JU Opca gimnazija ”Bosanska Krupa”

Bosanska Krupa

MATURSKI RAD IZ PREDMETA

ODABRANE OBLASTI MATEMATIKE

Rjesavanje sistema linearnih jednacina

Mentor : Ucenik :

Senka Ibrahimpasic, MA Sejla Jusic, IV5

Bos. Krupa, april 2015.

Sadrzaj

Uvod i

1. Sistem linearnih jednacina 1

1.1. Rjesenje sistema linearnih jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2. Metode rjesavanja sistema linearnih jednacina 4

2.1. Kramerova metoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2. Kronecker - Capellieva teorema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.3. Matricna metoda rjesavanja jednacina . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.4. Metoda transformacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5. Gaussova metoda ili metoda eliminacije . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Sazetak 19

Literatura 20

Uvod

Tema mog maturskog rada je rjesavanje sistema linearnih jednacina. Sistemi line-

arnih jednacina pronalaze primjenu u mnogim oblastima, ne samo matematike nego i

drugih nauka.

U prvom poglavlju detaljnije cemo se upoznati s definicijom sistema, nacinom za-

pisivanja i oblicima koji se najcesce pojavljuju. Takoder cemo razmotriti sve moguce

slucajeve koje mozemo dobiti pri rjesavanju sistema.

Potom slijedi glavni dio u kojem cemo se detaljnije baviti pitanjem rjesavanja

sistema linearnih jednacina. Upoznat cemo se s primjenom Kramerove metode u

rjesavanju sistema jednacina pomocu determinanti, sto je detaljnije objasnjeno u dru-

gom poglavlju. U istom poglavlju cemo vidjeti primjenu matrica kroz Kronecker -

Capelliev teorem, matricnu metodu i metodu transformacija. Na kraju drugog poglav-

lja je opisana Gaussova metoda ili metoda eliminacije. Ona je vrlo prakticna i pogodna

za rjesavanje sistema i na racunarima, jer sadrzi najmanji broj operacija i greske su

minimalne.

i

1. Sistem linearnih jednacina

Sistemom linearnih jednacina nazivamo skup od dvije ili vise jednacina s dvije ili

vise nepoznatih velicina.

U opcem slucaju sistem od m jednacina s n nepoznatih mozemo prikazati na sljedeci

nacin

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2,...

am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm,

ili kracen∑

k=1

aikxk = bi (i = 1, 2, . . . ,m),

gdje su aij, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n i bi, i = 1, 2, . . . , n realni brojevi.

Brojevi aij su koeficijenti sistema i stoje uz nepoznate x1, x2, . . . , xn, dok su slobodni

clanovi bi brojevi koji stoje s desne strane jednakosti i uz njih se ne nalazi ni jedna

nepoznata velicina.

Sistem jednacina koji se najcesce pojavljuje je onaj kod kojeg je broj nepoznatih

jednak broju jednacina. To je tzv. kvadratni sistem.

Ukoliko je broj jednacina razlicit od broja nepoznatih (odnosno kad je n 6= m) kazemo

da je sistem pravougaoni.

Ukoliko je |b1|+ |b2|+ · · ·+ |bm| > 0 za sistem kazemo da je nehomogen (bi 6= 0, za

barem jedno i), a ako je b1 = b2 = · · · = bm = 0 sistem je homogen.

Homogeni sistem uvijek ima trivijalno rjesenje (sve nepoznate imaju vrijednost nula).

Medutim, pored trivijalnog rjesenja sistem moze imati i druga, netrivijalna, rjesenja.

Primjer 1.

Sistem jednacina

2x+ 3y − z = 0

x+ y = 0

x+ 2y − z = 0

ima 2 rjesenja i to jedno trivijalno (0, 0, 0) i drugo netrivijalno (−α, α, α), α ∈ R.

1

Za sisteme kazemo da su ekvivalentni ako imaju iste skupove rjesenja.

Primjer 2.

Promotrimo sisteme jednacina:

x+ y = 2 2x− y = 1i

2x+ 3y = 5 x+ 6y = 7.

