2do corte limites

8/19/2019 2do Corte Limites

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UDEFA 2014 II 2do CORTE CALCULO I PROF. ROSA BARROSO DE LEÓN. [email protected]

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INTRODUCCIÓN AL CALCULO: En cálculo y sus aplicaciones, se analiza la forma en que varían ciertas cantidades y sestán tienden a valores a valores específicos bajo ciertas condiciones. Estas cantidades a menudo involucran los valoresde ciertas funciones. Para estos análisis vamos a utilizar los conceptos de Derivadas y de Integral Definida.

La definición de derivada viene dada por la definición de Lím ite d e una Fun ción que podemos definir de manera intuitiva

de la siguiente manera: Sea un número real a , contenido en un intervalo abierto y sea una función f definida en todo el

intervalo, excepto, posiblemente en a mismo. Y nos interesa conocer los valores f(x) de la función para un x muycercano a a , pero no necesariamente igual a a. Puede en algunos casos que la función f(a) no esté definida, a no estáen el Dominio de f .

Podemos hacer la siguiente pregunta intuitiva:¿Cuándo x se acerca cada vez más a a (pero x ≠ a), acaso f (x ) se acerca también a un número L?,Si la respuesta es afirmativa decimos que f(x) tiende a L cuando x tiende a a , podemos escribirlo:

lim x a f(x) = L Notación de Límite (1)

Representamos el dominio y la razón de la función f , como puntossobre dos rectas, l y l´ y decimos que f (x ) tiende a L cuando x tiende

a a. No importa como x se acerca a a , puede ser por la derecha (xa+)o por la izquierda (xa-), o por ambas, igualmente no importa comof(x) tienda a L , eso solo depende de la función.

En física, usaremos mucho la definición de límite, y para ilustrarlo analizaremos dos casos típicos

1. Encontrar la recta tangente a una curva en un punto P dado

La curva viene dado por la función f(x), y la recta L toca a la curva en más de unpunto, en P, donde es tangente y en otro punto. Si fuese un círculo, que no es

función, la recta tangente solo lo tocaría en un punto.

Supongamos que tenemos otra recta secante que toca a la curva f(x) en dospuntos, en P y en Q.

La recta LPQ, podemos conocer su pendiente, ya que conocemos dos puntos,m PQ = Pendiente de L PQ

Podemos observar que m es la pendiente de la recta L, que contiene al Punto P. y que Cuando Q tiende a P, lapendiente m PQ tiende a m, y puede tender por la izquierda o por la derecha


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2

Entonces, por la definición de Punto – Pendiente de una rectatenemos:

mPQ = f(x) – f(a)x - a

o lo que es lo mismo, según la definición intuitiva de limite:

(2)

Ej. 1 Si f(x) es igual a x2 y a un número real.

Queremos encontrar

a. Pendiente de la recta tangente en P(a,a2)b. Encontrar la ecuación de la recta anterior conociendo P(3/2, 9/4)

Resp. a. P(a, a2) y Q ( x, x2),tenemos;mPQ = (x

2 – a2) /( x – a),

mPQ = lim xa [(x + a)(x – a)] / ( x – a),

m = lim xa = x + a, cuando xa, tenemos que m = a + a = 2a

b) P(3/2, 9/4), entonces, si a = 3/2, y m = 2a ,

Sustituimos: m= 2 * (3/2) = 6/2 = 3 , sabemos que: y2 – y1 =

m (x2 - x1) == y2 – 9/4 = 3 (x2 – 3/2) ==

0 = 3x – 9/2 + 9/4 – y ==== 3*4x - 4*9/2 +9*4/4 - 4*y ==== 0 = 12x -4y - 9

Ej. 2 Consideremos un problema típico de física, Determinar la velocidad instantánea de un objeto que se desplazasobre una línea recta, Movimiento Rectilíneo,

Resp. Conocemos la formula de velocidad media: v med. = d / t (3)

Vamos a considerar los siguientes factores: Coro y Punto Fijo están distantes 150 km en línea recta, un vehículo sale deCoro a la 1.00pm y llega a Punto Fijo a las 4.00 pm, sustituimos y determinamos la velocidad media

V med. = 150 km / (4 – 1)hora == 50 km/hora

Pero esta información no es suficiente para determinar la velocidad instantánea, o sea en un instante dado, digamos alas 2.30 pm, Sabiendo que a las 2.30 el vehículo esta a 80 km de Coro y a las 2.35 pm esta a 84 km de Coro, podemossustituir y volver a calcular: Distancia = 84 – 80 = 4 km, Tiempo = 2.30 – 2.35 = 5 min = 5/ 60 = 1/12 hora

