫ ∞
t
q+(s) ds
M(t)dt
<1
2
∫ ∞
T
M(t)|η′(t)||η(t)| dt
≤ 1
2
(∫ ∞
T
|M ′(t)|η(t)2 dt) 1
2(∫ ∞
T
M(t)2
|M ′(t)|η′(t)2 dt
) 12
≤∫ ∞
T
M(t)2
|M ′(t)|η′(t)2 dt =
∫ ∞
T
p(t)η′(t)2 dt.
Stoga mi imamo
Jpq(η;T,∞) =
∫ ∞
T
[p(t)(η′(t))2 − q(t)η(t)2] dt > 0,
za svako netrivijalno η ∈ U(T,∞) pa tvrdenje sledi prema Teoremi 1.12 . �
Naredni kriterijumi oscilatornosti i neoscilatornosti bice pokazani koristeci kom-parativne teoreme. Najpre, koristeci Sturmovu komparativnu teoremu dokazujemokriterijum:
Teorema 2.15 Za jednacinu u′′ + q(t)u = 0, q ∈ C(T,∞), T > 0, vazi:
(i) Ako je 0 < q(t) ≤ 1
4t2, t ∈ (T,∞), sva resenja su neoscilatorna na intervalu
(T,∞).
(ii) Ako postoji broj α > 0 tako da je q(t) >1 + α
4t2, t ∈ (T,∞), sva resenja su
oscilatorna na intervalu (T,∞).
Dokaz. (i) Kako je q(t) ≤ 1
4t2, prema Sturmovoj komparativnoj teoremi izmedu
susednih nula proizvoljnog resenja DJ u′′ + q(t)u = 0 nalazi se najmanje jedna nula
proizvoljnog resenja DJ u′′ +1
4t2u = 0. Iz Primera 2.1 sledi da je svako resenje
Ojlerove DJ u′′ +1
4t2u = 0 neoscilatorno na intervalu (0,∞). Prema tome, svako
resenje DJ u′′ + q(t)u = 0 ima samo konacno mnogo nula na intervalu (T,∞), pa jeneoscilatorno.
(ii) Kako je a2 =1 + α
4>
1
4, svako resenje Ojlerove DJ u′′+
a2
t2u = 0 je oscilatorno
na intervalu (0,∞), tako da oscilatornost proizvoljnog resenja DJ u′′ + q(t)u = 0sledi prema Sturmovoj komparativnoj teoremi. �
38
U nastavku bice pokazani kriterijumi oscilatornosti i neoscilatornosti koriscenjemHille-Wintnerovih teorema.
Teorema 2.16 Pretpostavimo da je Ip = ∞ i Iq < ∞.(i) Ako
0 ≤ P (t)
∫ ∞
t
q(s) ds ≤ 1
4
za veliko t, tada je jednacina (L) neoscilatorna.(ii) Ako
(2.43) limt→∞
inf P (t)
∫ ∞
t
q(s) ds >1
4,
tada je jednacina (L) oscilatorna.
Dokaz. (i) Stavimo
q(s) =1
4
1
p(s)P (s)−2.
Tada je ∫ ∞
t
q(s) ds ≤∫ ∞
t
q(s) ds =1
4P (t)−1.
Odavde sledi da je jednacina (L) neoscilatorna prema Teoremi 2.12.
(ii) Pre svega posmatranjem (2.43) sledi da je
∫ ∞
t
q(s) ds > 0 za veliko t. Neka
je
q(t) =1
4p(t)P (t)2.
Tada je ∫ ∞
t
q(s) ds =1
4
∫ ∞
t
ds
p(s)P (s)2=
1
4P (t)<
∫ ∞
t
q(s) ds,
odakle sledi da je jednacina (L) oscilatorna prema Teoremi 2.12. �
Dokazacemo kriterijum oscilatornosti koji ce se koristiti u dokazu tvrdenja analog-nom prethodnom za slucaj Ip < ∞.
