49

Tema 15 MIŞCAREA RECTILINIE UNIFORMĂ Conform principiului I al dinamicii, un corp se va mişca rectiliniu şi uniform, dacă asupra lui nu acţionează forţe sau dacă acestea îşi fac echilibru:

!Fk∑ = 0 ; a=0 ; v=ct.

În acest caz viteza medie coincide cu viteza momentană. Considerând un mobil ce execută o mişcare rectilinie uniformă şi ataşând un sistem de referinţă cu o singură axă Ox

Coordonatele mobilului la diverse momente, se pot calcula cu ajutorul ecuaţiei coordonatei pentru mişcarea uniformă:

x-x0=v(t-t0) sau

Ecuaţia coordonatei (spaţiului) este o ecuaţie liniară ce poate fi redată de unul din graficele următoare:

PROBLEME 1) Să se scrie ecuaţiile mişcărilor reprezentate în figura următoare: 2) Ecuaţiile mişcărilor a doi biciclişti sunt: x1=1.t şi x2=20-4.t Să se reprezinte grafic ecuaţiile şi să se dea semnificaţia punctului de intersecţie al graficelor respective. R: t=4s; x=4m

O A Bxx x

t too

x=x0+v.t

x

to

x

to

x

to

x

to

2

4

1 2 3

50

3) Ecuaţiile mişcărilor a două mobile sunt: x1=6+t şi x2=2+2t. Să se construiască graficele şi să se afle locul şi momentul întâlnirii lor. R: t=4s; x=10m 4) Două maşini se deplasează una spre cealaltă cu vitezele v1=72km/h şi v2=36km/h, plecând din două oraşe situate la distanţa d=60km. Unde şi după cât timp se vor întâlni cele două maşini, care este viteza lor relativă în acel moment? R: x1=40km 5) Un mobil se mişcă uniform cu viteza v1=6m/s, altul pleacă după el cu viteza v2=10m/s în întârziere cu τ=10s. Unde şi după cât timp îl va ajunge pe primul? R: t=25s; x=150m 6) Două mobile situate la d=10m pornesc simultan în acelaşi sens cu vitezele v1=10m/s şi v2=6m/s. Unde şi după cât timp primul mobil îl ajunge din urmă pe cel de-al doilea? R: t=2,5s; x1=25m 7) O barcă cu motor mişcându-se împotriva sensului de curgere al unui râu parcurge distanţa d=9km în timpul t1=30min. În cât timp va parcurge aceeaşi distanţă înapoi, dacă viteza de curgere a râului este vr=6km/h? R: t2=18min 8) O şalupă parcurge distanţa dintre două porturi în t1=1h iar înapoi în t2=2h. Care este viteza de curgere a râului dacă viteza bărcii faţă de apă este vb=6km/h? R: vr=2km/h 9) Din două oraşe situate la distanţa d=6km pleacă două autobuze unul spre celălalt cu vitezele v1=18km/h şi v2=36km/h. Un porumbel zboară de la un autobuz la celălalt mereu cu o viteză v3=40m/s, până când cele două autobuze se întâlnesc. Ce spaţiu parcurge porumbelul în acest timp? R: s=16km 10) Un câine vede o pisică la distanţa d=10m şi aleargă după ea cu viteza v1=3m/s astfel încât o prinde după 10s. Ce viteză a avut pisica?

51

R: v2=2m/s 11) Două trenuri cu lungimile "1=120m şi "2=90m se mişcă în sensuri opuse cu vitezele v1=20m/s şi v2=10m/s. Cât timp mecanicul primului tren vede cel de-al doilea tren? Cât timp trenurile trec unul pe lângă celălalt? R: t1=3s; t2=7s Tema 16

MIŞCAREA RECTILINIE UNIFORM VARIATĂ Principiul al II-lea al dinamicii precizeză că o forţă F neechilibrată, va imprima unui corp o acceleraţie a=F/m . Dacă forţa F este constantă rezultă că acceleraţia a este şi ea constantă în timp, iar viteza se va modifica uniform în timp (creşte sau

descreşte). Din formula de definiţie acceleraţiei : a=∆v/∆t sau a=(v-v0)/(t-t0) rezultă: v=v0+a(t-t0) sau dacă momentul iniţial este t0=0 ecuaţia devine: v v a t= +0 . denumită ecuaţia vitezei în mişcarea uniform variată (a=ct.) Reprezentarea grafică a acestei ecuaţii v=f(t) este o dreaptă ce are panta egală cu valoarea acceleraţiei (pozitivă sau negativă).

