miŞcarea unidimensionalĂ a gazelor

8/4/2019 MICAREA UNIDIMENSIONAL A GAZELOR

1/145

1

UNIVERSITATEA TEHNIC A MOLDOVEIFacultatea Urbanism i Arhitectur

Catedra Ecotehnie, Management Ecologic i Ingineria ApelorUNESCO/Cousteau

Ilie ern

MICAREA UNIDIMENSIONALA GAZELOR

ndrumar metodic pentru prelegeri,lecii practice la

mecanica aplicat a fluidelor

ChiinuU.T.M.

2007


2/145

2

CZU 533 (075)

24n aceast lucrare se dau relaiile principale teoretice, exemple de

calcul, probleme propuse spre rezolvare de sine stttor i date dinndreptar referitoare la Micarea unidimensional a gazelor.ndrumarul metodic include temele consacrate proprietilor

specifice ale gazelor, unele noiuni de termodinamic utilizate nmicarea gazelor, ecuaiile generale i particulare de micareunidimensional izoterm i adiabat a gazelor, influenacompresibilitii gazelor, starea de frnare i starea critic, scurgereagazelor prin orificii i ajutaje la diferene mari de presiune, ajutajul

Laval, undele de oc, micarea adiabat, izoterm i cu transfer decldur n conducte.

ndrumarul metodic este destinat studenilor i masteranzilorspecialitii 1208 Aprovizionarea cu energie termic, cu gaz iventilare, corespunde planului de nvmnt i poate fi recomandatspre editare.

Redactor responsabil: conf.univ., dr. Sergiu CalosRecenzent: lector superior Mihaela Contel

ISBN 978-9975 -45-041-6UTM,2007

DESCRIEREA CIP A CAMEREI NAIONALE A CRIIern, Ilie

Micarea unidimensional a gazelor: ndrumar metodicpentru prelegeri, lecii practice la Mecanica aplicat a fluidelor /Ilie ern; Univ. Teh. A Moldovei. Fac. Urbanism i Arhitectur.

Catedra Ecotehnie , Management Ecologic i Ingineria ApelorUNESCO/Cousteau. Ch.: UTM, 2007. 143p.Bibliogr.p. 142-143 (25tit)ISBN 978-9975-45-041-6100ex533(075)


3/145

3

Cuprins1 Aspecte generale.. 52 Ecuaiile de stare ale gazelor... 63 Noiuni de termodinamic utilizate n studiul micrii

gazelor.

10

3.1 Principiul nti al termodinamicii 103.2 Cldura specific. 113.3 Entalpia 123.4 Principiul al doilea al termodinamicii. Entropia.. 134 Propagarea micilor perturbaii. Viteza sunetului. Numrul lui

Mach 145 Ecuaiile generale ale gazelor n micare unidimensional. 17

5.1 Relaiile Bernoulli pentru gaze n micare izotermpermanent.. 18

5.2. Formele ecuaiei energiei gazelor n micareunidimensional adiabat reversibili ireversibil 21

5.3 Influena compresibilitii gazelor n micare asupra creteriide presiune... 25

5.4 Starea de frnare i starea critic 29

5.5 Zonele de micare ale gazelor n dependen de numereleMach 385.6 Exemple de probleme rezolvate... 425.7 Probleme propuse spre rezolvare. 516 Scurgerea adiabat a gazelor prin orificii sau ajutaje

convergente la diferen mare de presiune...

546.1 Exemple de probleme rezolvate... 646.2 Probleme propuse spre rezolvare. 67

7 Relaiile dintre viteza de micare a gazului i forma tubuluide curent. Ajutajul lui De Laval.. 69

7.1 Funciile gazodinamice a parametrilor de baz ai unui curentde gaz... 84

8 Unda de oc normal 908.1 Fenomenul fizic i ecuaiile undei de oc normale 908.2 Ecuaia lui Hugoniot i relaia lui Prandtl pentru unda de oc

. 95


4/145

4

8.3 Exprimarea rapoartelor caracteristice ale undei de ocnormale T2/T1 P2/P1 i 2/1, n funcie de numereleMach.

998.4 Ireversibilitatea undei de oc normale 103

8.5 Viteza de propagare a undei de presiune. Unda sonor... 1058.6 Unda de oc oblic... 1079 Micarea gazelor n conducte. 113

9.1 Micarea adiabat ireversibil a gazelor ntr-o conduct.. 1139.2 Micarea izoterm a gazelor n conducte 1169.3 Micarea gazelor printr-o conduct cu transfer de cldur.. 1199.4 Exemple de probleme rezolvate la calculul conductelor de

gaze.. 122

9.5 Probleme propuse spre rezolvare la calculul conductelor degaze n micare izoterm..

133

10 Anexe... 13611 Bibliografie.. 142


5/145

5

1.Aspecte generaleObiectul mecanicii fluidelor este studiul echilibrului i micrii

fluidelor, respectiv a lichidelori gazelor, precum i aciunea acestora

pe suprafeele de contact.Lichidele sunt fluide foarte puin compresibile. Gazele suntfluide compresibile i se caracterizeaz prin absena forelor decoeziune reflectat prin proprietatea acestora de a ocupa ntregulvolum avut la dispoziie.

Gazele i vaporii sunt considerate fluide compresibile, deoarecen foarte multe probleme nu se poate neglija variaia volumului ocupatde o anumit cantitate de gaz sau vapori, datorit unei variaii a

presiunii. Astfel, la gazele i vaporii n repaus sau n micare cu vitezemari, comparabile ca ordin de mrime cu viteza sunetului, influenacompresibilitii nu poate fi neglijabil, gazele comportndu-se cafluide compresibile. n unele cazuri gazele i vaporii sunt consideratei fluide uoare, deoarece greutatea lor poate fi neglijat n raport cuforele de presiune. Astfel, un volum cubic de 1 m3 de aer n starenormal (T0 = 273 K i P0= 112 kN/m

2) are greutatea Fg = gW =

12,7 N, iar fora de presiune pe oricare din feele cubului este Fp = pS= 112 kN, deci Fg/Fp = 12,7/112000= = 0,000125.Fcnd abstracie de faptul c, gazele reprezint nite fluide

compresibile, n unele cazuri variaia densitii (compresibilitatea) poate fi neglijat i calculele pot fi efectuate cu relaiile fluidelorincompresibile. Gazele pot fi considerate practic fluide incompresibile( const.) atunci cnd viteza lor de micare este mai mic de 100m/s. Astfel de situaii apar la micarea aerului n sistemele de ventilare

sau de condiionare, n calculul courilor de evacuare a gazelor deardere i altele.

ns exist i cazuri, cnd gazele se mic cu viteze mari ineglijarea compresibilitii poate conduce la erori inadmisibile saucalcule incorecte. Aceste situaii pot aprea la curgerea gazelor prinorificii, ajutaje sau conducte la diferene mari de presiune i altele.


6/145

6

2.Proprietile termice. Ecuaiile de stare ale gazelorStarea unui gaz este caracterizat de trei mrimi (sau parametri)

de stare. n zona gazului aflat la presiune mic sau destul de departe

de frontiera zonei bifazice se poate aplica, cu rezultate bune pentrucalculele inginereti, legea gazelor perfecte:

P v R T = , (2.1)

unde: P presiunea absolut;v volumul specific (sau densitatea = 1/v);R = Ru/M constanta specific a gazului;

Ru constanta universal a gazelor (Ru = 8314 J/(kmolk));M masa unui kilomol de gaz;T = (t + 273,15)K temperatura absolut.Dac ecuaia (2.1), numit ecuaia de stare a gazelor Clapeyron-

Mendeleev, se scrie pentru o mas dat de gaz M, de volum V, seobine:

TRMVP = (2.2)

Gazele reale sunt caracterizate, n afara constantei R, i de ali parametri cum sunt de exemplu, temperatura critic, Tc i presiuneacritic,Pc corespunztoare punctului de lichefiere a gazului. O ecuaiefolosit pentru gazele reale, la densiti mari sau n cazul vaporilorumezi, este ecuaia lui Van der Waals, care se scrie sub forma:

( ) TRbV

V

aP u =

+2 (2.3)

unde: ( )227 / 64u C ca R T P = (2.4)

( )ccu PTRb = 8/ (2.5)Ecuaia (2.3) reproduce cu aproximaie, pentru valorile

corespunztoare lui Pc i Tc, diagrama din fig. 2.1, dei ea nu esteaplicabil n zona bifazici nu d rezultate bune n zona lichidului.


7/145

7

Presiuneaabsolu

t106

p,

Pa

0

10

20

20

40

50

2 4 6 10 128

12.8

-140

-134.4

-128.9

-123.3

-117.8

-112.2

-106.7

-101.1

-95.6

-90

-84.4

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

L+G

L

C G

-82.1

-73.3

-45.6

-17.8

+10

+37.8

CC

C

C

CC

55.1584

Volumul specific v, m3/kg

Fig. 2.1 Dependena volumului specific v al metanului depresiunea absoluti temperatur.

Principalele proprieti ale unor gaze sunt prezentate n anexa 1O aplicabilitate mai general n zona gazului i n apropierea

frontierei zonei bifazice o are legea gazelor reale :

,Pv ZRT = (2.6)

unde:Z - factorul de abatere de la legea gazelor perfecte.

Cea mai simpl corelaie bazat pe conceptul strilor

corespondente pentru gazele naturale are formula lui Bertelot:

,61128

91

2

2

+=

T

T

T

T

P

PZ cc

c(2.7)

Comportarea densitii gazelor multicomponente este similar cucea a gazelor monocomponente, dar prezint un grad sporit decomplexitate. n acest sens, pentru determinarea densitii amestecului


8/145

8

de gaze naturale poate fi folosit relaia (2.6) pentru care factorul deabatere se obine din relaia (2.7) n funcie de presiunea itemperatura pseudoredus definite astfel :

,pcpr P

P

P = (2.8)

,pc

prT

TT = (2.9)

unde: cii

n

i

pc pnP =

=1

- presiunea pseudocritic;

= =n

i

ciipc pnT1

temperatura pseudocritic ;

in fracia molar a componentului din gaze;

cip i ciT presiunea critici temperatura critic a acestuia.

Valoarea lui Z pentru un amestec de gaze naturale

corespunztoare lui prP i prT calculate cu relaiile (2.8) i (2.9) sepoate determina din diagrama prezentat n figura 2.2.

Valorile factorului de abatere Z pentru metan, etan i aer la diferitepresiuni i temperaturi sunt prezentate n Anexa 2.

Viscozitatea este caracterizat prin coeficientul de viscozitatedinamic sau cinematic .

n cazul cnd presiunea nu depete valoarea de aproximativ 70

bari viscozitatea dinamic a gazelor monocomponente, n funcie detemperatur se poate determina cu formula Sutherland.

2

30

00

T C T

T C T

+= +

(2.10)


9/145

9

unde: i 0 reprezint respectiv, viscozitatea dinamic la

temperatura absolutTi 0 273T K= i la presiunea absolut101325aP Pa= ,

C - constanta ce depinde de natura gazului (anexa 1).Viscozitatea cinematic a gazelor monocomponente se

calculeaz cu relaia:

= . (2.11)

Valorile unor proprieti ale aerului la presiunea atmosferica suntprezentate n Anexa 3.