Teorema 2.17 Neka je q(t) ≥ 0. Ako je
(2.44)
∫ ∞
t0
q(s) ds = ∞
i
(2.45)
∫ ∞
t0
1
p(s)
1
ρ(s)
[p(s)ρ(s)2q(s)− 1
4
]ds = ∞,
tada je jednacina (L) oscilatorna.
39
Dokaz. Pretpostavimo da jednacina (L) ima neoscilatorno pesenje u(t). Bez gu-bljenja opstosti pretpostavimo da je u(t) > 0 na [T,∞) za neko T ≥ t0. Posto jep(t)u′(t) nerastuca funkcija za t ≥ T prema (L), ili je u′(t) > 0 za t ≥ T, ili postojiT1 ≥ T tako da je u′(t) < 0 za t ≥ T1.
Pretpostavimo da je u′(t) > 0 za t ≥ T. Postoji c > 0 tako da je u(t) > c zat ≥ T. Integracijom jednacine (L) od T do t dobijamo
p(t)u′(t) = p(T )u′(T )−∫ t
T
q(s)u(s) ds
≤ p(T )u′(T )− c
∫ t
T
q(s) ds za t ≥ T .
Iz (2.44) sledi da p(t)u′(t) → −∞, kada t → ∞. Ovo je kontradikcija sa cinjenicomda je u′(t) > 0. Prema tome, postoji T1 ≥ T tako da je u′(t) < 0 za t ≥ T1. Nekaje ω(t) definisano kao u (2.4). Imamo da je ω(t) < 0 na [T1,∞) i prema Lemi 2.3sledi da je ρ(t) · ω(t) ogranicena funkcija na [T1,∞) i zadovoljava jednacinu (R) zat ≥ T1. Mnozeci jednacinu (R) sa ρ(t) i integracijom od [T1, t] dobijamo
(2.46) ρ(t)ω(t)− ρ(T1)ω(T1) +
∫ t
T1
ω(s)
p(s)ds
+
∫ t
T1
ρ(s)q(s) ds+
∫ t
T1
ρ(s)ω(s)2
p(s)ds = 0, t ≥ T1.
Za podintegralnu funkciju u (2.46) vazi sledeca nejednakost:
|ω(t)|p(t)
≤ 21
p(t)ρ(t)
12 |ω(t)|1
2ρ(t)−
12
≤ 1
p(s)ρ(t)ω(t)2 +
1
4
1
p(t)ρ(t)−1.
Iz (2.46) sledi,
ρ(t)ω(t)− ρ(T1)ω(T1) +
∫ t
T1
ρ(s)q(s) ds+
∫ t
T1
ρ(s)ω(s)2
p(s)ds =
∫ t
T1
|ω(s)|p(s)
ds
≤∫ t
T1
ρ(s)ω(s)2
p(s)ds+
1
4
∫ t
T1
ds
p(s)ρ(s),
odakle sledi da je
ρ(t)ω(t)− ρ(T1)ω(T1) +
∫ t
T1
1
p(s)ρ(s)
[ρ(s)p(s)q(s)− 1
4
]ds ≤ 0, t ≥ T1.
Iz (2.45) ρ(t)ω(t) → −∞, kada t → ∞ sto je u kontradikciji sa cinjenicom da jeρ(t)ω(t) ogranicena funkcija na [T1,∞). �
40
Primer 2.4 Posmatramo sledecu diferencijalnu jednacinu
(2.47) (p(t)u′)′ + λ1
p(t)
1
ρ(t)2u = 0
na [t0,∞). Jasno, jednacina (2.47) ima resenje u(t) =1
ρ(t)mna [t0,∞) ako m zado-
voljava sledecu kvadratnu jednacinu
m(m+ 1) + λ = 0.