Oba sistema imaju rjesenje (1, 1), pa su ekvivalentni.

Da bismo dobili ekvivalentne sisteme jednacina koristimo se elementarnim tran-

sformacijama kao sto su: zamjena mjesta dviju jednacina, mnozenje jednacine brojem

razlicitim od nule ili dodavanje prethodno pomnozene jednacine nekoj drugoj jednacini.

1.1. Rjesenje sistema linearnih jednacina

Rjesenje sistema linearnih jednacina s n nepoznatih je svaka uredena n - torka

brojeva koja zadovoljava sve jednacine sistema.

Sistem jednacina moze da

1. ima jedno rjesenje (takve sisteme nazivamo saglasnim)

Primjer 3.

Sistem

4x1 − 3x2 + x3 = 1

x1 + x2 − x3 = −2

2x1 + x2 + x3 = 11

ima jedinstveno rjesenje (x1, x2, x3) = (1, 3, 6).

2. ima beskonacno rjesenja (takve sisteme nazivamo neodredenim)

Primjer 4.

Sistem

x1 + 2x2 + 3x3 = 3

x1 − x2 = 0

2x1 + x2 + 3x3 = 3

ima beskonacno rjesenja, jer svaka uredena trojka oblika (α, α, 1 − α), α ∈ Rzadovoljava sve tri jednacine sistema.

2

3. nema rjesenja (takve sisteme nazivamo kontradiktornim)

Primjer 5.

Sistem

x+ y = 5

2x− y = 4

x+ 3y = 8

nema rjesenje, jer ne postoji uredeni par koji zadovoljava sve tri jednacine sistema.

3

2. Metode rjesavanja sistema linearnih jednacina

2.1. Kramerova metoda

Ovu metodu rjesavanja koristimo samo kod kvadratnih sistema jednacina. U

rjesavanju koristimo determinante, a to su kvadratne sheme brojeva.

Neka je dan sistem

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,...

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn.

Rjesenje sistema je dano Kramerovim formulama

xi =Di

D(i = 1, 2, . . . , n).

S D oznacavamo determinantu koju cine koeficijenti sistema aij, dok s Di oznacavamo

determinantu koju dobijemo tako sto cemo elemente i-tog stupca determinante D zami-

jeniti sa slobodnim clanovima b1, b2, . . . , bn. Pri rjesavanju ovom metodom razlikujemo

3 slucaja:

1. ako je D 6= 0 onda sistem ima jedinstveno rjesenje i njega dobijemo Kramerovim

formulama,

2. ako je D = 0 i Di 6= 0 za barem jedno i onda je sistem nemoguc, tj. nema

rjesenja,

3. ako je D = 0, Di = 0, i = 1, 2, . . . , n onda sistem ima beskonacno mnogo

rjesenja.

Do Kramerovih formula dolazimo na sljedeci nacin.

Prvo se sve jednacine sistema redom pomnoze s kofaktorima A1i, A2i, . . . , Ani, a zatim

saberu. Dobijamo

x1a11A1i + a21A2i + · · ·+ an1Ani)+

+x2(a12A1i + a22A2i + · · ·+ an2Ani) + · · ·+

+xi(a1iA1i + a2iA2i + · · ·+ aniAni) + · · ·+

+xn(a1nA1i + · · ·+ annAni) = b1A1i + · · ·+ bnAni.

4

Kofaktor ili algebarski komplement elementa aij dobijemo pomocu formule

Aij = (−1)i+jMij.

Mij nazivamo minor elementa aij.

Minor Mij (subdeterminanta elementa aij) je determinanta (n−1). reda koju dobijemo

iz polazne determinante ispustanjem i-tog retka i j-tog stupca u kojem se element aij

nalazi.

Svi izrazi uz nepoznate x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn jednaki su nuli prema sljedecem

svojstvu determinanti.

Teorem 1: Zbir proizvoda bilo kojeg retka (stupca) determinante s kofaktorima nekog

drugog retka (stupca) jednak je nuli.

n∑i=1

aijAik = 0 za j 6= k.