Vmed(2.35 – 2.30) = 4 km / (1/12) h == 48 km/h

Pero ni aun así, podemos afirmar que esta es la velocidad instantánea, tendríamos que tomar intervalos mas pequeños yrecalcular nuevamente, lo que nos lleva a un cálculo límite de velocidad y tiempo, algo parecido al cálculo de la pendientetangente, que vimos antes. Veamos la siguiente representación grafica tomando el tiempo para cada posición de P sobrela recta L


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Tenemos la func ión Pos ic ión , que evalúa la posición de P para cada instante t , denotada s(t)

Consideraremos los tiempos a y t , donde t se acerca a a, pero t ≠ a, a su vez, la Posición de P con relación a estos

tiempos son s(t) y s(a), así el cambio de posición de P es s(t) – s(a), pero no necesariamente +, puede ser - o cero, ya

que P al tiempo t puede ser a la derecha de a a la izquierda o en a, no es necesariamente la distancia total recorrida por

P en el intervalo de tiempo t y a, ya que no sabemos si P paso y regreso. Tenemos, sustituyendo:

Vmed. =[ s(t) - s(a)] / ( t – a) (4)

(5)

EJ. 3 Un objeto cae verticalmente desde una altura de 512 mtrs, despreciando la friccion del aire, la distancia s(t) del

suelo al objeto a los t seg, viene dada por la sguiente ecuación: s(t) = -16t2 + 512

Calcular la velocidad del objeto a :

a) t= a s. b) t = 2 s. c) cuando el objeto toca el sueloResp. a) Cuando el objeto empieza a caer t= 0 s. así que sustituyendo Tenemos: s(0) = -16(0) + 512 = 512 m

Ahora sustituimos en la formula de Vmedia: Vmed = s(t) – s(a) / t – a == (-16t2 + 512) - (-16a2 + 512) / (t – a)

== -16(t2 – a2) / (t - a) == por definición v(a) = lim xa s(t) – s(a) = -16( t2 – a2) / (t - a) == -16(t – a)(t + a) / (t – a)

t – a

V(a) = -16(t + a), y como antes, cuando ta, y t≠a, decimos que V(a) = -16(a + a) == -32a m/s, el signo indica que baja.

b) V(a) = V(2) = -32(2) = -64 m/s bajando

c) Cuando toca el suelo, tenemos s(t) = -16t2 + 512, = 0 depejamos t, t= √ ( 512/16) == t =√32

t = 4√2, Sustituimos: v(4√2) = -32(4√2) = -128√2 m/s ==≈181 m/s

Definición informal de Límite: Sea a en un intervalo abierto, y sea f una función definida en todo el intervalo,excepto posiblemente en a , y L un número Real. Entonces:

lím x a f(x) = L (6)

Significa que f(x) puede acercarse arbitrariamente L si x se elige suficientemente cercano a a (pero x ≠a)


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La frase f(x) puede acercase a L, significa que |f(x ) - L | se puede hacer tan pequeño como se quiera, escogiendo ax lo suficientemente cercano a a (pero x ≠a)

En las funciones trigonométricas veremos que lim xa sen x / x = 1, x en radianes. Podemos tener la siguiente tabla

Esta tabla puede interpretarse mal,1.- las calculadoras redondean, lleva a pensar que sen x / x = 1 si x esta cercano a 0,lo cual NO ES CIERTO, ya que sen x / x 1, para todo x.2.- No necesariamente sen x / x tiende a 1 para cualquier x que tienda a cero, ya que

solo estamos tomando algunos valores de x, puede ser que senx / x se aleje de x en

esos valores.

Aunque la calculadora es buena para tener una idea del valor de un Límite, NOSirve para Demostrar que el Límite Existe. Para eso es necesario usar la TeoríaMatemática para demostrarlo.

La grafica de la función f(x de la figura muestra un caso en el que el

lím xa f(x) = L. No hace falta ubicar un punto correspondiente a x =a, porque a

tomar el Límite el valor de f(a) No Tiene Ninguna Importancia.