Stavise, ako je λ =1
4, tada je jednacina (2.47) neoscilatorna posto ima neoscilatorno
resenje y(t) = ρ(t)12 . Jednacina (2.47) je oscilatorna ako je λ >
1
4. Zaista, kako je
λ
∫ ∞
t0
ds
p(s)ρ(s)2= ∞
sto se dobija uvodenjem smene ρ(s) = k i∫ ∞
t0
1
p(s)ρ(s)
[p(s)ρ(s)2q(s)− 1
4
]ds
=(λ− 1
4
)∫ ∞
t0
ds
p(s)ρ(s)= ∞
na osnovu iste smene, oscilatornost jednacine (2.47) sledi iz Teoreme 2.17, dok je
ova jednacina neoscilatorna ako je λ ≤ 1
4sto sledi iz Teoreme 2.13 .
Teorema 2.18 Pretpostavimo da je Ip < ∞ i
∫ ∞
a
ρ(t)2q(t) dt < ∞.
(i) Jednacina (L) je oscilatorna ako je
(2.48) lim inft→∞
1
ρ(t)
∫ ∞
t
q(s)ρ(s)2 ds >1
4.
(ii) Jednacina (L) je neoscilatorna ako je
(2.49)1
ρ(t)
∫ ∞
t
q(s)ρ(s)2 ds ≤ 1
4.
Dokaz. (i) Prema pretpostavci postoji T ≥ t0 tako da je
1
ρ(t)
∫ ∞
t
ρ(s)2q(s) ds ≥ λ∗ =λ∗
ρ(t)
∫ ∞
t
ρ(s)21
p(s)
1
ρ(s)2ds
za t ≥ T, pri cemu je λ∗ >1
4. Jednacina (2.47) je oscilatorna prema Primeru 2.4
(λ = λ∗), dok je jednacina (L) oscilatorna prema Teoremi 2.13.
41
(ii) Stavimo
q(t) =1
4
1
p(t)ρ(s)2.
Tada je ∫ ∞
t
ρ(s)2q(s) ds ≤∫ ∞
t
ρ(s)2q(s) ds =1
4ρ(t).
Odavde sledi da je jednacina (L) oscilatorna prema Teoremi 2.13 i Primeru 2.4. �
Za potrebe u daljem radu uvodimo sledecu notaciju:
A(t) : = P (t)
∫ ∞
t
q(s) ds,
A(t) : = ρ(t)
∫ t
a
q(s) ds,
B(t) : = ρ(t)−1
∫ ∞
t
ρ(s)2q(s) ds.
Nastavljamo da razlikujemo slucajeve kada Ip = ∞ i Ip < ∞.
Naredne kriterijume dokazujemo Rikatijevom tehnikom.
I Slucaj Ip = ∞
Teorema 2.19 Neka je Iq < ∞ i Ip = ∞.(i) Ako je
(2.50) lim inft→∞
A(t) >1
4,
tada je jednacina (L) oscilatorna.(ii) Ako je
(2.51) −3
4< lim inf
t→∞A(t) ≤ lim sup
t→∞A(t) <
1
4,
tada je jednacina (L) neoscilatorna.
Dokaz. Iako postoje i drugi nacini za ovaj dokaz mi cemo ga izvesti direktno, uzprimenu Rikatijeve tehnike.
(i) Za dokaz oscilatornosti pretpostavimo suprotno, tj. da je jednacina (L)neoscilatorna. Tada prema Teoremi 2.8 postoji funkcija ω koja zadovoljava jednacinu
ω(t) =
∫ ∞
t
q(s) ds+
∫ ∞
t
ω(s)2
p(s)ds.
42
Mnozeci ovu jednacinu sa P (t) koristeci pretpostavke teoreme i pretpostavljajuci daje lim supt→∞ P (t)ω(t) =: M < ∞ (u slucaju da je M = ∞ dobijamo kontradikciju,pa prema tome ostaje da M < ∞ ) postoji ε > 0 tako da M zadovoljava nejednakost
M >1
4+ ε+M2.