Zbog toga dobijemo

xi(a1iA1i + a2iA2i + · · ·+ aniAni) = b1A1i + b2A2i + · · ·+ b1Ani.

Izraz uz nepoznatu xi je jednak determinanti sistema D zbog sljedece teoreme.

Teorem 2: Vrijednost determinante jednaka je zbiru proizvoda elemenata bilo kojeg

retka (stupca) s odgovarajucim kofaktorima.

n∑i=1

aijAij = D.

Uvrstavanjem u prethodni izraz dobijemo

D · xi = Di.

Odnosno

xi =Di

D, i = 1, 2, . . . , n.

Pa je uredena n - torka(D1

D, D2

D, . . . , Dn

D

)zaista rjesenje danog sistema.

Primjer 6.

Kramerovom metodom rijesiti sistem

5x1 − 2x2 + 3x3 = 3

−3x1 + 4x2 − 11x3 = 3

2x1 − x2 + 8x3 = 7.

5

Prvo odredimo determinante

D =

∣∣∣∣∣∣∣∣5 −2 3

−3 4 −11

2 −1 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 86,

D1 =

∣∣∣∣∣∣∣∣5 −2 3

3 4 −11

7 −1 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 172, D2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣5 3 3

−3 3 −11

2 7 8

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 430, D3 =

∣∣∣∣∣∣∣∣5 −2 3

−3 4 3

2 −1 7

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 86.

Zatim primjenom formula imamo

x1 =D1

D=

172

86= 0, x2 =

D2

D=

430

86= 5, x3 =

D3

D=

86

86= 1.

Dakle, rjesenje sistema je (2, 5, 1).

2.2. Kronecker - Capellieva teorema

Neka je dan sistem od m linearnih jednacina s n nepoznatih

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2,...

am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm.

Uz ovaj sistem su vezane matrica sistema A i prosirena matrica sistema Ap

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

, Ap =

a11 a12 · · · a1n | b1

a21 a22 · · · a2n | b2...

...... | ...

am1 am2 · · · amn | b1

.

Elemente matrica oznacavamo s aij, i = 1, 2, . . . ,m, j = 1, 2, . . . , n, gdje i oznacava

redni broj jednacine, a j redni broj nepoznate.

Kronecker - Capellieva teorema opisuje jedan od mogucih postupaka odredivanja

skupa rjesenja zadanog sistema.

U tu je svrhu najprije potrebno odrediti rang matrice sistema A i rang prosirene matrice

Ap.

6

Teorem 3: Za matricu A se kaze da ima rang r i pise r(A) = r ako su sve njene

determinante reda viseg od r jednake nuli, ali postoji u njoj barem jedna determinanta

reda r koja je razlicita od nule.

Ako se na matrici A izvrse elementarne transformacije:

1. zamijene retci i stupci (matrica transponira),

2. permutiraju dva retka (stupca),

3. svi elementi nekog retka (stupca) pomnoze brojem razlicitim od nule,

4. jednom retku (stupcu) dodaju odgovarajuci elementi nekog drugog retka (stupca)

pomnozeni istim brojem,

5. izostavi redak (stupac) ciji su svi elementi nule,

6. izostavi redak (stupac) koji je linearna kombinacija preostalih redaka (stupaca)

rang matrice A se nece promijeniti.

Ukoliko je rang matrice sistema jednak rangu prosirene matrice, tj. r(A) = r(Ap) =

r sistem ima jedinstveno rjesenje.

U tom slucaju sistem se zamijeni sa sistemom od r jednacina s n nepoznatih. Ostalih

m− r jednacina se izostavi. Rjesenje ovog sistema dobijemo pomocu Kramerovih for-

mula.

Ako je r(Ap) = r, r < m tada od m linearnih jednacina odabiramo njih r, tako da se

preostalih m− r jednacina izrazi pomocu odabranih r jednacina.

Ako je r(Ap) = r, r = n onda ce sistem imati jedinstveno rjesenje ako i samo ako

je matrica sistema regularna, tj kada je determinanta razlicita od nule. Tada sistem

rjesavamo Kramerovim formulama.