Ejemplo 1: sea f(x) = (x - 9) /√ (x) – 3

a) Calcular limxa f(x)

b) trazar la grafica de f y comprobar gráficamente el límite en la parte de x

Resp.

a) Dom f(x) [0, ) excepto 9, así que racionalizamos:

lím xa f(x) = lím xa (x - 9) /√(x) – 3 === lím x a[ (x – 9) (√(x) + 3) / (√ (x) – 3) (√(x) + 3)]

== lím x a[ (x – 9) (√(x) + 3) /(x – 9)] ,para x – 9 ≠ 0 == lím x a f(x) = lím x a (√(x) + 3)

Para x = 9 == lím xa f(x) = lím x a (√(9) + 3) == 6

b) Al graficar, vemos que para x= 9, la grafica es un “abierto” ya que el punto (9,6) No está en la Grafica. Notamos

que cuando x se acerca a 9 e las abscisas, la grafica f(x) se cerca al número 6 de las ordenadas

Ejemplo 2 Sea f(x) = [ (2x2 -5x + 2) /5x2 – 7x – 6)] Calcular lím x2 f(x),

Resp.Factorizamos: f(x) = (2x -1)(x – 2) / (5x + 3) (x – 2), par a x≠ 2 nos queda:

f(x) = (2x -1/(5x + 3)

Entonces lim x2 = ( 2*2 – 1) / (5*2 + 3) = 3/13


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La función racional f definida por f(x) = 1/x, nos proporciona una idea de que el límite NO EXISTE cuando x 0, sin

embargo, Si existe cuando x es muy cercano a cero, véase la grafica, con x ≠ 0, vemos que la grafica no está

acotada, sino que crece sin frontera, y teniendo de Asíntota Vertical al 0.

Esto nos indica que existe Limite tanto a la derecha como a la izquierda del 0, tenemos por lo tanto los siguientes

Conceptos de Límites:

LÍMITES UNILATERALES

LÍMITE A LA IZQUIERDA

(7)

LÍMITE A LA DERECHA

(8)

TEOREMA DE LÍMITE ( T1 )

Ejemplo 1: f(x) = |x| / x, Calcule: a) Lim x0- f(x) ; b) Lim x0

+ f(x) y c) Lim x0 f(x) grafique


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Resp. Para x = 0 la función NO está definida

Tenemos x 0 |x| = x, entonces; Lim x0+ f(x) = x/x = 1 y x 0 |x| =-(-x), entonces Lim x0

- f(x) = x/-x = - 1

Lim x 0 f(x) = NO EXISTE ya que Lim x 0+ f(x) ≠ Lim x 0

- f(x)

Ejemplo 2: f(x) 2 – x si x 1 y

x2 + 1 si x 1 evaluar para x 1+ y para x 1-

Resp. lim x1+ f(x) = x2 + 1 = 1 +1 = 2 y lim x1

- f(x) = 2 – x = 2 – 1 = 1, ENTONCES lim x1 f(x) NO EXISTE

Definición Formal de límite

(9)

Ejemplo: Comprobar que lim x4 ½ ( 3x – 1) = 11/2

Veamos, según lo anterior 0 (x – 4) , entonces |1/2(3x – 1) – 11/2|

Debemos escoger el que satisfaga, empecemos por buscar las equivalentes de la segunda desigualdad

|1/2(3x – 1) – 11/2| === 1/2|(3x – 1) – 11| ==== |(3x – 1) – 11| 2 ==== |3x – 12| 2

=== |3(x – 4| 2 == (x – 4| 2/3

Hacemos = 2/3 y como 0 (x – 4) , == 0 (x – 4) 2/3 se cumple la última desigualdad equivalente,

Por lo tanto lim x4 ½ ( 3x – 1) = 11/2

Ejercicios: demuestre que el límite existe o No

Resp: 1.- 0 |x - 4| ; |3x –12| === 3|x –4| === |x –4| 1/3 = si = 1/3 = == Se cumple

7.- 0 |x - 3| ; |5 - 5| ==== 0 ==haciendo = y |x - 4| y 0 |x – 4 tenemos que 0

Definición Alterna de límite

(10)


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A veces es conveniente usar esta definición alterna con intervalos abiertos

Para demostrar si el límite existe o no

Ejemplo: lim xa x2 = a2

Resp. de acuerdo a la D.A.L., (a - , a + ) y (a2 - , a2 + ). Al trazar dos rectas horizontales por las ordenadas

obtenemos: y = a

2

-

, y = a

2

-

y estas rectas cortan a la función en dos puntos que corresponderían a :√(a2 - ) y √(a2 + ) , entonces √(a2 - ) x √(a2 + ) y por lo tanto (a2 - ) x2 (a2 + )

