MIŞCAREA

CURSUL 2

Mişcarea unidimensională

Sistem de referinţă

Poziţie, distanţă, deplasare

Viteză medie, viteză momentană

Acceleraţie medie, acceleraţie momentană

Ecuaţii de mişcare şi aplicaţii

Mecanica clasică (newtoniană)

Sir Isaac Newton

(1643 – 1727)

“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”

• cele trei Principii• Legea atracţiei universale

Catedrala

Westminster Abbey

Capitolele mecanicii:

1. Cinematica – abordează descrierea mişcării corpurilor;

2. Dinamica – studiază cauzele mişcării corpurilor;

3. Statica – are ca obiect echilibrul forţelor ceacţionează asupra unui corp;

Mişcare mecanică = schimbarea poziţiei corpului faţă de un corp de referinţă

Sistem de referinţă

Punct material = punct geometric în care se considerăconcentrată întreaga masă a corpului

mişcarea unui corp este completdefinită dacă se cunoaşte poziţiacorpului la orice moment de timp

0 x1=1 x3=4 x

r

Vector de poziţie = vector cu originea în originea sistemului de coordonate şi vârful în punctul încare se află corpul

Distanţa = lungimea totală a traiectoriei

x = 0 x1=1 m x3=4 mx

distanţa parcursă este întotdeauna un scalar pozitiv !

Traiectorie = totalitatea punctelor prin care trecepunctul material pe parcursul mişcării sale

mxxd 31413

x = 0 xi=1 m xf=4 mx

Deplasarea = modificarea poziţieipunctului material

i)(

ifif xxxxx

mxxx if 314

deplasarea este o mărime fizică vectorială !

Dacă se analizează întreaga traiectorie este

deplasarea egală cu distanţa parcursă ?

Viteza medie

Viteza medie = raportul dintre deplasare (nu distanţă!!!) şi intervalul de timp în care a fost efectuată aceasta(deplasarea efectuată în unitatea de timp)

if

ifm tt

xxtxv

sm

.. ISv

x > 0 vm > 0 (mişcare în senspozitiv al axei Ox)

x < 0 vm < 0 (mişcare în sensnegativ al axei Ox)

t > 0 întotdeauna !

este o mărime fizică vectorială

txvm

Interpretarea geometrică a vitezei medii

viteza medie = panta dreptei care uneşte poziţia iniţialăcu cea finală

P

mvtx

PPPPtg

1

2

Obs. viteza medie are direcţia şi sensul vectorului

deplasare

sm

ttxx

vif

ifm 63,8

03360300026000

txvm

st 51

st 252

sm

txx

v ifm 10

5050

1

111

sm

txx

v ifm 2

25500

2

222

?mv sm

ttxx

v ifm 0

3000

21

12

Porţiunea 2 (plimbare)

Porţiunea 1 (alergare)

Parcursul complet (alergare + plimbare)

Să se calculeze viteza medie a unui tren care pleacă la ora3h 14min. dintr-un punct situat la distanţa de 3 km Estfaţă de o staţie şi ajunge la ora 3h 56min. într-un punctsituat la distanţa de 26 km Vest faţă de staţie.

Aplicaţie

kmx 31

kmx 262 kmkmkmx 293)26(

sm

sm

txvm 5,11

25201029 3

st 2520min42min14min56

Rezolvare

Viteza momentană

Viteza momentană = vitezei punctului material la un moment dat

dt

dxtxtv

t 0lim)(

Interpretarea geometrică a vitezei momentane

viteza momentană = panta tangentei duse la graficulmişcării x(t) în punctul studiat

1. Radu îşi duce căţelul la o plimbare în parc. În timpulplimbării căţelul face mici incursiuni în spaţiul verde, iarRadu se plimbă pe trotuare. La un moment dat căţelul sareîn braţele lui Radu. Comparaţi vectorii de deplasare ai celordoi şi distanţele parcurse de aceştia.