Ako je r(A) = r(Ap) i r < n tada iz zadanog sistema odaberemo r linearno nezavisnih

jednacina. Sistem ce sad imati vise nepoznatih nego jednacina i samim tim beskonacno

rjesenja koja ovise o n− r slobodnih parametara xr+1, xr+2, . . . , xn.

a11x1 + · · ·+ a1rxr = b1 − a1r+1xr+1 − · · · − a1nxn

a21x1 + · · ·+ a2rxr = b2 − a2r+1xr+1 − · · · − a2nxn...

ar1x1 + · · ·+ arrxr = br − arr+1xr+1 − · · · − arnxn

7

Primjer 7.

Kronecker - Capellievom metodom rijesiti sistem

x1 + x2 + x3 = 5

x1 − x2 + x3 = 1

x1 + x3 = 3.

Odredimo matricu sistema i prosirenu matricuA =

1 1 1

1 −1 1

1 0 1

, Ap =

1 1 1 | 5

1 −1 1 | 1

1 0 1 | 3

.

Odredimo rang matrica A i Ap.

A =

1 1 1

1 −1 1

1 0 1

∼

1 1 1

1 −1 0

1 1 1

∼

1 1 1

0 −2 −1

0 0 0

⇒ r(A) = 2

Ap =

1 1 1 | 5

1 −1 1 | 1

1 0 1 | 3

∼

1 1 1 | 5

1 −2 0 | −4

0 −1 0 | −4

∼

1 1 1 | 5

0 1 0 | 2

0 −1 0 | −2

∼

1 1 1 | 5

0 1 0 | 2

0 0 0 | 0

⇒ r(Ap) = 2

r(A) = r(Ap) = 2

Imamo da je r = 2, n = 3 tj. r < n pa sistem ima beskonacno mnogo rjesenja.

Osnovne jednacine su

x1 + x2 + x3 = 5

x1 − x2 + x3 = 1.

”Osnovne” nepoznate su x1 i x2, a ”slobodna” nepoznata je x3. Imamo da je

x1 + x2 = 5− x3

x1 − x2 = 1− x3.

Odnosno x2 = 2, x1 = 3− x3.Pa je opci oblik svih rjesenja (3− x3, 2, x3), x3 ∈ R.

8

2.3. Matricna metoda rjesavanja jednacina

Ova metoda se koristi za rjesavanje sistema s jednakim brojem jednacina i nepoznatih

tj. kvadratnih sistema.

Neka je dan sistem

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn = b2,...

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn = bn.

Ovom sistemu mozemo pridruziti matrice: sistema A, nepoznatih X i slobodnih clanova

B.

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann

X =

x1

x2...

xn

B =

b1

b2...

bn

Pomnozimo li matrice A i X dobijemo

AX =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

an1 an2 · · · ann

·x1

x2...

xn

=

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn

a21x1 + a22x2 + · · ·+ a2nxn...

an1x1 + an2x2 + · · ·+ annxn

.

Ako postoji uredena n - torka koja je rjesenje danog sistema onda pisemo A ·X = B.

Da bismo mogli izraziti matricu nepoznatih X potrebno je ovu jednacinu pomnoziti

inverznom matricom A−1. Posto mnozenje matrica nije komutativno, mnozenje

matricne jednacine vrsi se s lijeve strane.

A−1 · A ·X = A−1 ·B

X = A−1B

Ovaj postupak ce imati smisla samo ukoliko je matrica A regularna (detA 6= 0) i u tom

slucaju ce sistem imati jedinstveno rjesenje.

Primjer 8.

Matricnom metodom rijesiti sistem

x1 − x2 + x3 = 5

2x1 + x2 + x3 = 6

x1 + x2 + 2x3 = 4.

9

Neka su dane matrice

A =

1 −1 1

2 1 1

1 1 2

, X =

x1

x2

x3

, B =

5

6

4

.