Întrucât variaţia vitezei se face uniform, se poate considera că viteza medie este egală cu media vitezelor pe spaţiul analizat AB:

vm=∆x/∆t sau vm=(v1+v2)/2 de unde, folosind şi ecuaţia vitezei, rezultă:

x x v ta t

= + +0 0

2

2.

.

O A Bxx x

t too

v vo

to to to

v v v

voa o

a o

52

ce reprezintă legea mişcării sau ecuaţia coordonatei în mişcarea variată. Reprezentarea grafică a coordonatei x=f(t) este un arc de parabolă:

Din combinarea ecuaţiei vitezei cu ecuaţia coordonatei, prin eliminarea timpului t , se obţine următoarea ecuaţie: )xx(a2vv 0

20

2 −+= denumită ecuaţia lui Galilei. PROBLEME 1) Trenul unui metrou dezvoltă o acceleraţie a=2m/s2. În cât timp acest tren atinge viteza de regim v=72km/h ? R: t=10s 2) Un mobil, mişcându-se cu acceleraţia a=2m/s2, a parcurs distanţa d=100m în timpul t=5s. Care a fost viteza iniţială? R: v0=15m/s 3) Ce distanţă a parcurs un automobil în timp ce viteza sa a crescut de la v1=6m/s la v2=16m/s dacă s-a mişcat cu acceleraţia a=2m/s2 ? R: s=55m 4) Un tren frânează cu acceleraţia de 0,5m/s2 şi după t=40s se opreşte. Care a fost viteza iniţială şi ce distanţă a parcurs până la oprire? R: v0=20m/s; s=400m 5) Un vagon, desprins de tren, a parcurs o distanţă de 720m în timpul t=2min până la oprire. Care a fost viteza iniţială şi acceleraţia mişcării? R: v0=12m/s; a=−0,1m/s2 6) Peste un scripete ideal este trecut un fir cu două corpuri la capete de mase m1=8kg şi m2=12kg, aflate la acelaşi nivel. După cât timp diferenţa de nivel dintre corpuri devine h=8cm? R: t=0,2s

to to toto

x x x x

a o a o

a o a o

53

7) Un corp porneşte din repaus într-o mişcare uniform accelerată şi parcurge un drum d1=6m, după care merge uniform încetinit distanţa d2=4m până la oprire. Ştiind că timpul total al mişcării a fost t=10s, să se calculeze acceleraţiile în cele două mişcări. R: a1=0,33m/s2; a2=−0,5m/s2 8) Dintr-un punct pornesc, pe aceeaşi direcţie, două mobile cu vitezele iniţiale v01=2m/s şi v02=12m/s cu aceeaşi acceleraţie, la un interval de timp τ=10s. Cât trebuie să fie acceleraţia mobilelor pentru ca să fie posibilă reântâlnirea lor? R: a>-1m/s2, a<−2,4m/s2 9) Un corp porneşte din repaus într-o mişcare rectilinie cu acceleraţia constantă. Să se determine raportul dintre spaţiul parcurs în secunda a n-a şi cel parcurs în a 2n-a secundă. R: (2n-1)/(4n-1)

54

10) Cunoscând graficul de evoluţie al vitezei unui mobil să se determine:

a) acceleraţiile pe cele trei porţiuni; b) spaţiile parcurse pe cele trei porţiuni; c) ecuaţia coordonatei pe porţiunea a treia.