PROPIEDADES DE LÍMITES

1. EL LIMITE DE UNA CONSTANTE C , para cualquier número real a, es siempre la misma constante, C:

(11) Lim x a C = C, vea los ejercicios 7 y 8 anteriores y su demostración

2. EL LIMITE DE LA FUNCION IDENTIDAD: El límite de una función lineal f dada por f(x), la cual es la grafica

y= x , f(x) tiende a a cuando x tiende a a

(11) Lim x a x = a

TEOREMA 2 (T2) LIMITE DE LA FUNCION LINEAL: Lim x a (mx + b) = ma + bpara cualquier número real a, m y b

Demostrémoslo: 0 |x - a| ; |x –a| si hacemos = se cumple

Ejemplos: 1.- lim x√

2 X = √2, 2.- lim x 4

X = -4 por definición 11

3.- lim x6 (9 – x) = 8 DONDE b= 9 y m= -1/6 entonces (-1/6) * 6 +9 = 8 por T26

OPERACIONES CON LÍMITES: TEOREMA 3 (T3)


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Ejempos:

Resp.: ( lim x2 3x + 4) ==== (3*2 + 4) == 10(lim x2 5x + 7) (5*2 + 7) 17

TEOREMA 4

TEOREMA 5

TEOREMA 6 (T6) Si a es un numero real deferente de cero (0), entonces lim x a 1 = 1 X a

Ejemplo:

Calcular lim x 8 ( x2/3 + 3√x) = lim x 8 ( x

2/3 + 3√x) = lim x 8 ( x2/3) + lim x 8 (3√x) = 8

2/3 + 3* √8 = 4 +3*4√24 – 16 /x lim x 8 (4 – 16/x) lim x 8 ( 4 ) – lim x 8 (16/x) ( 4 – 16/8) 4 – 2

== 4 + 6√2 == 2 + 3√22

Ejemplo:

Resp.:

TEOREMA 7

DE LA INTERCALACION DE

FUNCIONES


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LIMITES EQUIVALENTES

TEOREMA 8 (T8) lim x a f(x) = L sii [ lim x a [ f(x) - L ] = 0

TEOREMA 9 (T9) lim x a f(x) = L sii [ lim t 0 f(t - a) ] = L

TEOREMA 10 (T10) TEOREMA DE LA UNICIDAD : Si el límite de una función existe, el Límite es único

SI lim x a f(x) = L1 y lim x a f(x) = L2, entonces L1 = L2

LIMITES AL INFINITO

Teorema 11

Ejemplo:

Lim x 0 3 = + X2

TEOREMA 12

Ejemplo:

Lim x 0 -3 = - X2

TEOREMA 13

Ejemplo:

Lim x 0+

3 = + y Lim x 0- 3 = +

X

3

X

4

Lim x 0+

3 = - y Lim x 0- 3 = +

X3 X4


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TEOREMA 14

Ejemplo:

Lim x 1- 2x = -

x - 1

Lim x 1+ 2x = +

X - 1

TEOREMA 15

Ejemplo:

Lim x2+ 1 = + y

X - 2Lim x2

+ 1 = 4X + 2

Entonces:

Lim x2+ 1 + 1 = +

X – 2 X + 2

TEOREMA 16

Ejemplo:

Lim x3+ 1 = + y(x – 3)2

Lim x3+ x + 4 = -7

x - 4entonces:

Lim x3+ 1 * x + 4 = - (x – 3)2 x - 4


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TEOREMA 17

Ejemplo:

TEOREMA 18

Ejemplo:

Por lo tanto, 3 es la asíntota vertical de la función.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓNEN UN PUNTO.

Ejemplo 1:

Nótese que en x =

10 la grafica de la función sufre una Discont inuidad ya que el

lím x10+ ≠ lím x10

-

Por lo tanto:

Podemos decir que C(x) es Discontinua en 10

Ejemplo 2: Analicemos la siguiente función:


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Vemos, la f(x) no cumple con la tercera condición, por lo tanto es Discont inúa Removible , ya que si hacemos f(x) =5 cuando x= 1, la discontinuidad se remueve y la función pasa a ser Continúa

Ejemplo 3: Analicemos la siguiente Función:

Vemos que en x = 2 hay una Asíntota Vertical, No existe el límite, por lo tanto no secumple la segunda condición. Así que la función es Disco ntinúa Infin i ta en el Punto x = 2 y también DiscontinúaEsencial , ya que no puede ser removida

Ejemplo 4: Dada la siguiente Función y su grafica, analicemos:

La Discont inu idad es Esencial y también llamada Discont inuidad d e Sal to

TEOREMAS DE CONTINUIDAD

T 1

T2

Ejemplo: Analizamos lím x 3 f(x)

lím x 3 f(x)= 33 -2 * 32 + 5*3 + 1 = 25, La función es Continua, y en particular en el punto 3 que se analizó.

