Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Funkcija prenosa linearnih sistema Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojević Asistent: mr Marko Đogatović

Matematički model. Funkcija prenosa linearnih sistema

Za opisivanje dinamičkog ponašanja linearnih sistema koriste se linearne diferencijalne jednačine sa konstantnim koeficijentima

0 0

n mi j

i ji j

a y t b x t

,

pri čemu je 1na , n m , x t predstavlja ulaz, y t predstavlja izlaz iz sistema. Jednačina koja opisuje dinamičko ponašanje sistema i u kojoj figurišu samo ulaz i izlaz sistema se naziva matematičkim modelom.

Ukoliko zanemarimo početne uslove (tj. pretpostavimo da su jednaki 0), primenom LT dobijamo

0 0

n mi j

i ji j

a s Y s b s X s

Lik izlaza će glasiti

0

0

mj

jj

ni

ii

b sY s X s

a s

,

odnosno,

Y s W s X s ,

gde je W(s) funkcija prenosa koja glasi

10 1 1 0

11 1 0

0

......

mj

j m mj m m

n n ni n

ii

b sY s b s b s b s bW sX s s a s a s aa s

.

Funkcija prenosa sistema je odnos lika izlaza Y(s) i lika ulaza X(s). Simbolički se predstavlja u vidu blok dijagrama na sledeći način

Primer 1. Nacrtati matematički model za prigušivač (amortizer) ako se zanemari uticaj mase pokretnih delova. Za ulaznu veličinu uzeti silu f(t), a za izlaznu veličinu poremećaj klipa x(t). Naći funkciju prenosa sistema. Sili f(t) koja deluje na klip suprotstavlja se sila prigušenja fp(t)

p

dx tf t x t

dt ,

gde je koeficijent prigušenja, koji je proporcionalan viskoznosti tečnosti i površini klipa, a obrnuto proporcionalan površini otvora cilindra. Na osnovu ravnoteže sila važi da je

pf t f t , odnosno dx tf t

dt ili 1x t f t dt

. Obzirom da je

ulaz u sistem sila f t , a izlaz pomeraj x t i prva i druga jednačina će biti matematički model sistema.

Električno kolo analogno datom mehaničkom kolu Hidraulični prigušivač može se zameniti električnim kolom

2

2

1u t i t dtCdu t

i t Cdt

Vidimo da je u suštini hidraulični prigušivač integrator. Kapacitivnost C analogna je koeficijentu prigušenja . Funkcija prenosa

dx tf t

dt

Primenom LT dobija se F s sX s . Odatle se dobija funkcija prenosa

11 1,

X s KW s KF s s s s

(matematički model)

(sistem ovog oblika se naziva integratorskim kolom)

Primer 2. Opisati matematičkim modelom hidraulični prigušivač, ako je masa pokretnih delova uzeta u obzir. Sili f(t) koja deluje na klip suprotstavljaju se sila prigušenja fp(t) i sila inercije fi(t)

2

2i p

d x t dx tf t f t f t mx t x t m

dt dt

gde je koeficijent prigušenja, a m masa pokretnih delova. Primenom LT dobija se 2F s ms X s sX s � .

Deljenjem cele jednačine sa dalje se dobija

21 mF s s X s sX s

�

ulaz: sila f(t) izlaz: pomeraj x(t)

(matematički model)

Usvojimo da je 1K

(pojačanje) i mT

(vremenska kostanta),

dobijamo

2K F s Ts s X s . Iz ove jednačine se dobija funkcija prenosa

2 1

X s K KW sF s Ts s s Ts

.

Primer 3. Opisati matematičkim modelom sistem koji se sastoji od prigušivača sa oprugom, ako zanemarimo uticaj mase. Naći funkciju prenosa sistema. Sili f(t) koja deluje na klip suprotstavljaju se sila prigušenja fp(t) i sila elastičnosti opruge fo(t)

p o

dx tf t f t f t x t kx t kx t

dt

gde je koeficijent prigušenja, a k koeficijent elastičnosti opruge. Ova jednačina je matematički model sistema.

ulaz: sila f(t) izlaz: pomeraj x(t)

Električno kolo analogno datom mehaničkom kolu Ekvivalentno električno kolo datom sistemu bilo bi

1 2u t Ri t u t i 2du ti t C

dt

Odnosno, kada zamenimo drugu jednačinu u prvu

21 2

du tu t RC u t

dt .

Ukoliko usvojimo da je T RC važiće sledeće

21 2

du tu t T u t

dt .

ulaz: napon u1(t) izlaz: napon u2(t)

(matematički model)

Model motora analogan datom mehaničkom kolu Zatim to može biti motor bilo kog tipa (električni, hidraulički, pneumatski, itd.) čije mehaničke karakteristike (zavisnost obrtnog momenta od brzine) mogu da budu prikazane u vidu paralelnih pravih.

Ulazna veličina (x1) ovde je upravljajuće dejstvo kod motora, npr doveden napon kod električnog motora, utrošak tečnosti kod hidrauličnog motora, itd. Izlazna veličina je ugaona brzina . Diferencijalna jednačina kretanja pri momentu opterećenja jednakim nuli biće data u obliku

01 1 1

0M M

d t MJ k x t t k x t k tdt

pri čemu je J ukupni moment inercije doveden na vratilo motora, kM koeficijent proporcionalnosti između pravolinijskog dejstva (x1) i obrtnog momenta M (M=Jd/dt), k1 nagib mehaničke karakteristike, koja je jednaka odnosu momentu puštanja u pogon M0 (pokret) prema brzini praznog hoda 0 pri nekoj vrednosti upravljajućeg dejstva.