Verificare

2. Ce indică vitezometrul unei maşini, viteza medie sauviteza instantanee ?

3. Un astronaut se mişcă pe o orbită circulară în jurulPământului. Calculaţi viteza medie corespunzătoare uneirevoluţii întregi. 4. Un microbuz transportă pasageri de la Timişoara la Oradea (170 km), după care se întoarce la Arad (localitateaflată pe ruta Timişoara – Oradea, la 45 km de Timişoara. Să se calculeze distanţa parcursă de microbuz şi modululdeplasării sale.

7. Un corp este aruncat vertical în sus, după care cadeînapoi în punctul din care a pornit. Care este viteza medie a mişcării corpului?

Verificare5. Are sens următoarea afirmatie? “La ora 9:30 vitezamedie a maşinii a fost de 90 km/h.”

6. Dacă poziţia unui corp este zero, atunci viteza saA. poate fi pozitivă, negativă sau zero. B. este nulă deoarece viteza este mai mică decât

deplasarea. C. este nulă deoarece acceleraţia este şi ea nulă.

8. După un meci de tenis cei doi jucători aleargă spre fileupentru a da mâna. Dacă amândoi se deplasează cu doi metripe secundă, sunt egale vitezele lor instantanee?

Studiu individual

1. La o cursă de ciclism un concurent trece la ora 8h 30min. cu viteza de 3 m/s printr-un punct situat la 3 km de punctul de plecare, deplasându-se către Nord. La ora 9h el se află la 12 km de punctul de plecare, deplasându-se cu viteza de 6 km/h. Să se calculeze:

a) deplasarea ciclistului;b) viteza medie;c) acceleraţia medie.

2. Cunoscând legea de mişcare a unui corp care se deplasează de-a lungul axei Ox:

să se calculeze valoarea vitezei sale la momentul t = 3,5 s de la începutul mişcării şi să se precizeze dacă vitezacorpului este constantă sau variabilă în timp.

31,22,98,7 ttx

1 nn tntdtd

Acceleraţia = variaţia vitezei punctului material înunitatea de timp

tvam

2

2

0lim

dtrd

dtvd

tva

t

Acceleraţia medie

Acceleraţia momentană

2.. smISa

este o mărime fizică vectorială

v creştev scade

v scadev creşte

Interpretarea geometrică a acceleraţiei

214,301,19060

smam

217,906055)0(

sma

Mişcare rectilinie

uniformă (v = const., a = 0);

variată (v ≠ const., a ≠ 0)

- uniform variată (a = const.);

- neuniformă (a ≠ const.).

Noţiunile de viteza medie şi acceleraţie medie se referăla un interval de timp dat, în timp ce viteza momentană

şi acceleraţia momentană se referă la un moment de timp dat

Mişcarea rectilinie uniform variată

0

0

ttvv

tva

0

0

ttxx

txvm

)(21

2 000 ttavvvvm

)( 00 ttavv

legea vitezei pentru mişcarea rectilinie uniform variată

legea mişcării rectilinii uniform variate

20000 )(

21)( ttattvxx

Mişcarea rectilinie uniformă

.0 constvv legea vitezei pentru mişcarea rectilinie uniformă

legea mişcării rectilinii uniforme)( 000 ttvxx

avvtt 0

0

avvx

avva

avvvxx

221 2

02

0

200

00

Formula lui Galilei

)(2 02

02 xxavv

Mişcarea rectilinie uniform variată

Verificare

1. Dacă viteza unui corp este nulă, poate avea acesta o acceleraţie nenulă ?

4. Dacă acceleraţia unui corp este nulă, atunci viteza saA. este crescătoare. B. este descrescătoare. C. este egală cu viteza sa iniţială.D. este nulă. E. este negativă.