R: 2m/s2; 0m/s2; -2m/s2; 8m; 6m; 9m; x(t)=-t2+14t-26 11) Un corp lunecă pe un plan înclinat de unghi α=450, după legea x=c.t2, unde c=2,45m/s2. Care este valoarea coeficientului de frecare? R: µ=0,3 12) De pe un deal, de înălţime h=8m şi lungime "=16m, coboară o săniuţă care se opreşte după ce mai parcurge, pe un drum orizontal, distanţa d=35m. Care este valoarea coeficientului de frecare? R: µ=0,16 13) Din vârful unui plan înclinat, cu α=300 şi lungimea "=2m, se lasă să lunece un corp fără viteză inţială. Când ajunge la bază îşi continuă mişcarea pe orizontală până la oprire. Cu ce viteză ajunge la baza planului şi ce distanţă parcurge pe orizontală până la oprire, dacă µ=0,1? R: v=4,06m/s; s=8,24m 14) De la baza unui plan înclinat cu α=300, se lansează, pe plan, un corp, care la întoarcere are viteza egală cu jumătate din valoarea vitezei iniţiale. Care este valoarea coeficientului de frecare pe plan? R: µ=0,35

v(m/s)

t(s)2

4

6

2 4 6 80

55

ARUNCAREA VERTICALĂ Un corp lansat de jos în sus cu o viteză iniţială v0 , se va mişca sub influenţa greutăţii, încât dacă nu intervin alte forţe, el va avea o mişcare încetinită până ajunge la o înălţime maximă, unde viteza lui devine nulă. Acceleraţia impusă de forţa gravitaţională va fi a=−g. Legile de mişcare pentru un astfel de corp vor fi: v=v0−gt şi Pe baza acestor ecuaţii se poate calcula înălţimea maximă H şi timpul de urcare tu , ţinând cont că sus v=0 iar y=H: CĂDEREA LIBERĂ Lăsând să cadă, liber, un corp de la o înălţime H, acesta va executa o mişcare accelerată sub acţiunea greutăţii, cu acceleraţia a=g în sens opus axei Oy. Ţinând cont de convenţia de semne a vitezei şi a acceleraţi- ei, se pot scrie ecuaţiile mişcării: −v=−gt sau v=gt ecuaţia vitezei

iar y Hgt

= −2

2 ecuaţia coordonatei

şi v2=2g(H-y) ecuaţia lui Galilei Cu ajutorul acestor ecuaţii se poate determina viteza de cădere şi timpul de cădere al corpului: Aruncarea verticală de jos în sus este o mişcare dublă formată dintr-o urcare urmată de o cădere de la înălţimea maximă H la care a ajuns corpul

y v tgt

= −0

2

2 v v gy= −0

2 2

t =vg

ş i H =v2gu

0 02

vt

y

y

Hg

G

v tc c= =2 2gH H g/

y

v

v0

t

56

Se poate demonstra cu uşurinţă că : tu=tc , vc=v0 sau că viteza corpului când trece prin acelaşi punct are aceeaşi valoare. ARUNCAREA ORIZONTALĂ De la înălţimea H se lansează, pe o direcţie orizontală, un corp cu viteza iniţială v0. Mişcarea va fi compusă pe două direcţii: pe direcţia Ox în absenţa forţelor mişcarea este uniformă iar pe Oy sub acţiunea greutăţii este uniform accelerată (cădere liberă) Ecuaţiile de mişcare sunt: de unde Această ecuaţie este a unei parabole y=f(x2). Când corpul ajunge la sol, x este maxim şi se numeşte bătaie: y=0; x=b deci Timpul de zbor tz al corpului se deduce din ecuaţia ordonatei punând condiţia ca y=0: Din această expresie se vede că timpul de zbor depinde doar de înălţimea de la care este lansat corpul, fără ca să depindă de viteza de lansare. Viteza cu care ajunge corpul la sol are două componente: una orizontală egală cu viteza de lansare vx=v0 , alta verticală vy realizată de influenţa câmpului gravitaţional: Astfel, viteza de cădere se poate calcula cu următoarea expresie: Unghiul sub care se face căderea corpului depinde de viteza de lansare vc şi de înălţimea de la care este lansat corpul:

voy

H

b

x v t

y H gt=

= −

0

2

2

y H gv

x= −2 0

22

b vHg

= 02

tHgz =

2

v gHy = 2

v v gHc = +02 2

57

unde α este unghiul măsurat faţă de orizontală a direcţiei de cădere la sol a corpului. ARUNCAREA OBLICĂ Prin aruncarea unui corp cu viteza iniţială v0 sub un unghi α faţă de orizontală, acesta va efectua o mişcare compusă: -pe axa Ox o mişcare uniformă în absenţa forţelor, -pe axa Oy o mişcare verticală de jos în sus, în pre- zenţa forţei gravitaţionale G. Componentele vitezelor sunt: vox=vocosα voy=vosinα Ecuaţiile care descriu mişcarea compusă, pe cele două axe sunt:

x=vot.cosα şi y v t.gt

= −0

2

2sin α

Prin substituirea variabilei timp t din cele două ecuaţii se obţine :

