38

2. MECANICA PUNCTULUI MATERIAL. MIŞCAREA CURBILINIE

2

39

CUPRINS

Nr. crt.

TEMA Pagina

1. Obiective 40 2. Organizarea sarcinilor de lucru 40 3. Topicul 1

Viteza în mişcarea curbilinie. Acceleraţia în mişcarea curbilinie.

41

4. Exemplu ilustrativ 1 43 5. Topicul 2

Mişcarea circulară. Legea de mişcare.

44

6. Exemplu ilustrativ 2 46 7. Topicul 3

Mişcarea circulară uniformă. 47

8. Exemplu ilustrativ 3 48 9. Topicul 4

Mişcarea circulară uniform variată 51

10. Exemplu ilustrativ 4 52 11. TEST DE AUTOEVALUARE 53 12. REZUMAT 54 13. Rezultate aşteptate 55 14. Termeni esenţiali 55 15. Recomandări bibliografice suplimentare 56 16. TEST DE EVALUARE 57

40

OBIECTIVE

Organizarea sarcinilor de lucru Parcurgeţi cele patru topice ale cursului. La fiecare topic urmăriţi exemplele ilustrative. Fixaţi principalele idei ale cursului, prezentate în rezumat. Completaţi testul de autoevaluare. Timpul de lucru pentru parcurgerea testului de evaluare

este de 15 minute.

Obiectivele acestui curs sunt: Să înţeleagă mişcarea curbilinie. Să definească viteza şi acceleraţia în mişcarea curbilinie. Să înţeleagă mişcarea circulară. Să aplice legea de mişcare. Să-şi însuşească principalele mărimi fizice ce caracterizează

mişcarea circular uniform. Să definească mişcarea circular uniform variată. Să cunoască şi să diferenţieze cele două tipuri de mişcări. Să-şi însuşească elementele mişcărilor studiate.

41

Viteza în mişcarea curbilinie

Viteza medie Să considerăm o mişcare curbilinie plană. În acest caz nu se poate renunţa la caracterul vectorial al mărimilor care apar. Fiecare din aceste mărimi va avea componente pe cele două direcţii:

,jrirrrr yxyx

(2.1)

de unde viteza medie:

.jvivjt

ri

tr

t

r

tr

t

rr

tr

v mymxyxyxyx

m

(2.2) Orientarea vitezei medii coincide cu orientarea deplasării. Modulul vitezei medii se obţine pe baza relaţiei:

.22mymxmm vvvv

(2.3)

Viteza în mişcarea curbilinie.

Acceleraţia în mişcarea curbilinie

TOPICUL 1

42

Fig. 2.1 Mişcarea curbilinie planară

Viteza instantanee

jvivjdtdr

idtdr

dt

rd

dtrd

t

rrd

dtrd

v yxxxyxyx

)( (2.4)

Orientarea vitezei instantanee coincide cu orientarea deplasării indiferent cât de scurt este intervalul de timp. Viteza instantanee este orientată tangent la traiectorie în orice punct al acesteia.

.22yx vvvv

(2.5)

Acceleraţia în mişcarea curbilinie

Considerăm mişcarea unui punct material astfel încât la momentul

2v

de timp t1 are viteza 1v

iar la momentul de timp t2 are viteza 2v

12 vvv

(2.6)

În mişcarea curbilinie viteza variază atât în modul cât şi în direcţie. - Variaţia liniară (sau tangenţială) a vitezei - tv

reprezintă vectorul care exprimă creşterea modulului

vitezei în intervalul de timp Δt. Variaţia normală a vitezei nv

reprezintă vectorul care exprimă

variaţia orientării vitezei în intervalul de timp Δt. Variaţia totală a vitezei punctului material este:

nt vvv (2.7)

Din ultima relaţie rezultă acceleraţia medie ca fiind:

43

Fig. 2.2 Acceleraţia normală şi acceleraţia

tangenţială în mişcarea curbilinie.

.)(

,, nmtmntnt

m aat

vtv

tvv

tv

a

(2.8) De unde acceleraţia instantanee este:

.nt aadtvd

a

(2.9) În mişcarea curbilinie variată punctul material suferă două acceleraţii: 1) acceleraţia liniară ta

care este o măsură a variaţiei în

modul a vitezei punctului material şi 2) acceleraţia normală na

care este o măsură a variaţiei orientării punctului material [11,17].