T 3


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Ejemplo: Analicemos la siguiente función racional.

Como el Dominio de la función son todos los números reales, excepto el ± 3, decimos por T3 es Continúa en todolos números Reales excepto el ± 3

Ejemplo: analicemos ahora esta función:

f(x) tiene una Discont inuid ad de Sal to , pero como es unPolinomio, decimos que es continúa en todos los númerosreales excepto el ±1

T 4Ejemplo:i) f(x) =3

√x es continua en todo

número real

ii) f(x) =

√

x, es continua en

todo número Real 0

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

(T1) Límite de una funcion compuesta

(T2) Continuidad de una Función

Compuesta

Ejemplo: Sean f(x) = √x, y g(x) = 4 - x2,

entonces (f o g)(x) = f(g(x)) = f(4 – x2) = (f o g)(x) = √(4 – x

2)

Ahora vamos a determinar, analíticamente, donde la función resultante es continua:

1.- g(x) = 4 - x2, es continua en todo los números Reales, y Lim x a g(x) = 4 – a2, para todo R

2.- f(x) = √x es continua para todo número Real 0, lím x a f(x) = √a, siempre que a 0

Entonces: (f o g)(x) = √(4 – x2) es continua siempre que (4 – x2) 0 x ± 2,, Intervalo (-2 , 2)


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Y Lim x a= (f o g)(x)= √(4 – a2), para todo -2 a 2

(T3) Continuidad en un Intervalo Abierto

(T4) Continuidad por la Derecha

(T5) Continuidad por la Izquierda

(T6) Continuidad de Intervalo Cerrado

Ejemplo: Analicemos Analíticamente el ejemplo anterior, vamos a demostrar si existe límite.

Recordemos que: Lim x 2 = (f o g)(x) = √(4 – 22) = 0, y

También que el dominio de (f o g)(x)= √(4 – a2) es (-2, 2)

Lim x -2+ = (f o g)(x)= √(4 – a

2) = 0, Lim x 2- = (f o g)(x)= √(4 – a

2) = 0

en donde (f o g)(-2) = 0 , en donde (f o g)(2) = 0

Así, hemos demostrado analíticamente que (f o g)(x)= es continua en todo el intervalo cerrado [-2, 2]

(T7) Continuidad de Intervalo Semi abierto

Ejemplo: Determine el intervalo o intervalos Donde la función es comtinua

Resp. Primero veamos donde no es continua la función:

no hay función en : x = 3, Asíntota vertical, y en (25 – x2) 0 x ± 5 no hay función. Asi que el dominio de la función será: [-5, 3) U (3, 5]


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Segundo: analicemos los límites laterales

Lim x -5+ = (f)(x) = 0, Lim x 5

- = (f)(x) = 0

en donde (f)(5) = 0 , en donde (f)(5) = 0

Así, hemos demostrado analíticamente que (f)(x)= es continua en todo el intervalo cerrado [-5, 3) U (3, 5]

LIMITES TRIGONOMETRICOS (1)

Ejemplo 1 :

Resp que. Vamos a factorizar:

Sabemos por trigonometría que la Identidad fundamental es

Asi que

Ejemplo 2:

Resp.:


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Ejemplo 2: calcule, analíticamente el lím x0 de f(x)

lím x0 = lím x0 (3/3)(1/x)Sen 3x = lím x0 (3 Sen 3x)/ 3x = 3 lím x0 Sen 3x/3x = 3*1 = 3 = 0.6

(5/5)(1/x) Sen 5x (5 Sen 5x)/ 5x 5 lím x0 Sen 5x/5x 5*1 5

por Teorema 1: Lim x 0 Sen x/ x = 1 == Lim 3x 0 Sen 3x/ 3x = 1 Y Lim 5x 0 Sen 5x/ 5x = 1

TEORAMA 2

TEORAMA 3

2do corte limites

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