1 . 0 2 . 0 3 .0 4 .0 5 .0 6 . 0 0 . 7 0 .8

8 1 0 1 2 1 4 1 6 1 8 2 0 2 2 2 4

1 . 0

1 . 2

1 . 4

1 .6

1 .8

2 . 0

2 . 2

2 . 4

2 . 6

2 . 8

3 . 0

0

0 .1

0 .2

0 .3

0 . 4

0 . 5

0 .6

0 .7

0 .8

0 .9

1 .0

1 . 1

P r e s iu n e a r e d u s a Pr

FactoruldeabatereZ

Fig. 2.2 Variaia factorului de abatere Z pentru gaze naturale.


10/145

10

3.Noiuni de termodinamic utilizate n studiul micrii gazelor

La micarea gazelor cu viteze mari, variaia densitii gazelortrebuie luat neaprat n considerare, deoarece n caz contrar,

rezultatele obinute nu numai c se vor deosebi mult de valorile reale,dar nu vor corespunde nici calitativ fenomenelor din natur.innd cont de faptul c micarea gazelor cu viteze mari este

nsoit de variaii importante ale densitii i ale temperaturiiT, este necesar s se analizeze noiunile generale cu privire la cldur,reamintind ecuaiile i legile principale ale termodinamicii.

3.1 Principiul nti al termodinamicii

Acest principiu este, n esen, principiul conservrii energieipentru sisteme termodinamice; acesta se poate enuna astfel: variaiaenergiei unui sistem n timpul unei transformri oarecare este egal cuenergia pe care sistemul o primete de la corpurile din jur. Principiulnti introduce noiunea de energie intern, notat cu U, reprezentndsuma dintre energia intern cinetic datorit micrii moleculelor i

energia intern potenial, datorit forelor intermoleculare. Energiaintern corespunztoare unitii de mas (1 kg) se noteaz cu u.n cazul unui sistem termodinamic nchis, fr transfer de mas,

variaia energiei interne a sistemului Ueste egal cu suma energiilorschimbate cu exteriorul:

LQLQU =+= (3.1)

n care: Q cldura primit;L - lucrul mecanic primit;L lucrul mecanic cedat.

Pentru un proces termodinamic elementar: LQdU = innd seama c n procesele termodinamice lente P dv = ,

rezult prima expresie diferenial a principiului nti altermodinamicii:


11/145

11

1du Q P dv Q P d

= =

(3.2)

nainte de a trece la examinarea celui de al doilea principiu altermodinamicii, se reamintesc cteva noiuni i formule importante aletermodinamicii, care pot fi obinute din ecuaia de stare a gazului idin primul principiu al termodinamicii.

3.2 Cldura specific

n studiul fenomenelor legate de repausul i micarea gazeloreste necesar introducerea mrimii fizice numit cldur specific,

care reprezint cldura necesar pentru a ridica temperatura unitii demas cu un grad. Valoarea cldurii specifice depinde de transformareaprin care se realizeaz transmisia cldurii, fig. 3.1.

P

P

P+dP

A

T

C

B1

V=const

P=constB2

(T+dT)

(T)

B

V V+dv V Fig. 3.1 Diagrama transformrii termodinamice a unui gaz la

presiune constanti volum constant.

Transmisia cldurii poate avea loc la presiune constant, atuncivolumul variaz cu dv i ecuaia de stare (2.1) se scrie sub forma

dv R dT = , iar cantitatea de cldur dq este Cpdt, unde Cpreprezint cldura specific la presiune constant, definit prin relaia:

=dT

dqCp (3.3)


12/145

12

n cazul transmisiei cldurii la volum constant, ecuaia de stareeste aceeai, iar cldura primit dq este CvdT, unde Cv reprezintcldura specific la volum constant, definit prin relaia:

vv dT

dq

C

= (3.4)ntre aceste dou clduri specifice a gazelor exist relaia:

KC

C

v

p =(3.5)

unde:K exponentul adiabatic.Diferena dintre aceste dou clduri specifice, pentru un gaz

perfect, este egal cu constanta specific a gazuluiR:

RCC vp = (3.6)Relaia (3.6) se poate scrie i sub forma:

111 =

==

K

R

K

CCC

K

C vpvp(3.7)

3.3 Entalpia

n dinamica gazelor, se folosete adeseori o anumit mrime i,numit entalpie, prin care este caracterizat starea gazului i care sedefinete prin relaia:

dTCdi p = (3.8)

sau: TCi p = (3.9)Din definiia entalpiei (3.8) rezult c, o cretere oarecare de

entalpie di reprezint o cretere a cantitii de cldur dq ntransformrileP = const. innd seama de acest fapt, din ecuaia (3.2)care va fi integrat presupunnd cP = const, se obine:

i u P v u

= + = + (3.10)


13/145

13

de unde:

P

K

Ki

=

1 (3.11)

sau innd cont de ecuaia de stare (2.1), rezult:

TRK

Ki = 1 (3.12)

3.4Principiul al doilea al termodinamicii. Entropia

Acest principiu furnizeaz condiiile de transformare a cldurii nlucru mecanic i precizeaz sensul desfurrii proceselor n natur. Elpoate fi enunat astfel: cldura trece n mod natural, fr consum de

energie de la corpurile cu temperatur mai ridicat ctre corpurile cutemperatur mai cobort. Schemele clasice de tratare a acestuiprincipiu dovedesc urmtoarele:

a)exist o mrime de stare S numit entropie a crei variaieeste:

q dU P dv di v dP dS

T T T

+ = = =

(3.13)

b)entropia este o mrime aditiv;c)entropia crete n procesele ireversibile;d)variaia entropiei este zero numai la limit, n procesele

reversibile.Transformrile care au loc fr schimb de cldur i fr

pierderi, adic la entropie constant, se numesc izentropice.Procesele care au loc fr aducerea (sau evacuarea) cldurii din

afar se numesc adiabatice. La aceste procese se pot produce pierderiireversibile, ns n foarte multe cazuri, schimbul de cldur ipierderile ireversibile sunt mici i pot fi neglijate, de aceea n multecazuri transformrile adiabatice pot fi considerate izentropice, faptcare uureaz studiul curenilor gazoi.

n studiul repausului sau al micrii unui gaz perfect fr frecri

se deosebesc urmtoarele legi de variaie a densitii n funcie depresiune: izocor = const., izotermP/ = const., adiabat (n care


14/145

14

fluidul nu schimb cldura cu mediul exterior) KP

=

const. i

politrop nP

=

const, unde n este exponentul politropic. Evoluia

adiabat a unui gaz perfect reprezint o evoluie izentrop. Fluidul, pentru care exist o relaie direct ntre presiune i densitate, senumete fluid barotropic.

( )pP= (3.14)

4. Propagarea micilor perturbaii. Viteza sunetului. Numrullui Mach

Micile perturbaii produse ntr-un fluid compresibil se propag nacesta cu vitez relativ mare, sub form de unde elastice numite iunde acustice. ntr-un fluid incompresibil propagarea acestorperturbaii are loc cu vitez infinita = . ntr-un fluid compresibil omic cretere de presiune dp se propag cu viteza a, ntr-un timp dt, la

distana adt, n timp ce fluidul se deplaseaz cu viteza dVx.Admind c propagarea perturbaiei de presiune este unidimensionali alegnd un volum de control deplasabil, cuprins ntre dou seciunitransversale situate de o parte i de alta a frontierei de und(fig. 4.1), utiliznd ecuaia de continuitate i teorema impulsului, sepoate determina viteza sunetului n fluide.

dV x P+dp+d

a P

A

B

C

D

t t+dt

Fig. 4.1 Schema determinrii vitezei sunetului n fluide

Conform ecuaiei continuitii se obine:

( ) ( ) SdVadSa x += (4.1)


15/145

15

Teorema impulsului mbrac forma:

( ) ( )[ ]adVaSaSdPPSP x =+ , (4.2)unde s-a admis c suprafaa de control din aval se deplaseaz cu viteza

xdV . Neglijnd termenul xdVd , din relaia(4.1) se obine:

dadVx = (4.3)

iar din relaia (4.2) rezult:

a

dPdVx = (4.4)

Eliminnd din relaiile (4.3) i (4.4) pe dVx se obine:

d

dPa

P

d

dPa

s

=

==2 (4.5)

unde: a este viteza de propagare a micilor perturbaii, egal cu vitezasunetului n fluide, iar indicele, S, arat c procesul poate fi consideratizentropic. Aceast considerare are la baz faptul c, pe de o parte,viteza mare de propagare a perturbaiei de presiune fac ca transferul decldur s fie nesemnificativ, iar pe de alt parte, frecarea produs deviteza infinitezimal este neglijabil.

n aceste condiii, gazul poate fi considerat perfect i din relaiade stare a procesului adiabatic:

k

P

P

=

00

(4.6)

rezult:

PKPK

P

d

dP kk

== 1

0

0

(4.7)


16/145

16

nlocuind expresia (4.7) n (4.5) se obine:

TRKp

Ka ==

(4.8)

Micrile fluidelor compresibile pot fi clasificate n funcie deviteza pe care o au fa de viteza sunetului prin introducerea unuinumr adimensional a crui valoare este egal cu raportul dintre vitezaVi viteza sunetului a, numit numrul lui Mach local:

VMa

a=

. (4.9)

Dac aV< , atunci 1 i 1>aM , micarea va fi supersonic.Dac ntr-un punct dintr-un fluid compresibil n repaus este

emis o mic perturbaie, ea se va propaga cu viteza sunetului a0

corespunztoare acestui fluid, astfel c, la timpi succesivi frontul deund va fi constituit din sfere concentrice (fig. 4.2 a). n cazul n care

fluidul se mic cu viteza uniform 0V a< , (fig. 4.2 b) frontul de undva fi constituit, la timpi succesivi, din suprafeele unor sfere excentricecare nu se intersecteaz, sau se intersecteaz ntr-un punct dacv=a

(fig.4.2 c). Dac micarea fluidului este supersonic 0V a> ,

(fig.4.2 d) frontul de und va fi observat n poziii succesivereprezentate de suprafeele unor sfere care se nscriu ntr-un con,numit conul lui Mach. Acest con are semiunghiul la vrf definit curelaia:

0 1sina

a

V M = = (4.10)

Cnd sursa emite sunetul continuu, un observator situat n afara

conului lui Mach nu va auzi semnalul sonor.


17/145

17

a b

V0 A A A1 2 30a

0a2

3 0a

m1

m

=a0M=1

V0A A A A0 1 2 3

0a0a2

30a

m

m1

>a0M >1

c d

Fig. 4.2 Propagarea undelor sonore elementare n curenii degaze.

5. Ecuaiile generale ale gazelor n micare unidimensional

n aceast lucrare se examineaz curgerile unidimensionale alegazului, curgeri n care toi parametrii gazului sunt n funcie de osingur variabil. n particular, curgerile prin conducte pot ficonsiderate deseori unidimensionale.