222

0

xcosv2gtg.xy

α−α=

care este ecuaţia unei parabole ce descrie forma traiectoriei parcursă. Punând condiţiile extreme pentru această mişcare, se obţin următoarele:

tv

g

Hv

g

bv

g

z =

=

=

2

22

0

02 2

02

sin

sin

sin

α

α

α

Bătaia unei aruncări oblice este maximă atunci când unghiul de lansare are valoarea de 45o.

tggH

vα =

2

0

H

b

y

xvo

58

PROBLEME 1) Un corp aruncat vertical în sus, revine la sol după un timp t=2s. Care a fost viteza iniţială de lansare şi la ce înălţime maximă urcă corpul? R: v0=10m/s; H=5m 2) Ce viteză are un corp la înălţimea h=10m dacă a fost lansat în sus cu viteza iniţială v0=20m/s ? R: v=±14m/s 3) De la înălţimea H=10m cade liber un corp. În acelaşi timp este aruncat vertical, de jos în sus, alt corp cu v02=10m/s. După cât timp şi la ce înălţime se vor întâlni corpurile? R: t=1s; y=5m 4) Din acelaşi loc sunt aruncate în sus două corpuri ce au vitezele v01=60m/s şi v02=30m/s la un interval de timp τ=6s. După cât timp şi la ce înălţime se vor întâlni corpurile? R: t=12s; h=0 5) Un corp cade liber de la o înălţime H=4,9m şi în acelaşi timp este aruncat în sus altul de la h=2,9m, încât ajung simultan la sol. Ce viteză iniţială are al doilea corp? R: v02=2m/s 6) Dintr-un turn se lasă să cadă liber două corpuri la un interval de timp τ Care este legea de mişcare relativă a celor două corpuri? R: sr=10τt-5τ2 7) Dintr-un avion care zboară la H=800m cu v=70m/s se lasă să cadă un colet. Care va fi distanţa dintre locul căderii coletului şi piciorul verticalei coborâtă din locul în care se află avionul în acel moment? R: x=0 8) Un corp aruncat vertical în sus ajunge la înălţimea maximă H=19,6m. După cât timp revine pe pământ? R: t=4s

59

9) De la înălţimea h=117,7m cade o piatră dintr-un aerostat care urcă cu viteza v0=9,8m/s. Să se calculeze viteza cu care ajunge piatra la sol şi timpul necesar mişcării. R: vc=49m/s; t=6s 10) Să se afle înălţimea H de la care cade liber un corp şi durata mişcării sale ştiind că în ultima secundă strabate un spaţiu s=0,19H. R: H=490m; t=10s 11) De la înălţimea H=225m cad liber două corpuri unul după altul. Al doilea începe să cadă după ce primul a parcurs 16m. Să se calculeze distanţa dintre corpuri în momentul când primul a ajuns la sol. R: d=104m 12) Două corpuri sunt aruncate vertical în sus cu aceeaşi viteză iniţială v0=19,6m/s la un interval de timp τ=2s unul după altul. După cât timp se vor întâlni? Să se reprezinte graficele mişcărilor celor două corpuri. R: t=3s 13) Un corp cade liber de la înălţimea H1=10m. În acelaşi moment un alt corp este aruncat vertical în sus de la o înălţime H2=20m. Calculaţi viteza iniţială a celui de-al doilea corp dacă ambele corpuri ajung simultan la sol. R: v02=7m/s 14) De la baza unui plan înclinat cu α=300 şi lungimea "=10m se lansează cu v0=20m/s un corp care freacă cu µ=0,1. Din vârful planului se mişcă prin aer până la sol. Să se calculeze : a) viteza în vârful planului; b) înălţimea maximă faţă de sol; c) timpul total de mişcare; d) viteza cu care ajunge la sol. R: v=16,8m/s; H=8,5m; tz=2,7s; vc=19,5m/s