Posto je rjesenje sistema dano formulom X = A−1B potrebno je prvo odrediti inverznu

matricu koju racunamo pomocu formuleA−1 = 1detA·A∗, gdje jeA∗ adjungirana matrica.

detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣1 −1 1

2 1 1

1 1 2

∣∣∣∣∣∣∣∣ = 5 6= 0

Adjungiranu matricu A∗ dobijemo tako sto cemo u transponiranoj matrici AT

elemente aji zamijeniti s njihovim kofaktorima Aji.

AT =

1 2 1

−1 1 1

1 1 2

A11 = (−1)1+1

∣∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣∣ = 1, A12 = (−1)1+2

∣∣∣∣∣−1 1

1 2

∣∣∣∣∣ = 3, A13 = (−1)1+3

∣∣∣∣∣−1 1

1 1

∣∣∣∣∣ = −2,

A21 = (−1)2+1

∣∣∣∣∣2 1

1 2

∣∣∣∣∣ = −3, A22 = (−1)2+2

∣∣∣∣∣1 1

1 2

∣∣∣∣∣ = 1, A23 = (−1)2+3

∣∣∣∣∣1 2

1 1

∣∣∣∣∣ = 1,

A31 = (−1)3+1

∣∣∣∣∣2 1

1 1

∣∣∣∣∣ = 1, A32 = (−1)3+2

∣∣∣∣∣ 1 1

−1 1

∣∣∣∣∣ = −2, A33 = (−1)3+2

∣∣∣∣∣ 1 2

−1 1

∣∣∣∣∣ = 3.

Imamo

A∗ =

1 3 −2

−3 1 1

1 −2 3

. Pa je A−1 =1

5

1 3 −2

−3 1 1

1 −2 3

.Odavde je

X =1

5

1 3 −2

−3 1 1

1 −2 3

·

5

6

4

=1

5

5 + 18− 8

−15 + 6 + 4

5− 12 + 12

=1

5

15

−5

5

=

3

−1

1

.Rjesenje ovog sistema je (3,−1, 1).

10

2.4. Metoda transformacija

Neka je dan sistem od m jednacina s n nepoznatih

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2,...

am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm.

Ovom sistemu mozemo pridruziti dvije matrice, matricu sistema A i prosirenu matricu

Ap.

Matrica sistema A predstavlja tablicu koeficijenata uz nepoznate.

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n...

......

am1 am2 · · · amn

Prosirenu matricu sistema Ap dobijemo pridruzivanjem slobodnih clanova, koje cemo

crticama odvojiti od ostalih clanova matrice.

Ap =

a11 a12 · · · a1n | b1

a21 a22 · · · a2n | b2...

...... | ...

am1 am2 · · · amn | b1

Metoda transformacije se sastoji u tome da prosirenu matricu sistema Ap elementarnim

transformacijama svedemo na ekvivalentnu matricu iz koje je jednostavno procitati

rjesenje sistema.

Primjer 9.

Metodom transformacije rijesiti sistem

x+ 2y + 3z = 5

2x− y − z = 1

x+ 3y + 4z = 6.

Napisimo prosirenu matricu sistema.1 2 3 | 5

2 −1 −1 | 1

1 3 4 | 6

11

Cilj nam je da matricu sistema svedemo na najjednostavniji moguci oblik, tj. da u

svakom retku matrice A dobijemo najvise jedan element razlicit od nule.

U prvom koraku cemo prvi redak pomnoziti redom s −2, −1 i dodati drugom i trecem

retku. Dobijamo 1 2 3 | 5

0 −5 −7 | −9

0 1 1 | 1

.Radi lakseg racunanja zamijenit cemo raspored treceg i drugog retka

1 2 3 | 5

0 1 1 | 1

0 −5 −7 | −9

.U sljedecem koraku cemo drugi redak pomnoziti s −2 i dodati prvom retku

1 0 1 | 3

0 1 1 | 1

0 −5 −7 | −9

.Pomnozimo drugi redak sa 5 i dodajmo trecem retku

1 0 1 | 3

0 1 1 | 1

0 0 −2 | −4

.Treci redak podijelimo sa −2

1 0 1 | 3

0 1 1 | 1

0 0 1 | 2

.Pomnozimo treci redak sa −1 i dodajmo ga prvom i drugom retku

1 0 0 | 3

0 1 0 | 1

0 0 1 | 2

.Posto uz matricne koeficijente stoje odgovarajuce nepoznate ovu matricu mozemo

napisati u obliku jednacina

x = 3

y = 1

z = 2.