Se presupune, un gaz perfect din punct de vedere termodinamic,vscos, n micare permanent, nsoit n caz general de un schimb decldur cu mediul exterior. n aceste ipoteze ecuaiile generale alemicrii gazelor sunt:

ecuaia de stare a gazelor perfecte:TR

P=

(5.1)

ecuaia continuitii:.constSVQm == (5.2)

V0A0 A A A2 31

0a0a2

3 0a


18/145

18

sau n form diferenial:

0=++

d

S

dS

V

dV(5.3)

ecuaia de micare, care n cazul micrii unidimensionalepoate fi p sub forma ecuaiei Bernoulli:

02

2

=+++

vldU

dVd

(5.4)

n care: vl - reprezint lucrul mecanic unitar al forelor deviscozitate, sau energia pierdut.

n cazul general, cnd interaciunea cu mediul exterior se faceprin schimb de cldur, prin schimb de lucru mecanic i prin transferde mas se mai utilizeaz ecuaia bilanului energetic, care exprim principiul nti al termodinamicii pentru sisteme termodinamicedeschise.

tlqdidUV

d =++

2

2

(5.4)

unde:

q - reprezint schimbul de cldur elementar;tl - lucrul mecanic tehnic elementar, efectuat sau consumat de

fluidul n micare.

Variaia elementar de cldur q are o parte eq , care

reprezint schimbul de cldur cu exteriorul, i o parte vi lq = , carereprezint o acumulare intern de cldur provenit din transformarea

lucrului mecanic al forelor de viscozitate, deci: ie qqq +=

5.1Relaiile Bernoulli pentru gaze n micare izotermpermanent

Se studiaz micarea izoterm unidimensional a unui gaz cuvariaii mari de presiune, care antreneaz modificri sensibile aledensitii ntr-un tub cu seciune variabil, fr efectuarea sauconsumarea unui lucru mecanic.


19/145

19

Fie, curgerea unui gaz printr-o conduct de seciune variabiliurmeaz a se stabili relaiile ntre parametrii principali ai gazului nmicare: viteza (v), entalpia ( )i , temperatura ( )T , presiunea ( )P ,

densitatea ( ) i viteza sunetului ( )a n gaz (fig. 5.1).

P V11T

i1

P2

2

v2

2

2

1

1

Ti2

1

Fig. 5.1 Curgerea unidimensional a gazelor

n cazul micrii permanente, ecuaia diferenial a fluidelorideale se scrie sub forma:

02

2

=

++

Vd

dPdU

(5.5)

Dac se integreaz aceast ecuaie se obine:

=++ CVdP

U

2

2

(5.6)

n cazul cnd gazul se afl ntr-un cmp gravitaionalconstzgU += relaia devine:

2

2

dP Vg z C

+ + = (5.7)

n micare permanent influena compresibilitii gazelor se

manifest practic numai n cazul cnd termenul g z poate fi neglijat,de aceea relaia (5.7) devine:


20/145

20

=+ CVdP

2

2

(5.8)

n cazul micrii permanente a gazelor ideale (gaze nevscoase),

integrala dP

din relaia (5.8) se efectueazinnd seama de legea de

variaie a densitii n funcie de presiune.

Astfel, dac micarea este izoterm, atunci TRP

= i

TR

P

= .

innd seama c, n micarea izoterm constT = atunci:

=

= PTR

TRP

dPdPln

(5.9)

nlocuind relaia (5.9) n (5.8) se obine CV

PTR =+ 2ln

2

, saupentru dou seciuni:

2ln

2ln

22

2

21

1

VPTR

VPTR +=+ (5.10)

sau: 2ln

2ln

2

22

2

2

2

11

1

1 VPPVPP +=+ (5.11)

Pentru gazele vscoase n relaiile (5.10) sau (5.11) se adaug

pierderile de energie 21 hg astfel n rezultat se obin relaiileBernoulli pentru gazele vscoase n micare izoterm permanent.


21/145

21

5.2 Formele ecuaiei energiei gazelor n micareunidimensional adiabat reversibili ireversibil

Se studiaz micarea unidimensional, cu variaii mari de

presiune, care antreneaz variaii sensibile ale temperaturii i densitiintr-un tub cu seciune variabil. Micarea se consider adiabat, frschimb de cldur cu mediul exterior. Se neglijeaz pierderile deenergie, cauzate de forele de vscozitate, deci micarea adiabat estereversibil, izentropic. n micarea unidimensional mrimile P , ,Ti Vsunt uniform repartizate n fiecare seciune a tubului de curenti depind de poziia seciunii.

Pentru obinerea relaiilor de legtur ntre parametrii de micarese va folosi expresia:

=+ constVdP

2

2

(5.12)

Pentru a integra relaia dP

este necesar s se utilizeze relaia

transformrii adiabate izentrope scris sub forma:

1CP

k=

(5.13)

atunci:

1 1 1

1 11k k k

k

dP dP C C P dP

P

= = =

11 1 1

1 1 1 1

k kkk k k

k P k k P C P P

k k k

= = =

nlocuind expresia obinut n relaia (5.12) se obine ecuaia:

constVP

k

k=+

21

2

(5.14)


22/145

22

innd seama de ecuaia de stare TRP

= se obine o alt

expresie a ecuaiei:

constV

TRk

k

=+ 21

2

(5.15)Din ecuaia (5.15) rezult legtura dintre viteza de micare i

temperatura gazului. Dac viteza gazului se mrete, temperatura semicoreaz.

Dac se ine seama de expresia vitezei sunetului TRka =2 ,

sau de cldura specific la presiune constant

R

k

kCp

=1 i de

entalpie TCi p = , apoi ecuaia (5.14) se poate exprima i nurmtoarele relaii:

constV

i

const

V

TC

constV

k

a

p

=+

=+

=+

2

2

21

2

2

22

(5.16)

Pentru a evalua sensul energetic al ecuaiei (5.14) se descompuneprimul termen n doi termeni:

TR

k

P

k

PP

k

k

=

+=

1

1

1

1

1

n acest caz ecuaia (5.14) poate fi scris astfel:

constV

k

TRP=+

+21

2

(5.17)

Ecuaia (5.17) se deosebete de ecuaia Bernoulli pentru fluidele

ideale incompresibile cu termenul 1

k

TR.


23/145

23

innd seama de relaiile cunoscute din termodinamica gazelor

ideale vp CCR = iv

p

C

Ck= ,

unde: pC i vC - reprezint cldurile specifice la presiuneconstanti la volum constant.

Apoi UTCTk

CC

k

TRv

vp ==

=

11 , atunci ecuaia (5.14)

poate fi pus sub forma:

constVUP =++ 2

2

(5.18)

n ecuaia Bernoulli pentru gaze, n afar de acei termeni cereprezint ecuaia Bernoulli pentru fluidele ideale incompresibile, a

mai aprut nc un termen U - ce reprezint energia specific interna gazelor.

Ecuaia energiei pentru gazele vscoase (reale) n micare

adiabat se poate obine din ecuaia bilanului energetic:

vlqdidzgV

d =++

2

2

(5.19)

innd seama c, ntr-o micare adiabat, unde lipsete schimbulde cldur cu exteriorul, acumularea intern de cldur provine numaide la transformarea lucrului mecanic al forelor de viscozitate i deci

vlq = , i atunci relaia (5.19) devine:

02

2

=++

didzg

Vd (5.20)

Neglijnd termenul g dz cauzat de forele de greutate iintegrnd ecuaia (5.20) se obine:


24/145

24

constiV

=+2

2

(5.21)

Ecuaia (5.21) reprezint forma de baz a ecuaiei energiei pentru

gaze n micare adiabat, conform creia suma energiei specificecinetice i a entalpiei este o mrime constant. Este important deaccentuat c aceast ecuaie este valabili pentru gazele ideale unde

0=q i 0=vl , precum i pentru gazele vscoase unde lucrulmecanic al forelor de vscozitate se transform n energie termic,care mrete energia intern a gazelor n micare.

Analiza relaiilor obinute pentru gazele ideale i reale se poate

face utiliznd diagramaSi

(fig. 5.2), unde S este entropia gazului.Entropia caracterizeaz energia ireversibil transformat ncldur. La micarea gazelor nevscoase pierderile de energie suntegale cu zero i deci entropia este constant. n figura 5.2 acest proceseste reprezentat cu linia vertical 21 . La micarea adiabat agazelor vscoase procesul se reprezint cu linia 21 , care estedeplasat spre dreapta fiindc n acest caz entropia gazului crete dincauza pierderilor mecanice de energie. Dac diferenele de entalpii

21 ii i 21 ii sunt egale, apoi la aceleai viteze 22 VV = , presiunea2P a gazului vscos este mai mic dect presiunea 2P a gazului

nevscos.n cazul micrii izoterme a gazelor nevscoase entalpia este

constant, iar procesul este reprezentat prin linia orizontal 21 .

1

2

2

2P

2

2P

P1

i

S

Fig. 5.2 Micarea gazelor nevscoase i vscoase n diagramaSi .


25/145

25

Trebuie menionat faptul c, curgerile gazelor nevscoase sunt

izentropice. ntr-adevr din ecuaia energiei (5.16) rezult0=+ dVVdi . Dac din ecuaia (5.5) neglijnd termenul dU se

determin termenul dVV i se nlocuiete n relaia precedent, seobine dPdi = .

Conform legii a doua a termodinamicii dPdidST = sau0== dPdPdST de unde 0=dS sau constS = . n

acest caz, din ecuaia izentropiei se poate exprima densitatea gazului prin presiune i integrat relaia (5.12). Se obine ecuaia Bernoulli

pentru gaze n micare izentropic:

constP

k

k

P

PP

k

kV kk

=

=

+

0

0

1

00

02

112 (5.22)

Ecuaia energiei n forma (5.21) reprezint relaia Bernoullipentru gazele vscoase ntr-o conduct termic izolat, unde micareaeste neizentropic.

5.3 Influena compresibilitii gazelor n micare asupracreterii de presiune

Se determin creterea de presiune creat de un obstacolamplasat ntr-o conduct (fig. 5.3) pentru fluide incompresibile ipentru gaze n micare subsonic adiabat izentropic.

0P

v

VA =0A

PA A,0

obstacol

Fig. 5.3 Determinarea creterii de presiune creat de un obstacol


26/145

26

Pentru fluide incompresibile, creterea de presiune se determin

din ecuaia Bernoulli pentru lichide:

+++=++ hgV

g

P

Z

V

g

P

Z

AA

A 22

22

(5.23)Neglijnd pierderile de sarcini innd seama c, n punctul A

al obstacolului, viteza este egal cu zero, pentru un tub orizontal, dinecuaia (5.23) se obine:

g

P

g

V

g

P A

=

+

2

2

(5.24)

de unde: 2

2VPPP incomprA

==

(5.25)

Pentru gaze n micare izentropic creterea de presiune se vadetermina din ecuaia:

A

AP

k

kVP

k

k

=+

121

2

(5.26)

sau

=

= 1

112

2

P

PP

k

kPP

k

kV

A

A

A

A

(5.27)

Din ecuaia de legtur dintre presiunea i densitatea gazelor n

micare adiabat kA

A

k

PP

= se determin raportul densitilorA

i se nlocuiete n relaia (5.27)

kA

k

AA P

P

P

P11

=

=

,

atunci

=

=

11112

112

k

k

Ak

AA

P

P

Pk

k

P

P

P

P

Pk

kV

,


27/145

27

de unde

k

k

A

(5.28)

Pentru determinarea creterii de presiune, relaia (5.28) sedescompune ntr-un ir binominal cu primii trei termeni:

222

22

1

21

+

+=P

V

kP

V

P

PA ,

de unde:

2

22

22

1

2

++=

V

k

V

PPA

sau :

+==

k

VVPPP comprA 4

12

22

. (5.29)

innd cont c: 21 , ,Viar M kP a a = =

Atunci relaia (5.29) ia forma:

,4

124

12

22

2

22

.