60

CĂDEREA LIBERĂ DETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE

Studiul căderii libere a corpurilor se face prin măsurarea timpului necesar mişcării pe verticală a unui corp şi a distanţei parcurse de acel corp. Se poate arăta că raportul dintre spaţiul parcurs şi timpul necesar s/t nu este constant. Din rapoartele s/t2 se vede că acestea sunt aproximativ constante, deci căderea liberă este o mişcare accelerată.

nr h(m) t(s) s/t s/t2 a(m/s2) 1 0,70 0,378 1,851 4,899 9,798 2 0,80 0,404 1,980 4,901 9,802 3 0,90 0,428 2,102 4,913 9,826 4 1,00 0,452 2,212 4,894 9,789 5 1,10 0,474 2,320 4,896 9,792 6 1,20 0,494 2,429 4,917 9,834 7 1,30 0,515 2,524 4,901 9,802

Pe baza acestor determinări se pot face următoarele interpretări: - împrăştierea rezultatelor (erori) - abaterile de la valoarea medie - calculul abaterii medii pătratice - scrierea rezultatelor finale: g=9,806±0,016m/s2 - studierea unei mişcări (uniformă sau variată) .

g=9,806m/s2

61

Tema 17 MIŞCAREA CIRCULARĂ

Dacă un corp este supus unei forţe F , constantă, cu orientarea perpendiculară pe vectorul viteză v , atunci traiectoria pe care se mişcă el este o circumferinţă iar el parcurge arce de cerc egale în intervale de timp egale. Astfel de mişcare se numeşte mişcare circulară uniformă. Elementele mişcării: 1) Perioada T este timpul în care mobilul parcurge o circumferinţă completă. Mişcarea circulară este o mişcare periodică, deci se repetă după un interval de timp , bine precizat:

T=t/n <T>SI=s

2) Frecvenţa ν (turaţia) reprezintă numărul de circumferinţe, complete, parcurse în unitatea de timp: υ=n/t <υ>SI=s-1 (Hz) Între frecvenţă şi perioadă este uşor de observat că există relaţia: υ=1/T 3) Viteza periferică v este viteza cu care un mobil se deplasează pe circumferinţă. Deoarece orientarea ei este tangentă la circumferinţă, ea se mai numeşte şi viteză tangenţială. v=AB/t Pentru o circumferinţă completă arcul de cerc AB este egal cu lungimea cercului AB=2πR, iar timpul necesar este egal cu o perioadă t=T, astfel formula vitezei devine: sau v=2πRυ 4) Viteza unghiulară ω arată cât de repede sunt descrise unghiurile la centru de către raza vectoare. Viteza unghiulară este reprezentată printr-un vector perpendicular pe planul circumferinţei. Valoarea vitezei unghiulare este : ω=α/t <ω>SI=rad/s Se pot deduce uşor şi alte formule de calcul pentru viteza unghiulară:

ω=2π/T sau ω=2πυ

A

B

C

D

EF

vA

B

T

R2=v π

vϖ

α

62

Sensul vectorului viteză unghiulară !ω se poate deduce cu ajutorul

regulii burghiului sau a mâinii drepte, orientarea fiind perpendiculară pe cerc. Între viteza unghiulară şi viteza periferică se poate deduce relaţia : v=ω.R 5) Accelaraţia centripetă ac este rezultatul acţiunii forţei centrale Fc şi se calculează pe baza formulei de definiţie a acceleraţiei : a=∆v/∆t. Astfel, expresia de calcul a acceleraţiei centripete este: Orientarea vectorului acceleraţie centripetă este dată de orientarea forţei centripete: spre centrul cercului parcurs de corp. 6) Forţa centripetă Fc este forţa necesară pentru a menţine un corp într-o mişcare circulară. Această forţă este centrală şi modifică mereu direcţia vectorului viteză, determinând apariţia acceleraţiei centripete. Fc=mω2R Forţa centripetă este o forţă centrală de legătură a corpului, ea poate fi o forţă elastică, gravitaţională, electrică etc. 7) Forţa centrifugă Fcf Pe un disc ce se poate roti în jurul unui ax, este aşezat un corp, legat de ax prin intermediul unui dinamometru. În timpul rotirii discului, observatorul de pe disc pune în evidenţă, cu ajutorul dinamometrului, o forţă F. Apare o nedumerire din partea observatorului: deşi asupra corpului acţionează o forţă totuşi corpul nu se mişcă pe disc. Pentru a rezolva dilema, observatorul ataşează corpului o forţă Fcf , complementară forţei F, pe care o numeşte forţă centrifugă. Forţa centrifugă (de inerţie) Fcf echilibrează forţa F în interiorul sistemului de referinţă (disc) încât, corpul este în echilibru şi repaus faţă de acesta. Ce se va întâmpla decă se va rupe legătura corpului cu axul? Faţă de observator, corpul se va îndepărta, deoarece el nu mai este în echilibru, singura forţă care rămâne, în acel moment, este forţa centrifugă de inerţie şi are ca efect îndepărtarea corpului faţă de axul de rotaţie. Aplicaţii-implicaţii: • separatorul centrifugal