Kako je
t2 − t+1
4≥ 0
za svako t ∈ R, dolazi se do kontradikcije.(ii) Mozemo naci resenje Rikatijeve nejednacine,
(2.52) v′ ≤ −q(t)− v2
p(t)
definisano na intervalu [T,∞). Da bismo nasli resenje v nejednacine (2.52), trazimoresenje diferencijalne nejednacine
(2.53) γ′ ≤ − 1
p(t)|γ +Q(t)|2, Q(t) :=
∫ ∞
t
q(s) ds
jer ako znamo resenje γ nejednacine (2.53), imamo i trazeno resenje v = γ + Qnejednacine (2.52). Resenje γ je oblika
γ(t) =1
4P (t)−1.
Pre svega primetimo da prema (2.51) vazi
−3
4≤ P (t)Q(t) ≤ 1
4,
sto je ekvivalentno nejednakosti
1
4≥∣∣∣14+ P (t)Q(t)
∣∣∣2.Kako je γ′ = −1
4
1
p(t)P (t)−2, zamenom γ u (2.53) desna strana nejednakosti (2.53)
je
− 1
p(t)|γ +Q(t)|2 = − 1
p(t)
∣∣∣14P (t)−1 +Q(t)
∣∣∣2= − 1
p(t)P (t)2
∣∣∣14+ P (t)Q(t)
∣∣∣2= − 1
4p(t)P (t)−2
= γ′. �
43
II Slucaj Ip < ∞
Teorema 2.20 Neka je Ip < ∞ i neka je q(t) > 0 za veliko t. Ako
(2.54) lim inft→∞
A(t) >1
4ili lim sup
t→∞A(t) > 1,
tada je (L) oscilatorna. Ako
lim supt→∞
A(t) <1
4,
tada je (L) neoscilatorna.
Dokaz. Da bismo pokazali da je jednacina (L) oscilatorna pokazujemo samo do-voljnost prvog uslova u (2.54) posto je za drugi uslov dokaz slican. PrimenimoTeoremu 2.19 na tzv. reciprocnu jednacinu
(2.55)
(v′(t)
q(t)
)′
+v(t)
p(t)= 0,
pri cemu je v(t) = p(t)u′(t).Ako su t1 < t2 dve uzastopne nule resenja u jednacine (L) prema Rolovoj teoremi
sledi da resenje v ima najmanje jednu nulu u (t1, t2).Ako su t1 < t2 uzastopne nule resenja v tada, kako je v′(t) = −q(t)u(t) sledi da
u ima nulu u (t1, t2).Ovo znaci da je jednacina (L) oscilatorna ako i samo ako je (2.55) oscilatorna.Iz prvog uslova jednacine (2.54) sledi da je Iq = ∞. Posto vazi
(2.56) lim inft→∞
(∫ t
a
q(s) ds
)(∫ ∞
t
ds
p(s)
)>
1
4,
prema Teoremi 2.19 sledi da je jednacina (2.55) oscilatorna. Sada na osnovu pre-thodne diskusije o vezi resenja reciprocne i jednacine (L), sledi da je jednacina (L)oscilatorna.
Sada izvodimo dokaz za neoscilatornost jednacine (L). Najpre pretpostavimo daje Iq < ∞. U ovom slucaju koristicemo transformaciju nezavisno promenljive
(2.57) s =
∫ t
a
dτ
p(τ), u(s) = y(t),
koja transformise jednacinu (L) u jednacinu
(2.58)d
ds
(d
dsu
)+ p(t(s))q(t(s))u = 0,
44
gde je t = t(s) inverzna funkcija za s = s(t) datu u (2.57). Iz konvergencije inte-grala Ip sledi da nova promenjiva s u jednacini (2.58) kroz ogranicen interval nemasingulariteta, pa stoga prema Teoremi 1.2 svako resenje ove jednacine ima konacanbroj nula na ovom intervalu, odakle sledi da je jednacina (L) neoscilatorna. AkoIq = ∞, mi cemo postupiti na isti nacin kao u prvom delu dokaza koristeci Teoremu2.50. �
Teorema 2.21 Neka je Ip < ∞. Ako
−3
4< lim inf
t→∞A(t) ≤ lim sup
t→∞A(t) <
1
4
jednacina (L) je neoscilatorna.