3. Poate avea un corp o viteză medie nulă într-un interval de timp dat, şi totuşi să se mişte uniform accelerat ?

2. Dacă viteza unui corp este nenulă, poate avea acesta o acceleraţie nulă ?

Căderea liberă

În absenţa frecării cu aerul

toate corpurile cad cu aceeaşi

acceleraţie

g = 9,81 m/s2

numită acceleraţie gravitaţională

9,832 m/s2 (la Poli)

9,780 m/s2 (la Ecuator)

Verificare

1. O minge de biliard este aruncată vertical în sus. Încursul urcării sale, acceleraţia:

a) scadeb) creştec) rămâne constantă

2. O bilă este aruncată vertical în sus cu viteza iniţială vo. a) Ce valoare va avea viteza bilei în punctul de înălţimemaximă ? b) Dar la impactul cu solul ?

3. Anca şi Paul îşi măsoară forţele pe vârful unui deal. Ei se hotăresc să arunce câte o piatră cu aceeaşi viteză iniţialăvo , Anca vertical în jos, în timp ce Paul pe verticală în sus. Relaţia dintre vitezele cu care pietrele ating solul este:

a) vA > vPb) vA < vPc) vA = vP

2. Baschetbalistul Michael Jordan este cunoscut pentrudetenta sa remarcabilă, de 122 cm. Care este viteza cu care acesta se desprinde de sol ?

Aplicaţii

1. Un avion îşi atinge viteza de decolare de 278 km/h în35.2 s.

Calculaţi acceleraţia sa medie în timpul decolării. Ce procentaj al acceleraţiei gravitaţionale (9.81 m/s2)

reprezintă această acceleraţie ?

4. Un autoturism goneşte cu viteza de 108 km/h. Înmomentul în care autoturismul trece pe lângă ea, o maşinăde poliţie porneşte în urmărirea sa din repaus, accelerândconstant cu 4 m/s2. a)Cât durează urmărirea ? b)Ce viteză va avea maşina poliţiei în momentul în care ea ajunge din urmă autoturismul ?

Aplicaţii

3. O maşină rulează cu viteza de 72 km/h când şoferul observă un obstacol staţionar pe şosea. Presupunând că frânele maşinii determină o decelerare a acesteia de 5 m/s2, calculaţi timpul necesar opririi şi distanţa parcursă în timpul frânării. De câte ori ar fi fost mai mari aceste mărimi dacă viteza autoturismului ar fi fost dublă (144 km/h).

Viteza autoturismului în S.I. : sm30

s3600m1000108

hkm108 av

Ecuaţia de mişcare a autoturismului: tvtx aa )(

Ecuaţia de mişcare a maşinii de poliţie: 2

21)( tatxp

Condiţia de întâlnire la momentul t1 : )()( 11 txtx pa

Prin înlocuire obţinem: s154302

a2

1

avt

Legea vitezei pentru maşina de poliţie:

sm60154)( 11 tatvp

Mişcarea tridimensională

12 rrr

kzzjyyixxr )()()( 121212

Vector deplasare

viteza medie

trvm

kvjvivktzj

tyi

txv zmymxmm

kzzjyyixxr )()()( 121212

tzv

tyv

txv zmymxm

tvam

tva

tv

at

va zzm

yym

xxm

2

2

0lim

dtrd

dtvd

tva

t

Acceleraţia medie

Acceleraţia momentană

2.. smISa

După parcurgerea acestui curs studentul trebuie să:

• Cunoască definiţiile noţiunilor de sistem de referinţă, punctmaterial, vector de poziţie, traiectorie;• Cunoască diferenţa dintre distanţa parcursă şi deplasare;• Cunoască definiţiile şi să facă diferenţa dintre viteza medieşi momentană;• Înţeleagă diferenţa dintre viteză şi acceleraţie;• Cunoască definiţiile şi să facă diferenţa dintre acceleraţiamedie şi momentană;• Cunoască ecuaţiile (legile) mişcării rectilinii uniforme şirectilinii uniform variate şi să fie capabil să le aplice înrezolvările de probleme;• Interpreteze graficele de variaţie x = x(t) şi v = v(t) corespunzătoare mişcării rectilinii uniforme şi rectiliniiuniform variate• Cunoască şi să aplice legile căderii libere