+=

+==

MV

a

VVPPP Acompr

(5.30)

unde a viteza sunetului;M numrul lui Mach.

Relaia (5.30) arat c, compresibilitatea gazului are o influenmai mare atunci cnd viteza de micare a gazului se apropie de viteza

sunetului. Atunci cnd V


28/145

28

Dac, de exemplu, se admite o eroare relativ de determinare acreterii de presiune de 1%, adic ,01,0= atunci din relaiile (5.30) i(5.25) se poate determina numrul lui Mach sau viteza de micare agazului la care se acumuleaz aceast eroare.

,01.0.

.. =

incompr

incomprcompr

P

PPsau ,01.01

.

. =

incompr

compr

P

P

sau

22

2

14

1 0.01/ 2

MV

V

+

= sau2

0.01;4

M=

2 0.04;M =

0.2; 0.2VM a= = Concluzie. Dac numrul 2.0=M sau aV 2.0= ,neglijarea

compresibilitii gazului conduce la o eroare de determinare a creteriide presiune egal cu un procent, de aceea dac aV 2.0 sau 2.0M compresibilitatea gazelor poate fi neglijati n micarea gazelor potfi utilizate relaiile fluidelor incompresibile.

Dac n calitate de gaz se va considera aerul n condiii standard

( k=1.4, P =101325 Pa; = 1.2 3mkg ), apoi viteza sunetului va fi

( )1.4 101325 343 ,1.2

kp mas

= = = iar

( )0.2 0.2 343 70 mV a s Pentru gazele naturale, aceeai eroare se va obine la o vitez a gazului

smV 90= .Dac aceste viteze-limite se nlocuiesc, n relaia (5.25) se obin

creterile de presiune pentru aeri gaze naturale.

2 2 21.2 70 0.67 902950 2730

2 2 2

VPa

= = =

n sistemele de ventilare sau n conductele de gaze naturale dejoas presiune variaia presiunii este mai mic, ceea ce justific


29/145

29

neglijarea compresibilitii gazelor i utilizarea n calcule a relaiilorfluidelor incompresibile.

Analiza efectuat se refer la micarea gazelor ideale, unde pierderile de sarcin sunt egale cu zero. La micarea gazelor reale,

influena compresibilitii poate s se manifeste i la viteze mai micidect cele indicate anterior. De exemplu, n conductele de gaze depresiune medie, vitezele de micare sunt 20 30 s

m , ns cderile de

presiune cauzate de pierderile hidraulice constituie 20 30 ,kPa deaceea n aceste cazuri, variaia densitii (compresibilitatea) gazelor nmicare, se va lua n considerare.

5.4 Starea de frnare i starea critic

n micarea adiabat se definete starea de frnare, carecaracterizeaz parametrii micrii ntr-un punct n care viteza estenul. Starea de frnare se poate realiza, aproximativ, ntr-un rezervorde seciune mare, care alimenteaz cu fluid micarea considerat.

Notnd cu 0i , 0T , 0P , 0 i 0a parametrii strii de frnare i cu

,,,, PTi i a parametrii unei stri oarecare atunciecuaiile energiei devin:2

0 ;1 1 2

K P K P v

K K = +

;

211

2

0

vRT

k

kRT

k

k+

=

2

2

0

vTCTC += ; 2

2

0

vii += ; i 211

2220 v

k

a

k

a+

=

(5.31)

Dac ultima relaie se mparte la vitezele sunetului, se obine

( ) 22

2

20

1

2

1

2

a

v

kka

a+

=

(5.32)

innd seama c ,00

2

20

T

T

KRT

KRT

a

a== iar raportul

v

a reprezint


30/145

30

numrul Mach local, relaia (5.32) devine20

1

2

1

2M

KT

T

k+

=

,

de unde rezult raportul valorilor temperaturilor absolute

20

211 M

K

T

T += (5.33)

Din relaiile (5.31) rezult c pentru ;0 consti = odat cuvariaia vitezei, v , de curgere a gazului, se va modifica i valoareaentalpiei, i , deci i temperatura gazului, T.

n aceasta const una din deosebirile caracteristice ale curgeriiunui gaz n micare izentropic, fa de curgerea unui fluidincompresibil. ntr-un fluid incompresibil, temperatura variaz numain cazul nclzirii fluidului din exterior sau n cazul evacurii clduriiacestuia n exterior; ns condiiile de micare a fluidului, de exemplungustarea sau lrgirea tubului, nu pot cauza variaii de temperatur,dac se neglijeaz frecarea. n interiorul unui gaz, n micare adiabatsau politrop, temperatura variaz ns, n funcie de condiiile lui de

micare. Din ecuaia (5.31) rezult c, pe msur ce se micoreazviteza de curgere, temperatura gazului crete i invers. La temperaturamaxim 0T se ajunge cnd 0=V .

Pe de alt parte, din ecuaia (5.31) rezult c, viteza gazului, a

crei entalpie n stare de repaus este egal cu 0i , nu poate s

depeasc o valoare oarecare maxim posibil maxV , n apropierea

creia mrimile i ,T, a i P tind ctre zero.n locul unde se atinge viteza maxim posibil de curgere maxV ,

temperatura 0=T i cum rezult din ecuaia de stare RT= ,presiunea absolut 0P= .

n concluzie, viteza V va ajunge la valoarea ei maximposibil, maxVV = , cnd 0=i , atunci cnd entalpia i se vatransforma n ntregime n energie cinetic. n acest caz:


31/145

31

2

2max

0

Vi = , (5.34)

de unde 0max 2iV = ,

din relaia (5.32) se poate trage concluzia c viteza maxim posibileste n funcie numai de entalpia 0i a gazului aflat n stare de repaus.

innd seama de relaia 00 1RT

k

ki

= , i de ecuaia 0 0 0P RT = , relaia

(5.34), care d valoarea lui maxV , poate fi scris sub forma :

0max 0 0

0

2 22

1 1

k k PV i RT

k k

= = =

(5.35)

Parametrii gazului corespunztori strii lui de echilibru ( 0=V )se numesc parametri de stagnare. n particular, temperatura i presiunea corespunztoare acestei stri se numesc, respectiv,

temperatura destagnareipresiunea de stagnare 0T i 0 .Prin urmare, relaia (5.35) face legtura ntre viteza maxim

posibil a curentului gazos i valorile parametrilor lui de frnare .

Dac se ia temperatura de stagnare egal cu 0 288T K= i dac pentruaer se ia 4.1=k i kgkjR /287= , se obine

smRTk

kV /756288287

14.1

4.12

1

20max =

=

=

astfel se va obine, de exemplu, viteza maxim posibil de scurgere aaerului din interiorul unui cazan spre temperatura gazului din cazanfiind de C015 . Interesant de remarcat este faptul c presiunea 0P nu

influeneaz asupra valorii maxV . Presiunea va influena numai asupradebitului de scurgere a gazului.

Se poate stabili uor msura n care crete temperatura gazuluin cazul ncetinirii acestuia de la o vitez oarecare v la zero.ntr-adevr, din relaia (5.31) rezult :

( ) 20

1

2

k VT T T

k R

= = (5.36)


32/145

32

pentru aer se obine :( ) 2 21.4 12 1.4 287 2000

V VT

(5.37)

Pentru a determina relaia dintre viteza de micare v a gazului iviteza sunetului a , se scrie n prealabil ecuaia (5.31), sub forma:

0

2

00 21

i

V

T

T

i

i == (5.38)

Considernd c, curgerea gazului este izentropic, se deduce:1/

00

=

kk

T

T

P

P i

1

1

00

=

k

T

T

; (5.39)

sau ntrebuinnd relaia (5.38) se obin:1/

0

2

0 21

=

kk

i

v

P

P(5.40)

1

1

0

2

021

=

k

iV

(5.41)

nlocuind pe 0i

n formulele (5.18) i (5.19), n funcie de maxV

,conform relaiei (5.34) , se obine:

1

2max

2

0

1

=

k

k

V

V

P

P, (5.42)

1

1

2max

2

0

1

=

k

V

V

(5.43)

2max

2

0

1V

V

T

T= , (5.44)

Deoarece ntre viteza sunetului n gaz i temperatura acestuia existrelaia:

TRka =2 ,


33/145

33

atunci: 2max

2

20

2

0

1V

V

a

a

T

T== , (5.45)

n care: a este viteza sunetului, corespunztoare vitezei de curgere V

i temperaturii T;0a este viteza sunetului n interiorul gazului n stare de

repaus. Viteza sunetului ntr-un anumit punct al curentuluigazos se numete viteza local a sunetului.

Variaia presiunii, densitii, temperaturii i a vitezei locale asunetului, n funcie de viteza de scurgere a gazului n mrimiadimensionale, este reprezentat n figura 5.4, construit cu ajutorulecuaiilor (5.42) - (5.45).

0.5

0

1.0

PP0

T

T0

aa

0

0.5 1.0VVmax

0

Fig.5.4 Variaia presiunii, densitii, temperaturii i a vitezei locale

a sunetului dintr-un curent gazos, n funcie de viteza de micare agazului n mrimi dimensionale.

Sensul fizic al rezultatelor obinute poate fi explicat astfel.n cazul scurgerii izentropice a gazului, creterea energiei lui

cinetice poate avea loc numai n cazul micorrii entalpiei gazului.Aceast cretere de vitez a curentului, n cazul unei curgeriizentropice a gazului, este legat de scderea de temperatur aacestuia. Deoarece ns n acest caz, presiunea se micoreaz mai


34/145

34

repede dect temperatura, densitatea gazului se micoreaz odat cucreterea vitezei de scurgere (se tie c, densitatea gazului este directproporional cu presiunea i invers proporional cu temperatura).

Cele artate sunt valabile i n cazul scurgerilor adiabatice ale

gazului.n felul acesta, la scurgerile izentropice sau adiabatice alegazului, odat cu creterea vitezei se produce i o dilatare (destindere)a gazului.

Revenind la ecuaia (5.45) i utiliznd relaiile: TRka =20 i

00max 1

22 TR

k

kiV

==

se obine: ( )22

max2

21 VVka = (5.46)

Din relaia (5.46) rezult c viteza sunetului a descrete n timpce viteza de micare a gazului V crete, i invers (fig.5.5), iar la ooarecare valoare a vitezei curentului, devine egal cu aceasta. Aceastvitez local a curentului,egal cu viteza local a sunetului, senumete viteza critici se noteaz cu cra , adic

craaV == v

a

a

cra

a cr

v

x Fig. 5.5 Variaia vitezei de micare V, vitezei sunetului a ivitezei critice .cra ntr-un curent de gaz n micare izentropic.