Dokaz. Mozemo naci resenje Rikatijeve nejednacine
(2.59) ω′ ≤ −q(t)− ω2
p(t).
definisano na intervalu [T,∞). Da bismo naslu resenje ω diferencijalne nejednacine(2.59), trazimo resenje diferencijalne nejednacine
(2.60) v′ ≤ − 1
p(t)
∣∣∣v − C(t)∣∣∣2, C(t) =
∫ t
a
q(s) ds,
jer ako znamo resenje v nejednacine (2.60) imamo i trazeno resenje ω = v − Cnejednacine (2.59). Resenje v je oblika
v(t) = −1
4ρ(t)−1.
Prema pretpostavci teoreme vazi da je
−3
4≤ ρ(t)C(t) ≤ 1
4sto je ekvivalentno nejednakosti
1
4≥∣∣∣14+ ρ(t)C(t)
∣∣∣2.Kako je v′(t) = −1
4ρ(t)−2 1
p(t)i zamenom v(t) u (2.60) desna strana nejednakosti
(2.60) postaje
− 1
p(t)
∣∣∣v − C(t)∣∣∣2 = − 1
p(t)
∣∣∣−1
4ρ(t)−1 − C(t)
∣∣∣2= − 1
p(t)ρ(t)−2
∣∣∣14+ ρ(t)C(t)
∣∣∣2≤ −1
4ρ(t)−2 1
p(t)
= v′(t). �
45
Teorema 2.22 Neka je Ip < ∞,
∫ ∞
a
ρ(t)2q(t) dt konvergentan i q(t) ≥ 0 za veliko
t. Ako je
lim supt→∞
B(t) > 1,
tada je (L) oscilatorna.
Dokaz. Pretpostavimo suprotno, tj. da je jednacina (L) neoscilatorna i da jelim supt→∞ B(t) > 1. Neka je u resenje jednacine (L) takvo da je u(t) > 0 za t ≥ t0.Neka je ω(t) definisano kao u (2.4). Prema Teoremi 2.10, ω zadovoljava (2.29), (2.33)i (2.34) . Iz (2.34) vidimo da
ρ(t)2ω(t) + ρ(t) ≥∫ ∞
t
1
p(s)[ρ(s)2ω(s)2 + 2ρ(s)ω(s) + 1] ds
+
∫ ∞
t
ρ(s)2q(s) ds
≥∫ ∞
t
ρ(s)2q(s) ds, t ≥ t0
odakle sledi
ρ(t)−1
∫ ∞
t
ρ(s)2q(s) ds ≤ ρ(t)ω(t) + 1, t ≥ t0.
Imajuci u vidu (2.29), dobijamo
lim supt→∞
ρ(t)−1
∫ ∞
t
ρ(s)2q(s) ds ≤ 1,
sto je kontradikcija. �
2.6 Kriterijumi oscilatornosti tipa Hartman-
Wintner
Teorema 2.23 Ako je
(2.61)
∫ ∞
a
(∫ s
t0
p(t) dt
)−1
ds = ∞
i
(2.62) limt→∞
1
t
∫ t
t0
∫ s
t0
q(u) du ds = ∞
tada je jednacina (L) oscilatorna.