Pa zakljucujemo da je rjesenje zadanog sistema (3, 1, 2).

12

2.5. Gaussova metoda ili metoda eliminacije

Gaussova metoda rjesavanja sistema linearnih jednacina je veoma prakticna i efi-

kasna jer je pomocu nje moguce rijesiti svaki sistem od m jednacina s n nepoznatih.

Sustina ove metode je u tome da se sistem svede na ekvivalentni trokutasti oblik, tj. da

se u svakoj jednacini sistema pocevsi od prve do posljednje broj nepoznatih postepeno

smanjuje da bi se na kraju dobila jednacina s jednom nepoznatom koju je jednostavno

rijesiti.

Neka je dan sistem od m linearnih jednacina s n nepoznatih

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1,

a21x1 + a22x2 + a23x3 + · · ·+ a2nxn = b2,...

am1x1 + am2x2 + am3x3 + · · ·+ amnxn = bm,

gdje su:

aij, i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n koeficijenti sistema,

bi, i = 1, 2, . . . ,m slobodni clanovi,

xi, i = 1, 2, . . . , n nepoznate velicine.

Postupak rjesavanja sistema Gaussovom metodom:

Neka je a11 6= 0 (ili bar jedan koeficijent uz nepoznatu x1 je razlicit od nule). Zatim tu

jednacinu podijelimo s a11, pa cemo dobiti

x1 = −a12a11

x2 −a13a11

x3 − · · · −a1na11

xn +b1a11

.

Dobivenu jednakost za x1 uvrstimo u ostale jednacine, dok prvu prepisemo.

Sistem ce sad imati oblik

a11x1 + a12x2 + · · ·+ a1nxn = b1

(1)a22x2 + · · ·+

(1)a2nxn =

(1)

b2...

(1)am2x2 + · · ·+

(1)amnxn =

(1)

bm,

pritom je

(1)aik = aik −

ai1a11

a1k,(1)

bi = bi −ai1a11

b1, i = 2, 3, . . . ,m k = 2, 3, . . . , n.

Nakon eliminacije nepoznate x1 vrsimo eliminaciju nepoznate x2 i uvrstavamo u trecu,

cetvrtu,..., m-tu jednacinu.

13

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1nxn = b1

(1)a22x2 +

(1)a23x3 + · · ·+

(1)a2nxn =

(1)

b2

(2)a33x3 + · · ·+

(2)a3nxn =

(2)

b3...

(2)am3x3 + · · ·+

(2)amnxn =

(2)

bm,

pritom je

(2)aik =

(1)aik −

(1)ai2(1)a22

,(2)

bi =(1)

b1 −(1)ai2(1)a22

b2, i = 3, 4, . . . ,m k = 3, 4, . . . , n.

Nakon sto smo eliminisali i nepoznatu x2 nastavljamo s eliminacijom nepoznate x3.

Dobijemo sistem oblika

a11x1 + a12x2 + a13x3 + a14x4 + · · ·+ a1nxn = b1

(1)a22x2 +

(1)a23x3 +

(1)a24x4 + · · ·+

(1)a2nxn =

(1)

b2

(2)a33x3 +

(2)a34x4 + · · ·+

(2)a3nxn =

(2)

b3

(3)a44x4 + · · ·+

(3)a4nxn =

(3)

b4...

(3)am4x4 + · · ·+

(3)amnxn =

(3)

bm.

Nastavljajuci navedeni postupak dobit cemo jedan od dva moguca slucaja:

1. Ako slobodni clan nije nula, a koeficijenti u nekoj jednacini iscezavaju onda je

dobijeni, a time i polazni sistem kontradiktoran (nemoguc).