oac

Fc

a

vR

R= =2

2 24π ν

FD

63

• storcătorul de rufe • regulatorul centrifugal • înclinarea şoselelor în curbe • turtirea pământului la poli • zidul curajului PROBLEME 1) În mişcarea diurnă a Pământului, să se calculeze viteza şi acceleraţia centripetă a unui corp de pe Pământ, aflat la latitudinea de 450. R: v=1172km/h 2) Cât trebuie să fie durata unei zile terestre, pentru ca la ecuator corpurile să nu aibă greutate? R: T=85min 3) O halteră formată din două bile identice, legate printr-o tijă subţire, de lungime "=0,8m şi masă neglijabilă, cade în poziţie orizontală de la înălţimea h=1m, după care una din bile loveşte perfect elastic marginea unei mese. Ce distanţă parcurge haltera de la ciocnire până când a doua bilă loveşte partea verticală, laterală, a mesei? R: d=π"/2+π2"2/16h=1,6m 4) Calculaţi distanţa de la Pământ la Lună cunoscând că perioada de rotaţie a Lunii este aproximativ 28 zile. R: d=390.000km 5) La ce înălţime este situat un satelit geostaţionar pentru telecomunicaţii R: h=35.600km 6) Un corp cu masa m=1kg este legat de un fir cu lungimea "=0,4m. Celălalt capăt al firului este fixat în mijlocul unei mese orizontale. Cât va fi tensiunea în fir dacă corpul descrie o mişcare circulară cu v=2m/s? R: T=10N

64

7) Lungimea firului unui pendul conic este "=1m. Cât este raza cercului descris de corp pentru o viteză a acestuia v=7m/s? Cum depinde unghiul conului de masa corpului? R: r=0,7m 8) O găleată este mişcată pe un cerc în plan vertical, cu raza R=1m. Care este frecvenţa minimă de rotaţie, pentru ca apa din găleată să nu cadă? R: υ=0,5rot/s 9) Pe un disc de pickup este aşezată o monedă. Cunoscând coeficientul de frecare µ=0,3 şi că discul face n=36rot/min, să se calculeze la ce distanţă maximă, faţă de centru, poate fi aşezată moneda astfel încât ea să nu lunece pe disc în timpul rotaţiei? R: x=20cm 10) Cu ce turaţie minimă trebuie rotit un cilindru, de rază R=1m, în jurul axei sale verticale, pentru ca un corp aşezat pe peretele interior al cilindrului, să rămână în repaus faţă de cilindru (µ=0,25)? R: υ=1rot/s 11) Pe suprafaţa interioară a unei pâlnii este aşezat un corp. Cunoscând unghiul conului 2α=900, raza R=20cm, coeficientul de frecare µ=0,2 , să se calculeze turaţia maximă a pâlniei în jurul axei sale pentru ca, corpul să nu fie aruncat din pâlnie în timpul rotaţiei?

R: )1(R)1(g

µ−µ+≤ω

12) Un camion face un viraj de rază R=100m cu viteza v=54km/h. Care trebuie să fie coeficientul de frecare minim pentru ca el să nu derapeze? R: µ≥v2/Rg=0,23

65

13) Un pendul conic dublu are cele două fire de aceeaşi lungime "=0,4m , unul în prelungirea celuilalt, care formează cu verticala unghiurile α=600 şi β=450, având masele egale. Să se afle viteza unghiulară de rotaţie a axului.

R: ( ) srad95,3

sinsintg.g =

β+αβ=ω

"