46
Dokaz. Neka je u(t) neoscilatorno resenje jednacine (L) takvo da je u(t) > 0 zat ≥ t0 > 0. Definisemo ω(t) kao u (2.4) za t ≥ t0. Kako je
ω′(t) = −q(t)− ω(t)2
p(t)t ≥ t0.
integracijom ove nejednakosti u granicama od t0 do t dva puta, dobijamo∫ t
t0
ω(s) ds+
∫ t
t0
∫ s
t0
ω(u)2
p(u)du ds = t
(k − 1
t
∫ t
t0
∫ s
t0
q(u) du ds
),
gde je k konstanta. Iz (2.62) sledi da postoji t1 ≥ t0 tako da∫ t
t0
ω(s) ds+
∫ t
t0
∫ s
t0
ω(u)2
p(u)du ds < 0 za t ≥ t1.
Za t ≥ t1 sledi da je
F (t) =
∫ t
t0
∫ s
t0
ω(u)2
p(u)du ds < −
∫ t
t0
ω(s) ds.
Nije tesko proveriti da postoji t2 ≥ t1 tako da je F (t) > 0 za t ≥ t2. Posto je F (t)nenegativna mi dobijamo
(2.63) F (t)2 <
(∫ t
t0
ω(s) ds
)2
.
Iz Svarcove nejednakosti imamo(∫ t
t0
ω(s) ds
)2
≤
(∫ t
t0
p(s) ds
)(∫ t
t0
ω(s)2
p(s)ds
)za t ≥ t1.
Iz (2.63) je
(2.64)
(∫ t
t0
p(s) ds
)−1
≤ F (t)−2F ′(t) za t ≥ t2.
Sada integracijom (2.64) od t2 do t, imamo∫ t
t2
(∫ s
t0
p(u) du
)−1
ds ≤ 1
F (t2)< ∞,
sto je u suprotnosti sa (2.61). �
Pokazacemo da se uslov (2.61) moze oslabiti sa dva uslova
(2.65) lim inft→∞
∫ t
T
q(s) ds > −λ
47
i
(2.66) lim supt→∞
1
T
∫ t
T
∫ s
T
q(u) du ds = ∞,
za svako veliko T. U (2.65) λ je pozitivna konstanta.
Teorema 2.24 Ako je p(t) ≤ p1 (p1 je pozitivna konstanta ) i (2.65) i (2.66) vazeonda je (L) oscilatorna.
Dokaz. Neka je u(t) neoscilatorno resenje jednacine (L), takvo da je u(t) > 0 zat ≥ T ≥ t0, T ≥ 1. Iz (L) imamo
(2.67)p(t)u′(t)
u(t)+
∫ t
T
p(s)
(u′(s)
u(s)
)2
ds+
∫ t
T
q(s) ds =p(T )u′(T )
u(T )= c.
Neophodno je da posmatramo sledeca tri slucaja:
Slucaj 1: Pretpostavimo da za u′ postoji niz tn, tn → ∞ kad n → ∞ takav dau′(tn) = 0. Primenom (2.67) na ovaj niz, mi imamo da je
(2.68) (p(t))12u′(t)
u(t)
kvadratno integrabilna funkcija na (T,∞). Iz Svarcove nejednakosti imamo(∫ t
T
p(s)u′(s)
u(s)ds)2
≤ p1t
∫ t
T
p(s)
(u′(s)
u(s)
)2
ds ≤ k2t2
za neku pozitivnu konstantu k. Iz ovoga sledi
∫ t
T
p(s)u′(s)
u(s)ds ≥ −kt i takode iz
(2.67) dobijamo
−k +1
t
∫ t
T
∫ s
T
q(r) dr ds =c(t− T )
t≤ c
, sto je kontradikcija sa (2.66).
Slucaj 2: Ako u′(t) > 0 za t ≥ T1 ≥ T, tada iz (2.67) mi ponovo imamo (2.68) iponovo procenjujemo kao gore.
Slucaj 3: Pretpostavimo da postoji t1 ≥ T tako da je u′(t) < 0 za t ≥ t1. Iz(2.67) i (2.65) mi imamo
(2.69) −p(t)u′(t)
u(t)≥ −(c+ λ) +
∫ t
t1
p(s)
(u′(s)
u(s)
)2
ds.