2. Poslije n− 1 koraka eliminacije dobije se sistem

a11x1 + a12x2 + a13x3 + · · ·+ a1kxk + · · ·+ a1nxn = b1

(1)a22x2 +

(1)a23x3 + · · ·+

(1)a2kxk + · · ·+

(1)a2nxn =

(1)

b2

(2)a33x3 + · · ·+

(2)a3kxk + · · ·+

(2)a3nxn =

(2)

b3...

(k−1)akk xk + · · ·+

(k−1)akn xn =

(k−1)

bk...

(n−1)amn xn =

(n−1)

bm .

14

Da bismo dobili trokutasti sistem mora biti ispunjen sljedeci uvjet

a11(1)a22

(2)a33 . . .

(n−1)ann 6= 0.

Gornji indeksi (1), (2), . . . , (n − 1) oznacavaju korak eliminacije u kojem su ti koefici-

jenti dobijeni.

Sistem rjesavamo retrogradno, odnosno iduci odozdo prema gore.

Ako je broj nepoznatih jednak broju jednacina (n = m) sistem ima jedinstveno

rjesenje.

Ako je broj nepoznatih veci od broja jednacina (n > m) sistem ima beskonacno mnogo

rjesenja.

Primjer 10.

Gaussovom metodom rijesiti sistem od 4 linearne jednacine s 4 nepoznate

2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14

4x1 − x2 + 3x3 + x4 = 10

6x1 + 3x2 − x3 + 2x4 = 7

2x1 − 2x2 + 4x3 − 3x4 = 13.

Prvo iz prve jednacine sistema eliminiramo nepoznatu x1

x1 =−4x2 − x3 + x4 + 14

2

i tu vrijednost uvrstimo u preostale tri jednacine sistema.

2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14

44x2 − x3 + x4 + 14

2− x2 + 3x3 + x4 = 10

64x2 − x3 + x4 + 14

2+ 3x2 − x3 + 2x4 = 7

24x2 − x3 + x4 + 14

2− 2x2 + 4x3 − 3x4 = 13

Nakon sredivanja dobijamo sistem

2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14

−9x2 + x3 + 3x4 = −18

−9x2 − 4x3 + 5x4 = −35

−6x2 + 3x3 − 2x4 = −1.

15

Sada iz druge jednacine izrazimo nepoznatu x2 i uvrstimo je u trecu i cetvrtu jednacinu.

x2 =x3 + 3x4 + 18

9

2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14

−9x2 + x3 + 3x4 = −18

−9x3 + 3x4 + 18

9− 4x3 + 5x4 = −35

−6x3 + 3x4 + 18

9+ 3x3 − 2x4 = −1

Dobijamo

2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14

−9x2 + x3 + 3x4 = −18

−5x3 + 2x4 = −17

7x3 − 12x4 = 33.

Iz trece jednacine izrazimo x3 i uvrstimo je u cetvrtu jednacinu.

x3 =2x4 + 17

5

2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14

−9x2 + x3 + 3x4 = −18

−5x3 + 2x4 = −17

72x4 + 17

5− 12x4 = 33

Imamo

2x1 + 4x2 + x3 − x4 = 14

−9x2 + x3 + 3x4 = −18

−5x3 + 2x4 = −17

x4 = −1.

Sistem rjesavamo iduci odozdo prema gore.

Rjesenje sistema je (1, 2, 3,−1).

16

Primjer 11.

Gaussovom metodom rijesiti sistem od 4 jednacine s 5 nepoznatih

x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3

−2x1 + x3 + x4 − 5x5 = −2

x1 + 2x2 − x3 + 6x4 + 5x5 = 3

−x1 − 2x2 + 5x3 − 10x4 − 9x5 = −3.