Exemple de mişcări pe diferite traiectorii curbilinii:

http://natureatwork.ueuo.com/img/2_html_74c54f5f.jpg

http://natureatwork.ueuo.com/img/2_html_7d96a7b3.jpg

EXEMPLU ILUSTRATIV 1:

44

Mişcarea circulară este o mişcare plană. Mişcarea circulară este foarte importantă în tehnică (piesa cea mai des întâlnită în construcţia maşinilor şi mecanismelor este roata – sub diferite aspecte). În mişcarea circulară modulul vectorului de poziţie al punctului material este constant. Mişcarea circulară poate fi descrisă de o singură variabilă care precizează doar orientarea vectorului de poziţie [20,39].

Legea de mişcare Să considerăm un punct material care la timpul t1 are poziţia precizată de unghiul α1 iar care la timpul t2 are poziţia precizată de unghiul α2.Se poate defini o deplasare unghiulară Δα:

http://natureatwork.ueuo.com/img/2_html_f9ebaf1.jpg

http://natureatwork.ueuo.com/img/2_html_m21bad053.jpg

TOPICUL 2

Mişcarea circulară. Legea de mişcare.

45

12 (2.10)

)(t (2.11) Dacă Δs reprezintă spaţiul parcurs de punctul material iar R este raza cercului pe care aceasta se mişcă atunci se poate scrie relaţia:

Fig. 2.3 Coordonatele mişcării circulare.

Rs

(2.12) Pentru un unghi oarecare α relaţia anterioară are forma:

Rs

(2.13) Dimensiunea unghiului α este:

1][][

][ LL

Rs

(2.14)

Unitatea de măsură este radianul. Un radian este unghiul la centru subîntins de un arc egal cu raza [44].

Definiţie: Dependenţa de timp a unghiului α, sau a deplasării unghiulare, reprezintă legea de mişcare în mişcarea circulară, şi se scrie:

46

Viteza unghiulară

(2.15) Unitatea de măsură a vitezei unghiulare este:

1

][][

][][][ T

srad

tdtd

Acceleraţia unghiulară

dtd

(2.16)

Definiţie: Acceleraţia unghiulară, ε, este variaţia vitezei unghiulare într-un interval de timp infinitezimal.

Definiţie: Se numeşte viteză unghiulară raportul dintre deplasarea unghiulară infinitezimală dα, efectuată de către punctul material în intervalul de timp infinitezimal dt şi acest interval de timp.

EXEMPLU ILUSTRATIV 2:

Fig. 2.4 Legea de mişcare la o mişcare curbilinie

47

În acest caz ecuaţia deplasării unghiulare se poate obţine prin integrare din ecuaţia (2.15):

tt

dtddtddtd

0

)(

'0

(2.17)

tdttt

0

0 ')(

tt 0)( (2.18)

Dacă la t = 0 putem considera că α0 = 0 atunci:

tt )( (2.19)

Definiţie: Se numeşte uniformă acea mişcare circulară în care raza vectoare mătură unghiuri la centru egale, în intervale de timp egale sau punctul material parcurge pe cerc arce în intervale de timp egale.

Definiţie: Mişcarea circulară în care viteza unghiulară a punctului material variază în timp se numeşte mişcare circulară variată sau neuniformă.

Mişcarea circulară uniformă

TOPICUL 3

48

Exemple de corpuri aflate în mişcare circulară: pietrele de polizor, caruselul, discurile CD şi DVD etc.

http://natureatwork.ueuo.com/img/2_html_5c3f3136.jpg

http://natureatwork.ueuo.com/img/2_html_3ea8a790.jpg

http://natureatwork.ueuo.com/img/2_html_136bc5f8.jpg

EXEMPLU ILUSTRATIV 3:

49

Legătura între mărimile unghiulare şi mărimile

liniare în mişcarea circular uniformă Viteza tangenţială este:

R

dtd

Rdt

Rddtds

v)()(

(2.20) Deci relaţia dintre viteza liniară v şi viteza unghiulară ω:

Rv (2.21) În mişcarea circulară uniformă viteza unghiulară ω este constantă astfel rezultă că şi viteza liniară este constantă în modul. În acelaşi timp orientarea vectorului viteză variază continuu. În mişcarea curbilinie uniformă acceleraţia liniară este egală cu zero. Acceleraţia normală, în schimb, este diferită de zero [34,35].