Seciunea unui tub de curent n care viteza local este egal cuviteza sunetului se numete seciune critic.


35/145

35

i ceilali parametri ai curentului gazos: presiunea, densitatea i

temperatura, n locul n care craaV == , se numesc tot parametri

critici i se noteaz cu crP , cr i crT .

Dac n formula (5.46) vitezele V i a se iau egale cu cra ,rezult:

( )2 2 2max1

2cr cr k

a V a

= ,

de unde:

2max

2

1

1V

k

kacr +

= (5.47)

(pentru aer, viteza critic max44.0 Vacr .)ntrebuinnd egalitatea obinuti ecuaia (5.46), se poate obine

urmtoarea relaie:222

2

1

2

1V

ka

ka cr

+= (5.48)

Din relaia (5.47) rezult c viteza critic cra depinde numai de

temperatura de stagnare 0T .ntr-adevr, nlocuind n formula (5.47) expresia lui maxV din

formula (5.35), se deduce:

0

000

2

1

2

1

22

1

1

P

k

kTR

k

ki

k

kacr +

=

+

=+

= (5.49)

innd cont de faptul c200 aTRk = , rezult:

202 12 akacr += (5.50)

n particular pentru aer se obine:

03.18 Tacr = (5.51)

Dac viteza, cra , este exprimat n funcie de temperaturagazului din seciunea n care viteza local de curgere a gazului esteegal cu viteza local a sunetului, adic n funcie de temperatura

critic crT , atunci, pe baza formulei:


36/145

36

crcr TRka = se obine pentru aer:

crcr Ta = 20

Pentru temperatura crT a gazului, corespunztoare vitezei critice,exist relaia:

2max

2

0

1V

a

T

T crcr = ,

din care, utiliznd relaia (5.47), se deduce:

01

2T

kT

cr

+

=(5.52)

Deoarece ntr-o evoluie izentropic

1

1

0

=

kcrcr

T

T

i

1

00

=

k

k

crcr

T

T

P

P,

atunci utiliznd relaia (5.52), se obine:

0

1

1

1

2 +=

k

crk (5.53)

0

1

1

2P

kP

k

k

cr

+

=

(5.54)

n felul acesta, toi parametrii gazului, n seciunea n care vitezacurentului este egal cu viteza sunetului, sunt exprimai n funcie

numai de parametrii de stagnare.,,

000

PT

Formulele (5.52), (5.53), i (5.54), pentru aer cu 4.1=k , vor luaurmtoarele valori:

. 0 . 0 . 00.831 ; 0.636 ; 0.528cr cr cr T T P P = = = (5.55)

Se introduce raportul adimensional care va fi numit coeficient devitez.


37/145

37

,.cra

V= (5.56)

Acest coeficient indic gradul de apropiere a vitezei de micare a

gazului, dintr-un anumit punct din curent, de viteza critic. Esteevident c pentru 1< i 1 i 1> scurgerea gazului va fi supersonic; cnd 1= i

1= curgerea gazului va fi sonic.n cele ce urmeaz, se vor folosi unele relaii care exprim

parametrii gazului, n funcie de numerele i , ca n ecuaiile(5.42)-(5.44).

n baza egalitilor (5.45), (5.47) i (5.50) se poate scrie:,

2

11 2

2max

2

2

2

2max

20

20

2

2max

2

Mk

V

V

a

V

a

a

a

a

V

V

==

de unde: .

2

11

11

22

max

2

MkV

V

+

=

Pe de alt parte, innd seama de egalitile (5.44) i (5.52), se

deduce:

.1

1 22

2

2max

2

2max

2

+

==k

k

a

V

V

a

V

V

cr

cr

Prin urmare:

,1

11

2

11

11 2

22

max

2

+

=

+=+

k

k

MkV

V

(5.57)

de unde rezult:

.

2

11

2

1

2Mk

Mk

+

+= (5.58)

Utiliznd formula (5.53) i relaiile (5.39), (5.40) i (5.41) se ajungela urmtoarele expresii:


38/145

38

+==

+=

+=

22

200

1

1

20

120

2

11

,2

1

1

,2

11

Mk

a

a

T

T

M

k

Mk

P

P

k

k

k

(5.59)

sau:

12

0

1

12

0

22

20 0

11 ,

1

11 ,

1

11 .

1

k

k

k

P k

P k

k

k

T a k

T a k

= +

= + = =

+

(5.60)

Din relaiile (5.59) i (5.60) rezult c temperatura, viteza sunetuluii densitatea gazului se micoreaz pe msur ce i cresc.

5.5 Zonele de micare ale gazelor n dependen de numereleMach

Dac micarea gazelor este izentrop (dq=dh=0), atunci din

ecuaia energiei:2 22 2 20 max

0

a vv a vi = i + = + = = = const. (5.61)

2 k-1 2 k + 1 2

rezult c, accelerarea curentului de gaz pe lungimea unui tub cuseciunea variabil (ds>


39/145

39

11

k

k

+

mprind termenii 1

a 2

k i2

2

Vai ecuaiei (5.61) la mrimile egale

1

20

k

a

i

2max

2

v

se obine ecuaia energiei n forma:

20

2

a

a+ 2

max

2

V

V

= 1 (5.62)

Ecuaia (5.58) reprezint relaia eliptic dintre viteza sunetului iviteza de micare a gazelor ( fig. 5.6) i permite stabilirea zonelor demicare ale gazelor cu diferite caracteristici fizice.

a I II III

1 a0acr IV

V

0 1 6 MV

acr

Vmax

Fig. 5.6 Zonele de micare a gazelor n dependena de nr.Mach.

Pentru a exprima influena numrului Mach i a vitezei ntr-uncurent izentropic de gaz asupra variaiei parametrilor principali demicare se modific ecuaia Bernoulli,

2dp / ( p) = -k V dV/( kpV) , de unde se obine:

2

1k+

0

a

a


40/145

40

2dp dV= -k M

P V (5.63)

Dac ecuaia energiei se mparte la T i se introduce relaia:

TCp = 1

2

ka

dV

V, se obine:

T

dT=2

a

da=-(k-1)M2

V

dV(5.64)

Difereniind ecuaia de starep = RTse obine :

dp=RdT=

k dRT

k

(5.65)

mprind ecuaia (5.65) la RTi innd cont de relaiile (5.62) i(5.64) rezult:

d=

2MT

dT

p

dp=

V

dV(5.66)

Difereniind i mprind ecuaia debitului masic la VS, n cazul

0=M

dM, se obine:

)(

d

V

dV

s

ds

+= (5.67)

Analiza relaiilor obinute i a fig.5.6 permit urmtoareleconcluzii:

1. Mrirea vitezeiV

dV>0 ntr-o micare izentrop totdeauna

conduce la micorarea T, (a), p, i invers.


41/145

41

2. La numere mici MV

dV, de aceea vitezele supersonice se pot

obine numai ntr-un canal divergent, (zona IV fig.5.6).6. n domeniul cu M>6..7, la variaii semnificative ale

parametrilorT, (a), p, viteza gazului se schimb nesemnificativ, iarnr. M se schimb din cauza variaiei vitezei sunetului (zona V fig.5.6).Evident ca i n zonele IV i V este necesar de a lua n consideraiecompresibilitatea gazelor n micare.

7. Determinarea limitei zonei I, n care compresibilitateagazelor poate fi practic neglijat, depinde de erorile admisibile ladeterminarea parametrilori este prezentat n problema 5.6.11.


42/145

42

5.6 Exemple de probleme rezolvate

Problema 5.6.1S se determine densitatea gazului metan la temperatura t=00 C

i la presiunea manometricPm=9 105

Pa

Rezolvare1. Din Anexa 1 pentru gazul metan se determin constanta

specifica R=519 J/KgK, temperatura critic tc=-82.50Ci presiunea

criticpcr=44.93 105Pa

2. Se determin parametrii redui ai gazului :Tr=

crT

T= 43.15.82273

0273=

+

Pr=5 5

5

9 10 100.21

44.93 10absP

Pcr

+= =

3. Din Anexa 2 sau din graficulz=f(Pr, Tr), sau cu formula luiBerthelot se determina valoarea factorului de abatereZ:

Z= 1+9 Pr

128 Tr (1- 2

6

rT)=1+

9 0.21

128 1.43 (1- 243.1

6)=0.98

4. Folosind ecuaia de stare a gazelor reale rezult valoareadensitii:

=5 59 10 10

7.200.98 519 273

absP

ZRT

+= =

Kg/m3

5. Dac se neglijeaz factorul de abatereZrezult :


43/145

43

=

5 59 10 107.058

519 273

Pabs

RT

+= =

Kg/m3

Problema 5.6.2S se determine viteza sunetului n aerul cu temperatura

T=500K, dac se cunosc cldurile specifice ale aerului la presiuneconstantCp=1024.4 J/Kg Ki volum constant Cv=737.4 J/Kg K.

Rezolvare1. Se determin exponentul adiabatei :

K= 389.14.7374.1024 ==

v

p

CC

2. Se calculeaz constanta specific a aerului :R=Cp-CV=1024.4-737.4=287 J/Kg K

3. Se determin viteza propagrii sunetului n aer :a= 1.389 287 500 446.5KRT = = m/s

Problema 5.6.3Printr-o conduct se mic un gaz metan la presiunea absolut

P=106Pa cu viteza v=80 m/s. Densitatea gazului n aceeai seciune=6.41 Kg/m3. Cldura specifica a metanului la presiune constanteste Cp=2218 J/Kg K.

S se determine temperatura indicat de un termometru montat nseciunea respectiva.

Rezolvare1. Se determin din ndrumar constanta specific a metanului :


44/145

44

R=520 J/Kg K2. Din ecuaia de stare se determin temperatura metanului n

condiiile date de micare :

T=

610300

6.41 520

P

R= =

K

3. Temperatura indicat de termometru este temperatura defrnare (T0) care poate fi determinat din ecuaia energiei :

CpT+

2

02 pv

C T= , de unde T0=T+2 280

300 301.42 2 2218P

v

C= + =

K

4. Aceeai temperaturT0se putea determina i cu relaia :T0=T(1+

2

2

1M

k)=T(1+

21

2

k v

RT

)=

=300(1+21.31 1 80

2 1.31 520 300

)=301.4 K,

unde:K =1.31 reprezint exponentul adiabatei pentru metan.

Problema 5.6.4

S se determine presiunea dinamic

2

2

v, dac numrul Mach M

=2, iar presiunea staticp=8104 Pa.

Rezolvare

Se transform relaia:2 2 22 2 2

2

2 4 2 5

v 0,5 a v Kp= =0,5 a M =0,5 M =

2 a

=0.5Kp M =0,5 1,4 8 10 2 =2,24 10 Pa


45/145

45

Problema 5.6.5S se determine numrul Mach, dac se cunoate raportul dintre

presiunea statici cea de stagnare izentropic P/P0=0.7 a unui curentde aer in micare unidimensional.