Iz prve jednacine izrazimo nepoznatu x1 i uvrstimo je u preostale tri jednacine sistema.

x1 = 3− 2x2 − 3x3 − 2x4 − x5

Sada je

x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3

−2(3− 2x2 − 3x3 − 2x4 − x5) + x3 + x4 − 5x5 = −2

3− 2x2 − 3x3 − 2x4 − x5 + 2x2 − x3 + 6x4 + 5x5 = 3

−(3− 2x2 − 3x3 − 2x4 − x5)− 2x2 + 5x3 − 10x4 − 9x5 = −3.

Nakon sredivanja dobijemo

x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3

4x2 + 7x3 + 5x4 − 3x5 = 4

−4x3 + 4x4 + 4x5 = 0

8x3 − 8x4 − 8x5 = 0.

Ako trecu jednacinu podijelimo s −4, a cetvrtu s 8 dobit cemo sistem

x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3

4x2 + 7x3 + 5x4 − 3x5 = 4

x3 − x4 − x5 = 0

x3 − x4 − x5 = 0.

Posto su treca i cetvrta jednacina ekvivalentne jednu jednacinu izostavimo.

x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3

4x2 + 7x3 + 5x4 − 3x5 = 4

x3 − x4 − x5 = 0

17

Radi jednostavnijeg racunanja nastavit cemo s eliminacijom nepoznate x3.

x3 = x4 + x5

Imamo

x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3

x3 − x4 − x5 = 0

4x2 + 7(x4 + x5) + 5x4 − 3x5 = 4.

Sad dobijamo

x1 + 2x2 + 3x3 + 2x4 + x5 = 3

x3 − x4 − x5 = 0

4x2 + 12x4 + 4x5 = 4.

Iz trece jednacine sistema dobijemo x2 = 1− 3x4 − x5.Sistem cemo rjesavati pomocu nepoznatih x4 i x5. Neka je x5 = b, a x4 = a.

Sada imamo

x2 = 1− 3a− b,x3 = a+ b i

x1 = 1 + a− 2b.

Uredena petorka (1+a−2b, 1−3a− b, a+ b, a, b), a, b ∈ R je rjesenje zadanog sistema.

18

Sazetak

Sistem jednacina je sastavljen od dvije ili vise jednacina s dvije ili vise nepoznatih

velicina.

Sisteme jednacina mozemo nazivati kvadratnim ili pravougaonim u zavisnosti od od-

nosa broja jednacina i broja nepoznatih velicina.

Ukoliko sistem ima trivijalno rjesenje u kojem sve nepoznate imaju vrijednost nula,

takav sistem nazivamo homogenim.

Sistem jednacina moze da ima jedno rjesenje, beskonacno mnogo rjesenja ili da nema

rjesenje.

Pri rjesavanju sistema jednacina koristimo se raznim metodama.

Kramerova metoda se temelji na dobijanju rjesenja pomocu Kramerovih formula.

U Kronecker - Capellievoj teoremi koristimo se rangom matrice i u zavisnosti od

njegove vrijednosti do rjesenja dolazimo na razlicite nacine.

Matricna metoda se temelji na formiranju matrice sistema A, matrice nepoznatih

velicina X i matrice slobodnih clanova B. Sistem promatramo u obliku matrica i ma-

tricu nepoznatih velicina dobijemo koristenjem operacija sa matricama.

Metoda transformacija se sastoji u tome da prosirenu matricu sistema Ap elementar-

nim transformacijma svedemo na ekvivalentnu matricu iz koje je jednostavno procitati

rjesenje.

Sustina Gaussove metode je da se sistem svede na ekvivalentni trokutasti oblik, tj.

da se broj nepozntih postepeno smanjuje da bi se na kraju dobila jednacina s jednom

nepoznatom.

19

Literatura

[1] Mehmed Orucevic, Vilma Orucevic: Elementi Algebre, DP Graficar Tuzla

(1991), 205 – 230.

[2] Nevenka Adzic: Matematika 1 , za studente Fakulteta tehnickih nauka, Novi

Sad (2011), 42 – 64.

[3] Branimir Dakic, Neven Elezovic: Matematika 3, dodatak za 3. razred

prirododslovno - matematicke gimnazije, Element (2009), 12 – 15.

21