Astfel:

Tv

1 (2.22)

Unitatea de măsură este:

HzsT

v 1

][1

][ (2.23)

În intervalul de timp egal cu o perioadă spaţiul parcurs de către un punct material în mişcarea circulară este 2πR, atunci:

RRvT

R

Ts

v

22

(2.24)

unde în ultima egalitate s-a folosit ecuaţia (2.21). De aici rezultă:

Definiţie: Mărimea fizică care arată câte rotaţii execută punctul material în timp de o secundă se numeşte frecvenţă.

Definiţie: Timpul necesar punctului material pentru a efectua o rotaţie completă se numeşte perioadă şi se notează cu T.

50

Tv

22 (2.25)

Acceleraţia normală în mişcarea uniformă este:

,dRRv

dvRv

dR

dvn

n (2.26)

,vRv

dtdR

Rv

dt

dvaa n

n (2.27) de unde:

RRv

an2

2

(2.28)

În mişcarea circulară uniformă acceleraţia instantanee este orientată normal la viteza liniară instantanee, după raza cercului de rotaţie, înspre centrul său.

CONCLUZIE

51

tt

tdtt

dtddtd

t

tt

0)(

'0)(

'

0

0

)(

0

(2.29)

care reprezintă ecuaţia vitezei unghiulare în mişcarea circulară uniform variată, cu viteză iniţială. Dacă aceasta este egală cu zero atunci:

tt )( (2.30)

Din ecuaţia (2.18) avem:

2')'()(

')'()()(

2

000

0

)(

0

ttdttt

dttddttddtd

t

t

tt

(2.31)

Definiţie: Mişcarea circulară în care acceleraţia unghiulară este constantă se numeşte circulară uniform variată.

Mişcarea circulară uniform variată

TOPICUL 4

52

2)(

2

0

ttt (2.32)

ceea ce reprezintă ecuaţia legii de mişcare în mişcarea circulară.

Caracterul vectorial al mărimilor unghiulare Vectorul viteză este orientat perpendicular pe planul format de vectorii: rază şi viteza unghiulară, iar sensul îi este dat de sensul de orientare a unui burghiu drept care este rotit în sensul în care se roteşte pe cerc punctul material studiat [28,40].

Fig. 2.4 Orientarea relativă a vectorilor în mişcarea circulară

Rxv

, (2.33) iar:

dtd

, (2.34)

şi acceleraţia unghiulară:

dtd

(2.35)

CONCLUZIE

EXEMPLU ILUSTRATIV 4:

53

TEST DE AUTOEVALUARE

1.Mişcarea circulară este o mişcare: a) spaţială b) liniară c) plană 2.Mărimile fizice specifice mişcării circulară sunt: a) viteza unghiulară b) acceleraţia unghiulară c) spaţiul d) timpul 3.Mişcarea circulară uniformă este acea mişcare circulară în care: a) raza vectoare nu mătură unghiuri la centru egale în intervale de timp egale. b)punctul material nu parcurge pe cerc arce în intervale de timp egale. 4.Relaţia între viteza liniară şi viteza unghiulară este: a) v = s/t b) v = R*ω c) v= v0+at

Încercuiţi răspunsurile corecte la următoarele întrebări. ATENŢIE: pot exista unul, niciunul sau mai multe răspunsuri corecte la aceeaşi întrebare. Timp de lucru: 10 minute

54

5.Se numeşte mişcare circular uniform variată, mişcarea circulară în care: a) acceleraţia unghiulară nu este constantă. b) acceleraţia unghiulară este constantă. c) viteza unghiulară nu este constantă. Grila de evaluare: 1.- c; 2.-a, b; 3.-niciunul; 4.-b; 5.-b

- În TOPICUL 1 am definit mişcarea curbilinie, mărimile fizice şi unităţile de măsură specifice acestei mişcări. - În TOPICUL 2 am definit şi prezentat elementele specifice mişcării circulare. Mişcarea circulară este o mişcare plană. În mişcarea circulară modulul vectorului de poziţie al punctului material este constant. Mişcarea circulară poate fi descrisă de o singură variabilă care precizează doar orientarea vectorului de poziţie. Am descris şi definit mărimile specifice,viteza şi acceleraţia unghiulară. Am precizat şi clarificat legea de mişcare. - În TOPICUL 3 am definit mişcarea circulară uniformă , precum am stabilit relaţia între mărimile fizice liniare şi cele unghiulare cu aplicaţiile corespunzătoare fiecăruia.

- În TOPICUL 4 am descris şi definit mişcarea circulară uniform variată.