RezolvareNumrul Mach se va determina din relaia :

/ 120 11

2

K KP k

MP

= +

, de unde :

1,4 111,4

0 1 1 1,4 11 / 1 / 0,5370,7 2

K

K

P KMP K

= = =

Problema 5.6.6Un curent de aer la presiunea P =10105 Pa i temperatura

t =-80 Cse mic cu viteza V =250 m/s.

S se determine presiunea P0, temperatura t0, densitatea0 iviteza sunetului n stare de frnare adiabat.

Rezolvare1)Se determin din Anexa 1 exponentul adiabatei K i

constanta specificR a aerului :K=1.4 ;R=287 J/Kg K2)Se calculeaz viteza sunetului n aer :a= KRT = ( )1.4 287 273 8 =326.3 m/s

3)Se determin nr. Mach :M= 766.0

3.326

250==

a

v


46/145

46

4)Se calculeaz densitatea aerului :510 10

13.1287 (273 8)

P

RT

= = =

Kg/m3

5)Se determin parametrii de frnare cu relaiile :P0=P(1+ 2

1kM2)k/(k-1)=106(1+

21.4 1 0.7062

)1.4/(1.4-1)=1.47106 Pa

T0=T(1+ 22

1M

k )=(273-8)(1+21.4 1 0.766

2

)=296 K

0=(1+ 22

1M

k )1/(k-1)=13.1(1+21.4 1 0.766

2

)1/(1.4-1)=17.28 Kg/m3

a0=a(1+ 22

1M

k )1/2=326.3(1+ 21.4 1

0.7662

)1/2=344.8 m/s

Problema 5.6.7De determinat parametrii de stagnare izentropic ( presiunea P0,

temperatura T0, densitatea 0), dac un curent de aer se mic cu vitezaV=200 m/s, iar presiunea i temperatura static sunt : P=5104 Pa,

T=300 K.

Rezolvare1. Se determin din tabel cldura specific la presiune

constant Cp=1004 J/Kg K, constanta specific R=287 J/Kg K iexponentul izentropeiK=1.4 a aerului.

2. Conform ecuaiei energiei se determin temperatura defrnare :

T0=T+

2 2200300 319.9

2 2 1004p

V

C= + =

K

3. Utiliznd ecuaia de stare se determin densitatea aerului :

=

45 100.581

287 300

P

RT

= =

Kg/m3


47/145

47

4. Cunoscnd legtura ntre parametrii izentropei

0 0

k

p

p

=

;

1/( 1)

0 0

k

T

T

=

;

( 1)

0 0

k k

p T

p T

=

, se determin densitatea

i presiunea de stagnare :

0= ( ) ( )1/ 1 1/ 1.4 10

0.5810.682

( / ) (300 / 319.9)kT T

= = Kg/m3

P0= ( ) ( )

54

/ 1 1.4/ 1.4 1

0

5 106.26 10

( / ) (300 / 319.9)

k k

p

T T

= = Pa

Problema 5.6.8Un curent de abur saturat se mic cu viteza v=250 m/s, la

presiunea staticp=1.5105Pa i temperatura staticT1=573 K.De determinat parametrii de stagnare izentropica (entalpia i0,

presiunea p0i temperatura T0), dac exponentul izentropei K=1.3, iar

constanta specific a aburuluiR=461.5 J/Kg K.

Rezolvare1. Se determin numrul Mach :

2500,4263

1,3 461,5 573

v vM

a KRT= = = =

2. Se determin temperatura de stagnare :2

0 1

1T =T 1+

2

kM

)=573(1+1.3 1

0.4263) 588.62

K

=

3. Se determin presiunea de stagnare :


48/145

48

( )

( )

/ 120

1.3 / 1.3 15 5

1(1 )

21.3 1

1,5 10 (1 0.4263) 1.68 10

2

k kkP P M

a

= + =

= + =

4. Utiliznd ecuaia energiei se determin entalpia de frnare :i0=i1+

223072900 0.5 250 3104.2 /

2

vKj Kg = + = , unde entalpia

i1=3072.9 Kj/Kg s-a determinat din tabelele proprietilortermodinamice ale vaporilor de ap la p1=1.510

5 Pa i T1=573 K.

Problema 5.6.9S se determine viteza critic, acr, i temperatura critic a unui

curent de aer a crui viteza i temperatur sunt : V=200 m/s ;T = 400 K

Rezolvare :

1. Se determin viteza sunetului n curentul de aer:a= KRT= 1.4 287 400 =400.9 m/s

2. Se calculeaz numrul Mach :200

0.4989400.9

vM

a= = =

3. Se calculeaz temperatura de stagnare :T0=[(1+0.5(k-1)M

2)]T=[(1+0.5(1.4-1)0.49892)]400 = 419.9 K

4. Se determin viteza critic cu relaia :1/2 0 += kKRTacr = 2 1.4 287 419.9 /1.4 1 + =375 m/s.


49/145

49

5. Se determin temperatura critic :Tcr=2T0/(k+1)=2419.9/(1.4+1)=349.9 K

Problema 5.6.10Sa se determine presiunea Pcr, temperatura Tcr, densitateacr iviteza criticVcr a unui curent de aer ce se mic cu viteza V=150m/s,iar temperatura i presiunea static, respectiv sunt : T=500 K,P= 1105Pa.

Rezolvare1. Se determin din ndrumar pentru aer :a. Cldura specific la presiune constantCp=1004 J/kg kb. Constanta specificR=287 J/kg kc. Exponentul izentropei K=1.42. Temperatura de stagnare se determin din ecuaia energiei:

T0=T+0.5V2/Cp=500+0,5150

2/1004=511.2 K

3. Presiunea i densitatea de stagnare se determin din relaiileizentropei :P0=P/(T/T0)

k/(k-1)=1105/(500/511.2)1.4/(1.4-1)=1.081105

0=/(T/T0)1/(K-1)=

4. Din relaiile de legtur dintre parametrii critici i cei destagnare (frnare) se vor determina parametrii critici :

Tcr=T02/(k+1)=511.22/(1.4+1)=426 K

cr=0(2/(k+1))1(K-1)=0.7363(2/(1.4+1))1/(1.4-1)=0.467 Kg/m3

Vcr=acr= 0)1/(2 RTkK + = 2 1.4 /(1.4 1) 287 511 + =413.8 m/s

( ) ( )5

1/ 1 1/ 1.4 1 3

0

1 10 500/( ) /( ) 0.7363 /

287 500 511.2KP T

Kg mRT T

= =


50/145

50

( ) ( )( )( )1,4 / 1,4 151

0

5

2 /( 1) 1,081 10 2 / 1,4 1

0,572 10

K

KcrP P K

= + = + =

= , Pa

Problema 5.6.11S se determine erorile comise la determinarea presiunii i

densitii aerului n micare subsonic izentropic la numerele Mach :0.1; 0.2; 0.3; 0.4; 0.5; 0.6, atunci cnd se consider drept fluidincompresibil.

Rezolvare

Notnd parametrii curentului neperturbat cu indicele , seobine:

( )2

/ 12 2 40 1 1 1 ( 1)(1 ) 1 ( 1) ...;2 1 2 2 1 1 4

K KP K K K K K K M M M

P K K K

= + = + + +

( )

2

/ 12 2 40 1 1 1 1 ( 1)(1 ) 1 ( 1) ...;2 1 2 2 1 1 4

K KK K K K K M M MK K K

= + = + + +

sau:

2 46

0 (2 ) ...;2 8 48

KP M KP M K P P K P M = + + + +

2 4

0

(2 )...,

2 4

M K M

= + + +

ns:

2 2 22

2,

2 2 2 2

K K V K V V P M P P

Pa K

= = =

deci:2 2

4

0

2

( ) (1 ...).2 4 24comprV M K

P P M

= + + +


51/145

51

In cazul fluidelor incompresibile2

0 inc( P -P ) = 2

V

Eroarea relativ asupra presiunii este:

Eroarea la determinarea densitii se determin innd seama c(0)inc =

2 40 0 (2 ) ...;

2 4

M K M

= = + +

Din relaiile date se vede c la numerele Mach mici, 2 p Rezultatele calculelor se prezint in tabelul 1

Tabelul 1- Erorile i p pentru aer (K = 1.4)M 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6

p, % 0.25025 1.004 2.27025 4.064 6.40625 9.324

% 0.5015 2.024 4.6215 8.384 13.4375 19.944

5.7 Probleme propuse spre rezolvare

Problema 5.7.1S se determine densitatea gazului metan la presiunea absolut

P=500 KPai temperatura T=300 K

Problema 5.7.2Printr-o conducta se mic: Aer(k=1.4, R=287, J/KgK, T=300 K) Heliu (k=1.67, R=2080 J/KgK, T=300 K)cu aceleai viteze V=100 m/s.Care din aceste 2 gaze se comprim mai tare. De determinat

raportul densitilor0/ pentru aeri heliu.

2

20 02( ) ( ) 2 ...4 24

2

com incp P P P P M K M

V

= = + +


52/145

52

Problema 5.7.3S se determine variaia coeficientului dinamic de viscozitate

/0 al aerului dac se cunoate variaia de temperaturT/T0=3

Problema 5.7.4De determinat debitul masic ce curge printr-o seciune a uneiconducte cu aria seciunii transversale S=0.01 m2, dac viteza V,temperatura T i presiunea P sunt respectiv egale cu :

V=100m/sT=293KP=1.2105 Pa

Problema 5.7.5S se determine viteza aerului n seciunea a II-a a unui difuzorizolat termic (fig. 5.7.5) dac parametrii n seciunea de intrare iieire sunt:

F1=1m2, P1=0.926 KPa, T1=500 K, V1=150m/s

F2=1.2m2, P2=0.95 Kpa, T2= 504 K,

Fig. 5.7.5 Difuzor izolat termic

Problema 5.7.6De determinat viteza propagrii sunetului ntr-un curent de aburla presiunea P=9106 Pa i temperatura T=873 K. Exponentulizentropei i volumul specific ale aburului n aceste condiii suntK=1.27, v=0.04281m3/kg

Problema 5.7.7S se calculeze rapoartele dintre mrimile strii critice i celei

ce corespunde strii generatoare: Tcr/T0; Pcr/P0; cr/0 pentru un gazmetan.

F2,P2,T2,

V2 - ?F1,P1, T1

1 2

12

V1


53/145

53

Problema 5.7.8S se demonstreze c viteza gazului printr-un orificiu alimentat

de un rezervor n care viteza se neglijeaz este ).(2 0 iiV =

Problema 5.7.9Intr-un punct parametrii micrii aerului sunt: V=120 m/s;

P=101325 Pa; t=200 C. Neglijnd frecarea, s se calculeze presiuneade oprire :

neglijnd compresibilitatea innd cont de aceastaProblema 5.7.10Printr-un canal cu seciunea variabil pe lungime se mic un

curent de aer. S se determine rapoartele vitezelor V1/V2 itemperaturilorT1/T2aerului n cele dou seciuni, dac n ele numereleMach sunt M1=0.7, M2= 1.4.

Micarea este izentrop unidimensional.

Problema 5.7.11Utiliznd condiiile problemei 5.7.10 s se determine raportul

presiunilorP2/P1i densitilor2/1 n aceleai 2 seciuni.