Jednačina

1 1M

d tk x t J k t

dt

deljenjem sa k1 svodi se na oblik

1

d tKx t T t

dt

gde je, 1

MkKk

koeficijent prenosa, 0

0

T JM

vremenska konstanta

motora. Vidimo da je ova jednačina analogna mamtematičkom modelu prigušivača.

(matematički model)

Funkcija prenosa Primenom LT na matematički model prigušivača dobijamo F s sX s kX s .

Kada ovu jednačinu podelimo sa k dobijamo

1 F s sX s X sk k

, tj. 1K F s X s Ts , pri čemu je 1K

k i

Tk

Funkcija prenosa će glasiti

(sistem opisan funkcijom prenosa u ovom obliku se naziva kolom inercije prvog reda)

1

X s KW sF s Ts

Primer 4. Opisati linearni mehanički sistem sa jednim stepenom slobode. Naći mehaničku impedansu sistema. Za sistem prikazan na slici, pokretačkoj sili f(t) suprotstavljaju se sila inercije fi(t), sila prigušenja fp(t) i sila elastičnosti opruge fo(t). Stoga je kretanje sistema opisano sledećom jednačinom

2

2

i p of t f t f t f t

d x t dx tm kx t

dt dt

Ukoliko se umesto x t� , kao promenljiva uvede dx t

x tdt

� , gornja

jednačina postaje integro diferencijalna jednačina

dx tf t m x t k x t dt

dt

. (matematički model)

ulaz: sila f(t) izlaz: brzina x(t)

.

Električno kolo analogno datom mehaničkom kolu Ekvivalentno električno kolo datom sistemu biće

Ponašanje ovog kola se opisuje integro-diferencijalnom jednačinom

1di tu t L Ri t i t dt

dt C .

Ove integro-diferencijalne jednačine (za oba sistema) su istog oblika, samo što promenljive, parametri i funkcije koje se u njima pojavljuju imaju različita fizička značenja.

ulaz: napon u(t) izlaz: struja i(t)

Mehaničku impedansu ćemo naći na sledeći način. Nalaženjem LT sledeće jednačine

dx tf t m x t k x t dt

dt

,

dobijamo,

kF s msX s X s X ss

kF s ms X ss

Mehanička impedansa sistema (vodeći računa o električnoj impedansi analognog električnog kola) biće

F s kZ s msX s s

.

Primer 5. Naći funkciju prenosa električnog kola prikazanog na slici.

1

1

in g L

out L

V s R I s R sL I ssC

V s R sL I ssC

ulaz: napon Vin(t) izlaz: napon Vout(t)

i(t)

(matematički model)

1g

in out out

L

RV s V s V s

R sLsC

1

1g L

in out

L

R R sLsCV s V s

R sLsC

Funkcija prenosa glasi

2

2

11

1 1

g L g Lout

in LL

R R sL LCs R R CsV s sCW sV s LCs R CsR sL

sC

Primer 6. Naći funkciju prenosa električnog kola prikazanog na slici.

Korićenjem metode konturnih stuja formiramo integro-diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje električnog kola

11 1 1 2

1 1

22 2 2 1

1 1

2 22

1 1

1 10

1

di tu t L i t dt i t dt

dt C Cdi t

L u t i t dt i t dtdt C C

u t i t dtC

ulaz: napon u1(t) izlaz: napon u2(t)

Laplasovom transformacijom leve i desne strane integro-diferencijalnih jednačina dobijaju se sledeće algebarske jednačine

1 1 1 1 21 1

2 2 2 2 11 1

2 22

1 1 (1)

1 10 (2)

1 (3)

U s L sI s I s I sC s C s

L sI s U s I s I sC s C s

U s I sC s

Matematički model se dobija tako što se likovi struja I1(s) i I2(s) izražavaju preko napona U2(s). Iz jednačine (3) struja I2(s) se izražava preko napona U2(s), a zatim se I2(s) menja u jednačini (2) da bi se I1(s) izrazilo preko U2(s). Dobija se C2*s*u2 + C1*s*u2*(C2*L2*s^2 + 1)

21 2 1 2 2 2

2 2 2

1I s C s C s C L s U t

I s C sU t

.

Ovim jednačinama se I1(s) i I2(s) menja u jednačini (2) i na taj način se dobija matematički model ) 4 2

1 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2( ) 1U s C C L L s C L L C C s U t . Odnosno, funkcija prenosa glasi

24 2

1 1 2 1 2 2 2 1 1 2

1( ) 1

U sW s

U s C C L L s C L L C C s

.

(matematički model)

Primer7. Naći funkciju prenosa električnog kola prikazanog na slici.

Korićenjem metode konturnih stuja formiramo integro-diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje električnog kola

ulaz: napon u1(t) izlaz: napon u3(t)

1 1 1 1 2

3 2 1 1

2 2 2 1

1 1

1

2 10

u t R i t i t dt i t dtC C

u t i t dt R i tC

R i t i t dt i t dtC C

Primenom LT dobijamo

1 1 1 1 2

3 2 1 1

2 2 2 1

1 1 (1)

1 (2)

2 10 (3)

U s R I s I t I sCs Cs

U s I s R I sCs

R I s I s I sCs Cs

Iz (3) dobijamo 1 2 22I s CR s I s

Zamenom u (1)

1 1 2 2 2 2 21 12 2U s R CR s I s CR s I s I s

Cs Cs

1 1 2 2 212 1U s R CR s CR s I s

Cs

Zamenom u (2)

3 2 1 2 21 2U s I s R CR s I s

Cs

3 1 2 21 2U s R CR s I s

Cs

Funkcija prenosa će glasiti

2 21 2

3 1 2 12 2

1 1 2 1 21 2 2

1 2 2 11 2 12 1

R CR sU s R R C s R CsCsW sU s R R C s R R CsR CR s CR s

Cs

.