48
Ako gornji integral konvergira mozemo ga proceniti kao u prethodnom slucaju. Akointegral divergira, tada postoji t2 ≥ t1 tako da∫ t2
t1
p(s)
(u′(s)
u(s)
)2
ds = 1 + c+ λ.
Mnozeci (2.69) sa
−u′(t)
u(t)
−(c+ λ) +
∫ t
t1
p(s)
(u′(s)
u(s)
)2
ds
i integracijom od t2 do t, dobijamo
ln
[−(c+ λ) +
∫ t
t1
p(s)
(u′(s)
u(s)
)2
ds
]≥ ln
u(t2)
u(t).
Iz (2.69) sledi da −(p(t)u′(t)/u(t)) ≥ (u(t2)/u(t)) za t ≥ t2. Stoga, u′(t) ≤ −u(t2)/p1
za t ≥ t2, i konacno integracijom pokazujemo da u(t) mora postati negativno sto jekontradikcija sa pretpostavkom da je u(t) > 0 za t ≥ T. �
Direktna posledica Hartman-Wintnerove teoreme je sledeci uopsteni Hartman-Wintnerov oscilatorni kriterijum.
Teorema 2.25 Pretpostavimo da je Ip = ∞. Tada je svaki od sledeca dva uslovadovoljan za oscilatornost jednacine (L):
limt→∞
∫ t
a
∫ s
a
q(τ) dτ ds
P (t)= ∞,
−∞ < lim inft→∞
∫ t
a
∫ s
a
q(τ) dτ ds
P (t)< lim sup
t→∞
∫ t
a
∫ s
a
q(τ) dτ ds
P (t).
Dokaz. Pokazacemo samo dovoljnost prvog uslova, dok je dokaz da je drugi uslovdovoljan za oscilatornost jednacine (L) slican. Pretpostavimo da je jednacina (L)neoscilatorna i da prvi uslov vazi. Tada (2.19) vazi i prema Teoremi 2.7 integaralu (2.17) konvergira za svako resenje ω jednacine (R), pa limes u (2.18) postoji ikonacan je broj sto je u kontradikciji sa prvim uslovom ove teoreme. �
49
50
Literatura
[1] Ravi P. Agarwal, Said R. Grace, Donal O’Regan: Oscillation theory for secondorder linear, half-linear, superlinear and sublinear dynamic equations, KluwerAcademic Publishers, 2002.
[2] O. Dosly, P.Rehak: Half-linear differential equations, Elsevier 2005.
[3] Svetlana Jankovic: Diferencijalne jednacine, Prirodno-matematicki fakultet,Nis, 2004.
[4] T. Kusano, N. Yoshida: Nonoscillation theorems for a class of quasilinear differ-ential equations of second-order, J. Math. Anal. Appl. 189, 1995, pp. 115−127.
[5] H. J. Li, C. C. Yeh: Nonoscillation Criteria for Second-Order Half-Linear Dif-ferential Equations, Appl. Math. Lett. Vol 8, No. 5, 1995, pp. 63− 70.
51
52
Biografija
Milica Pavlovic, je rodena 6.7.1989. godine u Leskovcu. Osnovnu skolu ,,RadojeDomanovic ”zavrsila je u Bosnjacu kao nosilac Vukove diplome i dak generacije.Gimnaziju u Leskovcu, prirodno-matematicki smer, zavrsila je, takode, kao nosilacVukove diplome.
Prirodno-matematicki fakultet u Nisu, Odsek za matematiku i informatiku up-isala je skolske 2008/2009. godine, smer Matematika. Osnovne akademske studijezavrsila je u septembru 2011. godine sa prosecnom ocenom 8, 92. Iste godine upisujediplomske akademske studije na smeru Mamematika. Prosecna ocena na diplomskimstudijama je 9, 4.
53