Problema 5.7.12S se determine raportul ariilor seciunilor transversale F2/F1

ale unei conducte cu seciune variabil

pe lungime, precum

i

rapoartele vitezelor V2/V1 i temperaturilor T2/T1, dac n acesteseciuni se cunosc numerele Mach M1=0.6 i M2=0.85.

Micarea aerului este izentrop unidimensional.

Problema 5.7.13S se determine temperatura critic a unui curent de aer, dac

temperatura de stagnare T0=430 K.

De comparat viteza critic pentru un curent de aer i abur laaceeai temperatur.


54/145

54

Problema 5.7.14Sa se determine numerele Mach M1 i M2 dac se cunosc

coeficienii de viteze 1=0.24, 2=2

Problema 5.7.15

Intr-o seciune a unei conducte de aer numrul M = 0.54. S sedetermine o noua vitez a aerului n conduct, dac temperaturaaerului s-a majorat de la T1=300 K pn la T2=400 K, iar numrulMach trebuie s rmn constant.

6. Scurgerea adiabat a gazelor prin orificii sau ajutajeconvergente la diferen mare de presiune

Fie un recipient cu un orificiu sau cu un ajutaj convergent prin carese scurge un gaz (fig.6.1).

V,P, ,T V,P, ,T

M M

P0 00

V=00Gaz

T

Fig.6.1. Scurgerea gazului printr-un orificiu sau ajutaj convergentla diferen mare de presiune.

Se noteaz cu 0000 ,,, TPV parametrii gazului n rezervori cuTPV ,,, viteza, densitatea, presiunea, i temperatura gazului n

seciunea de ieire a jetului. Datorit faptului c, diferena de presiune

( )0P P este mare, de aceea transferul de cldur de la jetul de gaz lapereii orificiului se poate neglijat. Dac n prima aproximare se

neglijeaz i pierderile de energie n orificiu, scurgerea gazului sepoate considera izentropici pentru determinarea vitezei de scurgere


55/145

55

se utilizeaz ecuaia Bernoulli pentru gazele ideale n micareadiabat.

2 20 0

02 1 2 1

V k P V k P

k k + = + (6.1)

innd cont c viteza gazului n rezervor 0V este foarte mici se poate neglija, din relaia (6.1) rezult viteza jetului n seciuneacontractat.

( )TTRk

kPPk

kV

=

= 0

0

0

12

12

(6.2)

Dac din relaia procesului adiabatic kkPP

=

0

0se determin

raportul

k

P

P1

0

0

=

i se nlocuiete n ecuaia (6.2) se obine:

=

=

1

00

0

0

0

0

0 11

21

1

2 kk

P

PP

k

k

P

PP

k

kV

(6.3)

Relaia (6.3) este cunoscut sub numele Wantzel-Saint Venant.

Dac se admite c ;0;0 == P i 0=T , apoi din relaia (6.3)

se obine viteza maxim de scurgere:

0max 0

0

2 2

1 1

k P kV RT

k k= =

(6.4)

Pentru evaluarea influenei compresibilitii gazului asupra vitezeide scurgere se determin din ecuaia (6.3) expresia:


56/145

56

210

0 0

11

2

k

kP V k

k P

=

,

de unde:2 10

00

112 2

k

kk VP PP

= (6.5)

Dac expresia din paranteze se descompune dup binomul luiNewton, se obine:

2

0

02

0

021

0

02

22

1

21

22

11

+=

P

V

kP

V

P

Vk kk

,

atunci:

=

=

20

22

00

022

00 41

241

2 a

VV

Pk

VVPP

,

de unde:

=

2

00

0

212

a

VPPV

(6.6)

Dac 0aV


57/145

57

1 1

00

0 0 0

2 1

0 00 0

21

1

2,

1

k

k k

kk k

PP k P M VS S

P k P

k P PS P

k P P

+

= = =

=

(6.8)

unde S - aria orificiului, iark- exponentul adiabatei.

Din relaia (6.8) se observ c debitul masic depinde de raportul

presiunilor0P

P. Cu scderea acestui raport de la 1, debitul masic

crete, atingnd o valoare maxim dup care teoretic ar urma s scadla zero (fig.6.2).

Fig.6.2 Dependena debitului masic de raportul presiunilor.

Condiia de maxim a debitului scris sub forma:


58/145

58

2 1

0 00 0

2 1

00 0

2 2 11

0,

2

k

k k

k

k k

P Pk kS P

k k P k P dM

P

d P PPP P

+

+

= =

(6.9)

de unde:k

crk

k

cr

P

P

k

k

P

P

k

1

0

2

0

12

+=

(6.10)

conduce la expresia raportului critic de presiune:

1

0 12

+=k

k

cr

kPP (6.11)

n cazul aerului

1.41

1.41 1

0

20.528

1.41 1crP

P

= = + .

Pentru gazele naturale 3.1=k , 55.00

=P

Pcr.

Cu expresia (6.11) introdus n relaia (6.3) se obine viteza critic:

1 11

0 0

0 0 0

00

0

2 2 21 1

1 1 1

2 2

1 1

k k kk k k

crcr

k P P k P V

k P k k

k P kR T

k k

= = = +

= =

+ +

(6.12)

Din cele expuse rezult c, dac scurgerea gazului natural este natmosfer, apoi n orificiu se vor instaura parametrii critici, atuncicnd presiunea absolut minim din rezervor va atinge valoarea:

PaP

P atabs

18500055.0

101325

55.0.0===

.


59/145

59

innd cont de relaia (6.11) se determin raportul critic aldensitilor:

1

=

kk

cr

k

cr

P

P

sau

1

1

1

1

1

2

+=

=

kkcrcr

kP

P

(6.13)

innd seama c:

cr

cr

cr

cr

k

k

k

k

cr

crk

k

cr

P

k

kPkP

P

PP

+=

+=

=

1

2

111

1

0

0

0

,

relaia (6.12) devine:

aP

kPk

k

kP

k

kV

cr

cr

cr

crcr ==

+

+

=+

= 2

1

1

2

1

2

0

0

(6.14)

Ceea ce arat c debitul maxim (critic) corespunde unui regim sonicn orificiu.

Deoarece orice scdere a presiunii sub valoarea crP se propagspre rezervor cu viteza sunetului, care este egal cu viteza sunetului n

orificiu, debitul va rmne insensibil la presiuni crPP< ,meninndu-i valoarea maxim, egal cu cea critic.

1

10

max 0

01

1

0 0 0 0

2 2

1 1

2 2

1 1

k

cr cr cr

k

cr

PkM M S V S

k k

kS P S P

k k

= = = = + +

= = + +

(6.15)

unde: 12

1

2 11

+

+

=

k

k

k

k

cr (6.16)


60/145

60

Pentru aer 41.1=k , 68.0=cr , iar pentru gazele naturale3.1=k , 66.0=cr .

Debitul masic critic poate fi calculat i cu relaia (6.8), dac se

nlocuiete n ea raportul presiunilor0P

P cu cel critic, adic cu

1

0 1

2

+

=k

k

cr

kP

P.

2 1

0 00 0

2 1

1 1

0 0

2 1

1 1

0 0 0 0

2 1

2 2 2

1 1 1

2 2 21 1 1

k

k k

cr cr cr

k k k

k k k k

k

k k

cr

k P PM S Pk P P

kS P

k k k

kS P S P k k k

+

+

+

= =

= = + +

= = + +

(6.17)

unde:

+

+

=

+

1

1

1

2

1

2

1

2

1

2 kk

k

crkkk

k + (6.18)

Pentru determinarea raportului critic de temperaturi se utilizeazrelaia aVcr = . Conform relaiilor (6.2) i (6.14) se obine:

( )02

1 cr cr k

R T T k R T k

=

(6.19)


61/145

61

sau ( )02

1 cr cr T T T

k =

,

de unde: 1

2

0 += kT

Tcr(6.20)

Prin urmare, temperatura critic de scurgere crT reprezint1

2

+k

din valoarea temperaturii gazului ce se gsete n rezervor. Dac ntr-un rezervor se gsete aer la Ct 00 20= , la curgerea prin orificiu,temperatura critic va constitui :

( ) CKk

TTcr0

0 2924414.1

220273

1

2==

++=

+=

Concluzii: 1. La scurgerea lichidelor prin orificii presiunea nseciunea de ieire totdeauna este egal cu cea a mediului exteriorP,iar viteza i debitul de scurgere totdeauna depind de diferena

presiunilor PP 0 .2. La scurgerea gazelor la diferen mare de presiune, presiunea

n seciunea de ieire din orificiu depinde de raportul0P

P.

3. Dac presiunea exterioar P este mai mare ca presiunea

critic (adic crPP>

sau 00 P

P

P

P cr>

), apoi presiunea exterioar setransmite prin jetul de gaz cu viteza local a sunetului i n seciuneade ieire a orificiului se instaureaz aceeai presiune .

n acest caz, viteza i debitul de scurgere depind de diferena depresiuni PP 0 i se determin respectiv cu relaiile (6.3), (6.8).

4. Cu micorarea presiunii P sau cu mrirea presiunii 0P n cazul

cnd 00 P

P

P

P cr

< , n seciunea de ieire a gazului din orificiu se vor


62/145

62

stabili parametrii critici de scurgere, care vor depinde numai de parametrii gazului din rezervori nu de cei ai mediului, unde sescurge gazul. n acest caz n seciunea de ieire se stabilesc parametriicritici de curgere, care se determin cu relaiile (6.11), (6.12), (6.13),

(6.15) sau (6.17) i (6.20).Dac presiunea mediului exterior este mai mic dect presiuneacritic, atunci seciunea jetului de gaz se mrete, iar viteza gazuluicrete i devine mai mare dect viteza sunetului. Dup aceasta, n jetse formeaz o und de oc, datorit creia viteza jetului se micoreaz,iar densitatea i presiunea gazului n jet se mresc. ns datoritpierderilor de energie n unda de oc, presiunea dup und va fi maimic dect presiunea critic. Daci aceast presiune este mai mare

dect presiunea exterioar, jetul de gaz iari mrete seciunea, vitezagazului se mrete, apare o nou und de oc i tot aa pn cnddatorit pierderilor de sarcin, presiunea dup und micorndu-se, nuse va egala cu presiunea mediului exterior.

Relaiile de calcul ale vitezelori debitelor masice s-au obinut pentru scurgerea izentropic a gazelor ideale. Pentru determinareavitezelor i debitelor reale de scurgere prin orificii, relaiile (6.3) i

(6.12) trebuie nmulite cu coeficientul de vitez , iar relaiile (6.8)i (6.17) cu coeficientul de debit = . Pentru orificii, la numeremari a lui Reynolds, coeficientul de vitez 98.0= . Coeficientul de

contractare, ,depinde de raportul presiunilor0P

Pi pentru orificii se

poate determina din tabelul 6.1.