Definiţie: Se numeşte mişcare circulară uniformă acea mişcare în care raza vectoare mătură unghiuri la centru egale în intervale de timp egale sau punctul material parcurge pe cerc arce egale în intervale de timp egale.

REZUMAT

Definiţie: Mişcarea circulară în care acceleraţia unghiulară este constantă se numeşte mişcare circulară uniform variată.

55

După studierea acestui curs ar trebui să conştientizaţi importanţa mişcării curbilinii, circulare, circulare uniforme şi uniform variate cu aplicabilitatea practică ce se aplică în domeniul ingineresc , precum şi însuşirea principalelor mărimi fizice şi legi ce caracterizează mişcările studiate.

REZULTATE AŞTEPTATE

Mişcarea curbilinie. Mişcarea circulară. Legea de mişcare. Viteza şi acceleraţia unghiulară. Mişcarea circulară uniformă. Definiţie: Se numeşte mişcare circulară uniformă acea mişcare în care raza vectoare mătură unghiuri la centru egale în intervale de timp egale sau punctul material parcurge pe cerc arce în intervale de timp egale. Mărimi fizice unghiulare şi mărimi fizice liniare. Mişcarea circulară uniform variată. Definiţie: Mişcarea circulară în care acceleraţia unghiulară este constantă se numeşte circulară uniform variată.

TERMENI ESENŢIALI

56

RECOMANDĂRI BIBLIOGRAFICE SUPLIMENTARE

- Ardelean I., Fizică pentru ingineri, Editura U.T.PRESS, Cluj- Napoca, 2006; - Biro D., Prelegeri „Curs de Fizică generală” (format electronic, CD, revizuit), Universitatea „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2006; - Berkeley, Cursul de fizică - Electricitate şi Magnetism (Vol. 2), Editura Didactică şi pedagogică, Bucureşti, 1982; - Berkeley, Cursul de fizică - Mecanică (Vol.1), Editura Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1981; - Fechete R., Elemente de fizică pentru ingineri, Editura U.T.PRESS, Cluj Napoca, 2008; - Feynmann R.P., Leighton R. B., Sands M., Fizica modernă, Vol. I - III. Editura Tehnică, Bucureşti, 1970; - Gîju S., Băţagă E., Lucrări de laborator - Fizică. Editura - Universitatea „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 1991; - Gîju S., Teorie şi Probleme, Editura Universitatea. „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2001; - Gîju S., Curs de Fenomene termice şi electromagnetice, Editura Universitatea „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2003; - Halliday D., Resnick R., Fizica, vol. I şi II. Editura Didactică. şi Pedagogică, Bucureşti, 1975; - Hudson A., Nelson R., University Physics, Second Edition, Saunders College Publishing, New York, 1990; - Modrea A. , Lucrări de laborator” (format electronic), Universitatea, „Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2006; - Modrea A., Curs de Fizică generală”(format electronic), Universitatea, Petru Maior”, Tîrgu-Mureş, 2006; - Oros C., Fizică generală-format electronic, Universitatea „Valahia”, Târgovişte, 2008; - Serway R. A., Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics, Second Edition, Saunders College Publishing, New York, 1986.

57

TEST DE EVALUARE

1). În mişcarea curbilinie orientarea vitezei medii: a). coincide cu orientarea deplasării b). nu coincide cu orientarea deplasării 2). Viteza instantanee este: a). orientată liniar la traiectorie în orice punct al acesteia b). orientată tangent la traiectorie în orice punct al acesteia c). nu este orientată tangent la traiectorie în orice punct al acesteia 3). În mişcarea curbilinie viteza variază atât în: a). modul b). direcţie 4). Legea de mişcare în mişcarea circular este: a). Δα=α2- α1 b). α=v*t c). α= α(t)

Încercuiţi răspunsurile corecte la următoarele întrebări. ATENŢIE: pot exista unul, niciunul sau mai multe răspunsuri corecte la aceeaşi întrebare. Timp de lucru :15 minute

58

5). Unghiul la centru subîntins de un arc egal cu raza se măsoară în: a). secunde b). metrii c). kilograme d). ore 6). Ecuaţia legii de mişcare în mişcarea circulară este: a). α(t)= α0+ ω0t+ €t2/2 b). α(t)= ω 0+ α0t+ €t2/2 c). α(t)= €0+ ω 0t+ €t2/2 d). α(t)= α0+ €0t+ ω t2/2 Grila de evaluare: 1.-a; 2.-b, b; 3.-a, b; 4.- c; 5.-niciunul; 6-a.