Tabelul 6.1 - Valorile coeficientului de contractare pentruorificii

0PP 1 0,9 0,8 0,7 0,6 0,53 0,5 0,4 0,3 0,2 0

0,61 0,62 0,64 0,67 0,71 0,73 0,74 0,78 0,81 0,84 0,86


63/145

63

Tabelul 6.2 - Valorile rapoartelor parametrilor critici la par

ParametriiExponentul adiabatei K=

1,05 1,10 1,15 1,2 1,25 1,3 1

1

2

0 +=

kT

Tcr 0,975

0,591 0,93 0,91 0,889 0,87

0

1

1

0 12/

+=

k

crk

0,610 0,614 0,617 0,621 0,624 0,628 0

1

0 1

2/

+

=k

k

crk

PP

0,595

0,585

0,574

0,564 0,555 0,546 0


64/145

64

6.1 Exemple de probleme rezolvate

Problema 6.1.1S se determine viteza i debitul masic de gaz metan ce curge

dintr-un rezervor n care presiunea manometric i temperatura suntrespectiv egale cu Po man =50 kPa, t0=35 C. Presiunea absolut itemperatura mediului exterior suntPe=100 kPa, te=-15 C.

Diametrul orificiului d0=10 mm. Curgerea este adiabatic.

Rezolvare.1. Din Anexa 1 se determin exponentul adiabatei i constantaspecific a metanului. K=1,31; R=519,62 J/kgK

2. Se determin densitatea gazului din rezervor.3

0.0

(50 100) 100,93

519,62 (273 35)absP

R T

+ = = =

+ kg/m3

3. Se determin raportul presiunilor absolute.

.

100000 0,66150000

e abs

o abs

P

P= =

4. Cu relaia (6.11) se calculeaz raportul critic de presiuni:1,31

1,31 112 2

0,541 1,31 1

K

Ke

e

P

P K

= = = + +

5. Se compar rapoartele de presiuni. Datorit faptului c.

.

e abs e

o abs o cr

P P

P P

f , curgerea are loc n zona precritic unde

viteza se determin cu relaia:


65/145

65

1

.

1,31 15 1,31

5

21

1

2 1,31 150000 100,97 1 358,1

1,31 1 0,93 1,5 10

K

Ko abs e

o o

P PKV

K P

= =

= =

m/s

unde =0,97 este coeficientul de vitez.

6. Dup raportul presiunilor 0,66eo

P

P= din tabelul 6.1 se

determin coeficientul de contractare a jetului de gaz0,69 = .

7. Se determin coeficientul de debit al orificiului.0,69 0,97 0,67 = = = .

8. Cu relaia (6.8) se determin debitul masic de gaz ce curgeprin orificiu.

2 1 2

2 1,3 15 51,31 1,31

35 5

2 3,14 0,010,67

1 4

2 10 10150000 0,93 7, 47 10

(1,31 1) 1,5 10 1,5 10

KK K

e eor o o

o o

P PM S P

K P P

+

+

= =

=

kg/s

Problema. 6.1.2.S se determine parametrii de scurgere a gazului etan printr-un

orificiu cu diametrul de d0=10 mm, dac presiunea absolut itemperatura gazului n rezervor sunt respectiv egale cu Po.abs=190KPa, t=45 C. Presiunea absoluti temperatura exterioar unde areloc curgerea gazului sunt respectiv egale cuPext.abs=92 kPa, text=25 C.


66/145

66

Rezolvare1. Se determin din Anexa 1 exponentul adiabatei i constanta

specific a gazului etanK=1,198; R=277,13J/kgK.2. Se calculeaz densitatea etanului din rezervor.

( ). 190000

2,15277,13 273 45o

Po abs

RT = = =

+ kg/m3

3. Se determin raportul presiunilor.

.

920000,48

190000

ext abs

o abs

P

P= =

4. Se calculeaz cu relaia (6.11)raportul critic al presiunilor.1,198

1,198 112 20,56

1 1,198 1

K

Kcr

o

P

P K

= = = + +

5. Se compar raportul presiunilor determinate la punctele 3 i 4.Datorit faptului c

ext cr

o o

P

Pp , scurgerea gazului prin

orificiu se produce n zona parametrilor critici.6. Cu relaia (6.10) se determin viteza critic de scurgere a

gazului prin orificiu.

.2 2 1,198 1900000,97 425,71 1,198 1 2,15

o abscr

o

K PV

K

= = =

+ + m/s

7. Dup raportul presiunilor 0,48exto

P

P= din tabelul (6.1) se

determin valoarea coeficientului de contractare a jetului degaz 0,76 = .


67/145

67

8. Se determin coeficientul de debit 0,76 0,97 0,74= = = 9. Se determin cu relaia (6.17) debitul masic critic de gaz ce

curge prin orificiu.

2 1 21

.

2 2 2 3,14 0,0120,74

1 1 1 4

K

K K

cr or o abs o

KM S P

K K K

+ = = + +

kg/s2 1,198 1

1,198 1,198 12 1,198 2 2190000 2,15 0,2

1,198 1 1,198 1 1,198 1

+

= + +

10.Cu relaiile (6.11, 6.20 i 6.13) se determin presiunea critic,temperatura critic i densitatea critic a getului de gaz nseciunea de ieire din orificiu:

1,198

1,198 11

2 2190 106,41 1,198 1

K

K

cr oP PK

= = = + + kPa

( )2 2

273 45 289 161 1,198 1cr o

T T K C K

= = + = = + +

111,198 112 2

2,15 1,341 1,198 1

K

cr o K

= = = + + kg/m3

6.3 Probleme propuse spre rezolvare

Problem 6.3.1S se determine, dup datele prezentate n tabelul 6.3, parametrii

de curgere a gazelor printr-un orificiu la diferen mare de presiune.


68/145

68

Tabelul 6.3.1 - Datele iniiale la rezolvarea probleme

Nr. Parametrii Variantele

1. Tipul gazului din rezervor

1 2 3 4 5 6 7

metan

etan

propan

aer

oxigen

acetilen

metan

2 Presiunea manometric a gazuluin rezervor Po m ,kPa

10 20 60 80 30 40 50

3 Temperatura gazului din rezervortC

0 5 10 15 20 25 0

4 Diametrul orificiului do, mm 10 8 5 6 7 8 9 5 Presiunea absolut exterioar

unde are loc scurgerea gazuluiPext, kPa

101

100

99

98 97 96 95

6 Temperatura exterioar unde areloc scurgerea gazului text C

0 5 10 15 20 25 0


69/145

69

7. Relaiile dintre viteza de micare a gazului i forma tubuluide curent. Ajutajul lui De Laval

Pentru analiza fenomenelor care au loc ntr-un tub de curent de

seciune variabil, se folosesc dou ecuaii.Prima este ecuaia diferenial a micrii sub forma dat de Euler,care n cazul micrii unidimensionale a gazului este :

Vdx

dp

dx

dv

1= (7.1)

A doua ecuaie este ecuaia continuitii:

M=vs (7.2)

Considernd c axa X este axa tubului de curent de seciunevariabil, se deriveaz ecuaia (7.2) n raport cu X:

dx

ds

vsdx

dv

vsdx

d

++ = 0

nmulind cu s

v

toi termenii ecuaiei obinute , rezult:

21 d p vd x

+

2

0dv v ds

Vdx s dx

+ =

sau

2 2dv V d V dsV

dx dx S dx

= +

(7.3)

nlocuind n ecuaia (7.3) pedx

dprin 2

1d d dp dp

dx dp dx a dx

= =

i innd seama de ecuaia (7.1), se obine :


70/145

70

2 2

2

1 1dp v dp v ds

dx a dx S dx = + sau

2 2

21

V dp V ds

a dx S dx

=

(7.4)

Ecuaia (7.1) stabilete legtura ntre derivateledxdv i

dxdp , iar

ecuaia (7.4) stabilete legtura dintre derivateledx

dpi

ds

dx.

Prin urmare, ecuaiile (7.1) i (7.4) leag ntre ele trei mrimi: S,Vi P

Se examineaz urmtoarele cazuri posibile:1. Viteza de curgere, V, a gazului este mai mic dect viteza

sunetului a, adic aV . n acest caz , 01 22

a

V, de unde n baza

ecuaiei (7.4), rezult c derivata dx

dpva fi de acelai semn cu derivata

dx

ds. Prin urmare, dac seciunea tubului Sse micoreaz 0

ds

s

, se

va micora i presiunea 0dp

dx

. n acest caz viteza V va crete ceea

ce rezult din ecuaia (7.1), deoarece n acest caz 0dv

dx

.

Analogic, se poate arta c, n cazul creterii lui S, presiunea p crete,iar viteza v descrete.

2.Viteza de scurgere a gazului v este mai mare dect vitezasunetului a, adicV a.

n acest caz ,2

21 0

V

a

i, prin urmare, semnele lui

dx

dpi

dx

ds

vor fi diferite. Dac, de exemplu, seciunile se micoreaz, presiuneava crete. Din ecuaia (7.1) rezult c, n acest caz, viteza descrete. nconsecin dac viteza Va gazului depete viteza sunetului, variaia

vitezei este invers variaiei din cazul scurgerii cu viteze subsonice. Seatrage atenia asupra faptului c, n ambele cazuri examinate caracterul


71/145

71

relaiei dintre vitezi presiune rmne acelai, cu alte cuvinte, dacviteza Vcrete, presiuneaPdescrete i invers [relaia (7.4)].

Caracterul relaiei dintre viteza Vi aria seciunii Sdepinde ns,n primul rnd de raportul dintre viteza curentului de gaz i viteza

sunetului [relaia (7.4)], adic de raportul aVM = (numrul lui Mach).

DacM 1, deci n cazul cnd V a, creterea ariei seciunii tubuluide gaz S nu este nsoit de micorarea vitezei V, ca n cazul cndM 1, ci invers, aceast cretere a ariei seciunii este nsoit decreterea vitezei (fig.7.1).

Numarul lui MACHM1

Variatiavitezei

Vitezacreste

Viteza se

micsoreaza

v v

v v

Fig. 7.1 Variaia vitezei de curgere a unui gaz, n funcie de formatubului de curent.

3. Viteza de scurgere a gazului este egal cu viteza sunetuluiV=a.

n acest caz: 01 22

=

a

V i din relaia 7.4, rezult ca

dx

ds=0.

Deoarece, pentru accelerarea curentului subsonic gazos, ariileseciunilor trebuie s se micoreze iar, pentru accelerarea curentuluisupersonic gazos, aceleai arii trebuie s se mreasc, n cazul unei

treceri continue a vitezei curenilor de la valori subsonice la valorisupersonice, seciunile se vor micora la nceput, apoi vor crete.


72/145

72

n acest caz, cum rezult din ultima egalitate: 0=S

dspentru

1=a

Vadic n seciunea minim, viteza curentului ajunge pn la

viteza sunetului, adic: craaV == .Prin urmare, seciunea critic a unui tub de curent gazos este chiar

seciunea ei minim.Dup cele artate, se poate trage concluzia c numai printr-o

simpl ngustare a unui tub de curent subsonic de gaz, nu se pot obineviteze de scurgere supersonice. n acest scop este necesar s sengusteze tubul pn cnd se obine, n seciunea lui minim, o vitez

egal cu viteza sunetului ( )craV= ; apoi, tubul trebuie lrgit pentruobinerea vitezelor supersonice. Pe acest principiu se construiescajutajele folosite la obinerea vitezei supersonice (ajutajul lui DeLaval). n figura (7.2) s

miŞcarea unidimensionalĂ a gazelor

Documents